Vol. VI, 1955 33

Eine lineare Verschlirfung des BRUNN-MINKOWSKIschen Satzes fiir abgeschlossene Mengen

Von D. 0ItMANN In Frankfur t

Mit Hilfe einer geeigneten Ma~darstelIung sol] bier fiir den schon oft bewiesenen Bau~N-MiNKOWSKischen Satz ein kurzer Beweis gegeben werden, der es uns gestattet, eine ]inearo Versch~rfung anzugeben. Der Sachverhalt lfil~t sich folgendermafien formulieren:

Besitzen die bescbrSnkten, abgeschlossenen Mengen A~(~ =: ] , . . . k) des euklidi- 8chen Rn in wenigstens einer Richtung ~ gleiches Schnittmafl :

(1) S(A~; ~) -- S (,-t 2; ~) . . . . . S(A k; ~) ,

so hat die Verschdr[ung k k k

(2) M (~ ,~A~ . ) ~ ~, 2~M(A~) (fl• ~ ) . ~ = 1 ) x = l x = l •

ZUr BntjNN-MiNKOWSgischen Ungleichung k 1 k 1

(3) M ( Z ~t~A~)n > ~, ).~ i (A~)n u = l ~=1 Gi~ltigkeit.

Das SchnittmaB S(~) gibt d~bei das Maximum des (n-- l)-dimensionalen MaiZes an. dessen die Durehsehnitte der ~{enge mit den (n - - l ) -dimensionalen Ebenen der festen Normalenrichtung ~ f~hig sind. Weiter Verstehen wit das mit M bezeichnete ~aI~ im LEB~SGU~Schen und die Summenverkntipfuug der Mengen im Mt~KOWSKI-

k Schen Sinne. Damit unlfagt A a =_- ~ 2~ A~ bekanntlieh genau die Punkte ~, die

k eine I)arstellung der Form ~ --~ ~ ) , ~ ( ~ E A ~ ) zulassen, l)afi alle ins Auge zu

g ~ l fassenden Mengen beschriinkt und abgeschlossen sind, wird yon nun an stillschweigend Vorausgesetzt.

1. Ungleichung (3)/olgt aus (2). Sind die Mengeu A~ so mmmriert, dait die Mengen A1, . . . Aj(j<_k) positives Maf~ besitzen, W~hrend das Mail der Mengen A~.+~ . . . . A k Verschwindet, so fallt S(A~.;~) ftir ~. = 1, . . . ] positiv aus, und wir kSnuen die den

Bedingungen (1) geniigeuden Mengen A~ == ~ A~(O~ --= S(A~; ~)-,,:1; ~ -= 1, . . . j ) Archly der Mathemalik. VI, 3

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bilden. Die Anwendung der als giiltig anzunehmenden Verseharfung (2) auf die Mengen A~, ergibt dann mit Hilfe von M(o~A~) = O~ M(A~)

i J 1

z ~ l x ~ l ~ 1

woraus vermSgo der Konkavit~t der n-ten Wurzel und wegen M(A~)= 0 fiir ~ = j + l , .

k 1 k 1

M(~, 2'~o~A~),, >_ ~, 4'. O~ M(A~)., (e~ ---- 1 ftir u = ] + 1 . . . . k) x ~ l g = l

folgt. k

Wir haben nun nurnoch dureh ~. 2'~ ~ zu dividieren und tiger die 2'~ bei vorgegebenen

2~ >_ 0 durch ;L'~ 0~ = ~, ~. ;t~, ~ (~ = 1, . . . k) zu veffiJgen, um daraus Ungleiehung (3) zu gewinnen. ~= l

2. Die Ma/3darstellung. Bezeichnet A (x) den Durehschnitt der Menge A mit der ( n - - l ) - dimensionalen Ebene, die auf der Geraden (7 der festen Richtung ~ im Punkte x senkreeht steht, so lill3t sieh das Ma$ in bekannter Weise dureh das Integral

(4) M(A) = f M(A(x)) dx

wiedergeben. Aus der vorauszusetzenden Besehriinktheit und Abgeschlossenheit yon A folgt nun, dal3 die Menge a(/~) ~ G , ftir deren Punkte M(A(x)) > # ausf~l]t, wieder abgeschlossen ist. a(#) ist weiterhin kongruent zum Durchschnitt der Ordinatenmenge der Funktion y = M(A(x)) mit der Parallelen zur x-Aehse im Abstand #. Unter Beaehtung yon S (~)=-maxM(A(x) ) gestattet (4) daher dis Umformung

~(~)

M(A) = f i (a (# ) ) d~. (5) 0

3. Beweis der Ungleiohung (2). a) Der lineare Fall. Die Mengen A s seien linear und auf parallelen Geraden gelegen, und es bezeichne (~.; t)~} das kleinste A~ ent- haltende abgesehlossene Intervall. Aus der Bemerkung, dal~ die der M~NKOWSXlschen

k x - - 1

Summe ~ ~ A~ definitionsgemiil~ angehSrenden Mengen A'~ = ~. A~ + ~ )t~ n, + u = l a = l

k z--I k

+ ~, Jr. ~. paarweise h6chstens die Punkte ~ = ~, X. ~)o + ~, ;ta; o gemeinsam haben a = u + l e = l a = u

kSnnen, folgt wegen M(A'~) = ~.~ M(A~} schon Ungleichung (2) ffir n = 1.

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b} Der Fall n > 1. Wit filhren die htduktionsvoraussetzung ein, da~ (2) and da~mit aueh (3) ftir jedes ~' <: n Giiltigkeit habe. Danu kntipfen wir an die Bezeich- Uuug~wei~e yon w 2 an und bemorken, da~ wit fief Eig~nart tier M~owsxtschen 8umraenbildung

~%~)-~ Z x~ A~(~0 (a ~ = ~: ~ A~; ~ = F, ~ ~)

entnehmen k~in~en. Da AI$(A~(~))~/~ fiir ~ ( # ) a u s ~ l ~ l l t , ~olgt aus der ~nfluktionsannahme (6) M(A*(x~)) ~ p (x, ~ ~(/~)).

Bei Giiltigkeit dcr Bedingung (I) l~fit sich dCraus

k

gewianen, l olgert man aus (6) noch xa ~ r so finder ma, n a~(/~) ~ ~ a~(#) und mithia

Dureh Ben~tzung der )Ia~darstellung (5) ergibt sich ~lamit sc,hon i~ k k

M(x ~) ~ f F, ~ M ( ~ ( g ) ) ~ = ~ X,M(A~). r

Eingegangen am 22. I2. I~6~