Ein Projektions-Iterationsverfahren für Gleichungen der Form Au′ + Lu = f

Nath. X'adir. 73, 249-267 (1976)

Ein Pro j ek tio ns - Iterationsverf ahren f iir Gleiehungen der Form Au' + Lu= f

Ton HERBERT GAJEWSKI und KONRAD GROGER in Berlin

(Eingegangen am 30.12.1974)

Es sei V ein HILBERT-Raum rnit Vc V* und s=[O, T] ein beschranktes (Zeit-)Intervall. Weiter sei: X = L'(S; V ) , L die Dualitatsabbildung von X ;ruf X*=L'(S; V * ) und A eine stark monotone LIPSCHITZ-stetige Abbildung von X * in X * . \Vie in [i] gezeigt wurde, lassen sich wichtige Klassen von Rand-Anfangs- wertproblernen insbesondere der Warmeleitungs- und Diffusionstheorie auf Anfangswertaufgaben fur Gleichungen der Form

A?" + Lu =f zuriickfuhren. I n zwei vorangegangenen Arbeiten [2, 41 haben wir ein Iterations- verfahren untersucht, das zur Losung von Anfangswertaufgaben fur derartige Gleichungen und auch zur Bestirnmung periodischer Losungen geeignet ist . In vorliegender Arbeit zeigen wir, da13 dieses Iterationsverfahren mit dem GALERICIN- Verfahren zu einem Projektions-Iterationsverfahren verknupft werden kann.

Die vorliegende Arbeit versteht sich als Gegenstiick zur Arbeit [ 5 ] , in der analoge Resultate fur Evolutionsgleichungen gewonnen wurden. Sie ist in vier Abschnitte gegliedert. I m ersten Abschnitt stellen wir die spater benotigten Bezeichnungen zusanimen und zitieren einige Hilfssatze. I m zweiten Absclinitt beweisen wir die Aussagen uber das GALERKIN-Verfahren, die fur das erwahnte Projektions-Iterationsverfahren von Bedeutung sind. Der dritte Abschnitt ent- halt die Formulierung des Projektions-Iterationsverfallrens und einige Sltze iiber dessen Konvergenz. Im vierten Abschnitt befassen wir uns unter Voraussetzungen, die in Anwendungen hiiufig gegeben sind, rnit der praktischen Realisierung des Projektions-Iterationsverfahrens. In jedem der Abschnitte 2, 3 und 4 behsndeln wir zuerst Anfangswertprobleme und danach das Problem der Bestimniiing periodischer Losungen.

1. Bezeichnungen, Begriffe, Hilfsniittel

Es sei V ein HILBERT-hum, der in einem weiteren HILBERT-R~u~ H dicht liegt. cberdies sei V in H stetig eingebettet, d. li., es existiere eine lionstante y , so da13 zwischen der Norm [(.I/ in V und der Norm 1 . I in H die folgende Relation

2.50 GajemskiiGroger, Ein Projektions-Iterationsverfehren

besteht. :

(1.1) Il.1 ' y /l:cil Y r E 17 . \Vir identifizieren H mit seinem dualen Raum H * und H* init' einein Teilraum des zu TJ dualen Raunis T I * , Dann gilt V c H c IT*. Das Skalarprodukt zwischen V* und V bezeichnen wir ebenso wie das Skularprodukt in H mit (. , .). Fur das Skalarprodukt bzw. die Korm in V* benutzen wir die Bezeichnungen (. , .)* bzw. / l - l l * .

Mit J bezeichnen wir die durch die Beziehung

(1.2) (-JZ, 1.) = I;xil? = liJ1.ll; V'sE 1'

definierte Dualit'atsabbildung von V auf V*. J ist linear und symmetrisch, unct es gilt

t 1.3) (f, x) = (f, Jx)* Vf€ V*? V:rE T' .

I m Hinblick auf das GALERKIX-Verfahren nehmen wir an, da13 eine Folge (Nn), n,=O> 1, . . . , endlichdiniensionaler linearer Unterraume von J7 mit folgenden EigenschaRen gegeberi ist : -

A l f n ~ M , l + , , n=O, 1, . . . , u Jf,h liegt dicht in TT . n = O

Es erweist sich als zweckniaBig, auf X, versohiedene Topologien einzufuhren. Durch H , bezeichnen wir den HILBERT-Raum, den M,, versehen rnit dem von H induzierten Skalarprodukt (. , .), bildet. il-eiter sei J.'.: der HILBERT-R,aum, den M,, versehen mit deni voii V* induzierten Skalarprodukt (. , .)*, bildet. Den zu V: dua,len Raum V, konnen wir unter Zuhilfenahme des Skalarprodukts (. , .) rnit dem Rauin identifizieren, der aus X , durch Einfuhrung der Norm

(1.4) Ii%= llPnJ~il* entsteht. Dabei bezeichnet P,, den orthogonalen Projektor von V* auf M,. Offenbar gilt. V z E 17,

i\Zll; = / /P ,Jx/ / ; = ( P J X , P,,J.r)* = (P ,Jx , Jz)* = (P,JX, 1.) . Folglich besitzt die Dualitatsabbildung J , von V, auf 1': die Darst.ellung

(1.5) J,x = P,,?Jx Y.1.E V,, .

Wegen (1.4) gilt

(1.6) I I x I / , = I/P,Jx//* 5 llJ~ll* = il.rli V'J. E .

