Ein modernes Michelson-Morley-Experiment mit …...Ein modernes Michelson-Morley-Experiment mit rotierenden optischen Resonatoren Diplomarbeit Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche

Ein modernes

Michelson-Morley-Experiment mit

rotierenden optischen Resonatoren

Diplomarbeit

Humboldt-Universität zu Berlin

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät I

Institut für Physik

eingereicht von

Katharina Möhle

geb. am 04.01.1982 in Friedrichshafen

Berlin, Mai 2007

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein modernes Michelson-Morley-Experiment präsentiert, das diebisher genausten Grenzwerte für Testparameter liefert, wie sie in Testtheorien zurBeschreibung einer möglichen Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit verwendet wer-den. Damit konnte die obere Grenze für eine Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit zu∆c/c < 9× 10−17 bestimmt werden. Erste Ergebnisse mit einem modifizierten Aufbaulassen eine Einschränkung im Bereich ∆c/c ∼ 10−18 innerhalb einer Jahresmessungerwarten.

In der hier vorgestellten Version des Michelson-Morley-Experiments werden zweiNd:YAG-Laser (1064 nm) auf zwei gekreuzte rotierende Resonatoren frequenzstabili-siert und die Schwebungsfrequenz zwischen den beiden Lasern auf eine Abhängigkeitder Orientierung der Resonatoren hin untersucht. Eine Anisotropie der Lichtgeschwin-digkeit würde eine Modulation der Resonanzfrequenzen der Resonatoren bewirken,deren Amplituden wiederum durch die Erdrotation und die Bewegung der Erde umdie Sonne moduliert wären. In dem hier beschriebenen Experiment kamen neue speziellfür ein Michelson-Morley-Experiment entworfene Resonatoren zum Einsatz mit deneneine durch thermisches Rauschen begrenzte relative Frequenzstabilität von ∼ 1×10−15

von 1 s bis 100 s Integrationszeit erreicht werden konnte. Damit konnte die relative Fre-quenzstabilität, die die Genauigkeit eins vorangegangenen Experiments limitierte umeinen Faktor 10 verbessert werden.

Zur Durchführung des Michelson-Morley-Experiments wurden die Resonatoren zu-erst in einem Kryostaten, der als Vakuumkammer diente, gelagert und dieser in einenbestehenden Aufbau zur aktiven Drehung des Experiments installiert. Die Messungenmit diesem Aufbau waren in ihrer Genauigkeit nun nicht mehr durch das Laserrau-schen, jedoch durch modulierte systematische Effekte im Bereich von 1Hz begrenzt.Mit einem verbesserten Aufbau, in dem insbesondere die Resonatoren in einer neuen,speziell für dieses Experiment entwickelten Vakuumkammer installiert wurden, konn-ten systematische Effekte soweit unterdrückt werden, dass Grenzwerte für die Testpa-rameter bestimmt werden konnten, die im Vergleich zum Vorgängerexperiment bereitsnach einer 18-Tages-Messung um einen Faktor 4 genauer sind. Schließlich konnten dieverbliebenen diese Messung limitierenden systematischen Effekte weitgehend eliminiertwerden (< 0.1Hz ). Erste nunmehr lediglich durch die relative Frequenzstabilität li-mitierte Messungen liefern eine weitere deutliche Steigerung der Messgenauigkeit umeine Größenordnung und lassen durch Integration über ein Jahr eine Steigerung umbis zu zwei Größenordnungen erwarten.

i

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 1

2. Theoretische Grundlagen 4

2.1. Standardmodell-Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1. Photonischer Sektor der SME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Das sonnenzentrierte System als Bezugssystem . . . . . . . . . . 62.1.3. Experimente mit optischen Resonatoren . . . . . . . . . . . . . 72.1.4. Bisher ermittelte Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Testtheorie von Robertson, Mansouri und Sexl . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Anisotropie Signale bei Tests mit Resonatoren . . . . . . . . . . 112.2.2. Bisher bestimmte Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Frequenzstabilisierung auf Resonatoren 14

3.1. Grundlagen der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Das Pound-Drever-Hall Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Die Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Die Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1. Gleichtaktunterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4.2. Lagerung der Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5. Optischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6. Erreichte Frequenzstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6.1. Verbesserung der Frequenzstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6.2. Untersuchungen zur weiteren Optimierung der Frequenzstabilität 32

3.7. Thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7.1. Temperaturabhängigkeit des thermischen Rauschens . . . . . . . 39

3.8. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Aufbau des Michelson-Morley-Experimentes 42

4.1. Gesamter Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Drehung des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1. Der Drehtisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2. Drehdurchführungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.3. Verkippung der Rotationsachse - Tiltregelung . . . . . . . . . . 464.2.4. Zentrifugalkräfte - Gleichlaufregelung . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

iv Inhaltsverzeichnis

4.3. Weitere systematische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1. Temperatureffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2. Elektromagnetische Interferenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.3. Gewichtsverteilung auf dem Drehtisch . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4. Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Methode der Datenanalyse und erste Ergebnisse 52

5.1. Rohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2. Berücksichtigung der Tischdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3. Berücksichtigung der Erddrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. Bestimmung der κ-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. Bestimmung des PMM-Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.6. Erste Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6. Verbesserter Aufbau 60

6.1. Neue Vakuumkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.1.1. Thermische und mechanische Stabilität . . . . . . . . . . . . . . 606.1.2. Ultra-Hoch-Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.3. Lagerung des Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.4. Montage der optischen Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2. Weitere Verbesserungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3.1. Frequenzstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.2. Systematische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3.3. Auswertung bezüglich der Tischmodulation . . . . . . . . . . . . 666.3.4. Auswertung bezüglich der Tagesmodulation . . . . . . . . . . . 676.3.5. κ-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.6. PMM-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.1. Systematischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.2. Modifiziertes Pound-Drever-Hall Verfahren . . . . . . . . . . . . 706.4.3. Abschätzung der erreichbaren Genauigkeit . . . . . . . . . . . . 72

A. Charakterisierung der Frequenzstabilität 74

B. Neuste Ergebnisse 77

Abbildungsverzeichnis

1.1. Moderne Version eines Michelson-Morley-Experimentes . . . . . . . . . 2

2.1. Sonnenzentriertes System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1. Regeldiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Regelkreis zur Frequenzstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Phasendispersion im Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Pound-Drever-Hall Fehlersignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5. Freilaufende Frequenzstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6. Die Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7. Linienbreite eines Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.8. Änderung der Schwebungsfrequenz bei periodischem Heizen und Abkühlen 223.9. Änderung der Schwebungsfrequenz innerhalb einer Heizperiode . . . . . 233.10. Gleichtaktunterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.11. Lagerung der Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.12. Optischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.13. Auswirkungen der aktiven Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . 283.14. Linienbreite des Schwebungssignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.15. Erreichte Frequenzstabilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.16. Relative Frequenzstabilität mit und ohne Faser . . . . . . . . . . . . . . 323.17. Polarisationseffekt in der Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.18. Vergleich der relative Frequenzstabilität bei Lock in Reflexion und Trans-

mission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.19. Strukturelle Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.20. Q-Faktoren der beiden Resonatormaterialien . . . . . . . . . . . . . . . 383.21. Beschränkung durch thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . 383.22. Q-Faktor von Zerodur für verschieden Temperaturen . . . . . . . . . . 403.23. Frequenzstabilitäten bei verschiedenen Temperaturen . . . . . . . . . . 41

4.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Skizze des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3. Tiltempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Tiltregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5. Regelung der Rotationsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6. Fouriertransformierte einer Messung über drei Tage . . . . . . . . . . . 49

v

vi Abbildungsverzeichnis

5.1. Rohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Ausschnitt der Schwebungsfrequenz über zehn Rotationen mit gefitte-

tem Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3. Verteilung der B- und C-Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4. Amplituden der Modulation bei ωrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Skizze der neuen Vakuumkammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2. Einkoppeloptik der neuen Vakuumkammer . . . . . . . . . . . . . . . . 636.3. Mit dem neuen Aufbau erreichte Frequenzstabilität . . . . . . . . . . . 656.4. Fouriertransformierte einer Messung über vier Tage mit dem neuen Aufbau 656.5. Verteilung der B- und C-Amplituden einer Messung über 18 Tage am

neuen Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.6. Verteilung der Bk- und Ck-Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.7. Auswirkungen einer sich ändernden Amplitude des Fehlersignals auf den

Lockpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.8. Korrelationen zwischen Schwebungssignal und 2νm-Signal . . . . . . . . 716.9. Fouriertransformierte einer Messung mit modifizierten PDH-Verfahren . 716.10. Verteilung der B-Amplituden mit modifizierten PDH-Verfahren . . . . 726.11. Historie und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.1. Darstellung von verschiedenen Rauscharten in der Allan-Varianz . . . . 76

B.1. Verteilung der B- und C-Amplituden aus den neusten Messungen . . . 77B.2. Verteilung der Bk- und Ck-Amplituden aus den neusten Messungen . . 78

Tabellenverzeichnis

2.1. Bisher bestimmte κ Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Bisher ermittelte Grenzwerte für den PMM-Parameter . . . . . . . . . . 13

3.1. Linienbreiten und Finessen der einzelnen Resonatoren . . . . . . . . . . 213.2. Thermisches Rauschen der verschiedenen Resonatoren . . . . . . . . . . 37

5.1. Bk- und Ck-Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.1. Neu bestimmte κ-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.1. Rauscharten im Power-Law Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.2. Rauschbeiträge in Frequenz- und Zeitraum . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.1. κ-Parameter aus der neusten Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

vii

1. Einleitung

Mit ihrem 1887 durchgeführten Experiment [MM87] versuchten A.A. Michelson undE.W. Morley die Existenz eines Äthers nachzuweisen, indem sie untersuchten, ob sichLicht in einem Michelson-Interferometer anisotrop ausbreitet. Obwohl dieser Nachweisbekanntermaßen misslang, gelangte das Experiment im Nachhinein dennoch zu einigemAnsehen, da es als eine Bestätigung von Einsteins Postulat der Konstanz der Lichtge-schwindigkeit angesehen wurde, das eine Grundlage der speziellen Relativitätstheoriedarstellt.

Die spezielle Relativitätstheorie findet heute in vielen physikalischen Modellen ih-re Anwendung und stellt eine wesentliche Grundlage vieler moderner physikalischerTheorien dar. Gerade deswegen wird in modernen Präzisionsexperimenten versucht,die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie mit immer größerer Genauigkeitenzu überprüfen. Zahlreiche Experimente testen das Postulat der Konstanz der Licht-geschwindigkeit [Zha97]. Die Experimente, die dabei die Isotropie der Lichtgeschwin-digkeit und damit die Lorentzinvarianz testen, werden moderne Michelson-Morley-Experimente genannt.

In der hier beschriebenen modernen Version des Michelson-Morley-Experimenteswerden die Interferometer-Arme des klassischen Experimentes durch optische Hoch-Finesse Resonatoren ersetzt (siehe Abbildung 1.1). Bei unveränderter Länge L derResonatoren kann über die Beziehung νR = mc/2L (m ∈ N) von einer möglichen Än-derung der Resonanzfrequenz νR der Resonatoren direkt auf eine Änderung der Licht-geschwindigkeit geschlossen werden. Um die Resonanzfrequenz auszulesen, werden zweiNd:Yag-Laser (1064 nm) auf jeweils einen der beiden Resonatoren frequenzstabilisiertund das Schwebungssignal zwischen den beiden Laserfrequenzen untersucht. Da dieResonatoren auf einem Drehtisch aktiv gedreht werden, würde bei einer anisotropenAusbreitung des Lichts die Schwebungsfrequenz mit der Drehfrequenz moduliert wer-den. Die Amplituden dieser Modulation wären wiederum durch die Erdrotation unddie Bewegung der Erde um die Sonne moduliert.

Die Motivation für moderne Michelson-Morley-Experimente wird neben dem An-spruch, wichtige physikalische Prinzipien experimentell mit größten möglichen Genau-igkeit zu bestätigen, aus modernen Theorien wie der String Theorie und der LoopQuantum Gravity gezogen, in denen versucht wird im Rahmen einer alle Naturkräftevereinheitlichenden Theorie eine quantenmechanische Beschreibung der Gravitation-kraft zu geben. In beiden Theorien gibt es Modelle, die eine Verletzung der Lorent-zinvarianz in Betracht ziehen [KS89], [AMU02], [GP99]. Als relevante Energieskala fürdie Brechung der Lorentzsymmetrie wird in diesen Modellen oft die Planck EnergieEP l ∼ 1019 GeV angenommen. In einem Laborexperiment mit Photonen von ∼ 1 eVwürde das einen Effekt in der Größenordnungen von 10−28 bedeuten, was weit au-

1

2 Einleitung

Laser 1

Las

er 2Messung des

SchwebungssignalBeobachter

Licht-quelle

Spiegel

Strahl-teiler

Spiegel

Resonator

Resonator

wrot wrot

Abbildung 1.1.: Auf der linken Seite ist die klassische Variante des Michelson-Morley-Experiments zu sehen, auf der rechten Seite eine moderne Variante. Indem klassischen Experiment wird nach einer Verschiebung des Interferenzmusterbei rotierendem Interferometer gesucht. In modernen optischen Experimentenwird das Schwebungssignal zwischen zwei auf rotierende gekreuzte Resonatorenstabilisierte Laser betrachtet.

ßerhalb der bisher erreichbaren Genauigkeit läge. Allerdings gibt es auch Ansätze, dieniedrigere Energieskalen als relevant diskutieren [ADD99] oder die Auswirkungen einerVerletzung der Lorentzinvarianz bei niedrigeren Energien in Betracht ziehen [Vol01].Hier kann ein Laborexperiment mit einer Genauigkeit von 10−18 wertvolle Aussagentreffen.

Um quantitative Aussagen über eine mögliche Verletzung der Lorentzinvarianz tref-fen zu können, werden zwei verschiedene Testtheorien herangezogen, die eine Verlet-zung der Lorentzinvarianz simulieren. In einer von V.A. Kosteleck´y et al. ausformu-lierten Testtheorie [CK98] wird das Standardmodell der Teilchenphysik um zusätzli-che Lorentzsymmetrie verletzende Terme erweitert; in der kinematischen Testtheorievon H.P. Robertson, R. Mansouri und R.U. Sexl ([Rob49], [MS76]) wird die Lorentz-Transformation durch eine verallgemeinerte Transformation ersetzt. In beiden Theo-rien werden Testparameter zur Beschreibung einer Verletzung der Lorentzinvarianzverwendet, die mit Messauswertungen aus einem Michelson-Morley-Experiment einge-schränkt werden können.

Gliederung der Arbeit

In der vorliegenden Arbeit werden zunächst im Kapitel 2 die beiden Testtheorienvorgestellt, die für die Auswertung des Experiments auf der Suche nach möglichenLorentzinvarianz verletzenden Signalen herangezogen werden.

Anschließend werden in Kapitel 3 die verwendete Methode zur Frequenzstabilisie-rung und der optische Aufbau des Experimentes beschrieben. Zusätzlich wird ein Über-

3

blick über die erreichten Frequenzstabilitäten gegeben und deren Begrenzung durchthermisches Rauschen untersucht.

Der Teil des experimentellen Aufbaus, der die aktive Rotation der Resonatoren er-möglicht, wird in Kapitel 4 dargestellt. Dabei wird auf die besonderen Anforderungenan das rotierende System genauer eingegangen und resultierende systematische Effekteerläutert.

In Kapitel 5 wird die Methode der Datenanalyse erklärt und erste Ergebnisse werdenpräsentiert.

Eine verbesserte Version des Aufbaus, mit dem bereits Messungen durchgeführtworden sind wird in Kapitel 6 vorgestellt. Die mit diesem Aufbau bestimmten Testpa-rameter werden präsentiert und mit früheren Messungen verglichen. Die Arbeit endetmit der Präsentation einer weiteren Modifikation des verbesserten Aufbaus, mit derder begrenzende systematische Effekt weitgehend beseitigt werden konnte, wodurcheine Abschätzung der erreichbaren Genauigkeit möglich ist.

Zuletzt werden im Anhang neben der Charakterisierung der Frequenzstabilität dieersten Ergebnisse mit dem modifizierten Aufbau vorgestellt.

2. Theoretische Grundlagen

Im folgenden Kapitel soll ein Überblick über zwei Testtheorien gegeben werden, mitdenen eine Verletzung der Lorentzinvarianz beschrieben werden kann. Dabei werdenLorentzinvarianz verletzende Signale modelliert, wie sie für ein Michelson-Morley-Experiment mit rotierenden optischen Resonatoren vorliegen würden.

2.1. Standardmodell-Erweiterung

Die Standardmodell-Erweiterung (SME) wurde von D. Colladay und V.A. Kostelecký[CK98] eingeführt, um eine mögliche Verletzung der Lorentzsymmetrie und der CPT-Symmetrie zu beschreiben. Die SME basiert auf dem Standardmodell der Elementar-teilchenphysik, erlaubt aber zusätzliche Terme, die diese Verletzung beinhalten.Für die zusätzlichen Terme wird gefordert, dass sie invariant unter Lorentztransfor-mationen des Inertialsystems sind, in dem sich der Beobachter befindet (Beobachter-Lorentztransformation). Damit wird gewährleistet, dass die Physik unabhängig vonder Wahl des Koordinatensystems ist. Weitere vereinfachende Annahmen sind u.a dieErhaltung der SU(3)× SU(2)×U(1) Eichsymmetrie, keine Abhängigkeit der Lorentzverletzenden Koeffizienten von der Position und Renormalisierbarkeit der Terme.

2.1.1. Photonischer Sektor der SME

Mit diesen Annahmen kann für den photonischen Sektor der SME der Lagrangianfolgendermaßen formuliert werden [KM02]:

L = −1

4F µνFµν +

1

2(kAF )κǫκλµνA

λF µν − 1

4(kF )κλµνF

κλF µν , (2.1)

wobei Fµν = ∂µAν − ∂νAµ den elektromagnetischen Feldstärketensor und Aλ das elek-trodynamische Viererpotential beschreibt.Der erste Term stellt den normalen Maxwell-Lagrangian dar. Die zusätzlichen Termeverletzen beide die Lorentzinvarianz, wobei der mittlere außerdem noch die CPT-Symmetrie verletzt. Dieser Term wird im Weiteren zu Null gesetzt, da kAF bereits inastronomischen Messungen < 10−42 GeV bestimmt wurde [CFJ90]. Damit vereinfachtsich der Lagrangian zu

L = −1

4F µνFµν −

1

4(kF )κλµνF

κλF µν . (2.2)

Für die inhomogenen Bewegungsgleichungen ergibt sich daraus

∂αF αµ + (kF )µαβγ∂

αF βγ = 0. (2.3)

4

2.1 Standardmodell-Erweiterung 5

Die homogenen Bewegungsgleichungen bleiben unverändert.Die aus diesem Lagrangian ableitbaren Maxwell-Gleichungen lassen sich formal analogden herkömmlichen Maxwell-Gleichungen in einem anisotropen Medium darstellen,wenn die Felder ~D und ~H folgendermaßen definiert werden:

(

~D~H

)

=

(

1 + κDE κDB

κHE 1 + κHB

) (

~E~B

)

. (2.4)

Dabei sind κDE , κHB, κDB und κHE 3 × 3 Matrizen, die über kF durch

(κDE)jk = −2(kF )0j0k,

(κHB)jk =1

2ǫjpqǫkrs(kF )pqrs,

(κDB)jk = (kF )0jpqǫkpq,

(κHE)jk = −(κDB)kj, (2.5)

bestimmt sind. Gleichung (2.3) lässt sich mit dieser Definition in der vertrauten Form

∇× ~H − ∂0~D = 0 ∇ ~D = 0

∇× ~E − ∂0~B = 0 ∇ ~B = 0

(2.6)

darstellen. In der SME wird gewissermaßen das Vakuum als anisotropes Medium be-handelt.

Um die SME zur Beschreibung von Testexperimenten zu verwenden, ist es sinnvolldie oben verwendeten κ-Parameter zu neuen κ-Parametern zusammenzusetzen:

(κe+)jk =1

2(κDE)jk + (κHB)jk,

(κe−)jk =1

2(κDE)jk − (κHB)jk − 1

3δjk(κDE)ll,

(κo+)jk =1

2(κDB)jk + (κHE)jk,

(κo−)jk =1

2(κDB)jk − (κHE)jk,

κtr =1

3δjk(κDE)ll. (2.7)

Die ersten vier Gleichungen beschreiben spurfreie 3 × 3 Matrizen. Die Indizes e undo stehen für paritätserhaltend (engl. even) bzw. paritätsverletzend (engl. odd). κe+,κe− und κo− sind symmetrisch, während κo+ antisymmetrisch ist. Damit enthalten dieersten drei Matrizen jeweils fünf freie Parameter, während κo+ drei freie Parameterenthält. Nimmt man den Skalar κtr hinzu, erhält man 19 Parameter für den Koeffizi-enten (kF )κλµν .Die zehn Parameter von κe+ und κo− können über Experimente bestimmt werden, dieLicht mit Licht vergleichen, wie zum Beispiel Experimente zur Doppelbrechung im Va-kuum. Die anderen neun Parameter können nur in Experimenten ermittelt werden, dieLicht mit Materie vergleichen. Im hier beschriebenen Experiment wird dieser Vergleichmit Resonatoren realisiert.

6 Theoretische Grundlagen

X

Y

Zw

W

+

+

h

Abbildung 2.1.: Schematische Darstellung des sonnenzentriertes Systems.

