Eine Einführung in Model Predictive Control

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Eine Einführung inModel Predictive Control

Eine Einführung in Model Predictive Control 2

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Revisionen

AnmerkungDiese Arbeit ist im Wesentlichen während der Forschungstätigkeit des Autors am Institut für Mess-und Regeltechnik, ETH Zürich, entstanden.

Revision Datum Autor Kommentare

1.0 2 Juni 2009 H. Musch

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Einleitung

“Model Predictive Control” (MPC) ist eine Technik, welche auf der on-line Optimierung vonquadratischen Gütekriterien beruht. Im Gegensatz zu PID- oder Zustandsreglern wird bei die-sen Verfahren das Regelgesetz nicht explizit formuliert, sondern lediglich ein Gütefunktionalvorgegeben. Das Verhalten des Reglers ergibt sich aus der On-line-Minimierung dieses Güte-funktionals im Zeitbereich und wird damit nur implizit definiert. Dies hat den grossen Vor-teil, dass Beschränkungen der Stell- und anderer Systemgrössen direkt berücksichtigtwerden können. Ein Nachteil ist jedoch der recht hohe On-line-Rechenbedarf, welcher dieAnwendung dieses Verfahrens bei schnellen Regelstrecken erschwert. Diese Limitierung kannmit expliziten Verfahren (Bemporad et. al) überwunden werden.

MPC wurde in der Industrie besonders für jene multivariablen Regelstrecken entwickkelt, beidenen ein Betrieb häufig an Prozessschranken erfolgt. Dieses Regelverfahren hat sich sehrbewährt und wird routinemässig eingesetzt.

Eine weit verbreitete Variante von MPC stellt der “Dynamic Matrix Control” (DMC) genannteAlgorithmus dar. Seine einfache Form und Realisierung machen ihn für eine Einführung indieses Gebiet besonders geeignet. Im folgenden wird daher der DMC-Algorithmus eingeführtund anhand von Beispielen vertieft.

1 Grundlegende Ideen

1.1 Streckenmodell

Bereits die Bezeichnung “Model Predictive Control” weist darauf hin, dass diese Regelverfah-ren auf Prozessmodellen beruhen. Ein besonders einfaches Prozessmodell erhält man auseiner Sprungantwort des Stellverhaltens mit Δu=1:

Tastet man den Ausgang mit einer Periode von ab, erhält man die Sprungantworts-Koef-fizienten .

u y

Δu = 1

Abbildung 1: Stellverhalten eines Systems

h1

h2

h3

t t

Ts

Tshi

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Nehmen wir nun an, dass an der Stellgrösse ein zweiter Sprung zum Zeitpunkt angelegt wird. Unter Anwendung des Superpositionsprinzips gilt für den Ausgang

(siehe auch Abbildung 2)

(1)

Das Prinzip der Superposition kann auf beliebig viele Änderungen der Stellgrösse und einenbeliebig grossen Zeithorizont erweitert werden. Es impliziert jedoch ein lineares Modell derRegelstrecke. Betrachtet man einen Stellhorizont von , einen Ausgangshorizont von Abtastschritten und geht von einem beliebigen Zeitpunkt aus, lässt sich dieser Zusam-menhang in Matrizen-Notation darstellen:

Δu 1( )t 1Ts=

t

u

Abbildung 2: Superposition von zwei Sprüngen am Eingang der Regelstrecke

Δu 0( ) 1=

Δu 1( ) 0.5=

hiΔu 0( )

hiΔu 1( )

+

y

=t

t t

t 0=t Ts=

t 2Ts=

t 3Ts=

y 0( ) 0=y 1( ) h1Δu 0( )=

y 2( ) h2Δu 0( ) h1Δu 1( )+=

y 3( ) h3Δu 0( ) h2Δu 1( )+=

Nu NykTs

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(2)

oder

(3)

Eine Alternative für diese Darstellung ist die folgende Summenformel:

(4)

Die etwas komplizierte untere Grenze für den Summations-Index verhindert die Mitberück-sichtigung von nicht vorhandenen Stelländerungen für .

