492 Vol. V, 1954

E i g e n w e r t k a r t e n d e r S p h g t r o i d d i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g

ALEXANDEa 0STaOWSKI zum 60. Geburtstag gewidmet

Von JOSEF MEIXNEa in Aachen und FRIEI)I~ICH WILHELM SCH.~FKE in Mainz

Die vorliegende Note schliel~t eng an die in MEIXNER-ScH)iFKE, MATItlEusche Funktionen und Sphiiroid/unktionen 1), gegebene Darstellung der Theorie der Sph~roid- funktionen an, insbesondere an die Abschnitte 3.1., 3.4. und 3.53.. Sie soll einige er- ganzende Resultate fiber die Struktur der Eigenwertkarten der Sphhroiddifferential- gleiehung bringen. Nach einigen allgemeinen und einfiihrenden Bemerkungen zu den Eigenwertkarten (L) wird in II. gezeigt, wie fiir ganzes # ~ m -~ 0, 1, 2 . . . . die

1 (rood 1), die ja im allgemeinen Bertihrungs- charakteristisehen Kurven zu v ~=

oder Verzweigungspunkte bei y2 __ 0 aufweisen, in vereinfaehter Weise berechnet werden kSnnen, indem man konsequent die in 3.413., Gln. (10) bis (14), notierten Symmetrieeigenschaften der fiir die Koeffizienten der LAgRE~w-Reihen der zuge- hSrigen L6sungen entstehenden dreigliedrigen Rekursion benutzt. Es ergeben sieh daraus al]gemeine Aussagen tiber den Verlauf dieser Kurven in der Umgebung von y2 ~ 0. In l IL schlie61ieh wird das interessante Problem des Verhaltens der charak- teristischen Kurven ~ -- • #(mod ]) beim •bergang yon # fiber # ---- m = 1, 2, 3 . . . . insbesondere im charakteristischen Fall m ~ 1, eingehend untersucht. Zur Klarung und Erli~uterung dieser Fragen wurden die wesentliehen Teile der aeht Eigenwert-

1 1 3 5 karten zu #----0; # ~ 4 ; # ~ 2 ; # = 4 ;/~ =0 '95 ; t t = ] ; tt =1 ,05 ; t t - -~

berechnet und hier wiedergegeben.

l

Die Sph~roiddifferentialgleichung

] + + a + = 9

enth~lt die drei Parameter )., y2, #~. Da sic beim I~bergang yon z zu - - z invariant bleibt, gibt es stets eine niehttriviale LSsung, die bei halbem positiven Umlauf um die beiden singul~ren Stellen § 1, - - 1 einer Umlaufrelation

y ( S ) = y(z)

1) Grundl. d. math. Wiss. Bd. 71, Berlin - GSttingen - Heidelberg 1954. Hierauf beziehen

sich alle folgenden Verweisungen mit arabischen Absehnittsziffern.

Vol. v, 1 9 5 4 Eigenwertkarten der Sph~iroiddifferentialgMchung 493

gentigt, v wird als charakteristischer Exponent bezeichnet; v ist bis auf die Sub- stitutionen v -~ v + 2 k (k ganz) und v --> - - v - - 1 best immt; sin ~ v ist eine ganzc Funktion von 2, y2, #2 (vergleiche 3.13., 3.422.).

Als Eigenwertkarten der Sphi~roiddifferentialgleichung bezeichnen wir die Dar'- stellung der Kurven v ---- eonst, bei festem # in einer (2, y2)-Ebene (vergleiche 3.535.). Unsere Abbildungen 1 his 8 geben Ausschnitte dcr Eigenweftkarten zu #----0;

1 1 3 5 . # = 4 ; #-- - - -y; # = u # = 0 , 9 5 ; /z ----1; # = 1,05; # = u Gezeichnet

sind hier vor allcm dis Kurven v ~ • # (rood 1).

