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Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 1
Eine multi-material arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Methode für die Simulation des
Deformationsverhaltens partikulärer Materialien bei Finiten Deformationen
D. FreßmannDiscipline of Civil Engineering
The University of Newcastle, NSWAustralia
DFG-Gemeinschaftsprojekt SchaumstoffeWorkshop 15./16. September 2005
„Simulation von Schaumstoffenmit stark nichlinearem Verhalten“
P. WriggersInstitut für Baumechanik und
Numerische MechanikUniversität Hannover
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 2
GliederungEinleitung/Motivation
Kontinuumsmechanische Grundgleichungen der ALE Methode
Kinematik, Bilanzgleichungen, konstitutive Gleichungen
Globale Lösungsstrategie des gekoppelten ALE Problems
Berücksichtigung der multiplen Materialeigenschaften
Lösen des Transport-/AdvektionsproblemsTransport elementbezogener Größen
Transport materialbezogener Größen
Zusammenfassung des globalen Lösungsverfahrens
Numerische Beispiele
Ausblick
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 3
Motivation und ProblemstellungGrößenskalen des partikulären Schaumstoffes Neopolen
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick
MakroskaleBauteil
Mesoskalelose Schüttung einzelner
EPP-Partikel
Mikroskalegeschlossenzelliger
Polypropylen-Schaum(EPP)
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 4
Motivation und Problemstellung
Kompaktion,Erwärmen + Verkleben
• Ausgangssituation: lose Partikelschüttung in repräsentativem Volumen Element (RVE)
Herstellungsprozess eines partikulären Schaumstoffmaterials
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick
• Zusammenpressen + Verkleben der Partikel
führt auf extreme Materialdeformationen
Multi-Material ALE Methode
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 5
Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Methode
entkoppelte Material- und NetzbewegungAllgemein
Single-Material ALE Methode (SALE) Multi-Material ALE Methode (MMALE)explizite Auflösung der Material-
grenzenfreie Materialgrenzen; unabhängig
von FE Diskretisierung
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick
Materialgeschwindigkeit
Netzgeschwindigkeit
Berücksichtigung von Flußeffekten
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 6
Literaturübersicht
• Benson, D.J.: An efficient, accurate, simple ALE Method for Nonlinear Finite Element Programs, CMAME, 1989
Generelle (S)ALE Methode (Auswahl)
• Benson, D.J.: Computational Methods in Lagrangian and Eulerian Hydrocodes, CMAME, 1992
• Rodriguez-Ferran, A.; Perez-Foguet, A. and Huerta, A.: Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) Formulation for Hyperelastoplasticity, IJNME, 2002
Multi-Material ALE Methode
• Liu, W.K.; Belytschko, T. and Chang, H.: An Arbitrary Lagrangian-Eulerian Finite Element Method for Path-Dependent Materials, CMAME, 1986
• etc. …
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Advektionsproblem Beispiele Ausblick
• Benson, D.J.: An implicit Multi-Material Eulerian Formulation, IJNME, 2000
• Peery, J.S. and Carroll, D.E.: Multi-Material ALE Methods in unstructured Grids, CMAME, 2000
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 7
Kontinuumsmechanische Basis: (ALE)-Kinematikunabhängige Referenzkonfiguration χ
(t)
Verschiebungen
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Deformationsgradienten
referentiell
relativ
Deformationstensoren
rechter Cauchy-Green Tensor
linker Cauchy-Green Tensor
gesamt
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 8
Kontinuumsmechanische Basis: Bilanzgleichungen
Massenbilanz
Impulsbilanz
Bilanzsätze (starke Form)
Variationsformulierung (schwache Form)
mit
allgemeine starke Form mit
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
explizite Zeitabhängigkeit der Referenzkonfiguration
materielle Zeitableitung
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 9
Kontinuumsmechanische Basis: Materialgleichungenhyperelastische Materialmodellierung
Verzerrungsenergiefunktion W
z.B. Neo-Hooke Material
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Inkrementelle Betrachtung der Deformation (Rodriguez-Ferran et al. ‘02)
bzw.
push-forward mit relativem Def.-Grad.
bzw.Geschichtsvariablen
direkte Lösung
Informationen über “Gesamtdeformation” notwendig !
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 10
Globale ALE Lösungsstrategie
Split des gekoppelten Problems in 2 Teilprobleme
1. Lagrange‘scher Schritt:
Lösung mit „Operator-Split“ Methode (Chorin et al. ‘78, Benson ‘89)
Lösung des gekoppelten ALE ProblemsZiel:
2. Advektionsschritt:
• Transport der Lösung mit konvektiver Geschwindigkeit c
• numerisches Lösen des “physikalischen Problems”
c - konvektive Geschwindigkeit
simultane Lösung sehr aufwendig !