1.2 Open-loop response

In Gleichung (2) wurde davon ausgegangen, dass vor dem Zeitpunkt keine Ände-rungen an der Stellgrösse vorgenommen wurden. Diese Annahme ist nicht gerechtfertigt, dain einem Regelkreis zu jedem beliebigen Zeitpunkt Stelländerungen notwendig sein können.

Daher wird sich die Ausgangsgrösse auf Grund der Stelländerungen in der Vergangenheit ändern, auch wenn ab dem aktuellen Zeitpunkt keinerlei Korrekturen an

der Stellgrösse mehr vorgenommen würden. Die Wirkung der vergangenen Stelländerungenmuss daher bei der Berechnung von unbedingt berücksichtigt werden.

Falls in den vergangenen Abtastschritten auch Stelländerungen erfolgt sind undkeine anderen Einflüsse auf den Prozess gewirkt haben und wirken werden (d.h.

), dann gilt

(5)

Da dies der Ausgangsgrösse ohne Regelung entspricht, wird häufig als “Open-loopresponse” oder “freie Antwort” bezeichnet.

y k 1+( )

y k 2+( )

y k 3+( )

…y k N+ y( )

h1 0 0 … 0

h2 h1 0 … 0

h3 h2 h1 … 0

… … … … …hNy

hNy 1– hNy 2– … hNy 1 Nu–+

Δu k( )

Δu k 1+( )

Δu k 2+( )

…Δu k N+ u 1–( )

=

y HΔu=

y k j+( ) hiΔu k j i–+( )

i max 1 j Nu– 1+,( )=

j

∑= j∀ Ny≤

ij i– Nu 1–>

t kTs=

k 1– k 2– …, , kTs

y k j+( )

Ny Ny

Δu k j+( ) 0 j 0≥∀=


i 1 j+=

Ny j+

∑=

hi j+ Δu k i–( )

i 1=

Ny

∑=

mit hi j+ hNy i j Ny>+∀=

y

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1.3 Störgrösse

Noch nicht in Betracht gezogen wurde die aktuelle Messgrösse . Da immer Störungenauf die Regelstrecke wirken und das lineare Sprungantwort-Modell keine perfekte Beschrei-bung des Prozesses sein kann, wird die Messgrösse von abweichen:

(6)

Diese Abweichung entspricht einer Störung am Ausgang der Regelstrecke (siehe Abbildung3).

Da keine weiteren Informationen über den Verlauf der Störung vorliegen, ist die aktuelleStörung auch die beste Schätzung für die zukünftigen Störungen:

(7)

Diese Kenntnis kann dazu eingesetzt werden, die Vorhersage von zu verbessern.

1.4 Prädiktion des Verlaufs der Ausgangsgrösse

Die Prädiktion der Ausgangsgrösse in Abhängigkeit von

• den zukünftigen Stellgrössen ,

• den vergangenen Stellgrössen und

• der Störung

kann als Summe der drei Teilbeiträge berechnet werden

(8)

oder eingesetzt für :

ym k( )

ym k( ) y k( )

ym k( ) y k( )– d k( )=

Abbildung 3: Störmodell

Regelstrecke

d

ymyu Modell der

d k j+( ) d k( )= j 0>∀

y

y k j+( )

Δu k( ) Δu k 1+( ) …, ,

Δu k 1–( ) Δu k 2–( ) …, ,

d k( )

y k j+( ) y k j+( )=y k j+( )+d k( )+

1 j Ny≤ ≤

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(9)

Die beiden letzten Terme können in den Koeffizienten zusammengefasst werden

(10)

und damit Gleichung (9) wie folgt vereinfacht werden:

(11)

Eine noch einfachere Form erhält man mit der Matrizenschreibweise

(12)

und den Vektoren

, (13)

wobei hier die Stelländerungen , welche beim Abtastschritt prädik-tiert wurden, im Vektor zusammengefasst werden. Die Berechnung von wird in den folgenden Abschnitten erläutert.

