Arch. Math., Vol. 39, 551--557 ( 1 9 8 2 ) 0003-889X/82/3906-0551 $ 2.90/0 (t~ 1982 Birkhh.user Verlag, Basel

Eine Bemerkung zur Konstruktion yon Galoisdarstellungen

Von

HANS OPOLKA

1. Eine GMoisdarstellung eines Zahlk6rpers k vom Grad n ist ein Homomorphis- mus D yon der absoluten Galoisgruppe G~ ~ G(k/k) yon k in die allgemeine lineare Oruppc GL(n, C), so dab G~ : Ker (D) < oo. Es ist angenchm, solche Galoisdarstel- lungen mit naturgegebenen, z.B. diophantisehen, Objekten in Verbindung zu sehen. In der vorliegenden Note sell gezeigt werden, wie man mit Hilfe einer mehr oder weniger gut bekannten einfaehen gruppentheoretischen Methode aus tiber k deft- nierten abeIsehen Variets insbesondere aus elliptischen Kurven, gewisse Galois- darstellungen yon lc gewinnen kann.

2. Zwei Galoisdarstellungen /91, D2 von k heillen vom gleichen Gesehlecht, fails eine eindimensinoale Galoisdarstellung )~ von k existiert, so dab D2 5quivalent zu ){ (~) D1 ist. Eine projektive Galoisdarstellung yon k vom Grad n ist ein Homomor- phismus P yon Gk in die projektive lineare Gruppe PGL (n, C), so dal] der Kern yon P in G~ endlichen Index besitzt.

(2.1) Es besteht eine bi]ektive Korrespondemz zwischen den Geschlechtern yon Galois- darstellunge~ yon k (veto Grad n) und den/t'quivalenzklassen projektiver Galoisdarstel- lunffen von, k (vom Grad n).

Bewei s. Jede Galoisdarstellung D: Gk -~ GL (n, C) bestimmt durch Komposition mit der kanonischen Abbildung z~: GL(n, C)~> PGL(n, C) eine projektive Galois- darstellung P ---- J) : Gk --> PGL (n, C), deren Aqnivalenzklasse durch das Gesehlecht yon D offenbar eindeutig bestimmt ist. Sei umgekehrt P : Gk --> PGL(n, C) eine pro- jektive Galoisdarstellung. Die exakte Sequenz 1 --> C* --> GL(n, C) --> PGL (u, C) --> 1 definiert eine exakte Sequenz yon Kohomologiemengen

�9 . . -~ Hem (Gk, GL (n, C)) -> Hem (Gk, PGL (n, C))-> H 2 (G~, C*) -> . ' . .

Bekanntlich gilt H2(Gk, C*) ---- 1, vgl. etwa [8], w 6. Daher gibt es eine Galoisdar- stellung D: Gk -->-GL (n, C) mit J0 ---- P, und jede weitere G~loisdarstellung D' von G~ m i t / ) ' = P ist offenbar yon der Form D' = ;t Q D mit einer cindimensionalen Galoisdarstellung ~ yon k. Die J~quivalenzklasse yon P definiert daher genau ein Geschlecht yon linearen G~loisdarstellungen yon k.

552 H. 0POLKA ARCH. MATH,

Der soeben besehriebene Liftungsprozeft fiir projektive Galoisdarstellungen, d.h. der l~lbcrgang yon den projekt iven Galoisdarstellungen zu den gew6hnliehen Galois- darsteUungen, ist mit Hilfe galoiskohomologiseher Methoden ziemlieh gu t iibersehau- bar und soll im folgenden nieht n/~her behandel t werden. Wi t konzentr ieren uns daher haupts/tehlieh auf die Kons t ruk t ion yon projekt iven Galoisdarstellungen.

3. Die gruppentheoret ische Methode ist implizit in [11] und wurde bereits von H. Koch zur Kons t ruk t ion yon lokalen Galoisd~rstellungen benutzt , vgl. [5]. Es empfiehlt sieh, die Kernstt ieke dieser Methode in einer fiir die hier verfolgten Zweeke niitzliehen :Form darzustellen. Sei dazu 1 -+ 92 -+ 11 -+ 6} -+ 1 eine Erwei terung pro- endlieher Gruppen mit abelsehem Kern ~l und Kohomologieklasse e eH2((.!t, 92). Sci P : 92 -+ PGL (n, C) eine irreduzible projektive Darstel lung mit 92: Ker (P) < oo. Seize A : = 92/Ker(P). Dann liigt sich P als treue projektive Darstel lung von A auf- fassen. Jeder Automorphismus ~ E Aut (A) definiert dureh P~(a):= P(a(a)), a ~ A, eine treue projektive Darstel lung P z yon A. Sei Sp(A, P) die l Jn tergruppe der a E Aut (A), so daft p a ~iquivalent zu P ist. Sei T ein Vertreter yon P, d.h. T ist eine Abbi ldung T: A - + G L ( n , C), die, wenn man sic mit der kanonisehen Abbi ldung GL(n, C) -> PGL(n , C) komponiert , P ergibt. Da A abelsch ist, wird dureh

