427 Kleine Mitteilungen - -__ -__

definiert. Mit diesen userden die Polgen {u,} und { v , } gemap

(6)

un = xn - t n - en Itnl 9 vn = xn - t n -k en ItnI ( n = 2, 3 , . . .)

berechnet. Dann gibt es einen Index no, so daJ f u r alle n 2 no die EinschlieJung

un < u n + l < X* < vni-1 < on (7) gilt. Die Schranken un und vn sind im folgenden Sinne bessere Naherungen f u r x* als x,: Es gilt

dabei wurde 8, = x, - x* gesetxt. Beweis: Mit den Abkurzungen A, =f"(x*)/(2r(z*)) und

A , = y(z*)/(Bf'(z*)) gelten unter den angegebenen Vor- aussetzungen die Beziehungen (vgl. [4])

8, =z A, 8;-1 - 2 ( A ; - AB) 8&1 + o(81-1) und 5, = A, ag-1 - 2 (2 A; - A3) 68-1 f o(8i-1) .

en = lAzl ISn-21 + 0 ( & - - 2 ) ,

Hieraus ergibt sich durch einfache Rechnung

(9)

(10) un - x* = - IA,I~ I ~ % - Z I ~ + OW-^) , ?', - x* = I&14 l8n-2I5 + o(%-z) 9

xn - X* == A3 2 S4 n-2 + 0(&&--2) *

Wegen A, * 0 folgt aus (10) die Gultigkeit von (7) fur hin- reichend groDes n. Die Behauptung (8) kann aus (10) un- mittelbar abgelesen werden.

Bemerkung: Die gemaB (6) berechneten Folgen {u,} und { wn} konvergieren wie die NEWTON-FOlge { xn } quadra- tisch gegen x*.

Dies ergibt sich ebenfalls aus den asymptotischen Bezie- hungen (9) und (10).

Die EinschlieDung aus Satz 1 hat gegenuber der asympto- tischen EinschlieDung aus Satz 2 globalen Charakter. Prak- tisch ist jedoch die Voraussetzung f'(x) * 0, f " ( x ) * 0 des ersten Satzes in der Regel auch nur in einer Umgebung einer Nullstelle x*, d. h. fiir hinreichend ,,kleine" Intervalle [a, b] erfullt. Im Verfahren vom Satz 2 wjrd dagegen pro Schritt ein Funktionswert - namlich f(yn) - weniger benotigt; auBerdem kann auf die Voraussetznng f ( a ) f ( b ) < 0 ver- zichtet werden.

3. Weitgehend analoge Aussagen ergeben sich, wenn im Satz 2 die NEWTON-Folge {x,} durch eine nach der Regula falsi ails z;, xi E [u, b] gemlie

berechnete Bolge {a&} ersetzt wird. (4) ist dann durch

zu ersetzen, wahrend (5), (6) und ( 7 ) sinngemaD ubernommen werden konnen. Die in diesem Fall giiltigen asymptotischen Beziehungen lauten 0; = A, 8;-18;2-2 - ( A ; - A,) f7;-1<7& -1- o(B;,-, 82-2) , E;1 = A, 8:-2 + o(&-l s;+) - (2 A: - A,)

(9') sowie

6 ; = I O h I + O(sk-3) 9

(10') u;, - %* = - v6 - x* = ~ A , I z 18;-21z 18;-,12 + 0(82-~ 8 Z 3 ) ,

4. Beispiel: f ( x ) = xZo - 1, x* = 1 (vgl. [4]). Die numeri- schen Ergebnisse sind in den Tabellen 1 bzw. 2 angegeben4).

18;-212 1fJ;J f- O(S2-2 82-3) ,

x; - x* = A2 2 6 ' 2 n-2 8' n-3 + o(82-2 Bh-3).

Tab elle 1 : Asymptotische EinschlieDungen beim NEWTON-verfahren

~-___ -- _ _ _ ~ _ _ _ ~~ ~-

Un V n n xn

0 0.90000000 - - 1 1.22513685 - - 2 1.16493551 1.13968461 1.14757450 3 1.10943811 1.07255061 1 .lo793839 4 1.0609 1663 1.03143529 1.05893950 5 1.02412726 1.00666531 1.02172586 6 1.00470759 0.99992466 1.00322957 7 1.00020377 0.99997373 1.00006034 8 1 .OOOO 0039 0.9999 9998 1 .OOOO 0001

Tabelle 2: Asymptotische Einschliebungen bei der Regula falsi

~~ -~ - ~ ~~ ~ ~~~

~ ~ ~- _ _

n x;Z 68 v6 0.98000000 1.30000000 0.9805 6164 0.981 10935 1.0040 1043 0.99924443 0,99997154 1 .oooo 0020

- - 0.9805 6261 0.98164334 0.74633948 0.99992388 0.99999491 0.9999 9999

~

- - 0.98165797 0.98164518 1.2496 4431 1.0002 8100 1.00000332 1 .oooooooo

L i t e ra tu r 1 A. N. BALUEV, ober die Yethode von Chaplygin (ru%), Dokl. Akad.