\Vir bezeichnen durch R,, den orthogonalen Projektor von H auf H,. Fur beliebige xc V und Y E T',, gilt

( P,,J;r, 9) = (P,J;c, J Y ) , = (Jx, P,Jy), = (2, P J y ) = (z, R,P,,Jy) = ( R,x, P,Jy) = (JR,z, P,Jy), = (P,JR,x, Jy), = (P,JR$, y) ,

GajewskiiGroger, Ein Projektions-Iterationsverfehren 251

d. h., es ist

11.7) P,Jx = P,JRnx = J,R,x VX E V . Im folgenden sei S = [0, TI stets ein endliches Interval1 der reellen Achse. Fur

einen BANAcH-Raurn 8 bezeichnen wir, wie ublich, rnit Lp(8; E ) den Rauin der auf S definierten zur p-ten Potenz integrablen Funktionen mit Werten ip E und niit C(S; E ) (bzw. CI(S; E ) ) den Raum der au fS definierten stetigen (bzw. st,etig differenzierbaren) Funktionen mit Werten in E. 1st u eine auf S definierte Funk- tion und cc reell, so schreiben wir fur die Funktion t+t"u(t) der Kiirze halber t ' lzi .

Zur Abkurzung setzen wir X=L2(S; V ) und X,=L?(S; VJ. Die dualen Raume X * und X: konnen dann mit L2(S; V*) bzw.D(S ; V,*) ident'ifiziert werden. Das Skalarprodukt in X * und X x bezeichnen wjr durch (. , .)*. Es gilt dann

(u, v)* = J ( t i ( t ) , ~ ( t ) ) * dt V ~ L , VVEX". S

Fur den Wert eines linearen Funktionals EX* (bzw.fEX:) im Punkt uEX (bzw. I L G X , ) schreiben wir (f, u). Es gilt dann

( f , u>= J (fV), 4 4 ) dt .

~ ~ U ~ ~ ; , = J Ilu(t)ll; at 5 J \ l , z h ( t ) l p a t 5 \lull;- .

S

Fur die Norm in X , gilt wegen (1 .6)

S S (1.8)

Dagegen gilt fur die Norm in X z

llfll;; = J llf(t)ll;.* 71 dt = ,Lj J llf(t)lli at = IlfIlS. VfE xx . S

(1.9)

Mit L bezeichnen wir die durch (Lu, U)=IIuII;=IILuII$* V U E X

definierte Dualitatsabbildung von X suf X * . Zwischen L und der durch (1.1) definierten Dualitatsabbildung J des Rsumes F' besteht der folgende Zusammen- hang

Analog bezeichnen wir mit L, die DualitBtsabbildung von X , auf X:, die durch die Beziehung

(Lu) ( t ) =Jzc(t) VtES, VuEX .

<L&' u)= ll?/ll:-n = llL7Lul12;.;= ~\L,lL~l;* V'wEX,

charakterisiert wird. 1st Q, der orthogonale Projektor von X * auf X:, so gilt

und

(1.10) (L,u, V)*=(Q,LU, v)*=(Lu, zi)*=(u,, V ) V u , V W E X , .

Zwischen L, und der durch (1.5) gegebenen Dualitatsabbildung J , des R'aumes V , besteht der Zusammenhang ( 1 . 1 1 ) (L,u) (t)=(&&) (t)=P,Jth(t)=J,~~(t) VtES, VI~EX, .

L,IL = Q,Lu VU, E X n

252 GajenskiiGroger, Ein Projektions-Xterationsverfehren

Fur eine Funktion uEX bezeichnen wir mit ZL' die Ableitung von u im Sinne der Distributionen iiber 10, T [ mit ITerten in V*. Neben den bisher eingefiihrten Rauinen benotigen wir noch die Raume

und

die wir niit folgenden Norinen versehen

bzw.

T B = { u 1 'ELEX, ~'€5")

Jr:,={?l 1 uEX,, .'EX,*} ,

Il?Lll& = 11.11; +llu'\l;. VuE 11' ,

Mit diesen Nornien und den entsprechenden Skalarprodukten sind die Riiume K und lvfl HILBERT-Raume mit folgenden in [6] bewiesenen Eigenschaften.

Lenims 1.1 ([(i], Satz 1.17, Kap. IV). D i e R a u m e It' u n d TV@, n=0, 1, . . . , s ind stetig in d e n Ratim C ( S ; H ) eingebeftet. Genazrer g i l t rnit von n unabhangiger Kons tante yl

(1.12) l l~4c(s;*,~Yri l l ~ l l l f V f i E It', llf4c(.s;H)% IIullw, V'uE w, * Lemma 1.2 ([6], L e m m a 1.5, Ksp. VI). Zzi j e d e m U E TV existiert e ine Folge

(v,) mit

(1.13) vnECl(S; V,), V , , - I L in w .

ein beliebiger HILBERT-Raum.

Beziehung tau'€ L'-(S; E ) genazr d a n n , w e n n d ie durch

I n den folgenden Lemmata, die wir den Arbeiten [3] und [5] entnehmen, sei E

Lemma 1.3 [3]. Ist a eine reelle Zahl, so gilt fur e ine F u n k t i o n v C LZ(S; E ) die

fur T - h - = t s T

de f in ie i ten Funktionen vh, hc 30, TI, der Bedingi tng

Gajewski,’Groger, Ein Projektions-Iteratioiis~erfahren 253

2.1. Arifangswertaufgaheii

\Yir betrachten Aufgaben der Forin

t A) Au’+Lu=f, ?((O)=a, U E IF‘ niit eineni gegebenen Operator A E (X* - X * ) und gegebenen Elenienten

(2 .1) fEX*, a c H . Dabei nehmen wir an, da13 A stark nionoton und LIPSCHITZ-Stetig ist, d. h., da13 folgendes gilt

( 2 . 2 )

fur alle u, V E X * . Ivir befassen uns zunachst mit den1 GALERKIX-Verfahren fur die Aufgabe (A). Dazu sei (a,) eine Folge von Elenienten aus V niit

(2.3) a,cH,, a,-a in H . Keben (A) betrachten wir fur n=O, 1, . . . die GALERKIN-Aufgaben