2.1.2. Das sonnenzentrierte System als Bezugssystem

Da das Laborsystem auf der Erde kein Inertialsystem ist, wird als Bezugssystem dassonnenzentrierte System (SZS) ausgewählt, das über lange Zeiträume als unbeschleu-nigt angesehen werden kann. Die Sonne definiert den Ursprung dieses Koordinatensys-tems. Die X-Achse zeigt zum Frühlingspunkt, die Z-Achse ist parallel zur Rotationsach-se der Erde und zeigt nach Norden und die Y-Achse ist so gewählt, dass sie zusammenmit den anderen Achsen ein rechtshändiges Dreibein bildet. Die Erde bewegt sich aufeiner Kreisbahn mit der Kreisfrequenz Ω⊕ um die Sonne und rotiert um die eigene Ach-se mit ω⊕. Der Neigungswinkel der Erdumlaufbahn gegenüber dem Himmelsäquator,der in der von X und Y aufgespannten Ebene liegt, wird mit η bezeichnet (siehe Ab-bildung 2.1). Im Labor werden die Achsen üblicherweise so gewählt, dass die x-Achsenach Süden zeigt, die y-Achse nach Osten und die z-Achse senkrecht nach oben. ZurAngabe der geographischen Breite wird der Winkel χ verwendet (Kolatitude), der alsKomplementärwinkel zur geographischen Breite definiert ist.

Transformation

Für die Umrechnung vom sonnenzentrierten Bezugssystem ins Laborsystem muss eineRotation

R =

cos χ 0 − sin χ0 1 0

sin χ 0 cos χ

cos ω⊕T⊕ sin ω⊕T⊕ 0− sin ω⊕T⊕ cos ω⊕T⊕ 0

0 0 1

(2.8)


und eine geschwindigkeitsabhängige Transformation

~β = β⊕

sin Ω⊕T ′

− cos η cos Ω⊕T ′

− sin η cos Ω⊕T ′

+ βL

− sin ω⊕T⊕

cos ω⊕T⊕

0

(2.9)

durchgeführt werden. Der Vektor ~β⊕ mit β⊕ = v⊕/c ≈ 10−4 bezieht sich auf dieBahngeschwindigkeit der Erde, während βL ≈ 10−6 die Geschwindigkeit des Laborsaufgrund der Erdrotation berücksichtigt. Der Zeitnullpunkt der Zeit T ′ wird auf denPunkt festgelegt, als die Erde im Jahr 2000 auf der absteigenden Trajektorie den Him-melsäquator kreuzte (Frühlings Tag-und Nacht-Gleiche). Der Nullpunkt der Zeitachsevon T⊕ wird ebenfalls auf den 20. März 2000 festgesetzt; allerdings genau auf denZeitpunkt als die y-Achse des Labors und die Y-Achse des sonnenzentrierten Systemszusammenfielen, was nicht exakt dem Nullpunkt der T ′ Zeitachse entspricht.

Mit diesen beiden Transformationen lässt sich eine Beobachter-Lorentztransformation

Λµν =

1 −β1 −β2 −β3

−(R · ~β)1 R11 R12 R13

−(R · ~β)2 R21 R22 R23

−(R · ~β)3 R31 R32 R33

, (2.10)

angeben mit der die κ-Matrizen zwischen den beiden Bezugssystemen transformiertwerden können. Damit lässt sich folgender Zusammenhang zwischen den κ-Matrizenherstellen:

(κDE)jklab = T jkJK

0 (κDE)JK − T(jk)JK1 (κDB)JK ,

(κHB)jklab = T jkJK

0 (κHB)JK − T(jk)KJ1 (κDB)JK ,

(κDB)jklab = T jkJK

0 (κDB)JK + T kjJK1 (κDE)JK + T jkJK

1 (κHB)JK , (2.11)

wobei T jkJK0 = RjJRkK und T jkJK

1 = RjPRkJǫKPQβQ ist.

2.1.3. Experimente mit optischen Resonatoren

Die Auswirkung einer Verletzung der Lorentzinvarianz auf die elektrischen und magne-tischen Felder in einem Resonator werden störungstheoretisch berechnet. Dabei erhältman für die Frequenzverschiebung nach [KM02]

δν

ν0=

~E∗0(κDE)lab

~E0 − ǫ(N × ~E∗0)(κHB)lab(N × ~E∗

0)

2ǫ|E20 |

, (2.12)

wobei N ein Einheitsvektor entlang der Achse des Resonators ist und ~E0 ein Vektorsenkrecht dazu, der die Polarisation festlegt.Für einen Resonator, der in der x/y-Ebene des Labors liegt, ist N = (cos θ, sin θ, 0),


wobei θ den Winkel zwischen der x-Achse des Labors und der Resonatorachse an-gibt. Mit den in Kapitel 2.1.2 angegebenen Transformationen kann dann die relativeFrequenzänderung in der Form

δν

ν0= A + B sin 2θ + C cos 2θ (2.13)

dargestellt werden. Aufgrund der Erdrotation weisen die Amplituden A, B und C eineZeitabhängigkeit auf und sind mit der einfachen und zweifachen Erdrotationsfrequenzω⊕ moduliert:

A = A0 + As1 sin ω⊕T⊕ + Ac1 cos ω⊕T⊕

+As2 sin 2ω⊕T⊕ + Ac2 cos 2ω⊕T⊕, (2.14)

B = B0 + Bs1 sin ω⊕T⊕ + Bc1 cos ω⊕T⊕

+Bs2 sin 2ω⊕T⊕ + Bc2 cos 2ω⊕T⊕, (2.15)

C = C0 + Cs1 sin ω⊕T⊕ + Cc1 cos ω⊕T⊕

+Cs2 sin 2ω⊕T⊕ + Cc2 cos 2ω⊕T⊕. (2.16)

Die Amplituden Ak, Bk und Ck sind ihrerseits wieder durch die Bewegung der Erdeum die Sonne moduliert.

Rotierende Resonatoren

Für das im Folgenden beschriebene Experiment werden zwei senkrecht zueinanderangeordnete Resonatoren aktiv gedreht. In diesem Fall wird die Orientierung der Re-sonatoren durch θ1 = ωrotT und θ2 = ωrotT + π/2 beschrieben, wobei der ZeitpunktT = 0 gesetzt wird, wenn die Achse eines Resonators mit der x-Achse des Laborsübereinstimmt. Für die relative Frequenzänderung ergibt sich dann

δν1

ν1− δν2

ν2= B sin 2ωrotT − B sin 2(ωrotT + π/2)

+C cos 2ωrotT − C cos 2(ωrotT + π/2).

Dies kann als∆ν

ν0= 2B sin 2ωrotT + 2C cos 2ωrotT (2.17)

zusammengefasst werden kann.Der Term A fällt bei einem Vergleich zweier Resonatoren heraus. Da der Parameterκtr in der betrachteten ersten Ordnung von β⊕ nur in diesem Term auftaucht, kann erin einem Michelson-Morley-Experiment nicht bestimmt werden. Für die verbleibendenBk und Ck Terme wurden κe+ und κo− vernachlässigt, da sie durch astronomischeExperimente bereits wesentlich genauer zu Null bestimmt worden sind, als es in La-borexperimenten möglich wäre. Dann ergeben sich für die Ck Terme in erster Ordnung


von β⊕

C0 =1

8sin2 χ

[

3κZZe− − 2β⊕

[

κY Zo+ sin Ω⊕T ′ +

(

2κXYo+ sin η + κXZ

o+ cos η)

cos Ω⊕T ′]]

Cs1 = −1

2sin χ cos χ

[

κY Ze− + β⊕

[

κXZo+ sin η − κXY

o+ cos η]

cos Ω⊕T ′]

Cc1 = −1

2sin χ cos χ

[

κXZe− + β⊕

[

κXYo+ sin Ω⊕T ′ − κY Z

o+ sin η cos Ω⊕T ′]]

Cs2 =1

4

(

1 + cos2 χ)

[

κXYe− − β⊕

[

κXZo+ sin Ω⊕T ′ + κY Z

o+ cos η cos Ω⊕T ′]]

Cc2 = −1

8

(

1 + cos2 χ)

[

κY Ye− − κXX

e− − 2β⊕[

κY Zo+ sin Ω⊕T ′ − κXZ

o+ cos η cos Ω⊕T ′]]

(2.18)

und für die Bk Terme

B0 = 0

Bs1 = − 1

cos χCc1

Bc1 =1

cos χCs1

Bs2 = − 2 cosχ

1 + cos2 χCc2

Bc2 =2 cos χ

1 + cos2 χCs2. (2.19)

Der Faktor βL, der sich auf die Bewegung des Labors hervorgerufen durch die Rotationder Erde bezieht, wurde vernachlässigt. Das Gleichungssystem enthält nur fünf unab-hängige Linearkombinationen der acht SME-Parametern. Um alle acht SME-Parameterunabhängig voneinander zu erhalten, kann die Modulation der Bk- und Ck-Amplitudendurch die Bewegung der Erde um die Sonne verwendet werden. Diese Modulation kannaber erst nach einem Jahr Messung vollständig aufgelöst werden.

2.1.4. Bisher ermittelte Grenzwerte

Die zehn Parameter von κe+ und κo− konnten in astrophysikalischen Experimentenbereits sehr genau eingeschränkt werden. Polarisiertes Licht von einer weit entfern-ten Quelle wurde auf eine mögliche Doppelbrechung des Vakuums untersucht. Damitkonnten Grenzwerte |κ| < 10−32 ermittelt werden [KM02].Die acht Parameter von κe− und κo+ sind bereits in einigen Laborexperimenten be-stimmt worden. Die Auflistung der derzeit genauesten Grenzwerte ist in Tabelle 2.1einzusehen.In den Experimenten von Herrmann et al. [HSK+05], dem Vorgängerexperiment deshier beschriebenen Experimentes, und Antonini et al. [AOGS05] wurden rotieren-de optische Resonatoren verwendet. Stanwix et al. [STW+06] experimentieren mit


Parameter [HSK+05] [STW+06] [AOGS05]κXX

e− − κY Ye− 5.7 ± 22.6 5.4 ± 4.8 -

κZZe− -19.4 ± 51.8 143 ± 179 -290 ± 220

κXYe− -3.1 ± 2.5 2.9 ± 2.3 -

κXZe− 5.7 ± 4.9 -6.9 ± 2.2 -

κY Ze− -1.5 ± 4.4 2.1 ± 2.1 -

κXYo+ -2.5 ± 5.1 -0.9 ± 2.6 -

κXZo+ -3.6 ± 2.7 -4.4 ± 2.5 -

κY Zo+ 2.9 ± 2.8 -3.2 ± 2.3 -

Tabelle 2.1.: Bisher bestimmte κ Parameter. Alle κe− Werte sind mit 10−16 zumultiplizieren, alle κo+ Werte mit 10−12.

Mikrowellen-Resonatoren. In [HSK+05] werden die Ergebnisse von Messungen übervier Monate präsentiert, während in [STW+06] bereits Messungen über ein Jahr zurAuswertung herangezogen werden konnten.

2.2. Testtheorie von Robertson, Mansouri und Sexl

Eine weitere Testtheorie, die verwendet werden kann, um eine Verletzung der Lorentz-Invarianz zu beschreiben, ist die Testtheorie von Robertson, Mansouri und Sexl [Rob49],[MS76]. In dieser kinematischen Testtheorie wird angenommen, dass die Lichtgeschwin-digkeit in einem bevorzugten Bezugssystem Σ(X, Y, Z, T ) isotrop ist. Normalerweisewird für dieses Bezugssystem die kosmische Hintergrundstrahlung gewählt. Für dieTransformation zwischen diesem isotropen System und dem Laborsystem S(x, y, z, t)wird statt der Lorentz-Transformationen eine verallgemeinerte Transformation einge-führt. Wenn sich S relativ zu Σ mit einer Geschwindigkeit ~v entlang der X-Achsebewegt, ergibt sich dann

t = a(v)T − e(v)x,

x = b(v)(X − vT ),

y = d(v)Y,

z = d(v)Z. (2.20)

e(v) wird durch die Konvention der Uhrensynchronisation festgelegt (bei Einstein-Synchronisation wird e = v/c2 verwendet) und a(v), b(v) und d(v) sind aufgrund derIsotropie von Σ gerade Funktionen von v. Für kleine Geschwindigkeiten v ≪ c könnendiese Funktionen folgendermaßen entwickelt werden:

a(v) = 1 + αv2

c2+ ...,

b(v) = 1 + βv2

c2+ ...,

2.2 Testtheorie von Robertson, Mansouri und Sexl 11

d(v) = 1 + δv2

c2+ ... . (2.21)

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit in Σ.Eine Änderung der Lichtgeschwindigkeit im bewegten System S kann mit diesen Pa-rametern nach [MS76] durch

∆c(v, θ)/c = −(α − β + 1)v2

c2− (β − δ − 1

2)v2

c2sin2 θ(t) (2.22)

ausgedrückt werden. θ ist dabei der Winkel zwischen ~v und der Ausbreitungsrich-tung des Lichts. Die Testparamter α, β und δ können durch drei Experimente erhal-ten werden. Das Kennedy-Throndike-Experiment [KT32] untersucht die Abhängigkeitder Lichtgeschwindigkeit von der Geschwindigkeit des Laborsystems und kann damitPKT = (α − β + 1) bestimmen. Im Michelson-Morley-Experiment [MM87] wird einemögliche Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit betrachtet, welche durch die Parameter-kombination PMM = (β−δ−1

2) ausgedrückt werden kann. Das Ives-Stilwell-Experiment

[IS38] misst den quadratischen Dopplereffekt und ermöglicht so eine Bestimmung vonPIS = (α + 1

2).

Für α = −12, β = 1

2und δ = 0 geht die generalisierte Transformation in erster Ordnung

in die Lorentztransformation über. ∆c(v, θ)/c ist für diese Werte wie erwartet Null.

2.2.1. Anisotropie Signale bei Tests mit Resonatoren

Die Signale für einen Test der Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit mit Resonatorenwurden in [Her06] für einen rotierenden und einen stationären Resonator hergeleitet.Im Folgenden wird diese Herleitung für zwei rotierende Resonatoren übernommen, wo-bei lediglich ein Unterschied um einen Faktor 2 vorliegt.Für die relative Frequenzänderung zwischen zwei Resonatoren ergibt sich aus Glei-chung (2.22)

∆ν

ν0= PMM

v2

c2

[

sin2 θ1(t) − sin2 θ2(t)]

, (2.23)

wobei θ1(t) bzw. θ2(t) die Orientierung der Resonatoren bezüglich ~v angeben. DieGeschwindigkeit und Orientierung des Labors bezüglich der kosmischen Hintergrund-strahlung kann im sonnenzentrierten System (SZS) (siehe Abschnitt 2.1.2) durch

~v(t) = vc

cos α cos βsin α cos β− sin β

+ v⊕

sin ΩTcos ΩT cos η− cos ΩT sin η

(2.24)

angegeben werden. Dabei beschreibt ~vc die Bewegung des Sonnensystems relativ zurkosmischen Hintergrundstrahlung mit α = 168°, β = −6° und vc ∼ 370 km/s wie zumBeispiel in [LTS+96] zu finden. ~v⊕ mit v⊕ ∼ 30 km/s gibt die Geschwindigkeit der Erdeauf ihrer Umlaufbahn um die Sonne an. Der Beitrag der Erdrotation ∼ 300m/s wurde


vernachlässigt.Die Orientierung der Resonatoren im SZS kann durch

cos θi(t) =

(

~v(t)~ei(t)

v

)

(2.25)

berechnet werden. ~ei stellt dabei den Einheitsvektor entlang der Achse des jeweiligenResonators dar. Im Laborsystem erhält man für zwei senkrecht zueinander orientierte,mit ωrot rotierende Resonatoren

(~e1)lab =

cos ωrotTsin ωrotT

0

und (~e2)lab =

− sin ωrotTcos ωrotT

0

. (2.26)

Mit Gleichung (2.8) können diese Einheitsvektoren ins SZS transformiert werden. Glei-chung (2.23) kann dann in der Form

∆ν

ν0= 2B sin 2ωrotT + 2C cos 2ωrotT (2.27)

dargestellt werden, wobei B und C analog zu Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16)ihrerseits mit der Erdrotation moduliert sind. Für die Bk- und Ck-Amplituden ergibtsich in der RMS Theorie nach [Her06]:

C0 =1

8PMM

v2c

c2sin2 χ

[

(−1 + 3 cos 2β)

+4v⊕vc

[(sin α cos β cos η − 2 sinβ sin η) cos Ω⊕T ′

+ cos β cos α sin Ω⊕T ′]]

Cs1 = −1

2PMM

v2c

c2sin χ cos χ

[

sin α sin 2β

+2v⊕vc

(sin β cos η + sin α cos β sin η) cos Ω⊕T ′]

Cc1 = −1

2PMM

v2c

c2sin χ cos χ

[

cos α sin 2β

+2v⊕vc

[cos α cos β sin η cos Ω⊕T ′ + 2 sin β sin Ω⊕T ′]]

Cs2 = −1

4PMM

v2c

c2

(

1 + cos2 χ)

[

sin 2α cos2 β

+2v⊕vc

[cos α cos β cos η cos Ω⊕T ′ + sin α cos β sin Ω⊕T ′]]

Cc2 = −1

4PMM

v2c

c2

(

1 + cos2 χ)

[

cos 2α cos2 β

−2v⊕vc

[sin α cos β cos η cos Ω⊕T ′ − cos α cos β sin Ω⊕T ′]]

(2.28)

2.2 Testtheorie von Robertson, Mansouri und Sexl 13

und

B0 = 0

Bs1 = − 1

cos χCc1

Bc1 =1

cos χCs1

Bs2 = − 2 cosχ

1 + cos2 χCc2

Bc2 =2 cos χ

1 + cos2 χCs2. (2.29)

2.2.2. Bisher bestimmte Grenzwerte

Die bisher genauesten Grenzwerte für PMM sind in den bereits in Abschnitt 2.1.4erwähnten Experimenten von Herrmann et al. [HSK+05], Stanwix et al. [STW+06]und Antonini et al. [AOGS05] ermittelt worden. Die entsprechenden Werte sind inTabelle 2.2 aufgelistet.

Quelle PMM × 10−10

[HSK+05] -2.1 ± 1.9[STW+06] 0.9 ± 0.8[AOGS05] -0.6 ± 3.3

Tabelle 2.2.: Bisher ermittelte Grenzwerte für den PMM-Parameter.

3. Frequenzstabilisierung auf

Resonatoren

3.1. Grundlagen der Regelungstechnik

Bei einer aktiven Regelung wird die Regelgröße fortlaufend erfasst, mit der Führungs-größe oder dem Sollwert verglichen, und so beeinflusst, dass sie sich an die Führungs-größe angleicht.Der prinzipielle Aufbau eines Regelkreises ist in Abbildung 3.1 schematisch dargestellt.Aufgabe der Regelungstechnik ist es, die Regelstrecke so zu wählen, dass die Regelgrö-ße bei Störungen z möglichst schnell den Sollwert wieder annimmt. Bei Änderung derFührungsgröße soll der Regler so reagieren, dass die Regeldifferenz möglichst schnellwieder zu Null wird.Der Regelkreis für die Frequenzstabilisierung eines Lasers ist in Abbildung 3.2 zu sehen.Die zu regelnde Größe x ist die Frequenz des Laserlichts νL. Ein Resonator mit der Re-sonanzfrequenz νR, die die Führungsgröße w darstellt, wird als Frequenz-Diskriminatoreingesetzt. Die Abweichung e = νR − νL wird über die Flanke D(ω) in ein Fehlersignalumgewandelt. Dieses Spannungssignal wird über einen Regler mit der Transferfunkti-on G(ω) verstärkt und mit umgekehrtem Vorzeichen als Stellgröße y auf den Aktuatorgegeben. Als Aktuator dient in diesem Fall ein Piezokristall, der durch Druck auf denLaserkristall eine Frequenzänderung mit der Transferfunktion K(ω) bewirken kann.

Um die Stabilität, die mit einer solchen Regelung erreicht werden kann, zu ermit-teln, müssen die Rauschbeiträge aller beteiligten Elemente berücksichtigt werden. Nach[Bla98] erhält man für das Laserrauschen im geschlossenen Regelkreis (engl. closedloop)

S2L,cl =

S2L + |KSG|2 + |KGSD|2

|1 + KGD|2 . (3.1)

Die Herausforderung an die Regelungstechnik ist, am Regler über eine möglichst großeBandbreite eine möglichst große Verstärkung G zu erhalten, ohne dass der Regelkreisaufschwingt. Bei großer Verstärkung G vereinfacht sich Gleichung (3.1) zu

SL,cl =SD

D. (3.2)

Die Begrenzung für die Laserstabilität ist also bei einem gut realisierten Regelkreisnur durch die Eigenschaften des Diskriminators gegeben. Der gesamte Diskriminator

14

3.1 Grundlagen der Regelungstechnik 15

Regler Stellglied Strecke

Stellgrößey

Regeldifferenze = w - xSollwert

w

Regelgrößex

Sensor

+

-

Störgrößez

Abbildung 3.1.: Schematische Darstellung einer Regelschleife. Durch den Ver-gleich der Regelgröße x mit dem Sollwert w wird die Regeldifferenz e = w − xermittelt. Ist die ermittelte Differenz ungleich Null, wird die Stellgröße y an dasStellglied gegeben, um die Regeldifferenz auf der Regelstrecke zu Null zu regeln.

DiskriminatorD [V/Hz]

ReglerG [V/V]

AktuatorK [Hz/V]

SG

SD

SL

LasernL

Abbildung 3.2.: Regelkreis für die Stabilisierung der Laserfrequenz νL auf dieResonanzfrequenz eines Resonators, der hier als Diskriminator fungiert.

16 Frequenzstabilisierung auf Resonatoren

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

Pha

se[a

.u.]

Frequenz [D nR]

Abbildung 3.3.: Qualitativer Verlauf der Phasendispersion in einem Fabry-Pérot Resonator. Die x-Achse gibt den Abstand der Frequenz von der Resonanz-frequenz des Resonators in Einheiten der Linienbreite ∆νR an.

setzt sich bei diesem Experiment aus dem Resonator, den Photodetektoren und denweiteren Komponenten des Pound-Drever-Hall Verfahrens (siehe Abschnitt 3.2) zusam-men. Um die Begrenzung der Laserstabilität zu ermitteln müssen deren begrenzendeEigenschaften bestimmt werden.