(a, b) ~ . [T (a), T (b)] = T (a )T (b)T (a) - t T (b) -1 ~ C*" I d

eine symplektische Form eo = ~op : A • A -7 C* definiert. Ni t Hilfe des Schursehen Lemmas zeigt man, daft diese nichtau,~geartet ist und der _;/_quivalenzklasse yon P eindeutig entsprieht. Jedes a ~ Aut (A) definiert vermSge ~o a (a, b) : = co (a (a), a(b)), a, b e A, eine symplektisehe Form co ~, und es gilt co ~ -- co genau dann, wenn Pa s ist zu P. Daraus folgt

(3.1) Sp(A, P) i~'t fleich der sympIelctischen Gruppe Sp(A, w) zur Form co.

Wir identifizieren nun A mit dcm Bild yon 92 in PGL (n, C) unter P und bezeichnen mit U den Normalisator yon A in PGL (n, C). Offcnsichtlich existiert eine kanonische E inbe t tung A c~ U. Durch Konjuga t ion operiert U auf A, und man erhfilt daher einen Homomorph i smus O: U--> Sp(A , co). Grundlegend ist nun die folgende T~t- sache, deren einfacher Beweis implizit in [5], Abschni t t 3, ist und daher hier iiber- gangen werden soll.

(3.2) Die Abbildung 0 ist sur]ektiv und hat den Kern A, d.h. wit haben eine exal~te Sequenz 1 --> A -> U --> Sp (A, o)) --> 1. Diese zer/~illt, wenn 2 nicht in n au/geht.

Sei nun Q: (~ -+ Sp(A , co) ein Homomorph i smus mi t 63 : Ker(Q) ~ ~ . Wi t be- t rachten das folgende Diagramm yon Abbildungen

1-~92--~1I --> 6~ -->1

(.) 1 -~- A -~ U --> Sp (A, co) -+ 1

C5 (3

PGL (n, C)

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und fragen, wann und wie dieses kommuta t iv durch einen Homomorphismus F : lI -> U nrg~tnzt wnrdnn k,~nn. F ist dann einc irreduzible projektive Darstellung yon ll veto Grad n. Eine Ant.wort auf dinsn Frage gibt nin allgemeines Lnmma yon Artin-Tate, vgl. [1], Chap. 13, Theorem 2. In unserer Situation bns~gt es folgendns:

(3.3) Des obige Diagram m (*) kann genau dann dutch einen Homomorphismus F : l l - - > U kommutativ erg/inzt werden, wenn das Bild yon e ~H2((,~t, ~) unter der durch P induzierten A bbildung H2(~ , ~) -> H ~- (6J, A) mit dem Bild der zur Erweite- rung 1 - > A - ~ U---> S p ( A , co)--> 1 geh6rige~ Klasse ~ e H 2 ( S p ( A , co), A) unter der dutch Q induzierten Abbildung H 2 (Sp (A, co), A) --> H 2 (6t, A) zusammen/~illt. Weun 2 nicht i~ n au/geht, ist das also hack (3.2) genau dann der Fall, wenn e in H2(0t, A) trivial wird. Nennt man zwei Homomorphisme~ F, F ' : 1l --> U, die (*) t:ommutativ ergiinzen, 6:hnlich, /alls ein a ~ A exi~'tiert, so daft F ' (x) = a F ( x ) a - i /iir alle x c U gilt, ,so operiert die Kohomologiegruppe H i ((!t, A) dutch Mult ipIikat ion transitiv und /ix- punlct/rei au] die+'en ~ihnlichkeitsklassen. Bei /estem Q lie/ern ~iguivalente pro]e/ctive Darstellungen P, P ' yon 9X -- wenn iiberhaupt - - 6hnliche LSsungshomomorphismeu F, _~' und daher iiquivalente pro]ektive Darstellungen F, F' .

Ein Bewcis der tblgnndnn Aussage ist in [5], Abschnitt 4, enthalten.

