Vol. XXIII, 19F2 661

E i n i s o t r o p e s A n a l o g o n z u e i n e m S a t z v o n A b r a m e s c u

u n d e i n i g e G r e n z w e r t f o r m e l n

Herrn Prof. Dr. W. M_EYF_~-KSNIG zum 60. Geburtstag gewidmet

Yon

H. SAc~s

1. Sehauplatz der beiden folgenden Abschnitte ist die affine Ebene A 2 mit affinen Koordinaten {x, y}, die wir in fiblieher Weise zur projektiven Ebene P2 mit pro- jektiven Koordinaten {x0 : xl : x2) erweitern. Zeiehnet man in p2 ein Linienelement (U, u) aus, so gestattet dieses eine 5-gliedrige Gruppe G5 projektiver Automorphien. W/ihlt man dieses absolute Linienelement als uneigentliches Linienelement des Fern- punktes U der y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems, so wird G5 beschrie- ben dutch (vgl. [8], S. 302)

f �9 = cl + ca x , (1) l ~ -- c3 + c4x + csy

C5 0).

Die Invariantentheorie dieser isotroTen ,4hnlichkeitsgruppe sowie ihrer Untergruppen wurde vor allem yon K. Strubeeker ausffihrlieh studiert (vgl. z.B. [7], [8]); eine umfassende IAteraturangabe finder sich in [3]. Von besonderem Interesse ist eine 3-gliedrige Untergruppe Gs c Gs, welehe isotrope L~ngen und Winkel invariant l~Bt und demnach als Gruppe der isotropen Bewegungen bezeiehnet ~ d . G3 besitzt die Darstellung

(2) ~2 = cl § x , ~ = ca § tax § y .

Wir vermerken schon jetzt, dab alle Schiebungen in der Gruppe Ga enthalten sind, so dag wir i.f. den Ursprung des zugrundeliegenden Koordinatensystems stets be- liebig w~hlen diirfen.

Die t)-berlegungen der folgenden Abschnitte 2 und 3 liefern einen Beitrag zur Differentialgeometrie dieser Gruppe. Alle auftretenden metrischen Invarianten 1) sind -- wenn nieht anders gesag% -- im Sinne der Gruppe G3 zu verstehen. Insbesondere erh/ilt man als isotrope Kri immung ~ in einem Punkt Po{xo, ](x0)} eines Kurven- stiickes/r beschrieben durch y = [ (x) die Differentialinvariante

(3) u (P0) ----/"(x0).

1) Eine ausfiihrliehe Einffihrung finder der Leser in [8].

662 H. SACHS ARCH. MATH.

Wird k dureh die Parameterdarstellung {x(t), y(t)} erfaBt, so folgt

(3a) ~(P0) - - ~ 3 It ~ to"

Kurven konstanter Krfmmung z : - : l i p shad die parabolischen Kreise (vgl. [8], S. 346)

X2 (4) y = -~p + qx + r.

(4) stellt euklidiseh betraehtet Parabeln mit Parameter p und y-parallelen Aehsen dar. p erweist sich a]s G3-invariant und wird i.f. als Radius R des isotropen Kreises bezeiehnet. Der LTntersuchung der Kreisgeometrie der isotropen Ebene sind u.a. die Arbeiten [3] und [6] gewidmet.

W~hrend wir in Abschnitt 2 ein isotrol0es Analogon zu einem Satz yon Abramescu beweisen, werden in Abschnitt 3 Grenzwertformeln ffir den Krfimmungskreis in einem Punkt P einer Kurve der isotropen Ebene entwickelt, deren euklidische Analoga sich in [7, S. 97f.] und [11] finden. Diese Grenzwertformeln werden in Ab- schnitt 4 auf Kurvenstiicke des dreidimensionalen einfach- bzw. zweifaeh isotropen Raumes (vgl. [4], [5], [10]) erweitert.

2. Is t P ein Punkt eines Kurvenstiickes k der isotropen Ebene, der kein Wende- punkt yon k ist und keine isotrope Tangente t besitzt, so existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch das Linienelement (P, t) mit Radius 0 = 1/z(P), wobei z(P) die Kriimmung yon k an der Stelle P bedeutet. Wir bezeichnen diesen Kreis als Kriimmungskreis (Schmiegkreis) yon k in P und nennen 0 seinen Kriimmungs- radius. Vom euklidischen Standpunkt aus betrachtet handelt es sieh um eine Sehmieg- parabel yon k in P mit isotroper Achsenrichtung, deren Aehse man -- nach einem bekannten Satz fiber die Parabel -- mittels der Subnormalen auch konstruktiv leicht ermitteln kann2). Der i.f. in der isotropen Ebene formulierte Satz wurde 1935 in der euklidischen Ebene yon Iq. Abramescu entdeekt (vgl. [1]). Einen strengen analytischen Beweis gab St. Bilinski (vgl. [2]).