3.2. Das Pound-Drever-Hall Verfahren

Das Pound-Drever-Hall Verfahren (PDH) [DHK+83] ist ein Verfahren zur Frequenz-stabilisierung von Lasern auf Resonatoren. Es nutzt die dispersiven Eigenschaften ei-nes Resonators bezüglich der Phase aus. Auf die Trägerfrequenz des Lasers werdenSeitenbänder im RF-Bereich moduliert. Diese sind in der Phase um ± 90° zur Träger-frequenz verschoben. Entspricht die Laserfrequenz ungefähr der Resonanzfrequenz desResonators, werden die Seitenbänder nicht in den Resonator eingekoppelt sondern di-rekt reflektiert, weil sie üblicherweise ein vielfaches der Linienbreite des Resonators vonder Trägerfrequenz entfernt sind. Die Trägerfrequenz hingegen wird in den Resonatoreingekoppelt und erfährt eine Phasenverschiebung entsprechend der Dispersionskurve(siehe Abbildung 3.3). Ein Photodetektor in Reflexion detektiert die Schwebungssi-gnale zwischen der Trägerfrequenz und je einem der Seitenbänder. Dadurch wird diePhasenmodulation des Lasers in eine Amplitudenmodulation übersetzt, deren Ampli-tude von der Verstimmung des Lasers gegen den Resonator abhängt. Das gemesseneSignal wird mit der um 90° phasenverschobenen Modulationsfrequenz heruntergemischtund so ein Fehlersignal erzeugt, das bei der Resonanzfrequenz des Resonators einenNulldurchgang hat.

3.3 Die Laser 17

Das elektrische Feld eines Laserstrahls kann durch E0eiωt beschrieben werden. Das

modulierte Feld mit den Seitenbändern 1.Ordnung (höhere Ordnungen werden in die-ser Rechnung vernachlässigt) sieht dann folgendermaßen aus:

E(t) = E0ei(ωt+βsinΩt) (3.3)

= E0[J0(β)eiωt + J1(β)ei(ω+Ω)t − J1(β)ei(ω−Ω)t]. (3.4)

Ji(β) sind die Besselfunktionen i-ter Ordnung, β steht für den Modulationsindex. Mitder Transferfunktion eines Resonators in Reflexion

A(ω) =r(1 − a2eiΦ(ω))

1 − r2a2eiΦ(ω)(3.5)

(r ist die Reflektivität der Spiegel, a2 gibt den Verlust pro Resonatorumlauf an undΦ = ω/∆νfsr = ω2L/c die Phase, die sich bei einem Resonatorumlauf ansammelt)kann das vom Resonator zurückreflektierte elektrische Feld beschrieben werden:

Er(t) = E0[A(ω)J0(β)eiωt + A(ω + Ω)J1(β)ei(ω+Ω)t − A(ω − Ω)J1(β)ei(ω−Ω)t]. (3.6)

Mit einem Photodetektor wird die Leistung Pr = |Er|2 des zurückreflektierten Feldesdetektiert. Das gewonnene Signal wird mit der Modulationsfrequenz gemischt undsomit die Terme der Leistung betrachtet, die proportional zu sin(ωt) sind. Dadurchentsteht das Fehlersignal, wie es in Abbildung 3.4 zu sehen ist.Eine Formel für die Steigung des Fehlersignals ist in [DGB92] zu finden. Unter derAnnahme, dass die Seitenbänder weit außerhalb der Linienbreite des Resonators liegen(ωm ≫ 2π∆νR) wird die Steigung D in der Nähe der Resonanz mit

D =8J0(β)J1(β)

∆νR

eηPi

hν(3.7)

angegeben. ∆νR ist die Linienbreite des Resonators, e die Elektronenladung, η dieQuanteneffizienz des Photodetektors und Pi die einfallende Leistung.Ein Maximum erreicht die Steigung des Fehlersignals mit einem Modulationsindex vonβ = 1.08. Für die im Experiment verwendeten Resonatoren mit einer Linienbreite von∆νR = 7 kHz, einer in den Resonator gekoppelten Leistung von Pi = 0.6 × 25µWund einer Quanteneffizienz von η = 0.7 ergibt sich eine Steigung des Fehlersignals vonungefähr

D ∼ 5 nA/Hz. (3.8)

Dabei wurde berücksichtigt, dass effektiv nur 60% der Leistung in den Resonatorgekoppelt werden kann.

3.3. Die Laser

Als Laserquellen werden zwei Nd:Yag Laser bei 1064 nm verwendet. Die Laser basierenauf dem NPRO-Design (Non-Planar Ring Oscillator) [KB85] und haben so eine gute


Feh

lers

igna

l[a

.u.]

Verstimmung [kHz]

0 444-444 888-888

Abbildung 3.4.: Experimentelles Fehlersignal des Pound-Drever-Hall Verfahrenmit einer Modulationsfrequenz von 444 kHz und einem Modulationsindex vonβ ∼ 1.

freilaufende Frequenzstabilität von ungefähr 10 kHz bei 1ms. Die Laserfrequenz kannlangsam über die am Laserkristall anliegende Temperatur verändert werden. So kannüber eine Temperaturänderung von 20 °C bis 40 °C die Laserfrequenz modensprung-frei über ca. 15GHz durchgestimmt werden. Eine schnellere Frequenzänderung kannüber Piezos erfolgen, die durch Druck auf die Laserkristalle einen Bereich von einigen10MHz abdecken können.Laser L1 ist ein LWE 122 (Lightwave Electronics Inc.) mit einer Ausgangsleistungvon 200mW, Laser L2 ein LWE 124 mit einer Ausgangsleistung von 60mW. BeideLaser verfügen über einen sogenannten „noise-eater“, der Intensitätsrauschen aktiv un-terdrückt.

Freilaufende Frequenzstabilität der Laser

Die physikalische Grenze für die Frequenzstabilität eines freilaufenden Lasers ist durchsogenanntes Quantenrauschen gegeben. Spontan emittierte Photonen stören den Ver-stärkungsprozess der stimulierten Emission. Dieses Schawlow-Townes-Limit ist durchdie spektrale Rauschdichte

SSTν = ∆νR

√

2hνL

P(3.9)

gegeben. P ist die Laser-Ausgangsleistung, νL die Laserfrequenz, h das PlanckscheWirkungsquantum und ∆νR die Linienbreite des Laserresonators.Für die im Experiment verwendeten Laser mit P = 200mW und ∆νR = 100MHz

3.4 Die Resonatoren 19

0.1 1 10 100

10

100

1000

10000

100000

PSD

[Hz/

Hz1/

2 ]

Frequenz [Hz]

Abbildung 3.5.: Relativ zu einem stabilisierten Laser gemessenes Frequenz-rauschspektrum von Laser L1 (repräsentativ für Laser L2) aus [Her06].

ergibt sich:SST

ν = 0.1 Hz/√

Hz (3.10)

und somit für die Schawlow-Townes Linienbreite:

∆νST = πS2f,ST = 0.03 Hz. (3.11)

Abbildung 3.5 zeigt das Frequenzrauschspektrum von Laser L1. Das Spektrum fürLaser L2 ist entsprechend. Setzt man den 1/f-Verlauf fort, wird das Schawlow-Townes-Limit bei ungefähr 100 kHz erreicht. Durch aktive Laserstabilisierung ist es aber auchmöglich, Frequenzfluktuationen unter das Schawlow-Townes-Limit zu drücken.

3.4. Die Resonatoren

Die im Experiment verwendeten Resonatoren sind speziell für ein Michelson-Morley-Experiment entworfen worden. Beide Resonatoren befinden sich in einem monolithi-schen Block, wodurch Temperatur- oder Druckschwankungen des Isoliervakuums aufgleiche Weise auf beide Resonatoren wirken und so eine Gleichtaktunterdrückung derFluktuation der Resonatorlängen erreicht werden kann. Da in die eigentliche Messungnur das Schwebungssignal zwischen den beiden Lasern, also nur die relative Stabilitätzwischen den beiden Resonatoren eingeht, bedeutet die Gleichtaktunterdrückung eineeffektive Unterdrückung von störenden systematischen Effekten.Dieses Resonator-Design ist mit zwei verschiedenen Materialien realisiert worden: Fu-sed Silica und Zerodur. Fused Silica ist ein sehr homogenes und isotropes Material und


Abbildung 3.6.: Bilder der gekreuzten Resonatoren in einem Block aus FusedSilica (links) und Zerodur (rechts). Fotos mit freundlicher Genehmigung vonE.Fesseler.

besitzt eine besonders hohe mechanische Güte (Q > 106); Zerodur hat einen besondersniedrigen thermischen Ausdehnungskoeffizient bei Raumtemperatur (CTE < 2×10−8).Mit beiden Resonatorblöcken wurden nacheinander Messungen durchgeführt, wobei dieResonatorblöcke abwechselnd in den Aufbau installiert wurden. Die besonders hoch-reflektierenden Spiegel bestehen aus dem jeweils gleichen Material und wurden optischan den Grundkörper kontaktiert. Es wurde jeweils ein flacher und ein konkaver Spiegelmit einem Krümmungsradius von R = 50 cm verwendet. Diese Konstellation verringertdie Empfindlichkeit der Resonanzfrequenz gegenüber Deformationen des Resonators.Die Länge der Resonatoren beträgt jeweils L = 55mm. Bei der Herstellung wurde ausSymmetriegründen besonderen Wert darauf gelegt, dass sich die Längen beider Reso-natoren in einem Block kaum unterscheiden. Ein Vergleich der Freien Spektralbereichezeigt, dass die absoluten Längen nur auf 2µm differieren.

Modenspektrum

Bei den Resonatoren handelt es sich um Fabry-Pérot-Resonatoren, in denen sich Modenmit verschiedenen Eigenfrequenzen ausbilden können

νq,m,n =c

2L

[

q +m + n + 1

πarccos

√g1g2

]

. (3.12)

q ist der Index für die longitudinalen Moden, m und n sind die transversalen elektro-magnetischen (TEM) Moden-Nummern und g1,2 = (1 − L/R1,2), wobei L die Längedes Resonators und R1,2 die Krümmung der Spiegel beschreibt. Für die Frequenzsta-bilisierung wird die TEM00-Mode (m = n = 0) benutzt. Diese Mode ist nicht entar-tet und zeigt ein gaussförmiges Profil mit einem Fokus auf dem flachen Spiegel von


Resonator Linienbreite [kHz] FinesseFused Silica 1 6.5 410000Fused Silica 2 6.6 410000

Zerodur 1 8 340000Zerodur 2 13 210000

Tabelle 3.1.: Linienbreiten und Finessen der einzelnen Resonatoren mit einemfreien Spektralbereich von ∆ν = 2.7GHz.

-15 -10 -5 0 5 10 15

FWHM = 6,5 kHzFinesse = 410000

Tra

nsm

issi

on[a

.u.]

Frequenz [kHz]

Abbildung 3.7.: Linienbreite eines der beiden Fused Silica-Resonatoren.

w0 = 240µm. Das Verhältnis von Länge des Resonators und Krümmung der Spiegelwurde so gewählt, dass die TEM00-Mode relativ isoliert ist. Die nächste Mode, dieTEM10-Mode bzw. TEM01-Mode, liegt 290MHz entfernt, bei einem freien Spektralbe-reich von ∆ν = 2.7GHz.Die gemessenen Linienbreiten δν der TEM00-Moden der verschiedenen Resonatorenund die dazugehörigen Finessen F , die sich über F = ∆ν/δν berechnen lassen, sindin Tabelle 3.1 aufgelistet. Die schmalste gemessene Linienbreite von 6.5 kHz ist in Ab-bildung 3.7 zu sehen.

3.4.1. Gleichtaktunterdrückung

Die durch das spezielle Resonator-Design zu erwartende Gleichtaktunterdrückung wirdschon durch die verhältnismäßig geringe Temperaturdrift des Schwebungssignals von1Hz/s bestätigt (mit der neuen Vakuumkammer, die in Kapitel 6 beschrieben ist,


-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

FS/FS

Fre

quen

z[k

Hz]

10000 20000 30000 40000 50000-10

-5

0

5

10

FS/ULE

Fre

quen

z[k

Hz]

Zeit [s]

Abbildung 3.8.: Die Graphiken zeigen das Verhalten der Schwebungsfrequenzbei abwechselnden Heizen und Abkühlen der Fused Silica-Resonatoren mit einerPeriode von 3600 s. Der obere Graph zeigt dabei die relative Frequenzänderungzwischen den beiden Fused Silica Resonatoren (Peak-Peak Amplitude ∼ 1.5 kHz),der untere Graph die absolute Frequenzänderung relativ zu einer externen Refe-renz (Peak-Peak Amplitude ∼ 10 kHz).


1000 2000 3000 4000 5000 6000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

StoppHeizen

StartHeizen

Fre

quen

z[H

z]

Zeit [s]

Abbildung 3.9.: Verhalten der Schwebungsfrequenz zwischen den beiden FusedSilica-Resonatoren innerhalb einer Heizperiode.

konnten Temperaturdrifts weiter auf < 10mHz/s reduziert werden). Um die Unter-drückung weiter zu untersuchen, wurde eine Heizspule in der Nähe des Fused Silica-Resonatorblocks installiert. An diese Heizspule wurde abwechselnd eine Spannung von800mV und 0mV angelegt, was einer Heizleistung von 1.6W entspricht. Damit wurdeein periodisches Heizen und Abkühlen der beiden Resonatoren erreicht.Als externe Frequenzreferenz steht ein ULE- (Ultra Low Expansion Glass) Resona-tor zur Verfügung, der durch seinen niedrigen thermischen Ausdehnungskoeffizient(CTE< 10−8) besonders temperaturstabil ist. Das Schwebungssignal zwischen den bei-den Fused Silica-Resonatoren wurde mit dem Schwebungssignal zwischen einem derbeiden Resonatoren und dem externen ULE-Resonator verglichen. Für ein periodischesHeizen und Abkühlen von jeweils 3600 s wurde das in Abbildung 3.8 zu sehende Ver-halten beobachtet.Während das Schwebungssignal zwischen dem Fused Silica-Resonator und dem ULE-Resonator innerhalb einer Heizperiode kontinuierlich ansteigt, zeigt das Schwebungs-signal zwischen den beiden Fused Silica-Resonatoren ein anderes Verhalten. Innerhalbeiner Heizperiode steigt das Signal erst schnell über eine Zeitdauer von 300 s um ca.800Hz an und nähert sich dann innerhalb von 1500 s langsam abfallend einem kon-stanten Wert, der um 300Hz höher als der Anfangswert liegt (siehe Abbildung 3.9).Das selbe Verhalten ist in umgekehrter Richtung für das Abkühlen zu beobachten. DieTemperaturänderung wird nach einem anfänglichen Einstellungsprozess unterdrückt.Die Zeitkonstante mit der dies geschieht entspricht der Zeitdauer, bis sich ein Tempe-raturunterschied in Fused Silica ausgeglichen hat. Dass das Signal beim Heizen zuerstansteigt und dann abfällt deutet darauf hin, dass die Temperatur sich in den beiden


10-4

10-3

10-2

0

20

40

60

80

100

Trot

= 45s

Gle

icht

aktu

nter

drüc

kung

G

Frequenz in [Hz]

Abbildung 3.10.: Gleichtaktunterdrückung für verschieden Heizperioden. Andie gemessenen Werte wurde eine Funktion gefittet, die einen exponentielle Abfallbeschreibt (∼ e−x). Für den gezeigten Bereich sollte diese Funktion das Verhaltender Gleichtaktunterdrückung gut beschreiben.

Resonatoren unterschiedlich schnell ändert. Der Wärmekontakt zum Heizer scheintnicht gleichmäßig zu sein.Zur Ermittelung der Gleichtaktunterdrückung G wurden die Peak-Peak AmplitudenApp des Schwebungssignals zwischen dem ULE- und einem Fused Silica-Resonator unddie Amplituden des Schwebungssignals zwischen den beiden Fused Silica-Resonatorenüber jeweils zehn Perioden gemittelt. Das Verhältnis dieser gemittelten Amplitudenist ein Maß für die Gleichtaktunterdrückung

G(ν) =App

ULE/FS(ν)

AppFS/FS(ν)

. (3.13)

Die so ermittelten Werte für die Gleichtaktunterdrückung bei verschiedene Modula-tionsfrequenzen sind in Abbildung 3.10 zu sehen. Für schnelle Temperaturänderun-gen erreicht die Gleichtaktunterdrückung nur einen Wert von 2 bis 3. Insbesondereist hier der Punkt ganz rechts in der Graphik von Interesse, der die Gleichtaktun-terdrückung bei 45 s darstellt, was der Rotationsperiode des Experiments entspricht(siehe Kapitel 4). Für konstantes Heizen konnte eine Gleichtaktunterdrückung von∼ 300 000 ermittelt werden, indem nach einem anfänglichen Einstellungsprozess dieDrift des Schwebungssignals zwischen einem der beiden Fused Silica-Resonatoren unddem ULE-Resonator durch die Drift des Schwebungssignals zwischen den beiden FusedSilica-Resonatoren geteilt wurde.

3.5 Optischer Aufbau 25

Abbildung 3.11.: Foto des Zerodur-Resonatorblocks im Kupfertopf.

3.4.2. Lagerung der Resonatoren

Für die erreichbare Frequenzstabilität sind nicht nur die Eigenschaften der Resona-toren von Interesse sondern auch die Lagerung derselben. Der Resonatorblock ist ineinem Kupfertopf gelagert, in dessen Boden Vertiefungen gedreht sind, so dass derBlock auf einem ringförmigen Kontakt zu liegen kommt (Abbildung 3.11). So soll eindefinierter Auflagepunkt gewährleistet werden und das symmetrische Design des Re-sonatorblocks unterstützt werden. Der Resonatorblock ist nicht zusätzlich fixiert, ummit einer möglichst kräftefreien Lagerung Spannungen im Material zu verhindern.Der Kupfertopf ist in einem Kryostaten (Cryovac, 4957) installiert, der als thermischgut isolierte Vakuumkammer dient und bei Raumtemperatur betrieben wird. Die Va-kuumkammer besitzt vier Fenster, durch die Licht in die beiden Resonatoren gekoppeltund sowohl in Reflexion als auch in Transmission detektiert werden kann.

3.5. Optischer Aufbau

Eine Skizze des kompletten optischen Aufbaus und der Regelung für die Frequenzsta-bilisierung ist in Abbildung 3.12 zu sehen. Der Resonatorblock befindet sich in einerVakuumkammer, die auf einer stabilen Lochrasterplatte steht, die wiederum auf eineraktiven Schwingungsisolation (siehe unten) befestigt ist. Die Laser stehen nicht schwin-gungsisoliert direkt auf dem optischen Tisch. Das Licht aus beiden Lasern wird jeweilszuerst durch einen optischen Isolator geführt, um störende Rückreflexionen auf denLaserkristall zu verhindern. Hinter den Isolatoren befinden sich jeweils eine λ/2 Platteund ein Polarisationsstrahlteiler, wodurch eine Regelung der Lichtintensität möglichist und das Licht im weiteren Strahlengang eine definierte Polarisation besitzt. Dannwerden die Strahlen von beiden Lasern überlappt und gemeinsam durch eine optischepolarisationserhaltende Einzel-Moden Faser auf den schwingungsisolierten Teil geführt.Dort wird ein Teil des Lichtes durch einen 50/50-Strahlteiler abgetrennt und über eine


Laser L1

Laser L2

zur Messung

Loch

rast

erpla

tte

auf

Sch

win

gungsi

sola

tion

PDH1

PDH2

Abbildung 3.12.: Schematische Darstellung der optischen Elemente, die zumKoppeln des Lichts in den Resonator verwendet werden. Details des Aufbauswerden in Abschnitt 3.5 beschrieben.


weitere optische Faser zu einer Photodiode geführt, die zur Messung der Schwebungs-frequenz zwischen den beiden Lasern dient (siehe unten). Der andere Teil des Lichteswird durch zwei Linsen so geformt, dass eine gute Einkopplung in die Resonatorenmöglich ist. Das ist der Fall, wenn der Strahl am geraden Einkoppelspiegel gerade eineStrahltaille besitzt, die der von der Resonatorgeometrie geforderten Strahltaille ent-spricht. Auf diese Art kann eine Einkopplung von 60% erreicht werden. Nach den beidenLinsen wird der Strahl über einen 50/50-Strahlteiler auf zwei gleich langen Wegen zujeweils einem Resonator geführt. Vor den Resonatoren befindet sich jeweils noch ein50/50-Strahlteiler, der es erlaubt, das vom Resonator zurückreflektierte Licht auf einenPhotodetektor zu lenken. Mit dem dabei entstehenden Signal kann der in Kapitel 3.2beschriebene Pound-Drever-Hall-Lock implementiert werden. Zeitweise wurden auchPhotodetektoren hinter den Resonatoren installiert, um eine Frequenzstabilisierungmit Hilfe des durch die Resonatoren transmittierten Lichts zu realisieren. Direkt vorden Fenstern der Vakuumkammer sind Polarisationsfilter installiert, die dafür sorgen,dass das Licht mit einer definierten horizontalen linearen Polarisation in den Resonatortrifft. Allerdings scheint die Resonanzfrequenz des Resonators bezüglich der Polarisa-tion entartet und es wurde keine Verbesserung der Stabilität mit Polarisationsfilternfestgestellt.

Aktive Schwingungsisolation

Die Lochrasterplatte, auf der die Vakuumkammer steht, in der sich die Resonatorenbefinden, ist auf einer aktiven Schwingungsisolation montiert. Schwingungen des La-borbodens, wie zum Beispiel durch die Vakuumpumpen hervorgerufen, wirken sichstörend auf die Frequenzstabilität aus, indem sie die Resonatoren deformieren. Dieverwendete Schwingungsisolation (HWL 350-M) sorgt sowohl für eine passive Isola-tion oberhalb 200Hz durch Federn, als auch für eine aktive Isolation für Frequenzen> 2Hz mit Hilfe von elektromagnetischen Aktuatoren. In Abbildung 3.13 ist eine Fou-riertransformierte des Schwebungssignals mit und ohne aktive Schwingungsisolationzu sehen. Während die Amplitudenspitze bei ungefähr 2Hz durch die Schwingungsi-solation noch erhöht wurde, nimmt die Amplitude oberhalb von 2Hz um bis zu einerGrößenordnung ab.