v - Materialgeschwindigkeit
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
• Lösen der homogenen Advektionsgleichung
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 11
1. Schritt: Lagrange’sche Berechnungsphase
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Numerisches Lösen des „physikalischen“ Problems
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 12
1. Schritt: Lagrange’sche Phase
reduzierte Integration der FE Gleichungen (Belytschko et al. ’84)
• Auswertung der FE-Gleichung im Elementmittelpunkt
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
• konstanter Verzerrungszustand im Element
Finite-Element-Diskretisierung
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 13
1. Schritt: Lagrange’sche Phase (2)
Volumen-Fraktion fk für jede Materialphase k
Volumen-gemittelte Elementvariablen
Problem: Auflösen der multiplen Materialeigenschaften auf Elementebene
Phasenweise Berechnung materialabhängiger Größen
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Elementsteifigkeitsmatrix und Residuum
Volume-of-Fluid (VOF) Methode (Hirt & Nichols ’81)
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 14
2. Schritt: ALE-AdvektionsphaseLösen des Transportproblems
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 15
2. Schritt: ALE-AdvektionsphaseFinite-Volumen basierte Advektionsmethode
Imkompressibler, advektiver Fluß
linearer Fluß:
Integration über Elementgebiet Ωe
Diskrete Finite-Volumen Advektion
Berechnung des numerischen Flußwertes ?
diskrete Advektion
explizite Zeitintegration (Euler-Vorwärts)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
AB:
Courant Kriterium
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 16
2. Schritt: ALE-Advektionsphase
diskreter Flußwert
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
I. elementbezogene Variablen: z.B. Verzerrungen, Deformationen
Einführung von Slope-Limitern
Total Variation Diminishing Konzept (Harten ‘83)
Steigungslimitierung - Vermeidung von over- und undershots
Volumenflußrate
lineare Rekonstruktion
Verfahren 2. Ordnung („im Raum“)
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 17
2. Schritt: ALE-Advektionsphase (2)1D-Advektion einer Rechteckwelle (Cr = 0.3/0.7, 30 Elemente)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
2D-Advektion einer kreisförmigen Diskontinuität (Cr = 0.3/0.7, 30x30 Elemente)
undeformiertes Netz deformiertes Netzundeformiertes Netz deformiertes Netz
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 18
2. Schritt: ALE-Advektionsphase (3)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
II. materialbezogene Variablen: z.B. Dichte, Volumenfraktion
Materialbezogene Advektion
“exakte” Bestimmung der Advektions-volumina erforderlich
Oberflächen-NormaleOberflächen-Parameter
Beschreibung der Materialgrenze Γ
• Bestimmung der Flächennormalen
• Bestimmung des Flächenparameters
Piecewise Linear Interface Calculation (PLIC)
anhand der Volumenfraktionen fk
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 19
2. Schritt: ALE-Advektionsphase (4)IIa) Bestimmung der Flächennormalen
räumliche Gradientenbildung (Youngs ’82)
2D Approximation durch FD-Verfahren
mit gewichteten Differenzen
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
3x3 Elementpatch
kreisförmige Rekonstruktion quaderförmige Rekonstruktion
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 20
3D
2. Schritt: ALE-Advektionsphase (5)IIb) Bestimmung des Flächenparameters d
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Minimierung des Fehlers im Materialvolumen (Rider & Kothe ’98)
• eindimensionales, iteratives Minimierungsproblem in dk
Schnittvolumen in Abhängigkeit von dk (Atr bzw. Vtr)
2D
• gilt für beliebige Elementgeometrien
• erfordert Berechnung der Schnittvolumina Atr bzw. Vtr
exaktes Volumen aus Volumenfraktion
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 21
2. Schritt: ALE-Advektionsphase (6)Kreisförmige Advektion einer Scheibe (Cr = 0.3/0.7, 30x30 Elemente)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Kreisförmige Advektion einer Kugel (Cr ≈ 0.5, 30x30x30 Elemente)
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 22
Globaler ALE Algorithmus (vereinfachte Darstellung)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
1. Lagrange’sche Berechnungsphase
2. Netzglättungsphase
a. Inkrementierung des Zeitschrittesb. Berechnung der “physikalischen” Materialdeformationen
a. Netzglättung und Berechnung der konvektiven Verschiebungsinkremente
b. Transport der materialabhängigen Größen (Dichte ρ)
3. Advektions-/Transportphase
a. Transport des Materials (Volumenfraktion fk)
c. Transport der elementabhängigen Größen (Deformationsgradient F)
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 23
Beispiel: Kompression einer 10-Partikel Probe (2D)
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
Numerisches Modell
• Verschiebungs-RB, durch Makro-Deformationsgradient
mehraxiale Kompression
• 40x40 finite Elemente
• 10 Partikel P in Matrix Material M
Simulation von Schaumstoffen mit stark nichtlinearem Verhalten – Pforzheim – 15./16. September 2005
S. 24
Ausblick
Einleitung Kontinuumsmechanische Basis Lösungsstrategie Num. Advektion Beispiele Ausblick
• Gleichgewicht auf dem neuen Netz
• verbesserte MischungstheorienVOF-Elementformulierung
• material-bezogene Speicherung der Deformationen
Kopplung der Lagrange’schen und der Advektionsphase
• void-collapse Mechanismen
Erweiterung der MMALE Methode auf 3D• Verbesserung des Stabilisierungskonzeptes der
reduzierten Integrationsprozedur
Einbindung von thermischen Effekten /Be- und Entlastungzyklen der Probe