Eine Bemerkung fiber minimale nieht.ganze Ringerweiterungen Von REII~IARD MAUVE aus KSln Ftir eine minimale nicht-ganze Ringerweiterung S/R gilt, dai~ S ein Durchsehnitt von Quotientenringen fiber R ist ([1]). Dieses Ergebnis wird erggnzt durch die Tatsache, dal~ es Beispiele gibt, in denen S nieht bereits ein Quotientenring von R ist. Eine solche Ringerweiterung soll hier angegeben werden. Es sei Rein Dedekindring, dessen Klassengruppe keine Torsions- gruppe ist (Satz yon CLABOR~ [2]). Dann gibt es in Rein Primideal Po, dessen sgmtliche Potenzen nieht Hauptideale sind. Es sei Po = (x) :R (q) mit x, q e R eine Darstellung yon Po als Quotient zweier Hauptideale. Man setze $1 = R [~]. Bekanntlich ist $1 = 17 Re, wo ~ eine Teil- Pe~ menge der Menge ~o aller Primideale yon R ist. Es gilt: ~ C. ~o, weil $1 ,~ R ( ~ ~ R) ist. Ftir ein P1 e ~o\.r setze man s= n Rp. Dann ist S eine minimale nicht-ganze Ringerweiterung yon R. Ferner zeigt sieh, dal3 Skein Quotientenring yon R ist: Es sei dazu u e S\R, also S=R[u]. Ftir die echten R-Ideale I(u)={reR/rueR}, I(~) ={reR/r~eR}=P0 und ein mien gilt dann I (u) = (/(~))ml -- Pro1. Es ist ngmlieh u e S C $1, also u =/(~) ftir ein /(X) e R[XJ. Ist dann grad /= m, so hat man t 1 ..... t m ~ I(~) ti "'" tin" % = tl "'" tin" /(-qx) ~ R und damit pro= i(~),n C I (u) C R. a Weil R Dedekindring ist, gilt I(u)= P~, fiir ein m~ ~m. Daher ist I(u) kein Hauptideal und somit u -1 a R ftir alle u e S\R. Also ist S nicht Quotientenring von R. Auf ghnliche Weise erh/ilt man einen Dedekindring, dessen sgmtliche minimale Oberringe nicht Quotientenringe sind.

Eine Bemerkung über minimale nicht-ganze Ringerweiterungen

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Page 1: Eine Bemerkung über minimale nicht-ganze Ringerweiterungen

Eine Bemerkung fiber minimale nieht.ganze Ringerweiterungen

Von REII~IARD MAUVE aus KSln

Ftir eine minimale nicht-ganze Ringerweiterung S/R gilt, dai~ S ein Durchsehni t t von Quotientenringen fiber R ist ([1]). Dieses Ergebnis wird erggnzt durch die Tatsache, dal~ es Beispiele gibt, in denen S nieht bereits ein Quotientenring von R ist. Eine solche Ringerweiterung soll hier angegeben werden.

Es sei R e i n Dedekindring, dessen Klassengruppe keine Torsions- gruppe ist (Satz yon CLABOR~ [2]). Dann gibt es in R e i n Primideal Po, dessen sgmtliche Potenzen nieht Hauptideale sind.

Es sei Po = (x) :R (q) mit x, q e R eine Darstellung yon Po als Quotient zweier Hauptideale.

Man setze $1 = R [~]. Bekanntlich ist $1 = 17 Re, wo ~ eine Teil- P e ~

menge der Menge ~ o aller Primideale yon R ist.

Es gilt: ~ C. ~o , weil $1 ,~ R ( ~ ~ R) ist.

Ftir ein P1 e ~o\.r setze man

s = n Rp.

Dann ist S eine minimale nicht-ganze Ringerweiterung yon R. Ferner zeigt sieh, dal3 S k e i n Quotientenring yon R ist:

Es sei dazu u e S \ R , also S=R[u] . Ftir die echten R-Ideale I ( u ) = { r e R / r u e R } , I (~) = { r e R / r ~ e R } = P 0 und ein m i e n gilt dann I (u) = ( / ( ~ ) ) m l - - P r o 1 .

Es ist ngmlieh u e S C $1, also u =/(~) ftir ein / (X) e R[XJ. Is t dann grad / = m, so hat man

t 1 . . . . . t m ~ I(~) t i " ' " t i n " % = t l " ' " t in" /(-qx) ~ R und damit

pro= i(~),n C I (u) C R. a

Weil R Dedekindring ist, gilt I (u)= P~, fiir ein m~ ~ m . Daher ist I(u) kein Haupt idea l und somit u -1 a R ftir alle u e S \ R .

Also ist S nicht Quotientenring von R. Auf ghnliche Weise erh/ilt man einen Dedekindring, dessen sgmtliche

minimale Oberringe nicht Quotientenringe sind.

Page 2: Eine Bemerkung über minimale nicht-ganze Ringerweiterungen

230 Re inha rd Mauve, Eine Bemerkung ii. minimale nieht-ganze Ringerwei te rungen

Literatur

[1] R. MAUVE, Ha lbe und minimale Ringerweiterungen, Abhand lungen aus dem Mathemat i sehen Seminar der Univers i t~t Hamburg , Bd. 38, I972, S. 118--124.

[2] L. CY~_BoR~, Eve ry abel ian group is a class group Pacific J . Math . , Bd. 18, 1966, S. 219--222.