60
Apl.-Prof. Dr. Jörg Main, Universität Stuttgart Nichtlineare Dynamik Stuttgart, 2014 / 2015 Revision: 30. November 2015 Für Hinweise auf Druckfehler und Kommentare jeder Art sind wir dankbar. 1 1 Marcel Klett, Henri Menke, Michael Schmid, Jan Schnabel, [email protected]

Dynamik - physcip.uni-stuttgart.dehenri/skripte/Nichtli... · Stuttgart Dynamik Stuttgart, 2014 / 2015 Revision: 30 November 2015 dankbar. 1 1 [email protected]

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itätein

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sb

zw

.einer

Bew

egu

ng?Ç

Ein

eM

ind

map

zu

rK

lassifikatio

nvo

nSystem

en,d

ied

etermin

istisches

Ch

aos

zeig

enfi

nd

etsich

inA

bb

ildu

ng

1.

Dissip

ative

System

eEin

dissip

ativesSystem

istab

hän

gigvo

n(m

ind

estens)

einem

externen

Kon

trollp

arameter

r.

Es

gib

tversch

ieden

eW

ege

ins

Ch

aos,

die

dan

nu

niversell

sind

für

jeweils

eine

Vielz

ahl

experim

entell

realisierbarer

Systeme.

Klassifi

katio

nd

ieserW

ege:

ñB

ifurk

ation

en,P

eriod

enverd

op

plu

ngen

ñIn

termitten

z(reg

uläre

un

dch

aotisch

eIn

termitten

z)

ñSeltsam

eA

ttrakto

ren

Kon

servativ

eSy

steme

Ch

aos

istm

öglich

inn

icht

integ

rablen

Ham

ilton

schen

Systemen

.D

asK

AM

-Th

eorem

erklärt

die

Koexisten

zreg

ulärer

un

dch

aotisch

erStru

ktu

renim

Ph

asen-

raum

.D

ieFrag

en

achd

emV

erhalten

von

Qu

anten

systemen

,d

erenklassisch

erG

renzfall

Ch

aos

zeig

tfü

hrt

auf

das

Qu

anten

chao

s.

1.2Exp

erimen

teu

nd

einfach

eM

od

ellezu

md

etermin

istischen

Ch

aos

1.D

asgetrieb

ene

Pen

del

θ+2γθ+g`

sinθ=α

sinωt.

2.D

asR

ayleigh

-Bén

ard-System

inein

erZ

elle.Loren

tz-M

od

ell(3D

):

x=f(x)

220

14-10

-16

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Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

Nic

htli

nea

re

Syst

em

e

Dis

sip

ativ

eSy

stem

e

Bif

ukra

tion

en

Inte

rmit

ten

z

Selt

sam

eA

ttra

kto

ren

Kon

serv

ativ

eSy

stem

eK

lass

isch

eSy

stem

e

Qu

ante

n-

syst

eme

ñ1

Kla

ssifi

kat

ion

von

Syst

emen

,d

ied

eter

min

isti

sch

esC

hao

szei

gen

.

2014

-10

-16

3

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Be

re

ch

nu

ng

de

rM

on

od

ro

mie

ma

tr

ix|B

BB

erechn

un

gd

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od

rom

iematrix

Au

sgehen

dvo

nd

enH

amilto

nsch

enB

ewegu

ngsgleich

un

genin

symp

lektisch

erFo

rmu

lierun

gkön

nen

wir

die

Mon

od

rom

iematrix

berech

nen

.Die

Bew

egu

ngsg

leichu

ngen

lauten

γ=J∇

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wob

eiγ=(q,p)T

der

der

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asenrau

mvek

tor

ist.Linearisieru

ng

der

Bew

egu

ngsg

leichu

ngen

ergib

t

γ=∇γ ⊗

J (∇γ H

) ∣∣γ0 γ

=J∂H∂γ∂γ

∣∣∣∣γ0 ,

wob

ei⊗d

asd

yadisch

ePro

du

kt

bez

eichn

et.Mittels

Integratio

nerh

altenw

ird

ann

die

lineari-

sierteLö

sun

g

γLin =

∫T0

dtJ∂H∂γ∂γ

∣∣∣∣γ0 .

Beach

te,dass

wir

fürγ0

allelin

earu

nab

hän

gigenV

ekto

renb

etrachten

ssen,d

.h.γ

0n

imm

td

ieV

ekto

ren

γ0 =

10...0 ,

010... ,...,

0...01

an.

Som

iterh

altenw

irγ

Lin,iLö

sun

gen

(ien

tsprich

td

erA

nzah

lan

linear

un

abh

ängig

enV

ekto

ren).D

ieM

on

od

rom

iematrix

setzt

sichd

ann

aus

den

Lösu

ngen

zu

samm

en

M=(γ

Lin,1γ

Lin,2...

γLin,i )

.

Nic

htlin

ear

eDy

na

mik

109

1.2|

Ex

pe

rim

en

te

un

de

inf

ac

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

s

3.G

etrieben

ech

emisch

eR

eaktio

nen

:Die

Belo

uso

v-Zh

abotio

nsk

y-Reak

tion

,vereinfach

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A+ByC

Diff

erentialg

leichu

ng

für

die

Kon

zen

tration

en:

cABC =

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Diese

istn

ichtlin

eard

urch

Pro

du

kte

der

Kon

zen

tration

en,z

.B.cA ·c

B .

4.

Ham

ilton

sche

Systeme:H

énon

-Heiles-System

H=12(p

21 +p22 )+

12(q21 +q22 )

︸︷︷

︸H

armon

ischer

Osz

illator

+q21 q2 −

13q32

︸︷︷

︸N

ichtlin

earerK

op

plu

ngsterm

Ind

erPoin

caré-Ab

bild

un

gen

tsprech

enregu

läreStru

ktu

rend

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tegrabilität.Sto

chastisch

eStru

ktu

rend

euten

auf

Ch

aos

hin

.

Das

Ray

leigh

-Bén

ard-Sy

stemin

einer

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T+δT

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ssigkeitssch

icht

zw

ischen

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eiPlatten

mit

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ter-sch

iedlich

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emp

eraturen

imG

ravitation

sfeld.

Die

Flüssig

keit

hat

eine

end

liche

Visk

osität.

Ein

weiterer

An

stiegvo

nδT

resultiert

inch

aotisch

erB

ewegu

ng

(Tu

r-b

ulen

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T+δT

T

Kon

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nsro

llen.

Ein

eFlü

ssigkeit

befi

nd

etsich

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ischen

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eiPlatten

imG

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sfeld.D

erA

bstan

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i-sch

end

enb

eiden

Plattenisth

.Die

ob

erePlatte

wird

auf

kon

stanter

Tem

peratu

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gehalten

,d

ieu

ntere

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irdgeh

eizt

mitT+δT

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llen,d

ieb

eizu

starkem

Heiz

enau

ftretensin

dIn

dik

ator

für

einreg

uläres

Verh

alten.

Wir

kön

nen

das

Systemth

eoretisch

besch

reiben

.U

ns

interessiert

imw

esentlich

end

asG

e-sch

win

dig

keitsfeld

der

Flüssig

keitv(x,t).D

ieA

usg

angsg

leichu

ngen

sind

ñN

avier-Stokes-G

leichu

ng

für

die

Ström

un

g:

%dvdt=F−∇p+µ∇

2v

mit

der

Dich

te%

un

dd

erV

iskositätµ

.Für

die

KraftF

neh

men

wir

die

Gravitatio

nsk

raft%gez

an.

420

14-10

-23

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A|

Zu

rH

au

sd

or

ff

-Dim

en

sio

n

Th

eore

mFü

rje

de

Men

geE∈Rn

exis

tier

tei

nei

nd

euti

gess 0(E)∈[0,∞)

für

wel

ches

gilt:

Hs(E)= 0

,s>s 0(E)

∞,s<s 0(E)

Die

Za

hls 0(E)

hei

ßt

Ha

usd

orff

-Dim

ensi

onvo

nE

Bew

eis

Esse

is 0=

infs≥0

:Hs(E)=0,

insb

eson

der

eis

tHs(E)>0

für

alles<s 0

.Se

iδ,r>0

un

ein

ber

dec

ku

ng

vonE

sod

assd(U)<δ

für

alleU∈β

,dan

nis

t∑ U∈βd(U)s+r≤δr

∑ U∈βd(U)s.

(A.1

)

Un

dd

amit

auch

Hδ,s+r(E)≤δrHδ,s(E).

ImG

ren

zw

ertδ→0

lief

ert

die

s 0≤Hs+r(E)≤

limδ→0δrHδ,s(E).

(A.2

)

Fall

sal

soHs(E)<∞

ist,

sois

tHs+r(E)=0

für

aller>0.

Dam

iter

füll

ts 0

dan

nHs(E)=

0⇒s≥s 0

un

ds>s 0⇒Hs(E)=0,

da

für

jed

ess>s 0

eins 0≤s′<s

exis

iter

tso

das

sHs′(E)=0

ist.

An

gen

om

men

,es

exis

iter

tei

ns<s 0

sod

assHs(E)<∞

ist,

sofo

lgt

dan

n,d

ass

auch

Hs+s 0 2(E)=0,

was

imW

ider

spru

chzu

rD

efin

itio

nvo

ns 0

steh

t.A

lso

gil

tau

ch

s<s 0⇒Hs(E)=∞,

wom

itd

ieB

ehau

ptu

ng

folg

t.

Bem

erku

ng:

Es

gib

tM

engen

mit

Hau

sdorff

-Dim

ensi

on0,

zu

mB

eisp

iel

abzäh

lbar

eM

engen

,n

ich

tab

erm

itH

ausd

orff

-Dim

ensi

on∞

.D

ies

wir

dh

ier

nic

ht

exp

lizit

gez

eigt,

esgil

tab

erHs(E)=0

für

alleE∈Rn

fall

ss>n

ist.

Ç

108

App

end

ix2

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

ñW

ärm

elei

tun

gsg

leic

hu

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dT dt=κ∇2T

mit

der

Wär

mek

apaz

itätκ

.

ñK

on

tin

uit

ätsg

leic

hu

ng:

∂% ∂t+∇·(%v)=0

mit

den

Ran

db

edin

gu

ngenT(x,y,z=h,t)=T 0

un

dT(x,y,z,z=0,t)=T 0+δT

.

Was

kön

nen

wir

tun

um

das

Syst

emzu

vere

infa

chen

?

ñT

ran

slat

ion

sin

vari

anz

iny

-Ric

htu

ng

(vy=0)

.

ñD

ieau

ftre

ten

den

Koeffi

zie

nte

nh

ängen

nic

ht

von

der

Tem

per

atu

rab

,m

itA

usn

ahm

ed

erD

ich

te%=%(1−2δT).

Dam

itkön

nen

wir

die

Kon

tin

uit

ätsg

leic

hu

ng

sch

reib

enal

s

∂u ∂x+∂w ∂z

=0

mitu=vx≡−∂

un

dw=vz≡∂ xψ

.H

ierψ(x,z.t)

ist

led

igli

chei

ne

wei

tere

Fun

kti

on

,d

ied

ieob

igen

Bed

ingu

ngen

erfü

llt.

Dan

nb

rau

chen

wir

ein

enA

nsa

tzfü

rd

asT

emp

erat

urf

eld

:

T(x,z,t)=T 0+δT−δT hz+Θ(x,z,t).

Das

bed

eute

t,d

ass

sich

fürΘ=0

ein

lin

eare

sT

emp

erat

urp

rofi

lau

sbil

det

.Das

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eute

t,d

ass

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ieA

bw

eich

un

gd

avon

angib

t.

Dam

itfo

lgt:

∂ ∂t∇2ψ=−

det∂(ψ,∇

2ψ)

∂(x,z)+ν(∂4 ∂x4+∂4 ∂z4

)ψ+ga∂Θ ∂x

∂ ∂tΘ=−

det∂(ψ,Θ)

∂(x,z)+δT h∂ψ ∂x+κ∇2Θ

mit

der

kin

emat

isch

enV

iskosi

tätν=µ/%

.

Als

Ver

ein

fach

un

gn

ehm

enw

irfo

lgen

de

Ran

db

edin

gu

ngen

an

Θ(0,0,t)=Θ(0,h,t)=ψ(0,0,t)=∇2ψ(0,0,t)=∇2ψ(0,h,t)=0.

Die

ser

lau

bt

ein

eFo

uri

eren

twic

klu

ng

der

Ort

sab

hän

gig

kei

tvo

un

.D

ieB

erü

cksi

chti

-gu

ng

nu

rd

ern

ied

rigst

enT

erm

eli

efer

td

enA

nsa

tz

a1+a2

1 κψ=√ 2X(t)s

in( πa h

) sin( πhz)

πR

RCδTΘ=√ 2Y(t)c

os( πa h

) sin( πhz)−Z(t)s

in( 2π hz)

2014

-10

-23

5

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Zu

rH

au

sd

or

ff

-Dim

en

sio

n|A

AZ

ur

Hau

sdorff

-Dim

ensio

n

ImU

ntersch

iedzu

rM

inkow

ski-D

imen

sion

(imSk

ript

alsH

ausd

orff

-Dim

ensio

nb

ezeich

net)

besch

ränkt

sichd

ieH

ausd

orff

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ensio

nn

icht

auf

end

liche

Üb

erdeck

un

gen

,w

od

urch

die

beid

enG

röß

enim

Allg

emein

enn

icht

gleich

sind

.A

llerdin

gs

stimm

ensie

ind

enrelevan

tenFällen

oft

üb

erein,w

eswegen

die

Min

kow

ski-D

imen

sion

oft

zu

rn

um

erischen

Ap

pro

ximatio

nd

erH

ausd

orff

-Dim

ensio

nverw

end

etw

ird.

Wir

folg

enb

eid

erB

ehan

dlu

ng

der

Hau

sdorff

-Dim

ensio

nd

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erangeh

ensw

eisein

[4].

Den

Au

sgangsp

un

kt

für

die

Defi

nitio

nd

esH

ausd

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-Dim

ensio

nb

ildet

dab

eid

asd

-Dim

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nale

Hau

sdorff

-Maß

.

Defi

nitio

nEs

seiE⊆Rn,δ>0

un

ds>0

.Da

nn

defi

nieren

wir

Hδ,s (E

)=in

fβ(δ)

∑U∈β(ε) d

(U)s,

wobei

das

Infi

mu

ber

alle

abzä

hlb

aren

Überd

ecku

ngenβ(δ)∈

P(R

n)vo

nE

mitd(U)≤

δfü

ralleU∈β(δ)

gen

om

men

wird

.D

abei

istd(U)=

sup |x

−y|

:x,y∈U.

Dass-

dim

ension

ale

Ha

usd

orff-M

vonE

istd

an

nd

efin

ierta

ls

Hs (E)=

limδ→0 H

δ,s (E).

Ï

Für

jedesδ>0

istβQ=Bδ (q)

:q∈Qn

eine

abzäh

lbare

Üb

erdeck

un

gvo

nRn,es

existiertalso

insb

eson

dere

imm

erein

berd

ecku

ngβ(δ)

wie

ind

erD

efin

ition

verwen

det.

Nach

Defi

nitio

nistd(U)≥

0∀U⊆Rn,d

aim

mer

min

desten

sein

berd

ecku

ng

existiert,die

den

An

ford

erun

gen

der

Defi

nitio

ngen

ügt,ist

∀E∈Rn,s≥

0,δ>0

:Hδ,s (E

)≥0.

Beach

te,dassH

δ,s (E)

nich

ten

dlich

seinm

uss.

Zu

dem

istHδ,s (E

)m

on

oto

nfallen

db

ezü

glich

δ,

da

fürδ′≥

δjed

berd

ecku

ngβ(δ)

auch

eine

Üb

erdeck

un

gβ(δ′)

ist.D

amit

existiertd

erG

renzw

ertu

nd

das

Hau

sdorff

-Maß

istw

oh

ldefi

niert.

Bem

erkun

g:

Das

Hau

sdorff

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stelltein

äuß

eresM

aßd

ar.Fü

rein

eB

ehan

dlu

ng

der

Maß

-th

eoretisch

enEig

ensch

aftenvo

nHs ,sieh

e[5].

Ç

An

han

dd

esH

ausd

orff

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eskan

nn

un

die

Hau

sdorff

-Dim

ensio

nein

gefü

hrt

werd

en.D

iesw

irdd

urch

den

folg

end

enSatz

gew

ährt.

Appen

dix

110

7

1.2|

Ex

pe

rim

en

te

un

de

inf

ac

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

s

mit

der

Rayleig

h-Z

ahlR≡gah3δT

/κν

,d

emV

erhältn

isd

erLän

gen

ind

erZ

ellea

un

dRC=π4(1+

a2)3/a

2.Ein

setzen

un

dV

ernach

lässigu

ng

höh

ererH

armon

ischer

liefertd

asLoren

z-Mod

ell

X=−σX+σY

σ=νκ

(Pran

dl-Z

ahl)

Y=rX−Y−XZ

mit

r=

41+

a2

Z=XY−bZ

b=RRC∼δT

wob

eid

erPu

nkt

hier

die

Ab

leitun

gn

achτ=π2(1+

a2)κt/h

2ist.D

iessin

dd

reigek

op

pelte

Diff

erentialgleich

un

generster

Ord

nu

ng.Sie

lassensich

auch

zu

einem

Vek

tor

zu

samm

enfas-

senx=F(x).

1.Sch

ritt:W

irsu

chen

nach

station

ärenLö

sun

gen

.M

athem

atischgeseh

ensin

dd

iesd

ieFixp

un

kteF(x)=

0d

erG

leichu

ng.W

irfi

nd

end

reiFixp

un

kte

x1 =

0,x2,3 =

± √b(r−

1)± √b(r−

1)r−

1

2.Sch

ritt:A

lsn

ächstes

mu

ssd

ieD

ifferen

tialgleichu

ng

um

die

Fixpu

nkte

linearisiert

werd

enu

mStab

ilitätd

ergefu

nd

enen

station

ärenLö

sun

gen

zu

un

tersuch

en.Es

zeig

tsich

:

1.x1 =

0ist

einstab

ilerFixp

un

kt

(λi<0)

für0<r<1.

Dies

entsp

richt

einer

reinen

Wärm

eleitun

g.

2.D

ieLin

earisierun

gd

erLo

renzgleich

un

gu

md

ieFixp

un

ktx2,3

istreell

fürr>1

.

∂Fi

∂xi ∣∣∣∣x=x2,3 =

−σ

σ0

1−1

−c

cc

−b

︸︷︷

︸A

mitc≡

± √b(r−

1).D

ieEig

enw

ertevo

nA

sind

geg

eben

du

rchd

asch

arakteristisch

ePolyn

omχ(λ):

χ(λ)=

det(A

−λ

1)=...=

− [λ3+(σ+b+1)λ

2+b(σ+r)λ+

2bσ(r−

1) ].

Man

erhält

die

Eigen

werte

alsN

ullstellen

vonχ(λ)=

0(vg

l.Ab

bild

un

g2):

r<1

:λ1,2<0,λ

3>0

:instab

ileFixp

un

kte

(x2,3 )

(aberx1 =

0ist

stabil)

r=0

:λ1 =

0,λ2 =−b,λ3 =−(σ+1)

:marg

inal

stabiler

Fixpu

nkt

1<r<r1

:drei

reelleN

ullstellen,λ

1,2,3<0

:stabile

Fixpu

nkte

(x2,3 )

Kon

vektio

n(statio

näres

Gesch

win

-d

igkeitsfeld

)

620

14-10

-23

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3.3

|W

eit

er

eM

et

ho

de

n

ñ30

Spek

tral

eA

nal

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des

Sin

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mit

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gu

nd

Kon

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den

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zw

.der

Ran

dom

-Mat

rix-

Th

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gib

tsi

ch:

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L/15

,Pois

son

1 π2

[ ln(2πL)+γ−

5 4−π2 8

] +O( 1 L)

,GO

E1 π2

[ ln(2πL)+γ−

5 4

] +O( 1 L)

,GU

E12π

2

[ ln(4πL)+γ−

5 4+π2 8

] +O( 1 L),G

SE

Die

Erge

bn

isse

ähn

eln

dab

eid

enen

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spek

tral

eSt

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eit

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ild

un

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zu

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en.

106

App

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ix1

Dis

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χ(λ)

λ

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stra

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un

dd

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Nu

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elle

nd

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arak

-te

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isch

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nom

s.

r 1<r<r C

:Ei

ne

reel

leN

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stel

leλ<0,

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eikom

ple

xeN

ull

stel

lenλ 2,3

mit

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tx2,3

wei

terh

inei

nst

abil

erFi

xpu

nkt

(Kon

vekti

on

).

r=r C

:λ 1<0,λ 2,3=±iω

mitω∈R

:Hop

f-B

ifu

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ion

r>r C

:λ 1<0,λ 2,3

sin

dkom

ple

xm

itR

eλ 2,3>0.

Die

Fixp

un

ktex2,3

wer

den

inst

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.

Ind

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op

f-B

ifu

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teh

enzw

eist

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eG

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zzyk

len

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dis

che

Bah

-n

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stre

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Dar

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z(rr C

)fü

hrt

zu

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un

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hao

s).

1.3

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hem

atis

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s:A

bb

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un

gen

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s)

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un

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,y=f(x).

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ein

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nkt,

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die

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du

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n),n=0,1,2,...

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dim

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on

ale

Ab

bil

du

ng

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xn+1=2x

nm

od1

2.Z

wei

dim

ensi

on

ale

Bäc

ker

-Tra

nsf

orm

atio

n:

xn+1=2x

nm

od1

yn+1=( ayn+1 2[2xn]),a≤1 2

2014

-10

-23

7

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Qu

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te

nc

ha

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|3

3.3

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en

Die

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die

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nd

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mit

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ssagen

der

Ran

dom

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heo

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leichen

.

3.3

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ce

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einen

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m,

lässtsich

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erZ

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de

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+L/2]

besch

reiben

du

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E−L/2%(E′)

dE′ ⟩

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charak

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ße

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die

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Spek

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der

An

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wird

auch

Nu

mber

Va

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ann

t.

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⟨(∫

E+L/2

E−L/2%(E′)

dE′−L )

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E

Siegib

tso

mit

die

Fluktu

ation

enu

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an.Fü

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enPoisso

n-P

rozess,

bzw

.R

and

om

-Matrix-

Th

eorie

ergib

tsich

:

Σ2(L)=

L,P

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L)+γ+1−

π28

]+O(1L )

,GO

E1π 2[ ln(2π

L)+γ+1] +

O(1L )

,GU

E12π

2 [ln(4πL)+

γ+1+

π28

]+O(1L )

,GSE

Dab

eiistγ

die

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on

stanteγ=

limn→∞

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1k−

ln(n)≈

0.57722

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der

Poisso

n-V

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gsin

dd

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end

erA

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bzw

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zu

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,wob

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die

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der

klein

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eriod

ischen

Bah

nist.

3.3

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Neb

end

erN

um

ber

Varian

cegib

tes

auch

noch

weitere

(ähn

liche)

Grö

ßen

zu

rC

harak

teri-sieru

ng

der

Fluktu

ation

en.Ein

Beisp

ielist

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eid

iesp

ektra

leSteifh

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glisch

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lrig

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).Sieist

defi

niert

du

rch

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1L

⟨m

ina,b

∫E+L/2

E−L/2

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EE0 %(E′)

dE′−(a+bE) ]2 ⟩

E

2015-0

7-2310

5

1.3|

Ma

th

em

at

isc

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

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s

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un

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td

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un

gu

nd

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3.Ein

dim

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nale

qu

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bb

ildu

ng

(logistisch

eA

bb

ildu

ng)

xn+1 =

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xn ),xn ∈

[0,1],0<r≤4

4.

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on

-Ab

bild

un

g

xn+1 =

1−ax2n +yn

yn+1 =

bxn,|b|<

1

5.C

hivik

ov-A

bb

ildu

ng

Pn+1 =

Pn −

ksinΘn

Θn+1 =

Θn +

Pn+1

µ

1.3.1

Bern

ou

lli-Versch

iebu

ng

Die

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2xn

mod1.

Dies

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eA

bb

ildu

ng[0,1)→

[0,1)(sieh

eA

bb

ildu

ng

3).

Die

Vorsch

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istein

eV

erschieb

un

gd

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bin

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ng.D

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irdB

ernou

lli-Shift

gen

ann

t.

xn =

0.0111000101...

xn+1 =

0.111000101...

Die

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schaften

dieser

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bild

un

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eratio

nale

Zah

l=⇒xn

istein

ep

eriod

ische

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e

ñx0

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nal

=⇒D

ieFo

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od

isch,d

.h.d

iexn

kom

men

jedem

Wert

in[0,1)

belieb

igoft

belieb

ign

ahe.

820

14-10

-30

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3.2

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he

or

ied

er

Zu

fa

ll

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at

riz

en

(Ra

nd

om

Ma

tr

ixT

he

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nd

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auch

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[3].

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ich

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vial

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ull

stel

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utu

ng:R

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n

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( 1−p

ix−1 2) −1.

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nt

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O

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O(E))

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Nu

llst

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nd

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etaf

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kti

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kan

nn

un

ber

ech

net

wer

den

.

%(x)=−1 π

Imd dx

lnζ(x)

=1 π

Imd dx

∑ pln( 1−p

ix−1 2)

=−1 π

Imd dx

∑ p

∞ ∑ m=1

1 mpm(ix−1 2)

=−1 π

Im∑ p

∞ ∑ m=1

ilnp

pm/2

︸︷︷︸

Ap

exp(im

ln(p)x

︸︷︷

︸S p(x)

)

Hie

rer

ken

nt

man

die

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ale

An

alogie

zu

rG

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ler-

Spu

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elm

itB

ahn

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ern

Ap

un

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doch

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t,d

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irku

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du

rch

Pri

mzah

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wir

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n,

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-an

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ne

Ver

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un

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gef

un

den

wer

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,so

das

sd

ieEi

gen

wer

ted

ieR

iem

ann

sch

en-N

ull

stel

len

wie

der

geb

en.

104

2015

-07-

23

Dis

sip

at

ive

Sy

st

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e|1

N

x

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ein

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raje

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fan

gsw

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Bet

rach

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An

fan

gsw

erte

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0+ε

mitε∈[2−N,2−N+1].

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hN

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nen

un

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den

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die

Folg

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llst

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tis

td

efin

iert

du

rch

:

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ε x0+ε

nIt

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onen

=⇒fn(x

0)

εenλ(x0)

fn(x

0+ε)

wob

eifn+1(x)=f(f

n(x))

Da

mit

folg

td

ieD

efin

itio

nd

esLia

pu

nov

exp

onen

ten

:

λ(x0)=

lim

n→∞

limε→0

1 nln∣ ∣ ∣ ∣f

n(x

0+ε)−fn(x

0)

ε

∣ ∣ ∣ ∣

=li

mn→∞1 n

ln∣ ∣ ∣ ∣dfn(x

0)

dx0

∣ ∣ ∣ ∣

=li

mn→∞1 n

ln

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣n−1 ∏ i=0

f′ (xi)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

Die

ser

ist

ein

Ma

ßfü

rd

ieFe

hle

rver

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rku

ng

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ät)

.Die

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nd

etst

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beiλ>0.

Ï

Defi

nit

ion

Die

inva

rian

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ich

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mt

die

Dic

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ein

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für

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eA

bbildu

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xn+1=f(xn).

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rach

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togra

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un

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che,

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raje

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ie.D

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r∆x→0

un

dN→∞

liefe

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iein

vari

an

teD

ich

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mit

der

Nor

mie

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g∫ %(x)dx=1.