Fiir nicht ganzes y zerfallen diese Kurven in vier Klassen, die im folgenden und in den Abbildungen mit (I), (II), (III), (IV) bezeichnet sind. Genau zu v ~- d: # (rood 1) gibt es ni~mlieh LSsungen, die in z gerade bzw. ungerade sind und an den

bzw. bciden singul~ircn Stellen der Bestimmtheit + 1, - - 1 zugMch zum Index 2-

gchiiren. Wir treffen dis Einteilung: 2

(I) y(z) gerade, Index ~' 2 '

(II) y(z) ungerade, Index t~ 2 '

(III) y(z) gerade, Index ~A 2 '

(IV) y(z) ungerade, Index 2 "

Die entsprechenden Parameterpaare 2, y2 sind Nullstellenpaare von vier verschie- denen ganzen Funktionen yon 2, y2; sie lassen sieh mit Hilfe von einseitig ab- brechenden Kettenbruchgleiehungen bereehnen (3.534.), aus denen sich auch Potenz- reihenentwicklungen um y2 = 0 ergeben (3.531., (6)). Die Werte ftir 72 = 0 sind:

(I) ~ = ( ~ - - 1 ) ~, (~ - -3 ) (~--2) , (~ - -5 ) (~- -4) , . . . ,

(II) ~ = ( ~ - ~ ) ( ~ - 1 ) , ( ~ - 4 ) ( ~ - 3 ) , (~ - -6 ) (~ - -5 ) . . . . .

(III) 2 = / ~ ( # § ( # + 2 ) ( # + 3 ) , ( # + 4 ) ( # § . . . . .

(IV) 2 = (# + 1) (# + 2), (# + 3) (/~ § 4), (/~ -~ 5) (# + 6), . . . .

Fiir ganzes i~, ---- m = 0,1, 2, . .. zerfallen die Kurven v ------ • (rood 1) in drei Klassen, im folgenden und in den Abbildungen mit (A), (B), (C) bezeichnet. Zu den Parameterpaaren 2, 72 yon (A) bzw. (B) gibt es gerade bzw. ungerade LSsungen, dis

m bei + 1 und - - 1 zum Index 2 gehiiren. Man hat ftir sie, wie oben, transzendente

Gleichungen, Kettenbruehgleichungen und Potenzreihen (vergleiche 3.422., 3.24.). Parameterpaare (C) treten nur fiir m = 1, 2, 3, . . . auf; zu ihnen gibt es zwei linear unabhiingige LSsungen der Form (1--=z2)-m/~g (z) mit ganzer Funktion g(z)(logarith-

494 J. MEIXN~.a und F. W. SCHXFKE AaCH. MATH.

menfreies Fundamentalsystem u m + 1 und - - 1); die Parameterpaare (C) geniigen einer algebraischen Gleichung

Am(2,• 2) = O,

die in A und ~ (I) zusammen yore Grade m i s t ; ftir m = 1, 2, 3, 4 wird:

I A x = - - 4 2 ,

1 {2(2--2) + 47~}, A2 -- 32

i {2(2-2) (2-6) + 16(2-4) Aa -- 576

A4 = _ 2l~!# { 2 ( 2 - - 2 ) ( 2 - - 6 ) ( 2 - - 1 2 ) + 8 72[5 22 - - 66 2 + 180] + 144 r4};

ftir y2 = 0 ist allgemein

1 A m - 2m+x(m )2 4(2--2) ... (2--(m--1)m)

(vergleiehe 3.12. und 3.534.).

51ach 3 .535, Satz 3 sind ftir alle # => 0 die Kurven (HI), (IV) bzw. (A), (B), ftir 0 </~ < i aueh die Kurven (1), (II) die Bilder yon ftir - - o o < ~e < cx) reellen regular analytischen Funktionen 2 = 2(~ 2) mit

- - 1 < 4 ' ( ~ 2 ) < 0 .