2 Das Gütefunktional

Das Regelziel ist eine möglichst gute Übereinstimmung der Soll- und Istwerte. Im Zeitbe-reich kann eine Regelgüte z.B. durch die Summe der Regelfehler-Quadrate beurteilt werden.Ausgehend vom aktuellen Abtastschritt kann man über einen Zeithorizont von Abtast-


i max 1 j Nu– 1+,( )=

j

∑=

hi j+ Δu k i–( )

i 1=

Ny

∑+

ym k( ) hiΔu k i–( )

i 1=

Ny

∑–+

“Zukunft”

“Vergangenheit”

“Korrektur”

pj

pj ym k( ) hj i+ hi–( )Δu k i–( )

i 1=

Ny

∑+=

y k j+( ) hiΔu k j i–+( )[ ]

i max 1 j Nu– 1+,( )=

j

∑= pj+

y k( ) HΔup k( ) p+=

y k( )

y k 1+( )

y k 2+( )

…

y k Ny+( )

= Δup k( )

Δu k( )

Δu k 1+( )

…Δu k Nu 1–+( )

= p

p1

p2

…pNy

=

Δu k( ) Δu k 1+( ) …, , kΔup k( ) Δup k( )

k Ny

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schritten in die Zukunft schauen und diejenigen Stellgrössen berechnen, welche die Qua-dratsumme der Differenz zwischen prädiktiertem Ausgang und dem Sollwert minimieren:

(14)

Damit jedoch der Verlauf der Stellgrösse nicht allzu nervös wird und eine genügende Robust-heit erzielt wird, müssen auch die Änderungen der Stellgrösse von Abtastschritt zu Abtast-schritt berücksichtigt werden. Aus diesem Grund wird ein Gütefunktional verwendet,welches aus der Quadratsumme der Regelfehler und der mit gewichteten Quadratsummeder Stellgrössenänderungen besteht:

(15)

In dieser Gleichung ist die Prädiktion der Ausgangsgrösse, ausgehend vom aktuel-len Zeitpunkt bis zum Punkt in die Zukunft. Dieser prädiktierte Verlauf kann durch die Stelländerungen beeinflusst werden, wobei die erste Stellände-rung zum aktuellen Zeitpunkt erfolgt, die Prädiktion aber erst ab dem Abtastschritt von Interesse ist. Der Parameter gibt den betrachteten Ausgangshorizont, der Parameter

den Stellhorizont an. Der Stellhorizont kann durchaus kleiner als der Regelhorizontgewählt werden, wobei für angenommen wird1.

Das Lösungsverhalten kann mit dem Faktor beeinflusst werden. Grosse -Werte legenGewicht auf kleine Stelländerungen, kleine -Werte dagegen auf möglichst kleine Regelfeh-ler.

3 Minimierung ohne Begrenzungen der Stellgrössen

Setzt man die Prädiktions-Gleichung (12) in das Gütefunktional ein, erhält man

(16)

Dieses Gütefunktional ist minimal, falls

1. Anmerkung: Nicht zulässig ist , da in diesem Fall das Problem singulär wird.

y r

J y k j+( ) r k j+( )–[ ]2

j 1=

Ny

∑=

λ2

J y k j+( ) r k j+( )–[ ]2

j 1=

Ny

∑ λΔu k j+( )[ ]2

j 0=

Nu 1–

∑+=

y k j+( )kTs k Ny+( )Ts y

Δu k j+( )k k 1+

NyNu

Δu k j+( ) 0= j Nu≥

Nu Ny>

λ λλ

J y k j+( ) r k j+( )–[ ]2

j 1=

Ny

∑ λΔu k j+( )[ ]2

j 0=

Nu 1–

∑+=

HΔup k( ) p r–+[ ]T HΔup k( ) p r–+[ ] λΔup k( )TλΔup k( )+=

Δup k( )T HTH λ2I+[ ]Δup 2 p r–( )THΔup k( ) p r–( )T p r–( )+ +=

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(17)

Löst man die Gleichung nach auf, erhält man:

(18)

Der optimale zukünftige Verlauf der Stellgrösse kann dementsprechend mittels einer einfa-chen Multiplikation einer konstanten Matrix mit dem prädiktierten Regel-fehler berechnet werden. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass die Stellgrösse oderRegelgrösse keinen Schranken unterliegt.