2 A. OSTROWSKI, Solution of Equations and Systems of Equations, 2nd Ed.,

3 V. ~ E D A , A Remark to Quasilinearization, J. Math. Anal. Appl. 23, 130 - 4 J. F. TRAUB, Iterative Xethods for the Solution of Equations, Englewood

Nauk SSSR 83 S. 781-784 (1952) .

New York and London 1966, Academic Press.

138 (1968).

Cliffq, N.J., 1964, Prentice-Hall.

Anschrvt: Dr. HUBERT SCHWETLICK, Sektion Mathe- matik der Technischen Universitiit, 8027 Dresden, Zellescher Weg 12 - 14

L. ELSNER und K. P. HADELER

EigenwerteinsohlieBung mit L orentz kegeln

Unserem verehrten Lehrer Prof. Dr. Dr. h. c. L. COLLATZ zum 60. Geburtstag gewidmet.

In einer kiirzlich erschienenen Note [3] wurde eine Abschiit- zung fur einen Eigenvektor einer nichtlinearen Eigenwert- aufgabe angegeben. Beim Beweis des Satzes wird der soge- nannte Antipodensatz auf ein Vektorfeld auf der Sphare angewandt, das durch den Gradienten des verallgemeinerten RAYLErGH-Quotienten der Eigenwertaufgabe definiert ist. Fur den Fall der linearen Eigenwertaufgabe ergeben sich eine Abschatzung des Eigenvektors zum groDten Eigenwert einer symmetrischen Matrix sowie eine Ungleichung fur diesen Eigenwert selbst.

In der vorliegenden Arbeit stellen wir eine Verbindung zwischen diesen Ergebnissen und der Theorie der halbgeord- neten linearen Raume her. Es zeigt sioh, daD die beiden genannten Abschatzungen als Aussagen uber konvexe Kegel gedeutet werden konnen. Dabei ergibt sich die Abschatzung fur den Eigenvektor mit Hilfe des minimalen Kegels einer gewissen Schar und die des Eigenwertes mit dem maximalen Kegel.

1. EinschlieDung des Eigenvektors Sei X = R ~ L mit dem gewohnlichen Skalarprodukt ( , ) und der zugehorigen (euklidischen) Norm 1 1 11. Seien S = = {x E X : llzll = 1}, zo E S und T E R, 0 < T < 1. Dann ist

Kr = {x: (2, xo) 2 7 1 1 ~ 1 1 ) ein konvexer abgeschlossener Kegel rnit inneren Punkten. Mit einer geeigneten Orthonormalbasis ist K , der durch

&) Qleitkommarechnung rnit 36-bit-Mautissr.

defi@rte verallgemeinerte LORENTZkegel. K, definiert in x eine Halbordnung

x 2 y i, sei die Menge der inneren Punkte von K , und aK, der Rand. Der Dualkegel K’ eines Kegels K im unitaren Raum X ist definiert als

K‘ = { y : (2 .y) 2 0

x - y E K,.

V X E K } . Man rechnet leicht nach, daB

(K,)’ = K,, , t’ = 1 1 - t2 gilt.

Dann sind folgende Aussagen aquivalent : Sa tz 1: Sei A eine lineare Transformation von X in sich.

( x , x , ) = t , 11x11 = 1 3 t ( A x , x ) - ( A x , x , ) < O . (1)

X E K , , x + 0 = + ( A - t c I ) x ~ k , . (2)

Es gibt c E R, so daJ3

Beweis: (1) 3 (2). Da S kompakt ist, gibt es ein c < 00

mit

(x.xo) =z

Hieraus folgt ( A x + c r, r 0 ) 2 > 9 ( A x + c x, A x + c 2)

Da k, durct (x. xo) > t llzll charakterisiert wird, wird also aK, nS in K, abgebildet. Daraus folgt rnit der Linearitat von A die Behauptung. (2) + (1). Gibt es ein solches c, so folgt

v Z € S , ( 2 , x 0 ) = t .