Sehnittpunkte kSnnen fiir nicht ganzes # allein zwischen Kurven der Klassen (I) und (IV) oder zwisehen Kurven der Klassen (II) und (III) auftreten, fiir ganzes # allein zwischen Kurven (A) und (C) oder zwischen Kurven (B) und (C).

sin z~ v ~ - / (2 ,y ~, #2)

eine ganze Funktion yon 2, ye, #2 ist, gehen die Kurven v - :[ : / , (rood 1) der (2,~e)-Ebene ftir yon 0 an stetig wachsendes/ , stetig ineinander tiber. Man kSnnte sie im (2, ye, #2)_Raum e zu einer Fl~ichensctmr zusammenfiigen. Dabei entsteht - - das betrifft in dieser Form die schnittpunktfreien Kurvenstiicke - - (A) durch Zu- sammenriicken yon (I) und (III), (B) entsprechend aus (II) und (IV), wi~hrend (C) aus (I) und (II) zusammen erhalten wird. Zum Beweise hat man nur

[/(2,~2,/z 2) - - sin z~/z] [/(2,~z, tt 2) + sin z~ #] = 0 zu betraehten.

In diesem Sinne kann an unseren Abbildungen etwa das Verhalten der Schnitt- punkte be obaehtet werden. Fiir tt = 0 (Abb. 1)laufen heir2 ~ _ c ~ je eine Kurve (A)mit einer Kurve (B) und umgekehrt asymptotiseh zusammen (vergleiehe 3.252.); Sehnitt- punkte treten nieht auf. Wttehst dann/z, so entstehen far grol~e negative y2 Sehnitt-

punkte zwisehen je zwei benaehbarten Kurven (II) und (III) (vergleiehe Abb. 2, \

Yol. V, 1954

-2

-4

-6

Abb. 1.

EigenwertkarLen der Sph~roiddifferent inlgleichung

,,, ~,',~\ \ , , ~ - ~ ~ \

, \ 'x~. \ t

'2 \ \ ,

, 6 8 2 10 12 l+ Z ,

Kurven ~ = Z~ ( ~ ) f i i r /~ = 0; v ~ n = 0, 1, 2, 3 (ausgezogen) und

= - - �89 �89 g, ~ (gestrichelt).

495

6

f yz

4

-2

,% %

-6 -6 ".~ -Z 0 6 8 2

\ \

\ \

k" \. 10 12 14 16

Abb. 2. K u r v e n ~ : / ~ (~2) f/Jr F = ~, ~ -- ~ ( m o d 1). Die v-Werte sind un t e r dem oberen Rand

der Abbi ldung neben den zugehSrigen Kurven angegeben. Die Kurven v ---- n ----- 0, 1, 2, 3 sind ge-

s t r ichel t eingezeichnet.

496 J. MEIXNER und Fn. W. SCH~.FKE ARCH~ MATH~

# -~ . Ftir/~ ---- ~ (das entsprieht der Stabilitatskarte der MATmEvsehen Differen-

tialgleichung ; vergleiche 3.536.) riicken diese Schnittpunkte s~mtlich nach ?2 ___ 0 (Abb. 3.); zugleieh rticken in ~,2 _ 0 je zwei Kurven (I) und (IV) zusammen; dic Berfihrungsordnungen sind der Reihe nach mit wachsendem 2.: 0, 1, 2, 3 . . . . ; weitere Schnittpunkte treten nicht auf. Wi~ehst # weiter, so rticken die Sehnittpunkte

6

yZ

-2

-4

-8 -4 -2 0 2 z~ I0 12 8 16 16

A

Abb. 3. Kurven 21,I (r 2) fiir/~ = -~, v --~ 4- (rood 1). Die v-Werte sind unter dem

oberen Rand der Abbildung neben den zugehSrigen Kurven a ngegeben. Die Ab-

bildung geht durch eine geeignete Schenmg (oben nach rechts, unten nach links) in

die Eigenwertk~rte tier MATH[Euschen Differentialgleiehung fiber.

zwisehen den Kurven (II) und (III) nunmehr naeh ~,2 > 0, und zwischen den Kurven (IV) und (I) entstehen jetzt Sehnittpunkte sowohl in 72 < 0 als auch in ?~ > 0

3 (verg]eiche Abb. 4, F ~ 4 ' wo alas zweimalige Zus~mmenlaufen tier Kurven (IV)

und (I) noeh deutlieh erkennbar ist). Fiir # --> 1 - - 0 rficken dann die Schnittpunkte in 72 < 0 wieder naeh - - o o und gehen in asymptotische Beriihrungen von je zwei Kurven (A) und (B) tiber. Die Sehnittpunkte in ?2 > 0 gehen in Sehnittpunkte (A) mit (C) bzw. (B) mit (C) fiber (vergleiche Abb. 5 und 6, # ---- 0,95,/~ = 1). Das wird noeh in III. naher untersueht.

