Math. Nachr. 130 (1987) 347-854

Eine Bemerkung zii Gleitenden-Mittel-Darstellungen q-dimensionaler stationarer Prozesse

Unserem rerehrten Lehrcr, Herrn Professor Dr . Heinz Langer, z a m 50. Geburtstag gezuidritet

1-on LVTZ KLOTZ in Leipzig und FRASZ SCHMIDT in Dresden

(Eingegnngen am 23.11. 1983)

Darstellungen durch gleitende Mittel spielen in der Theorie stationiirer Pro- zesse eine wichtige Rolle. Von A. N. KOLJ;OGOEO~ wurde bereits 1941 gezeigt, dalS eine eindimensionale stationiire Folge genau dann eine Darstellung durch gleitende Mittel besitzt, wenn ihr nichtzuf;illiges SpektralmaU beziiglich des LEEESGUE- innnes absolutstetig ist. Dabei ltnnn die Darstellung genau dann so gewiihlt werden, dalj rler von den Werten cler Polge aufgespannte Roum mit rlem von den Werten der in der Darstellung auftretenden Pundamentalfolge aufgespannten Raum zu- sammenftillt, weun die Spektraldichte der Folge f w t iiherall positiv ist [5; Sstz 16

Dieses Resultat wurde spater von verschiedenen Autoren sowohl auf Prozesse rnit anderer Parameterrnenge (reelle Achse, lokalkompakte AsELsche Gruppe) als auch auf Prozesse mit allgemeinerem Wertebereich ubertragen. Soweit uns be- kannt ist, ist jedoch die Verallgemeinerung des KomroGoRovschen Resultates auf q-dimensionale (vektorwertige) stationare Prozesse nirgencls exakt angegeben. I n [ 9 ; Kap. I, 3 91 ist der Reweis unvollstandig, und in [7] ist sogar das Resultat (s. dort Satz 2 unddie Folgerung daraus) nicht korrekt forinuliert 1). Ziel dieser kurzen Note ist es, eine exakte Verallgerneinerung der Aussage von KOLMOGOROV anzu- geben. und zwar fur den Fall p-dimensionaler stationarer Prozesse auf lokal- kompakten ABELschen Gruppen.

Furp, q= 1, 2, ... seien Ip diep-reihige Einheitsrnatris, Op,g die Nullmatrix ausp Zeilen uncl p Spalten uncl 0, : = Op,p. Ferner sei

unc l Sat2 171.

fur j = O

fiir j = p .

1) Anm. bei der Horrektur : Einen vollstiindigen Beiveis der entsprechenden Aussage fiir q-dimensionale stationilre Prozesse mit stetiger bzw. diskreter Zeit findet man in E. J. HANXAK, Multiple time series, New York -London - Sydney - Toronto 1970, Theorem 15 bzw. 15'.

348 JIath. Nachr. 130 (1987)

Fiir eiiie Matrix A bezeichne rg(A) ihren Rang, sp A ihre Spur und A* die zu A adjungierte Matrix.

Sei 'X ein komplever HILBERTraUm und X q sein q-faches kartesisches Produkt.

Fiir 5, y/Egtq, x = [ l ) , g = f ] , bezeichne \9/p

( ~ 7 ~) :=( (x jJ ~k)y~)T,e=1

die GRiwsche Matrix von z und y. Dabei bezeichnet ( a , das Skalarprodukt in 3. Sei G eine lokalkompakte ABELsChe Gruppe mit dem Hamschen NaB o. Der

&Ring aller o-integrierbaren Teilmengen von G sei mit %(a) und die o-Algebra aller BoRELmengen auf G mit %(G) bezeichnet. Weiterhin sei Li,p(G) der HILBERTraUm aller ( q fp)-Matrixfunktionen auf G, deren samtliche Elemente bezuglich o qua- clratisch integrierbare kompleswertige Funktionen sind, mit Clem Skalarprodukt

SP j - 4 7 ) B(d'"(d9) ( A , BE-q,,(G)) . a

Fiir p = q = 1 schreiben wir einfach L'(G). Die charakteristische Funktion einer Jlenge DC 3 ( G ) sei mit xD bezeichnet. Die

Funktionen der Form A ( g ) : = Aj;CDj(g) (gCG), wobei die A j konstante ( q X p ) -

Matrizen sind und D,cS(G) ( j = 1, ..., s) gilt, heiBen einfache Funktionen. Sie liegen in L;,JG) dicht [ 8 ; Theorem 3.111.