Die Photodetektoren

Es wurden im Laufe des Experiments verschiedene Photodetektoren in den optischenAufbau installiert. Für das Signal in Reflexion wurden unter anderem Photodetektorenmit einer resonanten Verstärkung verwendet [Mül04]. Um in Transmission das relativschwache Signal detektieren zu können, kamen Avalanche Photodioden zum Einsatz.Die erreichte Frequenzstabilität zeigte keinen Unterschied bei Austausch der Detekto-ren und auch bei Veränderung der einfallenden Leistung. Das lässt darauf schließen,dass die Rauscheigenschaften der Detektoren keine Begrenzung der Stabilität darstel-len.Das physikalische Rauschlimit für einen Photodetektor ist das Photonenschrotrau-


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

5

10

15

20

25

Frequenz [Hz]

FFT

Am

plit

ude

[Hz]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

5

10

15

20

25

Frequenz [Hz]

FFT

Am

plit

ude

[Hz]

Abbildung 3.13.: Auswirkungen der aktiven Schwingungsisolation. Die Gra-phen zeigen jeweils die Fouriertransformierte einer Messung des Schwebungssi-gnals zwischen den beiden Zerodur-Resonatoren über 20 s mit einer SamplingRate von 2ms. Beim oberen Graph ist die aktive Schwingungsisolation ausge-schaltet, beim unteren ist sie eingeschaltet.


schen. Dafür lässt sich in [DGB92] folgende Formel finden:

SA =√

2√

2eI =

√

8eJ21 (β)

eηP

hν. (3.14)

Hier ergibt sich mit β = 1.08, η = 0.7, und P = 50µW ein Wert von

SA = 4.4pA√Hz

, (3.15)

der mit der Steigung des Diskriminators D (3.7) in ein Frequenzrauschen

Sf = 1mHz√

Hz(3.16)

umgewandelt werden kann.

Realisierung des Pound-Drever-Hall Verfahren

Für Laser L1 wurde eine Modulationsfrequenz von νm = 444 kHz gewählt, für LaserL2 νm = 687 kHz, was jeweils einer Resonanz der entsprechenden Piezoaktuatoren ent-spricht. Die Modulation erfolgt über einen HP 33120A Frequenzgenerator. Das vonden Photodetektoren erfasste Signal wird mit rauscharmen Verstärkern (MiniCircuits,ZFL500LN) bis oberhalb 0 dBm verstärkt und mit einem weiteren HP 33120A miteinem Phasenversatz von 90° an einem MiniCircuits ZFM3 Mixer demoduliert. Derzweite Frequenzgenerator dient als Lokaloszillator und ist an den ersten phasengekop-pelt. Das so entstehende Fehlersignal wird mit einer Eckfrequenz von 100 kHz tiefpass-gefiltert und in die Regelelektronik gegeben.Das Signal wird über einen PI-Regler als Korrektursignal auf den Piezo gegeben. Zu-sätzlich wird mit einem weiteren Integrator über die Änderung der Temperatur desLaserkristalls eine langsame Korrektur (> 10 s) der Laserfrequenz erreicht. So konntenLock-Bandbreiten von ungefähr 30 kHz realisiert werden, was für dieses Experimentausreichend ist. Beschränkt sind die Bandbreiten durch die ersten Resonanzen derPiezoaktuatoren.

Messung der Schwebungsfrequenz

Die Schwebungsfrequenz zwischen den beiden stabilisierten Lasern wird mit einerschnellen Photodiode (1537, New Focus, 6GHz) gemessen. Durch geeignete Wahl derTEM00-Moden in den beiden Resonatoren kann eine Schwebungsfrequenz < 2.7GHzerreicht werden, was dem freien Spektralbereich der Resonatoren entspricht. Das soerhaltene Schwebungssignal wird mit einem Frequenzgenerator (2031, Marconi) aufeine Frequenz < 250MHz gemischt. Diese Frequenz kann mit einem Zähler (SR620,SRS) gezählt werden. Im normalen Betrieb wird einmal pro Sekunde ein Messpunktgenommen. Es können aber auch Zeitfenster bis zu 1ms eingesetzt werden.


9520 9540 9560 9580 9600 9620 9640

Am

plitud

e[a

.u.]

Frequenz [Hz]

Dn ~ 5 Hz@ 1 s

Abbildung 3.14.: Linienbreite des Schwebungssignals zwischen den beiden Fu-sed Silica-Resonatoren. Die Linienbreite bei 1 s Integrationszeit beträgt ungefähr5Hz.

Der Zähler und der Lokaloszillator sind mit einer externen Frequenzreferenz phasenge-koppelt, einer Rubidium Atomuhr (FRT, Efratom). Diese hat eine relative Frequenz-stabilität von 10−11 oberhalb 1 s Integrationszeit. Das ergibt bei einer Lokaloszillator-Frequenz von 1GHz eine Stabilität von 0.01Hz und damit eine relative Allan Abwei-chung von 3 × 10−17. Die Frequenzstabilität oberhalb einer Sekunde Integrationszeitist folglich nicht durch die Stabilität des Zählers oder des Lokaloszillators beschränkt.

3.6. Erreichte Frequenzstabilität

In Abbildung 3.14 ist eine typische Linienbreite des Schwebungssignals zwischen denbeiden Fused Silica-Resonatoren bei 1 s Integrationszeit zu sehen.Um einen quantitativen Wert für die Frequenzstabilität bei verschiedenen Integrations-zeiten zu bekommen, wird aus einem gemessenen Schwebungssignal die Allan-Varianzbzw. die Hadamard Varianz berechnet (siehe Anhang A). Bei den gemessenen Schwe-bungssignalen ist üblicherweise eine lineare Drift von 1Hz/s zu beobachten. DieseDrift hat auf die letztendlich durchgeführte Anisotropie Messung keine Auswirkungund wird deswegen auch bei der Betrachtung der erreichten Frequenzstabilität nichtberücksichtigt. Deshalb wird im folgenden immer nur die relative Hadamard-Varianzaufgetragen, in der eine lineare Drift bereits herausgerechnet ist.Da angenommen wird, dass das Rauschen beider Resonatoren in gleichem Maße zum

3.6 Erreichte Frequenzstabilität 31

0.001 0.01 0.1 1 10 10010

-16

10-15

10-14

10-13

10-12

s/n

0

Integrationszeit [s]

ZerodurFused Silica"Elektronik"

Abbildung 3.15.: Erreichte Frequenzstabilitäten mit den Fused Silica- und denZerodur-Resonatoren. ν0 = 2.82×1014 Hz steht für die Laserfrequenz. Die Kurvefür die Elektronik wurde durch Stabilisierung beider Laser auf denselben Zerodur-Resonator gewonnen.

Rauschen des Schwebungssignals beiträgt, wird die relative Frequenzstabilität desSchwebungssignals durch

√2 geteilt, um die Frequenzstabilität eines Resonators zu

erhalten. Die mit den Fused Silica-Resonatoren und mit den Zerodur-Resonatoren er-reichten Frequenzstabilitäten relativ zur Laserfrequenz ν0 = 2.82 × 1014 Hz sind inAbbildung 3.15 zu sehen.Um die Begrenzung der erreichbaren Stabilität durch die verwendete Elektronik zuermitteln, wurden beide Laser auf denselben Zerodur-Resonator stabilisiert. So wirkenLängenänderungen des Resonators in gleicher Weise auf beide Laser und die Schwan-kungen im Schwebungssignal zwischen ihnen werden hauptsächlich durch die Regelelk-tronik hervorgerufen. Damit ist gezeigt, dass die erreichte Frequenzstabilität nichtdurch die Regelelektronik begrenzt ist.Auf die unterschiedlichen Stabilitäten der Fused Silica- und der Zerodur-Resonatorenwird in Kapitel 3.7 eingegangen. Im folgenden soll zuerst erklärt werden durch wel-che Verbesserungen diese Frequenzstabilitäten erreicht wurden und welche weiterenOptimierungsversuche unternommen wurden.

3.6.1. Verbesserung der Frequenzstabilität

In einem ersten Aufbau wurden die beiden Laser nicht durch eine optische Faser zu denResonatoren geführt, sondern befanden sich direkt auf der Lochrasterplatte, auf dersich auch die Vakuumkammer mit den Resonatoren befindet. Die Strahlen der beiden


0.001 0.01 0.1 1 10 10010

-16

10-15

10-14

10-13

10-12

s/n

0


2 Resonatoren1 Resonator + freier Strahl1 Resonator + Faser

Abbildung 3.16.: Optimierung der Frequenzstabilität unter Verwendung einerFaser als Modenfilter. Beide Laser wurden auf zwei benachbarte TEM00-Modendesselben Zerodur-Resonators stabilisiert.

Laser wurden nicht überlappt, sondern jeweils unabhängig durch zwei Linsen geformtund direkt in den Resonator gekoppelt. Wie in Abbildung 3.16 zu sehen ist, war mitdiesem Aufbau die Frequenzstabilität beider auf einen Resonator stabilisierten Lasernur geringfügig besser als die auf zwei Resonatoren.Als Grund für diese verhältnismäßig schlechte Stabilität wurden kleine Bewegungender beiden Laserstrahlen relativ zueinander angenommen. Bewegungen des Strahls aufder Photodiode können zu Phasenverschiebungen des Fehlersignals führen und so dieLaserstabilisierung mit dem Pound-Drever-Hall-Verfahren stören. Deshalb wurden imweiteren Experiment die Strahlen beider Laser in derselben Faser überlappt und mitdemselben Linsensystem geformt. Die Faser dient hierbei als Modenfilter und stelltgleichgeformte perfekt überlappte Strahlen sicher. Eine Bewegung der beiden Strah-len relativ zueinander sollte also nicht mehr vorhanden sein. Tatsächlich konnte mitdiesem Aufbau bei Stabilisierung auf einen Resonator eine fast zehnfach bessere Fre-quenzstabilität erreicht werden.

3.6.2. Untersuchungen zur weiteren Optimierung der

Frequenzstabilität

Parasitäre Etalons

Durch geringe Rückreflexionen an optischen Komponenten im Strahlengang könnensich parasitäre Resonatoren, sogenannte Etalons bilden. Zwischen einzelnen Kompo-

3.6 Erreichte Frequenzstabilität 33

200 400 600-40

-30

-20

-10

0

10

Zeit [s]

Fre

quen

z[H

z]

Abbildung 3.17.: Polarisationseffekt, der bei Erwärmen der Faser durch einenFön um ca. 10 °C hervortritt.

nenten bildet sich dabei ein Resonator von sehr geringer Finesse. Dieses Etalon wirktals zusätzliches frequenzdiskriminierende Element und bewirkt so einen Offset auf demFehlersignal. Eine Temperaturänderung kann eine Längenänderung dieser Etalons be-wirken, die wiederum zu einer Verschiebung des Offsets des Fehlersignals und damit zueiner Änderung der Lock-Frequenz führt. Um parasitäre Etalons zu vermeiden, wurdebesonders darauf geachtet, dass alle optischen Elemente eine gute Antireflexbeschich-tung haben und wenn möglich gekippt zum Strahlengang stehen. Es wurde beobachtet,dass störende Etalons durch die Fenster der Vakuumkammer erzeugt wurden, woraufdiese durch Fenster mit einer besseren Antireflexbeschichtung ersetzt wurden. Danachwaren die entsprechenden Etalons nicht mehr zu sehen.

Polarisationseffekt in der Faser

Polarisationserhaltende Fasern besitzen zwei bevorzugte Achsen, entlang denen sichdas Licht unterschiedlich schnell ausbreitet. Wird linear polarisiertes Licht nicht ent-lang einer dieser Achsen in die Faser gekoppelt, kann das Licht je nach Länge der Fasereine elliptische Polarisation erhalten. Da vor den Resonatoren ein Polarisationsfiltereingebaut ist, ändert sich die Amplitude des in den Resonator fallenden Lichtes dannje nach Länge der Faser. Dies zieht eine Änderung der Amplitude des Fehlersignalsmit sich, was bei zusätzlichem Offset auf dem Fehlersignal zu einer Verschiebung desLockpunkts und somit zu einer Änderung der Schwebungsfrequenz führt. Die Faser,die im Aufbau als Modenfilter dient, wurde mit einem Fön um ca. 10 °C erwärmt,was zu einer Längenänderung um mehrere Wellenlängen λ =1064 nm führte. In Ab-bildung 3.17 ist Effekt, der bei Fönen der Faser hervortritt, zu sehen. Dieser störende


1 10 100

10-15

s/n

0


ReflexionslockTransmissionslock

Abbildung 3.18.: Relative Frequenzstabilität bei Lock in Reflexion und Trans-mission. Stabilisiert wurde auf zwei benachbarte TEM00-Moden des selben Re-sonators.

Effekt konnte durch Anpassen der Polarisation des Lichts in der Faser mit Hilfe einerλ/2-Platte und eines Polarisators vor der Faser soweit reduziert werden, dass er imSchwebungssignal nicht mehr zu beobachten war.

Kombinierter Lock

Ebenfalls untersucht wurden die Unterschiede bei einer Realisierung des Pound-Drever-Hall Verfahren in Transmission und Reflexion. Die erreichten Stabilitäten bei Stabi-lisierung auf einen Resonator (Zerodur) sind in Abbildung 3.18 zu sehen. Währendunterhalb 10 s der Lock in Reflexion eine bessere Stabilität zeigt, kann oberhalb einebessere Stabilität für den Lock in Transmission erreicht werden.Deshalb wurde ein kombinierten Lock installiert, der unterhalb von 10 s das reflektier-te und oberhalb von 10 s Integrationszeit das transmittierte Signal verwendet. Da sichallerdings bei Stabilisierung auf beide Resonatoren kein Unterschied in der erreich-ten Frequenzstabilität bei Lock in Reflexion oder Transmission zeigte (hier scheint dieStabilität durch anderes beschränkt zu sein, wie in Abschnitt 3.7 untersucht), war derEinsatz diese kombinierten Locks bei dem eigentlichen Experiment nicht von Nöten.

3.7 Thermisches Rauschen 35

3.7. Thermisches Rauschen

Für verschiedene Integrationszeiten zeigt die Frequenzstabilität immer ein ähnlichesVerhalten. Von 1ms bis zu ca. 1 s nimmt die Stabilität mit zunehmender Integrations-zeit zu. Das hier limitierende Rauschen ist sogenanntes weißes Rauschen (siehe AnhangA). Dies wird wahrscheinlich durch Rauschen in der Elektronik hervorgerufen. Von 1 sbis ca. 100 s Integrationszeit ist das bestimmende Rauschen Flickerrauschen, was sichin dem konstant bleibenden Wert für die Frequenzstabilität zeigt, dem sogenannten„flicker-floor“. Ab ca. 100 s nimmt die Frequenzstabilität wieder ab. Hier dominierenEffekte wie zum Beispiel eine nicht lineare Temperaturdrift der Resonatoren (LineareAnteile sind in der Hadamard Varianz nicht berücksichtigt).

Die Begrenzung durch das 1/f-Rauschen läßt sich durch thermisches Rauschen derResonatoren erklären. Thermisches Rauschen wird in diesem Fall durch BrownscheBewegung in den verwendeten Materialien hervorgerufen. Es wird dabei davon ausge-gangen, dass in den Materialien eine interne Dämpfung stattfindet. Diese strukturelleDämpfung wurde von Saulson [Sau90] mit Hilfe des Fluktuation-Dissipation-Theorem[CG52] für mechanische Oszillatoren wie z.B Torsionspendeln untersucht. Bei struk-tureller Dämpfung (3.18) ist im Vergleich zur viskosen Dämpfung (3.17) die zurück-treibende Kraft nicht proportional zur Geschwindigkeit. Dafür wird der mechanischeVerlustwinkel φ des Materials berücksichtigt, der umgekehrt proportional zur mecha-nischen Güte Q ist. Die Bewegungsgleichungen für einen Oszillator der Masse m mitFederkonstante k für viskose bzw strukturelle Dämpfung sind:

mx + fx + kx = F (3.17)

mx + k(1 + iΦ(ω))x = F . (3.18)

Dabei stellt F die mit der Brownsche Bewegung verknüpfte Kraft dar. Eine genauereAnalyse [Sau90] zeigt, dass bei struktureller Dämpfung im Rauschspektrum ein 1/f-Anstieg zu kleineren Frequenzen hin besteht, während das Rauschspektrum für viskoseDämpfung bei kleinen Frequenzen konstant bleibt. Ein qualitativer Vergleich zwischenstruktureller Dämpfung und viskoser Dämpfung ist in Abbildung 3.19 zu sehen.

Begrenzungen der Frequenzstabilität durch thermisches Rauschen waren für Spiegel,wie sie zum Beispiel in Gravitationswellendetektoren zum Einsatz kommen, schon län-ger bekannt. Dass auch kompakte optische Fabry-Pérot-Resonatoren an die Grenzendes thermischen Rauschens stoßen können, wurde erstmals von Numata et al. [NKC03]theoretisch untersucht. Dabei wurden bei einzelner Berücksichtigung der Spiegelsub-strate, der Spiegelbeschichtungen und der Körper, an dem die Spiegel befestigt sind(Spacer), folgende Formeln für das thermische Rauschspektrum ermittelt:

S2x,S(ω) =

4kBT

ω

L

3πR2EφS, (3.19)

S2x,M(ω) =

4kBT

ω

1 − σ2

√πEw0

φM, (3.20)


10-1

100

101

102

103

104

105

10-18

10-17

1x10-16

10-15

1x10-14

1x10-13

Viskose Dämpfung

Strukturelle DämpfungS

x[m

/Hz1/

2 ]

Frequenz [Hz]

Abbildung 3.19.: Vergleich zwischen den spektralen Rauschdichten der Aus-lenkung bei struktureller und viskoser Dämpfung (Graphik aus [Her06]). Für dieBerechnung wurde m = 5 g, ω0 = 10 kHz und Φ = 3 × 10−4 verwendet.

S2x,C(ω) =

4kBT

ω

2d(1 + σ)(1 − 2σ)

πEw20

φC. (3.21)

Dabei bezeichnen R den Radius und L die Länge des Spacers, d steht für die Dicke derSpiegelbeschichtung, ω0 für den Strahldurchmesser am Spiegel, σ ist die Poisson-Zahlund E das Elastizitätsmodul. Die Indizes S, M und C stehen jeweils für Spacer, Spiegel(engl. mirror) und Beschichtung (engl. coating).Das so erhaltene Rauschspektrum kann über ∆L/L ∼ ∆f/f in eine Frequenzrausch-dichte umgewandelt werden, worüber die Allan Varianz mit

σ2 = 2ln2S2ff (3.22)

berechnet werden kann. Da S2f ∼ 1/f ist, ist die Allan Varianz unabhängig von der

Frequenz und es entsteht der beschriebene „flicker-floor“.

Für die im Experiment verwendeten Resonatoren sind die errechneten Begrenzungendurch thermisches Rauschen in Tabelle 3.2 aufgelistet. Auffallend ist, dass das ther-mische Rauschen bei Zerodur in den Spiegelsubstraten überwiegt, während bei FusedSilica der Beitrag der Spiegelbeschichtung zum thermischen Rauschen in derselbenGrößenordnung ist wie der Beitrag der Spiegel selbst.Zusätzlich sind die entsprechende Werte für ein weiteres Resonatormaterial errech-net: ULE, was für Ultra-Low-Expansion Glass steht. Dieses Material ist aufgelistet,weil es aufgrund seiner hohen mechanischen Qualität und seinem hohen CTE-Faktorebenfalls als mögliches Resonatormaterial für dieses Experiment in Betracht gezogen

3.7 Thermisches Rauschen 37

Material Q Sx,S Sx,M Sx,C Sx,T σ/ν0

FS 1 × 106 (Literatur) <0.01 0.9 3.5 5 1.1 × 10−15

4.3 × 104 (gemessen) 0.01 4.3 3.5 7.8 1.7 × 10−15

Zerodur 3 × 103 (Literatur) 0.05 15 3.1 21 4.6 × 10−15

2 × 102 (gemessen) 0.2 57 3.1 81 1.7 × 10−14

ULE 6 × 104 0.01 3.7 3.6 7.3 1.6 × 10−15

Tabelle 3.2.: Mit den Formeln (3.19), (3.20) und (3.21) errechnete Werte für dasthermische Rauschen der verwendeten Resonatoren (L = 55mm, R = 0.5m undw0 = 240µm). Für die Spiegelbeschichtung wurde d = 10µm und Φ = 4 × 10−4

angenommen. Die Werte für die Rauschdichten Sx sind bei 1Hz in ×10−17 m√Hz

angegeben. Sx,S, Sx,M und Sx,C bezeichnen die Rauschdichten von Spacer, Spiegel-substrat und Spiegelbeschichtung. Sx,T steht für die gesamte Rauschdichte durchthermisches Rauschen, wobei berücksichtigt wurde, dass Sx,M und Sx,C durch diezwei Spiegel des Resonators jeweils zweimal eingehen.

wurde. Allerdings genügte das Material durch seine anisotropen Eigenschaften denstarken Symmetrieanforderungen dieses Experimentes nicht.Die in Tabelle 3.2 jeweils zuerst aufgelisteten Q-Faktoren für Zerodur und Fused Si-lica sind aus der Literatur entnommene Werte. Die mit diesen mechanischen Gütenberechneten Begrenzungen stimmen nicht mit den erreichten Stabilitäten überein. Des-halb wurde vermutet, dass die verwendeten Resonatoren von geringerer mechanischenGüte sind. Die tatsächliche mechanische Güte kann z.B. von Faktoren wie der Lage-rung der Resonatoren abhängen. Es wurde versucht die Q-Faktoren der verwendetenResonatoren durch Anregungen mechanischer Resonanzen der Resonatorblöcke abzu-schätzen (siehe Abbildung 3.20). Die Anregung erfolgt über ein Piezo, der an demKupfertopf befestigt ist, in dem sich der Resonatorblock befindet. Im geschlossenenPound-Drever-Hall Regelkreis wurde dabei die Frequenzantwort des Fehlersignals aufeine linear zwischen 30 kHz und 100 kHz ansteigende Anregungsfrequenz aufgezeich-net (das heißt im Bereich der mechanischen Resonanzen des Resonators und jenseitsder Lockbandbreite). Aus der Halbwertsbreite des aufgezeichneten Peaks kann dannüber Q = νm

0 /FWHM die mechanische Güte des Materials berechnet werden, wo-bei νm

0 die mechanischen Resonanzfrequenz des Resonatorblocks beschreibt, bei derder entsprechende Peak liegt. Dabei konnte festgestellt werden, dass die mechanischeGüte der Fused Silica-Resonatoren um mehr als einen Faktor 20 und die Güte derZerodur-Resonatoren um ca. einen Faktor 15 schlechter sind, als die aus der Literaturentnommen Werte. Die erreichten Stabilitäten für die verschiedenen Resonatormate-rialien und die neu errechneten Begrenzungen durch thermisches Rauschen mit denabgeschätzten Q-Faktoren sind in Abbildung 3.21 dargestellt. Dabei ist zu sehen, dassdie erreichten Frequenzstabilitäten sehr gut mit dem neu errechneten Grenzen über-einstimmen.