Satz 1. Sei k ein wendepunkt[reies C~ der isotropen Ebene, welches keine isotroTen Tangenten besitzt. Sind P0, P1, P2 3 verschiedene Punkte au/ k mit Tan. genten to, tl, t2, so konvergiert der dutch die 3 Schnittpunkte der Tangenten t~ (i ~- O, 1,2) /estgelegte Kreis beim Grenzi~bergang P1 "-+ Po, Pz ---> Po gegen einen Grenzkreis, dessen Radius ein Viertel des Kriimmungsradius yon k in Po betr~gt.

Beweis . (a) Wir bewei~en zun/~chst eine I-Iilfsformel der isotropen Kreisgeometrie. In der isotropen Ebene seien 3 versehiedene nichtisotrope Geraden g, (i = 0, I, 2) gegehen, die 3 versehiedene im Endliehen gelegene Schnittpunkte R, (i = 0, 1, 2) besitzen. Werden die Geraden in homogenen Geradenkoordinaten durch [u~ :vi:w,] (i = 0, 1, 2) beschrieben, so grit ffir den Radius R des Kreises durch die Punkte R~:

2) Eine andere Definition und Konstruktion findet sich in [6, S. 42].

Vol. XXIII, 1972 Zu einem Satz yon A'bramescu 663

U0 V0 W0

, Ul Vl Wl

V0 Vl V2 ?~2 V2 W2 ( 5 ) R = - -

Vl U2 V2 U0 V0

I u2 V2 U0 V0 Ul

Wir w~hlen die Bezeichnung so, dal~ der Ecke R~ des Dreiecks (R0/71 R2) die Seite g~ gegenfiberliegt. Da das Dreieck (R0/?1 R2) keine isotropen Seiten und nur eigentliche Ecken hat, existieren die isotropen Seitenl~ngen, die wir entsprechend mit a~ (i ---- 0, 1, 2) bezeichnen. Die dutch die Ecke Pi laufende Dreiecksh6he bezeichnen wir mit b~ und ihre STanne entsprechend mit h~. Bedeutet noch /v den euklidischen (und damit gegen isotrope Bewegungen invarianten) Fl~icheninhalt des Dreiecks (RoR1R2), so gilt nach [8, S. 386] 2 F ---- a~h~ (i ---- 0, 1, 2) und

a0 a l a2 F----

4 R '

welm R den Um-kreisradius bezeichnet. Daraus folio%

2F2 R---

h0 hi h2 "

Zur Ermit t lung yon hi bestimmen wit zun~chst die Koordinaten (~, ~ ) des Schnitt- punktes L des Lores x = x~ auf die Dreiecksseite u~x + v~y ~ wi-~ O. Hiermit finder man h~ ---- y~ - - ~ ~ (1/vi) (w~ ~- u~x~ ~- v~yi).

Berechnet man noch (x~, y~) als Koordinaten des Schnittpunktes der beiden durch R~ laufenden Geraden gl, gk (~, k I �9 i), so erh~It man insgesamt nach kurzer Rechnung

h~ v~(usv~--v juD u~ v~ w~

Beachtet man noch, dal~ fiir F gilt (vgl. [2], S. 254)

F__--_

l uo vo wot 2 Ul Vl Wl

~2 V2 W2

2 Ul Vl ?~2 V2 UO VOI U2 V2 UO VO Ul Vl I

so folgt hiermit und obigem die Formel (5). (b) Mittels (5) kann der Satz leicht bewiesen werden. Die P , nkte Po, P1, P~.[ e k

mSgen zu den Parameterwerten t, t ~ hi, t ~ h2 gehSren; da sie als paarweise ver- schieden vorausgesetzt wurden, gilt dabei hi :~ 0, h2 �9 0, hi - - h2 :~ 0. Bezeichnet {h~} Glieder ab der (einschlieBlich) k-ten Ordilung in hi, so hat man fiir i = 1, 2 die Taylorentwicklungen

x(t + h,) ~- x(t) + h~(t) + �89 + {h~},

(6) y(t + h,) = y(t) + h,?)(t) + �89 + {h~},

664 H. SAcHS ARCH. mATH.

= h 3 ec(t+h~) ~ ( t ) + h ~ k ( t ) + � 8 9 ~},

~(t + h~) = y(t) + h,~(t) + ~- h~ ~(t) + {h~}.

