Vol. XXlI, 197i 181

E i n e B e m e r k u n g f iber c lus t e r sets

Von

JSRG WINKLER

1. Einleitung. Fiir jede ganze Funktion ](z) ist in jeder Umgebung U des unendlich fernen Punktes der Wertevorrat yon ](z) in der komplexen Ebene dicht. Der vor- liegenden Arbeit liegt die Frage zugrunde, ob in der komplexen Ebene nirgends dichte Punktmengen E existieren, so dal3 fiir jede ganze Funktion ](z) endlicher Ordnung

~ 2 ~ ~ und fiir jede Umgebung U des unendlieh fernen Punktes der Werte- vorrat.von ](z) in E n U in der komplexen Ebene dicht ist.

Es wird gezeig~, dab zu jedem ~ < ~ derartige abz~hlbare (von der jeweiligen Funktion ](z) unabh/~ngige) Punktmengen E existieren, wobei die Punkte dieser Mengen E keinen endlichen H~ufungspunkt haben. Der Beweis dieses Sachverhaltes ist sehr einfach und beruht zu einem wesentlichen Tefl darauf, da~ ffir ganze Funk- tionen endlicher Ordnung das Waehstum der sph~rischen Derivierten nicht beliebig stark sein kann, was schon in [6] ausgenutzt wurde.

Die sph~rische Derivierte im Einheitskreis regul~rer Funktionen mit beschr~nkter Charakteristik kann zufolge einem Ergebnis yon M. Ts~yztrKI [5], die sph/~rische Derivierte im Einheitskreis normaler ~'kmktionen zufolge yon Ergebnissen yon O. L~TO und K. I. VIRTA_~v,~ [3] und K. Nos~IRo [4] ebenfalls nicht beliebig stark waehsen. Dies ermSglieht die Ubertragung des f/Jr ganze Funktionen erzielten Er- gebnisses attf cluster sets im Einheitskreis regul~rer Funktionen mit.beschr~nkter Charakteristik beziehungsweise im Einheitskreis normaler Funktionen.

In 2. werden die Ergebnisse dieser Arbeit als Satz formuliert, dem eine Erkl~rung der benutzten Bezeichnungsweisen und grunds~tzlich erhobenen Voraussetzungen vorangestellt ist. In 3. werden die ben6tigten Aussagen fiber die Wachstumsbesehr~n- kungen der sph~rischen Derivierten als Hilfss~tze 2, 3 und 4 bereitgestellt. Ferner wird in 3. der zum Beweis des Ergebnisses dieser Arbeit benStigte Hilfssatz 1 aus [6] in geringffigig modifizierter Form als Hilfssatz 1 bewiesen. Wie sehon in [6] bemerkt wurde, ist dieser sehr einfache Hilfssatz im Prinzip schon in Ergebnissen yon V. I. GAv~arLov in [2] enthalten, reichen die in [2] angegebenen Formulierungen jedoch fiir unsere Zwecke nicht aus. In 4. wird der Beweis des in 2. formulierten Satzes

erbracht.

2. Formulierung des Ergebnisses. Fiir den sp~teren Gebrauch ffihren wir zun~chst die folgenden Bezeichnungsweisen ein : D sei ein Gebiet, F irgendeine Teilmenge yon D, D- beziehungsweise F - die abgeschlossene Hfille yon D beziehungsweise F u n d

1 8 2 J . WINKLEI~ AKCH. MATH.

/(z) eine in D meromorphe Funkt ion . Fiir jeden P u n k t z0 e D - c ~ F - bezeichne C~ (1, z0) die Menge aller Punk te w der abgesehlossenen komplexen Ebene mi t der Eigenschaft , dab in 2' \(z0} eine Punktfolge zl, z2, z3 . . . . mi t lira zn = z0 und lira ](Zn) ~ w existiert. I s t 7 eine Teflmenge yon D-c~ F - , so sei n-~r

n --~CO

c ~ (/, ~) = ( .J c ~ (/, z) . ZE7

I m folgenden bezeichnet D stets entweder die offene komplexe Ebene oder die offene Einheitskreisseheibe I z] < 1. Ferner wird stets voraasgesetz t , dab ~, -~ (D- \D) c~ F - :~ 0 grit, ? also entweder genau aus dem unendlich fernen P u n k t bes teht oder eine nieht leere Tei lmenge des Einheitskreises I zl ----- 1 ist.