(Au - Aw, u - w)* ~m j j i~ - vI&.,, m > 0, IjAzi - Awllx. s 111 l j z ~ - v/jx* ,

An~~~+Ln7~n=fn, u n ( O ) = a B , an€ J v n ,

(An) { An=QnAE(X,*+X,*), fn=QnfEX: *

Satz 2.1. Es seien die Voraussetzungen (2.1) - (2.3) erfullt. D a m besitzen die Aufgaben ( A ) und (A , ) , n = O , 1, . . . , eindezitig bestimmte Loszingen 11 bzw. ?in find es gilt:

(2.4) U;-U’ in X*, ( 2 . 5 ) L,u,-Lu in X * , (2.6) Un+U in C(S; H ) .

analogen Bedingungen Beweis. Wegen (1.9) und (1.10) geriugt der Operator A , C ( X z - X , * ) den ( 2 . 2 )

( A n t ~ - A A , ~ , ll-u)*gm I l ~ ~ - ~ l l , ~ ; L , IIA,L~(-A,vIIx;~Jf I I~L-@I\~;

fur alle 7 i , V E X : . Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen von Satz 2.1 folgen daher aus einem in [2] (Beinerkung 6) formulierten Ergebnis.

Sei (v,) eine Folge mit (1.13). Aus ( A ) und (A,) folgt unter Benutzung vori ( l . l O ) , (1.12) und (2.2) mit von n unabhangigen Konstanten cl und c?

O = ( A ~ L ’ - A , ~ c : +Lli -L,U,~, v?: -?t i ) * I , , r , I

= (Av: - Atin, V , - uJ* +(AH‘ - Av,~, V , - ZL,)* , t , , + ( L V , - L.rrn, t:, - u,,)* + (L11 - Lq,, v,L - 7in)*

, I I ,

Z WL \\w, -?in\\$* - X 1\71’ - ~ i / / , y * ilWn - t[ni\4y*

254 Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

Wegen (1.13) und (2.3) ergibt sich daraus (2.4). Die Behauptung (2.5) folgt aus der Abschatzung

llL,% -LUllx* llA,4 - A 4 l x * + llf, -fils* 5 11 -Q7LA?/’1k* + IlQ*A?L’ -Aet’llg* + llfn-flls* s M 11u; - u’(j,p + (\&,A u’ - Au’((x.. + \if, -f((X..-fO .

11% - UIlC(S;M IIU, --%IlC(S,EI) + 11% -UIIc(s:H)

SchlieBlich erhalt man (2.6) aus der folgenden Beziehung

ZYi ~ l l ~ , ~ - ? J , l l ~ ~ ~ + l l ? J , - ~ l l ~ ~ ~ 5 Yl(llu; - 4lx* + IIL,, (u, - %)llx* + 11% - 4 l W )

S Y i (hk-?J~\ \x* +lk’%-LUllx* +llLu-L,%llx* f 1bn-Ullw) 5 ~ 1 ( l I ~ i - - ~ ’ / l p + \ ] 7 ~ ’ - - k I I X * + l l L , U R - L ~ l l ~ *

+ I I ~ ~ - ~ ~ ~ ~ ~ l I , ~ * + I I ~ - ~ ~ l l . r + l l ~ ~ - ~ U l l r ~ ) - t O 3

Damit ist Satz 2.1 bewiesen.

Bernerkung 2.1.Ist S, der orthogonale Projektor von P ( S ; W ) auf U ( S ; H,), so gilt auf Grund von ( 1 . 7 ) L,S,u = &,Lu fur alle u E X und damit

/l~,-S,~II.Y,=ll~n(~,-S,~)ll,*=II~,~,-L~ +Lu-Q,Lull.l-* . Die Behauptung (2.5) ist daher der Beziehung I ~ u , - L S ’ , U ~ \ ~ ~ , ~ + O aquivalent.

Berechnung von ti und u,.

wir an:

Bemerkung 2.2. Der in [ 2 ] bewiesene Satz 4 bietet Moglichkeiten zur iterativen

Wir werden irn folgenden die Aussagen von Satz 2.1 versch&rfen. D a m nehmen

Der Operator A E (X*+X*) besitzt die Darstellung ( A u ) ( t ) = A ( t ) u ( t ) mit A ( t ) E ( V * - V * ) VtES, V u E X * , und es existiert eine Tionstante Q, so dalj gilt ljA(t) X - A ( S ) .Z:JI*50 it-.$I (1 +l\x l \*) v t , V‘sEX, V X E v*. I I

Bemerkung 2.3. Sei b c X * eine beliebige Funktion mit b‘EX*. Die imfolgenden formulierten Ergebnisse dieser Arbeit bleiben. wie eine Durchsicht der entsprechenden Beweise zeigt, gultig, wenn man die letzte Beziehung in (2.7) durch die etwas schwichere Bedingung

IIA(t) X - A ( s ) X j l * s e ( ~ ~ b ( ~ ) - b ( ~ ) ~ ~ * + / t - ,s j llsil*) V t , V’sES, t7IXE v” ersetzt .

Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahreii 255

Satz 2.2. Es seien die Voraussetzungen (2.1) - (2.3) u n d (2.7) erfullt. Zusatzlich sei ff' E X * . Dann gilt f u r d ie Losungen un, n = 0, 1, . . . , und u von (A , ) bzw. ( A ) :

(2.8)

(2.9)

(2.10) I ' F ~ L - J ' ~ u' in D ( S ; H ) .

y t u ; + pd in L"(S; V * ) , -

IjtL,u,+p Lu i n L=-(S; V * ) , -

Dem Beweis von Satz 2.2 stellen wir zwei Lemmata voran.