Da

sin

vari

an

teM

oder

die

inva

ria

nte

Dic

hte

ist

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nie

rta

ls

% x0(x)=

lim

N→∞1 N

N ∑ i=0

δ(x−fi (x0))

%(x)=∫

dy%(y)δ(x−f(y))

2014

-10

-30

9

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Qu

an

te

nc

ha

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|3

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PG

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PG

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PG

SE

x

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ñ28

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für

die

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nv

erteilun

gP

P ,G

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PG

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GSE

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verschied

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Systemb

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die

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isku

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dich

ten,b

spw

.:

1.In

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e:Poisso

nverteilu

ng

ñR

echteck

billard

mit

irration

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verhältn

issen

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reisbillard

ñW

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atom

imM

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etfeldb

eiEn

ergienE=Eγ−2/3<−0.5

2.System

em

itZ

eitum

keh

rinvarian

z[H,T]=

0u

ndT2=

1:G

OE-Statistik

ñStad

ion

Billard

ñSin

aiB

illard(sieh

eA

bb

ildu

ng

29)

ñW

asserstoff

atom

imM

agn

etfeldb

eiEn

ergienE=−0.13

<Eγ−2/3<0

3.System

eoh

ne

Zeitu

mkeh

rivarianz:G

UE-Statistik

ñM

ikro

wellen

reson

ator

mit

mag

netisierten

Ferritstreifen

ñR

ydb

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iton

enin

starken

Mag

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ern

Math

ematisch

esM

od

ell:N

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der

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ann

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nktio

n

ζ(s)=

∞∑n=1

1ns =

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zah

lenp

∞∑m=0 p

ms

︸︷︷

︸(1−

p−s) −

1

Die

Zetafu

nktio

nh

atfo

lgen

de

Eigen

schaften

:

ñEin

facher

Pol

beis=

1(h

armon

ische

Reih

e)

ñT

rivialeN

ullstellen

beis=

−2,−

4,−6,...

2015-0

7-2310

3

1.3|

Ma

th

em

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isc

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

s

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1/21

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hd

erlo

gistisch

enA

bb

ildu

ng.

ngt%

nich

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x0

ab,so

heiß

td

as

Systemerg

odisch

1.3.2

Logistisch

eA

bb

ildu

ng

Die

Vorsch

riftlau

tet

xn+1 =

fr (x

n )=rx

n (1−xn )

mit

dem

Kon

trollp

arameter

ru

nter

der

Ein

schrän

ku

ng0<r≤4.D

ien

ullte

Iterierted

erlo

gistisch

enA

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ildu

ng

istin

Ab

bild

un

g5

zu

sehen

.

Dies

istein

math

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esM

od

ellfü

r

ñd

enged

ämp

ften,g

etrieben

enO

szillato

r

ñPop

ulatio

nsd

ynam

ikin

einem

abgesch

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enLeb

ensrau

m.

Welch

eEig

ensch

aftenh

atd

ielo

gistisch

eA

bb

ildu

ng?

Daz

ud

isku

tierenw

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un

kte

fr (x

0 )=x0

un

dd

iep

eriod

ischenn

-Zyk

lenfnr (x

0 )=x0 .

1.D

ieFixp

un

kte

(alsod

ie1

-Zyk

len)

erhalten

wir

alsLö

sun

gen

der

Gleich

un

g

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x0 )=

x0=⇒x0 =

0od

erx0 =

1−1r>0

fürr>1

Der

Fixpu

nkt

iststab

il,falls

|f′r (x

0 )|=|r(1

−2x

0 )|<1,

son

stist

erin

stabil.

Da

|f′r (x

0 =0)|=

ru

nd

dam

itx0 =

0h

and

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ieru

mein

enstab

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un

kt

für

0<r<1

un

dein

enin

stabilen

Fixpu

nkt

fürr>1.M

it|f′r (x

0 =1−

1/r)|=|2−

r|fo

lgtx0 =

1−1/r

,was

stabil

istfü

r1<r<r1 =

3u

nd

instab

ilfü

rr>3

.

2.D

ieFixp

un

kte

des2

-Zyk

lus

sindfr (f

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x0 ,also

x1 =

rx0 (1−

x0 )

x2 =

rx1 (1−

x1 )=

r2x

0 (1−x0 )(1−

rx0 (1−

x0 ))=

x0

1020

14-10

-30

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3.2

|T

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or

ied

er

Zu

fa

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sm

at

riz

en

(Ra

nd

om

Ma

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he

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Die

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erd

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ieru

ng

∫ ∞ 0P(s)

ds=1

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dd

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gsw

ert

∫ ∞ 0sP(s)

ds=1

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mt.

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ten

wir

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das

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he

un

itär

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sem

ble

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P(s)=32 π2s2

e−4 πs2

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Ab

stän

de

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den

wir

das

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hal

ten

P(s)∝s2.

3.2

.3Sy

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em

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mk

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un

dT2=−1

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der

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11h12

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h22

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kti

-sc

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orm

atio

nau

fei

ne

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gon

alfo

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1

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et).

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men

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rsch

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lich

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so

P(s)=

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ner

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eilu

ng

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tik

32 π2s2

e−4 πs2

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rG

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k218

36π3s4

e−64 9πs2

,fü

rG

SE-S

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stik

Die

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nen

Wah

rsch

ein

lich

kei

tsd

ich

ten

sin

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bil

du

ng

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arges

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t.

102

2015

-07-

16

Dis

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at

ive

Sy

st

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3x3+r2(r+1)x2+(1−r2)x=0

fin

den

.D

iese

Lösu

ngen

sin

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) 2−r+1

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Zyk

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lus

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bi-

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das

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det

.Die

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wir

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lus

inst

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un

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Zyk

lus

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t.D

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lus

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den

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1,...,x

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un

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gil

t

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r(xi)=xi,

∣ ∣ ∣ ∣d

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0)∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣ ∣ ∣∏ i

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den

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lus

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du

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lus

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ier n=r ∞−cδ−n

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lus

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ein

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igen

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mkon

stan

te.

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tisc

her

Ber

eich

(r>r ∞

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ov-

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Ber

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d.

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tt(λ<0)

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den

du

rch

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-Zyk

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(p=3,5,6,...),

bei

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kzes

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Bif

urk

atio

nen

auft

rete

n:

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(Ver

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plu

ngen

)

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auch

p,3p,32p,...

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dre

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hu

ngen

)

auß

erd

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chu

ngen4np

,usw

2014

-10

-30

11

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11

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dlnP

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11 −H22 )

dlnP

I12

dImH12 ]

+εy [−

2R

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dlnP

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dH11−

dlnP

22

dH22

)+(H

11 −H22 )

dlnP

R12

dImH12 ]

+εz [2

ImH12

dlnP

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dR

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2R

eH12

dlnP

I12

dR

eH12 ]

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dlnP

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)−1

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dlnP

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dImH12 =

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H22 (

dlnP

11

dH11−

dlnP

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dH22

)−1

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0,

1R

eH12

dlnP

R12

dR

eH12 −

1ImH12

dlnP

I12

dImH12 =

0.

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dieses

Gleich

un

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zu

lösen

,ben

utz

enw

ird

enA

nsatz

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ce −A(H211 +

H222 +

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2(ImH12 ) 2)=

ce −A

trH2

Die

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wird

du

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gb

estimm

t.Wir

verbleib

enm

itd

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on

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A.

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on

alisierun

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n

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00

E− )=UHU†

istm

öglich

mittels

einer

un

itärerT

ransfo

rmatio

n

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cosϑ

−e

iϕsinϑ

eiϕ

sinϑ

cosϑ

)

Som

iterh

altenw

ir:

H11 =

E+

cos2ϑ+E−

sin2ϑ

H11 =

E+

sin2ϑ+E−

cos2ϑ

H12 =

H∗21 =

(E+ −

E− )e

iϕco

sinϑ

det∂(H

11 ,H22 ,R

eH12 ,Im

H12 )

∂(E+ ,E

− ,ϑ,ϕ)

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cosϑ

sinϑ

Mittelu

ng

üb

erϑ

füh

rtau

f

P(E+ ,E

− )=c(E

+ −E− )2

e −A(E2+ +E2−)

Mit

E+ =

E0 +

s2,

E− =

E0 −

s2

2015-0

7-1610

1

1.3|

Ma

th

em

at

isc

he

Mo

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Ch

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Die

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der

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den

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rsu

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on

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nitio

nEin

2n-Su

perzyklu

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persta

biler

Zyklu

s)ist

defi

niert

du

rch

ddx

0 f2nRn (x

0 )=∏

i

f′Rn (x

i )=0

=⇒λ→−∞

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der

logistisch

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ildu

ng

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erSu

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yklu

sim

mer

den

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1/2(f′(x)=

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nu

rb

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).Die

Ab

ständ

edn

sind

defi

niert

du

rch

dn =

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Rn

(12 )−

12

bei

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erzyk

lusr=Rn.

Die

Sup

erzyk

lenu

nd

Ab

ständ

edn

sind

hierb

eiin

Ab

bild

un

g6

schem

atischvisu

alisiert.

Der

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stritt

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0 =2

:

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2x(1−

x)

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klein

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gx=1/2+

εfü

hrt

zu

fR0 (x)=

(1+2ε) (

12−ε )=12−2ε2.

Das

Kon

vergenzverh

altenlässt

sichn

icht

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einen

Liapu

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on

ent

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reiben

,d

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ansp

richt

von

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on

vergen

z.W

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yklen

fin

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beiR

1 =1+

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un

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3.4985.

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skalieren

wie

diern

der

Bifu

rkatio

nsp

un

kte

mit

einem

etwas

and

erenV

orfak

tor

aber

sieh

aben

den

selben

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:

Rn =

r∞−c ′δ

−n

Wied

erholu

ng

zur

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istischen

Abbild

un

g:

Die

Ab

bild

un

gsvo

rschrift

lautet

xn+1 =

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n )=rx

n (1−xn )

wob

ei0<r≤4

un

dfr

:[0,1]→[0,1].

Die

Eigen

schaften

dieser

Ab

bild

un

gsin

d:

1220

14-11-0

6

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3.2

|T

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Zu

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(Ra

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gsw

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mt.

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e−π 4s2

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keh

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ian

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nti

un

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der

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rix

H=( H

11H12

H∗ 12

H22

)

vor.

Eren

thäl

tvi

erre

elle

Par

amet

er

H11,H22,

ReH12,

ImH12,

die

du

rch

Zu

fall

szah

len

gem

äßd

esW

ahrs

chei

nli

chkei

tsm

aßesP(H)

fest

gel

egt

wer

den

.W

ied

erh

aben

wir

ein

ige

Ford

eru

ngen

anu

nse

rW

ahrs

chei

nli

chkei

tsm

aß:

1.N

orm

ieru

ng:∫P(H)dH11

dH22

dR

eH12

dImH12=1

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ist

inva

rian

tu

nte

ru

nit

ären

Tra

nsf

orm

atio

nenU

mitU† U=UU†=

1

3.St

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tisc

he

Un

abh

ängig

kei

t:P(H)=P 1

1(H

11)P

22(H

22)P

R 12(R

eH12)P

I 12(I

mH12)

ImFo

lgen

den

bet

rach

ten

wir

ein

ein

fin

ites

imal

eu

nit

äre

Tra

nsf

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atio

n

U=

1−

iε·σ

mit

ε=(εx,εy,εz)T,

σ=(σ

x,σy,σz)T

Dam

itfo

lgt:

H′=H+

dH

mit

dH=−i[ε·σ,H]

dH11=−2ε x

ImH12−2εy

ReH12

dH22=2εx

ImH12+2εy

ReH12

dR

eH12=ε y(H

11−H22)+2εz

ImH1

dImH12=ε y(H

11−H22)−2εz

ReH1

100

2015

-07-

16

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st

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che

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ne

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ion

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t(F

eigen

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aum

szen

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sch

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a)B

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spu

nkte

des2n

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lus:r n=r ∞−cδ−n

(fü

rn1)

b)

„Su

per

zyk

len

“si

nd

defi

nie

rtd

urc

h

ddx0f2n Rn(x

0)=∏ i

f′ R n(xi)=0

mit

den

Ab

stän

den

dn=f2n−1

Rn

( 1 2

)−1 2,Rn=r ∞−c′δ−

n,

dn

dn+1=−α

fürn1

mit

den

Feig

enb

aum

kon

stan

ten

α=2.5029...,δ=4.6692...

2.D

erch

aoti

sch

eB

erei

chb

efin

det

sich

beir ∞<r≤4

Ç

Die

Ab

stän

de

sin

dgeg

eben

du

rch

dn=f2n−1

Rn

( 1 2

)−1 2.

Die

seFo

rmis

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eru

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and

lich

un

dw

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hre

nei

ne

Koord

inat

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ansf

orm

atio

n(V

ersc

hie

-b

un

g)

du

rch

.

x→x−1 2,f→f−1 2

Dam

itla

ute

td

ieA

bb

ild

un

gsv

ors

chri

ft

xn+1=f r(xn)=r( 1 4−x2 n

)−1 2

wob

eif

:[−1/2,1/2]→[−1/2,1/2]

.D

amit

hab

enw

irx=1/2

nac

hx=0

vers

chob

en,

sod

ass

die

Ab

stän

dedn

nu

nw

iefo

lgt

ges

chri

eben

wer

den

kön

nen

dn=f2n−1

Rn(0).

2014

-11-

06

13

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Qu

an

te

nc

ha

os

|3

Da

wir

ein(2×

2)-Matrixm

od

ellb

etrachten

,lassen

sichd

ieEig

enen

ergien

allgem

einfo

rmu

-lieren

E± =

12(H

11 +H22 )±

12 √(H

11 −H12 )

2+4H

212

Für

belieb

igen

Win

kelϑ

kön

nen

wir

imm

erein

eT

ransfo

rmatio

nfi

nd

en,

sod

assfü

rd

enH

amilto

nop

erator

gilt

H=OT (E+

00

E− )O

H11 =

E+

cos2ϑ+E−

sin2ϑ

H22 =

E+

sin2ϑ+E−

cos2ϑ

H12 =

(E+ −

E− )

cosϑ

sinϑ

Dab

eim

uss

geltenP

(H)

dH11

dH22

dH12 =

P(E+ ,E

− ,ϑ)

dE+

dE−

P(E+ ,E

− ,ϑ)=P(H) ∣∣∣∣

det∂(H

11 ,H22 ,H

12 )∂(E

+ ,E− ,ϑ

)

∣∣∣∣=P(H)|E

+ −E− |

=ce −A

trH2|E

+ −E− |

=ce −A(E2+ +E2−)|E

+ −E− |.

Mit

s=E+ −

E−,

E0 =

12(E+ +

E− )

folg

t

E± =

E0 ±

s2

un

dso

mit

P(s,E

0 )=cs

e −A (

12s 2+

2E20 ) ∣∣∣∣

det∂(E

+ ,E− )

∂(s,E0 )

∣∣∣∣︸

︷︷︸

=1

.

Mittelu

ng

üb

erE0

füh

rtzu

der

Verteilu

ng

P(s)=

∫∞−∞ P

(s,E0 )

dE0 =

se −A2s 2c∫∞−∞

e −2E20

dE0

︸︷︷

︸=c

=cse −

A2s 2

Die

Kon

stanten

cu

ndA

werd

enn

un

noch

mittels

der

Norm

ierun

g∫∞0P(s)

ds=1

2015-0

7-09

99

1.3|

Ma

th

em

at

isc

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

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(Selbstäh

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Au

sd

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Erg

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bau

mkon

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ndδ

füh

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teinα

,sod

ass

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x−α

)=

fürn1

≈f2n−1

Rn(x)

x=0

=⇒−αdn+1 ≈

dn

=⇒dn

dn+1 ≈

−α.

Resk

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hrt

auf

limn→∞ (−

α)nf

2nRn+1 (

x(−α)n )≡g1 (x).

Verallg

emein

erun

gd

iesePrin

zip

serg

ibt−αf2nRn+i (x−α

)≈f2n−1

Rn−1+i (x),

=⇒limn→∞ (−

α)nf

2nRn+i (

x(−α)n )≡gi (x).

Esgilt

dan

n

gi−1 (x)=−αgi (g

i (x−α

))≡Tgi (x)

mit

dem

Verd

op

plu

ngso

perato

rT

.

Bew

eis

gi−1 (x)=

limn→∞ (−

α)nf

2nRn+i−1 (

x(−α)n )

=limn→∞ (−

α)(−α)n−1

f2n−1+1

Rn−1+i

︸︷︷

︸f2 n−

1Rn−1+i f

2 n−1

Rn−1+i (−

1αx

(−α)n−1 )

m=n−1

=limm→∞ (−

α)(−α)mf2mRm+i (

1(−α)m(−α)mf2mRm+i (−

1αx

(−α)m

)

︸︷︷

︸→gi (x/−α)

)

=−αgi (g

i (x−α

))

Füri→

∞erh

altenw

ir

gi (x)=

Tgi (x)

i→∞

:g(x)=

Tg(x)

g(x)=

limi→∞gi (x)

istLö

sun

gd

erFu

nktio

nalg

leichu

ng.

g(x)=

Tg(x)=−αg(g

(x−α

))

1420

14-11-0

6

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3.2

|T

he

or

ied

er

Zu

fa

ll

sm

at

riz

en

(Ra

nd

om

Ma

tr

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he

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nu

nd

iezu

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ale

Tra

nsf

orm

atio

nfü

rkle

ine

Win

kelϑ

O=( 1

−ϑϑ

1

).

Un

ter

die

ser

infi

nit

esim

alen

Tra

nsf

orm

atio

nso

llP(H)

inva

rian

tse

in,e

sfo

lgt

dah

er

H′=OHOT

un

dfü

rd

ieei

nzel

nen

Elem

ente

H′ 11=H11−2ϑH12≡H11+∆H11

H′ 22=H11+2ϑH12≡H22+∆H22

H′ 12=H12+ϑ(H

11−H22)≡H12+∆H12

Die

Än

der

un

gd

esW

ahrs

chei

nli

chkei

tsm

aßes∆P(H)

P(H′ )=P(H)+∆P(H)

mu

ssn

ach

Ford

eru

ng

2ve

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win

den

.

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1

dH11∆H11

) P 22P 1

2+P 1

1

( dP 2

2

dH22∆H22

) P 12

+P 1

1P 2

2

( dP 1

2

dH12∆H12

)

mit

dP ij

dHij=P

ijd

lnP ij

dHij

folg

t

∆P(H)=−ϑ( 2H

12d

lnP 1

1

dH11−2H

12d

lnP 2

2

dH22−(H

11−H22)d

lnP 1

2

dH12

)

︸︷︷

︸=0

P 11P 2

2P 1

2︸

︷︷︸

=P

Au

sd

erB

edin

gu

ng,d

ass

die

Kla

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erve

rsch

win

den

mu

sser

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ten

wir

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( dlnP 1

1

dH11−

dlnP 2

2

dH22

)−

12H

12

dlnP 1

2

dH12

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Ein

eLö

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gd

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rG

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wir

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esch

rieb

end

urc

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kti

on

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2 22+2H2 12)=ce−A

trH2,

wob

eic

un

dA

Kon

stan

ten

sin

d,w

elch

ed

urc

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ieN

orm

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ng

un

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ergi

enE +

un

dE −

un

dso

mit

ein

enEn

ergie

abst

and

∆E=E +−E −.

98

2015

-07-

09

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der

Fun

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on

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ich

un

gli

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td

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igen

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mkon

stan

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=⇒g(0)=−αg(g(0))

=⇒α=−g(0)

g(g(0)).

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chte

,das

sm

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auchµg(x/µ)

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ng

der

Fun

kti

on

algl

eich

un

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wir

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füh

rtd

ies

auf

=⇒α=−

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Lösu

ngsa

nsa

tz:T

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he

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un

dK

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zie

nte

nve

rgle

ich

.Ein

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satz

ist

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=⇒−αg( g

( −x α

))=−α(1+b)−2b

2

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! =1+bx2

Koeffi

zie

nte

nve

rgle

ich

:

−α(1+b)=1

(*)

−2b

2

α=b

(**)

Au

s(*

*)fo

lgt

2b=−α

Ein

setz

enin

(*)

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)=1

α2−2α−2=0

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Gen

auer

:Sie

he

Mat

hem

atic

a-Sk

rip

t.

α=2.5029078751

g(x)=1−1.52763x2+0.104815x4+0.0267057x6+...

Den

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rd

ieFe

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bau

mkon

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gsv

erh

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isse

s

Rn−R∞∼δ−

nfü

rn1

Entw

icklu

ng

vonf R(x)

umf R

∞(x)

f R(x)=f R

∞(x)+(R−R∞)δf(x)+...

Entw

icklu

ng

vonTf R(x):

Tf R=Tf R

∞+(R−R∞)Lf R∞δf

2014

-11-

06

15

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Qu

an

te

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ha

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|3

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eine

belieb

ige

Basis.W

ähle

eine

neu

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i +Tai ψ

i ,ai ∈

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mit

Tψi =ψi

⟨ψj ∣∣ψi ⟩=

δij

Für

die

Matrixelem

ente

gilt

dan

nHij =

⟨ψi ∣∣H∣∣ψj ⟩

=⟨Tψi ∣∣TH∣∣ψj ⟩∗

=⟨Tψi ∣∣H∣∣Tψj ⟩∗

=⟨ψ

i ∣∣H∣∣ψj ⟩∗

=H∗ij .

3.2

Th

eorie

der

Zu

fallsmatriz

en(R

and

om

Matrix

Th

eory

)

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nersch

eV

ermu

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gBei

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tensystem

en(System

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zw.

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len,a

ußer

eventu

ellZeitu

mkeh

rinva

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z)wird

die

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ba

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ng

der

Nivea

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besch

rieben

du

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En

semble

vonZ

ufa

llsmatrizen

,w

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die

Matrix-

elemen

teen

tsprech

end

bestim

mter

Verteilu

ngsfu

nktion

enzu

fällig

gew

äh

ltw

erden

3.2

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steme

mit

Zeitu

mk

ehrin

varian

z[H,T]=

0

Um

Systeme

mit

Zeitu

mkeh

rinvarian

zzu

betrach

tenb

enötigen

wir

das

Ga

ußsch

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ogon

ale

En

semble

(GO

E).

ImFo

lgen

den

betrach

tenw

ird

enH

amilto

nop

erator

inFo

rmein

erreell

symm

etrischen(2×

2)-Matrix

H=(H11

H12

H12

H22 )

mit

Matrixelem

enten

Hij ,

welch

eZ

ufallsz

ahlen

gemäß

des

Wah

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(H)

sind

.Dab

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aben

wir

einig

eFo

rderu

ngen

and

iesesW

ahrsch

einlich

keitsm

aß:

1. ∫∫∫P(H)

dH11

dH12

dH22 =

1

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soll

invarian

tu

nter

orth

ogon

alenT

ransfo

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nenO

der

Form

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cosϑ

−sinϑ

sinϑ

cosϑ

)

sein.

3.D

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enW

ahrsch

einlich

keitsd

ichtenPij (H

ij )so

llenstatistisch

un

abh

ängig

sein,

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.P(H)=P11 (H

11 )P12 (H

12 )P22 (H

22 )

2015-0

7-09

97

1.3|

Ma

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Mo

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um

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rm

inis

tis

ch

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Ch

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s

wob

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die

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ng

des

Verd

op

plu

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perato

rsist

un

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)/∂R|R∞.D

ieLin

earisierun

gvo

nT

ist

Lf δf

=−α(f

+δf)[(f

+δf)(−x/α)]−

f[f(−x/α)]

=−αf

′[f(−x/α)]δf

+δf[f(−x/α)].

Dam

itfo

lgt

fürn

-faches

An

wen

den

vonT

TnfR =

TnfR∞

︸︷︷

︸n→∞

----------------------------------------------------------------------------→g(x) +(R−R∞)L

Tn−1fR∞...L

TfR∞LfR∞δf

︸︷︷

︸n→∞

----------------------------------------------------------------------------→Lngδf

+O[(δf

)2].

Entw

icklu

ng

vonδf(x)

nach

den

Eigen

fun

ktio

nen

vonLg :

Lg ϕ

ν =λν ϕ

ν,δf=∑νcν ϕ

ν

=⇒Lng δf

=∑νcν λnν ϕ

νn

1----------------------------------------------------------------------→

c1 λn1 ϕ

1

wob

eiλ1

der

grö

ßte

Eigen

wert

ist.Dam

itu

nd

mitδ=λ1

un

dh(x)=

ϕ1 :

TnfRn (0)≈

g(0)+

(Rn −

R∞)δnc1 h(0)

=⇒Rn −

R∞=−

1c1 h(0) δ

−n

Also

istd

ieFeig

enb

aum

kon

stanteδ

geg

eben

alsgrö

ßter

Eigen

wert

der

Eigen

wertg

leichu

ng

Lg h(x)=

δh(x)=−αg′ [g

(−xα

)]h(−xα

)+h[g

(−xα

)]

Un

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beim

Feig

enb

aum

szen

ario

Ab

bild

un

gxn+1 =

fr (x

n )m

itein

emM

aximu

mb

eix0 =

0u

nd

eine

neg

ativeSch

warz

sche

Ab

leitun

g

f′′′

f′−32

(f′′′

f′ )

2

<0,

Es

gib

tein

eSelb

stähn

lichkeit

ind

erU

mgeb

un

gd

esM

aximu

ms

injed

erStu

fed

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den

-verd

op

plu

ng

bei

geeig

neter

Resk

alierun

g:

−αfr (f

r (−xα

))≡Tfr (x)≈

fr (x)

Au

sd

ieserSelb

stähn

lichkeit

folg

tlimi→∞

limn→∞fr=Rn+i (x)≡

g(x)

Diese

Fun

ktio

ng(x)

istein

eu

niverselle

Fun

ktio

n(u

nab

hän

gig

vonfr )

un

dLö

sun

gd

erFu

nktio

nalg

leichu

ng

Tg(x)=−αg(g

(−xα

))=g(x)

1620

14-11-0

6

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3.1

|C

ha

os

ink

la

ssis

ch

en

Sy

st

em

en

un

dQ

ua

nt

en

sy

st

em

en

Eser

gib

tsi

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mit

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dg ds

∫ ∞ sP(s′ )

ds′

︸︷︷

︸=P/g

aus

(3.1

)

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dg ds−g)P

Ein

eLö

sun

gd

iese

rD

iffer

enti

algle

ich

un

gla

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t

P(s)=cg(s)e−∫ s 0g(s′ )

ds′

un

dkan

nfü

rin

tegra

ble

Syst

eme

ber

ech

net

wer

den

.

Inte

gra

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Au

sgeh

end

von

der

Toru

squ

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un

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sich

zei

gen

,d

assg(s)

nic

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ängt,

d.h

.g(s)=α.

Die

sen

tsp

rich

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rozes

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ru

nab

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gige

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gnis

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ürP(s)

erh

alte

nw

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als

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ng

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Die

Kon

stan

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un

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den

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erN

orm

ieru

ngsb

edin

gu

ng

∫ ∞ 0P(s)ds=1

un

dd

emm

ittl

eren

Ab

stan

d

s=∫ ∞ 0sP(s)ds=1

gew

on

nen

.Als

End

ergeb

nis

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tsi

ch

P(s)=

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d.h

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ulä

reSy

stem

esi

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pois

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vert

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.Fü

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ine

Wer

tevo

ns

gil

t

P(s)≈cg(s)

Ch

aoti

sch

eSy

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rch

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sch

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tsi

chd

ieW

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and

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Für

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β= 1

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ne

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tum

keh

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vari

anz

Für

Syst

eme

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Zei

tum

keh

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t [H,T]=0

mit

dem

Zei

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rop

erat

orT

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nit

är).

Die

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die

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sch

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n

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1,

Tψ(x,t)=ψ∗ (x,t).

Ver

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sch

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erH

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dem

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tum

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erat

or,

solä

sst

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der

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or

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elle

n.

96

2015

-07-

09

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wer

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ich

un

g

L gh(x)=δh(x)

mit

δ=4.6692...

Der

Fei

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bau

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Bis

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irb

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t

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lim

n→∞Rn=3.5699456

Die

Folg

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ch,a

lso

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die

Folg

en

ich

tm

ehr

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iod

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Folg

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enei

nen

Att

rakt

or.

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erLi

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nov-

Exp

on

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Der

Feig

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aum

attr

akto

rzei

gt

Selb

stäh

nli

chkei

t.

Zu

rK

on

stru

kti

on

:

r<r 1

:Ei

nFi

xpu

nkt

imIn

terv

all[0,2/3].

r 1<r<r 2

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wei

Fixp

un

kte

inzw

eiIn

terv

alle

n.

r n<r<r n+1

:2n

Fixp

un

kte

in2n

Inte

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len

.

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mesn→∞

bil

det

der

Feig

enb

aum

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akto

rei

nFr

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l.

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Bet

rach

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wir

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akt

al

un

dfr

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Dim

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un

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oh

enG

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stäh

nli

chkei

tu

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n.

Die

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ensi

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ein

erM

enge

ist

z.B

.