4 Das “Moving-horizon”-Konzept

An diesem Punkt der Betrachtung sind wir in der Lage, für einen beliebigen Abtastschritt den optimalen und in die Zukunft extrapolierten Verlauf der Stellgrösse zu berech-nen. Es stellt sich nun die Frage, wie mit Hilfe dieser Open-loop-Lösung ein Regelkreis auf-gebaut werden kann.

Bei MPC geschieht das Schliessen des Regelkreises durch die Wiederholung der Optimierungfür jeden einzelnen Abtastschritt. Vom berechneten Vektor wird jeweils nur daserste Element berücksichtigt und die Stellgrösse mit korrigiert (Abbildung 4). Eine Rückführung der Regelgrösse entsteht dabei durch die Berech-nung des Korrektur-Terms in Gleichung (9). Mit Hilfe dieser Korrektur wird der prädiktierteAusgangsverlauf mit der aktuellen Messgrösse in Einklang gebracht.

Da bei diesem Vorgehen ein Zeithorizont fester Länge um jeweils die Abtastzeit verscho-ben wird, spricht man auch von einem “Moving horizon” 1.

5 Ein Beispiel

Für den Wärmetauscher wurde in Kapitel 4.2 (Fig. 4.10) eine Sprungantwort des Stellverhal-tens wiedergegeben. Tastet man die Sprungantwort mit s ab und normiert diese mitder Sprunghöhe von kg/s, erhält man die in Abbildung 5 dargestellten Koeffizi-enten .

1. Anmerkung: Diesem Konzept liegt die Annahme zugrunde, dass die Berechnung von schnell erfolgt, da eine Totzeit zwischen der Abtastung und der Ausgabe der neuen Stell-grösse nicht vorgesehen wurde. Mindestens im hier betrachteten Fall der Regelungohne Schranken ist diese Annahme gerechtfertigt, da für die Berechnung des ersten Ele-ments von lediglich ein Skalar-Produkt der ersten Zeile der konstanten Matrix

mit dem prädiktierten Regelfehler gebildet werden muss.

dJdΔup------------- 2 HTH λ2I+[ ]Δup 2HT p r–( )+ 0= =

Δup

Δup HTH λ2I+[ ]1–HT r p–( )=

HTH λ2I+[ ]1–HT

r p–( )

kΔup k( )

Δup k( )Δup k( )1 u k( ) u k 1–( ) Δup k( )1+=

Ts

Δup

u

Δup

HTH λ2I+[ ]1–HT r p–( )

Ts 30=Δu 0.1–=

hi

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Da das System nach ca. 1200 s praktisch vollständig zur Ruhe gekommen ist, wurde ein

grosszügiger Prädiktionshorizont von gewählt. Der Stellhorizont wurde etwas kür-

zer mit angesetzt, was den Rechenaufwand reduziert und die Robustheit der Rege-

lung erhöht.

Bei quadratischen Problemen hat die Skalierung einen grossen Einfluss auf das Verhalten

des Regelkreises. Um den Tuning-Faktor möglichst unabhängig von der statischen Strek-

kenverstärkung zu machen, ist es daher zweckmässig, die Regelstrecke so zu skalieren, dass

Zeitpunkt 15*Ts

Zeitpunkt 16*Ts

Zeitpunkt 17*Ts

Stel

lgrö

sse

u

Abbildung 4: Das “Moving-Horizon”-Konzept

Δup 16( )

Δup 15( )

Δup 17( )

15 16 17

Ny 40=Nu 30=

λ

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diese eine Verstärkung von ca. 1 aufweist. Dementsprechend wurde das Sprungantwortmo-dell innerhalb des DMC-Algorithmus mit einem Faktor 0.01 skaliert.