Lemma 2.1. Unter d e n Vorazcssetzungen (2.2) und (2.7) gilt f u r beliebige z, y~ V* und t cS

(2.11) ( A ( t ) x - A ( t ) y, x - y ) * s m IIz-yIIf, IIA(t) z - A ( t ) ylI*sJf lIx-~Il* . Einen Beweis dieses Lemmas findet man in [6] (Lemma 2.2 und Lenima 3.3,

Kap. VI).

Lemma 2.2. linter den Voraussetzungen von Satz 2.2 gilt

(2.12) c=sup l\tU;llwn-=OO. n

Beweis. Wie aus einem Ergebnis der Arbeit [4] (Satz 2) folgt, gilt unter den gegebenen Voraussetzungen fur n = O , 1 , 2, . . .

I/~~w,EL=-(s; v,), t?L& wn, I ~ F u ; E L ~ ( s ; H , ) ~ L - ( s ; v,*) , u:,(t) +J,un(t) =f&) V ' t € I O , TI 7 (2.13) { An(t )

Daraus erhalt man fur beliebiges hE]O, TI mit von n, t und h unabhangigen Konstanten c1 uiid c2

&(t)=P,A(t)E(V,*- v;,, f,(t)=Pnf(t) .

t Iun (t+h)-u,(qj'=t ( J (LC, ( t + h ) - u n ( f ) ) , u, (t+h)-u,(t))* = t (f ( t + h ) - f ( t ) - A ( t + h) u:, (t +h) + A ( t ) u:,(t), V,(t +h) -u,(t))* st ( I l f ( t+h) -f(t)ll*+he (1 +llu;(t,ll*)

5 C l ( c p + ] j f ( t f h ) -f(t)l\"*h2 IIZl:,(t)llS

+Jf llu:, ( t + h ) -4&WIl*) (Iun @+h) -un(qll*

t2m + 11% ( t + h) - ~ n ( t ) l l i ) + -4- 114 (t + h ) - u:(t)ll; .

Unter Berucksiclitigung dieses Zwischenresultats ergibt sich wiederum aus (2.13) und niit von n, t und h unabhangigen Konstanten c3 und cr,

T - h

o = i' t ? ( A ( t + h ) 24; ( t + h ) - A ( t ) u&)+J (u, (t+h)-u,(t)) U

- f ( t + h ) + f ( t ) , U: ( t+h)-ui( t ) ) dt

256 Gajen.ski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

( T - h ) ? + .a /U,(T) ( T - h ) , ?

>lit Hilfe von Lemnia 1.3 und Satz 2.1 folgt claraas

(2.14) jltttyI\,.scc,=const.

I17eiter gilt mit ebenfalls yon ?b . t und h uiiabhangigen Konstanten c6 und c7 T - h T - L 1 t 2 \ I U , ( t+h)-2 l l l ( t ) l l ;d t= .I t 2 llJll ( 1 7 1 % ( t + h ) - ? l , ( t ) ) \ / i d t

0 I 1

Unter norhmaliger Benutzung von Lemma 1.3 ergibt sich daraus / ~ t ~ , ~ ~ ~ ~ ~ , S const. und wegen (2.14) schlieljlicli die Behauptung (2.12). Damit ist Lemma 3.2 bewiesen.

Bewe i s von S a t z 2.2. Zuniichst bemerken wir, dalj auf Grund von [4], Satz 2 , gilt

-

(2.15) l:t ~ ~ E L - ( s ; v), t l c y 11': \ ' t - l c y ~ ' ( ~ ; H ) ~ L - ( s ; IT*)

und

(2.16) A ( t ) ~ ' ( t ) + J u ( t ) =f(t) VtE]O, T] .

Die Behauptungen (2.8) bzw. (2.9) ergeben sicli auf Grund von Lemma 1.4 aus (2.12) und (3.4) bzw. ( 2 . 5 ) .

Wir wenden un8 dem Beweis der Behauptung (3.10) zu. Sei dazu (w,) eine Folge mit (vgl. Lemma 1.2)

(2.17) U ~ ~ ~ E C ~ ( A S ; V,), w,,-+tu' in W .

Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren 257

Damit finden wir unter Benutzung von (2.13) und (2.16)

J s ~u:(s) - U ’ ( S ) ~ ? ds= J ( (u:(s) -u’(s), sui(s) -wn(s)) S S

+ (ui(s) --u’(s), wn(s) -su’(s))) as

- J ((un(s) -u(s) , ( 4 ( S ) ) ’ - W J S ) ) -(u& -.’(s), wn(s) -su’(s))) ds

=(.,(T)-u(T), T ~ ~ ~ ( T ) - W , ( T ) ) + ( a , - a , W,(O))

5 11% - Ullc(s;a, 1lt.l -w,Ilccs:ar, + (an --a, W,(O))

S

+ J ( A ( s ) .i(s) - A ( s ) ~ ’ ( 9 ) ~ (sui(s))’ - w ~ ( s ) ) * ds S

+ 11.1: - 4IX*JIW?‘ - W I X 11% - UIJqs;a, Ill& - w,llc(s;a, + lan-al IW,(O)l + M II~~1:--U’lIX*ll(~.~)’-w;IIX*

fIIU~-U’llx*IIWn --u’llx ‘

Wegen (2.6), (2.12), (2.17), (2.3) und (2.4) folgt daraus (2.10). Damit ist Satz 2.2 bewiesen.

Satz 2.3. Es seien die Voraussefzzcngen ( 2 . 2 ) , (2.3) und (2.7) erfullf. Ferner sei

(2.18) fEX*, fEX*, a € V

und

(2.19)

(2.20) u;-u’ in C(S; V * ) ,

A ( O ) - i (f(0) - J a ) E H , sup p l n ( O ) - 1 (f,(O) - @,)I < u=, . n

D a m gilt f u r die Losungen u,, n=O, 1, . . . , und u von (An) bzw. ( A ) :

(2.21) L,u,,-Lzc in C(S; V * ) , (2.22) u;-u’ in L’(S; H ) .