Besonder.e Verh~tltnisse ]iegen in jeder Eigenwertkarte fiir die charakteristischen 1 1 . 3

Kurven v - - - - ~ ( m o d l ) bell , ~ 0 vor. 5Tach 3.533. wird u m ~ Z = 0 ; ~--~ 4 - , 3 . 5 5 - 7

4 ' 4 . . . . entweder durch zwei Potenzreihen in 72 oder durch eine Potenzreihe

in • y (Verzweigung!) aufgelSst. Die Berechnung dieser Kurven und die Bestimmung

Vol. V, 1954 Eigenwertkarten der Sph~roiddilierentialgleichung 497

ihrer Realiti~tsverhaltnisse um y2 = 0 kann insbesondere t t i r # ~ m = 0, 1, 2, . . . sehr vercinfacht werden. Diesc l~berlegungen entwickeln wir im folgenden Ab- schnitt II..

yz

2

0

-2

-#

-6 -4 -2

\

i z x ~

2 + 8 8 /0

\ /2 74 78

Abb. 4. Kurven 2 = ~.~ @2) fiir # = ~-, v --= ~ (rood 1). Die v-Werte zu den einzelnen

Kurven sind wieder unter dem oberen Rand der Abbildung angegeben.

- - II - -

Wir setzen die Kenntnis yon 3.41. voraus und schliel~en an 3.413. an.

Sei zunfichst It = 0.

Ist d a n n v ------ 12 (mod 2), so ist nach (1!), (12)

1 (co ,/2)2 = ~-"

Wiih l t man

cO112 1

so wird nach (10)

3 -1 ~ U0--- 1 / 2 , - - 2 - - ]/:~ - - 1 / 2 , - - 2 o -2 V~

und man erhalt mit (8)

?~uO--U2,--2 __ 1 ( / _ F ~ , Z . ~ _ I )

u~ 1/2, o 2

Aus 3.421., (15) folgt dann zur Berechnung der entsprechenden Parameterpaare die

498 J. MEIXNER und F. W. SCHXrKE AnClt. MATH,

nur einseitige Ket tenbruchgle ichung

1 2 ~ Y ~ 547yz ~ Y2 ;

o • ~ + ~ +4- + ---~- ~.~ + i i+~2--_-7.~ + l~ + ~ _ , ~ + 7 - - - 4 - 4 : - - - ~- i ~ . ~ + . . . .

W~,hlt man dagegen 1

c~ = 1/~ '

so wird nach (10) notwendig u ~ ~/2, o = 0; also gilt mi t 3.421., (15)

o = ~ + ~ ~'~ ~z~ ~ o - - ~ + 7 . o + . . 1 3 + . . . .

1 Man sicht so, da6 nm y2 = 0; ~ - - 4 durch eine reelle Potenzreihe in y 2, um

3.5 7.9 11.13 y2 = 0; ~ = s -4- ' -4~- ' ' " " je dureh zwei reelle Potenzreihon ~ = ~(y~) aufgelSst

wird, dcren Beri ihrungsordnungen der Reihe naeh offenbar 0, 1, 2 . . . . sind. Man vergleiche dazu den entsprechenden Bewoisgedanken yon 2.25., Satz 13 [iir die

1 entspreehenden Kurven bei der MATmEuschen Differentialgleichung, # = 2"

I ( rood ~), so wird nach (11), (19.) Ist nun v = 9

1

also nach (6) und (10) iy ::: u ~ - - • i 1 o .

- - - - 7 . . % 1 1 2 , 0 ,

und man erhMt mit 3.421., (15) die cinseitigen Ket tenbruchgle ichungen

1 ~,~--~'3 ~;.5~,~ 7;o~,~ l + . . . . . . . . . . . . . __ ~ I ) ..~_ ~ . o f l . I 1 . . . .