Das Störverhalten des Regelkreises bei einer sprunghaften Änderung des Zulaufs um -0.1 kg/s bei wird in Abbildung 6 gezeigt. Für kleine λ-Werte reagiert der Regler schnellerund nervöser als bei einer grossen Gewichtung der Stellgrössenänderungen.

Eine besondere Eigenschaft aller MPC-Regelungen wird in Abbildung 7 demonstriert. Fallsder Verlauf des Sollwerts im voraus bekannt ist, kann der Regler aufgrund der Prädiktionbereits vor der eigentlichen Sollwertänderung eingreifen und damit die Verzögerung derRegelstrecke weitgehend kompensieren.

6 Regelung mit Begrenzungen der StellgrössenTypischerweise unterliegen die Stellgrössen gewissen Schranken wie z.B. einer Ventilöffnungvon 0-100%. Falls diese Schranken während der Regelung berücksichtigt werden sollen,muss das Gütekriterium

(19)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Zeit (s)

Tem

pera

tur

(°C)

Abbildung 5: Einheits-Sprungantwort des Wärmetauschers (Stellverhalten)

t 300s=

J Δup k( )T HTH λ2I+[ ]Δup 2 p r–( )THΔup k( ) p r–( )T p r–( )+ +=

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Abbildung 6: Störverhalten des DMC-geregelten Wärmetauschers

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180059

60

61

62

63

64

65Te

mpe

ratu

r (°

C)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0.160.180.200.220.240.260.28

Zeit (s)

Durc

hflu

ss (

kg/s

)

λ2 = 0.001

λ2 = 0.1

λ2 = 10

Abbildung 7: Führungsverhalten des DMC-geregelten Wärmetauschers

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180059.5

60.0

60.5

61.0

61.5

62.0

62.5

Tem

pera

tur

(°C)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0.3

0.35

0.4

Zeit (s)

Durc

hflu

ss (

kg/s

)

λ2 = 0.001λ2 = 0.1 λ2 = 10

Sollwert

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on-line mit einer numerischen Optimierung minimiert werden. Da die Lage des Optimumsnicht von der Konstanten abhängt, wird das Problem vorteilhaft auf fol-gende Form gebracht:

(20)

mit

(21)

Die Matrix und den Vektor erhält man aus der Forderung, dass die Summe aller Stellän-derungen die Stellgrenzen nicht überschreiten darf:

(22)

oder

(23)

Für die Lösung von quadratischen Problemen stehen ausserordentlich leistungsfähige Algo-rithmen zur Verfügung. Ein Problem mit 80 Variablen kann auf einem modernen PC in weni-ger als einer Sekunde gelöst werden.

p r–( )T p r–( )

Δup k( ) arg min Δup k( )TFΔup k( ) 2fΔup k( )+[ ]=

subject to RΔup k( ) l<

F HTH λ2I+= f HT p r–( )=

R

1 0 0 0 0 … 0

1 1 0 0 0 … 0

1 1 1 0 0 … 0

… … … … … … …1 1 1 1 1 … 1

1– 0 0 0 0 … 0

1– 1– 0 0 0 … 0

1– 1– 1– 0 0 … 0

… … … … … … …1– 1– 1– 1– 1– … 1–

= l

umax u k 1–( )–

umax u k 1–( )–

umax u k 1–( )–

…umax u k 1–( )–

umin u k 1–( )–[ ]–

umin u k 1–( )–[ ]–

umin u k 1–( )–[ ]–

…umin u k 1–( )–[ ]–

=

R l

j 0:=j 1:=j 2:=

umin u k 1–( ) Δu k( )+ umax< <

umin u k 1–( ) Δu k( ) Δu k 1+( )+ + umax< <

umin u k 1–( ) Δu k( ) Δu k 1+( ) Δu k 2+( )+ + + umax< <

Δu k j+( )