Beinerkung 2.4. Wahlt inan speziell

(2.23)

so folgt die zweite Beziehung in (2.19) aus der ersten. Gilt insbesondere (A(O) ) -J ( f ( O ) - J a ) ~ M , , so vereinfacht sich (2.23) zu a,,= R,,a, d. h., in diesern Fall ist (2.19) erfullt, sofern man a,= R,a, n=O, 1, . . . , wahlt.

Dem Beweis von Satz 2.3 stellen wir ein Lemma voran.

Lemma 2.3. UnfPr d e n Voraussetzungen von Satz 2.3 gilt f u r die Folge (11 , ) der

a,=J;’ ( f , (o ) -A , (O) R,(A(O))-i ( f ( 0 ) - J a ) ) , n=O, 1, . . . ,

Losungen V O ~ L ( A , )

(2.24) sup \lu;\\,trn<u=,. n

Beweis. Wie aus einem Ergebnis der Arbeit [4] (Sstz 3) folgt, gilt unter den Bedingungen unseres Lemmas u,EC(S; V,), u:E IVn und

(2.25) A,(t) u i ( t ) +Jnun(t)=f,(t) tES . 17 Math. Nachr. Bd. 73

258 Gejewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

Daraus folgt fiir beliebiges hc]O, TI init von VL, t und h unabhangigen Konstanteii c , und c2

T - h

o = /- (a ( t f h ) ?c; ( t + h ) - A ( t ) z c i ( t ) + J (a9& ( f + h ) - u , ( t ) ) - f ( t + h )

\ (m ll?4 ( t + h) - 4t)I l ; - (hP (1 + ll4Qll*) + Ilf (t +h) -mil*)

0

+f(f), 21; ( t+h) -?eA(t))* dt T - h

I1

T - h ?n J ( y Ill4 (1 + h) - 7(&ll: - ci (h2 (c2 + Ilz4t)ll;) + \ I f (t + h ) -f(t)Il:)) dl

o

- _ i?,l,,(h) -~, j ' . 2

Unter Benutzurig der Beziehungen zr,:(O)= (An(0) ) - l (f,(O) -J,a) und (2.19) ergibt sich dsher init Hilfe von Lemma 1.3 und Sa'tz 2.1

,, \luT2 \IaP. s c3 = const.

Andererseits gilt, init ebenfalls von n , t und h unabhangigen Konstant'eii c4 uncl c5

T - 11

5 J (iif(t+h)-f(t)ll*+ilA ( t f h ) u; ( t + h ) - A ( t ) %;(t)ll*)?df I)

T ; h

5 ~ s / (l lf(t+h)-f(t) l l i+h' (c;+i luR(/) l l f ) + / I f ( ( ~ + h ) - ~ ~ ~ ( ~ ) / I ~ ) dt . li

Unter nochnialiger Benutzung von Lemma 1.3 folgt darsus

~ ~ U ~ ~ ~ . ~ , , ~ C ~ = const

und soinit insgesanit die Beziehung (2.24). Daniit ist' Lemma 2.3 bewiesen.

Beweis \ -on S a t z 2.3. Zuniichst bemerken wir, daB auf Grund von [4], Satz 3, gilt

(2 .26 ) U C C ( S ; T,'), I / ' € 11- .

Deswegen ergeben sich die Behau1)tungen (2.20) bzw. (2.21) auf Grund von Lemma 1.5 aus (3.24) und (2.4) bzw. ( 2 . 5 ) .

der orthogonale Projektor von X auf X,. Dann gi I t

(2.24) I7 , ,?~ ' -71 ' in S

Zuni Beweis von (2.22) sei


und dainit

(2 .28) lI,hz~’-ru‘ in X * und in L2(S; H ) . Weiter gilt,

I Iu,L - Dnu‘ I /x* I Iui - fln?h’IIx,& 5 I Iui - nnu’ I Ix* ( I I 2 4 Ix, + I Iu’ 11x1 . Wegen (2.4), (2.24), (2.27) und (2.28) folgt daraus (2 .22) . Damit ist Satz 2.3 bewiesen.

2.2. Periodische Lbsungen

Wir befassen uns nun mit dem GALERKIN-Verfahren fur Aufgaben der Form

( P ) A u ’ + L u = f , u(O)=u(T), uE w .

(PrJ A,ui+L,?(,=f,, un(O)=un(T), thn€ tvfi 7

Neben ( P ) betrachten wir fur n=0, 1, . . . die GALERKIN-Aufgaben

An=&,AE(lY,*-X’,*), f,=s,fEX:. Satz 2.4. Der Operator A € @ * - X ” ) gentige der yoraussetzung (2.2), u n d es sei

f E X * . Dann besitzen die Au fgaben ( P ) ulwE (P,), n=Q, 1, . . . , eindeutig bestimmte Losungen u bzw. u, urul es gilt

(2 .29) ui-u’ in X * , (2 .30) L,u,+Lu in X * , (2.31) U,+U irL C(X; H ) .

Satz 1.4, Kap. VI.

Aus (P,) folgt zunachst

d. 11.

Beweis. Die Existenz- und Einzigkeitsaussagen von Satz 2.4 folgen aus [6],

Fur den Beweis von (2 .29) benotigen wir die Beschriinktheit der Folge ( 7 1 , ) .

O=(Au:,$Lu,-f, .A)* z m ~ ~ v ~ ~ ~ ~ - - ~ ~ A Q - & . * ]17&.* .