( A 2, - t2(A 2, A 2) > 2 c t [ t ( A X, 2) - ( A 2, xo)] (3) fur alle x E aK, nS. Die Bedingung (3) gilt mit c auch fur jedes c” > c. Das ist nur moglich, wenn t ( A x, x) - ( A z, x,) 5 0 ist. Tritt hier einmal Gleichheit ein, so folgt aus t2(A x, x)2 = ( A x, x,), > t 2 ( A 2, A 2) = t 2 ( A x, A X) (2, x) , ein Widerspruch zur Definitheit der GRAMschen Determi- nante.

Sa t z 2: Sei (1) fur ein ‘t mit 0 < t < 1 erfullt. Dann be- sitzt A gennu einen Eigenwert von maximalem Realteil. Dieser ist reell und einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms. K, enthalt einen zugehorigen Eigenvektor (und keine Eigen- vektoren z u anderen Eigenwerten).

Beweis: Sei c so gewahlt, daB A + c I den Kegel K (auBer der Null) in sein Inneres abbildet. Aus dem Satz von KREIN und RUTMAN folgt, daB der Spektralradius von A c I ein Eigenwert mit einem Eigenvektor in K, ist. Aus einer Verscharfung dieses Satzes ([4], p. 76, Theorem 2.10 und 2.11) folgt, daB der Spektralradius einfache Wurzel des charakteristischen Polynoms ist und daB es in K, keine Eigenvektoren zu anderen Eigenwerten gibt.

2. EinschlieBung des Eigenwertes Mit dem Vektor x, definieren wir &ZiWARzsche Konstanten

a, = (x,, xo) = 1 , a, = ( A xo ,xo) , a2 = ( A x,, A x,) . Sa tz 3: Sei (1) f i i r ein T mit 0 < t < 1 erfiillt. Dann gilt

f i r den Eigenwert A, von A mit dem groJ3ten Realteil die Ein- schliej3ung

14 - (4)

Beweis: Fach Satz 1 gibt es c, so daB A = A + c I die Bedingung A K, c K , erfullt. Sei

m, = sup { a : A x, - a x, E K,} , m2 = inf {a : oc xo - 2 x, E K , ) , also ml xo 5 A x, 5 m2 x, .

A

A

1st r der Spektralradius von 2 bzw. h* und ist y E K,: Y * 0, A Y = r Y9 so fob$ m,(zo, Y ) s ( A 4, Y ) 5 m&o, y ) ,

WI, 5 r 5 m2, m, - c 5 A, = r - c 5 m2 - c. Die Zahlen m, - c, rng - c sind die Losungen dcr Gleichung

woraus die Behauptung folgt. Aus dem Beweis ersieht man, daB Satz 3 ein ,,Quotienten-

satz“ ist, der obige Beweis ist dem von L. COLLATZ [2], p. 306 nachgebildet, fur allgemeinere Falle vgl. E. B o ~ [l].

Im allgemeinen ist bei festem A und xo die Bedingung (1) fur verschiedene z erfiillt. Offenbar ergibt sich eine optimale EinschlieBung des Eigenvektors fur das groBte mogliche t, eine optimale EinschlieDung des Eigenwertes aber fur das kleinste.

( A xo - x x,, xo)2 = t2(A xo - a x,, A xo - a xo) ,

3. Der symmetr i sche Fa l l Im folgenden sei A eine symmetrische Transformation. Die Elemente von aK, n S lassen sich in der Form

r--

x = t 4 + 1 1 - t 2 Y ,

(?I> 2 0 ) = 0 3 IIYII = 1 3

( A Y , Y ) - ( A 4, xo) +

llyll = 1 , (y ,r , ) = 0 darstellen. Daher ist die Bedingung

( 5 ) 222- 1

~ ( A 2 0 , Y) < 0 t ,,l - t 2

zu (1) aquivalent (vgl. [3], wir ubergehen die einfache Rech- nung, die Symmetrie von A geht entscheidend ein).

Lemma 4: Sei j3 > 0, es gelte

(Y, 5) = 0 3 I lY l l = 1 + B I(A TO, Y)I < ( A xo,xo) - ( A 12 y ) . (6) Dann gilt Bedingung (1) fiir alle t rnit t - ( p ) dt gt+(P), wobei

Beweis: Die Bedingung ( 5 ) ist aquivalent zu

(Y3 2 0 ) = 0 3 llYll = 1 +

Nun folgt die Behauptung daraus, daB ~ + ( j 3 ) , t - ( j 3 ) die Lo- snngen der Gleichung 12 z2 - ll = p t Vl - t2 bzw.