47550 47555 47560 47565 47570

0.0

0.4

0.8

Fused Silica

FWHM= 1,1HzQ= 43000

Am

plitud

e[a

.u.]

Frequenz [Hz]

67500 68000 68500

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25Zerodur

FWHM= 340HzQ= 200

Am

plitud

e[a

.u.]

Frequenz [Hz]

Abbildung 3.20.: Gemessene Q-Faktoren der beiden Resonatormaterialien Fu-sed Silica und Zerodur. Die mechanische Anregung erfolgt über einen Piezo, deran dem Kupfertopf befestigt ist, in dem sich der Resonator befindet.

0.001 0.01 0.1 1 10 10010

-16

10-15

10-14

10-13

10-12

Limit Thermisches RauschenZerodur

Limit Thermisches RauschenFused Silica

s/n

0


ZerodurFused Silica

Abbildung 3.21.: Gemessene Frequenzstabilitäten und errechnete Grenzendurch thermisches Rauschen mit den gemessenen Q-Faktoren (siehe Abbildung3.20.

3.8 Zusammenfassung 39

3.7.1. Temperaturabhängigkeit des thermischen Rauschens

Die theoretischen Vorhersagen von Numata et al. zur Begrenzung der Frequenzstabili-tät von kompakten optischen Fabry-Pérot-Resonatoren (Gleichung (3.19), (3.20) und(3.21)) konnten Experimente von Notcutt et al. [NML+06] bestätigen, die die Abhän-gigkeit des thermischen Rauschens von der Resonatorgeometrie beobachteten. So weitbekannt wurde allerdings eine Untersuchung der vorhergesagten Temperaturabhängig-keit des thermischen Rauschens bisher nicht durchgeführt.Um die Begrenzung durch thermisches Rauschen zu untersuchen, wurde der Zerodur-Resonatorblock auf 4K gekühlt. Der Resonatorblock ist in einem Helium Kryostatengelagert, der als thermisch gut isolierte Vakuumkammer dient. Deshalb war es durchBefüllen des Kryostaten mit flüssigem Stickstoff bzw. flüssigem Helium möglich, Mes-sungen bei 77K bzw. 4K durchzuführen. Für die relative Frequenzstabilität σ/ν0 wirdeine Abhängigkeit von

√T erwartet. Gleichzeitig muss darauf geachtet werden, dass

die mechanische Güte ebenfalls eine Temperaturabhängigkeit aufweist. Die mecha-nische Güte von Zerodur nimmt mit abnehmender Temperatur zu (siehe Abbildung3.22). Deshalb wird eine Verbesserung der Frequenzstabilität sowohl durch die direkteTemperaturabhängigkeit, als auch durch die bessere mechanische Güte angenommen:

σ

ν0∼

√

T

Q(T ). (3.23)

Wie in Abbildung 3.23 zu sehen ist, scheinen die Messungen das zumindest für 77K zubestätigen. Übereinstimmend mit Gleichung (3.23) nimmt die Frequenzstabilität beiKühlen von 300K auf 77K um einen Faktor 3 zu. Ein Faktor 2 wird durch die Verrin-gerung der Temperatur um einen Faktor 4 erreicht, und ein Faktor 1.5 kommt durchdie aufgrund der geringeren Temperatur um einen Faktor 2.5 bessere mechanischenGüte der Zerodur-Resonatoren (siehe Abbildung 3.22) hinzu .Bei Temperaturen von 4K scheint die Frequenzstabilität allerdings durch einen anderenEffekt beschränkt zu sein. Die allein schon aufgrund der direkten Temperaturabhän-gigkeit zu erwartende Verbesserung um einen Faktor 8 wird nicht ganz erreicht.

3.8. Zusammenfassung

Mit dem in diesem Kapitel beschriebenen Aufbau für die Frequenzstabilisierung konnteeine relative Frequenzstabilität von

σ

ν0= 2 × 10−15 (3.24)

von 1 s bis ca. 10 s Integrationszeit erreicht werden. Diese Stabilität wird mit den FusedSilica-Resonatoren aufgrund ihres geringen thermischen Rauschlevels erreicht, weswe-gen der Fused Silica Resonatorblock für die eigentliche Messung in das Experimentinstalliert wurde. Eine gute Frequenzstabilität ist die Voraussetzung für eine hohe Ge-nauigkeit eines Michelson-Morley-Experiments, dessen Aufbau im nächsten Kapitelbeschrieben wird.


67,4 67,6 67,8 68,0 68,2 68,4 68,6

0,05

0,10

0,15

0,20 300 KFWHM = 340HzQ= 200

Am

plit

ude

[a.u

.]

Frequenz [kHz]

66,4 66,6 66,8 67,0 67,2 67,4 67,6

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

FWHM = 130HzQ= 520

Am

plit

ude

[a.u

.]

Frequenz [kHz]

77K

66,4 66,6 66,8 67,0 67,2 67,4 67,60,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

FWHM = 33HzQ= 2000

Am

plit

ude

[a.u

.]

Frequenz [kHz]

4K

Abbildung 3.22.: Für verschiedene Temperaturen gemessene Q-Faktoren vonZerodur. Die mechanische Güte erhöht sich bei Kühlen von 300K auf 4K umeinen Faktor 10.

3.8 Zusammenfassung 41

1 10 10010

-15

10-14

10-13

300 K77 K4 K

s/n

0


Abbildung 3.23.: Erreichte Frequenzstabilität für verschiedene Temperatu-ren der Zerodur-Resonatoren. Es ist entsprechend der Abhängigkeit σ/ν0 ∼√

T/Q(T ) eine Verbesserung der Frequenzstabilität zu kalten Temperaturen hinzu sehen.

4. Aufbau des

Michelson-Morley-Experimentes

In diesem Kapitel soll der Gesamtaufbau des Experimentes, der zur Durchführung derAnisotropiemessung verwendet wird, vorgestellt werden. Dabei wurde der grundlegen-de Aufbau zur aktiven Drehung des Experiments mit einigen Modifikationen vom Vor-gängerexperimentes übernommen und die im vorherigen Kapitel beschriebenen neuenElemente in diesen integriert. Die wichtigsten Komponenten dieses Aufbaus und diebereits integrierten Regelungen zur Unterdrückung systematischer Effekte sollen imFolgendem beschrieben werden. Genauere Details können in [Her06] und [Sen06] nach-gelesen werden. Außerdem werden weitere systematische Effekte untersucht und dieMessprozedur beschrieben.

4.1. Gesamter Aufbau

Ein Bild des gesamten Aufbaus ist in Abbildung 4.1 zu sehen; der skizzierte Auf-bau in Abbildung 4.2. Der optische Tisch, auf dem sich der optische Aufbau befindet(siehe Kapitel 3.5), ist auf einem Drehtisch montiert, der auf drei Zylindern aus Alu-minium gelagert ist, die sich auf einem Dreibein befinden. Das Dreibein, das aus dreiStahlträgern besteht, ist für eine bessere Gewichtsverteilung des Aufbaus von Nöten.Außerdem kann durch drei Keilschuhe, die sich unter den Stahlträgern befinden, dieLage des Drehtisches und damit die Lage der Rotationsachse grob eingestellt werden.Unter dem optischen Tisch seitlich des Drehtisches befindet sich eine kleine Lochras-terplatte, auf der sich die Photodiode für die Messung des Schwebungssignals befindet.Das Licht wird vom drehenden Aufbau zur stationären Photodiode über eine optischeDrehdurchführung geleitet. Elektrische Signale und die Versorgungsspannung werdendurch eine elektrische Drehdurchführung vom rotierenden ins ruhende System übertra-gen. Die Elektronik um das Pound-Drever-Hall Verfahren zu realisieren, ist komplettim drehenden System installiert. Die notwendigen Geräte stehen auf einem Gerüstseitlich der Vakuumkammer. Das Vakuum in der Kammer wird mit einer Ionenpumpeerzeugt. Dabei werden Drücke von 2 × 10−5mbar erreicht.

4.2. Drehung des Aufbaus

Die aktive Drehung des Aufbaus stellt ein zentrales Element des Experimentes dar.Deswegen soll hier auf die dafür benötigten Komponenten eingegangen werden und

42

4.2 Drehung des Aufbaus 43

Abbildung 4.1.: Foto des gesamten Aufbaus (mit freundlicher Genehmigungvon E.Fesseler).

44 Aufbau des Michelson-Morley-Experimentes

L1 L2

PDH

SF

TS

Drehtisch

Al-Zylinder

Dreibein

Lochrasterplatte

Schwingungsisolation

Messung derSchebungsfrequenz

Tiltsensor

Vakuumkammer

Optischer Tisch

Regelelektronik

Keilschuhe

Drehdurchführung

Abbildung 4.2.: Skizze des gesamten Aufbaus.


daraus resultierende experimentelle Anforderungen angesprochen werden. Für die Pe-riode der Rotation wurden 45 s gewählt. Um statistisch relevante Werte zu erhalten,ist eine schnelle Rotation erwünscht. Die Rotationsgeschwindigkeit sollte < 40 s nichtunterschreiten, da es sonst zu systematischen Effekten kommt (siehe unten).

4.2.1. Der Drehtisch

Für die aktive Drehung des Experimentes wird ein Drehtisch der Firma Kugler verwen-det (RTV600). Der rotierende Teil des Drehtisches ist auf Luftkissen gelagert, wodurchnur ein sehr geringes Maß an Vibrationen durch die Drehung hervorgerufen wird.Der Drehtisch ist mit einer Zerodurplatte ausgerüstet, in die 18000 radiale äquidistanteStriche eingeätzt sind. Mit Hilfe einer Lichtschranke kann so die genaue Winkelposi-tion des Tisches ausgelesen werden. Eine zusätzliche Markierung in der Zerodurplatteermöglicht das Auslesen einer Nullposition. Auf diese Weise kann die Position des Re-sonators auf dem Tisch zu jeder Zeit genau bestimmt werden.Angetrieben wird der Drehtisch durch einen 12V Motor (Shayang YE Industrial) überdie Reibung des Antriebrades des Motors mit dem Drehtischrotor.

4.2.2. Drehdurchführungen

Elektrische Drehdurchführung

Um die Netzspannung vom ruhenden ins rotierende System zu bringen, ist eine elek-trische Drehdurchführung (Fabricast Inc. 19815) vorhanden. Sie besteht aus 15 Ringenmit Schleifkontakten und ist um eine zusätzliche Vakuumdrehdurchführung erweitert.Diese dient dazu, die Vorpumpe einer Turbopumpe außerhalb des rotierenden Systemszu betreiben. Eine Störung der Frequenzstabilität durch Vibrationen der Vorpumpekann so stark reduziert werden.Die Durchführung kann über einen zusätzlichen Motor unabhängig vom Drehtischrotiert werden. Die Drehfrequenz wird dabei entsprechend der Tischdrehfrequenz ge-regelt. So soll verhindert werden, dass kleine Ungleichmäßigkeiten in der Rotationder Drehdurchführung den Gleichlauf des Tisches beeinträchtigen. Allerdings führtedie Regelung zu elektronischen Störungen im Messsignal, die nicht beseitigt werdenkonnten. Deshalb wurde von dieser Regelung abgesehen und die Drehdurchführung imWeiteren mechanisch vom Drehtisch mitgezogen. Durch die elektrische Drehdurchfüh-rung werden die Netzspannung und die Tiltsignale geführt.

Optische Drehdurchführung

Das Schwebungssignal zwischen den beiden Resonatoren wird nicht elektronisch son-dern optisch vom rotierenden ins ruhende System gebracht. Der Drehtisch hat in derMitte entlang der Rotationsachse eine Bohrung, durch die die überlagerten Strahlenüber Spiegel zur Photodiode geführt werden. Um auf die Photodiode mit einer li-nearen Polarisation zu treffen, wird das linear polarisierte Licht vom Tisch über eineλ/4-Platte zirkular polarisiert, über zwei Silberspiegel, deren Reflektivität unabhängig


0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

25

30

Am

plit

ude

in[H

z]

Tilt in [mrad]

Tiltempfindlichkeit:

(0,28 0,01) Hz/ radm#

Abbildung 4.3.: Abhängigkeit des Messsignals von der Verkippung der Rotati-onsachse des Drehtisches. Aufgetragen ist die Amplitude des bei Verkippung derRotationsachse entstehenden Sinus im Messsignal bei ωrot gegen die Verkippung.

von der Polarisation ist, in das ruhende System geführt und dort durch eine weitereλ/4-Platte wieder linear polarisiert. Durch diese Prozedur wird die Frequenz des Lich-tes um die Tischdrehfrequenz ωrot = 0.02Hz verschoben, was bei einem Gleichlauf desDrehtisches einen konstanten Effekt darstellt und deswegen keine Auswirkung auf dieMessung hat.

4.2.3. Verkippung der Rotationsachse - Tiltregelung

Durch eine Schräglage des Resonators gegenüber der Horizontalen wirkt die Erdanzie-hungskraft verformend auf den Resonator und bewirkt so eine Längenänderung dessel-ben. Ist die Drehachse des Drehtisches verkippt (diese Verkippung wird im Weiterenauch als Tilt bezeichnet), ist die Längenänderung des Resonators mit der Drehfre-quenz ωrot moduliert. Da die Länge des Resonators direkt die Resonanzfrequenz desResonators bestimmt, führt eine solche Schieflage zu einer entsprechenden Modulationdes gemessenen Schwebungssignal mit ωrot. Wie in Kapitel 2 beschrieben, sind für dieeigentliche Messung Signale von Relevanz, die mit dem zweifachen der Tischdrehfre-quenz moduliert sind. Der bei einfacher Tischdrehfrequenz modulierte Tilteffekt musstrotzdem unterdrückt werden, da er auch Frequenzkomponenten bei Vielfachen vonωrot zeigt, die sich dem gesuchten Signal bei 2ωrot überlagern. Die Empfindlichkeit desSchwebungssignals gegenüber Verkippungen der Drehachse beträgt 0.28Hz/µrad, wiein Abbildung 4.3 dargestellt. Dabei ist die Amplitude des bei Verkippung der Rotati-onsachse entstehenden Sinussignals bei ωrot gegen die Verkippung aufgetragen.


TS

Transformationins Laborsystem

x x

ylabrot

rot laby

ComputerTilt xrot

Tilt yrot

Temperatur-Regler 1

Temperatur-Regler 2

T1 T2P1 P2

T1,soll

T2,soll

x PI-Regler

y PI-Regler

Tiltsensor

Al-Zylinder

Abbildung 4.4.: Schematische Darstellung der Tiltregelung. Als Tilt wird hierdie Verkippung der Rotationsachse bezeichnet.

Um diesen systematischen Effekt zu unterdrücken, wird eine aktive Tiltregelung durch-geführt. Die Drehachse kann über die drei Aluminiumzylinder, auf denen der Drehtischgelagert ist, gerade gestellt werden. In zwei der Zylinder befinden sich Heizkartuschen,die ein Erhitzen der Zylinder auf bis zu 70 °C erlauben. Die Höhe der Zylinder be-trägt jeweils 200mm. Mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizient von AluminiumαAl = 2.4× 10−5 1/K kann durch Verändern der Temperatur um ± 20 °C eine Längen-änderung von ±0.1mm erreicht werden. Das entspricht bei einem Abstand der Zylinderzur Mitte von 250mm einer Verkippung von ±400µrad. Zusätzlich befinden sich anden Aluminiumzylindern Pt100 Widerstände, die die Temperatur der Zylinder messenund an zwei Temperaturregler (LakeShore 330) geben. Diese Temperaturregler haltendie Temperatur der Zylinder über eine PI-Regelschleife konstant auf einen vorgegebe-nen Sollwert.Direkt auf dem Drehtisch über der Drehachse befindet sich ein Tiltsensor (AppliedGeomechanics Type 755). Es handelt sich um eine elektronische zwei-Achsen Flüssig-keitslibelle, die eine Auflösung von 0.1µrad besitzt. Die Signale des Sensors werdenum einen Faktor 100 verstärkt und über einen Tiefpassfilter mit einer Eckfrequenzvon 1Hz auf ein Voltmeter (Agilent, 34970) gegeben, das schließlich die digitalisiertenSignale an den Computer weitergibt. Dort wird eine Transformation vom rotieren-den ins ruhende System vorgenommen, die aktuelle Schieflage der Drehachse ermitteltund über einen weiteren PI-Regler einmal pro Umdrehung ein neuer Sollwert an dieTemperaturregler gegeben. Mit dieser geschachtelten Regelschleife, die in Abbildung4.4 schematisch dargestellt ist, können Tilteffekte kleiner 0.3µrad geregelt werden,was mit der Empfindlichkeit von 0.3Hz/µrad in der Frequenz einem Effekt < 0.1Hzentspricht.


sin twT

Referenz

sin twRPhasen-detektor

PID-Regler

e (Dw)

0-12V

Abbildung 4.5.: Schematische Darstellung der Regelung der Rotationsge-schwindigkeit.

4.2.4. Zentrifugalkräfte - Gleichlaufregelung

Bei einer Störung des Gleichlauf des Tisches können Zentrifugalkräfte sich systema-tisch auf die Messung auswirken. Solche Störungen können zum Beispiel durch eineschlechte Übersetzung des Motors oder durch Störungen mit der mitgezogenen Dreh-durchführung entstehen. Um einen möglichst guten Gleichlauf zu garantieren wird dieDrehgeschwindigkeit des Tisches aktiv stabilisiert. Ein Schema dieser Stabilisierung istin Abbildung 4.5 zu sehen. Die aktuelle Drehgeschwindigkeit kann aus der Frequenzdes Sinus bestimmt werden, der über die in der Zerodurplatte des Drehtisches einge-ätzten 18000 Striche erzeugt wird (siehe Abschnitt 4.2.1). Das Signal wird mit einerstabilen Frequenzreferenz (HP33120A) verglichen, die die gewünschten 400Hz liefert,was einer Rotationsperiode von Trot = 18000/400Hz = 45 s entspricht. Beide Signalewerden in einen digitalen Phasendetektor und der momentane Phasenunterschied alsAnalogsignal an einen PID-Regler gegeben. Der Regler passt die Spannung des An-triebsmotors so an, dass die errechnete Differenz gegen Null geht. Winkelabweichungenvon 360°/18000 = 0.02° können detektiert werden und mit der Regelung eine Abwei-chung von weniger als 0.1° erreicht werden. Für eine Rotationsperiode > 40 s könnenstörende Zentrifugalkräfte mit dieser Regelung unterdrückt werden.

4.3. Weitere systematische Effekte

Abbildung 4.6 zeigt die Fouriertransformierte einer Messung des Schwebungssignalsam drehenden Aufbau über vier Tage. Es sind deutlich systematische Effekte bei derTischdrehfrequenz und den harmonischen Frequenzen zu sehen. Ein mögliches Aniso-tropiesignal würde in der Fouriertransformierten einen Peak bei 2ωrot verursachen. Des-halb müssen sämtliche anderen Effekte, die mit der einfachen oder besonders mit derzweifachen Tischdrehfrequenz moduliert sind, unterdrückt werden. Nachdem Tilteffek-

4.3 Weitere systematische Effekte 49

Abbildung 4.6.: Fouriertransformierte einer 3-Tages Messung am drehendenSystem. Es sind deutliche Peaks bei Vielfachen der Tischdrehfrequenz zu sehen.

te und störende Zentrifugalkräfte bereits mit den im vorherigen Kapitel beschriebenenRegelungen minimiert wurden, werden im Folgenden weitere mögliche Ursachen fürsystematische Effekte untersucht.

4.3.1. Temperatureffekte

Einige Komponenten des Aufbaus sind anfällig für Temperaturschwankungen, wobeidie Resonatoren das empfindlichste Element darstellen. Eine Temperaturänderung von1 °C bewirkt bei einem Resonator über die Änderung der Länge eine um 170MHz ver-schobene Resonanzfrequenz. Da die Resonatoren in der Vakuumkammer aber sehr gutthermisch isoliert sind, wirken sich Änderungen der Labortemperatur nur sehr schwachauf die Resonatoren aus und es ist kein beobachtbarer systematischen Effekte auf derrelevanten Zeitskala von 45 s vorhanden.Temperaturschwankungen wirken sich auch auf die Einkoppeloptik und die Regelelek-tronik aus. Bei der Einkoppeloptik kann eine Temperaturänderung eine leichte Ver-schiebung des Strahlengangs bewirken, was eine Verschlechterung der Kopplung in dieResonatoren und einen Strahlversatz auf der Photodiode nach sich ziehen kann. Beideswürde zu einem kleinen Phasenversatz des Fehlersignals führen und so eine Frequen-zänderung bewirken. Eine Frequenzänderung kann ebenfalls von parasitäre Etalonszwischen einzelnen optischen Komponenten kommen, die einen zusätzlichen kleinenOffset auf das Fehlersignal erzeugen.Temperaturänderung an der Regelelektronik führen zu Veränderungen der Offsetspan-nungen an den Mischern und durch kleine aber eventuell verstärkte thermoelektrischeSpannungen im µV/°C Bereich zu Veränderungen der Offsetspannungen an den Ver-stärkern. Außerdem sind Widerstände und Kapazitäten in der Regelelektronik tempe-raturabhängig und variieren so die Verstärkung G des Reglers.