4

Man hat also um y2 = 0 ; 2. - - 1.3 5-7 9.11 j e e i n e A u f l S s u n g d u r c h e i n e r e e l l e 4 ' 4 ' 4 ' ' ' "

Potenzreihe in 4- ~; in der Eigenwer tkar te erscheinen also allcin nach y~ > 0 laufende reelle Kurvenzweige; die in ? gerechneten Bert ihrungsordnungen sind der Reihe

nach: 0, 2, 4, . . . .

Der Fall # = 0 ist damit erschSpfend behandelt . E r ist ziemlich einfach, da sich die gewonnene Symmetr ie auch sofort aus der zweiseitigen Ket tenbruchglc ichung 3.421., (15) ablesen la6t. Das ist nun fiir # = m = 1, 2, 3 , . . . nicht mchr der Fall.

Hicr miissen wit (13), (14) heranzichen.

Es 1M~t sich ni~mlich fiir g ---- m = 1, 2, 3, . . . aus (14) c~ -z c-,~_L bcst immen. (14) stellt ja in dicsem Falle eine lineare Rekursion zwischen u2k_2m, %k-'~,, +2 . . . . . u,2k+2z_,, u2k+2~ dar. Diese kann mi t Hilfe der dreigliedrigen Rekursion (8) zu

Vol. V, 1954 Eigenwertkarten der 8ph/iroiddiflerentialgleiehung 499

einer zweigliedrigen abgebaut werden. Man erhhlt

- - --m m = P k m -4- Qk um C~, m C ~ , _ l ..l~v, 2k ,l~v, 2 k v, 2 k - - 2 �9

Dabei sind offenbar Pk, Qk Polynome in 2, y~ und k mit einem yon k unabhangigen Grade. Nun kann der Quotient %k: U2k--2 nieht identisch in k eine rationale Funktion von k sein; denn das ist wegen des verschiedenen asymptotisehen Ver- haltens fiir k --> fi- c~ und k -+ - - ~o (vergleiehe die Tabelle in 3.419.) unmSglich. Daher ist

- - r / 2 - - m Qk ~ 0 , % c--~--1 ~ Pk"

Man erkennt nun aus dem geschilderten Abbauprozefi, dab erstens Pk in 2 yore Grade m ist, dab zweitens das yon 9,2 freie Glied gerade

( _ 1)z+l L sin z~ v. ,1(;t--2) �9 �9 �9 ( , t - - re (m-- I ) ) 7~

wird. Beriicksiehtigt man nun drittens noeh, dal~ c7 m cZ~_~ nur verschwinden kann, wenn v ganz ist (vergleiehe (12)), so folgt schliel31ich

c~_ m C_..,m_.. 1 = (__ 1) m 2m+1 (mr) 2 s in~v. .A m (,~, 9,2)

mit dem in I. besehriebenen Polynom A m (,t,9,=), dessen Versehwinden ftir die Kurven (C) charakteristisch ist.

1 ( rood 2) : 5Tunmehr wird wieder ftir ~ -=- 2

( - - m ) 2 = ( 1 ) m+l 1 A m ( 2 , 7 ~ ) c_1/2 - - 2m+l(m[)~ -~-

1 (rood 2) : und ftir v = -2-

(7 c,l~ = ( - - 1 ) ~

Aus (13) entnehmen wir dazu noch

bzw.

1 Am (~,9,~). 2 m+l (mr)2

o . . . (_;) (v , ,: ..,. c 1/.2 u _ 11.,.o = v ' /~ '

t = 0

~1/~ u , /2 ,o - ~;~ - - ( - - 1 ) * (7) ~ / . , ,~ , - -~ . t = O

Durch Abbau dieser Formeln mit Hilfe der dreigliedrigen Rekursion (8) erhiflt man damit stets einen Quotienten benachbarter %k, %k--O und so mit 3.421., (15) wieder eine nur einseitig unendliche Kettenbruchgleichung. Allgemein liest man ab:

1 a) Um 9,2 = 0; 2 = - - u wird stets durch eine reelle Potenzreihe in 9,2 aufgelSst.

b) Um 9, 2 = 0 ; ~ 15 63 143 mit ~t < r e ( m - - l ) wird stets durch zwei - - 4 ' 4 ' 4 ' ' ' "

reelle Potenzreihen in 9,2 aufgeliist.