(7) sind.

Aus (7) folgt noch t”,(B) + C ( D ) = 1, d. h. die Kegel K,+(p) und K,-cp) sind dual.

Wir fassen die Siitze 1, 2 sowie Lemma 4 zusammen. Sa tz 5 : Sei A symmetrisch, sei j3 > 0, die Bedingung (6)

sei erfiillt. Dann ist der groJte Eigenwert von A einfach. Fiir den Eigenwert und den Eigenvektor gelten die Abschatzungen

( t 2 ) ‘ - t 2 + (4 + 82)-1 = 0

rnit

Dies sind die in [3] angegebenen Ungleichungen. Bei festem A laBt sich die obere Grenze der j3, die die Bedingung (6) erfullen, nur schwer explizit berechnen. Einen im allge- meinen brauchbaren Wert j3 erhiilt man in folgender Weise. Sei Q der Projektor auf x, und P = I - Q, sei p der groBte Eigenwert von P A . 1st p < a,, so ist p = (a, - p) (a , - a?)-,/% moglich (vgl. [3], dort wird auch der Znsammenhang mit dem Satz von TEMPLE geklairt).

Beispiel: Fur n = 4 sei

Die Eigenwerte von PAP sind 0 und f li5. Es ergibt sich /I = 4 - 2 112. Satz 5 ergibt fur den Eigenvektor z zu 1, (2, xo) 2 0.86759 llzll und IU, - 3 q 5 0.2866.

2 5 A, 5 2.2866 \\'egen 2, 2 u1 folgt

Dcr Satz von TEMPLE ergibt dagegen nur A, 5 2.4268 . In1 AnscliluB an Satz 3 wurde bemerkt, daB fur die Einschlie- Bung von Eigenwert und Eigenvektor verschiedene Kegel zu nehmen sind. Dies ist nur ein Spezialfall eines allgemeineren Prinzips (wir beschranken uns wieder auf den Fall endlicher Dimension) : Sei X = Rw, seien K, c K, c X zwei Kegel rnit inneren Punkten und A ( K , ) c K6, i = 1, 2. Offenbar lief2rt K, die bessere Abschatzung fur den Eigenvektor. Sei zo E K,. Wegen I n y =- sup {.: A xo . xo E K i ) 1122) = inf {a: a zo - A zo E K i } und mp) =( rn?) 5 rnt) 5 m$ ergibt sich mit K, die bessere EinschlieBung des Eigenwertes.

Das Iterationsverfahren zur Bestimmung des Spektral- radius laBt sich hier einordnen. Sei K ein Kegel mit inneren Punkten, A ( K ) c K und A nichtsingular. Dann ist auch K j = {z: A3 z E K } , .j = 0, 1, 2, . . . ein Kegel, und es gilt A ( K j ) c K,, K = KO c K, c K, c . . . . Wegen A xo - a :r0 E K j w A(Aj zo) - a Aj zo E K ist die Quotient,enbildung rnit den iterierten Vektoren (be- zuglich des Kegels K ) aquivalent zur Quotientenbildung rnit dern Vektor xo beziiglich der iterierten Kegel Kj.

L i t e r a t u r 1 E. YOHL, Eigenwertaufgaben bei monotonen Operatoren und E'ehlerab-

schltzunnenfiir Operatorgleichungen, Arch. Rat. Meeh. Anal. 22, 8. 313 - 332 (1968).

Bratriaen, Math. Z. 48, S. 221-226 (1942).

wertaufgaben. Math. Z. 112, S. 181-189 (1969)

2 L. COLLATZ, Xinschliel3nngssata far die charakteristischen Zahlen von

3 K. P. HADELER, Anwendung von BixpunktsLteen auf nichtlineare Eigen-

4 >I. A. KRASNOSELSRIJ. Positive Solutions of Operator Equations. Gro- ningen 1964.