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nktm

enge:D=0,

ñLi

nie

:D=1,

ñFl

äch

e:D=2,

ñV

olu

men

:D=3.

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chw

enn

sie

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itiv

wir

ken

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ltsi

chd

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wie

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die

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Bet

rach

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ne

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enge

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Dim

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erd

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sie

mitd

-dim

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nm

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hm

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ku

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notw

end

igen

Ku

gel

n.E

sgil

t:

N(ε)∼ε−D

fürε→0

2014

-11-

1317

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Qu

an

te

nc

ha

os

|3

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ng

üb

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itgeeig

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ichtsfu

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nW(x))

P(s)=

∫dnxW(x)δ (s−

√x2 ).

Sub

stitutio

nm

itx=sy

ergib

t

P(s)=

∫dn(sy

)W(sy

)δ (s−s √y2 )

=sn−1 ∫

dnyW(sy

)δ (1−√y2 ),

wob

ei

lims→0 W(sy

)=W(0)

≠0

un

dso

mit

P(s)∝

mitβ=n−1

.

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altenw

iralso

P(s)∝

s,o

rthogon

al

s2

,un

itär

s4

,symp

lektisch

für

klein

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den

betrach

tenw

irein

entfaltetes

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xi =N(Ei )

un

dsu

chen

die

Näch

ste-Nach

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erteilun

gP(s)

für

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ständ

e

s=xi+1 −xi .

Wir

fragenu

ns:Fin

det

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isb

eix=x0

statt,wie

groß

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ann

die

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rschein

lichkeit

für1.

Einein

zig

esEreig

nis

(Level)in[x

0 +s,x

0 +s+

ds]

2.K

einEreig

nis

in[x

0 ,x0 +s]

Um

dieser

Frage

nach

zu

geh

enfü

hren

wir

folg

end

eD

efin

ition

enein

:

ñg(s)

ds:Wah

rschein

lichkeit

für

Ereignis[x

0 +s,x

0 +s+

ds](H

om

ogen

ität:un

abh

ängig

vonx0 )

ñP(s):W

ahrsch

einlich

keitsd

ichte

P(s)=

g(s) (1−

∫s0P(s ′)

ds ′ )

=g(s) ∫

∞sP(s ′)

ds ′(3.1)

2015-0

7-09

95

1.3|

Ma

th

em

at

isc

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

s

`0 =

1n=0

,`0 =

1

n=1

,`0 =

2/3

n=2

,`0 =

4/9

ñ7

Ab

bild

un

gsv

orsch

iftd

erC

anto

rmen

ge:

Mit

jeder

Iteration

wird

aus

dem

Interv

alld

asm

ittlereD

rittelh

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enom

men

.

`0 =

3`0 =

3·43 =

4

ñ8

Die

Koch

sche

Schn

eeflock

e.

Defi

nitio

nD

ieG

röße

D=−

limε→0

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au

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dim

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ge.

Ï

¸Beisp

iel1.

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Can

torm

enge

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bild

un

g7).D

ieÜ

berd

ecku

ng

inStu

fen

ergibt

sichau

s2n

Intervallen

mit

der

Längeεn =

(1/3)n.

N(εn )=

2n,εn =

(13 )

n

=⇒D=−

limn→∞

lnN(εn )

lnεn

=−

limn→∞n

ln2

nln1/3

=ln2

ln3≈0.6309

2.K

och

sche

Ku

rve(A

bb

ildu

ng

8)

Für

dien

-teIteratio

ngilt

`n =

3 (43 )

n−1.

1820

14-11-13

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3.1

|C

ha

os

ink

la

ssis

ch

en

Sy

st

em

en

un

dQ

ua

nt

en

sy

st

em

en

2.H12≠0,

aber

die

Mat

rix

ist

reel

l.N

ivea

ukre

uzu

ng

fall

s

∆=1 4(H

11+H22)2−H2 12

! =0.

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isch

erw

eise

nu

rm

ögli

ch,w

enn

esn=2

Kon

troll

par

amet

ergib

t,b

spw

.λ1

un

dλ 2

.

3.H12≠0

mit

kom

ple

xh

erm

ites

cher

Mat

rix

∆=1 4(H

11+H22)2+(R

eH12)2+(I

mH12)2

! =0.

Erfo

rder

tn=3

Kon

troll

par

amet

er,b

spw

.λ1,λ

2u

ndλ 3

.

Kla

ssis

chin

tegra

ble

Syst

eme:

EB

K-T

oru

squ

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sier

un

gli

efer

tei

nen

voll

stän

dig

enSa

tzvo

nQ

uan

ten

zah

lenn

E n(λ)≈H( I=( n+α 4

) ,λ) .

Zu

stän

de

sin

dd

urc

hd

envo

llst

änd

igen

Satz

von

Qu

ante

nzah

lenn

bes

chri

eben

.Typ

isch

erw

ei-

segen

ügt

die

Var

iati

on

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troll

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ersλ,

um

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Kre

uzu

ng

zw

eier

ben

ach

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Niv

eau

szu

erre

ich

en(F

all

(1))

.Wir

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n,d

ass

bei

kla

ssis

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tegr

able

nSy

stem

enN

ivea

u-

kre

uzu

ngen

mit

gro

ßer

Wah

rsch

ein

lich

kei

tau

ftre

ten

.

Die

Fäl

le(2

)u

nd

(3):

Ree

llsy

mm

etri

sch

e,b

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.kom

ple

xh

erm

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che

Mat

rizen

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ensi

chm

itte

lsort

hogo

nal

en,b

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.un

itär

enT

ran

sform

atio

nen

dia

gon

alis

iere

n.E

rford

erli

che

An

zah

lan

Kon

troll

par

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erfü

rN

ivea

ukre

uzu

ngen

n=

2,o

rth

ogon

al

3,u

nit

är

5,s

ymp

lekti

sch

Zei

tum

keh

rin

vari

anz

fürn=2

un

dn=5:T

,T2=

1,

bzw

.T

,T2=−1

.D

erG

rad

der

Niv

eau

abst

un

gau

sged

rück

td

urc

hd

ieV

erte

ilu

ngP(s)

bei

kle

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Ab

stän

dens

hän

gtvo

nn

ab

P(s)∝sn−1=sβ,

fürs→0

mitβ=n−1.

Bew

eis

Esis

t

P(s)=∑ i

δ(s−∆E i)=〈δ(s−∆E)〉,

mit〈•〉d

erM

ittl

un

ber

alle∆E

.Fü

rkle

ines

(geg

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ber

dem

mit

tler

enA

bst

and

der

Niv

eau

s)is

t∆E

ger

ade

∆E=√ x

2=(x

2 1+x2 2+...+x2 n)1/2.

94

2015

-07-

02

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

` 0=1

n=0,` 0=1

n=1,` 0=2/3

n=2,` 0=(1−1/9)` 1

1/3

1/9

ñ9

Mod

ifizie

rte

Can

tor-

Men

ge.

Die

Üb

erd

ecku

ng

inSt

ufen

ist

du

rch3·4

nIn

terv

alle

der

Län

geε n=(1/3)n

.

N(εn)=3·4

n,ε n=( 1 3

) n

=⇒D=−

lim

n→∞

ln(3·4

n)

nln1/3

=ln4

ln3≈1.2619

µ

Zu

rück

zu

mFe

igen

bau

mat

trak

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Ind

erSt

ufen

,al

sofü

rr n<r<r n+1

fin

den

wir2n

Fixp

un

kte

in2n

Inte

rval

len

.Neh

men

wir

an,d

ass

die

Inte

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lew

ied

iedn

skal

iere

n:

dn

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=⇒ε n∼1 αn,N(εn)=2n

=⇒D'−

lim

n→∞

lnN(εn)

lnε n

=ln2

lnα=0.7555

Gen

auer

fin

den

wir

ε n+1≈[ 1 2

( 1 2+1 α2

)]ε n

=⇒D'−

ln2

ln[ 1 2( 1 2+

1 α2

)]=0.5439

Der

Feig

enb

aum

attr

akto

ris

tei

nFr

akta

lm

itH

ausd

orff

dim

ensi

onD=0.548.

Der

Feig

enb

au-

mat

trak

tor

ist

ein

„dü

nn

esFr

akta

l“,d

.h.d

asFr

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lh

atd

asM

aßµ=0

(Nu

llm

enge)

.

Für

den

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nsi

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isch

eu

nd

chao

tisc

he

Geb

iete

eng

mit

ein

and

erve

rwob

ensi

nd

.Par

amet

erb

erei

che

mit

Liap

un

ov-

Exp

on

entλ>0

bil

den

ein

„fet

tes

Frak

tal“

,d.h

.das

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tal

hat

ein

Maßµ>0

un

dd

ieH

ausd

orff

dim

ensi

onD=1.

¸Bei

spie

lB

eisp

iel

für

ein

„fet

tes

Frak

tal“

(Ab

bil

du

ng

9):

` n=( 1−1 3n

) ` n−1

ε n=1 2

( 1−1 3n

) ε n−1

2014

-11-

1319

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Qu

an

te

nc

ha

os

|3

E0

E1 E

2 E3

E4

E5

x0

x1

x2

x3

x4

x5

N(E)

E

N(E)

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An

zah

lder

Zu

ständ

ber

der

En

ergie.In

blau

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ittlereT

eilchen

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lN(E)

darg

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erSch

nittp

un

kt

beid

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enb

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td

ien

euen

Lev

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dery

-Ach

se).D

ieW

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erK

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imM

ittelein

enA

bstan

dv

on1.

Näch

ste-Nach

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erteilun

g

Häu

figkeitsverteilu

ng:P(s)

für

die

Ab

ständ

esi =xi+1 −xi

liefertein

Histo

gram

m,in

dem

wir

verschied

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eA

usp

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ngen

von

Niveau

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ngen

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ten.

Niev

eauab

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un

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ieden

eK

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ngen

Wir

betrach

tend

enEn

ergieabstan

dzw

ischen

zw

eiN

iveaus,b

eschrieb

end

urch

eine

herm

ite-sch

e2×

2M

atrixH

H=(H11

H12

H∗12

H22 ).

Das

Systemkan

nvo

nein

emod

erm

ehreren

externen

Kon

trollp

arametern

abh

ängen

(z.B

.ma-

gnetisch

eod

erelek

trische

Felder,Seiten

verhältn

isein

esR

echteck

billard

,...).Die

Eigenw

ertesin

d

E± =

12( H

11 +H22 ) ±

√∆

mit

∆=14( H

11 −H22 )

2+|H

12 | 2.

Möglich

eFälle:

1.K

eine

Wech

selwirk

un

gzw

ischen

den

Zu

ständ

en,d

.h.H

12 =0

.

E+ =

H11 (λ),

E− =

H22 (λ),

mit

dem

Kon

trollp

arameter

λ.

Es

kan

nein

eexak

teN

iveaukreu

zu

ng

auftreten

(bei

geeig

neter

Wah

lein

esK

on

trollp

arameters)

2015-0

7-02

93

1.3|

Ma

th

em

at

isc

he

Mo

de

ll

ez

um

de

te

rm

inis

tis

ch

en

Ch

ao

s

Für

die

Üb

erdeck

un

gin

Stufen

hab

enw

ir2n

Intervalle

der

Längeεn.

D=−

limn→∞

lnN(ε)

lnεn=−

limn→∞n

ln2

nln1/2

=1

µ=

limn→∞`n =

∞∏n=1 (1−

13n )=0.5601

>0

µ

Frage:W

ieen

tstehen

die

stabilen

p-Z

yklen

imch

aotisch

enB

ereich?

Tan

gen

tenb

ifurk

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.

ñp

-Zyk

lenen

tstehen

„aus

dem

Nich

ts“.

ñJed

erp

-Zyk

lus

du

rchläu

ftn

achd

erEn

tstehu

ng

einvo

llständ

igesFeigen

bau

msz

enario

mit

Perio

den

verdop

plu

ngen

beir

(p)=r(p)

n.

r(p)

n=r∞−cδ−n

Sup

erzyk

lenb

eir=R(p)

n.

Rn =

r∞−c ′δ

−n

dn

dn+1 =

−α

λ≤0

Logistisch

eA

bb

ildu

ng

beir

=4

f4 (x)=

4x(1−

x),f4

:[0,1]→[0,1]

zeig

terg

od

isches

Verh

alten(k

einA

ttrakto

r).M

ankan

nsich

dies

klarm

achen

,w

enn

man

sub

stituiert:

xn =

12[1−

cos(2π

yn )]≡

h(y

n )

Dam

iterh

ältm

an

xn+1 =

12[1−

cos(2π

yn+1 )]=

4xn (1−

xn )=

[1−co

s(2πyn )][1+

cos(2π

yn )]

=12[1−

cos(4π

yn )]=

12[1−

cos(2π

yn+1 )]

=⇒yn+1 =

2yn

mod1

Dies

istd

erb

ekan

nte

Bern

ou

lli-Shift.D

ieserist

eine

ergod

ische

Folge

in[0,1].D

iein

variante

Dich

teist

kon

stant

%(y)=

1

für

die

Bern

ou

lli-Ab

bild

un

g.Die

invarian

teD

ichte

der

Logistisch

enA

bb

ildu

ng

berech

net

sichp

erD

efin

ition

aus

%(x)=

limN→∞1N

N−1

∑n=0 δ(x

−xn

︸︷︷︸h(x) )

=∫10

dy%(y)

︸︷︷︸

=1

δ(x−h(y))

︸︷︷

︸∑n

1|h ′(y

n)|

2020

14-11-13

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3.1

|C

ha

os

ink

la

ssis

ch

en

Sy

st

em

en

un

dQ

ua

nt

en

sy

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en

ñ26

Segm

ente

ver

sch

ied

ener

Spek

tren

mit

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Niv

eau

s.D

iePfe

ilsp

itzen

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chn

end

asA

uf-

tret

env

on

En

ergie

nie

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der

enA

bst

and

kle

iner

als1/4

ist.

Von

[2].

Hin

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sau

fQ

uan

ten

chao

s

Wir

bet

rach

ten

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stat

isti

sch

eV

erte

ilu

ng

von

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abst

änd

en,w

iesi

eet

wa

inA

bb

ild

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g26

zu

seh

enis

t..D

erA

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and

zw

eier

ben

ach

bar

ter

Lin

ien

s n=E n+1−E n

füh

rtau

fei

ne

Häu

figkei

tsve

rtei

lun

gP(s),

bsp

w.e

inH

isto

gra

mm

.Da

die

mit

tler

eZ

ust

and

s-d

ich

ted(E)

jed

och

mei

stvo

nd

erEn

ergi

eab

hän

gt,s

tell

td

ies

ein

Prob

lem

dar

.Ab

hil

fesc

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ieN

orm

ieru

ng

des

Spek

tru

ms,

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.Norm

ieru

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der

Lin

ien

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änd

eau

fei

nen

kon

stan

ten

mit

tler

enA

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and

.Die

sw

ird

auch

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»En

tfal

tun

gd

esSp

ektr

um

s«b

ezei

chn

et.

En

tfal

tun

gd

esSp

ektr

um

s

An

zah

ld

erZ

ust

änd

e

N(E)=∑ nΘ(E−E N)=N(E)+Nf(E)

mitNf(E),

den

flu

ktu

iere

nd

enA

nte

ilen

un

d

N(E)=

1(2π)d

∫ddq

ddpΘ(E−H(p,q))

imPh

asen

rau

m(H≤E

).Si

ehe

Ab

bil

du

ng

27.D

ieEn

tfal

tun

gis

tei

ne

Ab

bil

du

ngxi=N(Ei)

mit

dxi

di=

dN dE

∣ ∣ ∣ ∣ Ei

·dE i di=d(Ei)·

1d(Ei)=1.

Stat

isti

sch

eU

nte

rsu

chu

ng

der

entf

alte

ten

Folg

exi.

92

2015

-07-

02

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

mit

den

Lösu

ngenyn

der

Gle

ich

un

gco

s(2πyn)=1−2x

=1 π

2|s

in(2πy1)|

mity1=1 2π

arcc

os(1−2x)

=1 π

1√ x(1−x)

Som

itzei

gtsi

ch,d

ass

ein

ekon

stan

tein

vari

ante

Dic

hte

,wie

sie

etw

ad

ieB

ern

ou

lli-

Ab

bil

du

ng

bes

itzt,

nic

ht

zw

angsw

eise

mit

chao

tisc

hen

verh

alte

nei

nh

ergeh

t.

1.4

Inte

rmit

ten

zro

ute

zu

mC

hao

s

Als

Inte

rmit

ten

zb

ezei

chn

etm

and

ieU

nte

rbre

chu

ng

ein

erp

erio

dis

chen

Bew

egu

ng

du

rch

chao

tisc

he

Ph

asen

.M

itIn

term

itte

nzro

ute

bez

eich

net

man

die

Zu

nah

me

der

chao

tisc

hen

Ph

asen

bei

Var

iati

on

ein

esK

on

troll

par

amet

ers

bis

sch

ließ

lich

die

Bew

egu

ng

voll

kom

men

chao

tisc

hw

ird

.M

anu

nte

rsch

eid

etzw

isch

end

rei

vers

chie

den

enT

ypen

von

Inte

rmit

ten

zje

nac

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ypd

erve

ran

twort

lich

enB

ifu

rkat

ion

(nac

hPom

eau

un

dM

ann

evil

le,1

980

):

Ty

pI:

Tan

gen

ten

bif

urk

atio

n,

Ty

pII

:H

op

f-B

ifu

rkat

ion

,

Ty

pII

I:In

vers

ePer

iod

enve

rdop

plu

ng

(Gab

elb

ifu

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ion

).

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Ein

Bei

spie

lw

äre

die

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stis

che

Ab

bil

du

ng

bei

mV

ersc

hw

ind

end

esp=3-

Zyk

lus

bei

r=r C=1+√ 8≈3.83

.

xn+1=ε+xn+µx2 n

ε>0

xn

xn+1

ε

Frag

e:W

iela

ng

sin

dd

ien

ich

tch

aoti

sch

en(l

amin

aren

)Ph

asen

,od

erge

nau

erw

asis

td

ieZ

ahl

der

Iter

atio

nss

chri

tte

ein

erla

min

aren

Ph

ase?

An

twort

:

xn+1=xn+ε+µx2 n

xn+1−xn

︸︷︷

︸(*

)

=ε+µx2 n,µ>0

2014

-11-

2021

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Qu

an

te

nc

ha

os

|3

3Q

uan

tench

aos

3.1

Ch

aos

ink

lassischen

System

enu

nd

Qu

anten

system

en

ñK

lassische

chao

tische

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ahn

ensin

din

stabile

Lösu

ngen

da

nich

tlineare

Bew

e-gu

ngsleich

un

gen

(Liapu

nov

Expon

entλ>0

)au

ftreten.

ñQ

uan

tenm

echan

ik:W

ellenfu

nktio

nen

(Zu

ständ

e)sin

dLö

sun

gen

der

Schrö

din

gerg

lei-ch

un

g(lin

eareSG

L)

i∂t ψ(x,t)=

Hψ(x,t),

wob

eid

erH

amilto

nop

eratorH

un

dd

iezeitlich

eA

bleitu

ng∂t

lineare

Op

eratoren

sind

.H

ierstellt

sichd

ieFrage

nach

dem

Ch

aos,b

zw

.was

man

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terQ

uan

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verstehen

kan

n.So

mit

such

enw

irletz

tlichein

eD

efin

ition

von

Qu

anten

chao

soh

ne

den

ckgriff

auf

das

korresp

on

dieren

de

klassisch

eSystem

.

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ielevo

nSp

ektren

(Darg

estelltin

Ab

bild

un

g26

):

ñW

asserstoff

atom

imM

agn

etfeld

ñPoisso

n:U

nkorrelierte,z

ufällig

eEreig

nisse

(z.B

.Rad

ioak

tiverZ

erfall)

ñFo

lge

von

Prim

zah

len

ñStreu

pro

zess:

n+166

Er,K

ernan

regu

ngen

(Vielteilch

ensystem

mit

starker

Wech

selwir-

ku

ng)

ñSin

ai-Billard

ñN

ullstellen

der

Riem

an

nsch

enZ

etafu

nktion

ζ(s)=

∞∑n=1

1ns =

∏p

(∞∑n=0

1pns )=∏p

(1−p−s )−

1,

wob

eip

nach

dem

zw

eitenG

leichh

eitszeich

end

asPro

du

kt

üb

eralle

Prim

zah

lensym

bolisiert.D

ien

ichttrivialen

Nu

llstellenliegen

auf

der

Ach

ses=

1/2+ix

mitx∈R

(Riem

ann

sche

Verm

utu

ng).

ñU

nifo

rmes

Spek

trum

(z.B

.1dh

armon

ischer

Osz

illator)

2015-0

7-02

91

1.4|

Int

er

mit

te

nz

ro

ut

ez

um

Ch

ao

s

Dab

eiist

(*)klein

für

Iteration

enin

nerh

albd

esT

un

nels

dx.

dxdn=ε+

µx2

=⇒∫

dxε+

µx2 =

∫dn

=⇒n∼∫∞−∞

dxε+

µx2 =

π√µε

=⇒n∼1√ε

Dies

istd

ieZ

ahl

der

Iteration

sschritte

einer

lamin

arenPh

ase.

Lamin

aresSig

nal:m

on

oto

nw

achsen

d

xn+1

n

Ty

pII

Wie

bereits

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nt

trittd

ieIn

termitten

zin

der

Hop

f-Bifu

rkatio

nau

f.Betrach

teein

ezw

eidim

ensio

nale

Ab

bild

un

gin

der

Um

geb

un

gd

erH

op

f-Bifu

rkatio

n

rn+1 =

(1+ε)r

n +µr3n,µ>0

ϑn+1 =

ϑn +

Ω

rn+1 −rn =

εrn +

µr3n

drdn=εr+

µr3

n∼∫∞r0

drεr+

µr3 ∼

ε<0

xn

xn+1

ε>0

xn

xn+1

Lamin

aresSig

nal:Sp

iralen

2220

14-11-20

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

Off

ene

Syst

eme:

ñD

ieH

amil

ton

fun

kti

on

des

inve

rtie

rte

har

mon

isch

eO

szil

lato

rsis

t

H=

1 2m(p

2 x+p2 y)+m 2(ω

2 xx2−ω2 yy2).

Esex

isti

ert

ein

eis

oli

erte

inst

abil

ep

erio

dis

che

Bah

nen

tlan

gd

erx

-Ach

se:

dO

SC(E)=

1ωx

∞ ∑ r=1

(−1)r

sin

h( rπωx

ωy

)co

s( 2πrE

ωx

) .

ñD

erSt

ark

Effek

tb

eiE>0.

Die

Ham

ilto

nfu

nkti

on

ist

H=1 2p2−1 r+Fz=E>0.

Esex

isti

ert

ein

eis

oli

erte

per

iod

isch

eB

ahn

entl

ang

der

(posi

tive

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-Ach

se.

µ

Typ

isch

für

geb

un

den

ech

aoti

sch

eSy

stem

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t,d

ass

die

An

zah

ld

er(p

rim

itiv

en)

per

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enB

ahn

enex

pon

enti

ell

mit

der

Wir

ku

ng

wäc

hst

#(P

Om

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O<S)∝

eµS

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eiµ

als

ein

eA

rtEn

trop

ieau

fgef

asst

wer

den

kan

n(µ>0)

.

Zu

dem

ist

die

Kon

verg

enz

der

PO

-Su

mm

en

ich

tges

ich

ert,

den

n

APO∝

e−1 2λ P

POS P

PO

Hie

ris

tλ>0

der

Liap

un

ov

Exp

on

ent.

Die

Spu

rform

elis

tje

doch

für

λ>2µ

abso

lut

kon

verg

ent.

Typ

isch

eSy

stem

ew

eise

nei

nen

Liap

un

ov

Exp

on

ente

nm

itλ<2µ

auf,

wes

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bkei

ne

(ab

solu

te)

Kon

verg

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der

Spu

rform

elau

ftri

tt.

Ein

ein

fach

erV

ersu

chb

este

ht

dar

ind

ieB

ahn

sum

me

abzu

sch

nei

den

,b

spw

.b

eiS P

O<S m

ax.

Dam

iter

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ten

wir

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Zu

stan

dsd

ich

tein

nie

dri

ger

Au

flösu

ng.

Even

tuel

lis

tes

dan

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ögl

ich

ein

zel

ne

sem

ikla

ssis

che

Eigen

wer

tezu

iden

tifi

zie

ren

.

Wu

nsc

h:

Ber

ech

nu

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mögl

ich

stvi

eler

un

dge

nau

erse

mik

lass

isch

erEi

gen

wer

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ittl

esei

ner

mögli

chst

ger

ingen

An

zah

lvo

nB

ahn

en.

Ç

En

twic

klu

ng

vers

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erR

esu

mm

atio

nst

ech

nik

enzu

rB

esch

leu

nig

un

gd

erK

on

verg

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sem

ikla

ssis

cher

Spu

rfom

eln

.Sp

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lle

Met

hod

en:

ñC

ycle

-Exp

ansi

on

(Eck

har

du

nd

Civ

itan

ovi

c,19

89

)

ñPse

ud

o-O

rbit

Entw

icklu

ng

(Ber

ryu

nd

Kea

tin

g,1

99

0)

ñH

arm

on

isch

eIn

vers

ion

(An

wen

du

ng

nic

ht

lin

eare

rV

erfa

hre

nzu

rh

och

aufl

öse

nd

enSi

gn

alan

alys

e)

90

2015

-07-

02

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

r n

Ty

pII

IH

ier

trit

td

ieIn

term

itte

nz

bei

der

inve

rsen

Peri

od

enve

rdop

plu

ng

auf

(Gab

elb

ifu

rka-

tion

).

xn+1=−(1+ε)xn−µx3 n,µ>0

∣ ∣ ∣ ∣dx

dn

∣ ∣ ∣ ∣=c|x|+µ|x|3

sieh

eT

ypII

=⇒n∼1 ε

ε<0

xn

xn+1

ε>0

xn

xn+1

Lam

inar

esSi

gn

al:a

lter

nie

ren

dw

ach

sen

d

xn

n

1.5

Selt

sam

eA

ttra

kto

ren

ind

issi

pat

iven

Syst

emen

Die

Bes

chre

ibu

ng

dyn

amis

cher

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eme

erfo

lgt

du

rch

dis

kre

teA

bb

ild

un

gen

od

erkon

tin

uie

r-li

che

Flü

sse.

Ein

kon

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uie

rlic

her

Flu

ssis

td

efin

iert

du

rch

ein

Diff

eren

tial

gle

ich

un

gss

yste

m

2014

-11-

2023

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

2.2

.5.2

Berech

nu

ng

semik

lassischer

Spek

trenm

ittelsk

lassischer

perio

disch

erB

ahn

en

Die

semik

lassische

Spu

rform

elist

du

rch

dSC

L =d(E)+

∑PO A

PO

cos (1S

PO −

π2σ

PO )

=d+d

OSC

geg

eben

,w

ob

eiAPO

eine

Am

plitu

de

ist.D

asPro

blem

,w

elches

sichn

un

stelltist,

dass

esu

nen

dlich

vielep

eriod

ische

Bah

nen

gib

t,b

zw

.b

ereitsu

nen

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vieleR

epetitio

nen

einer

einzig

enp

rimitiven

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disch

eB

ahn

.D

aher

gilt

nu

nim

Folg

end

end

ieA

nn

ahm

e,d

asses

nu

rein

eiso

liertein

stabile

prim

itivep

eriod

ische

Bah

n(PPO

)(u

nd

ihre

Rep

etition

en)

gibt.Fü

rein

Systemm

itN=2

Freiheitsg

raden

erhalten

wir

dan

n

dO

SC =T

PPO

π

Re∞∑r=1

ei(S

PPO −πσ

PP0 /2)r

√∣∣d

et (MrPPO −

1 ) ∣∣,

wob

eiM

PPO,

die

symp

lektisch

eM

on

od

rom

iematrix,

die

Eig

enw

erteλ=

eu

un

d1/λ

=e −u

enth

ält.Die

Determ

inan

teim

Nen

ner

istd

emn

ach

∣∣d

et (MrPPO −

1 ) ∣∣=( eµr−

1)( e −µr−

1)

=4

sinh2 (µr2

).