Bereehnet man die Geradenkoordinaten [ui : vi : w~.] der Tangent~n t~ in den Punk- ten P~ (i = 0, 1, 2), so finder man

(7) u~ : vi : w~ = - 9(t + h~) : ~ (t + h~) : z (t + h~) 9 (t + h~) - - --e(t + hi)y(t + h~),

wobei h0 = 0 zu setzen ist. Driickt man (5) dutch (7) aus und benfitzt man zur weiteren Auswertung die Reihenentwieklmagen (6), so erhs man nach einigen Um- formungen und naehdem dutch hi * 0, h2 * 0 un4 h.1 -- h2 # 0 gek/irzt wurde

2 (8) R(t, hi , hz) = i3

] )abel bezeiehnen _Pi (i = 1 . . . . ,4) Funkt ionen, die f i i r hz --~ O, h,~ -~ 0 versehwin- den. Ffihrt man den Orenzfibergang h 1 --> 0, h2 ---> 0 dureh, so erh~lt man fiir den Radius R* des Grenzk.reises

~8 1

4 ( ~ -- y~) 4 q

nach (3a), womit der Satz bewiesen ist.

3. Wie in der euklidischen Ebene, so kann man aueh in der isotropen Ebene den Begriff des Krfimmungskreises durch verschiedene Definitionen einfiihren mad deren ~quivalenz,naehweisen. Wir behandeln i.f. einige dieser Definitionen mad beweisen in diesem Zusammenhang einige Grenzwertformeln, die sieh fiir die euldidische Ebene in [11] linden. Wird i.f. der Krtimmungskreis in einem Punkt P -- der kein Wende- punkt sein soll - - eines Kurvenstiickes k{x(t), y (t)} betraehtet, so kann man o.B. d.A. P a l s Ursprung und die Tangente t in P a l s x-Achse eines kartesischen Koordi- natensystems w/thlen; dies ist dutch eine isotrope Bewegung stets zu erreichen, wenn ~6r wie immer voraussetzen, dab t keine isotrope Gerade ist. Setzt man noch o. B. d. A. voraus, dab P zum Parameterwert t = 0 geh6rt, so vereinfaehen sieh wegen x(0) = y ( 0 ) = y ( 0 ) = 0 alle Beweise wesentlich. Wit vermerken vorerst, dab dann fiir die Kriimmmag bzw. den Kriimmmagsradius in P naeh (3 a.) gilt

(9) ~ ( P ) - ~ , ~ = y .

Die Gleichung des Krtimmtmgskreises lautet

(9a) y = �89 ~.

Euklidisch betraehtet besitzt diese Parabel den euklidisehen Kriimmungskreis ira Punkt P e k als Seheitelkrfimmungskreis. Im folgenden sei k stets analytisch und frei yon Wendepmakten und isotropen Tangenten.

Vol. XXIII, 1972 Zu einem Satz yon ~bramescu 665

Satz 2. ][st (P, t) ein Lini6nelement yon k, Q e k, Q ~: P, so konvergiert der durch das Linienelement (P, t) und den Punk t Q feztgelegte Kreis beim Grenzis Q --> P gegen den Kriimmungskreis yon k in P. S ind P, Q, R ] 4: ~ k, so konvergiert der durch P, Q, R bestimmte Kreis beim Grenzi~bergang Q -> P, R --> P gegen den Kri~mmungs- kreis von k in P.

Bewe i s . (a) H a t Q die Koordinaten {x(h), y(h)) , so besitzt bei obiger Wahl des Koordinatensystems ein Kreis dureh (P, t) und Q die Gleiehung

y(h) y -- - - x 2"

x~ (h)

Zweimalige Anwendung der Regel yon de l 'Hospital liefer~

y(h) ~ // ~(0) 1 �9 ---- | i m - - lira x2(h ) = h ~ o 2 x ~ 2 "~ - - - - ~ ' a-~o x - § 2x 'x 2~2(0) 2 h - - ~ 0

so dab der Grenzkreis die Gleiehung y = �89 gx 2 besitzt; dies ist naeh (9a) der Krfim- mungskreis.

(b) Alle Kreise dureh die Pnnl~te P, Q, R k6nnen zun~chst in der Gestalt y ---- ~- a x 2 ~- b x ~- c geschrieben werden. Fiir Q -~ P, R --> P muB dann fiir die Funk-

tion F(t) : ~ ax2(t) + bx(t) ~- c gelten F(0) -~/5(0) = ~(0) -~ 0. Dies liefert unter Beriieksieh$igung der Anfangsbeding~ngen x (0) ---- y (0) = ~ (0) ---- 0 wegen ~ (0) # 0:

~(0) 1 b----c----0, a - - ~ 2 ( 0 ) 2 z ( 0 ) '

d.h. den Krfimmungskreis; w.z.b.w.