Anschift: Dr. LUDWIG ELSNEIL, Dr. KARL-PETER HADPLER, Institut fur angewandte Mathematik der Universitat Hamburg, 2000 Hamburg 13, Rothen- baumchaussee 67/69

G. BADACH Verbesserung der EinschlieWung nach Adler fur die Losung der ersten Randwertiwfgabe der Bipotentialgleiehung

Meineni Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. 11. c . LOTH& COLLATZ ziim 60. Gcbnrtstag a111 6. 7. 1970 gewidmet

Fur den Gradienten der Losung der 1. Randwertaufgabe der Bipotentialgleichung

(1) au -- = g(s) auf I' an AAu - 0 in G ; u = f ( s ) ,

in eincni Gcbiet G rnit Rand I' (s Bogenlange, n Richtung der inneren Normalen auf I') 1aBt sich eine Verschiirfung der Abschltzung von ADLER [l] erhalten, wenn man Er- gebnisse a m der Potentialtheorie heranzieht. Mit der Gra- dientenabschltzung folgen punktabhlngige obere und un- tere Schranken fur die Losung selbst. Die AbschMzungen werden a n einem Beiswiel mit denen von BRAMBLE und PAYNE [2] [4] vergliche;.

Es seien f , f'. = af/& und g stetige Funktionen der Bogen- lange. Fur den Rand I' sei die folgende Voraussetzung (V) erfullt : (V): (V,) l' bosteht aus hochstens endlich vielen punkt-

fremden geschlossenen JoRDANkurven Ti ( j = 0, 1,

. . . , iv), wobei etwa r,, als ,,AuBenrand'( die %brigen T j (j = 1, . . . , N ) umfalt. (V,). r besitzt in jedem Punkt eine Tangente, die sich stetig mit dem Randpunkt andert. (V,) Es gibt eine Zahl R > 0, so daB zu jedem Rand- punkt Qo E T ein Kreis mit Radius R existiert derart, daB Qo auf dem Kreisrand liegt und daB das Innere des Kreises ganz in G enthalten ist. Wegen (V,) kann man in jedem Randpunkt Q E I' ein lokales kartesisches Koordinatensystem (zf, z!j) mit Ur- sprung Q einfuhren, dessen positive zT-Achse mit n zu- sammenfallt. Z(Q, R) sei derjenige zusammenhangende Bogen yon r, der in dem Streifen Izfl < 00, 1x81 5 R liegt. Fur einen festen Punkt Qo und einen festen Ra- dius R wird Zo = Z(Qo, R) gesetzt. (V,) Zu derselben Zahl R > 0 wie in (V,) existiert zu jedem Punkt Qo E T ein Kreis vom Radius R, dessen Rand den Punkt Qo enthalt, der uberdies wenigstens einen nicht zu G gehorigen Punkt enthalt und dessen Inneres keinen Punkt mit dem Bogen 2, gemeinsam hat.

Unter den gemachten Voranssetzungen ist (1) eindeutig losbar, und die Losung besitzt nach MIRANDA [3] bis in den Rand hinein stetige erste Ableitungen. ADLER leitete fur diese Losung die Abschiitzung m a x J g r a d u ( P ) J <-maxIfl 78 + PE B R I'

x max r IPI + 1l'Em;x lgl ( B = G + r) (2)

her [ l , Satz 11. Dabei bezeichnen L die Lange des Randes, @ die GroBe @ = max sup max ( y ( ;

o s j s i v PEa Q c r j

y (und spater y) sei der Winkel zwischen dem Vektor Kg und der Normalen n (bzw. n,,,,:ni Randpunkt Q (bzw. Qo), und zwar ist der Winkel von Q P zu der Normalen hin orien- tiert.

Wie man dem Beweis bei ADLER entnimmt, entsteht (2) a m der Abschiitzung

max lgrad u(P)I 5 N , max I f 1 + N , max I f ' l + V5Tmax lgl P E B r r (3) mit

(4)

( rpQ = euklidischer ilbstand von P zu &) dadurch, daB die Integrale in N , abgeschatzt werdcn [l, Lemmata 3, 4, 51. Das letzte Integral schitzt ADLER ab durch

( ... d s j - [ . . . d ~ < w + ~ < ~ + ~ - 6 L G (6) 112 .J J

l . - Z o Zo

(171 bezeichne die Lange des Bogens y ) ; wegen

kann man aber L/R2 + 4 / R als obere Schranke wahlen. Die verbleibenden zwei Iategritle konnen mit Hilfe der

fur das Potential einer Doppelschicht in der Ebene geltenden GAussschen Formeln [ S , S. 5111

- 201 1 L - lZol 5 L - 2 R

2 n, falls P E G

I' 0, falls P € C B (7)

- abgeschatzt werden. 1' bezeiclinet dabei eine LJAPUNOwScht? Randkurve, geniigt also den Bedingungen [5, S. 4891

28