260 Gajeweki/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfaliren

Zum Beweis von (2.29) sei wieder (vgl. Lemma 1.2) (v,) eine Folge mit v n ~ C 1 ( S ; V,) und vn+u in If'. Aus ( P ) und (P,) folgt mit von n unabhangigen Konstanten ci =-0 und c2

0 = (Au' - A,u~ + LU - L,u,, V: - u:)* , , I , ,

= (Av: - Au,, V, - u,)* + (Au' - Av,, V , - ZL:)*

+ ( L V , - Lu,, v:, - u:,)* + (Lu - LV,, .I, - u:>*

+-- ( / v n ( T ) -un(T)12 - Iv,(O) -T(n(0)12) -IItt -v,I/x I I v ~ - ~ ~ i I I ~ *

I , , , z m IIvi-ubI&*-M IIu -vnIIx* IIvn-unItx*

1 2 ' ' 2

z c t IIvn -UnIIX* -c2 II" -vnII& 1

2 +- (Iv,(T) -Un(T)I2 - ( IVn(O) -7((0)1

+ lu(T) -V , (T) I + lv,(T) -u,(!r)l)~) . 'CTegen v,+u in W , (2.32) und Lemma 1.1 erhalten wir claraus die Behauptung (2.29).

Die Behauptungen (2.30) und (2.31) ergeben sich am (2.29) genauso wie (vgl. den Beweis von Satz 2.1) die entsprechenden Beziehungen ( 2 . 5 ) und (2.6) aus (2.4). Damit ist Satz 2.4 bewiesen.

Satz 2.6. Der Operator A genliye d e n Voraussetzungen (2.2) und (2.7). Ferner sei (2.33) fEX*, f'EX*, f(O)=f(T), A ( O ) = A ( V . Dann gilt far die Losungen ti,, n = 0, 1, . . . , und 7i von (P,) bzw. ( P ) (2.34) u~-u ' i n C ( S ; V * ) , (2.35) L,tl,-Lu in C ( S ; V*) , (2.36) u;+u' in L 2 ( S ; H ) .

Dem Beweis von Satz 2.5 stellen wir ein Letnrna voran

Lemma 2.4. Unter d e n Voraussetzungen von Satz 2.5 g i l t f i i r die Folge (un) der Losungen von (P,)

(2.37) S U P IIu:,/Iw,- n

Beweis. FVie aus einein Ergebnis der Arbeit [4] (Satz 5 ) folgt, gilt unter den Voraussetzungen von Satz 2.5,zinEC(8; Vtt), z i k g iVn, n=O, 1 , . . . , und

(2.38) A,( t ) ub(t) +J,?(,(f) =f,(t) v fc Ay, 7(i1(0) = jiiL(T) . Weiter gilt fur beliebiges hc]O, TI niit von n, t urid c1 und C?

T - / I

0 = / ( A ( f + h ) '21; ( t + h ) - A ( f ) 7 i i ( t ) f J c 0

-f ( t + h ) + f ( t ) , 11; (t+h)-u:(t))* dt

h unabhangigen Koristanten

(Z!,, ( t + h ) -un( t ) )


T - h

2 1 (m IbL (t+h)-u;(t)112,-(he (l+Il~ict)ll*)+Ilf(t+~)-f(t)ll*)

j- (; 114 (t+h.)-u2t)ll:--c, (h2(C2+IluL(t)ll%)-Ilf(t+h.) -m3)

0

1 x IIui ( t +h) -uL(t)II*) at+% (Iun(T) - u n (T-h)12- lus(h)-ufi(0)12)

T - h

0

I +2 ((un(T)-un (T-h)la-lun(h)-un(0)12) .

Wegen uk(0) =u;(T) erhiilt man daraus mit Hilfe von Lemma 1.3 und (2.33) ?I sup llun I I X . 5 const.

n Die Beziehung ~ ~ u ~ ~ ~ X n s const. ergibt sich genauso wie die entsprechende Be- ziehung beim Beweis von Lemma 2.3. Damit ist Lemma 2.4 bewiesen.

Beweis v o n S a t z 2.5. Auf Grund von [4], Satz 5 , gilt uCC(S; V ) und u’CW.

Daher ergeben sich die Behauptungen von Satz 2.5 unter Benutzung von (2.29), (2.30) und (2.32) wie die entsprechenden Behauptungen von Satz 2.3. Damit ist Satz 2.5 bewiesen.

3. Das Projektions-Iterationsverfahren

3.1. Anfangswertaufgaben

Wir betrachten zuerst wieder das Problem

( A ) Au’+Lu=f, u(O)=a, uE W .

Satz 3.1. Es seien die Voraussetxungen (2.1) - (2.3) erfallt. Berner sei r c 0, - . ] Z[ Ist u die Losung der Aufgabe ( A ) und (2,) die nach der Vorschrift

zn+rLnzf i=z : - t - r (AnzL- l - jn) , z n ( O ) = a n , ZnE wn 7

(3.1) 1 ’ n = l , 2 , . . . , &EX, beliebig, An=QnA, fn=Qnf gebildete Folge, so gilt (3.2) 2; + u’ in X * ,

(3.3) L,z,,-Lu in 9*,

(3.4) 2,-u in C ( S ; H ) . Beweis. Mit dem durch die Zuordnung

v’+w’= BJJ’, w’+rLaw=v‘-r (A,v’-f,), w(O)=a,, W E W, ,

262 GejewskilGroger, Ein Projektione-Iterationsverfahren

definierten Operator B,C (X,*-X,*) schreiben wir (3.1) in der Form

(3.5)

B, ist nach [2] (Lemma 1 und Satz 4) strikt kontraktiv. Genauer gilt fur beliebige

zk = B,,z:- n = 1 ~ 2, . . . , z; Y,* beliebig.

v;, V I E X , *

(3.6)

Der Fixpunkt von Bm ist offenbar die Ableitung ti: der Losung u, der GALERKIN- Aufgabe (An) . Aus (2.4), (3.5) und (3.6) folgt daher mit Hilfe eines in [6] bewiesenen Resultats (Lemma 3.2, Kap. 111) die Beziehung (3.2).

