Arch. Math., Vol. 58, 397-398 (1992) 0003-889X/92/5804-0397 $1.90/0 �9 1992 Birkhfiuser Verlag, Basel

Eine Kennzeichnung der angeordneten Loops durch monotone Abbildungen

Von

GONTER PICKERT

Eine angeordnete Loop ist ein Tripel (L, + , <), wobei (L, +) .e ine Loop (neutrales Element 0) und < eine Ordnungsrelat ion (antireflexiv, transitiv, linear) in L sind, derart, dab die Rechts- und Linkstranslationen (x -~ x + a bzw. x ~ a + x) yon (L, + ) mono ton wachsende Abbildungen sind (s. [1, S. 233], [2, S. 1]). Der Zusammenhang mit den ange- ordneten 3-Geweben, bei denen die Parallelprojektionen die Zwischenbeziehung erhalten (s. [1, S. 232]), 1/iSt es nun sinnvoll erscheinen, die angeordneten Loops lediglich durch die Monotonie der Translationen sowie einer Inversenbildung zu beschreiben; denn diese Monotonie (also monotones Wachsen oder monotones Abnehmen) ergibt sich aus der Zwischenbeziehungstreue der Parallelprojektionen, und man mug dann daraus folgern, dab die Translationen sogar monoton wachsend sind (die Inversenbildungen dann natfir- lich mono ton abnehmend). In der Tat habe ich in [1] die angeordneten Loops von den angeordneten Geweben her eingefiihrt. Da Herr R. Fritsch (Mfinchen) mich kfirzlich auf einen - wie mir scheint, lokal irreparablen - Fehler in dieser Herleitung aufmerksam gemacht hat (auf S. 232, 6. Z. von unten, wird f/ilschlich ,,wachsend" behauptet), wird im folgenden der bier tats/ichlich benStigte Satz nebst Beweis angegeben:

Eine Loop (L, + ) mit ILl > 3 wird durch eine Ordnungsrelation <(in L) genau dann zu einer angeordneten Loop, wenn alle Reehts- und Linkstranslationen sowie eine der beiden Inversenbildungen yon (L, +) monotone Abbildungen sind.

B e w e i s . O.B.d.A. kann man die Rechtsinversenbildung nehmen: x ~ x ' mit x + x ' = 0. Zu der Rechtstranslation r mit x ~ = x + a, 0 < a best immt man b durch b + a = 0, also a = b'. Dann ffihrt z das Paar (0, b) in das Paar (b', 0) fiber. Da z monoton, also entweder mono ton wachsend oder mono ton abnehmend ist, ergibt sich z daher als mono ton wachsend, wenn b < 0, und als mono ton abnehmend, wenn 0 < b ist. Falls x - ~ x ' mono ton abnehmend ist, sind daher alle Rechtstranslationen mono ton wachsend und andernfalls alle nichtidentischen Rechtstranslationen mono ton abneh- mend (die Einschr/inkung 0 < a kann ja durch Ubergang zur inversen Ordnungsrelat ion beseitigt werden). Es wird nun im zweiten Fall ein Widerspruch hergeleitet, wozu erst einmal bemerkt sei, dab hier auch die nichtidentischen Linkstranslationen mono ton abnehmend sein mfissen: x ~ x + a, x ~ a + x (a + 0) liefern nfimlich ffir das Paar (0, a) dasselbe Bildpaar (a, a + a). Wegen ILl > 3 gibt es a, b ~ L \ {0} mit a 4= b; man da r fa < b

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annehmen und hat dann auch a ' < b'. Aus dem monotonen Abnehmen der nicht- identischen Translationen ergibt sich nun der gewfinschte Widerspruch:

O = b + b ' < a + b ' < a + a ' = O .

Somit sind alle Translationen monoton wachsend, die Inversenbildungen dagegen mo- noton abnehmend.

Literaturverzeichnis

[I] G. PICKERT, Projektive Ebenen. Berlin-Heidelberg-New York 1975. [2] S. PRmss-CRAMPE, Angeordnete Strukturen. Berlin-Heidelberg-New York t983.

Anschrift des Autors:

Giinter Pickert Eichendorffring 39 DW-6300 GieBen

Eingegangen am 30. 11. 1990