?)00 J. MEIXNErt und F. W. SCH~.FIr ABClt. MATH.

3 35 99 C) U m ~2 _-- 0; t = ~ , ] - , u . . . . mi t ;t < m ( m - - 1 ) wird stets durch eine reelle

Potenzre ihe in =[= i y aufgeliist. 15 63 143

d) Um ~ 2 = 0 ; ; t = - 4 - , ~ - , 4 , . . . mi t 2 > r e ( m - - l ) wird ftir gerades m

durch zwei reelle Potenzre ihen in ~2, fiir ungerades m durch zwei nicht-reelle Po tenz- reihen in ye aufgelSst.

3 35 99 e) U m y~ ~ 0; t --~ ~4-, ~4 , ~ . . . . mi t ~l ~ r e ( m - - l ) wird fiir gerades m durch

eine reelle Potenzre ihe in • y, ffir ungerades m durch eine reelle Potenzre ihe in =J= i y aufgeltist.

Aus tier en ts tehenden Ke t t enbruchg le iehung kSnnen auch stets, ahnlich wie f t i r /z = 0, Aussagen fiber wachsende Ber i ihrungsordnung der beiden Potenzre ihen in y" bzw. der beiden Zweige der Potenzre ihe in 4 - y ( • e n t n o m m e n werden.

In jedem ~'alle kann so ffir # = m = 0, 1, 2 . . . . und halbzahliges ~ die Berech- n u n g d e r LAvnENT-Koeffizienten und dcr eharakter i s t i schen Kurven , insbesondere der zugeh5rigen Potenzre ihen wesentl ich vere infaeht werden.

- - I I I - -

W i r untersuehen den l~bergang von # < 1 fiber/~ = m ~-- 1 zu # > 1 (vergleiche die Abbi ldungen 5, 6, 7; # - 0,95, # = 1, # = 1,05). Dazu haben wir schon in I. tiberlegt, dal~ bei sehn i t tpunkt f re ien Kurvens t t i cken (I) und ( I I I ) in (A), ( I I ) und

1 70

8

8

2

0 -6

I

0 2 ~ 6 8 lO 12 14 .,I, -

Abb. 5. Kurven ). = t~ (~2) ffir/~ ~ 0,95, v ------ 0,95 (rood 1). Wo nicht besonders vermerkt, sind die v-Werte wieder unter dem oberen Rand der Abbildung angegeben.

Die gestrichelten Kurven geh6ren zu ~ -- 1, v = 1 und 2.

(IV) in (B), sowie (I) und ( I I ) in (C) fibergehen. U m den ~ b e r g a n g tiber # = 1 roll- ends zu vers tehen, b le ib t also allein die Unte r suehung der U m g e b u n g von t = 0,

n2~2 (n -----1, 2, 3, . ), die die Schni t t - y~ > 0, insbesondere von 2 = 0, 72 = y 2 == 4 �9 �9

Vol. V, 1954 E i g e n w e r t k a r t e n der Sph~tro iddi f ferent ia lg le ichung ~501

punkte yon (A) bzw. (B) mit 2 : 0, der einzigen Kurve (C), darstellen. Denn d ie Sph~troiddifferentia]gleichung besitzt ftir # : 1, A ----0 die L6sungen

y 0 ) = ( 1 - - ~ ) - ' / ~ ~i . r (~ - ~ ) ......... - ~ - - - , u(~) = 0 - - ~ ) - ~/~ cos r ( ~ - - ~ ) �9

Wir gehen davon aus, dafi fiir die Kurven (I) und (IV)

s in~ v q- s i n ~ # = 0 ,

I 6

.yz

-2

-4,

-6 -4

II '

II ,

II U I|

n\

\ \ V,

-,.s,~\ X ~v-.-~ -2 0 2 § 8 8 7O 72 I~

A , -

Abb . 6. K u r v e n )~ ~ 2~ (y2) ffir /z ~ 1, v = n ..... l ( m o d 1) (ausgezogen) u n d

v . . . . -12-, ~ , ~- (gestr ichel t ) . Die K u r v e v = 0 fiillt m i t der ~2-Achse z u s a m m e n ; 15 , :F 2 O. die K u r v e v = ~ r eduz ie r t s ich im Reel len auf den P u n k t 2, = -u

-6 -4" -2 0 2 4' 6 8 IO 12 I~ Z "

A b b . 7,- Kurven ~. = ~(~,~) f i i r p = 1,05, v ------ L 0 5 ( m o d 1).