Es sei r die zu G duale Gruppe. Es bezeichne (q , y ) den JJ'ert des Charakters y Er auf gEG. Das HaARsche >la13 t auf I' sei so noriniert, daB fur die FOURIER- transformation

S

y = 1

/(Y) : = J h! y ) f ( s ) 4Hg)

f ( d : = J ( 9 3 y)%4 t(+)

( Y E T ) G

die Umkehrformel

fgEG) r

gilt (9. z. H . [ lo ; Abschnitt 1.51). FVir merdeii im weitereii anstelle von [ ... o(dg)

bzm. J' ... t ( d y ) einfach J' ... dg bzw. 2r

... dy schreiben.

Unter einem q-dimensionalen stationaren ProzeB auf G versteht man eine r G r

stetige Abbildung X von G in Yeq mit

(s. z. B. [ la ; S. 169, Definition 3.31). Die (q Xq)-Natrixfunktion (m), X ( h ) ) = ( X (g -h ) , X ( 0 ) )

m): -w)) (gEG)

K(g) = .I- (97 7 ) m d y )

(9, hEG)

heiI3t Kovarianzfunktion von X. Sie besitzt eine Spektraldarstellung der Form

(SEG) . r

Dabei ist F ein endliches regulares nichtnegativ definites HERiMITESCheS (q Xq) -

Klotz/Schmidt, Eine Bemerkung 349

matrixwertiges Ma13 auf ?3(T). Der Prozel3 X selbst besitzt die Darstellung

n 7 ) = .I (9, Y) Z(dY) ( g EG) r

mit einem Xq-wertigen Ma13 Z auf ‘B(l’), das der Bedingung (Z(d), Z(d’))= =F(d nd’) ( A , d ‘ ~ B(I‘)) genugt (s. z. B. [14; S. 170-1711). Das Mal3 2 heifit zu- fsllliges, das MaB F nichtzufalliges SpektralmaB des Prozesses X. Die MaBe 2 und P werden durch X eindeutig bestimmt (s. z. B. [ll ; S. 1081, fur Prozesse mit dis- kreter Zeit s. auch [15; S. 1411). Das Ma13 F heil3t absolutstetig, wenn alle seine Elemente absolutstetig beziiglich z sind. Die (p X p)-Matrixfunktion F , deren Ele- mente die RADoN-NIKoDYnr-Ableitungen der Elemente von F sind, heifit dann Spektraldichte des Prozesses X. Dabei ist F ’ ( y ) fur z-fast alle y E T nichtnegativ definit [8; Lemma 2.31.

Es sei H , der von den Werten des Prozesses aufgespannte Teilraum von 3f:

H,:=a.l.H. {X,(g) : g E G , j = l , ..., p] . Weiterhin sei H, der von Z aufgespannte Teilraum :

H,: =a.l.H. {Z,(d) : LIE %(I’), j = I , ..., q ) . Dnnn gilt ( [ l l ; (2.7)], fur Prozesse mit diskreter Zeit s. auch [8; Abschnitt ti])

(1) H,=Hz.

Ein p-dimensionales orthogonales Ma13 i auf G ist eine Abbildung von 3(G) in 3f‘” (Sf‘-komplexer HILBERTraum) mit

(W), C(D’))=o(DnD’) 1” ( D , D’EZ(G)) Nit Hi sei der von C aufgespannte Teilraum von 3f-‘ bezeichnet :

Hc:=a.l.H. { i ; (D): DE3(G), j=l , ..., p ] . Definiert man das Integral J A(g) i(dg) der Funktion A E L&(G) bezuglich des

p-dimensionalen orthogonalen Nal3es i in der ublichen Weise (s. z. B. [8; Ab- schnitt 4]), so gilt das folgende Lemma [8; (4.5) und Theorem 4.61.