j 0=

Nu 1–

∑ umax u k 1–( )–<

Δu k j+( )

j 0=

Nu 1–

∑– umin u k 1–( )–( )–<

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Das unterschiedliche Verhalten des begrenzten und unbegrenzten DMC-Reglers wird in denAbbildungen 8 und 8 gezeigt. Bei diesen Simulationen wurde bei t=0s der Sollwert auf 20°Cgesenkt und bei t=900s wieder auf 60°C erhöht. Da im ersten Fall der Regler keine Kenntnis

der Stellgrenzen hat, verlangt er Durchflüsse des Heizmediums weit jenseits der Grenzen.Dies hat zur Folge, dass die Prädiktion des Ausgangsverlaufs fehlerhaft wird und verursacht

bei der Erhöhung des Sollwerts ein träges und unbefriedigendes Verhalten. Die Berücksichti-gung der Stellschranken führt dagegen zu einer korrekten Prädiktion und einem wesentlich

besseren Verhalten.

7 Störgrössenaufschaltung

Aus Kapitel 7.2 ist das Konzept der Störgrössenaufschaltung bekannt und kann mit gerin-

gem Aufwand auch bei einer prädiktiven Regelung angewendet werden. Dazu wird dasModell der Regelstrecke um den messbaren Eingang erweitert:

Bestimmt man die Sprungantwortskoeffizienten für die Wirkung der Störgrösse auf

den Ausgang und wendet das Prinzip der Superposition an, gilt

(24)

Geht man nun wie früher erläutert von einem beliebigen Abtastschritt aus und erweitertdie Prädiktions-Gleichung (9) mit den Termen für die messbare Störgrösse, erhält man für

:

dm

Abbildung 9: Störmodell bei einer messbaren Störgrösse

Regelstrecke

d

ymy

u

dm

Modell der

gi dmy

t 0=

t Ts=

t 2Ts=

t 3Ts=

y 0( ) 0=0+

y 1( ) h1Δu 0( )=

g+ 1Δdm 0( )

y 2( ) h2Δu 0( ) h1Δu 1( )+=

g+ 2Δdm 0( ) g1Δdm 1( )+

y 3( ) h3Δu 0( ) h2Δu 1( ) h1Δu 2( )+ +=

g3Δdm 0( ) g2Δdm 1( ) g1Δdm 2( )+ + +

k

1 j Ny≤ ≤

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Abbildung 8: Unbegrenzte DMC-Regelung

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180020

30

40

50

60Te

mpe

ratu

r (°

C)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

-4

-2

0

2

4

Zeit (s)

Durc

hflu

ss (

kg/s

)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180020

30

40

50

60

Tem

pera

tur

(°C)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit (s)

Durc

hflu

ss (

kg/s

)

λ2 = 0.001

λ2 = 10

umin

umax

umin

umax

Abbildung 8: Begrenzte DMC-Regelung

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(25)

Bei der Wahl der unteren Grenzen für die Summations-Indices wurde berücksichtigt, dass dieStörgrösse zum Zeitpunkt gemessen werden kann, die Stelländerung aber nochberechnet werden muss.

Die letzten beiden Zeilen können wieder zu einer “open-loop-response” zusammengefasstwerden. Die Prädiktions-Gleichung nimmt damit wieder die bekannte Form (siehe Gleichung12) an:

(26)

Dementsprechend muss für die Störgrössenaufschaltung lediglich die Berechnung der Open-loop-response modifiziert werden. Die Berechnung des Stellverlaufs erfolgt wie bisher.

Die Verbesserungen, welche durch eine Störgrössenaufschaltung erzielt werden können, sindin Abbildung 10 dargestellt. Wie bei Abbildung 6 wurde bei dieser Simulation zum Zeitpunkt

der Zulauf um 0.1 kg/s reduziert.