(3.4) E i n Homomorphismus F : 1I -~ U, der das obige Diagramm kommutativ er. gdinzt, stellt genau dann eine primitive pro]el#ive Darstellu~ W dar, wenn die Abbildung Q: ~) ~,- Sp (A, (~) anisotrop ist, d.h. wenn in A ]cei.J~.e echte Untergruppe A o existiert, die bezi~glich co isotrop ist und [iir die Q ((~)A o c A o/i ir alle (r ~ | gilt.

Eine projnktive Darstnllung wird primitiv gen~nnt, weml eine (und damit jndn) Liftung pr imi t iv is t .

In der Theorin der projektiven Darstellungnn zeigt man, vgl. z.B. [12], w 6, dab fiir den Grad n einnr irreduziblen projektiven Darstellung P einer abclschnn Gruppe ~[ die ]~eziehung n 2 ~ ~[: Ker eo gilt. Is t daher in der Situation von (3.3) und (3.4) n ~ p ninn Primzahl :~2, dann ist A == ~t/Knr cop ~ ?//p x -Z/p und S p ( A , ~o) SL(2 , p). Weil jede Untnrgruppe yon ~_/p X -Z/p der Ordnung p isotrop ist, nrwcist sich die Bedingung ,,Q : (~i -> S L (2, p) anisotrop" als gleichbndeutnnd mit dnr Irre- duzibilit/~t yon Q. Es ergibt sieh also

(3.5) Is t n = p eine ungerade Primzahl, so ist ein Homomorphi.~'mus 1~': li I-> U, der (,) kommutativ erg~inzt, als pro]ektive Darstellung genau dann primitiv, wenn die Darstellung Q : 6J -> S L (2, p) irreduzibel i~'t.

4. Sei A eine fiber k definierte selbstduale abclsche Variet~t der Dimension d, sei m einc ungcradc natiirliche Zahl und sei Am die Gruppe der Elemente aus A, dernn Ordnung in m aufgeht. Als abelsche Gruppe ist A m isomorph zum d-fachen direkten 1)rodukt yon 77/m • 7//m. Sei K = K ( m ) : = k(Am) die aus /c durch Adjunk~ion yon Am entstehende Galoisnrweiterung yon k. | =- | G(K(m) /k ) operiert treu auf Am. Wir erhaltcn also nach Auswahl einer Z/m-Basis yon A m nine treue

554 It. OeoLxA ARCH, MATrI.

Darstellung Qo = Qo(m): (% q, GL(2d, g/m). Sei ~m eine primitive m-re Einheits- wurzel. Die Weilsehe Paa rung o): Am • Am-~ (~m> ist eine nichtausgeartete sym- plektisehe Form mit der Eigenschaft eo<*(a, b) :~-- co(or(a), ~(b)) = (co(a, b)) a fiir alle a, b ~ A m , ~ + 630- Setze lcm : = k($m), 63 ----- 6~(m) := a(K(m)/km). Dann lggt 63 die Weilsehe Paa rung fast, und die Einsehrii.nkung von Q0 auf 63 liefert eine symplek- tische Darstel lung Q = O(m): 65 --+ Sp((2/m • g/m) a, ~o). Sei P : Am -+ P G L ( m e, C) eine dutch m best immte treue irreduzible projektive Darstel lung yon Am veto Grad ma. Das Bild yon P ist isomorph zu (g/m • 7lira) cz. Sei ll = l~l(m) : = Am ><] 63 das dutch die Operation yon 6~ auf Am best immte semidirekte Produkt . Naeh (3.5) definieren Q und P eine irreduzible projektive Darstel lung F = F(m) yon lI. Das zu [t gehSrige Einbet tungsproblem besitzt nach Seholz eine eigentliehe L6sung, vgl. [7], d.h. es existiert ein Einbet tungsepimorphismus ~f: Gx. -+ lI, so dab folgen- des Diagramm kommut ie r t

~ m

U-+ 63

Fv~ --= F w (m) : - - F �9 W ist daher eine irreduzible projektive Galoisdarstellung von G~,~ vom Grad m 4', deren "~quivalenzklasse naeh (3.3) his auf HZ(6t, P(Am)) durch die Isomorphieklasse yon et und dnreh die )~hnlichkeitsklasse yon W eindeutig bes t immt ist. /)abel heiBen zwei Einl)et tnngsepimorphismen ~0', y~: Ok,,, -> lI 5hnlieh, falls ein a ~ Am existiert, so dab y/(~) --=-ayJ((~)a -1 fiir alle r c-G~,, gilt. Die Kons t ruk t ion wird deutlieh im folgenden kommuta t iven Diagramm, in dem die beiden unteren Zeilen exakt sind.