Satz 3. Ist (P, t) ein Linienelement'von k, tl eine Tangente yon k mit t:~ tl , so kon- vergiert der durch (P, t) und tl /estgelegte Kreis beim Grenzis tl --> t gegen den Kri~mmungskreis yon k in P. S ind t, t l , t~ drei verschiedene Tangenten von k, so kon- vergiert der durch t, t l , t~. /estgelegte Kreis beim Grenzi~bergang tl--> t, t2--> t gegen den Kris yon k im Beriihrpunkt P von t m i t k.

B e w e i s . (a) Nach Wahl des Koordinatensystems wie in Satz 2, Teil (a) lautet k: y ~ 2x 2, wobei gilt ~----u2/4vw, wenn u x ~ vy ~ w ~ 0 die Tangente tl be- schreibt. Da tl nicht isotrop ist und nicht P enth~lt, gS]t sicher vw ~: O. Geh6rt tl zum Beriihrpunkt Q(t -~ h), so gilt u ---- ~)(h), v ---- -- ~(h), w = 2(h)y(h) -- ~)(h)x(h) und man finder mit den entsprechenden Taylorentwieklungen

h~ ~ ( o ) + {3} 2 =

2 h2 ~2 (o) ~)(o) + {3) '

wobei - - wie auch i.f. - - {n} Glieder ab der n-ten Ordnung in h bezeiehnet. Dann folgt aber for h -> 0:

y(O) = 2 ~ (o) - 2 ~ (o)

und damit als Grenzkreis y = �89 ~ (0) x 2.

666 H. SACHS &RCH. MATH.

(b) Wird der Kreis 1 in der Fo rm y = ~x 2 q- fix + 7 angesetzt und wird die Tangentensehar yon I o .B .d .A, dutch 2z + y q- /z = 0 besehrieben, so hag / in Geradenkoordinaten die Gleiehung

( lo) (fl + ~)~ - 4~.( 7 + / ~ ) = o .

Die Tangente t sei 0.]3. d.A. x-Achse des Koordinatensystems und habe den Ko- ordinatenursprung als Ber/ ihrpunkt , der zum Parameterwer t t ~ 0 auf k geh6re; dann gilt 2 (0) = / z (0) = 0. Bezeichnen Punkte Ableitungen nach t, dann muB neben (10) ffir t ~- 0 gelten:

(~+ ; . )~ -2~ =0, (11) i2+(~+~)~-2~p=o.

Beachtet man

l) x ~ ) - - 2 y x 2

und dami t gem/~B den Anfangsbedingungen x (0) -- y (0) -=/) (0) ---= 0 auch ~ (0) = 0,

p(0) ---- y(0), )[(0) ---- - - ~(0)/&(0), so folgt

i 9(0) i

= 2 ~2(0) 2 ~ ( ~ / 3 = 7 = 0 ,

womit der Grenzkreis als Kriimmungskreis nachgewiesen ist; w.z .b .w. Ffir das Folgende fiihren wir einige Bezeichnungen ein. Es seien (P, t), (Q, tl)

zwei Linienelemente eines yon Wendepunkten und isotropen Tangenten freien C o~-

Kurvensti ickes k. g bezeichne die Sehne P Q und s die (isotrope) Bogenl~nge PQ, 81

bzw. e.~ den Winkel zwischen t und g bzw. ti und g, tP den Winkel zwischen t und ti.

Satz 4. M i t obigen Bezeichnungen gelten ]iir den Kriimmungsradius 9 in P beim Grenziibergan9 Q -* P (tl --+ t) folgende Beziehungen

s 1 s 1 s (12) o ~ - l i m - - = - - l i r a - - = - - l i r a - - ,

Q _ p ~0 2 Q..+p el 2 Q...~p e2

8 El 8 e2 8 e2 (13) o = 2 lira --Z~ = 2 l im-yT- - - lira .

B e w e i s . Wi t benfitzen fiir k die Darstellung y = ](x) e C ~. W~hlt man o .B .d .A . P a l s Koord ina tenursprung und die Tangente in P als x-Aehse des Koordinaten- systems, so gilt ] (0) = ]'(0) = 0, wenn Striche - - wie auch i.f. - - Ablei tungen nach x bezeiehnen. Damit grit nach (3) p = 1/1"(0). GehSrt Q zur Stelle x = h uncl be- niitzt man die Taylorentwicklung yon ] (x) an der Stelle x = 0, so finder m a n fiitr die in (12) und (13) auftretenden Gr6Ben

s = h ,

IVy,) I e l - - h - - 2 hf'(0) q - {2} ,

u XXIII, 19,~2 Zu einem Satz yon Abramescu 667

l(h) i ~.. = / ' ( h ) - . ~ - - 2 h/"(o) + {2},

= l ' ( h ) = h / " ( 0 ) + {2} .