Berü

cksich

tigen

wir

die

Wu

rzel,

sow

ieµr0

kan

nd

erN

enn

erw

iefo

lgt

um

gesch

rieben

werd

en

√∣∣d

et (MrPPO −

1 ) ∣∣=2

sinh (µr2

)≈

eur2.

Dam

iterh

altenw

ir

∞∑r=1

ei (S

PPO −

12πσ

PPO )r

√∣∣d

et (MrPPO −

1 ) ∣∣≈

∞∑r=1 [

ei (S

PPO −

π2σ

PPO −

12u

PPO ) ]

r.

Un

terV

erwen

du

ng

der

geo

metrisch

enR

eihe

∞∑r=1 z

r=1

1−z,

die

abso

lut

kon

vergen

tfü

r|z|<1

ist,n

imm

td

erosz

illierend

eT

eild

erZ

ustan

dsd

ichte

die

Form

dO

SC =T

PPO

π

Re [

ei(S

PPO −

π2σ

PPO ) −

12u

PPO

1−e

i(S

PPO −

π2σ

PPO ) −

12u

PPO ]

an.V

erschw

ind

etd

erN

enn

er,soh

aben

wir

Pole

ind

erZ

ustan

dsd

ichte.

2015-0

6-25

89

1.5|

Se

lt

sa

me

At

tr

ak

to

re

nin

dis

sip

at

ive

nS

yst

em

en

ersterO

rdn

un

g.

x=F(x),x∈Rn

Dissip

ativh

eißt,

einb

eliebig

esV

olu

men

elemen

t,d

asd

urch

eine

FlächeS

imPh

asenrau

mx

um

schlo

ssenw

ird,sich

imLau

fed

erZ

eitau

fN

ull

zu

samm

enzieh

t.

Div

ergen

zth

eorem

dVdt=∫

Vdnx

n∑i=1

∂Fi

∂xi

für

dissip

ative

Systeme

gilt

dVdt<0.

Ï

¸Beisp

ielEin

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ielfü

rein

end

issipativen

Fluss

istd

asLo

renzm

od

ell.

X=−σX+σY

Y=−XZ+rX−Y

Z=XY−bZ

Man

kan

nd

iesin

Matrixsch

reibw

eiseü

berfü

hren

x=F(x)

divF=−(σ+1+

b)<0

=⇒V(t)=

V0 e −

(σ+1+b)t

Die

Lösu

ng

fürt→

∞kan

nein

stabiler

Fixpu

nkt

sein,ab

erfü

rb

estimm

teParam

eter(z

.B.

r=28

,σ=10

,b=8/3

),existierenkein

estab

ilenFixp

un

kte,d

ieB

ahn

ensin

dch

aotisch

Wie

verträgtsich

das

chao

tische

Verh

altenm

itd

erFo

rderu

ng

eines

fürt→

∞versch

win

den

-d

enV

olu

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s?D

ieB

ahn

läuft

geg

enein

enso

gen

ann

tenseltsa

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Attra

ktor.

Zu

mB

egriff

:

Attrak

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Alle

Bah

nen

inein

emb

eschrän

kten

Geb

ietd

esPh

asenrau

mes

werd

enfü

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inrei-

chen

dlan

ge

Zeiten

zu

mA

ttrakto

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ingez

ogen

.

Seltsam:

Au

fd

emA

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rgib

tes

eine

sensitive

Ab

hän

gig

keit

von

den

An

fangsb

edin

-gu

ngen

,d

.h.tro

tzV

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kon

traktio

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üssen

die

Längen

nich

tin

alleR

ichtu

ngen

abn

ehm

en.A

nfän

glich

infi

nitesim

alb

enach

barte

Pu

nkte

entfern

ensich

expon

entiell

von

einan

der

auf

dem

Attrak

tor.

Eigensch

aften:A

lleb

isher

gefun

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renin

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ativenSystem

enh

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eine

geb

roch

ene

Hau

sdorff

dim

ensio

n,sin

dalso

Fraktale.

Die

notw

end

igen

Bed

ingu

ngen

für

das

Au

ftretenein

esseltsam

enA

ttrakto

rssin

d:

ñStreck

un

gd

esV

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elemen

tsin

min

desten

sein

erD

imen

sion

,

ñA

bn

ahm

ed

esV

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s,Schru

mp

fun

gin

den

and

erenD

imen

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en,

ñB

eschrän

ku

ng

des

Geb

iets(erlau

bten

Ph

asenrau

mb

ereichs),Faltu

ngsp

rozess.

2420

14-11-20

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

2.2

.5A

nw

end

un

gd

erG

utz

wil

ler-

Spu

rform

el

2.2

.5.1

Inte

rpre

tati

on

der

Qu

ante

nsp

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dan

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der

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die

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88

2015

-06

-25

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2014

-11-

2025

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Ko

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rv

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ive

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PO )

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PO ) )

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nν(0)(t=

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···...

1···

······

......

λ···

···...

......

1/λ···

......

......

...

Die

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atrix,d

iein

der

Gu

tzw

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rform

elfü

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Bah

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nterm

atrix,die

nich

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Eigen

werte

1en

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.

2015-0

6-25

87

1.5|

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lt

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At

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Die

Ab

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un

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1.5.1

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trop

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ielA

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n.

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nalen

Ph

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Wah

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lich-

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0)in

Kästch

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τ)

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ndx(t=

nτ)

inK

ästchen

in.D

ieG

röß

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i0 ...inlnPi0 ...in

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ann

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nal

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,die

man

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cht,u

md

asSystem

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mit

der

Gen

auig

keit`

zu

lokalisieren

.Kn+1 −Kn

istd

ieIn

form

ation

,die

2620

14-11-27

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2.2

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6.

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cht

Kom

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erB

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inat

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∂2S

∂x′ ∂E

∂2S

∂E∂x

∂2S

∂E∂E

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∂E∂q

∂2S

∂E∂q′

det

∂2S

∂x′ ⊥∂x′ ⊥

mit

∂S ∂x=p

∂S ∂x′=−p

′∂S ∂E=t

folg

t

D=(−1)N1 qq′

det∂p

′ ⊥∂x

Die

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Wir

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Bah

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dx

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mit

Wij(q)=(

∂2S

∂x⊥∂x⊥+

∂2S

∂x⊥∂x′ ⊥+

∂2S

∂x′ ⊥∂x⊥+

∂2S

∂x′ ⊥∂x′ ⊥

) x⊥=x′ ⊥=0

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Bah

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zei

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hem

atis

chau

fwen

dig

),d

ass

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D(q)

∣ ∣ ∣ ∣ ∣=q2|d

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PO−

1|

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t.D

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ch

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SCL=1

∑ PO

ei/S P

O(E)−

iπ2(µ+ν)

1|d

etM

PO−

1|∫

1 qdq

86

2015

-06

-18

Dis

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at

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war

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s.

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m`→0

lim

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N−1 ∑ n=0(K

n+1−Kn)

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limτ→0li

m`→0

lim

N→∞1 Nτ

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P i0...i N

lnP i0...i N

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chte

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egu

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Bah

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sver

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i 0=P i0→−∑

i 0...i N

P i0...i N

lnP i0...i N

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un

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un

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tisc

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egu

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hb

arte

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ren

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i 0

P i0...i N=

e−λNτ·P

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mitP i0=1

füri 0

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nst

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P i0...i N

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e−λNτ

lnP i0...i N

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Die

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du

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dem

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n)

Liap

un

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-dim

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Ab

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nLi

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K=∫

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i

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wob

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die

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ttra

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t.

2014

-11-

2727

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Ko

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ermetw

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un

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rd

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2

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r≈−m2π

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wob

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der

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un

dr=|x−x′|

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td

iem

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dsd

ichte

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tr[ Im(G(x′,x,E))] =

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22 ∫

d3x√2m(E−V(x))

Die

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An

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lan

Zu

ständ

enlau

tetso

mit

N(E)=

∫E−∞d(E′)

dE′=

∫∞−∞d(E′)Θ(E−E′)

dE′

=m

2π22 ∫

d3x∫∞−∞kΘ(E−H(x,k))

dE′

=m

2π22 ∫

d3x∫∞−∞

2

mk2

dkΘ(E−H(x,k))

=18π

3 ∫d3x∫

d3kΘ(E−H(x,k))

=1

(2π)3 ∫

d3x∫

d3pΘ(E−H(x,p))

d(E)=

dN(E)

dE=

1(2π

)3 ∫

d3x∫

d3pδ(E

−H(x,p))

5.B

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un

gd

erSp

ur

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Lm

ittelsstatio

närer

Ph

asenap

pro

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n

trG+E,SC

L =2π

(2π

i)(N+1)/2 ∫

dNx

∑k.T

j, √|D|e −iS(x

,x,E)−

iµπ/2

Station

ärePh

ase:(∂S(x

,x,E)

∂x

)

x0 =

(∂S(x

,x′,E)

∂x′

︸︷︷

︸=−p′

+∂S(x

,x′,E)

∂x︸

︷︷︸

=p

)

x=x′=x0

=−p′+p=0

Hier

variierenw

irb

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men

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nS(x

,x′,E)

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un

dEn

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An

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dp

den

En

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erSu

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e∑

k.T

j, nu

rd

iejenig

enklassisch

enT

rajekto

rienb

ei,d

ied

ieB

edin

gu

ngx=x′

un

dp=p′

erfüllen

,alsoerstreck

tsich

die

Sum

me

üb

eralle

perio

disch

enB

ahn

en.

2015-0

6-18

85

1.5|

Se

lt

sa

me

At

tr

ak

to

re

nin

dis

sip

at

ive

nS

yst

em

en

3.Sto

chastisch

e(z

ufällig

e)B

eweg

un

g:A

nfän

glich

ben

achb

artePu

nkte

sind

mit

gleich

erW

ahrsch

einlich

keit

üb

eralle

erlaub

tenK

ästchen

verteilt.

Pi0 =

1fü

reini0 ,0

son

st

Pi0 i1 =

`dV1

=⇒−∑i0 ...iN

Pi0 ...iN︸︷︷︸

`d/V

lnPi0 ...iN

︸︷︷

︸ln`d/V

∼ln1`

`→0

===========================================================⇒K→∞

DieK

-En

trop

ieb

estimm

td

iem

ittlereZ

eitTm

,fü

rd

iem

and

enZ

ustan

dein

esSystem

svo

rhersagen

kan

n.Ein

Intervall`

wäch

stn

achn

Zeitsch

rittenzuL∼`

exp(λn).Ist

L>1

,sokön

nen

wir

die

Trajek

torie

nich

tm

ehr

lokalisieren

,d

.h.gen

aue

Vorh

ersagen

sind

nu

rfü

rZ

eitenn<Tm

möglich

.Som

itkön

nen

wir

schreib

en

L∼`

eλTm

=⇒Tm∼1λ

ln (1` )

Tm∼1K

ln (1` )

`ist

die

Gen

auig

keit

der

Lokalisieru

ng

des

An

fangsz

ustan

des.

Imletz

tenSch

ritth

aben

wir

den

Liapu

nov-E

xpon

entλ

mit

der

Kolm

ogoro

v-En

trop

ieersetz

tu

nd

soTm

auf

höh

ereD

imen

sion

engen

eralisiert.Wich

tigist

hierb

ei,dass

Tm

von`

nu

rlo

garith

misch

beein

flu

sstw

ird.

Wie

wir

sehen

werd

en,stellt

die

Kolm

ogo

rov-En

trop

ieein

efu

nd

amen

taleG

röß

ed

ar,mit

der

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chao

tisches

Verh

altench

arakterisieren

kön

nen

.Ein

Attrak

tor

mit

positiver

Kolm

ogo

rov-

Entro

pie

kan

nso

mit

alsseltsam

erA

ttrakto

rd

efin

iertw

erden

.

1.5.2

Ch

arakterisieru

ng

des

Attrak

tors

du

rchein

gem

essenes

Sign

al

Frage:

Kön

nen

wir

aus

der

Messu

ng

des

Zeitsig

nals

einer

chao

tischen

Trajek

toriex(t)=

(x1 (t),x

2 (t),...)au

fEig

ensch

aftend

esA

ttrakto

rs(Frak

taleD

imen

sion

,K-E

ntro

pie)

schlie-

ßen

?

Betrach

ted

azu

die

Disk

retisierun

gd

erT

rajekto

riex(t=

0),x(t=

τ),

...,x(t=

Nτ)

auf

dem

seltsamen

Attrak

tor

un

dd

ieA

ufteilu

ng

des

Phasen

raum

esin

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mit

Kan

tenlän

ge`

.D

ann

ist

Pi =

limN→∞Ni

N

die

Wah

rschein

lichkeit

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Trajek

torie

inZ

ellei

zu

fin

den

mitNi

der

Zah

ld

erPu

nkte

x(t=

jτ)

inK

ästcheni

(i=1,...,M

(`)).

Esist

tzlich

die

Beg

riffe

der

Dim

ensio

nu

nd

Entro

pie

zu

verallgem

einern

.

2820

14-11-27

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

ergib

tsi

ch

G+ E,

SCL=

2π(2π

i)(N+1)/2

SCL,

Efe

st

√ |D|e

iS(x,x′ ,E)−

iµπ/2

mit

der

Wir

ku

ng

entl

ang

der

kla

ssis

chen

Bah

n

S(x,x′ ,E)=R(x,x′ ,t)+Et=∫ x x

′p

dx

un

d

D(x,x′ ,E)=

c( ∂

2R

∂t2

) t 0

=d

et

∂2S

∂x∂x′

∂2S

∂x′ ∂E

∂2S

∂E∂x

∂2S

∂E∂E

sow

ie.

µ= κ

,∂2R

∂t2

∣ ∣ t0>0

κ+1,∂

2R

∂t2

∣ ∣ t0<0

2.2

.4.3

Weg

zu

rse

mik

lass

isch

enZ

ust

and

sdic

hte

(Gu

tzw

ille

r-Sp

urf

orm

el)

Die

letz

ten

Ab

sch

nit

teh

atte

nd

asZ

iel

ein

ese

mik

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isch

eN

äher

un

gd

erZ

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and

sdic

hte

d(E)

zu

erh

alte

n,w

elch

eau

ssch

ließ

lich

von

Para

met

ern

der

kla

ssis

chen

Bah

nen

abh

ängt

.Die

Vorg

ehen

swei

seh

ierb

eiso

llim

Folg

end

enn

och

ein

mal

skiz

zie

rtw

erd

en.

1.D

erA

usg

angsp

un

kt

war

der

exak

teq

uan

ten

mec

han

isch

ePro

pag

ator,

der

aus

dem

Feyn

man

sch

enPfa

din

tegra

lfo

lgte

.In

die

sen

Pro

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geh

enal

leW

ege

vonx′

nac

hx

ein

,au

chd

iese

,die

eskla

ssis

chn

ich

tgeb

enw

ürd

e.

2.A

nw

end

un

gd

erst

atio

när

enPh

asen

app

roxi

mat

ion

auf

die

Feyn

man

sch

enPf

adin

tegr

ale.

Das

Res

ult

atw

ard

ieva

nV

leck

-Form

el,

ind

eral

lekla

ssis

chen

Weg

evo

nx′

nac

hx

ein

geh

en,w

ob

eid

ieEn

ergie

vari

abel

ble

ibt.

3.B

erec

hn

un

gd

erse

mik

lass

isch

enG

reen

sch

enFu

nkti

onG+ E,

SCL

üb

erei

ne

Zei

tin

tegr

atio

nm

itte

lsst

atio

när

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ase.

Ind

iese

mik

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isch

eG

reen

sch

eFu

nkti

on

geh

enal

lekla

ssic

he

Weg

evo

nx′

nac

hx

ein

,die

smal

jed

och

bei

fest

erEn

ergieE

.

4.

Spu

rbil

du

ng

der

sem

ikla

ssis

chen

Gre

ensc

hen

Fun

kti

on

trG+ E,

SCL=∫

dNxG+ E,

SCL(x,x),

x=x′ .

ImO

rtsr

aum

gesc

hlo

ssen

eW

ege

vonx′

nac

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(Im

pu

lsep′

un

dp

bel

ieb

ig).

Man

erh

ält

zw

eiA

rten

von

Bei

träg

end

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reen

sch

enFu

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on

.

a)x→x′

Weg

län

ge

geh

tgeg

enN

ull

.Es

ergib

tsi

chd

erT

hom

as-F

erm

i-T

erm

:

d(E)=

1(2π)N

∫dNx

dNpδ(E−H(x,p))

b)

Bei

träg

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nB

ahn

en(W

eglä

nge

grö

ßer

Nu

ll),

die

amO

rtx

star

ten

un

dd

ort

hin

zu

rück

keh

ren

.

84

2015

-06

-18

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

1.V

era

llgem

ein

erte

Dim

ensi

onDq:

Dq=

lim`→0

1q−1

ln( ∑

M(`)

i=1Pq i

)

ln`

,q=0,1,2,...

ñIm

Spez

ialf

allq=0

erh

alte

nw

irw

ied

erd

ieH

ausd

orff

-Dim

ensi

on

D0=−

lim`→0

lnM(`)

ln`

ñFü

rq=1

ssen

wir

den

Vorf

akto

rsp

ezie

llb

ehan

del

n

D1=

lim`→0

S(`)

ln`,

mitS(`)=−M(`)

∑ i=1

P ilnP i

Die

sb

ezei

chn

enw

iral

sIn

form

atio

nsd

imen

sion

.

ñD2,a

lso

fürq=2

hei

ßt

Kor

rela

tion

sdim

ensi

on.

Eslä

sst

sich

zei

gen

,das

sDq′≤Dq

fürq′>q

2.V

era

llgem

ein

erte

Entr

opieKq:

Kq=−

lim`→0

lim

n→∞

1q−11 n

ln∑ i 0...i n

Pq i 1...i n

Der

Lim

esli

mq→1Kq=K1=K

lief

ert

dieK

-En

trop

ie.

Die

Bes

tim

mu

ng

der

Wah

rsch

ein

lich

kei

ten

aus

ein

erch

aoti

sch

enT

raje

kto

rie

(un

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amit

die

Ber

ech

nu

gd

erDq

un

dKq)

ist

imPri

nzip

mögli

ch,ab

erse

hr

aufw

änd

ig.W

irsu

chen

ein

en„e

infa

cher

en“

Weg

,daz

ub

etra

chte

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rK

ästc

hen

,in

den

enw

irkli

chPu

nkte

des

Att

rakto

rsli

e-ge

n.E

rset

ze

hie

rzu

die

glei

chm

äßig

vert

eilt

enK

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in∑iPq i

du

rch

die

Sum

me

üb

ern

ich

tgle

ich

mäß

igve

rtei

lte

Käs

tch

enu

mPu

nktexj

der

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trei

he,

die

z.B

.d

urc

hei

ne

Ab

bil

du

ng

xj+1=f(x

j)gen

erie

rtw

erd

en. ∑ i

Pq i=∑ i

[∫

Käs

tch

en%(x)d

dx] q

≈∑ i

[ %(xi)`d] q

=∑ i

%(xi)`d[ %(xi)`d] q−1

≈∫%(x)d

dxP(x)q−1

≈1 N

∑ j

[ P[f

j (x0)]] q−1

=1 N

∑ j

Pq−1

j

2014

-11-

2729

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

2.2

.4.2

Fey

nm

ansch

ePfad

integ

raldarstellu

ng

des

qu

anten

mech

anisch

enPro

pag

ators

Ind

erPfa

din

tegra

lda

rstellun

glässt

sichd

erq

uan

tenm

echan

ische

Pro

pag

ator

schreib

enals

Kq

m(x,t,x

′,t ′)=∫D[y(τ)]e

i/∫tt ′

dτL(y

,y,τ)

Diese

Defi

nitio

nen

thält

neb

end

erLag

rangefu

nktio

nL(y

,y,τ)

auch

die

Integ

ration

üb

eralle

Pfad

eD[y(τ)],

die

den

gleich

enA

nfan

gsp

un

kty(t ′)

un

dEn

dp

un

kty(t)

besitz

en.

Dab

eim

uss

beach

tetw

erden

,d

assau

chd

ien

icht

klassisch

enPfad

een

thalten

sind

.D

ersem

iklassisch

ePro

pagato

rfo

lgtau

sd

erB

erechn

un

gd

erFeyn

man

schen

Pfad

integrale

un

terstatio

närer

Ph

asenap

pro

ximatio

n.D

ieStatio

naritätsb

edin

gu

ng

lautet

dab

ei

δ ∫tt ′ dτ

L(y,y,τ)=

0

un

dist

gerad

ed

asH

amilto

nsch

eV

ariation

sprin

zip

,d

.h.y(τ)

besch

reibt

gerad

ed

ieklassi-

sche

Bah

n.

Die

Va

n-V

leck-Formel

ist

KSC

L (x,t,x

′,t ′=0)=

(2πi)N/2 ∑SC

L √|c|ei/R(x,x′,t)−

i π2κ

Die

Sum

me∑

SCL

läuft

dab

eiü

ber

alleklassisch

enT

rajekto

rienm

itStartp

un

ktx′(0)

un

dEn

dp

un

ktx(t).D

erK

oeffi

zien

tc

istgeg

eben

du

rch

c=d

et∂2R

∂x∂x

wob

eid

ieFu

nktio

nR(x,x′,t)

die

klassisch

eLag

rangefu

nktio

nen

thält:

R(x,x′,t)=

∫t0dτL(x

(τ),x,τ)

Die

Variab

leκ

istd

ieZ

ahl

der

negativen

Eigenw

erted

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eitenV

ariation

vonR

nach

xu

nd

entsp

richt

dam

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erA

nzah

ld

erK

austik

enen

tlang

des

Weg

esvo

nx′(0)

nach

x′(t).

Die

semik

lassiche

Green

sche

Fun

ktio

nergib

tsich

nu

nd

urch

Ersetzu

ng

des

qu

anten

mech

ani-

schen

Pro

pag

ators

du

rchsein

semik

lassisches

Pen

dan

t.

G+E,SC

L =1i

∫∞0

dtei/(E+

iε)tKSC

L (x,t,x

′,t ′=0)

=(2π

i) −N/2

i

∑SC

L,Evar. ∫

∞0dt √|c|e

i/(R(x,x′,t)+

Et)−

iκπ/2

Die

Sum

me∑

SCL,E

var.ist

dab

eiso

zu

verstehen

,d

asssie

üb

eralle

klassisch

eT

rajekto

rienläu

ftu

nd

die

Energ

ieE

dab

eivariab

elist.U

nter

der

Bed

ingu

ng

der

station

ärenPh

ase

E=−∂R∂t ∣∣∣∣

t0

2015-0

6-11

83

1.5|

Se

lt

sa

me

At

tr

ak

to

re

nin

dis

sip

at

ive

nS

yst

em

en

Dab

eiistxi

einElem

ent

imK

ästcheni

un

d

P[f

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P(xj )≡

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istd

ieW

ahrsch

einlich

keit

die

Trajek

torie

inein

emK

ästchen

der

Grö

ße`

um

die

Trajek

torie

xj =

fj(x

0 )zu

fin

den

.

Die

Textd

efin

ition

fürPj

lautet

um

gesetz

tals

Form

el:

Pj =

1N

∑i

Θ(`−

|xi −xj |)

mitΘ=0,x<0

1,x≥0

un

dxi =xi (t=

iτ).D

amit:

∑i

Pqi =

1N

N∑j=1 (1N

N∑i=1 Θ(`−

|xi −xj |) )

q−1≡

Cq (`)

Wich

tigist

der

Spez

ialfallq=2,d

erals

Korrela

tion

ssign

al

bez

eichn

etw

irdC2 (`)≡

C(`).

Dieses

misst

die

Wah

rschein

lichkeit

dafü

rzw

eiPu

nkte

auf

einem

Attrak

tor

inein

erZ

elled

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röß

e`

zu

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.Hierau

slassen

sichb

estimm

en:

ñD

ieK

orrelation

sdim

ension

D2

D2 =

lim`→0

ln ∑i P

2i

ln`

<D0

un

tereG

renze

für

die

Hau

sdorff

-Dim

ensio

n.D

2ist

die

Steigu

ng

der

Ku

rveb

eiA

uftra-

gu

ng

von

lnC(`)

üb

erln`

.

Hen

on

-Ab

bild

un

gD2 =

1.21

Loren

z-M

od

ellD2 =

2.05

Wied

erholu

ng:

Wir

hatten

ken

nen

gelern

t:

1.V

erallgem

einerte

Dim

ensio

nDq

2.V

erallgem

einerte

Entro

pieKq

Kq =−

lim`→0

limn→∞

1q−

11n

ln∑i0 ...in P

qi1 ...in

Der

Limes

limq→1 K

q =K1 =

Kliefert

dieK

-Entro

pie.

Au

ßerd

emh

attenw

ir ∑i P

qib

erechn

et.Ç

Nu

nb

erechn

enw

ird

ieK

-Entro

pie

ähn

lichzu

rB

erechn

un

g∑i P

qifü

rDq :

∑i0 ...in Pqi1 ...in =

1N

N∑i=1 1N

N∑j=1 Θ

`−

√√√√n∑m=0 (x

i+m−xj+m)2

q−1=

Cqn (`)

3020

14-12-0

4

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

Bil

du

ng

der

Spu

rd

iese

sO

per

ators

füh

rtau

f

trG+ E(x,x′ )=∫

d3xG+ E(x,x)

=∑ n

∫ |ψn(x)|2

d3x

E−E n+

=∑ n

1E−E n+

=∑ nP

1E−E n−

iπδ(E−E n)

mit

dem

Ca

uch

yH

au

ptw

ertP

,der

defi

nie

rtis

tal

s

1x+

iε=P1 x−

iπδ(x).

Der

Imag

inär

teil

der

Spu

rd

esG

reen

sch

enO

per

ators

lief

ert

dan

ngen

aud

ieZ

ust

and

sdic

hte

−1 π

ImtrG+ E(x,x′ )=∑ nδ(E−E n)=d(E).

Die

Au

sgan

gsf

orm

elfü

rse

mik

lass

isch

eSp

urf

orm

eln

ist:

G+ E,

qm→G+ E,

SCL

trG+ E,

qm→∫

d3xG+ E,

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wob

eid

erIn

dex

SCL

für

sem

i-cl

assi

cal,

auf

deu

tsch

sem

ikla

ssis

ch,s

teh

t.

2.2

.4.1

Qu

ante

nm

ech

anis

cher

un

dSe

mik

lass

isch

erPro

pag

ator

Den

qu

ante

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ech

anis

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Gre

ensc

hen

Op

erat

or

erh

ält

man

du

rch

ges

chic

kte

Um

form

un

gd

esT

erm

es1

E−E n+

iε=

1E−H+

iε=1 i

∫ ∞ 0ei(E−H+iε)t/

dt.

Eser

gib

tsi

chd

aher G+ E,

qm(x,x′ )=1 i

∫ ∞ 0dte

i(E+iε)t/∑ nψ∗ n(x)ψ

n(x′ )

e−iEnt/

un

du

nte

rV

erw

end

un

gd

esPro

pag

ators

G+ E,

qm(x,x′ )≡1 i

∫ ∞ 0dte

i(E+iε)t/K

qm(x,t,x′ ,t′=0)

Mit

dem

qu

an

ten

mec

ha

nis

chen

Pro

pa

ga

tor

Kq

m(x,t,x′ ,t′=0)=∑ nψ∗ n(x)ψ

n(x′ )

e−iEnt/.

82

2015

-06

-11

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

logCq n(`)

log`

0

Stei

gun

g(q−1)Dq

n(q−1)Kq

ñ10

Au

ftra

gu

ng

von

logCq n(`)

üb

erlo

g`.

Für

den

Spez

ialf

allq=2

istC2 n(`)≡Cn(`)

die

Ver

allgem

ein

eru

ng

des

Korr

ela

tion

ssig

na

lsC(`).

Man

bea

chte

,das

sCq n=0(`)=Cq(`).

Die

Fun

kti

onCq n(`)

läss

tsi

chfü

rje

de

Tra

jekto

rie

dir

ekt

ber

ech

nen

.Es

ist

kei

ne

exp

lizit

eZ

ella

uft

eilu

ng

des

Phas

enra

um

eser

ford

erli

ch.E

sgi

lt1:

lim`→0

lim

n→∞Cq n(`)=(q−1)Dq

log`+n(q−1)Kq

Die

vera

llgm

ein

erte

Dim

ensi

onDq,so

wie

die

vera

llgem

ein

erte

En

trop

ieKq

kön

nen

som

itau

sex

per

imen

tell

gem

esse

nen

Dat

enb

esti

mm

tw

erd

en.T

ragen

wir

das

Korr

elat

ion

ssig

nal

logar

ith

mis

chü

ber

log`

auf,

kön

nen

die

Grö

ßen

abgel

esen

wer

den

(sie

he

Ab

bil

du

ng

10).