G

Lemma 1. Die Zuordnzrng

‘6 A - / 4 9 ) a d d

ist eine Abbildung von L:,”(G) auf H q mit der Eigenschaft

Lemma 2. Sei 7 ein p-dimensionales orthogonules H a p nuf r uncl cm : = J;lo(r) d d y )

J 4 9 ) C(d9) = j- A(./) rl(dY)

( D E W ) ) . r

Dann ist 5‘ ein p-dimensionales orthogonales X a p auf G, und es gelten die Beziehungen

( A EL;,,(G)) f

G r (3)

(4) H,=H,.

35 0 Math. Nachr. 130 (1987)

Beweis.Aus (2) undJj,(y) j,.(y)* dy=c ( D n D ' ) (0, D E s ( G ) ) folgt, da13 5 ein p-dimensionales orthogonales NaB auf G ist. Die Gultigkeit von (3) ergibt sich aus der Xatrixlinearitat der Integrale und der Dichtheit der einfachen Funktionen in Li,p(G) (vgl. [7; S. 122, Lemma]). Aus (3), Lemma 1 sowie der Tatsache, daB die FouRIERtransformation eine Abbildung von ii ,p( G) auf den ganzen Raum Li.p(r) ist, folgt schliel3lich die Gultigkeit von (4).

Unter einer p-dimensionalen Darstellung des stationaren Prozesses X clurch gleitende Mittel versteht man eine Darstellung der Form

s (g ) -= JC' (9-h) <(ah) (BEG) (5)

r

G

mit einem p-dimensionalen orthogonalen 3laR i und Cc L&,(G) ; vorausgesetzt wird dabei, da13 2 sat? gilt. Wenn man von Anfang an voraussetzt, daB cler Raum at genugend grolj ist, so kann man verlangen, daf3 die Werte von in 3Cp liegen. Das werden wir im weiteren tun.

Der folgende Satz ist fur q = 1 bekannt ([6 ; S. 1331 oder [ 21). Fur den Fall q =- 1 ist uns keine -4rbeit bekannt, in der die Ausssge des Satzes vollst2indig bewiesen ist. Sie laBt sich aus allgerneineren Resultaten eines cler beiden Autoren herleiten ([12; Folgemng 2.3.1 und Satz 2.3.21, [13; Satz 4.21). Wir geben einen davon unabhangigen Beweis an, der die Ideen aus [F); Kap. I, 5 '31 benutzt (vgl. auch [7]).

Satz 1. Der q-dimensionale stationtire ProzeB S azcf der 1oEcclEoinpaEten ABEL-

schen Grzippe G gestattet genuzc dann eine Dnrstcllung cler Form ( 5 ) ntit einenr p-di- mensionalen orthogonalen iVaB i, wenn sein nichtzufalliges SpektralmaB F beziiglich z absolzitstetig ist und seine Spektraldichte F der Bedingzing (6) r g ( F ' ( y ) ) z p fiir t-fast alle YET

genugt . B eweis. Sei F bezuglich t absolutstetig und gelte (6). Falls notwendig, andern

wir F' auf einer t-Nullmenge so ab, da13 (6) fur alle YET gilt. Seien A J y ) z A l ( y ) s z... z ; l P ( y ) 2 A p + , (y) = ... =A,(?) = 0 die Eigenwerte von F'(y) unter Berucksichti- gung ihrer Vielfachheit. Dann sind die Funktionen ?.,, ..., ip rnefibar ([3; Satz 2.81 oder [l ; 8. 343, Corollary 41) 2). Fur j = 1, ..., p sei

Die Funktionen el, ..., ep sindmel3bar und somit auch r g ( F ' ( y ) ) = ,max pj(y) ( Y E T ) .

Die Mengen iVj: = { y E r : rg(F'(y)) =j} ( j = 0, ..., p ) sind dann mel3bare Teilmengen

von r, und es gilt u f M j = r . Nach [9; Kap. I, Lemma 9.11 esistiert auf *Ij ( j =

= I , ..., p ) eine (pXj)-Natrixfunktion aj mit a l ( y ) cc,(y)*=F'(y) ( y E N f ) . AUS der Konstruktion dieser Funktionen imBeweis von Lemma 9.1 in [9 ; Kap. I] und aus

]=I . ...,p

P

j=O

2) Wir danken den Herren Dr. Fritzsche und Dr. Kirstein, die uns auf die Arbeiten [I] und [3] aufmerksam gemacht hsben.