Hiermit best/~tigt man leicht die angegebenen Formeln. Beispielsweise finder man

se2 h[�89 + {2}] 1 lim - = lira = = ~o, w.z.b.w.

~_~p ~ez h-*0 [hi"(0) + {2}] [�89 + {2}] 1"(0)

Die euklidisehen Analoga zu den Grenzwertformeln (12) mad (13) finden sich auch in [11, S. 24fi].

4. Die im Satz 4 angegebenen Grenzwerfformeln lassen sich auf die Kurventheorie des dreidimensionalen einfach- bzw. zweffach isotropen Raumes iibertragen, wenn man die entspreehenden metrischen Invarianten benfitzt. Die Differentialgeometrie des ein/ach isotropen Raumes wurde in zahlreichen Arbeiten yon K. Strubeeker ent- wickelta). Wir setzen i.f. voraus, da[3 k ein wendepunktfreies C~-Kurvenstiick sei, welches keine isotropen bzw. vollisotropen Tangenten und Sehmiegebenen besitzt. Dann versteht man unter dem Krfimmungskreis in einem Punkt P e k jenen in der Schmiegebene liegenden Kreis, der die Kurve/c in P dreipunktig berfihrt; er erscheint als euklidiseher Krfimmungskreis des Kurvengrundrisses k n in pn, wenn pn den GrundriB yon P bezeichnet (vgl. [i0], S. 34). Man best/itigt sofort, daI~ der Kriim- mungskreis in P auch als Grenzkreis der Menge aller Kreise dureh das IAnienelement (P, t) und einen weiteren variablen Punk t Q e k fiir Q --> P erkl~rt werden kann. Beachtet man, dab der Abstand zweier Punkte, der Winkel zweier schneidender oder ~4ndschiefer Geraden des einfaeh isotropen Raumes, sowie die BogenlSnge eines Kurvenstfickes am Grundtlg dieser Gebilde euklidisch gemessen werden kann, so folgt aus dem euklidischen Analogon zu Satz 4 ein analoger Satz fiir Kurvenstiicke des einfach isotropen Raumes. Die Grundlagen der Geo mettle des zwei/ach isotropen Raumes wurden yon H. Brauner in [4] entwickelt. Wir set zen voraus, dal3 k ein wendepunktfreies C~-Kurvenstiick sei, welches frei yon isotropen bzw. vollisotropen Tangenten und Sehmiegebenen ist. Unter dem Kriimmungskreis yon k in einem Punkt P versteht man naeh [5, S. 137] einen k in P dreipunktig berfihrenden Kreis. Dann kann ein zum Satz 4 analoger Satz for den zweifach isotropen Raum formu- liert werden, dessen Beweis aus Satz 4 unmittelbar folg~, wenn man beachtet, dag die Metrik des zweifach isotropen Raumes yon einer 6-gliedrigen Beweg-angsgruppe induziert wird, deren Transformationen im Grundrfl3 als isotrope Bewegtmgen (1) erscheinen. Wir fassen zusammen:

Satz 5. Es sei k ein wendepunlct/reies Cco-Kurvensti~clc des ein/ach- bzw. zwei[a~h isotropen Raumes, welches ]rei yon isotropen bzw. vollisotropen Tangente~ und Schmieg-

ebenen ist. Sind (P, t), (Q, t:) zwei Linienelemente yon k und bezeichnet s den Bogen PQ,

el den Winkel zwischen t u n d der Sehne g := PQ, e2 den Winkel zwischen t: un~l g und q~ den Winkel der (windschie/en) Tangenten t u n d tz ]e in der entsprecher~len Metrilc, dann gelten die Grenzwert/ormeln (12) unc1 (13).

3) Man vgl. z.B. [10], wo die Kurventheorie entwiekelt wird.

668 H. SAcHs AKCH. MATH.

Literaturverzeiehnis

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(1937).

Anschrift des Autors: Hans Sachs ])-7072 Heubach Lautemer-Str. 37

Eingegangen am 15. 3. 1972