1.5.3

Bil

der

selt

sam

erA

ttra

kto

ren

un

dfr

akta

ler

Gre

nzen

Bet

rach

teei

ne

kom

ple

xeFu

nkti

onf(z)=z3−1=0.

Wir

fin

den

dre

iN

ull

stel

len

un

dzw

arb

eiz 1=0,z 2=

e2π

i/3,z

3=

e4π

i/3.V

erw

end

ed

asN

ewto

nsc

he

Ver

fah

ren

zu

rB

esti

mm

un

gd

erN

ull

stel

len

f(z)≈f(z0)+f′ (z 0)(z−z 0)=0

Iter

atio

nli

efer

t

z n+1=z n−f(zn)

f′ (z n)

Die

An

wen

du

ng

auf

die

geg

eben

eFu

nkti

onf(z)

lief

ert

un

s

f(z)=z3−1

f′ (z)=3z

2

z n+1=z n−z3 n−1

3z2 n

Off

ensi

chtl

ich

hat

die

Ab

bil

du

ng

dre

ist

abil

eFi

xpu

nkte

bei

den

Nu

llst

elle

nvo

nf(z).

Nu

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ellt

sich

die

Frag

e,au

fw

elch

end

erd

reiF

ixp

un

kte

die

Ab

bil

du

ng

kon

verg

iert

,bei

gege

ben

emSt

artw

ertz 0

.A

nd

ers

ges

agt:

Wel

che

Form

hab

end

ieA

ttra

kti

on

sgeb

iete

der

dre

iFi

xpu

nkte

?Ei

ne

nai

veV

ors

tell

un

gis

tin

Ab

bil

du

ng

11d

arges

tell

t.

1oh

ne

Rec

hn

un

g

2014

-12-

04

31

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

mit

dem

Th

om

as-Fermi-T

erm

d(E)=

1(2π

)2 ∫∫

dqdpδ (E

−H(p,q) ),

den

Um

laufz

ahlenM=(M

1 ,M2 )

der

perio

disch

enB

ahn

enau

freso

nan

tenT

ori:M

1:M

2 =ω1

:ω2

ration

al,d

enU

mlau

fzeiten

der

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disch

enB

ahn

enTM

,d

erW

irku

ng

der

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disch

enB

ahn

enSM

un

dd

emM

aslov-In

dex

der

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disch

enB

ahn

enσM

.D

ieFu

nktio

ndE (I1 )

isth

ierbei

defi

niert

du

rch

H(I1 ,I2 =

dE (I1 ))=

E.

Wich

tigist

dab

ei,d

assin

der

Berry-T

abor-Fo

rmel

kein

vollstän

dig

erSatz

anQ

uan

tenzah

lennk

mitk=1,...,N

eingeh

t.Da

die

Berry-T

abor-Fo

rmel

nu

rd

iesem

iklassisch

eZ

ustan

dsich

tefü

rin

tegrab

leSystem

eb

eschreib

t,b

leibt

die

Frage

nach

einer

semik

lassischen

Th

eorie,

welch

ed

ieZ

ustan

dsd

ichte

für

nich

tin

tegrab

le(ch

aotisch

e)System

erich

tigw

iederg

ibt.

Ç

2.2

.4Sp

urfo

rmel

Die

Spu

rform

elist

ind

erLag

eein

esem

iklassisch

eZ

ustan

dsd

ichte

für

nich

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tegrab

le(ch

aotisch

e)System

ezu

liefern.D

azu

wollen

wir

zu

näch

strein

qu

anten

mech

anisch

vorgeh

en.

Die

Zu

stand

sdich

tefü

rein

geb

un

den

esSp

ektru

mlau

tet

d(E)=

∑mcmδ(E

−Em),

dab

eib

eschreib

tcm

die

Mu

ltipliz

ität,alsod

enEn

tartun

gsgradu

ndEm

die

Energieeigen

werte,

wob

eim

nu

rein

Ab

zäh

lind

exd

arstellt.D

erG

reensch

eO

pera

tor

(retardiert)

istgeg

eben

du

rch

G+E =

∑n

|n〉〈n|E−En +

iε,

wob

eid

as+fü

rretard

iertsteh

t.D

erZ

usam

men

han

gzw

ischen

qu

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mech

anisch

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u-

stand

sdich

teu

nd

dem

Green

schen

Op

erator

liegt

ind

erR

elation

d(E)=−1π

Im(trG

+E ).

Bew

eis

Der

Bew

eish

ierfür

wird

mit

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einer

kon

tinu

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Basis|x〉

du

rchgefü

hrt.D

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reensch

eO

perato

rin

dieser

kon

tinu

ierlichen

Dartsellu

ng

ergib

tsich

zu

G+E (x

,x′)=

∑n

〈x|n〉〈n|x′〉

E−En +

=∑n

ψ∗n (x

)ψn (x

′)E−En +

iε.

2015-0

6-11

81

1.6|

De

be

rg

an

gv

on

Qu

asip

er

iod

izit

ät

zu

mC

ha

os

ñ11

Naiv

eV

orstellu

ng

der

Attrak

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sgeb

iete.

Ein

en

um

erische

Un

tersuch

un

gzeig

tjed

och

,d

assd

ieA

ttraktio

nsg

ebiete

sehr

kom

pliz

iertu

nd

mitein

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erverw

ob

ensin

d,es

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selbstäh

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eStru

ktu

ren.

Die

Gren

zen

der

Attrak

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sgebiete

ration

alerA

bb

ildu

ngen

werd

enals

Julia

-Men

gen

bez

eich-

net

(Julia,19

18).Ju

lia-Men

gensin

dn

orm

alerweise

Fraktale,d

ieIterierten

von

Pun

kten

dieser

Men

ge

zeig

ench

aotisch

esV

erhalten

.

Einw

eiteresB

eispiel

einer

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enge

ist

zn+1 =

fC (z

n )=z2n +

c

EinFixp

un

kt

istfo

rmal

beiz

=∞

,w

asd

ieG

renze

des

Attrak

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sgeb

ietesist.

Dieses

bild

etd

ieJu

lia-Men

geJc

(hän

gt

vonc

ab).

Jc =

Ran

dvo

nz|

limn→∞fnc (z)→

Th

eorem

von

Julia

un

dFato

u:Jc

istzu

sam

men

ngen

dgen

au

da

nn

,wen

ngilt

limn→∞fnc (0)

3∞

Ï

Die

Man

delb

rotm

enge

istd

efin

iertals

M=c|J

cist

zu

samm

enh

ängen

d=c|

limn→∞fnc (0)

3∞

1.6D

erÜ

berg

ang

von

Qu

asiperio

diz

itätzu

mC

hao

s

Frage:

Wie

istd

asEin

setzen

von

zeitlich

erT

urb

ulen

zin

Flüssig

keiten

mit

dem

Au

ftretenein

esseltsam

enA

ttrakto

rsverb

un

den

?

3220

14-12-0

4

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

un

d

∞ ∫ −∞dτ1 τ

ei (Eτ+c τ)≈

√ 2π

√ 2[Ec]1/42i

sin

(2√cE +π 4

)

=2i√ π

(Ec)1/4

cos

(2√cE −π 4

).

Die

stat

ion

äre

Ph

ase

gil

tn

ich

tfü

rc=0

(TF-

Ter

mM1=M2=0)

∞ ∫ −∞dτ1 τ

eiEτ=2π

i.

Ver

wen

den

wir

2√ cE

=√ 2mE

L M

1,M2=1 S M

1,M2(E),

wob

eiL M

1,M2

die

Län

geu

ndS M

1,M2

die

Wir

ku

ng

der

per

iod

isch

enB

ahn

enau

fd

emra

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alen

Toru

sm

itU

mla

ufz

ahle

nM1

un

dM2

sin

d,fi

nd

enw

irfü

rd

ieZ

ust

and

sdic

hte

d(2) (E)=ma1a2

2π2

︸︷︷

︸=d

(2) (E)

+ma1a2

2π3/22

∑ M≠0

√2

S M1,M2(E)

cos( 1 S M

1,M2(E)−π 4

)

︸︷︷

︸=δd(E)

.

Der

erst

eT

ermd(2) (E)

ents

pri

cht

dem

TF-

Ter

m,d

erzw

eite

Ter

mh

inge

gen

den

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illi

eren

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Per

iod

isch

en-O

rbit

-Bei

träg

en.D

ied

amit

gef

un

den

eD

arst

ellu

ng

vond(2) (E)

wir

dal

sBer

ry-

Tabor-

Form

elfü

rd

asR

ech

teck

bil

lard

bez

eich

net

.D

ieex

akte

Lösu

ng,d

.h.oh

ne

stat

ion

äre

Ph

ase

fürτ

ist

d(2) (E)=ma1a2

2π2

∑ MJ 0( 1 S M

1,M2(E)) ,

wob

eiJ 0

ein

eB

esse

lfu

nkti

on

ist.

µ

Bem

erku

ng:

Für

die

isoli

erte

nB

ahn

enin

chao

tisc

hen

Syst

emen

wir

dd

ieG

utz

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ler-

Spu

rform

elan

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end

et.I

mG

egen

satz

daz

uw

erd

enin

der

EBK

-Qu

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sier

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gB

ahn

sch

aren

beh

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elt.Ç

Wie

der

hol

un

g:

ImZ

uge

der

sem

ikla

ssis

chen

Qu

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gin

tegra

ble

rSy

stem

eh

aben

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die

EKB

-Toru

squ

anti

sier

un

gken

nen

gel

ern

t,d

iese

lau

tet

E n=H( I=( n+α 4

) )

mit

ein

emvo

llst

änd

igen

Satz

von

Qu

ante

nzah

lenn

.M

itH

ilfe

der

Ber

ry-T

abor-

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nd

ieZ

ust

and

sdic

hte

inte

gra

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rSy

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ean

geg

eben

wer

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.Fü

rei

nSy

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mit

zw

eiFr

ei-

hei

tsgra

den

(N=2)

folg

t

d(E)=d(E)+

1π3/2

∑ M≠0

T M√ M

3 2∣ ∣ d

′′ E∣ ∣

cos( S

M −π 2σM−π 4

)

80

2015

-06

-11

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

Wie

der

hol

un

g:

Die

Hop

f-Bif

urk

ati

oner

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tm

anau

sd

erfo

lgen

den

Diff

eren

tial

gle

ich

un

gin

Pola

rkoord

inat

en:

dr dt=−(Γr+r3)

dθ dt=ω

=⇒

r2(t)=

Γr2 0e−2Γt

r2 0(1−

e−2Γt )+Γ

mitr 0=r(t 0)

θ(t)=ωt

mitθ(t=0)=0

Γ≥0:

Tra

jekto

rie

läu

ftzu

mU

rsp

run

g

Γ<0:

Gre

nzzyk

lus

mit

Rad

iusr ∞=√ −Γ.

Bei

ein

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op

f-B

ifu

rkat

ion

üb

erq

uer

tei

nPa

arkom

ple

xkon

jugi

erte

rEi

gen

wer

ted

ieim

agin

äre

Ach

se.

Ç

1.6

.1D

ieLan

dau

-Rou

tezu

rT

urb

ule

nz

Das

Syst

emd

urc

hlä

uft

ein

eV

ielz

ahl

von

Hop

f-B

ifu

rkat

ion

en(v

gl.

Feig

enb

aum

szen

ario

)m

itÜ

ber

gan

gΓ i>0→Γ i<0.

Jed

eH

op

f-B

ifu

rkat

ion

füh

rtei

ne

neu

eFr

equ

enz

mitωi

ind

asSy

stem

ein

.Bei

un

end

lich

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enH

op

f-B

ifu

rkat

ion

enw

ird

imG

ren

zfa

llei

nkon

tin

uie

rlic

hes

Leis

tun

gss

pek

tru

m(u

nd

dam

itC

hao

s)er

reic

ht.

Exp

erim

ente

zei

gen

,das

sd

ieLa

nd

au-R

ou

tezu

rT

urb

ule

nz

bei

mB

énar

d-E

xper

imen

tn

ich

tb

eob

ach

tet

wir

d.Sc

hon

nac

hd

emA

uft

rete

nvo

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eiFu

nd

amen

talf

req

uen

zen

(als

osc

hon

nac

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eiH

op

f-B

ifu

rkat

ion

en)

zei

gt

das

Exp

erim

ent

ein

kon

tin

uie

rlic

hes

Leis

tun

gss

pek

tru

m.

1.6

.2D

ieR

uel

le-T

aken

s-N

ewh

ou

se-R

ou

tezu

mC

hao

s:

Th

eore

tisc

he

Un

ters

uch

un

gen

(19

78)

zei

gen

,d

ass

ber

eits

nac

hd

rei

Hop

f-B

ifu

rkat

ion

end

iere

gu

läre

Bew

egu

ng

inst

abil

wer

den

kan

nu

nd

die

Tra

jekto

rien

kön

nen

sich

dan

nau

fei

nen

selt

sam

enA

ttra

kto

rzu

bew

egen

.D

ies

ents

pri

cht

ein

emgeg

enü

ber

der

Lan

dau

-Rou

teve

rkü

rzte

nW

egzu

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urb

ule

nz.

Ein

Bew

eis

des

Th

eore

ms

ist

mat

hem

atis

chau

fwän

dig

.

Bem

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Es

ist

kei

nC

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sm

ögli

chvo

rd

erd

ritt

enH

op

f-B

ifu

rkat

ion

.N

ach

der

zw

eite

nH

op

f-B

ifu

rkat

ion

läu

ftd

ieT

raje

kto

rie

auf

ein

enT

oru

s(z

wei

dim

ensi

on

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Man

nig

falt

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t).

Au

fd

iese

mT

oru

sis

td

ann

Ch

aos

nac

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emPoin

caré

-Ben

dix

on

-T

heo

rem

verb

ote

n.

ñN

ach

der

dri

tten

Hop

f-B

ifu

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läu

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eweg

un

gau

fei

nen

Dre

iert

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s.Es

wu

rde

gezei

gt,d

ass

bes

tim

mte

Störu

nge

nex

isti

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(die

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arin

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ites

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kle

inse

inkön

nen

,ab

erge

wis

seEi

gen

sch

afte

ner

füll

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üss

en),

wel

che

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ieq

uas

iper

iod

isch

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ewe-

gun

gau

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nem

Dre

iert

oru

sin

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he

Bew

egu

ng

auf

ein

emse

ltsa

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Att

rakto

ru

mw

and

eln

.

ñPr

inzip

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mögl

ich

ist

auch

das

Au

fbre

chen

ein

esZ

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rus,

z.B

.wen

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reie

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rus

dir

ekt

nac

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tste

hu

ng

ber

eits

soin

stab

ilis

t,d

ass

die

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tte

inkom

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sura

ble

Freq

uen

zn

ich

tb

eob

ach

tet

wer

den

kan

n.

Ç

2014

-12-

1133

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Der

Maslo

v-Ind

ex(u

nen

dlich

hoh

ePoten

tialwän

de)

istα1=α2=4.

Stellenw

iru

ns

das

Rech

teckb

illardvo

rm

itd

enK

anten

längena1

un

da2

un

db

etrachten

einen

Um

lauf

mit

a1 =

con

stod

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con

st.Au

fgrun

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eru

nen

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hoh

enPo

tentialw

änd

eist

anjed

erW

and

einPh

asensp

run

gvo

nötig

,d

amit

and

iesenStellen

die

Wellen

fun

ktio

nversch

win

det.

Wird

beach

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assα=[σ]/2

gilt,

sow

ieexp(iπ

σ/4)

ind

erW

ellenfu

nktio

nau

ftritt,d

ann

folg

t[σ]=

2·4u

nd

som

itα=4

.

Die

exakte

Lösu

ng

der

Schrö

din

gerg

leichu

ng

mit

Ran

db

edin

gu

ngen

ist

E=2π

2

2m

((n1

a1 )

2+(n2

a2 )

2 ),ni ∈

N.

Für

dieI’s

fin

den

wir

Ij =(n

j +αj

4

),nj ∈

N0

=nj ,

nj ∈

N.

Wir

sehen

,d

assd

iesem

iklassisch

eLö

sun

gm

itd

erq

uan

tenm

echan

ischen

üb

ereinstim

mt.

Für

die

Hesse-M

atrixgilt

∂2H

∂Ii ∂Ij =π2

m

(a−21

00

a−22

).

Som

itkön

nen

wirk

zu

k=

π4

(ma1 a

2 )2

berech

nen

,sow

ieσM=2

.Die

station

ärePh

aseerg

ibt

2πM=τω=τ∇

I H

=π2τm

(I1 a

−21

I2 a−22

)

=⇒Ij =

2mπτa2j M

j

=⇒2πM·I=

4mτ(a

21 M21 +a22 M

22 )

=⇒−Hτ=−2mτ

(a21 M

21 +a22 M

22 )

Einsetz

en(m

itT

F-Term

)erg

ibt

d(2)(E

)=ma1 a

2

4π22

e −i π2

︸︷︷︸=−

i ∑M

∞∫−∞dτ1τ

ei (Eτ+

cτ )

mitc=2m(a

21 M21 +

a22 M

22 ).W

irverw

end

end

iestatio

näre

Ph

asem

itd(τ)=1/τ

sow

ief(τ)=

Eτ+c/τ

un

derh

alten

τ1,2 =

± √cE,

d(τ1,2 )

√|f′′(τ

1,2 )| =±

1√2[cE

]1/4

2015-0

5-2179

1.6|

De

be

rg

an

gv

on

Qu

asip

er

iod

izit

ät

zu

mC

ha

os

1.6.3

Un

iverselles

Verh

altenb

eimÜ

berg

ang

von

Qu

asiperio

diz

itätzu

mC

hao

s

Wir

un

tersuch

end

enÜ

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von

qu

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disch

erB

eweg

un

gau

fein

emZ

weierto

rus

zu

chao

tischer

Bew

egu

ng

anh

and

einer

einfach

enPoin

caréabb

ildu

ng.

1.6.3

.1D

ieein

dim

ensio

nale

Kreisab

bild

un

g

1.Schritt:

Poin

caréabb

ildu

ng

für

die

un

gestö

rteB

eweg

un

gau

fd

emZ

weierto

rus

inPolark

o-

ord

inaten

(beach

teθ=

Win

kel/2π

∈[0,1)).

θn+1 =

f(θn )=

(θn +

Ω)

mod1

mit

der

Win

du

ngsz

ahlΩ=ω1 /ω

2 .ω1

un

dω2

sind

die

Frequ

enzen

auf

dem

Zw

eiertoru

s.

Ω=ω1

ω2 =

pqratio

nal:P

eriod

ische

Bew

egu

ng

Ω=ω1

ω2

irration

al:Qu

asiperio

disch

eB

eweg

un

g

2.Schritt:

Hin

zu

nah

me

einer

nich

tlinearen

Störu

ng.

θn+1 =

f(θn )=

(θn +

Ω−k2π

sin(2πθn ) )

mod1

mit

dem

Kon

trollp

arameter

k,d

erd

ieStärk

ed

ern

ichtlin

earenStö

run

gb

estimm

t.

Motiva

tion:

Die

eind

imen

sion

aleK

reisabb

ildu

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besch

reibt

alsp

hysik

alisches

Systemein

engetrieb

enen

Rotato

rfü

rd

enFall,d

assein

kon

stantes

Dreh

mom

entΓΩ

zu

dem

antreib

end

enM

om

ent

add

iertw

ird(m

itΓ

gro

ß).

ϕ+γϕ=kf(ϕ)∞∑n=0 δ(t−

nT)+ΓΩ

Ç

Bestim

mte

un

iverselleEigen

schaften

der

Kreisab

bild

un

gsin

du

nab

hän

gigvo

nd

ersp

eziellen

Form

vonf(θ)

(vergleiche

Un

iversalitätb

eimFeigen

bau

msz

enario

)d

ieFu

nktio

nf

mu

ssd

iefo

lgen

den

Bed

ingu

ngen

erfüllen

:

ñf(θ+1)=

1+f(θ)

(hier

oh

ne

mod1

zu

verstehen

)

ñFü

r|k|<1

existierenf(θ)

un

dih

rIn

versesu

ndf(θ)

istd

ifferen

zierb

ar(d

.h.f(θ)

istein

Diff

eom

orp

hism

us).

ñB

eik=1

wirdf−1(θ)

nich

td

ifferen

zierb

aru

nd

für|k|>

1existiert

kein

eind

eutig

esIn

versesvo

nf(θ).

Zu

rW

ind

un

gsz

ahl:

Fürk≠0

,d.h

.mit

Störun

ggilt

nich

tm

ehr

einfa

chw=Ω

.Statt

dessen

:

w=

limn→∞1n

[fn(θ

0 )︸︷︷

︸oh

ne

mod1 −θ0 ]

3420

14-12-11

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

d.h

.es

han

del

tsi

chu

mre

son

ante

Tori

.So

mit

trag

enn

ur

Tori

mit

kom

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sura

ble

nFr

e-q

uen

zen

(per

iod

isch

enB

ahn

en)

zud(E)

bei

.D

ieMi

sin

dh

ierb

eiU

mla

ufz

eite

n(u

nd

kei

ne

Qu

ante

nzah

len

).So

mit

ergib

tsi

ch

δd(E)=

1 42

∑ Me−

iπ2M·α−iπ 4σM≠0=

∞ ∫ −∞dτ

1τ|k|1/2

eτ (2πM·IM+τ(E−H(IM))) .

I Men

tsp

rich

th

ier

der

Wir

ku

ng

der

reso

nan

ten

Tori

(Lösu

ng

von

Gle

ich

un

g(2

.5))

.W

eite

rh

aben

wir

k=

det

(∂2H

∂I1∂I2

),

σM=

2 ∑ i=1

sign(λi),

wob

eiλ i

die

Eigen

wer

ted

erH

esse

-Mat

rix

sin

d.

Wic

hti

g:

Die

Sum

me

üb

erd

ieq

uan

tisi

erte

nEB

K-T

ori

ist

d(E)=∑ nδ(E−E(n)).

Ver

wen

den

wir

die

Pois

son

sch

eSu

mm

enfo

rmel

un

dd

iest

atio

när

ePh

ase

erh

alte

nw

ir

d(E)=d(2) (E)+δd(E).

Der

erst

eT

erm

ents

pri

cht

ger

ade

der

mit

tler

enZ

ust

and

sdic

hte

imPh

asen

rau

m(T

F-T

erm

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eite

Ter

mb

esch

reib

td

iep

erio

dis

chen

Bah

nen

auf

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nan

ten

Tori

,w

ob

eid

ieSu

mm

e∑M∈ZN

mitM≠0

auft

ritt

Au

sfü

hre

nd

er(n

ich

t-tr

ivia

len

-In

tegr

atio

n(m

itSt

atio

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er-P

has

en-A

pp

roxi

mat

ion

)li

efer

td

ieBer

ry-T

abor

-For

mel

für

inte

gra

ble

Syst

eme

(19

76).

FürN=2

ist

d(E)=d(2) (E)+∑ M≠0

T Mπ√

3M3 2|d′′ E|co

s( S

M −π 2σM−π 4

)

mit

H(I1,I2=dE(I1))=E.

S Men

tsp

rich

th

ierb

eid

erW

irku

ng

un

dT M

der

Um

lau

fdau

ern

der

per

iod

isch

enB

ahn

en(a

uch

für

viel

fach

eU

mlä

ufe

).

2D-R

ech

teck

billa

rd:

Die

Ham

ilto

nfu

nkti

on

des

Syst

ems

lau

tet

H=

1 2m

( p2 x+p2 y

)

I j=1 2π

∮pjdxj=aj π·p

j

=⇒H=π2

2m

(I2 1 a2 1+I2 2 a2 2

).

7820

15-0

5-21

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

w=p/q

rati

on

al:

Mod

enko

pp

lun

g.

wir

rati

on

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Qu

asi

per

iod

isch

eod

erch

aot

isch

eBew

egu

ng.

Ï

Zu

rV

erd

eutl

ich

un

gd

erM

od

enkop

plu

ng:B

eob

ach

tun

gvo

nH

uyg

ens

(16

29–1

69

5)zu

rSy

n-

chro

nis

atio

nzw

eier

Wan

du

hre

n(w=1)

.H

inw

eis:

Mod

enkop

plu

ng

hei

ßt

nic

ht,

das

sd

ieT

raje

kto

rien

selb

stex

akt

per

iod

isch

sein

ssen

.D

ieK

reis

abb

ild

un

gu

nd

dam

itau

chd

ieW

ind

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gsz

ahlw

der

Bew

egu

ng

hän

gen

abvo

nd

enzw

eiPar

amet

ernΩ,k.

Dis

ku

ssio

nd

esPh

asen

dia

gra

mm

sd

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reis

abb

ild

un

g:

ñA

rnold

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ngen

(Ber

eich

em

itM

od

enkop

plu

ng,w=p/q

rati

on

al)

imG

ebie

t|k|<

1.Fü

r|k|<

1h

aben

die

Geb

iete

mit

un

doh

ne

Mod

enkop

plu

ng

ind

erΩ

-k-E

ben

eei

ne

end

lich

eFl

äch

e.

ñB

eik=1

wan

der

nd

ieA

rnold

zu

ngen

soau

fein

and

erzu

,d

ass

die

Ber

eich

evo

,in

den

enkei

ne

Mod

enkop

plu

ng

auft

ritt

ein

ese

lbst

ähn

lich

eC

anto

rmen

ge

(Fra

kta

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itM

aßN

ull

ist.

ñ|k|>1:

Ch

aoti

sch

esV

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alte

nw

ird

mögl

ich

.Ch

aoti

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eu

nd

nic

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chao

tisc

he

Geb

iete

sin

din

derΩ

-k-E

ben

een

gm

itei

nan

der

verw

ob

en.

1.6

.3.2

Mod

enk

op

plu

ng

un

dFar

ey-B

aum

Frag

e:Fü

rk

fest

geg

eben

,in

wel

chenΩ

-In

terv

alle

ntr

itt

Mod

enkop

plu

ng

auf?

Für

ein

enZ

ust

and

mit

rati

on

aler

Win

du

ngs

zah

lw=p/q

läss

tsi

chd

aszu

geh

öri

geΩ

-In

terv

all

Ω=Ω(k)

aus

der

Bed

ingu

ng

bes

tim

men

,d

ass

ein

stab

ilerq-

Zyk

lusfq Ω,k(θ∗ i)=p+θ∗ i

mit

Elem

ente

nθ∗ 1,...,θ∗ q

ind

erK

reis

abb

ild

un

gau

ftri

tt,d

.h.e

sm

uss

gel

ten

∣ ∣ ∣ f′q Ω,k(θ∗ i)∣ ∣ ∣=∣ ∣ ∣ ∣q ∏ i=1

f′ Ω,k(θ∗ i)∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣ ∣ ∣q ∏ i=1

1−k

cos(2πθ∗ i)∣ ∣ ∣ ∣<1

¸Bei

spie

l

w=p q=0 1=0

f Ω,k(θ0)=0+θ 0

=⇒Ω=k 2π

sin(2πθ 0)

∣ ∣ ∣ f′ Ω,k(θ0)∣ ∣ ∣=|1−k

cos(2πθ 0)|<1

Lösu

ng

fürk<1:|Ω|<k/(2π).

All

gem

ein

eLö

sun

gfü

rb

elie

big

esw=p/q

(Bak

un

dB

oh

r,19

84

):

ñFü

r0<k≤1

geh

ört

zu

jed

erra

tion

alen

Win

du

ngs

zah

lw=p/q

ein

end

lich

esIn

terv

all

∆Ω(w=p/q,k).