\\’eiter folgt aus (A , ) und (3.1) sowie (2.4) und (3.2)

1

IIB,v; - ~ ~ w ; l l ~ . s k ( r ) 11.; - w . ~ l ~ * , k(r) = ( 1 -2mr + M2r2)’ .

, /

r IIL,zn -L,pnllX* 2 ~ I z , ~ - ~ , j l ~ . + 1 1 ~ : ~ - - 141~. + 112;- - ui[IxI -0 . Wegen (2.5) ergibt sich daraus die Behauptung (3.3).

(3.3) wie die Beziehung (2.6). Datnit ist Satz 3.1 bewiesen. Die Behauptung (3.4) schlieBlich beweist inan unter Benutzung von (3.2) und

Bemerkung 3.1. 1st A E ( X * - c X * ) ein Potentialoperator, so bleibt Satz 3.1

richtig, wenn man die obere Schranke fur r durch - ersetzt (vgl. [2], Bemer-

kung 2). Man hat dabei zu beachten, daB mit A auch die Operatoren A,€ ( X t - X , * ) Potentialoperatoren sind.

2 M

Die Beinerkung 3.1 gilt sinngemaB auch fur die Shtze 3.2-3.5.

Satz 3.2. Es seien die Voraussetzungen (2.1) - (2.3) und (2.7) erfilllt, und e s sei

tf’ E X*. Ferner sei r e 0 , - und tzh’ E Xo. Ist u die Losung der Aiifgabe ( A ) und

(2,) die nach der Vorschrift (3.1) gebildcte Folge, so gilt

(3.7) v t z i - v t 11’ i n L”(s; v*) , (3.8) I ’~L,z , -~ t ~u in L-(s; v*) , (3.9) tLzi-frup in L ~ ( s ; H I .

] E[

Fur den Beweis von Satz 3.2 benotigen wir das folgende Lemma.

Lemma 3.1. Unter den Voraussetznngen von Satz 3.2 gilt

(3.10) SUP ~ ~ L Z ~ ~ ~ ~ , - = - . )l

Der Beweis von Lerrima 3.1 ist den1 von Lemma 5 in [4] vollig analog. Man J , hat dort lediglich die Gronen itr, J usw. durch die entsprechenden GroBen

usw. zu ersetzen.

Beweis v o n S a t z 3.2. Die Behauptung (3.7) ergibt sich auf Grund von Lemma 1.4 aus (3.2) und (3.10).


Weiter erhalt man fur jedes tES t

0 t

r

2 = Js (z:(s) - u ~ ( s ) + rJ, (z,(s) - u,(s)), zi(s) - u i ( s ) ) + - llLB(zn -un)11$+

0

r z(IK-uiIIx*+r IIL (zn-un)IIx*)II t (zi-~i)II,+, IILn (zn-an)IIi* .

Wegen (2.9), (2.10), (2.4), (2,.5), (3.3), (2,12) und (3.10) folgen daraus die Be- hauptungen (3.8) und (3.9). Damit ist Satz 3.2 bewiesen.

Satz 3.3. Es seien die Voraussetzungen ( 2 . 2 ) , (2.7) und (2.18) erfilllt. Ferner sei:

r c ] O , $ [ , z i ’ ~ X * , z~(0)=(A(O))-i(f(O)-Ja)EMo,

an= Rna, n=O, 1, . . . 1st ti die Losung der Aufgabe ( A ) und (2,) die nach der Vorschrift (3.1) gebildete Folge, so gilt (3.11) zi-u’ in C ( S ; V * ) , (3.12) Lnzn-Lu in G(S; V * ) , (3.13) zi-u’ in L 2 ( S ; H ) .


Lemma 3.2. Unter den Voraussetxungen von Satz 3.3 gilt

(3.14) SUP IIz;llw;,-=- n

Der Beweis von Lemma 3.2 verlauft dem von Lemma 7 in [4] vollig analog. Man hat wiederum nur die GroSen W , J usw. durch die entsprechenden GroSen W,, J,, usw. zu ersetzen.

Bewe i s von S a t z 3.3. Unter Benutzung von c3.2), (3.3) und (3.14) verlauft der Beweis von Satz 3.3 dem von Satz 2.3 vollig analog.

3.2. Periodische Lasungen

Wir kommen nun zu Aussagen iiber die Konvergenz des Projektions-Itera- tionsverfahrens fur die Aufgabe

(P) u‘+Au=f, u(O)=u(T), U E W . Satz 3.4. Der Operator A E ( X * +X*) genilge der Voraussetzuq (2.2), und es sei

, 1st u die Losung der Aufgabe (P ) und (2,) die nach der

264 Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

Vorschrift

(3.15) { ’ gebildete Folge, so gilt

(3.16) 2i-u’ in X * ,

Z,+rL,z,=zi-i-r (Anzi - i - jn) , zn(0)=z,(T), Z ~ E w, 3

n=l , 2 , . . . , z;EX,* beliebig

(3.17) L,z,-Lu i ? ~ X*, (3.18) Z,+U in C(S; H) .

B ew ei s. Mit dem durch die Zuordnung

v’-w’=B,,v’, w‘+rL,,w=v‘-r (A,v’-f,), w(O)=w(T), w e W , definierten Operator B,,E (X,*-X,*) schreiben wir (3.15) in der Form

(3.19) z:=Brnz:&-,, n = 1 , 2 , . . . , z(;EX,* beliebig.