Temperaturabhängigkeiten wurden genauer untersucht, indem einzelne Komponentenmit einem Fön um ca. 20°C erhitzt wurden. Beim Fönen der Linsen, die für die Strahl-formung verwendet werden, konnte Frequenzsprünge bis zu 100Hz beobachtet werden,was wahrscheinlich hauptsächlich auf die durch den Fön erzeugten Luftverwirbelungenzurückzuführen ist. Zusätzlich waren aber kleine Änderungen der Drift um ca. einenFaktor 2 und kleine Etaloneffekte zu beobachten. Das Erwärmen der Regelelektronikwirkte sich ebenfalls auf die Drift des Schwebungssignals aus. Es konnten Steigerungender Drift bis zu einem Faktor 20 beobachtet werden und teilweise sogar eine Umkeh-rung des Vorzeichens der Drift.Einkoppeloptik und Regelelektronik zeigen eine Empfindlichkeit auf Temperaturän-derungen. Ein Temperaturgradient innerhalb des Labors, wie er zum Beispiel durchdie Klimaanlage hervorgerufen werden kann, könnte dann eine Modulation des Schwe-bungssignal mit der Tischdrehfrequenz bewirken. Um dies zu testen wurde ein künst-licher Temperaturgradient von ca. 10 °C erzeugt, indem auf einer Seite des DrehtischesHeizplatten betrieben wurden. Dadurch war ein Ansteigen der Amplitude der Fourier-transformierten bei ωrot um eine Faktor 2-3 und Schwankungen im Schwebungssignalum bis zu 20Hz zu beobachten. Damit konnte gezeigt werden, dass ein Temperaturgra-dient im Labor einen systematischen Effekt von ca. 2Hz/°C bei der Rotationsfrequenzdes Drehtisches ωrot bewirken kann. Die tatsächlichen Temperaturgradienten im La-bor betragen weniger als 0.1 °C und bewirken damit eine Frequenzänderung < 0.2Hz.Temperatureffekte scheinen nicht den größten vorliegenden systematischen Effekt dar-zustellen, sind aber in einer Größenordnung, dass sie bei weiterer Optimierung desExperimentes berücksichtigt werden müssen. Deshalb wurde bei dem in Kapitel 6beschriebenen neuen Aufbau auf eine bessere thermische Isolation einzelner Kompo-nenten geachtet.

4.3.2. Elektromagnetische Interferenzen

Elektromagnetische Streufelder können zu einem elektronischen Offset auf dem Feh-lersignal des Pound-Drever-Hall-Verfahrens führen und so eine Verschiebung des Lock-punkts bewirken. Anfällig für elektromagnetische Streufelder, die z.B. durch die Lo-kaloszillatoren zur Erzeugung und Demodulation des Fehlersignals entstehen, könntensowohl die verwendeten resonanten Photodetektoren als auch Elemente der Regelelek-tronik sein. Die Frequenzgeneratoren, die als Lokaloszillatoren dienen, befinden sichwie die Photodetektoren und die Regelelektronik auf dem drehenden Aufbau. Es istdenkbar, dass Streufelder je nach Position des Drehtisches unterschiedlich stark zu-rückgestreut werden und dadurch eine Modulation des Schwebungssignals zu Standekommt. Eine genauere Untersuchung dieses systematischen Effekts steht noch aus. Ei-ne elektromagnetische Abschirmung der Photodetektoren ist im verbesserten Aufbau(siehe Abschnitt 6.1.4) durch Montage der Detektoren innerhalb der Vakuumkammergegeben. Zusätzlich ist auch eine bessere Abschirmung der Regelelektronik geplant.

4.4 Messung 51

4.3.3. Gewichtsverteilung auf dem Drehtisch

Der Schwerpunkt des Aufbaus befindet sich zunächst nicht auf der Rotationsachse.Dadurch kommt es zu leichten Verkippungen innerhalb einer Umdrehung, die nichtmit der oben beschriebenen langsamen Tiltregelung ausgeglichen werden können. Umdie Gewichtsverteilung aufzuzeichnen, wurden Drucksensoren von unten gegen denDrehtisch gepresst. Es wurden zusätzliche Gewichte auf dem Aufbau so verteilt, dassder Schwerpunkt des Systems möglichst nahe bei der Rotationsachse des Drehtischesliegt.Mit dieser Methode wurde eine Verbesserung der Schwerpunktsverteilung erreicht.Durch den relativ undefinierten Anpressdruck der Drucksensoren ist allerdings eingenaues Anpassen nur schwer möglich. Es ist geplant bessere Hochlast-Drucksensorenzwischen dem Drehtisch und den Aluminiumzylindern, die für die Tiltstabilisierunginstalliert sind, zu platzieren. Damit soll die Schwerpunktsverteilung in Zukunft nochweiter optimiert werden.

4.4. Messung

Die Messung soll die Schwebungsfrequenz zwischen den beiden auf jeweils einen, dersenkrecht zueinander stehenden Resonatoren, stabilisierten Laser in Abhängigkeit derPosition der Resonatoren untersuchen. Das System unterliegt im ganzen drei Rota-tionen: der Rotation des Drehtisches ωrot, der Erdrotation ω⊕ und der Bewegung derErde um die Sonne Ω⊕. Um auch die letzte Komponente auflösen zu können, mussdas Experiment über mindestens ein Jahr Daten akkumulieren. Die Messung überein Jahr wird nicht kontinuierlich durchgeführt, sondern Datensätze von drei bis sie-ben Tagen in kleinstmöglichen Abständen genommen. Dabei wird jeweils zuerst derRegelkreis zur Laserstabilisierung geschlossen, das heißt die Laser werden jeweils aufdie TEM00 Moden der beiden Resonatoren stabilisiert. Dann wird die Rotation desDrehtisches gestartet, wobei der Regelkreis zur Stabilisierung der Rotationsgeschwin-gigkeit geschlossen wird. Über ein Computerprogramm kann das Schwebungssignal,die augenblickliche Position des Drehtisches und die Zeit aufgezeichnet werden. DasProgramm regelt ebenfalls die Tiltstabilisierung, indem es den beiden Temperatur-reglern einmal pro Tischumdrehung einen neuen Sollwert vorgibt. Nach dem Startendieses Programmes beginnt die Messung, wenn der Drehtisch seine Nullposition er-reicht. Beim Stoppen des Messprogramms hört die Datenaufnahme wieder bei derNullposition des Drehtisches auf, wodurch ein Datensatz immer aus einem ganzzahli-gen Vielfachen den Rotationsperiode besteht. Zusätzlich besteht die Möglichkeit mitdem Computerprogramm gleichzeitig einen zweiten Zähler auszulesen, wodurch zumBeispiel das Aufzeichnen der Schwebungsfrequenz zwischen einem der beiden Resona-toren und einer externen Frequenzreferenz ermöglicht wird.

5. Methode der Datenanalyse und

erste Ergebnisse

Um die κ-Parameter der SME-Theorie zu erhalten werden die Rohdaten in drei Schrit-ten behandelt. Diese drei Schritte entsprechen den drei Rotationen, denen das Systemunterliegt. Zuerst wird die aktive Drehung des Experiments bei ωrot berücksichtigt,indem an Teilstücke des Datensatzes die Modulation bei zweifacher Tischdrehfrequenzgefittet wird entsprechend Gleichung (2.17). An die Amplituden B und C dieser Mo-dulation wird wiederum eine Modulation mit der einfachen und zweifachen Erdrota-tion ω⊕ gefittet. Daraus erhält man nach Gleichung (2.15) und Gleichung (2.16) dieAmplituden Bk und Ck. Diese Amplituden werden verwendet, um mit Hilfe der Glei-chungssätze (2.19) und (2.18) die κ-Parameter zu bestimmen. Mit den aus Schritt 2erhaltenen Bk- und Ck-Amplituden kann mit Gleichung (2.28) und (2.29) ebenfalls derPMM-Parameter des RMS-Formalismus berechnet werden.

Für den in Kapitel 3 und Kapitel 4 beschriebenen Aufbau wurden in Zusammenarbeitmit S.Herrmann [Her06] die ersten zwei Schritte der Datenanalyse vorgenommen. Dieentsprechenden Ergebnisse sind in diesem Kapitel präsentiert. Die komplette Daten-analyse ist erst mit dem verbesserten Aufbau, der im nächsten Kapitel beschrieben ist,vorgenommen worden. Die Ergebnisse dieser Analyse sind daher ebenfalls im nächstenKapitel zu finden.

5.1. Rohdaten

Abbildung 5.1 zeigt eine Messung des Schwebungssignals über drei Tage. Um verschie-dene Messungen zusammensetzen zu können, wird der Datensatz auf eine Zeitachseumgerechnet, die ihren Startpunkt am 1. Januar 2000 um 0:00 Uhr nach UTC Zeithat.Auf dem Signal liegt eine Drift, in der der lineare Anteil mit ∼ 1Hz/s überwiegt. Ummögliche Effekte im Bereich der Tischdrehfrequenz besser sehen zu können, wurden dieDaten mit Eckfrequenz von ν = 1/(200s) hochpassgefiltert. Die so erhaltenen Datensind im rechten Graphen von Abbildung 5.1 zu sehen. Für die Auswertung werden dieungefilterten Daten verwendet.

52

5.2 Berücksichtigung der Tischdrehung 53

Abbildung 5.1.: Der linke Graph zeigt die Schwebungsfrequenz zwischen denzwei rotierenden Resonatoren über drei Tage. Im rechten Graph ist dieselbe Mes-sung mit einer Eckfrequenz von ν = 1/(200s) hochpassgefiltert zu sehen.

5.2. Berücksichtigung der Tischdrehung

Im ersten Schritt der Datenanalyse soll alleine die Modulation der Daten durch dieTischumdrehung untersucht werden. Um die Modulation der Tischumdrehung unab-hängig von der Modulation durch die Erdrotation betrachten zu können, muss der Da-tensatz in kleine Teilstücke zerlegt werden, auf denen die Erdrotation vernachlässigtwerden kann. Gleichzeitig bereitet das Zerlegen in kleine Teilstücke eine gute statisti-sche Grundlage für weitere Auswertungsschritte. Für die Länge der Teilstücke wurden10 Tischumdrehungen gewählt was 450 s entspricht. Auf dieser Zeitskala ist die Ver-nachlässigung der Erdrotation gerechtfertigt. Für jedes der Teilstücke werden dann dieAmplituden B und C bestimmt. So erhält man über einen Tag 192 Werte für B und C.

An das Schwebungssignal soll ein Modulationssignal bei zweifacher Tischdrehfrequenzentsprechend Gleichung (2.17) angefittet werden. Um den tatsächlichen Bedingungendes Experiments gerecht zu werden, wird diese Funktion erweitert zu

∆ν

ν= 2B sin(2ωrot(t − t0)) + 2C cos(2ωrot(t − t0))

AS sin(ωrot(t − t0)) + AC cos(ωrot(t − t0))

+A0 + A1t + A2t2. (5.1)

Mit dieser Gleichung wird berücksichtigt, dass das Schwebungssignal einen Offset hat,einer linearen und quadratischen Drift unterliegt und dass eine zusätzliche Modulati-on bei einfacher Tischdrehfrequenz ωrot vorliegt, da systematische Effekte nicht ganzunterdrückt werden konnten. Wie in Abschnitt 2.1.3 definiert wird t0 so gewählt, dasst − t0 = T , wobei T = 0 der Zeitpunkt ist, wenn die Achse eines Resonators mit derx-Achse des Labors übereinstimmt, die wie in Abschnitt 2.1.2 definiert nach Süden

54 Methode der Datenanalyse und erste Ergebnisse

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

-5

0

5

10

Fre

quen

z[H

z]

Zeit [Vielfache von Trot

]

Abbildung 5.2.: Beispielhafter Ausschnitt der Schwebungsfrequenz über zehnRotationen des Drehtisches (Trot = 45 s) mit dem gefitteten Signal entsprechendGleichung (5.1). Dabei wurde zur besseren Anschauung eine lineare und quadra-tische Drift abgezogen.

zeigt. Der Startzeitpunkt der Messung ist durch die Nullposition des Drehtisches vor-gegeben. Dieses Nullposition unterscheidet sich um 41° von der x-Achse des Labors,wodurch t0 bestimmt ist.Für die Fitprozedur ist ein Gleichlauf des Drehtisches von großer Wichtigkeit, da sonstdie verwendeten Phasenbeziehungen nicht mehr korrekt sind. Für den Gleichlauf desTisches wird durch die aktive Regelung der Rotationsrate, wie in Abschnitt 4.2.4 be-schrieben, gesorgt. Das Messprogramm schreibt allerdings auch die aktuelle Winkelpo-sition des Tisches mit. Dabei ist zu sehen, dass die aus der Zeitachse errechnete Positiondes Tisches immer mehr von der tatsächlichen abweicht. Nach drei Tagen Messung be-trägt die Abweichung bereits 40°. Auf diesen langen Zeitskalen ist der Gleichlauf desDrehtisches also nicht gut genug um die Position des Tisches korrekt über die Zeitach-se zu bestimmen. Deshalb wird für den Fit die Winkelachse verwendet, die auf jedenFall die richtige Position des Drehtisches wiedergibt. Die Fit-Methode entspricht derMethode der kleinsten Quadrate.

In Abbildung 5.2 ist ein Ausschnitt des Schwebungssignals über zehn Tischumdre-hungen zu sehen, wobei eine Drift abgezogen wurde, um mögliche Modulation mit derTischdrehfrequenz ωrot besser zu sehen. Die Drift wurde durch einen Fit eines Poly-noms 2. Ordnung an die Daten ermittelt. In dem Graphen ist außerdem das gefitteteSignal nach Gleichung (5.1) dargestellt.Der komplette Datensatz, der in Abbildung 5.1 zu sehen ist, wurde in Teilstücke von10 Tischumdrehungen zerlegt und auf diesen Teilstücken jeweils B und C bestimmt.Die Verteilung dieser B- und C-Amplituden ist in Abbildung 5.3 zu sehen.

5.3 Berücksichtigung der Erddrehung 55

5.3. Berücksichtigung der Erddrehung

Für die Verteilung der Amplituden B und C ist nun im zweiten Schritt der Auswertungdie Erdrotation zu berücksichtigen. Die Amplituden der Modulation bei zweifacherTischdrehfrequenz ωrot sind ihrerseits mit der einfachen und zweifachen Erdrotations-frequenz ω⊕ moduliert. Die entsprechenden Abhängigkeiten sind in Gleichung (2.15)und Gleichung (2.16) zu finden. Die Verteilung der B-Amplituden wird über eine li-neare Regression mit

B(t) = B0 + Bs1 sin(ω⊕(t − t∗0)) + Bc1 cos(ω⊕(t − t∗0))

+Bs2 sin(2ω⊕(t − t∗0)) + Bc2 cos(2ω⊕(t − t∗0)) (5.2)

gefittet, die Verteilung der C-Amplituden mit

C(t) = C0 + Cs1 sin(ω⊕(t − t∗0)) + Cc1 cos(ω⊕(t − t∗0))

+Cs2 sin(2ω⊕(t − t∗0)) + Cc2 cos(2ω⊕(t − t∗0)). (5.3)

Dabei wird t∗0 so gewählt, dass t − t∗0 = T⊕, also dass bei t = t∗0 die y-Achse des La-bors mit der Y-Achse des sonnenzentrierten Systems übereinstimmt. Wie in Abschnitt2.1.2 beschrieben, wird dafür der 20. März 2000 gewählt, an dem um 11:17 nach UTCZeit die y-Achse des Labors in Berlin mit der Y-Achse des sonnenzentrierten Systemsübereinstimmte [Obs]. In der verwendeten Zeitachse entspricht das t∗0 = 79.4681d. DerFit für die Amplituden der Daten aus Abbildung 5.1 ist in Abbildung 5.3 zu sehen.

Durch die beiden Fitfunktionen (5.2) und (5.3) erhält man jeweils fünf Bk- bzw. Ck-Amplituden. Um im dritten Schritt der Auswertung die Rotation der Erde um dieSonne berücksichtigen zu können, werden mehrere Sätze von Bk- und Ck-Amplitudenbenötigt. Die Messungen, aus denen die Bk- und Ck-Amplituden gewonnen werden,sollten über mehr als ein Jahr verteilt sein, um die Rotationsfrequenz der Erde um dieSonne Ω⊕ spektral auflösen zu können.Tatsächlich wurden mit dem bisher beschriebenen Aufbau nur Messungen über ca. 2Wochen aufgenommen. Da zu vermuten war, dass mit der verbesserten Frequenzsta-bilität der neuen gekreuzten Resonatoren systematische Effekte zum Vorschein tretenwürden, die bei dem Vorgängerexperiment noch im Rauschen lagen, wurde bereitsseit längerem eine neue Vakuumkammer geplant, die einige dieser Effekt unterdrückensoll. Da die neue Vakuumkammer zu diesem Zeitpunkt des Experimentes fertiggestelltwurde, wurde darauf verzichtet mit dem beschriebene Aufbau eine längere Messungdurchzuführen, sondern die neue Vakuumkammer in das Experiment installiert. Mitder neuen Vakuumkammer, die im nächsten Kapitel beschrieben ist, wurden bereitsMessungen über fast einen Monat durchgeführt. Erste Ergebnisse für die κ-Parameteraus diesen Messungen sind ebenfalls im nächsten Kapitel dargestellt. Die Prozedur fürdie weitere Auswertung soll aber bereits an dieser Stelle beschrieben werden. Dabeiwurde die für das Vorgängerexperiment erstellte Mathematica-Implementation [Sen06]adaptiert.


Die Bk- und Ck-Amplituden werden für einzelne Datensätze von Messungen über meh-rere Tage bestimmt. Dafür werden zuerst die Funktion (5.2) bzw. (5.3) an die Vertei-lung der B- bzw. C-Amplituden der ersten 24 h des Datensatzes gefittet. Dann wirddieses 24 h Fenster um 2.4 h verschoben und wiederum Bk und Ck bestimmt. Das24 h Fenster wird solange verschoben bis der ganze Datensatz abgedeckt ist. Aus dengewonnenen Bk- und Ck-Amplituden wird ein gewichteter Mittelwert gebildet, wo-bei berücksichtigt wird, dass verschiedene Abschnitte des Datensatzes unterschiedlichhäufig zur Bestimmung dieser Amplituden dienten. Die Fehler der Amplituden werdenebenfalls gewichtet aus den Fehlern der einzelnen Fits bestimmt.

5.4. Bestimmung der κ-Parameter

Um die Modulation der Bk- und Ck-Amplituden durch die Bewegung der Erde um dieSonne zu berücksichtigen, wird die Abhängigkeit wie in (2.18) und (2.19) angegebenan die Daten gefittet:

C0 =1

8sin2 χ

[

3κZZe− − 2β⊕

[

κYZo+ sin Ω⊕(t − t′0)

+(

2κXYo+ sin η + κXZ

o+ cos η)

cos Ω⊕(t − t′0)]

]

Cs1 = cos χBc1

= −1

2sin χ cos χ

[

κYZe− + β⊕

[

κXZo+ sin η − κXY

o+ cos η]

cos (Ω⊕(t − t′0))]

Cc1 = − cos χBs1

= −1

2sin χ cos χ

[

κXZe− + β⊕

[

κXYo+ sin Ω⊕(t − t′0) − κYZ

o+ sin η cos Ω⊕(t − t′0)]

]

Cs2 =1 + cos2 χ

2 cos χBc2

=1

4

(

1 + cos2 χ)

[

κXYe− − β⊕

[

κXZo+ sin Ω⊕(t − t′0) + κYZ

o+ cos η cos Ω⊕(t − t′0)]

]

Cc2 = −1 + cos2 χ

2 cosχBs2

= −1

8

(

1 + cos2 χ)

[

κYYe− − κXX

e− − 2β⊕[

κYZo+ sin Ω⊕(t − t′0)

−κXZo+ cos η cos Ω⊕(t − t′0)

]

]

. (5.4)

Der Neigungswinkel beträgt η = 23°, die Kolatitude von Berlin χ = 37°. t′0 wird sogewählt, dass t − t′0 = T ′. Dabei ist der Zeitnullpunkt von T ′, wie in Abschnitt 2.1.2definiert, durch die Frühjahrs Tag- und Nachtgleiche des Jahres 2000 gegeben. In derverwendeten Zeitachse entspricht dies t′0 = 79.31597.

5.5 Bestimmung des PMM-Parameters 57

Wie in (5.4) zu sehen, tauchen die acht κ-Parameter in verschiedenen Kombinationen inden einzelnen Ck auf. Deswegen muss eine geeignete Fitprozedur die acht Parameterüber die in (5.4) gegebenen Gleichungen simultan an die zehn Verteilungen der Bk

und Ck anpassen. Dabei wird eine modifizierte lineare Regression verwendet, derenfreie Parameter die acht κ-Parameter sind. Für die jeweiligen Fehler werden die imvorherigen Schritt bestimmten Fehler berücksichtigt.Um die κ-Parameter vollständig zu bestimmen, sind Messungen über mehr als ein Jahrnötig. Bei Messungen über eine kürzere Zeit sind starke Korrelationen zwischen deneinzelnen Fitparametern vorhanden. Um für eine Messung über eine kürzere Zeitspanneals ein Jahr dennoch Grenzen für die κ-Parameter angeben zu können, werden entwederdie κe− oder die κo+ zu Null gesetzt und der jeweils andere Parametersatz in dieserNäherung bestimmt.