Bezeiehne E : al, a2, aa . . . . eine in D enthal tene Punktfolge, r l , r2, r3, . . . eine Folge posi t iv reeller Zahlen, Sn fiir jedes n die Kreisseheibe ] z - - a n ] < r n , und gelte

F c ~ J S , . n = l

Mit den vors tehend eingeftihrten Bezeiehnungsweisen.und Voraussetzungen g-fit der

Satz. C~ ([, ~,) ~- CF ([,),) gilt in ~edem der drei ]olgenden FdUe:

1. D ist die o]]ene komplexe Ebene, ] (z) ist eine ganze Funkt ion der Ordnung ~ ~ 2 <0% und mit einem vorgegebenen (~ > 0 gilt rn ~ e-la-[ ~§ ]iir ~edes n.

2. D ist die o[]ene Einheitsl~reisscheibe, /(z) eine in D regulgre Funkt ion yon be- schrdnkter Charakteristil~, und mit einer reeUwertigen, in 0 ~ t ~ 1 erkSrten, monoton wachsenden Funkt ion cp(t) --> ~ /iir t ---> 1 gilt rn ~ e ~(ta"l)/(la"l-i) ]//r ]edea n.

3. D ist die o]]ene Einheitskreisseheibe, [ (z) eine in D normale $'unktion, und ea gilt r n = o ( 1 - - ian] ) fiir n--->~.

3. Bereitstellung yon Iti lfsmitteln. Z u m Beweis des Satzes benutzen wir den sehr einfachen Hilfssatz 1 aus [6], der bier in geringfiigig abgewandel ter F o r m als Hilfs- satz 1 angegeben wird.

It i lfssatz 1. Sei D ein Gebiet der komplexen Ebene und a ein Randpunkt yon D. Seien bx, be, bs . . . . und Cl, e2, ca . . . . zwei gegen a konvergierende Punkt]olgen, und sei ]iir ~edea n die bn und cn verbindende Streclce an ganz in D enthalten. Sei /erner /(z) eine in D meromorphe 2'unktion, und gelte bei/eat vorgegebenem M1 und M2 mit M1 ~ M2 ~ oo ]is alle n: I](bn) l <= M1 und I/(Cn) l >--_ i 2 . Dann existiert zu iedem n ein Pun/or Zn ~ Gn , SO daft

I[ '(z , , ) ] > M 2 - - M1 (1) l i m i n f l b n - - cn] 1 + I](z,)12 = 1 + Mi

gilt.

B e w e i s . Zu iedem n existiert wegen I/(bn) l <= m l und > em P u n k t :n ~ a s mi t I / (:n) - - / (bn) l ---- M2 - - M 1 ,

und

(3) S u p { I / ( z ) i l z e ( ; n und I z - - b n l < = l : n - - b n l } < = M s -

Vol. XXII, 1971 Bemerkung fi,ber cluster sets 183

Zufolge des WeierstraBschen Mittelwertsatzes (siehe z.B. [1], S. 113) existiert dann auf der die Punkte bn und ~n verbindenden Strecke ein Punkt zn mit

11( : - ) - l(b,~) I = .M= - - M ~ __< I :n - - bn [ I / ' ( = - ) 1 �9

Wegen (2) und (3) folgt hieraus (1). Ferner wird zum Beweis yore 1. Fall des Satzes der Hilfssatz 2 aus [6] ben6tigt:

Hilfssatz 2. Ist / (z) eine ganze Funktion der Ordnung 0 ~ 0% so gilt/iAr jedes ~ > 0

lim sup e-lzl ~ I/'(z)I - 0. I z l ~ J- § I / ( z ) l 2

Zum Beweis yore 2. Fall des Satzes wird neben dem Hflfssatz 1 ein Ergebnis yon M. T s v z ~ I aus [5] ben6tigt, das wit hier als Hilfssatz 3 iibernehmen.

Itilfssatz 3. Ist / (z) eine in D : ] z [ < 1 reguldre Funktion yon beschrdnkter Charakte- ristik, so gilt mit einer positiven Konstanten c

limsup e -c/(1-1zl) ]/'(z)I = O. Izl~. 1 + [/(z)12

Endlich wird zum Beweis vom 3. Fall des Satzes das folgende Ergebnis yon O. LEHTO und K. I. Vr~T~EZr [3] und K. NOSHmO [4] ben6tigt, das wir hier als Hilfssatz 4 iibernehmen.