8 MehrgrössenregelungDie Mehrgrössenregelung mit dem DMC-Algorithmus ist eine direkte Erweiterung der bishererläuterten Prinzipien. Auch in diesem Fall wird ein Sprungantwortmodell der Regelstreckeeingesetzt und das quadratische Gütekriterium on-line minimiert.

8.1 Das StreckenmodellWenn mehrere Stellgrössen auf die Ausgangsgrössen wirken und das Prinzip der Superposition angewendet wird, ergibt sich der Verlauf der Aus-gangsgrösse aus der Summe der Wirkung jeder einzelnen Stellgrösse auf die jeweilige Aus-gangsgrösse:


i max 1 j Nu– 1+,( )=

j

∑=

hi j+ Δu k i–( )

i 1=

Ny

∑ gi j+ Δdm k i–( )

i 0=

Ny

∑+ +

ym k( ) hiΔu k i–( )

i 1=

Ny

∑– giΔdm k i–( )

i 1=

Ny

∑–+

“Zukunft”

“Vergangenheit”

“Korrektur”

k Δu k( )

p

y k( ) HΔup k( ) p+=

p

t 300s=

u 1( ) u 2( ) … u p( ), , , y 1( ) y 2( ) … y q( ), , ,

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(27)

Jede Matrix enthält dabei die Sprungantwortskoeffizienten für die Wirkungdes Eingangs auf den Ausgang gemäss Gleichung (2). Die Vektoren entsprechenden freien Antworten

. (28)

8.2 GütekriteriumDie Form des Gütekriteriums entspricht jener in Gleichung (19)

, (29)

wobei aber die Matrizen wie folgt angepasst werden müssen:

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18005960

61

62

63

64

65Te

mpe

ratu

r (°

C)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18000

0.1

0.2

0.3

0.4

Zeit (s)

Durc

hflu

ss (

kg/s

)

66

λ2 = 0.001

λ2 = 0.1

λ2 = 10

Abbildung 10: Störverhalten des Wärmetauschers mit DMC Regelung einschliesslich Störgrössenaufschaltung

y1( )

k( )

y2( )

k( )

…

yq( )

k( )

H 1 1,( ) H 1 2,( ) … H 1 p,( )

H 2 1,( ) H 2 2,( ) … H 2 p,( )

… … … …

H q 1,( ) H q 2,( ) … H q p,( )

Δup1( ) k( )

Δup2( ) k( )

…

Δupp( ) k( )

p 1( ) k( )

p 2( ) k( )

…

p q( ) k( )

+=

H a e,( ) hia e,( )

e a p a( )

pja( ) ym

a( ) k( ) hj i+a e,( ) hi

a e,( )–( )Δu e( ) k i–( )

i 1=

Ny

∑⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

e 1=

p

∑+=

J Δup k( )T HTH λ2I+[ ]Δup 2 p r–( )THΔup k( ) p r–( )T p r–( )+ +=

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(30)

Das Gütekriterium kann im unbegrenzten Fall gemäss (18) analytisch gelöst werden.

LiteraturE. F. Camacho and C. Bordons, Model predictive control in the process industry, Springer-Ver-lag, 1995

A. Bemporad, M. Morari, V. Dua, E. N. Pistikopoulos, The explicit linear quadratic regulator forconstrained systems, Automatica vol. 38 pp. 3-20, 2002

Δup

Δup1( ) k( )

Δup2( ) k( )

…

Δupp( ) k( )

= H

H 1 1,( ) H 1 2,( ) … H 1 p,( )

H 2 1,( ) H 2 2,( ) … H 2 p,( )

… … … …

H q 1,( ) H q 2,( ) … H q p,( )

=

r

r 1( ) k( )

r 2( ) k( )

…

r q( ) k( )

= p

p 1( ) k( )

p 2( ) k( )

…

p q( ) k( )

=

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