2014

-12-

1135

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Ko

nse

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at

ive

Sy

st

em

e|2

Hierb

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Term

un

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rSp

ektren

mitE>0

.Die

beid

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ittlerenT

erme

füh

renzu

semik

lassischen

Korrek

turen

höh

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rdn

un

gin

.Den

erstenT

ermn

enn

enw

ird(2)(E

).Mit

nk =

1Ik −

αk

4

folg

t

d(2)(E

)=12

∑M1 ,M

2 e −i π2(M1 α1 +M2 α2 )

∞∫

α1 /4

dI1

∞∫

α2 /4

dI2 δ(E−H(I1 ,I2 ))e

2πi(M

1 I1 +M2 I2 )/.

Betrach

ted

enT

ermfü

rM1 =

M2 =

0,w

ob

eiw

irein

ezu

sätzlich

eIn

tegration

üb

erφ1

un

dφ2

einfü

gen

un

dd

ieu

nteren

Integ

ration

sgren

zen

auf

Nu

llsetz

en.Ein

eB

erück

sichtig

un

gd

erkorrek

tenG

renzen

füh

rtw

ieder

ledig

lichau

fK

orrek

turen

höh

ererO

rdn

un

gin

.

d(2)(E

)=1

(2π)2

2π∫0

dφ1

2π∫0

dφ2

∞∫0

dI1

∞∫0

dI2

︸︷︷

︸G

esamter

Ph

asenrau

m

δ(E−H(I1 ,I2 ))

=1

(2π)2 ∫

dp∫

dqδ(E

−H(p,q)).

Dies

istd

erT

hom

as-Ferm

i-Term

bzw

.d

iem

ittlereZ

ustan

dsd

ichte.

Man

erhält

ihn

,in

dem

man

die

Sum

me

üb

erQ

uan

tenzu

ständ

ed

urch

Integrale

üb

erd

enPh

asenrau

mgeteilt

du

rchN

ersetzt.B

etrachten

wir

nu

nd

enosz

illierend

enA

nteil

mit

(M1≠0≠M2 ).M

it

δ(x)=

12π

∞∫−∞e

i τx

folg

t

δd(E)=

12π

3

∑M1≠0≠M2 e −

i π2Mα ∫

dI1 ∫dI2 e

iφ(I)

φ(I)=

1( 2π

M·I+τ(E−H(I))) .

Mit

der

station

ärenPh

ase∇φ(I)=

0fi

nd

enw

ir

2πMi =ωi τ=τωi (I1 ,I2 ),

(2.5)

wob

ei

ωi =

∂H∂Ii

amSattelp

un

kt.D

amit

zeig

tsich

M1

M2 =

ω1

ω2 ∈

Q,

2015-0

5-2177

1.6|

De

be

rg

an

gv

on

Qu

asip

er

iod

izit

ät

zu

mC

ha

os

ñFü

r0<k<1

hab

end

ieΩ

-Intervalle

zu

samm

enein

Maß

0<S=∑p,q ∆Ω(w=p/q,k)

<1.

ñFü

rk=1

bild

end

ieIn

tervalleein

evo

llständ

ige

Teu

felstrepp

e(vo

llständ

igh

eißt

Maß

S(w=p/q,k

=1)=

1).

µ

Die

Teu

felstrepp

eist

eine

mon

oto

nsteig

end

eFu

nktio

nau

fd

emIn

tervall[0,1]w

ob

eizu

jedem

ration

alenFu

nktio

nsw

ertp/q

eine

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end

licher

Breite

geh

ört.

Die

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breite

nim

mt

mit

wach

send

emN

enn

erq

ab.Fü

rzw

eiWin

du

ngsz

ahlenw=p/q

un

dw′=p′/q

′h

atd

iegrö

ßte

Stufe,d

iezw

ischen

den

beid

enStu

fenliegt,d

ieW

ind

un

gszah

l(p+p′)/(q+

q′).D

ieStu

fend

erT

eufelstrep

pe

lassensich

anh

and

eines

Farey-B

au

mes

ord

nen

,d.h

.alleratio

nalen

Zah

lenw

erden

nach

aufsteig

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enn

eran

geo

rdn

et,gem

äßd

erR

egel,

dass

die

grö

ßte

ration

aleZ

ahl

zw

ischenp/q

un

dp′/q

′d

urch

(p+p′)/(q+

q′)

geg

eben

ist.

Der

Farey-Bau

mord

net

die

Bereich

e,in

den

enM

od

enkop

plu

ng

auftritt,

nich

tn

ur

für

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Kreisab

bild

un

gso

nd

ernau

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eV

ielzah

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ph

ysikalisch

erSystem

e,z.B

.getrieb

e-n

esPen

del,

Josep

hso

n-K

on

takte

un

dSystem

mit

Ladu

ngsd

ichtew

ellen.D

erÜ

berg

ang

von

qu

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disch

emin

chao

tisches

Verh

altenw

irdd

urch

zw

eiT

ypen

von

Un

iversalitätge-

ken

nzeich

net.

1.6.3

.3Lok

aleU

niv

ersalität

ñÜ

berg

ang

von

qu

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disch

emzu

chao

tischem

Verh

altenb

eiein

ersp

eziellen

Win

-d

un

gsz

ahlw

.

ñEs

zeig

ensich

enge

Parallelen

zu

mFeig

enb

aum

-Szen

ario.W

irb

etrachten

alsB

eispiel

wied

erd

ieK

reisabb

ildu

ng:

θn+1 =

(θn +

Ω−k2π

sin(2πθn ) )

mod1≡

f(θn )

Um

eine

spez

ielleW

ind

un

gsz

ahlw

festzu

halten

,m

üssen

zw

eiParam

eterΩ

un

dk

,Ω(k)

angep

asstw

erden

.

w=

limn→∞1n( f

n(θ0 )−

θ0 )

wäh

lenw

irals

irration

aleZ

ahl

(notw

end

igfü

rQ

uasip

eriod

izität)

den

sogen

ann

tenG

olden

enSch

nitt

w∗=

12( √5−

1)=0.618

0339

3620

14-12-18

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

Bem

erku

ng:

ñD

ieT

oru

squ

anti

sier

un

gin

tegra

ble

r,ab

ern

ich

t-se

par

able

rSy

stem

eis

tin

der

Pra

xis

sch

wie

rig,d

ad

ieB

erec

hn

un

gd

erIn

tegra

le∮ Ckp·dq

die

Ken

ntn

isd

eru

nab

hän

gig

enW

egeCk

erfo

rder

t.

ñD

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uan

tisi

eru

ngsm

eth

od

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tn

ich

tan

wen

db

arau

fn

ich

t-in

tegra

ble

(ch

aoti

sch

e)Sy

stem

e(E

inst

ein

1917

).H

ierb

eiis

td

ieIn

tegr

abil

ität

gera

de

Vora

uss

etzu

ng

für

die

To-

rusq

uan

tisi

eru

ng.

Esve

rble

ibt

jed

och

die

Frag

e,w

iech

aoti

sch

eSy

stem

ese

mik

lass

isch

qu

anti

sier

tw

erd

en.

Ç

2.2

.3EB

K-Q

uan

tisi

eru

ng

(Ein

stei

n,B

riou

llin

,K

elle

r)

Die

EBK

-Qu

an

tisi

eru

ng

bes

teh

td

arin

,die

Win

kel

vari

able

nw

iefo

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1,0))

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∑ M

∫dn2δ(E−E(0,n

2))

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7620

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2014

-12-

1837

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12 )),n=`+

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(Fn +

Fn−1 )

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(n−1)(x

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(Fn +

Fn−1 )

=fFn+1[f

(n−1)(x

)]−Fn

(beach

tef(x+1)=

f(x)+1

)

=f(n)[f

(n−1)(x

)]=f(n−

1)[f(n)(x)]

fn+1 (x)=

αn+1f

(n+1)(α

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1)x)

=αn+1f

(n)[f

(n−1)(α

−(n+

1)x)]

=αn+1f

(n)[α

−(n−

1)fn−1 (α

−2x)]

=αfn [α

fn−1 (α

−2x)]

3820

14-12-18

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2.2

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=⇒%(q)=1 |p|,

=⇒B(q)=

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and

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tige

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K-Q

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tisi

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=⇒I k=1 2π[S(q)]Ck=1 2π

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=( n

k+αk 4

) ,

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ist

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:

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=⇒α= −w∗−1=−(w∗ )−1,

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2014

-12-

1839

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g:

B(q)=|ψ(q)| 2=

%(q),

∇(%v)=

0,v=pm,

d%dt=v·∇%=−%∇·v.

Die

Lösu

ng

ist

%(q)=

%0 (ω

0 ) J(0,ω0 )

J(t,ω0 ) ,

J(t,ω0 )=

∣∣∣∣d

et (∂q(t,ω

0 )∂(t,ω

0 )

) ∣∣∣∣,

Hierb

eib

eschreib

tt

die

Zeit

der

Bew

egu

ng

entlan

gd

erB

ahn

un

dω0N−1

Koord

inaten

,w

elche

die

An

fangsfl

äche

einer

Lagrangsch

enM

ann

igfaltigkeit

defi

nieren

(d.h

.die

Man

nigfal-

tigkeit

senkrech

tzu

rB

ahn

).Ç

Wie

inA

bb

ildu

ng

25(a)

gilt

für

die

Refl

exion

anein

erPotan

tialwan

d(R

eflexio

nw

ieim

Eind

imen

sion

alem)

∂q∂t=0,

wob

eid

ann

die

Determ

inan

teinJ

verschw

ind

et,worau

sd

ieD

ivergen

zvo

nB(q)

folg

t.

2015-0

5-07

73

1.6|

De

be

rg

an

gv

on

Qu

asip

er

iod

izit

ät

zu

mC

ha

os

ñA

nalyse

der

Zeitreih

ed

erΘn

zeig

tu

niverselle

ge

ind

erN

ähe

des

Üb

ergan

gs

zu

mC

hao

s:

ñD

ieT

eufelstrep

pe

der

Intervalle

mit

Mod

enkop

plu

ng

wird

du

rchein

enFarey-B

aum

angeo

rdn

et.

ñD

ieB

ereiche

oh

ne

Mod

enkop

plu

ng

bild

enein

Fraktal

mit

Hau

sdorff

-Dim

ensio

nD=0.87

.

ñN

ichttriviales

Skalen

verhalten

mitα

=−1.289

für

Win

du

ngsz

ahlw

∗=( √5−1)/2

.

Experim

ente

mit

dyn

amisch

emV

erhalten

der

Kreisab

bild

un

g:

ñD

asgetrieb

ene

Pen

del:

Θ+γΘ+

sinΘ=A

cosωt+B

un

dtn =

mitτ=2π/ω

Θn =

Θ(tn )=

Θ(nτ)

ñElek

trische

Leitfähig

keit

von

Bariu

m-N

atrium

-Nio

bat

ñD

asd

ynam

ische

Verh

altenvo

nH

erzzellen

Au

sblick

ID

issipative

Systeme

IIK

on

servativeSystem

e

a)Z

ield

erklassisch

enM

echan

ikseit

New

ton

ñErk

enn

tnisse

üb

erN

aturg

esetze,d

enen

Bew

egu

ngen

geh

orch

en

ñV

orh

ersagen

üb

erB

eweg

un

gsab

läufe

Determ

inistisch

esW

eltbild

:Wir

ken

nen

die

Kräfte

un

dZ

wan

gbed

ingu

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zw

ischen

den

Körp

ern

⇒D

etermin

istische

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egu

ngsg

leichu

ng

⇒B

eweg

un

gsab

lauf

alsLö

sun

gd

erD

ifferen

tialgleich

un

gb

eigeg

eben

enA

nfan

gsb

e-d

ingu

ngen

.„Nu

r“ein

techn

isches

Pro

blem

?N

ein.

Es

gib

td

etermin

istisches

Ch

aos

auch

inkon

servativenSystem

en.D

erU

ntersch

iedzw

ischen

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ativenu

nd

klassisch

enH

amilto

nsch

esSystem

enist,

dass

bei

Ham

il-to

nsch

enSystem

end

asPh

asenrau

mvo

lum

enerh

altenb

leibt

(Satzvo

nLio

uville).

b)

Qu

anten

systeme

ñ„A

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uan

tenm

echan

ik:D

iskrete

En

ergien

iveaus

du

rchQ

uan

tisierun

gklassi-

scher

Bah

nen

(Boh

r-Som

merfeld

Qu

antisieru

ngsreg

el):∮p·

dr=n,n=1,2,3,...

Erfolg

e:Ryd

berg

seriend

esW

asserstoff

atom

s(B

oh

rsches

Ato

mm

od

ell)

Versag

en:Sch

on

für

den

Gru

nd

zu

stand

des

He-A

tom

s(D

reikörp

erpro

blem

)

40

2015-0

1-08

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

Die

Lösu

ngS(q)

kan

nje

doch

nu

rb

iszu

den

Sin

gu

lari

täte

n

det

∣ ∣ ∣ ∣ ∣∂pj

∂qk

∣ ∣ ∣ ∣ ∣→∞

verw

end

etw

erd

en.A

nal

oges

Vorg

ehen

erfo

lgt

mit

S(p)=S(q)−p·q

=⇒H(−∇ pS,p)−E=0,

q=−∇

pS(p).

ImG

egen

satz

zu

mei

nd

imen

sion

alen

Fall

gib

tes

kei

ne

Gar

anti

e,d

ass

fort

wäh

ren

des

Üb

er-

sch

reit

envo

nK

aust

iken

inn

ich

t-se

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able

nSy

stem

enzu

ein

erge

sch

loss

enenN

-dim

ensi

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Fläc

he

oh

ne

Kan

ten

füh

rt.

ImFo

lgen

den

neh

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wir

ein

sep

arab

les

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din

tegra

ble

sSy

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an,

d.h

.d

ieH

amil

ton

-Ja

cob

i-D

iffer

enti

algle

ich

un

gh

atglo

bal

eLö

sun

gen

.So

mit

ist

dieN

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Fläc

he

ein

inva

rian

ter

Toru

s.

Defi

nit

ion

des

Mas

lov

-In

dex

Au

fd

emq

-Zw

eig

sch

reib

enw

irσq(x),

auf

demp

-Zw

eig

gil

t

σp=σq(x)−

sgn

(∂p

`

∂qm

),

sgn

(∂p

`

∂qm

)≡

N ∑ i

sign(λi),

wob

eiλ i

die

Eig

enw

erte

der

Mat

rix∂p

`/∂q m

sin

d.Es

gib

tN

un

abh

ängig

eW

egeCk

auf

dem

inva

rian

ten

Toru

s,d

iese

ents

pre

chen

jed

och

kei

nen

ph

ysik

alis

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Bah

nen

.Au

sged

rück

tin

den

Wir

ku

ngs-

Win

kel

vari

able

ner

hal

ten

wir

I k=1 2π[ S(q)]Ck=1 2π

∮ Ck

pdq,

αk=1 2[ σq] Ck,

wob

eiw

iral

leG

röß

enb

elie

big

wäh

len

,mit

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snah

me

ein

esfe

sten

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sϕk.D

ieG

röß

eαk

ents

pri

cht

hie

rbei

dem

Ma

slov

-In

dex

.

Die

lokal

eW

elle

nfu

nkti

on

wir

dd

efin

iert

als

ψ(q,R)= B(q)e

i(S(q)/−σqπ/4) ,q∈R

0,so

nst

.

un

dau

fd

emp

-Zw

eig

ψ(p,R)=

1(2π)N/2

∫dNqψ(q,R)e−ip·q/

= B(p)e

i(S(p)/−σpπ/4) ,p∈R

0,so

nst

.

7220

15-0

5-0

7

Dis

sip

at

ive

Sy

st

em

e|1

ñ„N

eue“

Qu

ante

nm

ech

anik

:Sch

röd

inge

rgle

ich

un

gHψ=Eψ

lief

ert

korr

ekte

Erge

b-

nis

se,a

ber

oh

ne

jed

enB

ezu

gzu

kla

ssis

chen

Bah

nen

od

erkla

ssis

che

Dyn

amik

.

ñ„A

lte“

Qu

ante

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ech

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geri

etla

nge

Zei

tin

Ver

gess

enh

eit.

Frag

e:G

ibt

esC

hao

sau

chin

Qu

ante

nsy

stem

en?

2015

-01-

08

41

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

C1

C2

ñ24

Un

abh

ängig

enK

urv

enC1

un

dC2

auf

einem

Toru

s.

mit

S(p)=

S(q)−pq,B(p)=

B(q)

√∣∣∣

dpdq ∣∣∣,σp =

σq −

sign (

dpdq

)

Som

itb

etrachten

wir

die

Wellen

fun

ktio

nals

Fun

ktio

nd

erPh

asenrau

mp

un

ktex

der

klassi-

schen

Ku

rvenC.Im

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esT

oru

ssin

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iesein

Ab

bild

un

g24

dargestellt.Z

usam

men

setzen

der

semik

lassischen

Wellen

fun

ktio

nein

erklassisch

enK

urveC

erfolg

tgem

äß:

1.ψq (x)=

ψ(q,R

)au

fd

emq

-Zw

eig

2.ψp (x)=

ψ(p,R)

auf

demp

-Zw

eig

3.ψ

,ψtran

sform

ierengem

äß(∗)

4.

Die

gesch

lossen

enK

urven

ψq (x)

un

dψp (x)

ssenein

deu

tigsein

un

dliefern

die

glo

bale

Wellen

fun

ktio

n.D

araus

erhalten

wir

die

Qu

antisieru

ngsb

edin

gu

ng.

[Sq ]−[σ

q ] π4=2πn

Defi

niere

die

Fun

ktio

n

I≡[Sq ]2π

=(n+α4 )

,α=0

Rotatio

n

2V

ibratio

n(Lib

ration

),n=0,1,2,...

was

gerad

ed

erT

orusq

ua

ntisieru

ng

entsp

richt.

2.2

.2.2

Verallg

emein

erun

gau

fm

ehrd

imen

sion

alein

tegrab

leSy

steme

Wir

verwen

den

den

An

satz

ψ(q)=

A(q)e

iS(q)/.

Dieser

füh

rtau

fd

ieH

amilto

n-Jaco

bi-D

ifferen

tialgleich

un

gfü

r→0

H(q,∇

q S)−E=0,

p=∇q S(q

).

2015-0

5-07

71

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

D

C

D

C

D

C

q

p

ñ23

rei

ne

Rota

tion

ist[σ]=0

un

dd

amit

auchα=0.

Die

Mas

lov-

Ind

ex-F

un

kti

on

die

nt

zu

rB

uch

füh

run

ber

die

Phas

end

erW

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nfu

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on

bei

mB

ild

wec

hse

l.D

erM

asl

ov-I

nd

exis

t

α≡[σ]2

wob

ei[σ]

die

Än

der

un

gvo

inei

nem

Um

lau

fd

arst

ellt

.Fü

rei

nen

Osz

illa

tor

(Vib

rati

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,Li

bra

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)gil

t[σ]=4,α=2

un

dim

Fall

der

Rota

tion

[σ]=0,α=0.

Defi

nie

red

ielo

kal

ese

mik

lass

isch

eW

elle

nfu

nkti

on

ψ(q,R)= B(q)e

i[S(q)/−σ

qπ/4]q∈R

0so

nst

Hie

rbei

ents

pri

chtR

ein

emb

egre

nzte

nB

erei

chimq-

Rau

m(z

.B.e

inZ

wei

g).T

ran

sform

atio

nin

den

Imp

uls

rau

mer

folg

td

urc

hFo

uri

er-T

ran

sform

atio

n.

ψ(p,R)≈

1√ 2π

∫ RdqB(q)e

i[S(q)/−σ

qπ/4−qp/]

Der

Inte

gran

dosz

illi

ert

star

kinq

auß

erw

ennp=

dS/

dq

(sta

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äre

Ph

ase)

.Ber

ech

nen

wir

also

das

Inte

gra

lin

stat

ion

ärer

Ph

asen

app

roxi

mat

ion

.

S≈S 0+

dS

dq ︸︷︷︸

p

(q−q 0)+1 2

d2S

dq2(q−q 0)2

ψ(p,R)= B(p)e

i[S(p)/−σ

pπ/4]p∈R

0so

nst

(∗)

7020

15-0

4-3

0

Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

2K

on

serv

ativ

eSy

stem

e

2.1

Kla

ssis

ches

Ch

aos

Wir

star

ten

mit

ein

erW

ied

erh

olu

ng

der

kla

ssis

chen

Mec

han

ik.

Die

Lagra

ngef

un

kti

on

lau

tet

L=L(q i,qi,t)=T−V

mit

den

gen

eral

isie

rten

Koord

inat

enq i

,w

elch

ed

ieZ

wan

gsb

edin

gu

ngen

bei

nh

alte

n.

Die

Eule

r-La

gra

nge-

Gle

ich

un

gla

ute

td dt∂L ∂qi=∂L ∂qi

Die

sis

täq

uiv

alen

tzu

rH

amil

ton

fun

kti

on

un

dd

enH

amil

ton

sch

enG

leic

hu

ngen

:

pi=∂L ∂qi,

kan

on

isch

eIm

pu

lse

H=∑ i

piqi−L

pi=−∂H ∂q

i

q i=∂H ∂p

i

Die

Mec

han

iklä

sst

sich

auch

sym

ple

kti

sch

form

uli

eren

.D

azu

defi

nie

ren

wir

den

Ph

asen

-ra

um

vekto

rγ=(q,p),

der2N

Dim

ensi

on

enh

at.W

eite

rhin

ben

öti

gen

wir

die

sym

ple

kti

sch

eM

atri

xJ

J=(ON×N

1N×N

−1N×N

ON×N

)∈R2N×2N

wom

itw

ird

ieH

amil

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sch

enB

eweg

un

gsg

leic

hu

ngen

sch

reib

enkön

nen

als

d dtγ=J∂H ∂γ

Für

ein

Syst

emm

itN

Frei

hei

tsgra

den

gil

t,d

ass

die

Bew

egu

ngsg

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hu

ngen

mei

st„e

infa

ch“

zu

löse

nsi

nd

,w

enn

esgee

ign

ete

Koord

inat

engib

t,in

den

end

ieH

amil

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ein

e„e

infa

che“

Form

ann

imm

t.Ein

eei

nfa

che

Ham

ilto

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wär

ezu

mB

eisp

iel

ein

e,b

eid

eral

leK

oord

inat

enzyk

lisc

hsi

nd

,das

hei

ßtH

hän

gt

nic

ht

exp

lizit

von

den

Koord

inat

enab

.

H=H(P)=⇒P i=0

=⇒P i(t)=αi=

con

st

Qi=∂H ∂Pi=ωi=

con

st=⇒Qi(t)=ωit+βi

Für

ein

ges

chlo

ssen

esSy

stem

bed

eute

td

ies

ein

eB

eweg

un

gau

fei

nem

N-d

imen

sion

alen

Toru

s.

2015

-01-

08

43

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

AB

C

D

q

p

ñ22

Ph

asenp

ortrait

eines

Osz

illators

mit

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Pu

nk

tenA

un

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derq

-Um

keh

ru

nd

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nk

tenC

un

dD

derp

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r.

Ein

eLö

sun

gS(q)

kan

nn

ur

bis

zu

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Stellenb

eiA

un

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verwen

det

werd

en(sieh

eA

bb

il-d

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g22),an

den

enSin

gulartitäten

/Kau

stiken

auftreten

.Die

kan

on

ische

Tran

sform

ation

vom

Ortsrau

min

den

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ulsrau

mist

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niert

üb

er

S(p)=

S(q)−pq,q=−

dSdp

H(−

dSdp,p )

−E=0.

Diese

sotran

sform

ierteLö

sun

gS(p

)ist

singu

lärb

eiC

un

dD

.So

mit

startenw

irim

Zw

eigA

DB

un

dverfo

lgenS(q)

bis

ku

rzvo

rC

un

dw

echseln

dan

nin

den

Imp

ulsrau

m.A

nsch

ließen

dverfo

lgen

wirS(p

berC

hin

aus

un

dw

echseln

dan

nin

den

Ortsrau

mzu

rück

.Dieses

Spiel

wied

erholen

wir

für

einen

gan

zen

Um

lauf.

Maslo

v-In

dex

sign (

dpdq

)= +1

dpdq>0

−1

dpdq<0

Für

die

Maslo

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ex-Fun

ktio

ngilt

ñσq (x)

istein

egan

ze

Zah

lau

fjed

emq

-Zw

eig.

ñσp (x)

istein

egan

ze

Zah

lau

fjed

emp

-Zw

eig.

ñσp (x)=

σq (x)−

sign (

dpdq ).

2015-0

4-30

69

2.1|

Kl

assis

ch

es

Ch

ao

s

Frage:W

iefi

nd

enw

ird

ie„rich

tigen

“(z

yklisch

en)

Variab

len?

Diese

fin

det

man

mittels

einer

kan

on

ischen

Tran

sform

ation(p,q)

→(P,Q)

üb

erein

eerz

eugen

de

Fun

ktio

n,z

.B.F2 =

S(q,P,t).

pi =

∂S∂q

i

Qi =

∂S∂P

i

H(P,Q,t)=

H(p,q,t)+

∂∂t S(q,P,t)

︸︷︷

︸=−E

fürH

zeitu

nab

h.

Eingeeign

etesS[H

=H(P);P

i (t)=co

nst;Q

i (t)=ωi t+

βi ]

istLö

sun

gd

erH

amilto

n-Jaco

bi-

Gleich

un

g

H(∂S∂q

i ,q,t )

+∂S∂t=0

welch

eein

ep

artielleD

ifferen

tialgleich

un

gist.

Die

Ham

ilton

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ktio

nh

eißt

integ

rabel,

fallsein

eglo

bale

Lösu

ng

der

Ham

ilton

-Jacob

i-Gleich

un

gexistiert.

Pro

blem

:Die

Existenz

einer

glo

balen

Lösu

ng

istn

icht

gesich

ert.

Eine

Un

terklasse

der

integrab

lenSystem

esin

dd

iesep

arablen

Systeme.H

heiß

tsep

arabel

ind

enK

oord

inaten

qi ,w

enn

die

Ham

ilton

-Jacob

i-Gleich

un

gen

mit

dem

Separatio

nsan

satz

S=∑i

Si (q

i ,α1 ,...,α

N )

inN

gew

öh

nlich

eD

ifferen

tialgleich

un

gen

Hi (∂S∂q

i ,qi )=αi

zerfallen

,w

asN

Erh

altun

gsg

röß

en(In

tegrale

der

Bew

egu

ng)

entsp

richt.

Für

die

Um

lauff

re-q

uen

zωi

auf

dem

Toru

sgilt

imA

llgem

einen

ωi≠∂H∂α

i

2.1.1

Wirk

un

gs-

un

dW

ink

elvariab

len

Die

Wah

ld

erαi

istn

icht

eind

eutig

,eb

ensoJi =

Ji (α)

bzw

.αi =

αi (J).

Als

ph

ysikalisch

sinn

voll

erweist

sichd

ieU

mlau

ffreq

uen

zau

fd

emT

oru

s

∂H∂Ji =

ωi

Die

Erzeu

gen

de

für

die

kan

on

ische

Tran

sform

ation

istgeg

eben

du

rch

S(q,J)=

S(q,α(J))

H(α)→

H(J)

44

2015-0

1-08

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

Bem

erku

ng:

Um

auf

die

Qu

anti

sier

un

gbed

ingu

ng

zu

kom

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,bed

arf

esei

ner

kle

inen

Rec

h-

nu

ng,i

nd

erw

irzu

näc

hst

die

Inte

gra

leu

msc

hre

iben

∫ a xp(x)dx

︸︷︷

︸=S1

=∫ a bp(x)dx

︸︷︷

︸≡S/2

−∫ x bp(x)dx

︸︷︷

︸=S2

=⇒S 1=S 2−S 2.

An

sch

ließ

end

kön

nen

wir

den

Kosi

nu

sd

erW

elle

nfu

nkti

on

um

sch

reib

en,d

.h.

cos( 1

∫ a xp

dx−π 4

)=

cos( S

1 −π 4

)

=co

s((S 2−π 2

)−( S

2 −π 4

))

=co

s(S 2−π 2

) cos( S

2 −π 4

)+

sin(S 2−π 2

) sin( S

2 −π 4

) .