1 - - . . . . . . > (Jl~0~,) " (;k,,, ---= G~., ~ +

1 . . . . . . A m - - - - - - + It .... A m ><J 63 + 63 -~ 1 4 Q~

e.~ l; 4 Q4 OL(2d, Z/m) 1 -> (~_/m • 7_/m)a > U ,. ,S 'p((~/m • ~/m),t , v~) = , 1

.p .p

P G L ( m n, C) P G L ( m a, C)

Sei _~w eine Lif tung yon F v zu ciner linearen Galoisdarstellung yon Gk, vgl. Ab- schnit t 2. Sei R die yon 2,~w auf Gk induzierte Galoisdarstellung. Eine elementare darstellungstheoretisehe ~ber legung, die lediglieh die Cliffordsehe Theorie, vgl. [4], w 17, und die Kommuta t iv i t i t t yon G(Icm/Ic) benutzt , zeigt: R ist gquivalent zu 4, �9 D @ ).~ �9 D @ ha �9 D @ . ' - , wobei ~t Charaktere yon O(km/k) sind und D ein irreduzibler Bestandtei l von R ist. Die zu ).l �9 D i m Sinne yon Absohni t t 2 geh6rigen projekt iven Darstel lungen sind alle gqui~,alent, d .h . ~ bes t immt genau eine fi~qui- valenzklasse irreduzibler projekt lver Galoisdarstellungen D (Fw) von lr,. I ndem m a n nun alle mSgliehen Lif tungen yon F v, durehl.auft, erh/ilt man so eine din'oh die Iso- morphieklasse yon A, dureh die fi, hnliehkeitsklasse von W und dureh IIl(| P(Am))

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wohlbestimmte Serie von J~quivalenzklassen irreduzibler projektiver Galoisdar- stellungen yon k.

Es fragt sich, ob man die Willkiir, die in der Auswahl der Liftung you F~ liegt, nieht beseitigen kann, indem ,nan eine nur yon der Isomorphieklasse yon A und yon der Zhnliehkeitsklasse vou ~/~ abh~ngige Liftung von Fv, konstruiert. Das ist, wie gezeigt werden soil, fhr spezielle elliptische Kurven mSglich. Rein gruppentheoretiseh ist es naheliegend, zu Am und zur Weilschen Paarung w: ATn >; A m - + <~m> die - - heute sogenannte -- Heisenberggruppe (Am, (~), vgl. [11], Abschnitt 31, zu bilden. (Am, ~) ist eine 2-stufige nilpotente Gruppenerweiterung yon Am mit Kern <Sin> zu einem gewisscn dureh ~o eindeutig best immten 2-Kozykel. Die Operation yon (~t auf Am induziert einc Operation yon q~t auf (A m, w), die den Kern <$,~> fest 1/~13t. Wir bilden das semidirekte Produkt ll(m, ~ ) : - - ( A m , ~o)><~ 5t. Ein S~tz yon Safa revi5 [7] besagt, daft jedes Einbettungsproblem zu einer zerfallenden Gruppen- erweiterung, deren Kern eme p-Gruppe ,nit einer h~ilpotenzklasse < p ist, eigentlich 15sbar ist. Wenn m Potenz einer ungeraden 1)rimzahl ist, ergibt sieh daraus die L6sbarkeit des zu 12 (m, ~o) gehSrigen Einbettungsproblems.

In Spezialfii.llen ffihren diese l~berlegungen zum Erfolg:

(4.1) Sei A eine iiber k de/inierte elli29tische Kurve ohne komplexe Multiplikation. Dann exi6tiert eine endliche Menge vom Primzahlen S, so daft ]iir p ~ S durch dee Isomorphieldasse von A und durch die A'hnlichkeitsk~sse eine8 Einbettungsepimor- phismus q~ : Gk~ -~ LI (p, co) ~ (A,j), oJ) ><3 (~ his au/ fifquivalenz genau eine irreduzible pro]ektive Darstellung D ~- D(A, p, q)) voz~ Gk bestimmt wird. Alle irreduziblen Be- standteile der Einschriinkung yon D (A, p, q~) au[ Gk~ send primitiv.