5.5. Bestimmung des PMM-Parameters

Für die Bestimmung des PMM-Parameters werden die Verteilungen der Bk- und Ck-Amplituden verwendet, wie sie in Schritt 2 der Datenanalyse durch Fits der Gleichun-gen (5.2) und (5.3) ermittelt werden. An die Verteilungen werden hier die Modulationendurch die Rotation der Erde um die Sonne entsprechend Gleichung (2.28) und (2.29)angefittet. Die Fitprozedur funktioniert dabei ähnlich wie die zur Bestimmung der κ-Parameter und ist ebenfalls in Mathematica implementiert worden. Die Auswertungwird dadurch stark vereinfacht, dass nur ein Parameter zu bestimmen ist. Deshalb istauch eine Messung über mehr als ein Jahr in diesem Fall nicht zwingend nötig. DerPMM-Parameter kann im Gegensatz zu den κ auch schon aus einer kürzeren Messungexakt bestimmt werden. Eine längere Messung wird aber zur Minimierung des Fehlersdennoch angestrebt.

5.6. Erste Ergebnisse

Die ersten Messungen mit den neuen Resonatoren zeigen, dass sich die im Vergleichzum Vorgängerexperiment um einen Faktor 10 erhöhte Frequenzstabilität direkt im ers-ten Schritt der Auswertung wiederspiegelt. Die Verteilungen der B- und C-Amplitudenwie sie in Abbildung 5.3 zu sehen sind, streuen um ca. einen Faktor 20 weniger als ent-sprechende Verteilungen des Vorgängerexperimentes [Her06]. Der zusätzliche Faktor 2ist dabei auf den Übergang von einem zu zwei rotierenden Resonatoren zurückzufüh-ren.Allerdings sind die B- und C-Amplituden nicht gleichverteilt um Null, wie es bei einerisotropen Lichtgeschwindigkeit zu erwarten wäre: Die beiden Verteilungen zeigen einedeutliche Modulation mit 12 h. Um abzuschätzen ob es sich dabei um ein Anisotro-piesignal oder um einen, ein Anisotropiesignal simulierenden, systematischen Effekthandelt, werden die Amplituden AS und AC der Modulation bei einfacher Tischdreh-frequenz ωrot betrachtet. In den Verteilungen dieser Amplituden ist der gleiche Effekt


2452 2453 2454-0.5

0.0

0.5

Cn 0

[Hz]

Zeit [Tage seit dem01.01.2000]

2452 2453 2454-0.5

0.0

0.5B

n 0[H

z]


Abbildung 5.3.: Verteilung der B- und C-Amplituden des in Abbildung 5.1dargestellten Datensatzes. Die Verteilung zeigt eine deutliche Modulation miteiner 12 h Periode. So eine Modulation kann durch einen systematischen Effekt,aber auch durch eine Verletzung der Lorentzinvarianz hervorgerufen werden.

2452 2453 2454

-2

-1

0

1

2

AC

n 0[H

z]


2452 2453 2454

-2

-1

0

1

2

ASn 0

[Hz]


Abbildung 5.4.: Amplituden der Modulation bei ωrot. Entsprechend Gleichung(5.1) beschreibt AS die Sinus-Amplitude und AC die Cosinus-Amplitude. DieVerteilung zeigt eine Modulation mit einer 24 h Periode. Im Gegensatz zu den B-und C-Amplituden würde eine Verletzung der Lorentzinvarianz bei den Amplitu-den der einfachen Tischdrehfrequenz ωrot keine Modulation bewirken. Hier ist derbeobachtete Effekt rein systematisch, was vermuten lässt, dass die in Abbildung5.3 zu sehende Modulation ebenfalls auf systematische Effekte zurückzuführenist.

5.6 Erste Ergebnisse 59

Parameter WertC0 1.8 ± 2.4Cs1 4.5 ± 3.4Cc1 1.9 ± 3.4Cs2 -8.5 ± 3.4Cc2 -55 ± 3.4B0 5.6 ± 1.6Bs1 3.5 ± 2.3Bc1 4.7 ± 2.3Bs2 -48 ± 2.3Bc2 4.8 ± 2.3

Tabelle 5.1.: Erste Ergebnisse für die Bk-und Ck-Amplituden, die durch Fits andie Verteilungen der B-und C-Amplituden aus Abbildung 5.3 bestimmt wurden.Alle Werte sind ×10−17 zu nehmen.

zu beobachten, der sich hier in einer Modulation mit 24 h äußert. Bei einfacher Tisch-drehfrequenz kann die Modulation nur auf systematischen Effekten beruhen. Deshalbliegt die Vermutung nahe, dass sich auch die Modulation der B- und C-Amplitudenauf systematische Effekte zurückführen lässt.Entsprechend Gleichung (5.2) und (5.3) wurden die Amplituden Bk und Ck der sideri-schen Modulation ω⊕ aus einem Fit an die Verteilungen der B- und C-Amplituden be-stimmt. Die entsprechenden Werte sind in Tabelle 5.1 aufgelistet. Es ist zu sehen, dassder systematische Effekt manche Koeffizienten stark beeinträchtigt: Cc2 und Bs2 wei-chen signifikant von Null ab. Würde man mit den ermittelten Bk- und Ck-Amplitudenüber die Gleichungen (5.4) die κ-Parameter bestimmen, würden auch einige von ihnensignifikant von Null abweichen. Deshalb ist mit den bisher durchgeführten Messungeneine genauere Bestimmung der κ-Parameter trotz der höheren Empfindlichkeit nichtsinnvoll.Eine Abschätzung der erreichbaren Genauigkeit, wenn es gelingt die begrenzenden sys-tematischen Effekte zu beseitigen, stellen die Fehler der Bk- und Ck-Amplituden dar,die bereits nach drei Tagen Messung ein Niveau < 3.5 × 10−17 erreichen.Die Vermutung liegt nahe, dass der modulierte systematische Effekt auf Temperatur-effekte zurückzuführen ist. Dass ein Temperaturgradient im Labor eine Modulationdes Schwebungssignal bei Tischdrehfrequenz bewirken kann, wurde in Abschnitt 4.3.1untersucht. Eine zusätzliche 24 h Modulation, kann dann durch Temperaturschwan-kungen im Labor über einen Tag erklärt werden. Die Labortemperatur, die über eineKlimaanlage geregelt wird, weist Schwankungen bis zu 1 °C auf. Es ist denkbar dassdiese Schwankungen mit der Tageszeit korreliert sind. Zur Unterdrückung des modu-lierten systematischen Effekts ist also eine bessere thermische Abschirmung einigerKomponenten des Aufbaus von Nöten. Zu diesem Zweck wurde die im nächsten Ka-pitel beschriebene neue Vakuumkammer im Experiment installiert, bei deren Designbesonderer Wert auf thermische Stabilität gelegt wurde.

6. Verbesserter Aufbau

6.1. Neue Vakuumkammer

Die Resonatoren waren bis jetzt in einem alten Kryostaten gelagert, der als Vaku-umkammer diente. Da für ein Präzisionsexperiment die Lagerung der Resonatorenvon entscheidender Wichtigkeit ist, wurde von A. Senger für dieses Experiment eineneue Vakuumkammer entworfen (siehe Abbildung 6.1), die im Rahmen dieser Arbeitzum ersten Mal implementiert wurde. Zusätzlich wurde das Design in der Art erwei-tert, dass einige optische Komponenten in der Kammer installiert werden können. Diewichtigsten Eigenschaften der neuen Vakuumkammer, wie sehr gute thermische undmechanische Stabilität und die Möglichkeit der Erzeugung eines Ultra-Hoch-Vakuumssollen im Folgenden vorgestellt werden. Weitere Details können hierzu in [Sen06] nach-gelesen werden.

6.1.1. Thermische und mechanische Stabilität

Bei dem Entwurf der neuen Vakuumkammer wurde besonderer Wert auf die thermi-sche Stabilität gelegt. Der thermische Ausdehnungskoeffizient von Fused Silica beträgtα = 6 × 10−7 1/K. Bei einer Änderung der Temperatur um 1 °C ergibt sich dann überdie Änderung der Resonatorlänge eine Frequenzänderung von ∆ν = ∆L/L ν0 = α ν0 =170MHz. Um eine Frequenzstabilität von 1Hz zu erreichen, darf also die Temperaturam Resonator nur um weniger als 5 nK schwanken.Um diese Stabilität zu erreichen wird eine thermische Abschirmung des Resonatorsdurch mehrere Thermoschilde gewährleistet. Der Resonator befindet sich in einem ver-goldeten Kupfertopf, der in der inneren Vakuumkammer gelagert ist. Um die innereVakuumkammer herum befinden sich drei Thermoschilde die schließlich von der äuße-ren Vakuumkammer umgeben ist. Die beiden inneren und das mittlere Thermoschildsind aus Stahl, das äußere aus Kupfer. Um die Wärmeleitung zwischen den einzelnenSchilden und Kammern zu reduzieren, sind die einzelnen Schichten auf jeweils dreiGlaskugeln gelagert, die neben den Stromkabeln den einzigen Kontakt zwischen denSchichten darstellen. Die Kugeln sind teil einer kinematischen Lagerung der einzelnenSchichten. Durch diese Lagerung, die mit V-Nuten realisiert wird, ist eine definiertePosition vorgegeben, die auch durch Stöße oder Vibrationen nicht verändert wird undkeine Verspannungen mit sich zieht. Mit dieser Lagerung wird insbesondere eine gutemechanische Stabilität des Resonatorblocks gewährleistet.Um tatsächlich eine Temperaturstabilität auf 5 nK genau zu erreichen müßte der äu-ßere Kupfer-Thermoschild aktiv temperaturstabilisiert werden. Das wurde in der hier

60

6.1 Neue Vakuumkammer 61

Abbildung 6.1.: Skizze der neuen Vakuumkammer aus [Sen06].

62 Verbesserter Aufbau

präsentierten ersten Iteration nicht realisiert. Allerdings zeigte sich schon mit der pas-siven Temperaturstabilisierung eine deutlich Verbesserung in den Drifteigenschaftendes Resonators. Mit diesem neuen Aufbau beträgt eine typische Temperaturdrift inder Schwebungsfrequenz 10mHz/s. Das ist eine Verbesserung hinsichtlich der altenVakuumkammer um einen Faktor 100.

6.1.2. Ultra-Hoch-Vakuum

Die neue Vakuumkammer ist so geplant, dass der Resonator im Ultra-Hoch-Vakuum(UHV) bei Drücken bis zu 10−10 mbar gelagert werden kann. Deshalb enthält die neueKammer zusätzlich eine innere Vakuumkammer. In der Äußeren können mit einer Io-nenpumpe Drücke bis 10−6 mbar erzeugt werden. In der inneren Vakuumkammer solldas UHV mit Gettertabletten erreicht werden. Aufgrund ihrer Porosität besitzen sieeine große chemisch aktive Oberfläche an der Restgasatome gebunden werden können.Um chemisch wenig aktive Stoffe wie zum Beispiel Helium zu abzupumpen ist zurUnterstützung eine kleine Ionenpumpe vorgesehen.In der hier beschriebenen ersten Iteration des Experimentes wurde die innere Vakuum-kammer nicht in Betrieb genommen. Es wurden keine Fenster in die innere Kammereingesetzt, wodurch in der ganzen Kammer der selbe Druck herrschen sollte und dieinnere Vakuumkammer nur als weiteres Thermoschild dient. In der gesamten Kammerkonnte nur ein Druck von 8× 10−5 mbar erreicht werden, was auf eine schlechte Dich-tung zwischen oberem und unterem Teil der äußeren Vakuumkammer zurückzuführenist und wegen des zu großen Aufwands noch nicht behoben wurde. Bei diesem relativhohen Druck ist der Einsatz einer Ionenpumpe nicht möglich. Deshalb wird das Vaku-um mit einer Turbopumpe erzeugt, die den Nachteil erhöhter Vibrationen gegenüberder Ionenpumpe hat. Die besonders starke Vibrationen erzeugende Vorpumpe befindetsich aber außerhalb des Drehtisches, was mit einer Vakuum-Drehdurchführung möglichist (siehe Abschnitt 4.2.2).

6.1.3. Lagerung des Resonators

Wie bereits in Kapitel 3 festgestellt worden war, ist für die erreichbare Frequenzsta-bilität die Lagerung der Resonatoren von Bedeutung. Für die neue Vakuumkammerwar vorgesehen, den Resonatorblock auf einer kreisförmigen Schneide einer Titanschei-be zu lagern. Titan wurde als Material aufgrund seiner Steifigkeit und seinen nicht-magnetischen-Eigenschaften gewählt. Die Schneide sorgt dafür, dass ein definierterAuflagekontakt vorliegt. Die Kreisform wurde gewählt um die Symmetrie des Resona-tordesigns zu unterstützen. Um Verformungen der Resonatoren zu minimieren, wurdeder ideale Durchmesser der kreisförmigen Schneide mit einer Finite-Elemente Simula-tion auf 50mm bestimmt [Sch06].Der Resonatorblock auf der Titanscheibe befindet sich in einem vergoldeten Kupfer-topf. Der Kontakt zwischen Titanscheibe und Kupfertopf erfolgt ebenfalls über einekreisförmige Schneide. Hier traten bei dem Aufbau der neuen Vakuumkammer Pro-bleme auf. Die Titanscheibe schien im Kupfertopf zu „kippeln“, weil der Boden des

6.1 Neue Vakuumkammer 63

Abbildung 6.2.: Einkoppeloptik der neuen Vakuumkammer (Foto mit freund-licher Genehmigung von E.Fesseler). Das Licht wird über eine optische Faserdurch eine Vakuumdurchführung in die Vakuumkammer gebracht. Die optischenElemente befinden sich auf einem massivem Aluminiumring, der die Strahlhöhean die Resonatoren anpasst und für mechanische Stabilität sorgt.

Kupfertopfs wahrscheinlich nicht plan genug war. In der Schwebungsfrequenz warenkleine zufällige Sprünge von ca. 10Hz zu beobachten, die damit in Verbindung gebrachtwurden.Deshalb wurde die Titanscheibe durch eine Aluminiumscheibe ersetzt, an der oben undunten zwei Viton O-Ringe mit einem Durchmesser von 48mm in Vertiefungen gelegtwerden können. Diese O-Ringe bieten die Auflagefläche für den Resonator und stel-len den Kontakt zwischen der Scheibe und dem Kupfertopf her. Mit dieser Lagerungkonnten die zufälligen Sprünge in der Schwebungsfrequenz beseitigt werden.

6.1.4. Montage der optischen Komponenten

Die neue Vakuumkammer ist so konzipiert, dass ein Teil der optischen Elemente in-nerhalb der äußeren Vakuumkammer installiert werden kann. Das Licht wird mit eineroptischen Faser durch eine Vakuumdurchführung in die Kammer gebracht. In der Kam-mer befinden sich alle optischen Elemente, die zur Strahlformung und zum koppeln in


den Resonator dienen. Dadurch wird für diese besonders sensitiven Elemente eine ver-besserte thermische Stabilität erreicht, was zur Unterdrückung systematischer Effektführen sollte (siehe Abschnitt 4.3). Desweiteren sollten diese Komponenten, die zumTeil speziell für diesen Aufbau entworfen wurden, aufgrund ihres neuen kompaktenDesigns (siehe Abbildung 6.2) ebenfalls eine bessere mechanische Stabilität vorweisen.Die Photodetektoren für die Detektion in Reflexion befinden sich gleichfalls innerhalbder Kammer und sind so von thermischen Effekten und elektromagnetischen Störungenabgeschirmt.

6.2. Weitere Verbesserungen

Um systematische Effekte weiter zu unterdrücken, wurde versucht alle optischen Ele-mente thermisch zu isolieren. Bei der Einkoppeloptik ist dies durch die Installationinnerhalb der Vakuumkammer realisiert. Die restliche Optik auf dem Drehtisch wurdemit Folie abgeschirmt.Ein Ausgang der Klimaanlage an der Seite des Drehtisches wurde verdeckt um einendirekten Luftstrom auf den Drehtisch zu verhindern und Temperaturgradienten imLabor zu verringern.

6.3. Ergebnisse

6.3.1. Frequenzstabilität

Die Frequenzstabilität konnte mit dem neuen Aufbau weiter verbessert werden. Insbe-sondere ist der Anstieg der relativen Abweichung nach einem „flicker-floor“ bei

σ

ν0= 1.3 × 10−15 (6.1)

erst ab ca. 100 s Integrationszeit zu beobachten. Das Random-Walk-Rauschen, dasdiesen Anstieg zeigt, konnte aufgrund der verbesserten Temperaturstabilität weiterunterdrückt werden. Die verbesserte Temperaturstabilität zeigt sich auch in einer sehrschwach ausgeprägten Drift des Schwebungssignals von weniger als 10mHz/s. Der Be-reich des Flicker-Rauschens mit seinem typischen waagerechten Verlauf („flicker-floor“)erstreckt sich nun von ca. 1 s Integrationszeit bis ca. 100 s. Auf der Zeitskala des Ex-periments mit einer Rotationsperiode von 45 s ist also das begrenzende Rauschen dasFlicker-Rauschen.

6.3.2. Systematische Effekte

Mit dem neuen Aufbau konnten systematische Effekte weiter reduziert werden, wie ander Fouriertransformierten einer Messung über vier Tage in Abbildung 6.4 zu sehen ist.Ein Vergleich mit der Fouriertransformierten einer Messung, die mit dem alten Aufbaudurchgeführt worden ist (siehe Abbildung 4.6), zeigt, dass die Peaks bei einfacher und

6.3 Ergebnisse 65

1 10 100

10-15

10-14

LimitThermisches Rauschen

s/n

0


Alter AufbauNeuer Aufbau

Abbildung 6.3.: Mit dem neuen Aufbau erreichte Frequenzstabilität. Zum Ver-gleich ist die mit dem alten Aufbau ebenfalls bei Stabilisierung auf die FusedSilica-Resonatoren erreichte Frequenzstabilität eingezeichnet. Der flicker-floor derneuen Messung liegt im Vergleich um fast einen Faktor 2 niedriger und ist bis zulängeren Integrationszeiten fortgesetzt.

Abbildung 6.4.: Fouriertransformierte einer Messung über vier Tage mit demneuen Aufbau.


2644 2648 2652 2656-0.5

0.0

0.5

Cn 0

[Hz]


2644 2648 2652 2656-0.5

0.0

0.5

Bn 0

[Hz]


Abbildung 6.5.: Verteilung der B- und C-Amplituden einer Messung über 18Tage. Es ist deutlich ein systematischer Effekt zu erkennen, der nicht konstantist, sondern mit der Zeit variiert. Die Messung besteht aus vier Einzelmessungendie durch die unterschiedliche Farbgebung hervorgehoben sind.

zweifacher Tischdrehfrequenz ωrot um fast einen Faktor 2 kleiner sind. Die erzieltenVerbesserungen wurden wahrscheinlich hauptsächlich durch die verbesserte thermischeStabilität des Aufbaus erreicht. Wie in Abschnitt 4.3 beschrieben können Temperatur-effekte eine Modulation des Fehlersignals mit der Tischdrehfrequenz bewirken. Füreine weitere Optimierung des Experiments ist es nötig systematische Effekte, die mitder zweifachen Tischdrehfrequenz 2ωrot moduliert sind weiter zu unterdrücken.

6.3.3. Auswertung bezüglich der Tischmodulation

Mit der in Abbildung 6.3 gezeigten Frequenzstabilität und den in Abbildung 6.4 zu se-henden verbleibenden systematischen Effekten wurden Messungen über 18 Tage durch-geführt und ausgewertet. Die Gesamtmessung, die am 26. März 2007 startete, setzt sichaus vier Einzelmessungen zusammen, die sich über drei bis sieben Tagen erstrecken.Die Daten wurden in Abschnitten von 10 Tischumdrehungen zerlegt und mit Glei-chung (5.1) gefittet. Die Verteilung der sich daraus ergebenden B- und C-Amplitudenist in Abbildung 6.5 zu sehen. Für eine isotrope Lichtgeschwindigkeit wird eine Vertei-lung um Null erwartet, wobei die Streuung ein Maß dafür ist, mit welcher Genauigkeitdie Anisotropie ausgeschlossen werden kann. Eine Verteilung, die von Null abweicht,deutet auf einen systematischen Effekt hin. Dieser Effekt ist hier nicht konstant son-dern ändert sich im Lauf der Zeit. Da die Änderungen nicht wie bei der Messung mitder alten Vakuumkammer mit 12 h bzw 24 h moduliert sind, sollte sich der systema-tische Effekt bei der Messung über 18 Tage teilweise herausmitteln. Die Herkunft dessystematischen Effekts wird in Abschnitt 6.4 untersucht.

6.3 Ergebnisse 67

Parameter Neu [HSK+05]κXX

e− − κY Ye− -0.2 ± 1.7 5.4 ± 4.8

κZZe− 12.5 ± 4.0 -19.4 ± 51.8

κXYe− 0.4 ± 0.5 -3.1 ± 2.5

κXZe− 2.9 ± 1.7 5.7 ± 4.9

κY Ze− 2.0 ± 1.3 -1.5 ± 4.4

κXYo+ -2.9 ± 1.6 -2.5 ± 5.1

κXZo+ -0.6 ± 0.6 -3.6 ± 2.7

κY Zo+ -0.3 ± 0.6 2.9 ± 2.8

Tabelle 6.1.: Liste der neu bestimmten κ-Parameter. Zum Vergleich sind zu-sätzlich die in [HSK+05] angegebenen Parameter aufgelistet. Alle κe− Werte sindmit 10−16 zu multiplizieren, alle κo+ Werte mit 10−12.