502 J. M ~ I x ~ n und F. W. ScHhrKE ~nCH. ~ T S .

fiir die Kurven (II) und ( I I I ) dagegen

sin u v - - sin ~r tt = 0

gilt, und entwickeln sin :z v 4- sin z / x nach Potenzen yon 2,/~ - - 1 bzw. in der Um- gebung von y2 = Yn nach Potcnzcn von 2, y2__y~ , # _ 1. Dazu beachten wir, dai] ffir tt = 1, ~t ---= 0 die in 3.422., (24) benStigte Lfsung y~ (z) gerade

y~ (z) --~ ( 1 - - z 2 ) - 1/~ V ~ sin y ( l - z)

l y2

2

0

H -2

-/t"

-6 ,i._~t 7/~

-~ -2 0

Abb. 8.

I \

2 4 6 8 70 72 74 78

Kurven ~, = ),~ (y:) fiir tt = ~; v =:~ ~ (mod 1). Die v-Werte zu den

einzelnen Kurven sind fiber dem unteren Rand angegeben.

ist, da$ weiter fiir ), = 0, tt -+ 1 die in 3 , 4 2 2 . (22) auf t re tende LSsung y~(z) in kom- pakten Bereichen gleichmaBig gcgen y~ (z) strebt, dal~ schliel~lich die in 3 . 4 2 2 . (22) erscheincnde L(isung y~(z) ftir ;t = 0, # ~ 1 in einer Umgebung yon z = 0 gleich- mi~liig gegen

(1__z2)__1/2 ] / /~ l 1 l sin y (z - -1 ) } 2 cos ~ (z--l) + 4

strebt. Dazu braucht man in

YII (z) = (1 - - z)-- ~/2 (1 -k g~ (z - - 1) + g~ ( z - - 1)2 _4_ . . . )

allein das V~rhalten yon gl zu untersuchen. Mit 3 .499 . , (22) erhalten wir somit

-~ (si. ~ + ~i~ ~ ) = - ~ {2 ~ + ~io~ oo~ } ~# ~=I, ~=o Y '

~-(sin z~ v - - s i n zttt) 1~,=1 ' =--~ {__2 C0S2y ._~ s inycosy } 0it ~=o Y "

Vol. V, 1954 E igenwer tka r t en der Splfi iroiddifferentialgleiehung 5 0 3

Ftir/X = 1 vermerken wir noch nach 3 . 4 2 2 , (24)

sin ~ v -= 2 re - - ~ 2 y~(0) YI ( 0 ) .

Ist daher zun~ehst 7 2 # 7~, so lauten die l incaren Glieder in ~,/X - - 1.

s i n ~ v + s i n ~ z / x = z , ~ - ? - - - - re . . . . - / - 2 s i n 27 + . . . ,

cos T sill ~ } s i n re v - - s i n re/X = z~ 2 cos r sin y ( / X - - 1) re - 2 cos 2 7 -4- " " " �9 Y ?

So erhalt man als Naherungsgleichungen fa r die Kurvcn (I) und (II) in der Um- gebung yon 2 = 0,/X = 1 bei 7 2 :t= 7~:

(I) 2 ~ ( / x - - l ) [1 + 2 ~, t g 7 ] , (*) (II) 2 ~ ( /~--1) [1 - - 2 r ctg ~ ] .