B e w e i s . Naeh dem sogenannten Irreduzibilit/i.tssatz, vgl. [10], w 4, ist die Dar- stellung Q0(p) : (t~0 (p) -+ 6'L(2, p) fiir fast alle Primzahlen p irreduzibel und ent115It SL (2, p) in ihrem Bild. Sei S die endliche Menge der Primzahlen, die diese beiden Eigense]mften nicht haben und sei aul3erdem 2 e S. Man prtift leieht nach (z. B. mit Hilfe der Cliffordsehen Theorie), dab fiir p q~ S aueh die Darstellung Q (p) : (_~ (p) -> SL(2, p) irreduzibel ist. AuBerdem ist fiir p ~ S das Bild yon Q(p) gleieh SL(2, p), denn die Darstellung det(Q(lo)): ( r io (p )~ (Z/p)* besehreibt ja bekanntlieh die, Operation yon G(kp/k). Es tblgt, dab fiir p q~ S die Gruppe Hl(6}(p), P(Av) ) trivial ist, vgl. z.B. [2], w 5. Naeh (3.3) ist daher fiir p ~ S dureh die Isomorphieklasse yon A und dureh die J~hnlichkeitsklasse eines Einbettungsepimorphismus q~: Gk, -> ll (p, ~o) his auf Aquivalenz genau eine irreduzible projektive D~rstellung

Fr (p) = F (p) o ~ o r F : G~, -~ li (p, co) ~ U c~ PGL (p, C)

bestimmt. Wir beweisen zun/tchst

Fiir p (~ S ist die Darstellu~g Fr primitiv, und ihre Kozykelkla,~se ist trivial.

Da dic Darstellungen Q(p): ~ (p ) -+ SL(2, p) fiir p ~ S irreduzibel sind, ergibt sieh die Primitivit/it yon Fr (p) aus (3.5). Um zu zeigen, da3 die Kozykelklasse you ~'r (p) trivial ist, notieren wir zun/~chst zur Verdeutliehung das folgende kommuta t ive

556 H. OPOLKA ARCH. MATH.

D i a g ramm

(~ (p) = ~ (p) ~ SL (2, p)

l t(p, w) ~ lt(p)-• U ~ PGL(p , C)

P (Av,co) -~ Av -->;~/p • ;Z/p ~ P G L ( p , C ) .

Da (Ap, w) 2-stufig n i lpotent ist, ha t sie die Eigenschaf ten einer Schurschen Dar- s tel lungsgruppe, vgl. [4], V, w 23. Die pro jek t ive Dars tc l lung P : A~ -> P G L ( p , C) zur Weilschen Paa rung co I's sich daher zu einer Dars te l lung P o z yon (A~, w) mi t t r ivialer Kozykelklasse liften, und die Einsehr~inkung der Darste l lung F (p) o g yon ll(p, co) auf (Ap, ~o) s t immt mi t P o 7~ iibcrein. Daher licgt die Kozykelklasse yon F(p) o .~ im Kern H2( i l (p , o)), C*) ~ der l~estr ikt ionsabbi ldung

H2( l I (p , eJ), C*) -->He((Av, w), C*) .

Wir zeigen, dab dieser Ke rn tr ivial ist, indcm wir das folgende Stiick der exak ten Hoehsehi ld-Serre Sequenz auswerten, wobei .4~ = H e m (Av, C*) n~ch Kons t ruk t ion yon (Ap, w) zu (Av, co) ̂ 6t(p)- isomorph ist:

H2(63(p), C*) -~ H2(U(p , (~), C*) ~ =~.H~((.9(p),.}v).

Die beiden ~iugeren Gruppen sind wegen (9(p)-~: SL(2, p) tr ivial , vgl. [4],V, 25,5, bzw. [21, w 5.

Sei nun S irgendeine lineare Dars te l lung yon ll(p, ~o), die F~(p) repr~tsentiert, und sei T die von S auf Gk induzierte lineare D~rstellung. Jede andere F r reprO- sentierende lineare Dars te l lung S ' ist ~quivalent zu 2 @ S mi t e inem 2 e U (p, o))^. Sei ~ irgendeine Funk t ion auf G~, deren Einsehrhnkung auf G~, gleich 2 ist. Einc Vcral lgemeinerung des Frobeniusschen l~eziprozitStsgesetzes zeigt, dab T ' = Ind (S') i~quivalent ist zu ~ @ T, vgl. [6]. Daher definieren T und T ' /~qu iva len te pro jek t ive Dars te l lungen yon G~. T und T' sind auBerdcm irreduzibel, denn alle G~-Konjugier- ten yon S und S' sind inSquivalent . ] )~mit ist (4.1) vollst'~ndig bewiesen.

Als numerisehes Beispiel dient die iiber (D definierte elliptisehe K u r v e 9 .2 q- x a q- x 2 -]- x = 0, vgl. [9], Chap. IV, 3.3. Hie r besbeht die Ausnahmemenge S nur aus der Pr imzahl 2.

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Ansehrift des Autors:

Hans Opolka Mathematisches Inst i tut EinsteinstraBe 64 D-4400 Mfinster

Eingegangen am 18, 12. 1981")

*) Eine ]eieht modifizierte Neufassung ging am 18. 1. 1982 ein.