Klotz/Schmidt, Eine Bemerkung 35 1

cler Tatsache, da13 die Quadratwurzel aus einer mel3baren nichtnegativ definiten HERxITESChen -li[atrixfunktion mel3bar ist und claR die in dem eben zitierten Be- weis auftretenden unitiiren Transformationen V mel3bar gewahlt werden konnen ([3; S. 351, Satz 2.81 oder [ l ; S . 347, Corollary 2 und S. 348, Corollary 41) folgt, 3aI3 man xl, ..., x p als meabar voraussetzen lrann. Wir setzen nun

j X P ( Y ) ( Y E 1JIp)

1 O P A (@!f”) . d y ) : = bJy) o , , p - J ( Y E J ! j , j = L . - , p - l )

Es ist qEELd,p(T), und es gilt y ( y ) y (y )*=J”(y ) ( Y E T ) . Nach [9; Kap. I, Lemma 9.21 esistiert auf liIj ( j = 1, ..., p ) eine mel3bare ( j X ~ ) - ~ ~ a t r i s f u n k t i o n 8, mit ,3,(y) x,(y) =I , (~€21~). Die Xefibarkeit von pi ergibt sich dabei unmittelbar aus dern Beweis von Lemma 9.2 in [F); Kap. I]. Wir setzen nun

Klotz/Schmidt, Eine Bemerkung 35 1

cler Tatsache, da13 clie Quadratwurzel aus einer mel3baren nichtnegativ definiten HERxITESChen 3Iatrixfunktion mel3bar ist und claR die in dem eben zitierten Be- weis auftretenden unitiiren Transformationen V mel3bar gewahlt werden konnen ([3; S. 351, Satz 2.81 oder [ l ; S . 347, Corollary 2 und S. 348, Corollary 41) folgt, 3aI3 man xl, ..., x p als meabar voraussetzen lrann. Wir setzen nun

Es ist q€ELi,JT), und es gilt y ( y ) y (y )*=J”(y ) ( Y E T ) . Nach [9; Kap. I, Lemma 9.21 esistiert auf iiIj (j= 1, ..., p ) eine mel3bare ( j X ~ ) - ~ ~ a t r i s f u n k t i o n 8, mit ,3,(y) x,(y) = I j ( y € X i ) . Die Xefibarkeit von ,dj ergibt sich dabei unmittelbar aus dern Beweis von Lemma 9.2 in [F); Kap. I]. Wir setzen nun

Daiiii ist zp eine mefibare ( p Xp)-SIatri.ufunlitioii niit

Sei nun 1- ein p-dimensionales orthogonales SIaR auf T, so claR die Raume H , und Hz senkrecht aufeinancler stehen. Ferner sei

Y(Y) v(y)=Pj,p (r€Jrj, j=O, ..., P) .

Fur A , d’E8(T) ist dann a a - 1

352 Math. Kachr. 130 (1987)

verschwindet die rechte Seite von (7). Daraus folgt

a d ) = J d Y ) rl(W (d E W ) ) A

und somit

Es sei nun <(D) := I z D ( y ) q(dy) (DE3(G)). Auf Gruncl on Leniina 9 ist i ein

p-dimensionales orthogonales MaB, und aus (3) folgt dann niit Hilfe der Umkehr- formel fur die FOuRrERtransformation die gesuchte Darstellung ( 5 ) :

r

X(g) = .I (9 , y ) pl(.),) d d y ) = j -C (9-h) W h ) (GIEW . r G

n-obei C(g) : = (9, y ) ~ ( y ) dy (BEG) gesetzt ist. r;

Es gestattet nun S eine Darstellung der Form (5). Dann ist

J ( g , y ) P(+) = l i ' ( g ) = (x'(g), LY(0)) = ( J c (g-h) i ( dh ) , J C' (-h) ;(w) r G G

= J C (g-h) C (-h)* a= [ (g , y ) C ( -y ) C(-y)* dy (geG) , G i.

wobei sich das letzte Gleichheitszeichen aus der P ~ ~ s ~ l - - 4 ~ s c h e n Gleichung ( 5 . z. B. [ lo ; S. 271) ergibt. Wegen der Eindeutigkeit des nichtzufalligen Spektral- manes ist d a m F ( d ) = j "C(-y) C(-y)* d7J (J E % ( I ' ) ) . Also ist F absolutstetig,

und die Spektraldichte ist d

F ( y ) = C ( - y ) C(-y)* fur z-fast alle YET. Ferner ist r g ( P ( y ) ) =r i (C(-y) ~ ( - y ) * ) =rg(C(-y)) s p f ~ r 7-fast a11e YEr.