In der Umgebung yon 2 ---= 0,/x = 1, 72 __= 7~ (n = 1, 3, 5 . . . . ) (d. h. cos ~n -= 0, Schn i t tpunk t von Kurven (C), (A)) schreibcn wir ftir sin re v + sin re/~ die quadra- t ischen Glicdcr in 4, ~ - - 7~ und das lineare Glied in/X - - 1 an:

s in7 n sin re v -t- sin re/X = re 2 - (cos y -4- c~2 ) - - ( /X-- l ) ~r 2 sin ~ ~,, § �9 �9 �9 ;

7n

dabei ist c a eine Konstante , deren Bedeutung sofort e rkennbar wird. Wir erhal ten also eine Naherungsgleichung fiir die Kurven (I):

(*) 2 ( r2 - -? , ] - -dx) . ) : - - 4 ~,,e(/x--1 ) .

d 72 fiir die durch 2 : 0, 72 = 7~ laufendc Kurve (A). Dabei ist offenbar d 1 ~ d Z

Fiir die Diskussion der Umgebung yon 2 = 0 , /X : 1, 73 = y , 2 ( n = 2 , 4 , 6 , . . . ) sin ~n

(d. h. - - 0 , Schn i t tpunk t yon Kurvcn (C) und (B)) ergibt sich dieselbe Tn

Gleichung (*) als Niihcrungsgleichung ftir die Kurven (II)" dabei ist dl d r ~ ftir ' = - - a ~

die hindurchlaufende Kurve (B).

Abb. 9. Qual i ta t ives Verhal ten der E i g c n w e r t k u r v e n i n der Umgebung von

), = 0 ; ~2 = ~ ffir # -Wer te , die etwas gr61~er oder etwas kleiner als I sind.

o der Punk~ /x --~ l , 4 = 0 , ~2 = :F2

- - E igenwer tkurve I ffir # < 1

- - - E igenwer tkurve I f/Jr /~ > 1

$ ),2

- . I

Bei jedem ( # - - 1 ) handel t es sich offenbar in (*) um Hyperbe ln mi t den gleiehen Asympto ten ~ = 0 und 7 z - - 7 , 2 ----d 1 ~. Wir geben eine Skizze ftir den Fall (A)

und (I) (Abb. 9).

504 J. MEIXNEn und F. W. SCHXFXE ARCH, MATIt.

Zieht man neben (**) jetzt aueh (*) heran und beaehtet, dal~ nur zwischen (I) und (IV) oder zwischen (II) und (III) Schnittpunkte m(iglich sind, so iibersieht man den Ubergang tiber # ----1 in der Umgebung yon ~ ~ 0 vollstiindig. Wir fassen unser Ergebnis, das ja auch dutch die Abbildungen 5, 6, 7 ert~utert wird, in den beiden fo]genden Skizzen (Abb. 10) zusammen.

\\1

g<l

n-#.

n'l

~) f~>l

Abb. 10. Qualitatives VerhaRen der Eigenwertkurven I, II in der Umgebung *~von 2-~ 0 ffir /~-Werte, die etwas kleiner oder etwas

grS~er als 1 sind.

~ die Punkte 2 ~ 0, ff = 1, ?~ ---- ~,2 (n = ], 2 . . . . ) - - Eigenwertkurven I; - - - Eigenwertkurven II.

ZIjm Schlul~ bemerken wir, dail der eben untersuehte Ubergang tiber ff ~ 1 in analoger Weise bei ~ ----3, 5, 7, . . . auftreten wird. Denn in diesen Fallen wird ebenfalls die Kurvenschar (A), (B) genau yon einem Zweige der Kurven (C) geschnit- ten. Ftir # -~ 2, 4, 6, . . . treten keine derartigen Schnittpunkte auf; dort ist also der Ubergang ohne Schwierigkeiten zu tibersehen.

Vol. V, 1 9 5 4 Eigenwertkarten der Sphi~roiddifferentialgleiehung 505

Den Herren D. GROSSER, U. ]~AHNENFiJHnER und TH. SCHULTHEIS (Aachen) sind wir ftir die Bercchnung der Unterlagen zu den Abbildungen, der Deutschcn Forsehungsgemeinsehaft ftir die Untersttitzung dieser Arbeiten zu Dank verpflichtet.

Aachen, Institut iiir theoretisehe Physik der Tcchnischen Hochschule.

Mainz, Mathematisches Institut der Universit~t.

Eingegangen am 31.3. 1954

Archiv der Mathematik. V. 33