Da

die

sm

itd

emT

erm

cos( S

2 −π 4

)

für

alle

Wer

teü

ber

ein

stim

men

mu

ss,m

üss

end

ieSi

nu

s-T

erm

eve

rsch

win

den

un

dd

erK

osi

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s-T

erm

glei

ch1

sein

,was

jage

rad

ed

erFa

llis

t,w

enn

des

sen

Arg

um

ente

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teπn

mitn∈

N0

ann

ehm

en.D

arau

sfo

lgt

un

mit

telb

ard

ieQ

uan

tisi

eru

ngs

bed

ingu

ngS/(2)−π/2=πn

2.2

.2T

oru

squ

anti

sier

un

g

Die

WK

B-M

eth

od

eis

tje

doch

nic

ht

anw

end

bar

auf

Syst

eme

mit

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eiod

erm

ehr

Frei

hei

tsgr

a-d

en.D

esh

alb

wid

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wir

un

sei

ner

alte

rnat

iven

Met

hod

e,d

ieT

oru

squ

an

tisi

eru

ng

.

2.2

.2.1

Imei

nd

imen

sin

alem

Fal

l

Bet

rach

ted

azu

ein

enO

szil

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rim

Phas

enra

um

(Vib

rati

on

,Lib

rati

on

).D

ieH

amil

ton

fun

kti

on

lau

tet

H(p,q)=p2

2m+V(q)

mit

den

Bew

egu

ngsg

leic

hu

ngen

q=∂H ∂p

,p=−∂H ∂q

Die

Ham

ilto

n-J

acob

i-G

leic

hu

ng

des

Syst

ems

lau

tet

(vgl.

WK

B-M

eth

od

em

it→0)

H( q,

dS

dq

)−E=0.

68

2015

-04

-30

Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Für

die

Wir

kun

gsv

ari

able

gil

t

J i=1 2π

∮pidq i=1 2π

∮∂Si(q i,α)

∂qi

dq i

Die

sli

efer

tu

ns

ein

enn

euen

Satz

vonN

(erh

alte

nen

)Im

pu

lsen

.

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Win

kelv

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zu

denJ i

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isch

kon

jugi

erte

nK

oord

inat

enQi

ist

beiJ i=

con

std

urc

h

θ i=ωit+βi

geg

eben

,d.h

.

θ i=∂S(qi,J i)

∂Ji

.

¸Bei

spie

l1.

Ein

fach

ster

Fall

:Ein

dim

ensi

on

ale

kon

serv

ativ

eSy

stem

e(i

nte

gra

bel

)

H=1 2p2+V(q)=E=

con

st

J=1 2π

∮p

dq=1 2π

∮√ 2(E−V(q))

dq

Für

ein

Pen

del

:

H=

p2 ϕ

2m`2+mg`(1−

cosϕ)=E

J=1 2π

∮√ 2m`2(E−mg`(1−

cosϕ))

Fall

un

ters

chei

du

ng:

a)E<0:

Esex

isti

ert

kei

ne

Lösu

ng

b)0<E<2mg`:ϕ

-Bew

egu

ng

hat

zw

eiU

mkeh

rpu

nkte

geg

eben

du

rch

cosϕ1,2=

1−E/(2mg`)

:Vib

rati

on

J=1 π

∫ ϕ2

ϕ1

√ 2m`2(E−mg`(1−

cosϕ))

c)E>2mg`:1−

cosϕ=E/(mg`)>2

Es

gib

tal

sokei

ne

Um

keh

rpu

nkte

der

ϕ-B

eweg

un

g:R

ota

tion

J=1 2π

∫ 2π

0

√ 2m`2(E−mg`(1−

cosϕ))

Ver

ansc

hau

lich

un

gd

erve

rsch

ied

enen

Bew

egu

ngst

ypen

imPh

asen

port

rait

erh

ält

man

du

rch

Au

ftra

gu

ngp(q)=±√2(E−V(q))

2015

-01-

08

45

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

ba

x

V (x)

ñ21

Das

Pro

blem

istd

ieA

np

assun

gd

erW

ellenfu

nk

tion

.D

ieLösu

ng

liegt

ind

erLin

earisierun

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esPoten

tialan

den

Um

keh

rpu

nk

ten,z.B

.x=a

.

Imklassisch

erlaub

tenB

ereichx>0

ergib

tsich

ψ(x)∼

A(x)

cos [23

√2mF0

x3/2−

α ].

IMV

ergleich

mit

der

Airy-Fu

nktio

nfi

nd

enw

ir

ψ(x)=

cA

i [−(2mF0

)1/3x ]

.

Dies

liefertim

Limesx→−∞

die

asymp

totisch

eLö

sun

g

ψ(x)=

c ′

(−x)1/4

cos [23

√2mF0

x3/2−

π4

].

Folglich

mu

ssα=π/4

sein.In

nerh

albvo

nd

enU

mkeh

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nkten

b<x<a

(klassisch

eZ

on

e)m

üssen

die

Wellen

fun

ktio

nen

aufg

run

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erEin

deu

tigkeit

üb

ereinstim

men

(vgl.

An

schlu

ss-u

nd

Stetigkeitsb

edin

gu

ng)

ψ(x)∼

cos (1

∫axp

dx−π4

)

!∼co

s (1

∫xbp

dx−π4

)

=⇒1

∫abp

dx−π2=nπ

∫abp

dx=π(n+12 )

,0,1,2,3,...

Dies

istd

ieW

KB-Q

ua

ntisieru

ngsb

edin

gu

ng

für

geb

un

den

eZ

ustän

de.

2015-0

4-30

67

2.1|

Kl

assis

ch

es

Ch

ao

s

2.Z

entralk

raftpro

blem

V(r)=

V(r=|r|):In

Ku

gelk

oord

inaten

(r,ϑ,ϕ)

H=

12m

(p2r +

p2ϑ

r2+

p2ϕ

r2

sin2ϑ

)+V(r)=

E

pr =

∂S∂r,pϑ =

∂S∂ϑ,pϕ=∂S∂ϕ

Mit

dem

Separatio

nsan

satzS=Sr (r)+

Sϑ (ϑ)+

Sϕ(ϕ)

lautet

die

Ham

ilton

-Jacob

i-G

leichu

ng:

12m

(∂S∂r )

2+1r2 [(

∂S∂ϑ

)2+

1sin

(∂S∂ϕ︸︷︷︸

αϕ =LZ =

con

st

)2 ]

︸︷︷

︸α2ϑ =L2=

con

st

+V(r)

︸︷︷

︸αr =E=

con

st

=E

∂Sϕ

∂ϕ=Lz

Wirk

un

gsvariab

le=⇒

Jϕ=12π

∮Lz

dϕ=12π

∫2π

0Lz

dϕ=Lz

∂Sϑ

∂ϑ=√L2−

L2z

sin2ϑ

=⇒Jϑ =

12π

∮√L2−

L2z

sin2ϑ

dϕ=L−

Lz

∂Sr

∂r=√2mE−L2

r2 −

V(r)

=⇒Jr =

12π

∮√2mE−L2

r2 −

V(r)

dr

Beim

Kep

lerpro

blem

hab

enw

irein

Zen

tralpoten

tialgeg

eben

du

rch

V(r)=

−kr

E<0

=⇒Jr =−(Jϑ +

Jϕ)+k √

m−2E

InW

irku

ngs-W

inkel-V

ariablen

erhält

man

H=E=−

mk2

2(Jr +Jϑ +

Jϕ)2

Frequ

enzen

:

ωr =

ωϑ =

ωϕ=

∂H∂J(r,ϑ

,ϕ) =

mk2

(Jr +Jϑ +

Jϕ)3

Dies

entsp

richt

einer

Entartu

ng

derω

un

dh

ängt

mit

den

Symm

etrienzu

samm

en.W

irerh

altenalso

gesch

lossen

eB

ahn

en,h

ierd

ieb

ekan

nten

Kep

lerellipsen

.

H=H(Jr ,J

ϑ +Jϕ

︸︷︷

︸L=|L|

)=⇒ωϑ =

ωϕO(3)-Sym

metrie

ImA

llgem

einen

istωr≠ωϑ .

Das

Kep

lerpro

blem

besitz

tein

eh

öh

ereSym

metrie

(O(4)-Sym

metrie)

alsfü

rein

Zen

tralkraftp

rob

lemzu

erwarten

wäre.

Separatio

nin

verschied

enen

Koord

inaten

systemen

(nich

tn

ur

Ku

gelk

oord

inaten

mög-

lich),

z.B

.K

ugelk

oord

inaten

,p

arabolisch

eK

oord

inaten

(vierSystem

eim

Ortsrau

m,

sechs

Systeme

imIm

pu

lsraum

).

46

2015-0

1-08

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2.2

|S

em

ikl

assis

ch

eT

he

or

ien

2.2

.1W

KB

Met

hod

e

Bei

der

WK

B-M

eth

od

e(n

ach

Wen

zel

,K

ram

eru

nd

Bri

llou

in)

geh

enw

irvo

nd

erSc

hrö

din

ger

-gle

ich

un

gfü

rei

nei

nd

imen

sion

ales

Syst

emm

itPote

nti

alV(x)

aus.

ψ′′+2m 2

( E−V(x))ψ=0.

Wir

mac

hen

ein

enA

nsa

tz,b

eid

emw

irin

Am

pli

tud

eu

nd

Ph

ase

sep

arie

ren

ψ(x)=A(x)e

iS(x)/=

eiω(x)/

mitω(x)=S(x)+

ilnA(x).

Setz

enw

ird

iese

nA

nsa

tzei

n,s

oer

gib

tsi

ch

(I)S′2−2m

( E−V(x))=2A′′ A

︸︷︷︸

(∗)

(II)

2A′ S′ +AS′′=0

Was

pas

sier

tw

enn(∗)=0?

Die

Lösu

ng

für

(II)

,wel

che

ein

eK

on

tin

uit

ätsg

leic

hu

ng

dar

stel

lt,

ist

A=c(S′)−1/2.

Ein

setz

enin

(I)

lief

ert

S′2=2m(E−V)+2

[ 3 4

( S′′ S′

) 2−1 2S′′′ S′

].

Die

sen

Au

sdru

cken

twic

kel

nw

irn

ach

S=S 0+2S 1+...

S≈S 0

:S′2 0=2m(E−V)

Ham

ilto

n-J

acob

i-D

GL

=⇒S 0(x)=±∫√ 2m(E−V(x))

dx

=±∫p

dx.

Der

Au

sdru

cku

nte

rd

erW

urz

elso

llte

posi

tiv

sein

.Dah

ern

enn

tm

anV(x)<E

den

kla

ssis

cher

lau

bte

n,V(x)>E

den

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ssis

chve

rbote

nen

Ber

eich

.Das

Prob

lem

ist,

das

sA∼(S′ )−1/2

für

S′=0

div

ergi

ert,

also

and

enkla

ssis

chen

Um

keh

rpu

nkte

np=0.

Dah

erli

nea

risi

eren

wir

das

Pote

nti

alam

Um

keh

rpu

nkt,

bsp

w.x=a

E−V(x)≈F 0(x−a)=⇒p(x)=√ 2mF 0(x−a),

wob

eiF 0≡−∂V/∂x| x=

a.S

etzen

wir

oh

ne

Bes

chrä

nku

ng

der

All

gem

ein

hei

ta=0

un

der

hal

ten

ψ′′+2mF 0

2xψ=0.

Die

Lösu

ng

die

ser

Sch

röd

inger

gle

ich

un

gis

tb

ekan

nt,

den

nsi

een

tsp

rich

td

erA

iry-

DG

L.In

der

WK

B-N

äher

un

g:

∫p(x)dx=∫√ 2mF 0x

dx=2 3

√ 2mF 0x3/2+α

66

2015

-04

-30

Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

p

qC1(t=t 1)

C2(t=t 2)

ñ12

Ein

Geb

iet

mit

Gre

nzeC1(t=t 1)

geh

ber

inei

nG

ebie

tm

itG

ren

zeC2(t=t 2).

3.W

asse

rsto

ffat

om

imel

ektr

isch

enFe

ld(S

tark

-Eff

ekt)

V(r)=−k r+F·z

H=p2

2m−k r+F·z

Ein

eSe

par

atio

nin

Ku

gel

koord

inat

enis

tn

ich

tm

ögli

ch,

jed

och

ein

eSe

par

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nin

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aboli

sch

eK

oord

inat

engeg

eben

du

rch

ξ=r+z,η=r−z,ϕ

Dam

itu

nd

mitm=1

lau

tet

die

Ham

ilto

nfu

nkti

on

H=

2ξ+η(ξp2 ξ+ηp

2 η)+p2 ϕ

2ξη−

2k ξ+η+F 2(ξ−η)=E

Der

Sep

arat

ion

san

satz

für

die

Ham

ilto

n-J

acob

i-G

leic

hu

ng

lau

tet

S=S ξ(ξ)+S η(η)+S ϕ(ϕ)

µ

2.1

.2D

ieB

eweg

un

gim

Ph

asen

rau

m,Poin

caré

-Sch

nit

te

Au

sd

enH

amil

ton

sch

enG

leic

hu

ngen

folg

tfü

rau

ton

om

eSy

stem

e:

1.T

raje

kto

rien

imPh

asen

rau

msc

hn

eid

ensi

chn

ich

t.

2.Ein

Geb

iet

mit

Gre

nzeC1(t=t 1)

geh

ber

inei

nG

ebie

tm

itG

ren

zeC2(t=t 2)

(vgl.

Ab

bil

du

ng

12).

3.D

asPh

asen

rau

mvo

lum

enb

leib

tkon

stan

t(S

atz

von

Liou

vill

e)

Das

Ph

asen

rau

mp

ort

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ist2N

-dim

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al,al

son

ur

wir

kli

chsi

nn

voll

für

ein

dim

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Syst

eme

wie

ein

Pen

del

.B

esse

rgee

ign

etzu

rA

nal

yse

von

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emen

mit

zw

eiod

erm

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Frei

hei

tsgra

den

sin

dPoin

caré

-Sch

nit

te.B

etra

chte

die

Bew

egu

ng

ein

esin

tegra

ble

nSy

stem

s(N=2)

inW

irku

ngs-

Win

kel

-Var

iab

len

.

θ i=ωit+βi

(Tori

imPh

asen

rau

m)

2015

-01-

154

7

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

mB

ifurk

ation

styp

1Sattel-K

noten

-Bifu

rkatio

n2

Perio

den

verdop

plu

ng

3,4

„Tou

chan

dgo“-B

ifurk

ation

≥5

„Fiveislan

dch

ain“-

bzw

.„mislan

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ation

ñ1

Ein

ige

Bifu

rkatio

nsty

pen

un

dd

aher

Entartu

ng

beiε=

0.Ein

eB

erück

sichtigu

ng

der

näch

sth

öh

erenT

erme

liefert,z.B

.

p2+εq

2+q3

p2+εq

2+q4

Die

Zah

ld

erFixp

un

kte

änd

ertsich

beim

Nu

lldu

rchgan

gu

nseres

Kon

trollp

arameters

ε.D

iesb

ezeich

net

man

alsBifu

rkatio

nen

.D

amit

bez

eichn

etm

and

ieEn

tstehu

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od

erd

asV

erschw

ind

enp

eriod

ischer

Bah

nen

.D

ieFixp

un

kte

entsteh

enu

nd

verschw

ind

enim

mer

paarw

eise.D

ieseB

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enkön

nen

ind

erN

orm

alform

theo

rie(N=2,

Bah

nen

oh

ne

beso

nd

ereSym

metrien

)klassifi

ziert

werd

en.

¸Beisp

ielA

lsB

eispiel

dien

tw

ieder

einm

ald

asW

asserstoff

atom

imM

agn

etfeld.

Bei

der

Bifu

rkatio

nsen

ergie

vonEb =−0.011

544916

existiertein

eSattel-K

noten

-Bifu

rkatio

n.D

iesen

tsprich

tm=1

Für

eine

Trajek

torien

schar

ind

erN

ähe

der

Bifu

rkatio

nlassen

sichd

iefo

lgen

den

Fälleu

ntersch

eiden

.

1.Sattel-K

noten

-Bifu

rkatio

n↔

Fold

-Katastro

ph

e

2.Perio

den

verdop

plu

ng↔

Cu

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he

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he

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nd

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un

dB

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un

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2015-0

4-30

65

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Ch

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Mag

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2+y2)

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︸K

op

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2.1.3

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A=12B×r

48

2015-0

1-15

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2.1

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ch

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Ch

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nkt.

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sch

erFi

xpu

nkt.

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e−iϕ=2

cosϕ

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mit|t

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du

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zu

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die

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un

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2

64

2015

-04

-23

Ko

nse

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at

ive

Sy

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em

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amil

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alis

mu

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inat

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Ein

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1la

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t

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︸︷︷

︸D

reh

imp

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︸︷︷︸

par

amag

n.T

erm+

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mag

n.T

erm

︷︸︸

︷1 8B2(x

2+y2)

︸︷︷

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ieR

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un

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b-S

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tät

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sch

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en.

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erZ

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H=1 2(p

2 µ+p2 ν)−E(µ2+ν2)

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har

m.O

sz.(

fürE<0)

+1 8B2µ2ν2(µ2+ν2)

︸︷︷

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den

Ham

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nsc

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Gle

ich

un

gen

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ne

Sin

gu

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erm

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ähle

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den

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eB

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hei

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.):=e=me=(4πε 0)−1=1

2015

-01-

224

9

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=limn→∞

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Perio

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eB

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m12

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die

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2.

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leichu

ngen

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ensich

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ersym

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tischen

Form

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ng

aus

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ν ),γ=J∂H∂γ

.

Die

Stabilitätsm

atrixlässt

sichm

ittels

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M,

M(0)=

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nen

.DaM

symp

lektisch

isttreten

die

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rkatio

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disch

erB

ahn

en,N

orm

alform

-u

nd

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ph

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tenw

ird

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earisierun

gd

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bb

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ng

ind

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entsp

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ed

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eriod

ischen

Bah

nen

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rade

erhalten

wir

dan

n(qn+1

pn+1 )=[m11

m12

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2015-0

4-23

63

2.1|

Kl

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die

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den

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PSO

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lären?

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rtu

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auf

die

kla

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eorie

für

das

Wassersto

ffato

mim

Mag

netfeld

(Lz =

0).

E=E0 +E1

mitE0

0,E1

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(Störu

ng)

H=12(p

2µ +p2ν )−

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2+ν2)

︸︷︷

︸H0

−E1 (µ

2+ν2)+

18µ2ν

2(µ2+ν2)

︸︷︷

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1.Lö

sed

ieH

amilto

n-Jaco

bi-G

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ng

für

das

un

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rteSystem

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∂µ,pν =

∂Sν

∂ν,

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nsan

satzS=Sµ (µ)+Sν (ν),ω≡√−2E

0

Dam

it

12

(∂Sµ

∂µ

)2+ω2µ2

︸︷︷

︸αµ

+12

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∂ν

)2+ω2ν

2 )

︸︷︷

︸αν

=2

∂Sµ

∂µ=√2α

µ −ω2µ2

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un

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le:

J1 =

12π

∮√2α

µ −ω2µ2

dµ=1π

∫µ

max

µm

in

√2α

µ −ω2µ2

dµ=αµ

ω

J2 =

αν

ω

Win

kelvariab

le:

∂Sµ

∂µ=√2ωJ1 −ω2µ2

θ1 =

∂S∂J1 =

∫1

√2J1 /ω

−µ2

dµ=

arcsin (√ω2J1 µ )

Dam

it

µ=√2J1 /ω

sinθ1

pµ =

√2J1 ω

cosθ1

ν=√2J2 /ω

sinθ2

pν =

√2J2 ω

cosθ2

H0 =

ω(J1 +J2 )

Frequ

enzen

tartun

g:

∂H0

∂J1=∂H

0

∂J2=ω

5020

15-01-22

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2.1

|K

la

ssis

ch

es

Ch

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s

Reλ

Imλ

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lett

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Au

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nsc

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un

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hab

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lben

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llst

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ema2N=a0=1,

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alle

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zie

nte

ber

ein

stim

men

.Dar

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bt

sich

,das

san=a2N−n

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ein

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elle

Mat

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folg

t,d

assχ(λ)

nu

rre

elle

Koeffi

zie

nte

nan

hat

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der

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nw

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kom

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ann

istλ i

ein

Eige

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.Die

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erte

tret

enen

twed

eral

sD

ub

lett

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erQ

uar

tett

sau

f.

λ,λ,1 λ,1 λ

λ,1 λ

reel

l

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eiϕ,1 λ=λ=

e−iϕ

mitϕ∈R

Zu

rück

zu

rLi

nea

risi

eru

ng:

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bzw

.diff

eren

tiel

l

Mij(0,t)=∂γ

i(t)

∂γj(0).

Dam

itkön

nen

wir

die

Stab

ilit

ätsm

atri

xM(0,t)

aus

ein

emD

iffer

enti

algle

ich

un

gss

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mb

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mm

en.

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sup|λi(0,t)|

mit

dem

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un

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Exp

on

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n

L=

lim

t→∞

ln‖M(0,t)‖

t.

Ist

der

Exp

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entL=0,

sois

td

ieB

ahn

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nd

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Ab

stan

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rien

wäc

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exp

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Für

gro

ße

Zei

ten

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td

ieU

nb

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hen

bar

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td

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ik.

62

2015

-04

-16

Ko

nse

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Sy

st

em

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2.N

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Wir

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ngs

-Win

kel

-Var

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len

zu

rU

nte

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lun

gin

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nel

leu

nd

lan

gsam

eB

eweg

un

g.D

iekan

on

isch

eT

ran

sform

atio

nla

ute

tF 2=(θ1−θ 2)J1+θ 2J 2

J 1=J 1

J 2=J 2−J 1

θ 1=θ 1−θ 2

θ 2=θ 2

µ=√ 2J

1/ω

sin(θ1+θ 2)

ν=√ 2(J 2−J 1)/ω

sinθ 2

pµ=√ 2J

1/ω

cos(θ 1+θ 2)

pν=√ 2(J 1−J 2)c

osθ 2

Dam

it:H

0=ωJ 2=2

(Sch

nel

leB

eweg

un

ginθ 2

mit

Freq

uen

,θ1=

con

st).

3.Sc

hre

ibe

die

Ges

amt-

Ham

ilto

nfu

nkti

on

ind

enW

irku

ngs-

Win

kel

-Var

iab

len

der

un

ge-

stört

enB

eweg

un

g.

H=ωJ 2−[ E 1

−1 2J 1(J2−J 1)1 ω2

sin2(θ1+θ 2)s

in2θ 2]

×2 ω

[ J1

sin2(θ1+θ 2)+(J2−J 1)s

in2θ 2] =

2

Exak

t,ab

erw

ederθ 1

nochθ 2

sin

dzyk

lisc

h.

4.

Mit

telu

ng

vonH

üb

erd

iesc

hn

elle

Win

kel

-Var

iab

leθ 2

.Ben

utz

e

1 2π

∫ 2π

0si

n4(x+α)s

in2x

dx=1 2π

∫ 2π

0si

n2(x+α)s

in4x

dx=1 16(1+4

cos2α)

H'ωJ 2−1 ωE 1J 2+

116ω3(J2−J 1)J1J 2(1+4

cos2θ 1)=2

θ 2zyk

lisc

h.

H′=H−2'−2 ω2E 1+

18ω

4

(2 ω−J 1

︸︷︷

︸J 2

)J 1 ︸︷︷︸

J 1

(1+4

cos2θ 1 ︸︷︷︸

θ 1−θ2)=0

16ω2E 1=J 1J 2(1+4

cos2(θ1−θ 2))'

con

st

Som

ith

aben

wir

die

adia

bat

isch

eIn

vari

ante

inW

irku

ngs-

Win

kel

-Var

iab

len

gef

un

den

.A

dia

bat

isch

eIn

vari

ante

nsi

nd

nu

rin

ner

hal

bd

erSt

öru

ngsr

ech

nu

ng

ltig

.

5.A

nal

ytis

cher

Poin

caré

-Sch

nit

t:Ei

nse

tzen

der

urs

prü

ngl

ich

en(s

emip

arab

oli

sch

en)

Koor-

din

aten

lief

ert

adia

bat

isch

eIn

vari

ante

.

5(pµpν+ω2µν)2+ω2(pµν−pνµ)2=64ω4E 1=

con

st

PSO

Sb

eiν=0:

5(p2 µ+ω2µ2)p

2 ν=64ω4E 1=

con

st

2015

-01-

2251

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Die

Trajek

torieγ(t)

erhalten

wir

aus

den

Ham

ilton

schen

Bew

egu

ngsg

leichu

ngen

.

γ(t)=

J∂H∂γ

mit

J=[0

1

−1

0 ].

Die

symp

lektisch

eM

atrixJ

hat

die

Eigen

schaften

J −1=−J=

J ᵀu

ndJ2=−

1.

Au

sd

erH

amilto

nsch

enD

ynam

iku

nd

dem

Satzvo

nLio

uville

folg

t,d

assM(0,t)

eine

sym-

plek

tische

Matrix

ist.

Einsch

ub

zur

symp

lektischen

Gru

pp

e:D

iereelle

symp

lektisch

eG

rup

pe

SP2N (R

)ist

die

Men

ged

erM

atrizen

Mm

itM

ᵀJM=J.

Au

sd

ieserG

leichu

ng

ergeb

ensich

einig

eEig

ensch

aften:

1.Seiλ

Eigen

wert

vonM

,dan

nist

auch1/λ

Eigen

wert.B

eweis:

Mx=λx

=⇒M

ᵀy=λy

=⇒(M

ᵀ) −1y=1λy

=⇒JMJ −1y=1λy

=⇒−JMJy=1λy

=⇒M(Jy

)=1λ(Jy

)

dam

itist1/λ

Eigen

wert

vonM

mit

Eigen

vekto

rJy

.

2.Es

gilt

detM=+1

.Bew

eis:

MᵀJM=J,

detJ=

1

=⇒d

etM

ᵀ=d

etM

=⇒d

etM=±1

Au

sd

ervo

rigen

Eigen

schaft

folg

t,dass

detM=

N∏i=1 λ

i ·1λi =+1.

3.Fü

rd

asch

arakteristisch

ePolyn

om

gilt

χ(λ)=

det(M

−λ

1)=2N∑n=0 a

n λn

mit

den

Koeffi

zien

tena2N=a0 =

1.Fü

ralle

and

erenK

oeffi

zien

tengilt

die

Bez

iehu

ng

an =

a2N−n.B

eweis:B

etrachte

das

Polyn

om

χ(λ)=

λ2Nχ(1/λ)=

2N∑n=0 a

2N−n λ

n.

2015-0

4-16

61

2.1|

Kl

assis

ch

es

Ch

ao

s

Ben

utz

e:pν ν

2=4+

2Eµ2−p2µ

(ausH=2

)

5(p2µ −2E

0 µ2)(4−

p2µ +2Eµ2)=

con

st

Interp

retation

der

Dyn

amik

im„fast-in

tegrab

len“

Bereich

:Sek

ularb

eweg

un

gd

erK

ep-

lerellipsen

:„lan

gsam

e“p

eriod

ische

Bew

egu

ng

von

Dreh

imp

ulsL=r×

pu

nd

Ru

nge-

Lenz-V

ekto

rA=p×L−

r|r| .

2.1.4

Klassisch

eStö

run

gsth

eorie

für

Ham

ilton

sche

System

em

itN

Freih

eitsgrad

en

SeiH(J,θ

)=H0 (J)+

εH1 (J,θ

)m

it(J,θ

)∈

R2N

die

Wirk

un

gs-W

inkel-V

ariablen

eines

integ

rablen

SystemsH0

un

dεH

1ein

eklein

eStö

run

g(ε

klein

).

Ziel:W

irsu

chen

neu

eW

irku

ngs-W

inkel-V

ariablen(J,θ

),sod

ass(b

isau

fT

erme

der

Ord

nu

ng

ε2)

die

neu

eH

amilto

nfu

nktio

nn

ur

von

den

neu

enW

irku

ngs-V

ariablen

abh

ängt:H

(J,θ)→

H(J)+

O(ε2).

Fou

rierentw

icklu

ng

der

Störu

ng:

H1 (J,θ

)=∑m≠0 H

1,m(J)e

im·θ,

mitm∈ZN,m

·θ=

N∑i=1 m

i θi

An

satzfü

rErz

eugen

de

einer

kan

on

ischen

Tran

sform

ation

:

S(J,θ)=J·θ+ε ∑m

Sm(J)e

im·θ+

O(ε2)

Dam

it:

J=∂S∂θ=J+

iε ∑mmSm(J)e

im·θ+

O(ε2)

Die

neu

eH

amilto

nfu

nktio

nlau

tetd

amit:

H(J)=

H(J(J,θ

),θ(J,θ

))

=H0 (J)+

∂H0

∂J

∣∣∣∣J (J−

J)+∂H

0

∂θ︸ ︷︷︸=0

+εH

1 (J,θ)+O(ε2)

=H0 (J)+

iε ∑m(m·ω(J))S

m(J)e

im·θ+

ε∑m≠0 H

1,m(J)e

im·θ+

O(ε2)

Die

Bed

ingu

ng,d

amitH

un

abh

ängig

vonθ

ist,füh

rtau

f

Sm(J)=

iH1,m(J)

m·ω(J)

fürm

≠0(S0 (J)=

0)

som

it

S(J,θ)=J·θ+

iε∑m≠0

H1,m(J)

m·ω(J)

eim·θ

istd

iegesu

chte

Erzeu

gen

de

für

die

kan

on

ische

Tran

sform

ation

.

H(J,θ

)=H0 (J)+

εH1 (J,θ

)→H(J)+

O(ε2)

5220

15-01-29

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2.1

|K

la

ssis

ch

es

Ch

ao

s

HH0

Ws

Wu

Wu

ñ18

Hom

ok

lin

eR

eson

anzen

,b

zw

.Pu

nk

teal

sSc

hn

ittp

un

kte

vonWu

un

dWs.

γ(0)

γ(t)

γ(0)+∆γ(0)

γ(t)+∆γ(t)

ñ19

Zw

eiB

ahn

enm

itu

nte

rsch

ied

lich

enA

nfa

ngsb

edin

gu

ngen

entf

ern

ensi

chex

pon

enti

ell

von

ein

and

er.

KA

M-T

ori

auf

un

dd

iest

och

asti

sch

enG

ebie

tew

ach

sen

wei

ter.

Sch

ließ

lich

löst

sich

der

letz

teK

AM

-Toru

su

nd

esfi

nd

etei

ber

gan

gzu

glob

aler

Stoch

asti

zit

ätst

att

(voll

stän

dig

esC

hao

s).

ImPSO

Ssi

nd

kei

ne

Stru

ktu

ren

meh

rzu

erken

nen

.D

ieh

öch

ste

Stu

fevo

nC

hao

sw

äre

dan

nei

ner

god

isch

esV

erh

alte

n.D

ieD

ynam

ikh

eiß

ter

god

isch

,fa

lls

fast

jed

eT

raje

kto

rie

jed

enPu

nkt

imPh

asen

rau

mb

elie

big

oft

bel

ieb

ign

ahkom

mt.

Das

Zei

tmit

tel

ents

pri

cht

dan

nd

emM

itte

ber

das

Ph

asen

rau

mvo

lum

en.

2.1

.6St

abil

ität

kla

ssis

cher

Bah

nen

,M

on

od

rom

iem

atri

x

Bis

lan

gh

aben

wir

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ter

Ch

aos

die

Au

flösu

ng

der

Toru

sstr

uktu

ren

(In

tegr

ale

der

Bew

egu

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imPh

asen

rau

mve

rsta

nd

en.E

inan

der

erZ

ugan

ger

folg

ber

die

sen

siti

veA

bh

ängig

kei

td

erB

eweg

un

gvo

nd

enA

nfa

ngsb

edin

gu

ngen

,w

iew

irsi

esc

hon

bei

den

dis

kre

ten

Ab

bil

du

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(Map

s)b

etra

chte

th

aben

un

dfü

hrt

auf

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Un

vorh

ersa

gbar

kei

td

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ngz

eitd

ynam

ikin

stab

iler

Bah

nen

.

Ges

uch

tis

tei

ne

char

akte

rist

isch

eA

uss

age

üb

er∆γ(t)

inA

bb

ild

un

g19

.Ein

eId

eeis

td

ieLi

nea

risi

eru

ng

von∆γ(t).

∆γ(t)=M(0,t)·∆γ(0)

mit

der

Stab

ilit

ätsm

atri

xM(0,t)∈R2N×2N

un

dd

emPh

asen

rau

mve

kto

r

γ=( q p

)∈R2N.

60

2015

-04

-16

Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Dis

kuss

ion

DieJ

sin

d(n

eue)

Erh

altu

ngsg

röß

end

esges

tört

enSy

stem

s(b

isO

rdn

un

gε2

).

ñD

ieSt

öru

ngs

theo

rie

läss

tsi

chzu

höh

eren

Ord

nu

nge

ninε

fort

setz

en.D

abei

stel

ltsi

chd

ieFr

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ob

dan

nn

och

alle

sin

tegra

bel

ist.

ñm·ω=0

ents

pri

cht

rati

on

alen

Freq

uen

zve

rhäl

tnis

sen

,als

oR

eson

anzen

.Die

ein

zel

nen

Ter

me

der

Störu

ngsr

eih

ed

iver

gie

ren

für

reso

nan

teT

ori

Die

ents

chei

den

de

Frag

ela

ute

t:W

ann

kon

verg

iert

die

Störu

ngsr

eih

efü

rei

nen

Toru

sd

esSy

stem

sH=H0+εH

1b

zw

.w

elch

eT

ori

„üb

erle

ben

“d

ieSt

öru

ngεH

1u

nd

wer

den

nu

rd

eform

iert

?

Die

An

twort

gib

td

asK

AM

-Th

eore

m(K

olm

ogoro

v19

54,

Arn

old

196

3,M

ose

r19

67)

.Ein

eq

ual

itat

ive

Form

uli

eru

ng

des

Th

eore

ms

wär

e,d

ass

fast

alle

inva

rian

ten

Tori

ein

een

dli

chgr

eSt

öru

ng

„üb

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ben

“u

nd

nu

rd

eform

iert

wer

den

.„Fa

stal

leT

ori

“si

nd

hie

rd

ieje

nig

en,

die

gen

ügen

dir

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on

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nd

.

Kom

men

wir

zu

rm

ath

emat

isch

enFo

rmu

lier

un

g,al

sod

erFr

age

nac

hlo

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erK

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verg

enz

der

Störu

ngs

theo

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für

ein

enei

nzel

nen

Toru

sm

itFr

equ

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des

inte

grab

len

Syst

emsH0

bei

mEi

nsc

hal

ten

ein

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dli

chen

(kle

inen

)St

öru

ng.

KA

M-T

heo

rem

(mat

hem

atis

che

Form

uli

eru

ng)

Der

inva

ria

nte

Tor

us

des

ges

tört

enSy

stem

sH=H0+εH

1m

itden

selb

enFr

equ

enze

(wie

der

un

ges

tört

eT

oru

s)ex

isti

ert,

wen

ndie

folg

end

end

reiBed

ingu

ngen

erfü

llt

sin

d.

(B1)

Lin

eare

Un

abh

än

gig

keit

oder

gen

ügen

de

Nic

htl

inea

ritä

td

erω(J)

det∂ω

i

∂Jj=

det∂2H0

∂Ji∂J j

≠0

(B2)

Die

Stör

un

gH1(J,θ)

ist

ein

egen

ügen

dgla

tte

Fun

ktio

nvo

nJ

un

.

(B3)

Die

Freq

uen

zenω

erfü

llen

die

Bed

ingu

ng

der

gen

ügen

den

Irra

tion

alitä

t,d.h

.fü

ralle

m≠0

gilt

|m·ω|≥

K(ε,ω,σ)

|m|N−1+σ

mit|m|=

∑ i

|mi|

un

dσ>0

un

dei

ner

Kon

sta

nteK(ε,ω,σ)

wob

eiK→0

fürε→0.

Ï

Lesw

eise

(B3)

:Fü

rje

den

irra

tion

alen

Toru

s(m·ω

≠0

für

allem

≠0)

gib

tes

ein

end

lich

esε>0

für

das

der

Toru

sd

ieSt

öru

ngεH

1„ü

ber

leb

t“.B

eizu

neh

men

der

Stär

ke

der

Störu

ng

(K(ε,ω,σ)

wäc

hst

)w

ird

der

Toru

sje

doch

ind

erR

egel

zer

stört

.

Das

KA

M-T

heo

rem

sagt

nic

hts

üb

erd

iera

tion

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Tori

,d

iese

kön

nen

imPri

nzip

du

rch

bel

ieb

igkle

ine

Störu

ngen

zer

stört

wer

den

.

2015

-01-

2953

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

ñ16

Tori

mit

ration

alenFreq

uen

zv

erhältn

issenzerfallen

inim

mer

klein

ereT

ori;

das

Mu

sterd

ern

euerz

eugten

elliptisch

enu

nd

hy

perb

olisch

enFix

pu

nk

tezeig

tSelb

stähn

lichk

eit.

Ws

Wu

ñ17

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istein

estab

ile,Wu

eine

instab

ileM

ann

igfaltig

keit,

die

sichin

einem

hy

perb

olisch

enFix

-p

un

kt

schn

eiden

.

Instab

ilität:Die

Bah

nen

hän

gensen

sitivvo

nd

erA

nfan

gsbed

ingu

ng

ab.A

us

der

Existenz

eines

hom

oklin

enPu

nktes

folgt,d

asses

un

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lichviele

gibt

(siehe

Ab

bild

un

g18

).Äh

nlich

werd

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ieSch

nittp

un

kte

zw

ischen

den

stabilen

un

din

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Man

nig

faltigkeiten

ben

achb

arterR

eson

anzen

alsh

eteroklin

ePu

nkte

ben

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t,d

.h.d

iesich

schn

eiden

den

Man

nig

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entstam

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aus

un

terschied

lichen

Fixpu

nkten

.

Wir

hab

enb

isher

den

Weg

ins

Ch

aos

üb

erein

integrab

lesSystem

mit

einer

Störu

ng

betrach

tet.Fü

rein

eklein

eStö

run

ggilt

das

KA

M-T

heo

rem.

Nach

diesem

üb

erleben

fastalle

Tori,

bis

auf

die

Nu

llmen

ge

der

reson

anten

Tori.

Bei

Zu

nah

me

der

Störu

ng

verletzen

meh

ru

nd

meh

rT

ori

die

Bed

ingu

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der

gen

ügen

den

Irration

alitätu

nd

der

An

teild

erR

eson

anzlü

cken

wäch

st.Nach

dem

Poin

caré-Birk

hoff

-Th

eorem

zeigt

der

PSOS

eine

gerade

Zah

lvon

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nkten

(elliptisch

,h

yperb

olisch

)in

den

Reso

nan

zlü

cken

(N=2).

Der

Ph

asenrau

m,b

zw

.d

erPSO

Sb

ekom

mt

eine

fraktale

Struktu

r.Siehe

hierz

uA

bb

ildu

ng

16.N

imm

td

ieStö

run

gn

och

weiter

zu

,entsteh

ensto

chastisch

eG

ebiete

ind

erU

mgeb

un

gh

yperb

olisch

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un

kte.D

iestab

ilenu

nd

instab

ilenM

ann

igfaltigkeiten

Ws

un

dWu

schn

eiden

sichu

nen

dlich

oft

ind

enh

om

oklin

enod

erh

eteroklin

enPu

nkten

.Bei

noch

weiterer

Zu

nah

me

der

Störu

ng

lösen

sichim

mer

meh

r

2015-0

4-16

59

2.1|

Kl

assis

ch

es

Ch

ao

s

Bew

eissk

izze

Setzep=J−

J0,q=θ,ω=∂H

0

∂J,hij =

∂2H

0

∂Ji ∂J

j

Entw

icklu

ng

der

un

gestörten

Ham

ilton

fun

ktio

nin

der

Um

gebu

ng

vonJ0

(Störu

ngsth

eorie

ind

erlo

kalen

Um

geb

un

gd

esT

oru

sm

itW

irku

ngsvariab

leJ0

un

dFreq

uen

zenω

):

H0 =

H0 (J

0 )︸︷︷

︸≡n

+ω·p+12

N∑i,j=1 h

ij pi pj +O(p

3)

Frage:G

ibt

eskan

on

ische

Tran

sform

ation

en(q,p

)→(Q,P),so

dass

das

gestö

rteSystem

H=n+ω·p+12

N∑i,j=1 h

ij pi pj +ε A(q)+

N∑`=1 B

` (q)p`

︸︷︷

︸Stö

run

g

+O(p

3,εp2,...)

(2.1)

ind

erFo

rm

H=M(ε)+

ω·P+O(p

2,ε2,εp

)=⇒Q=∂H∂P

=⇒Q(t)=

ωt

(2.2)

geschrieb

enw

erden

kan

n.W

irseh

en,d

assH

mit

den

selben

Frequ

enzenω

wie

inH0

erschein

tu

ndM(ε)

einer

vonε

nich

tab

er(Q,P)

abh

ängig

enK

on

stanten

.

An

satzfü

rkan

on

ische

Tran

sform

ation

:

F(q,P)=q·P+εP

·Y(q)+ξ·q+X(q)

Dam

itgilt

Qi =qi +εY

i (q),

pi =Pi +ε ∑`

P` ∂Y

`

∂qi +

ξi +

∂X∂qi .

Einsetz

envo

np

in(2.1)

füh

rtau

f

H=ω·P+n+ε A(q)+

∑`

ω` (ξ` +

∂X∂q

` ) ︸

︷︷︸

vgl.(2.2):M

(ε)

+ε ∑`

P` B` (q)+

∑k

ωk ∂Y

`

∂qk +

∑k

h`k (

ξk +

∂X∂q

k ) ︸

︷︷︸

vgl.(2.2):0

+O(P

2,ε2).

Also

besitz

td

asgestö

rteSystem

Hein

enT

oru

sm

itd

enselb

enFreq

uen

zenω

wie

das

un

gestö

rteSystem

H0 ,w

enn

A(q)+

∑`

ω` (ξ` +

∂X∂q

` )=ζ=M(ε)−

,

B` (q)+

∑k

h`k ξ

k +∑k

h`k∂X∂q

k︸

︷︷︸

Z` (q)

+∑k

ωk ∂Y

`

∂qk=0

5420

15-01-29

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2.1

|K

la

ssis

ch

es

Ch

ao

s

K−

K+

K

elli

pti

sch

erFi

xpu

nkt

hyp

erb

oli

sch

erFi

xpu

nkt

T ε

0R

P 0

P −P +

ñ15

Skiz

ze

zu

mB

ewei

sd

esPoin

caré

-Bir

kh

off

-Th

eore

ms

(mit

Störu

ng).

Die

Ori

enti

eru

ng

der

Ver

sch

ieb

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tern

iert

and

enFi

xpu

nkte

n.U

nte

rB

erü

cksi

chti

gun

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esD

reh

sin

ns

der

Ku

rvenK±

folg

tei

ne

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ren

de

Ab

folg

eel

lip

tisc

her

un

dh

yper

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sch

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xpu

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.

Inei

ner

lokal

enU

mge

bu

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der

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pti

sch

enFi

xpu

nkte

gilt

:In

den

Res

on

anzlü

cken

zw

isch

end

enir

rati

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Tori

sin

d(s

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nd

äre)

KA

M-T

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ein

geb

ette

t.Ein

eW

ied

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olu

ng

des

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lsK

AM

-u

nd

Poin

caré

-Bir

kh

off

-Th

eore

m.T

erti

äre

Toru

sstr

uktu

ren

sin

dei

nge

bet

tet

inR

eson

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lück

enzw

isch

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Tori

der

seku

nd

ären

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sstr

uktu

ren

.Ein

eFo

rtse

tzu

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des

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lsb

isin

sU

nen

dli

che

lief

ert

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tale

Stru

ktu

ren

imPh

asen

rau

m,b

zw

.im

PSO

S(v

gl.

Ab

bil

du

ng

16).

Ind

erU

mgeb

un

gd

erh

yper

boli

sch

eFi

xpu

nkte

gil

t:D

ieB

eweg

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gin

der

Näh

ed

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y-p

erb

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sch

enFi

xpu

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wir

din

stab

il,

die

Bah

nen

wer

den

vom

hyp

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sch

enFi

xpu

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weg

get

rieb

en.

Wic

hti

g:D

iest

abil

enWs

un

din

stab

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Man

nig

falt

igkei

tenWu

Wu=x∈

SOS|

lim

n→−∞P(n) (x)=x∗ ,

Ws=x∈

SOS|

lim

n→∞P(n) (x)=x∗

kön

nen

sich

nic

ht

selb

stsc

hn

eid

en(s

on

stw

ären

die

Tra

jekto

rien

imPh

asen

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mfü

rge-

geb

ene

An

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gsb

edin

gu

ngen

nic

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ein

deu

tig).Wu

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dWs

kön

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sich

ind

enso

gen

ann

ten

hom

okli

nen

Pu

nkte

nsc

hn

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en(s

ieh

eh

ierz

uA

bb

ild

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g17

).W

irsp

rech

envo

nh

om

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-n

enPu

nkte

n,w

enn

die

stab

ile

un

dd

iein

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Man

nig

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tsi

chvo

mse

lben

Fixp

un

kt

ausg

ehen

dsc

hn

eid

en(A

bb

ild

un

g18

).

5820

15-0

2-12

Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Imn

äch

sten

Sch

ritt

folg

tei

ne

Fou

rier

entw

icklu

ng

alle

rvo

nq=θ

abh

ängig

enFu

nkti

on

en.

A(q)=∑ ma(m)e

im·q

B `(q)=∑ mb `(m)e

im·q

X(q)=∑ mx(m)e

im·q

Y `(q)=∑ my`(m)e

im·q

Z`(q)=∑ mz `(m)e

im·q

mitm∈ZN

Dam

iter

hal

ten

wir

das

Gle

ich

un

gss

yste

m a(0)+∑ `

ω`ξ `=ζ,

(2.3

a)

a(m)+

i(m·ω)x(m)=0,m

≠0,

(2.3

b)

b `(0)+∑ k

h`kξ k+z `(0)=0,

(2.3

c)

b `(m)+z `(m)+

i(m·ω)y

`(m)=0,m

≠0.

(2.3

d)

Man

erh

älth`k

ausH0,d

ieK

on

stan

tenξ k

un

sin

dn

och

zu

bes

tim

men

.Die

Koeffi

zie

nte

na(m),b `(m)

erh

ält

man

ausH1.S

chli

eßli

chso

llenx(m),z `(m)

un

dy`(m)

kon

verg

ent

sein

.

Zu

rB

edin

gu

ng

(B1)

:d

eth`k≠0

ist

erfo

rder

lich

zu

rB

esti

mm

un

gd

erK

on

stan

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aus

Gle

ich

un

g(2

.3c)

,d.h

.es

ist

ein

lin

eare

sG

leic

hu

ngss

yste

mzu

löse

n.

Zu

den

Bed

ingu

ngen

(B2)

un

d(B

3):

Die

gen

ügen

de

Gla

tth

eit

vonH1

ist

notw

end

igu

mzu

gar

anti

eren

,d

assa(m)

un

db `(m)

hin

reic

hen

dsc

hn

ell

abn

ehm

en,w

enn|m|→∞

,so

das

sm

anfü

rX(q),Z`(q)

un

dY `(q)

kon

verg

ente

Fou

rier

reih

ener

häl

t.

Kon

kre

tb

edeu

tet

das

,wen

nA(q)

ger

adeR

stet

ige

Ab

leit

un

gen

bes

itzt,

dan

n(o

hn

eB

ewei

s)a(m)→|m|−(N+R+1)

für|m|→∞

.

Au

sd

erG

leic

hu

ng

(2.3

b)

folg

t

|x(m)|=∣ ∣ ∣ ∣ia(m)

m·ω

∣ ∣ ∣ ∣|m|→∞

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------→|m|−(N+R+1)

|m·ω|

(2.3

b)

≤|m|σ−R−2

K(ε,ω,σ)

Die

Rei

he

ist

fürX(q)

kon

verg

ent,

wen

n

R≥N−1+σ

(Xst

etig

)

Notw

end

ige

Bed

ingu

ng

and

ieG

latt

hei

td

erSt

öru

ng.

FürN=2

Frei

hei

tsgr

ade

istR≥2

die

notw

end

ige

Bed

ingu

ng

(Bea

chteσ>0)

un

dR≥3

die

hin

reic

hen

de

Bed

ingu

ng

für

die

Exis

ten

zvo

nK

AM

-Tori

.

Mose

r(1

96

6)

zei

gte

,das

sR≥2N+2

die

hin

reic

hen

de

Bed

ingu

ng

ist.

Bem

erku

ng

zuσ>0

in(B

3):A

nn

ahm

e:σ=0:|m·ω|·|m|N−1≥K

.

2015

-02-

05

55

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Ko

nse

rv

at

ive

Sy

st

em

e|2

Pn(K

0 )

Pn(K

+ )Pn(K

− )

ñ14

n-te

Iteration

der

Poin

care-Ab

bild

un

gen

für

Kreise

mit

versch

ieden

enR

adien

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dso

mit

un

-tersch

iedlich

enW

ind

un

gsz

ahlen

(un

gestö

rtesSy

stem).

Poin

caré-Birk

hoff

-Th

eorem

Die

Abbild

un

gTε

des

gestö

rtenSystem

sH=H0 +

εH1

hat

eine

gera

de

An

zah

lvo

nFixp

un

kten

.D

ieein

eH

älfte

sind

elliptisch

eu

nd

die

an

dere

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hyp

erbolisch

eFixp

un

kte.Ï

Bew

eis

Wir

neh

men

an,d

assd

ieH

amilto

nfu

nktio

nin

den

Wirk

un

gs-W

inkel-V

ariablen

aus-

ged

rück

tw

erden

kan

n,w

ob

eid

eru

ngestö

rteA

nteilH

0 (J)n

ur

noch

von

den

Wirk

un

gsva-

riablenJ

abh

ängt.

Die

Dyn

amik

der

Pu

nkte

aufK0

wird

du

rchein

eratio

nale

Win

du

ngsz

ahl

w=p/q

besch

rieben

.Sei

die

Win

du

ngsz

ahl

eine

glatte

Fun

ktio

nvo

nd

enJ

(Rad

iend

erT

ori),

soexistieren

nach

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KA

M-T

heo

remzw

eiin

variante

Ku

rvenK+

un

dK−,

mit

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ngsz

ahl,

die

dich

tu

mK0

liegen

un

dK0

einsch

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.D

abei

rotiert

dien

-tePoin

caré-Ab

bild

un

gPn(K

± )d

iePu

nkte

im,b

zw

.geg

end

enU

hrz

eigersin

n,w

ähren

dim

FallK0

(ration

aleW

ind

un

gsz

ahl)

imm

erein

egan

ze

Zah

lngefu

nd

enw

erden

kan

n,so

dass

einn

Zyk

lus

existiert,fü

rd

engiltPn(K

0 )=K0 ,

siehe

hierz

uA

bb

ildu

ng

14.

FürK+

werd

end

iePu

nkt

imU

hrz

eigersin

nged

reht,

fürK−

geg

end

enU

hrz

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n.B

etrachte

einen

Pu

nkt0

imIn

neren

un

dein

envo

nd

ort

ausg

ehen

den

StrahlR

.D

ieSch

nittp

un

kteP±

mit

der

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rveK±

wird

im/g

egen

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Uh

rzeig

ersinn

ged

reht.

Da

die

Ab

bild

un

gstetig

istm

uss

esein

enPu

nktP0

zw

ischenP−

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dP+

geb

en,d

ern

icht

rotiert,

son

dern

nu

ren

tlang

des

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verschob

enw

ird.

Betrach

tenw

irn

un

das

gestörte

System,so

üb

erleben

nach

dem

KA

M-T

heo

remK±

aufgru

nd

ihrer

irration

alenW

ind

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gsz

ahl,w

erden

jedoch

leicht

defo

rmiert.Im

Geg

ensatz

daz

uw

irdK0

bereits

bei

klein

enStö

run

gen

zerstö

rt.

An

nah

me:

Die

Ab

bild

un

gTε

istn

icht

entartet.

Dan

nist

die

Rotatio

nsg

eschw

ind

igkeit

eine

mon

oto

ne

Fun

ktio

nau

fd

emStrah

lR.A

lsogib

tes

für

jede

Rich

tun

gvo

nR

nu

rein

enPu

nktP

0

der

nich

tro

tiertw

ird.D

ieM

enge

allerd

ieserPu

nkteP0

istd

ieK

urve

K(K

istn

icht

invarian

tu

nterTε ,

aber

die

Pu

nkte

werd

enn

icht

rotiert

son

dern

nu

ren

tlangR

verschob

en).

Da

einH

amilto

nsch

esSystem

den

Satzvo

nLio

uville

erfüllt

(auch

bei

Störu

ngen

),gilt

Flächen

treue

fürTε .D

ieK

urven

Ku

nd

deren

BildTε (K)

ssensich

som

itkreu

zen

.Tε (K)

istgesch

lossen

un

des

folg

t,d

asses

eine

gerad

eA

nzah

lvo

nSch

nittp

un

kten

K∩Tε (K)

geb

enm

uss

(Jeder

Flächen

gew

inn

mu

ssau

sgeg

lichen

werd

en).

Diese

sind

Fixpu

nkte

der

Ab

bild

un

gTε

(kein

eR

otatio

nu

nd

kein

eV

erschieb

un

gen

tlangR

).Siehe

hierz

ud

ieK

urve

inA

bb

ildu

ng

15.

2015-0

2-1257

2.1|

Kl

assis

ch

es

Ch

ao

s

Für

belieb

igesω

un

dK

existiertein

eratio

nale

Ap

pro

ximatio

nvo

nm

,sod

assd

ieU

ngleich

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gverletz

tw

ird.

Alleω

liegen

dan

nin

Reso

nan

zlü

cken

üb

erd

ied

asK

AM

-Th

eorem

kein

eA

ussag

em

acht.

σ>0:

ImLim

esK→0

(ε→0)

erfüllen

alleirratio

nalen

Tori

die

Bed

ingu

ng

(B3)

(sind

gen

ügen

dirratio

nal),ab

erm

itzu

neh

men

demσ

steigen

die

An

ford

erun

gen

and

ieG

lattheit

der

Störu

ng

(B2),d

amit

der

Toru

berleb

t.

Zu

mW

asserstoff

-Atom

un

dH

énon

-Heiles-System

:D

ieB

edin

gu

ng

(B1)

istn

icht

erfüllt!

Die

PSO

Szeig

enab

ertro

tzd

emK

AM

Tori

bei

klein

enStö

run

gen

Schlu

ssbem

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gzu

mK

AM

-Th

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ñZ

ujed

emirratio

nalen

Toru

sgib

tes

einen

dli-

chesε>0

,sod

assd

erT

oru

sd

ieStö

run

gεH

berleb

t.

ñB

eiZ

un

ahm

ed

erStö

run

g(ε

un

dK

wach

sen)

erhalten

wir

meh

ru

nd

meh

rT

ori

die

(B3)

verletzen

un

din

Reso

nan

zlü

cken

liegen

.

ñD

asK

AM

-Th

eorem

mach

tkein

eA

ussage

üb

erd

asSch

icksal

der

Tori

ind

enR

eson

anz-

lück

en(U

mgeb

un

gen

der

ration

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ori).

ñFü

rSystem

em

itN=2

Freiheitsg

raden

bleib

td

ieB

eweg

un

gzw

ischen

zw

eiK

AM

-Tori

auf

dieses

Ph

asenrau

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ietb

eschrän

kt.Es

gib

tkein

„Entk

om

men

“.

KA

M-T

oru

s

Dies

gilt

nich

tfü

rN≥3

.Man

sprich

td

ann

von

Arn

old

-Diff

usio

n.

Ç

2.1.5

Das

Schick

sald

erreso

nan

tenT

ori

SeiPd

iePoin

caré-Ab

bild

un

g

θi+1 =

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ω2 ,

ri+1 =

ri ,

auf

die

Schn

itteben

e(SO

S)eines

integrab

lenH

amilto

nsch

enSystem

sm

itzw

eiFreiheitsgrad

en(N=2

).Betrach

ted

ieratio

nale

invarian

teK

urve

K0

aus

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disch

enPu

nkten

mit

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en

.D

ieA

bb

ildu

ngT=Pn

lässtjed

enPu

nkt

aufK0

un

bew

egt,d.h

.Pn(K

0 )=K0 .Jed

erPu

nkt

von

K0

istso

mit

einFixp

un

kt.Fü

rein

gestö

rtesSystem

mit

Störu

ngεH

1gilt

H0 →

H=H0 +εH

1 ,

T=Pn→

(Ab

bild

un

gd

esgestö

rtenSystem

s).

5620

15-02-12