Damit ist Satz 1 vollstiindig bewiesen.

Grund von Lemma 1 offensichtlich Besitzt der stationare ProzeB S eine Darstellung der Form (3) . so gilt auf

(8) H X S H , . Die Frage, wann in. (S) das Gleichheitszeichen zutrifft, beantmortet unter einer zusatzlichen Voraussetzung an die duale Gruppe r der folgende

Satz 2. Der q-dimensionale stationare Prozea X auf der bokalkompukten ABEL-

schen Gruppe G , deren duale Gruppe r disk& oder b-kompckkt ist, gestattet genazr dann eine Dursteblung ( 5 ) mit einem p-dimensioncden orthogonulen N a p i, dus der Bedinyung (9) Hc=H, geniigt, zoenn sein nichtzufalliges Spektrcrlmap F bezuglich t absolutstetig ist z m d seine Spektraldichte F' der Bedingung

(10) r g ( F ' ( y ) ) = p far t-fast alle :)Er genugt.

Hlotz/Scbmidt, Eine Bemerkung 353

Bemeis . Sei F bezuglich z absolutstetig und gelte (10). Falls notwenclig. Bndern wir P' auf einer t-Nullmenge so ab , daB (10) fur alle y e 7 gilt. Auf Gruiicl von Satz 1 bleibt nur noch die Giiltigkeit von (9) zu beweisen. JIit den Eezeich- nungen aus dem Beweis von Satz 1 ist I'=NP, also ~ ( d ) = J y ( y ) Z(cZy) ( A E S(r)) uncl somit I€,&H,=H, (vgl. [8; (4.5) uncl Theorem 4.61 uncl (1)). Darnus sowie aus (4) und (8) folgt die Giiltigkeit voii (9).

Gestattet der Prozel: X eine Darstellung der Porin (5) rriit eineiri p-climensionn- len orthogonalen Ma13 c , so ist F auf Grund von Satz 1 beziiglich t absolutstetig. und es gilt (6). Esistiert nun e k e Nenge doc 23(r) mit t(d,) > O und ~ g ( F ( y ) ) -==2~ (yedo) , so existiert auf Grur:d unserer Vornussetzunsen a n r nuch eirie JIenge d , mit O<t(dl)<- uric1 rg(P'(y))<p ( Y E A , ) . Es ergibt sich 1 1 ~ 1 1

_1

( J y ( y ) Z(dy), J Y ' ( Y ) W y ) ) = J y ( y ) P'(y) y(:g):> = I'dY) d y ) T\;J):?41~)::: = A 1 A 1 4 61

Wegen qp(dI)cH, , , Y,(d,) 'IJ, und jjqp(d ,)li$=z(A ,) =-o foIgt tlaraus: H,+E-I, U I ~ C I somit wegen (1) und (4) H,+H,.

Bemerkung. Die im Satz B'angegebene zusiitzliche \ ~ o r a u s s e t z ~ ~ ~ ~ g an 1' wird nur im zweiten Teil des Beweives benotigt. Offen bleibt tlas Problem. iiiwieferii ganz auf sie verzichtet werden kann.

Wir bemerken zum Abschlul3 noch, daR man ganz analoge Aussagen auch fur die in [7] untersuchten p-dimensionalen stationaren ( im GELFANDsChen Sinne) vernllgemeinerten Prozesse erhalten kann, menn man die dor t durchge- fiihrten Uberlegungen entsprechend liorrigiert. Betreffs unendlichdiineiisionaler Darstellungen durch gleitende Mittel fur banachrauinmertige stationare verall- gemeinerte Prozesse verweisen wir auf [4].

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Xurl-JIurx- Universitiit Sektion Jf uthemut i k KarLXurx- Plat- D D R - 7'010 Leipziy

Technische Cnirrrsitdt dektioti -lIccthen~.ut ik D D R - 8027 Dresden V o n i mscnstruj3e 13