IIilfssatz 4. Eine in D : ] z [ ~ 1 meromorphe Funktion ist in D genau daun normal, w e n n

S u p j ( l _ i z l ) ]/'(z)[ }

gilt.

4. Beweis des Satzes. G~lte in einem der drei F/ille CE(], ?) * CF(], ?), so wfirde ein Punkt woe CF(f, 7) existieren, so dab ffir eine Umgebung U yon w0

(4) u • cE (/, ~) = 0

gilt. In F wfirde also eine Punktfolge ill, f12, f 1 3 , - . . - ~ ~7 mit l im/(fln)----wo n - -~ OO

existieren. Weft die Menge der Kreisscheiben Sn die Menge F fiberdeckt, wiirde wegen (4) zu jedem n ein Punkt an e E mit

(5) I ~ . - f . I < r . und lira ] (an) * w0 existieren. Dabei kann offenbar ohne Einschr~nkung angenom-

n - - ~ o o

men werden, dab lim/(gn) ---- wl *w0 und lul l * I~ol g ~ t D a m jedem der drei n - - - ~ o o

F~lle f/ir jedes n die 6r mad fin verbindende Strecke in D enthalten ist, existieren auf jeder dieser Strecken je zwei voneinander verschiedene Punkte bn und cn, so dab mit M2 ~ oo

lira sup [] (bn) [ ~ M1 < M2 ~_ lira inf[ / (cn)[

184 3". WINKLEK ARCH. MATH.

und wegen (5) aueh

(6) Ib~ -~ l ~ J ~ - ~1 ~ , ~

gelten. Zufolge des Hilfssatzes 1 wiirde also fiir jedes n auf der bn und cn verbindenden Strecke ein P u n k t zn mit

(7) I ~ - ~.1 --< Ibm- ~l ~md

l/'(z~)l > M s - - M~ (8) l im in f [bn - - cn[ 1 + I/(zn)p = T+--~-~ ~ > 0

existieren. I m 1. Fal l grit rn ~ e-ia~l ~§176 im 2. Fal l rn ~ e ~([a*])/(la*I-1) u n d i m 3. Fall r n =

= o ( 1 - lan[) . Deshalb folgt wegen ( 6 ) u n d ( 7 ) m i t e = ~/2 und ~ ( t ) -~ cp(t)/2, dab auch

(9a) rn ~ e-lz~P § im 1. Fall,

(9b) rn < e~(lz.D/(lz.I-1) im 2. Fal l

und

(9c) r n = o ( 1 - - [ z n l ) im 3. Fal l

grit. I m 1. Fal l folgt also aus (6), (7), (8) und (9a)

(lOa) l iminfe_lz .p+~ [/'(z.)[ > O,

was im Widerspruch zum Hrifssatz 2 steht . I m 2. Fal l folgt aus (6), (7), (8) und (gb)

(lOb) l im in f cv'(Iz~l)l(~-Iz~l) ]]'(zn) l > O,

was wegen lira ~(] Znl ) : ~ i m Widerspruch zum t tf lfssatz 3 steht.

I m 3. Fal l folgt aus (6), (7), (8) und (9c)

lt'(~n) l (10c) l imin f (1 - - I ~ 1 ) 1 § t1(~,~) P - r

was im Widerspruch zum I4ilfssatz 4 steh~. Mit (10a), (10b) und (10c) ist also die Annahme CE(], 7) # CF([, 7) im 1., 2. und

3. Fal l des Satzes auf einen Widerspruch gefiihrt, und dami t der Satz bewiesen.

Literaturverzeichnis

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Math. Dokl. 6, 693--696 (1965). [3] 0. LENTO and K . I . V ~ T A ~ , Boundary behavior and normal meromorphic functions.

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Vol. XXII, 1971 Bemerkung fiber cluster sets 185

[4] K. Nosr~mo, Contributions to the theory of meromorphic functions in the unit circle. J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. 7, 149--159 (1938).

[5] M. TsuzgxI, The spherical derivative of regular and meromorphic functions of bounded characteristic. Kodai Math. Sere. Rep. 19, 410--414 (1967).

[6] J. WI~KLER, ~ber Picardmengen ganzer lCunktionen. Manuscripta math. 1, 191--199 (1969).

Eingegangen am 18. 8. 1969

Anschrift des Autors: J6rg Winkler Mathematisches Insti tut der Teehnischen Universit/~t 1 Berlin 12 StraBe des 17. Juni l~r. 135