B, ist nach [2] (Lemma 1 und Satz 5) strfkt kontraktiv. Genauer gilt fur beliebige v;, v;

(3.20)

Der Fixpunkt von Brn ist offenbar die Ableitung 21: der Losung u, der GALERKIN- Gleichung (P,,). Aus (2.29), (3.19) und (3.20) folgt daher mit Hilfe des Lemmas 3.2 aus [6], Kap. 111, die Behauptung (3.16).

Die Behauptungen (3.17) und (3.18) beweist inan genauso wie die Beziehungen (3.3) und (3.4).

1

\\B,,v; - Brnv;llx-. s E(r) Ilv; - w ; \ / ~ . , k ( r ) = (1 - 2mr + MW)’.

Satz 3.5. Es seien die Voraussetzungei~ (2.2), (2.7) und (2.33) erfallt. Ferner sei

rE 0 , 7, , z;’fX* und z;(O)=z(;(T) . 1 s t u die Losung der Aufgabe ( P ) und (2,)

die nach der Vorschrift (3.15) gebildefe Folge, so gilt

(3.21) zi-u‘ in C(S; V * ) , (3.22) L,z,+Lu in C ( S ; V * ) , (3.23) z ~ - u ’ in D ( S ; H ) .

] :[


Lemma 3.3. Unter den Voraussetzungen von Satz 3.5 gilt

(3.24) s u p 11

Der Beweis von Lemma 3.3 verlauft dem Beweis von Lemma 9 in [4] vollig analog.

Beweis von S a t z 3.5. Unter Benutzung von (3.16), (3.17) und (3.24)verliiuft der Beweis von Satz 3.5 dem Beweis von Satz 2.3 vollig analog.

Gajewski/Groger, Ein Projektions-Iterationsverfibhren 265

4. Realisierung des Projektions-Iterationsverfahrens unter speziellen Voraussetzungen

Wir setzen in diesem Abschnitt voraus, da0 der Einbettungsoperator von V in H vollstetig ist. In diesem Fall existiert ein in V vollstandiges System {h ihz , . . .} mit folgenden Eigenschaften :

(4.1) Jhj=Ajhj, Aj>O, (hi, hk)=aik ,

Weiter gilt 1

llhj112=Aj und llhjlli =- . 4 Es sei (d , ) , n= 0, 1, . . . , eine gegebene, monoton wachsende Folge naturlicher

Zahlen mit lim d,, = 00. (Beispielsweise kann d, = n gewahlt werden.) Sei Mn die

Lineare Hulle von {hi, . . . , h,,). Dann ist fur j= 1, . . . , d, n--

IIhjIt= IIpnJhjII2*=IIpnA~F.iII:,=IIAjhjII:=Aj=IIhjII' und fur xC V ,

J,x = P,Jx = J X , d. h., die Dualitatsabbildung J , von V , ist die Einschrankung von J auf VqL. Der getroffenen Wahl der linearen Unterraume M , entsprechend gilt jetzt

MengenmaDig ist XE gleich X,. Fur die Norm in X,* gilt

Die Dualitiitsabbildung L, von X , wird durch die Beziehung

gegeben .

Bemerkung 4.1. Aus (4.2) geht hervor, da13 man im hier betrachteten Spezid- fall die Behauptung ( 2 . 5 ) von Satz 2.1 durch die Beziehung

u,,+u in X ersetzen kann. Entsprechend vereinfachen sich die jeweils zweiten Konvergenz- aussagen der ubrigen Satze.

266 Gejewski:Groger, Ein Projektions-Iterationsverfahren

4.1. A nfangswertprobleme

Satz 4.1. Es seien die Voraussetzungen (2.1) und ( 2 . 2 ) erfullt. Feriaer se i - - f= C bjhj, b j€ L?(S) etnd a = aihi .

j= i j= i

Bestimmt man fur gegebenes r w 0 die Funktionen c ~ ~ , ~ , j = 1, . . . , dlL, n = 1, 2, . , . , bei beliebiger Wahl von C ; , ~ C L ~ ( S ) , j= 1, . . . , do, init Hilfe der Rekarsionsformel

Beweis. Die Behauptung von Satz 4.1 ergibt sich mit Hilfe von (4.1) und (4.2) in elementarer FTeise aus der Definition der Funktionen c,,~ und z , ~ .

Bemerkung 4.2. Satz 4.1 zeigt, da13 fur die durch (4.3), (4.4) definierteFunk- tionenfolge (z?,) che Konvergenzaussagen der Siitze 3.1, 3.2 und 3.3 gelten, sofern die in diesen Satzen gestellten Voraussetzungen erfullt sind.

4.2. Periodische LSsungen

Satz 4.2. Der Operator A € (X*-X*) genuge der Voraussetzitng (2.2) tind es gelte - f = bjhjEX*, biE L?(S) .

j= l

Bestimmt man fur gegebenes rwO die Funktionen c,,~, j= 1, . . . , d,, n = 1, 2 , . . . , bei beliebiger Wa.hl von C;,~EL'-(S), j= 1, . . . , do, mit H i v e der Rekursionsformel

Gajewski/Groger, Ein Projektions-1teret.ionsverfahren 267

s o g i l t f a r n = 1 , 2 , . . . Z : , + r L n Z n = Z L - r (4&L-.f,), z , (O)=z,(T) , Z,,E w,L .

Beweis. Satz 4.2 folgt wie Satz 4.1 aus (4.1) und (4.2) sowie der Definition der Funktionen und z,.

Bemerkung 4.3. Satz 4.2 zeigt, da13 fur die durch (4.5), (4.6) definierte Funk- tionenfolge (zn) die Konvergenzaussagen der Satze 3.4 und 3.5 gelten, sofern die in diesen Satzen genannten Voraussetzungen erfullt sind .

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Ein Projektions-Iterationsverfahren für Gleichungen der Form Au′ + Lu = f