6.3.4. Auswertung bezüglich der Tagesmodulation

Die weitere Auswertung wurde von A. Senger mit dem für das Vorgängerexperimentimplementierte Mathematica Programm durchgeführt. Für die Verteilungen der B-und C-Amplituden wurde für jede der 4 Einzelmessungen, entsprechend der in Ab-schnitt 5.3 beschriebenen Prozedur, Bk und Ck bestimmt. Dadurch wurden jeweils 4Werte für die Bk- und Ck-Amplituden ermittelt. Die entsprechenden Verteilungen sindin Abbildung 6.6 zu sehen.

6.3.5. κ-Parameter

Mit dem in Abschnitt 5.4 beschriebenen Fit können aus den Verteilungen der Bk- undCk-Amplituden die κ-Parameter berechnet werden. Wie bereits erwähnt sind diese auf-grund der zu kurzem Meßdauer stark korreliert. Grenzwerte auf einzelne Parameterauf der Grundlage dieser Daten können daher vorerst nur unter der Annahme angege-ben werden, dass entweder die κe−-Parameter oder die κo+-Parameter Null sind. Dieso ermittelten Werte sind in Tabelle 6.1 aufgelistet. Zum Vergleich sind ebenfalls diein [HSK+05] bestimmten Werte angegeben.

Bis auf den κZZe− -Parameter sind alle Parameter innerhalb einer 2σ-Abweichung mit

Null konsistent. Der κZZe− -Parameter nimmt in der Auswertung eine Sonderrolle ein, da

er nur in dem C0-Term auftaucht. Der C0-Term gibt den Offset der gefitteten Modula-tion an die C-Amplituden an. Der κZZ

e− -Parameter ist deswegen besonders sensitiv aufsystematische Fehler. Die starke Abweichung von Null deutet also in diesem Fall aufeinen mit der zweifachen Tischdrehfrequenz modulierten Effekt hin. Dies war zu er-warten, da dieser Effekt schon in der Fouriertransformierten in Abbildung 6.4 zu sehenist. Die anderen κ-Parameter sind um ca. einen Faktor 4 genauer zu Null bestimmtworden als in [HSK+05] und stellen damit unter der Annahme, dass sich κe−-Parameterund κo+-Parameter nicht gegenseitig aufheben, die bisher genausten Grenzwerte für


2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Cc2 : H 0. ± 0.4 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Bc2 : H 0.2 ± 0.2 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Cs2 : H 0. ± 0.5 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Bs2 : H -0.3 ± 0.2 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Cc1 : H 0.7 ± 0.4 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Bc1 : H -0.2 ± 0.2 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Cs1 : H -1.3 ± 0.6 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

Bs1 : H 0.4 ± 0.8 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

C0 : H 1.7 ± 0.6 L´ 10-16

2644 2646 2648 2650 2652 2654 2656Tage seit dem 1.1.2000

-4

-2

0

2

4

B0 : H -1.6 ± 0.5 L´ 10-16

Abbildung 6.6.: Verteilung der Bk- und Ck-Amplituden. Die y-Achsen sind mit10−16 zu multiplizieren.

6.4 Zusammenfassung und Ausblick 69

eine mögliche Verletzung der Lorentzinvarianz dar. Letztere Einschränkung kann erstdurch eine Langzeitmessung von einem Jahr aufgehoben werden.

6.3.6. PMM-Parameter

Der Parameter des Robertson-Mansouri-Sexl Formalismus wurde ausgehend von denBk- und Ck-Verteilungen, die in Abbildung 6.6 zu sehen sind, zu

PMM = (3.1 ± 5.9) × 10−11 (6.2)

bestimmt. Damit läßt sich über Gleichung (2.22) direkt eine Grenze für ∆c/c angeben:

∆c

c= (4.8 ± 9.0) × 10−17, (6.3)

wobei v = 370 km/s verwendet wurde.Der PMM-Parameter wurde damit in diesem Experiment mit einer dreifach höherenGenauigkeit zu Null bestimmt als in dem Vorgängerexperiment [HSK+05]. Dadurchkann eine mögliche Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit mit einer um einen Faktor 3höheren Genauigkeit ausgeschlossen werden.

6.4. Zusammenfassung und Ausblick

Die im vorherigen Kapitel bestimmten Grenzwerte stellen die bisher genausten Gren-zen für eine mögliche Verletzung der Lorentzinvarianz dar (vergleiche Tabelle 2.1 und2.2), obwohl nur 18 Tage gemessen wurde und nicht wie in [STW+06] über ein ganzesJahr. Die Genauigkeit ließe sich durch längeres Messen wahrscheinlich noch steigern,da sich der systematische Fehler weiter herausmitteln würde. Bei einer Gleichverteilungder Amplituden würde eine Messung über ein Jahr eine um einen Faktor 6.5 besse-re Genauigkeit liefern, da diese Verteilung wegen des sich ändernden systematischenEffekts aber nicht vorliegt, lässt sich keine exakte Aussage über die erreichbare Genau-igkeit treffen. Deshalb wurde zuerst versucht den begrenzenden systematischen Effektzu identifizieren und zu beseitigen. Danach sollen Messungen über mehr als ein Jahrdurchgeführt werden, um die κ-Parameter auch unabhängig voneinander bestimmenzu können.

6.4.1. Systematischer Effekt

Es ist ein Effekt zu identifizieren, der im Schwebungssignal eine Modulation mitder Tischdrehfrequenz bewirkt und diese Modulation über eine Zeitskala von Stun-den in der Amplitude variiert. Eine sich periodisch ändernde Amplitude des PDH-Fehlersignals könnte so einen Effekt darstellen. Abbildung 6.7 zeigt die Auswirkungeneiner sich ändernden Amplitude des Fehlersignals. Liegt das Fehlersignal symmetrischum Null zeigt eine Änderung der Amplitude keine Auswirkung auf die Frequenz, aufdie stabilisiert wird (siehe 6.7 (a)). Liegt allerdings ein Offset auf dem Fehlersignal


O

n1

n2

0

A

A'

b

nn

n0

0

a

Abbildung 6.7.: Auswirkungen einer sich ändernden Amplitude auf den Lock-punkt. In Abwesenheit eines Offsets (a) zeigt die Änderung der Amplitude keineAuswirkungen. In Anwesenheit eines Offsets (b) führt sie zu einer Verschiebungdes Lockpunktes (Abbildungen übernommen aus [Her06]).

kann die Änderung der Amplitude eine Verschiebung des Lockpunktes bewirken undso die Frequenz, auf die stabilisiert wird, ändern (siehe 6.7 (b)). Die Größe des Offsetsbestimmt dabei wie weit der Lockpunkt verschoben wird. Eine sich mit der Tischdreh-frequenz periodisch ändernde Amplitude des Fehlersignals würde das Schwebungssignalmodulieren. Ein sich ändernder Offset des Fehlersignals würde die Amplitude dieserModulation verändern.Um diese Theorie zu überprüfen wurde eine Teil des vom Photodetektor kommendenSignals von Laser L1 abgespalten und nicht mit der Modulationsfrequenz νm demo-duliert, wie es zur Erzeugung des Fehlersignals geschieht, sondern mit 2νm. DiesesSignal zeigt bei der Resonanzfrequenz des Resonators, also dort wo das Fehlersignaleinen Nulldurchgang hat, ein Maximum. Das 2νm-Signal wurde während einer normaldurchgeführten Messung zusätzlich mitgeschrieben. Abbildung 6.8 zeigt über einenAusschnitt von 500 s das Schwebungssignal und das 2νm-Signal. Die Modulationen imSchwebungssignal sind im 2νm-Signal stark korreliert wieder zu finden. Die Vermutung,dass eine Modulation in der Amplitude des Fehlersignals vorliegt scheint bestätigt.

6.4.2. Modifiziertes Pound-Drever-Hall Verfahren

Um den störenden Effekt dieser Amplitudenmodulation zu unterdrücken, wurde dasPound-Drever-Hall Verfahren modifiziert. Statt einer Demodulation des Signals derPhotodiode mit der Modulationsfrequenz νm wird das Signal mit 3νm demoduliert undder Modulationsindex auf 3.83 gesetzt (die Seitenbänder erster Ordnung verschwindengerade bei diesem Modulationsindex). Dieses in [Mül04] untersuchte modifizierte Ver-fahren soll die Empfindlichkeit gegenüber Amplitudenschwankungen reduzieren.Tatsächlich sehen die ersten Ergebnisse, die mit diesem modifizierten Verfahren ge-wonnen wurden, vielversprechend aus. Abbildung 6.9 zeigt eine Fouriertransformierteeiner Messung mit dem modifizierten Verfahren über drei Tage. Der Peak bei der ent-scheidenden zweifachen Tischdrehfrequenz 2ωrot ist völlig im Rauschen verschwunden


106020 106110 106200 106290 106380 106470-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

2f-Fehlersignal

Am

plitud

e[m

V]

Zeit [s]

-6

-4

-2

0

2

4

6

Schwebungssignal

Fre

quen

z[H

z]

Abbildung 6.8.: Korrelationen zwischen Schwebungssignal und 2νm-Signal.

Abbildung 6.9.: Fouriertransformierte einer Messung mit modifizierten PDH-Verfahren. Der relevante Peak bei 2ωrot ist nicht mehr zu sehen.


2670 2671 2672 2673-0.5

0.0

0.5

Bn 0

[Hz]


50 100

n

Abbildung 6.10.: Verteilung der B-Amplituden bei Stabilisierung der Lasermit dem modifizierten PDH-Verfahren.

und der Effekt bei einfacher Tischdrehfrequenz ωrot ist weiter reduziert. Der Peak bei4ωrot ist aus bis jetzt noch nicht geklärten Gründen größer als bisher. Das sollte dieMessung aber nicht weiter beeinträchtigen.

6.4.3. Abschätzung der erreichbaren Genauigkeit

Mit den Daten, die mit dem modifizierten Lock-Verfahren aufgenommen wurden,wurde der erste Schritt der Auswertung durchgeführt, also die Sinus- und Cosinus-Amplituden bei doppelter Tischdrehfrequenz bestimmt (weitere Auswertungen, ins-besondere eine Bestimmung der κ-Parameter sind in Anhang B zu finden). Gefittetwurde dabei wieder mit Gleichung (5.1) über Ausschnitte von zehn Tischumdrehun-gen. Die Ergebnisse dieser Analyse sind in Abbildung 6.11 zu sehen. Der sich änderndesystematische Effekt scheint unterdrückt. Die Werte der B Amplituden scheinen eineNormalverteilung um Null aufzuweisen mit einem Standardfehler von 2.5mHz. Ausdem Standardfehler der Verteilung kann eine erste Abschätzung für die erreichbareGenauigkeit gegeben werden:

∆ν/ν0 =0.0025

2.82 × 10−14= 8.9 × 10−18. (6.4)

Da diese Genauigkeit bereits in einer Messung über drei Tage erreicht wurde, sollteeine Messung über ein Jahr die Bestimmung von Grenzwerten im niedrigen 10−18 Be-reich ermöglichen. Zusätzlich ist die Messung über ein Jahr nötig um die Korrelationzwischen den κ Parameter zu lösen und sie unabhängig von einander bestimmen zukönnen. Die nächsten Schritte werden also sein, dass Experiment bezüglich des 3νm-Lock zu optimieren und dann Messungen über ein Jahr vorzunehmen. Damit sollteeine mögliche Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit auf Werte im Bereich 10−18 einge-schränkt werden können.


10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

Dcc

Mic

hel

son &

Morl

ey 1

887

Morl

ey &

Mil

ler

1904

Tom

asch

ek 1

924

Ken

ned

y 1

926

Illi

ngw

ort

h 1

927

Joos

1930

Ced

arholm

et

al. 1958

Jase

ja e

t al

. 1964

Bri

llet

& H

all

1979

Müll

er e

t al

. 2003

Wolf

et

al. 2003

Her

rman

n e

t al

2005

Anto

nin

i et

al

2005

Sta

nw

ix e

t al

2005

1900 1920 1940 1960 1980 2000

10-18

?!

Diese Arbeit2007

Abbildung 6.11.: Historie und Ausblick. Der Graph zeigt bisher ermittelteGrenzwerte für eine mögliche Anisotropie der Lichtgeschwindigkeit ausgedrücktin ∆c/c. Der in dieser Arbeit neu bestimmte Wert und die abgeschätzte erreich-bare Genauigkeit sind zusätzlich eingezeichnet.

Anhang A.

Charakterisierung der

Frequenzstabilität

Für die Charakterisierung der Frequenzstabilität in der Zeitdomäne werden hier dieAllan-Abweichung (Root-Allan-Varianz) und die Hadamard-Abweichung beschrieben.Die wahre Varianz eines Wertes

〈y2〉 =1

τ 2〈[∫ tk

tk−τ

y(t)dt]2〉 (A.1)

kann in einer tatsächlichen Messung nicht ermittelt werden, weil zum Beispiel eineunendliche Messzeit vorausgesetzt wird. Deswegen wird eine 2-Proben-Varianz, diesogenannte Allan-Varianz eingeführt

σ2A(τ) =

1

2〈(yk+1 − yk)

2〉. (A.2)

Die Klammer 〈〉 bedeutet hier die Mittelung über einen beliebigen Zeitraum:

σ2A(τ) =

1

2(M − 1)

M−1∑

i=1

(yi+1 − yi)2 (A.3)

Genauso kann die Hadamard-Varianz als 3-Proben-Varianz eingeführt werden

σ2H =

1

6(M − 2)

M−2∑

k=1

(yk+2 − 2yk+1 + yk). (A.4)

Der Vorteil der Hadamard Varianz ist, das sie unempfindlich gegenüber linearen Driftsist.

Im Frequenzraum kann die spektral Rauschdichte mit dem Power-Law Modell be-schrieben werden

S2y(f) =

α=+2∑

α=−2

hαfα. (A.5)

Die einzelnen Koeffizienten beschreiben hierbei verschiedene Rauscharten.

74

75

α Rauschart−2 Random-Walk-Frequenzrauschen−1 Flicker-Frequenzrauschen

0 Weißes Frequenzrauschen1 Flicker Phasenrauschen2 Weißes Phasenrauschen

Tabelle A.1.: Rauscharten im Power-Law Modell. α gibt die Potenz der Fre-quenz an.

Eine Verknüpfung der Allan-Varianz mit dem Power-Law-Modell ist über

σ2A =

∫ ∞

0

S2y(f)

2 sin4(πτf)

(πτf)2df. (A.6)

gegeben. Damit ergeben sich die in Tabelle A.2 zu sehenden Abhängigkeiten.

Rauschart S2y(f) σ2

A(τ)

Weißes Frequenzrauschen h0h0

21τ

Flicker-Frequenzrauschen h−1f−1 2ln2h−1

Random-Walk-Frequenzrauschen h−2f−2 2π2

3h−2τ

Tabelle A.2.: Verhalten der verschiedenen Rauscharten in der spektralenRauschdichte und der Allan-Varianz.

Die einzelnen Rauscharten zeigen in der Allan Varianz ein typisches Verhalten. Nor-malerweise wird die relative Allan Abweichung σ/ν0 doppellogarithmisch über die In-tegrationszeit aufgetragen. Weißes Rauschen fällt dann linear mit einer Steigung von−1/2 ab, Flickerrauschen verläuft konstant und Random-Walk-Rauschen steigt linearmit einer Steigung von 1/2 an. Die relative Hadamard-Abweichung zeigt das gleicheVerhalten.

76 Charakterisierung der Frequenzstabilität

All

an-V

aria

nz

Integrationszeit t

WeißesRauschen

Flicker Rauschen ~

Random WalkRauschen ~ t

1

t0

~ t-1

Abbildung A.1.: Darstellung von verschiedenen Rauscharten in der Allan-Varianz.

Anhang B.

Neuste Ergebnisse

Wenige Tage vor Fertigstellung dieser Arbeit wurde von A. Senger eine Auswertungder neusten Messungen vorgenommen. Diese Ergebnisse konnten aus Zeitgründen nichtmehr in den Hauptteil dieser Arbeit integriert werden, sollen aber aufgrund der wei-teren starken Verbesserung dennoch an dieser Stelle präsentiert werden.Es wurden über einen Zeitraum von 16 Tagen vier Einzelmessungen genommen, dieinsgesamt Daten über zehn ganze Tage umfassen. Für jede dieser Messungen wur-den die B- und C-Amplituden der Modulation bezüglich der Tischdrehung ermitteltDie entsprechenden Verteilungen sind in Abbildung B.1 dargestellt. Die Amplitudenstreuen um ca. 0.2Hz und der systematische Effekt, der in Abbildung 6.5 deutlich zusehen ist, ist nicht mehr zu identifizieren. An diese Verteilungen wurde über jeweilseinen Tag die siderische Modulation entsprechend Gleichung (5.2) und (5.3) gefittet.Die daraus resultierenden zehn Werte für jede Bk- und Ck-Amplitude und die jewei-ligen Mittelwerte sind in Abbildung B.2 zu sehen. Aus den Verteilungen der Bk- undCk-Amplituden wurden über Gleichung 5.4 Werte für die κ-Parameter bestimmt, diein Tabelle B.1 aufgelistet sind. Zum Vergleich sind zusätzlich die mit dem Experi-ment ohne das modifizierte Pound-Drever-Hall Verfahren ermittelten κ-Werte und dieWerte des Vorgängerexperimentes [HSK+05] aufgelistet. Die Modifikation erlaubt eineum einen Faktor 2 bis 6 genauere Bestimmung der κ-Parameter zu Null. Insbesonderekann nun auch der κZZ

e− -Parameter, der anfällig für systematische Fehler ist, zu Null be-stimmt werden. Im Vergleich zum Vorgängerexperiment, in dem Messungen über vier

0.2

-0.2

0.1

0

-0.1

2670 2672.5 2677.5 2682.52675 2680 2685

Zeit [Tage seit dem 1.1.2000]

B[H

z]n

0

0.2

-0.2

0.1

0

-0.1

2670 2672.5 2677.5 2682.52675 2680 2685

Zeit [Tage seit dem 1.1.2000]

C[H

z]n

0

Abbildung B.1.: Verteilung der B- und C-Amplituden aus den neusten Mes-sungen.

77

78 Neuste Ergebnisse

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Cc2 : H 0.1 ± 1.3 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Bc2 : H 0.5 ± 0.9 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Cs2 : H 0.6 ± 1. L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Bs2 : H -0.6 ± 0.8 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Cc1 : H 2.1 ± 0.7 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Bc1 : H -0.6 ± 1.1 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Cs1 : H -1.3 ± 0.8 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

Bs1 : H 0.9 ± 1.2 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

C0 : H -0.8 ± 0.9 L´ 10-17

2672267426762678268026822684Tage seit dem 1.1.2000

-5

0

5

10

B0 : H 6.6 ± 0.7 L´ 10-17

Abbildung B.2.: Verteilung der Bk- und Ck-Amplituden aus den neusten Mes-sungen. Die y-Achsen sind mit 10−17 zu multiplizieren.

79

Parameter Neu Aus Kap.6 [HSK+05]κXX

e− − κY Ye− 1.8 ± 3.3 −2 ± 17 54 ± 48

κZZe− −5.7 ± 5.9 125 ± 40 −194 ± 518

κXYe− 1.3 ± 1.9 4 ± 5 −31 ± 25

κXZe− −1.4 ± 3.0 29 ± 17 57 ± 49

κY Ze− 3.2 ± 2.1 20 ± 13 −15 ± 44

κXYo+ −5.9 ± 5.3 −29 ± 16 −25 ± 51

κXZo+ −2.0 ± 3.4 −6 ± 6 −36 ± 27

κY Zo+ −1.9 ± 3.7 −3 ± 6 29 ± 28

Tabelle B.1.: κ-Parameter aus der neusten Messung. Alle κe−-Werte sind mit10−17 zu multiplizieren, alle κo+-Werte mit 10−13.

Monate ausgewertet wurden, konnte bereits nach zehn Tagen Messung eine um eineGrößenordnung bessere Genauigkeit erreicht werden. Es ist also zu erwarten, dass mitdiesem Experiment durch Messungen über ein Jahr Grenzwerte für die κ-Parameterim 10−18 Bereich angegeben werden können.

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Danksagungen

Ich möchte mich an dieser Stelle bei allen bedanken, die mich bei der Durchführungmeiner Diplomarbeit unterstützt und so zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.

An erster Stelle möchte ich Herrn Prof. Achim Peters danken, in dem ich allzeit einenkompetenten Ansprechpartner fand und dessen Interesse und Begeisterung an diesemExperiment mir immer wieder neue Impulse gab.

Besonderer Dank gilt Sven Herrmann für die freundliche und kompetente Betreuungund die gute und angenehme Zusammenarbeit. Trotzdem er sich in der Endphase sei-ner Dissertation befand, war er immer bereit auf Fragen einzugehen und Probleme mitmir zu diskutieren.

Bei Alexander Senger möchte ich mich herzlich dafür bedanken, dass er die Auswer-tung der neusten Messungen übernommen hat und es mir dadurch ermöglichte, dieaktuellen Ergebnisse in diese Arbeit aufzunehmen. Von seiner Vorarbeit an diesemExperiment, insbesondere dem Entwurf der neuen Vakuumkammer, konnte ich sehrprofitieren.

Herrn Dipl. Ingenieur Klaus Palis gilt mein Dank, da er nicht nur bei elektronischenProblemen immer gerne mit Rat und Tat bei Seite stand.

Allen anderen Kollegen am Hausvogteiplatz möchte ich für die immer gern gegebe-ne Unterstützung und die freundliche Atmosphäre danken.

Zum Schluß möchte ich mich noch bei Herrn Ernst Fesseler für die großzügige Be-reitstellung seiner Fotographien für diese Arbeit bedanken.

Selbstständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, die vorliegende Arbeit selbständig ohne fremde Hilfe verfasst undnur die angegebene Literatur und Hilfsmittel verwendet zu haben.

Berlin, den 9. Februar 2006

Katharina Möhle

84

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Ein modernes Michelson-Morley-Experiment mit …...Ein modernes Michelson-Morley-Experiment mit rotierenden optischen Resonatoren Diplomarbeit Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche