TECHNISCHE MECHANIK 9(1988)Heft4

Manuskripteingang: 29. 06. 1988

Ein stochastisdies Modell zum nidutlinearen

mechanischen Verhalten faserverstärkter Verbundwerkstoffe

P. Will, W. Totzauer, B. Michel

1. Einleitung

Das zunehmend wachsende Interesse an der technischen

Anwendung von Kompositen und damit verbunden an

Materialkennwerten derartiger Werkstoffe ist auf ihre ho-

he Steifigkeit, die ausgezeichnete Festigkeit sowie hohe

Temperatur- und Koorosionsbeständigkeiten bei gleich-

zeitig geringer Masse zurückzuführen. Der effektive Ein-

satz faserverstärkter Verbunde in Bauteilen, die bis an

ihre vorgesehenen Grenzen belastet werden, erfordert

bereits in der Entwurfsphase die Einbeziehung von Fe-

stigkeitskriterien. Es genügt nicht, sich bei der Entwick-

lung technischer Konstruktionen aus Faserverbunden

allein auf elastische Materialparameter zu stützen, da die

entsprechenden Werkstoffe häufig gerade im vorgesehe-

nen Einsatzbereich ein nichtlineares Materialverhalten

zeigen, dessen realistische Modellierung von entschei-

dender Bedeutung für die Sicherheit der Bauteile ist. Ein

wesentlicher Vorteil faserverstärkter Komposite besteht

in der erhöhten Bruchzähigkeit, welche derartige Mate—

rialien zeigen. Die Überbrückung von Bruchflächen

durch die in den Werkstoff eingebundenen Fasern führt

dazu, daß die Festigkeitsreserven des Materials in tech-

nisch hochentwickelten Konstruktionen auch bei mögli-

cherweise vorhandenen Defekten weitgehend ausgenutzt

werden können.

2. Schädigung von Faserverbunden

In Ermangelung allgemeiner Konzepte basiert die Festig-

keitsbewertung von Kompositwerkstoffen häufig auf der

linear-elastischen Bruchmechanik. Trotz der strukturel-

len Heterogenität dieser Materialien wird i. a. von einem

homogenen, linear—elastischen Medium ausgegangen. Die

Modellierung von faserverstärkten Verbundwerkstoffen

setzt üblicherweise ideale Komposite voraus. Derartige

Modellmaterialien sind gekennzeichnet durch:

— parallele, unendlich lange Fasern

— ideale Bindung zwischen Matrix und Faser

— Fehlen mikroskopischer Schädigungen

Unterschiede zwischen theoretischen Simulationen und

experimentellen Resultaten sind häufig eine Folge dieser

ldealisierungen, auf die'wegen des Fehlens umfassende-

rer Konzepte meistens nicht verzichtet werden kann. Im

Gegensatz zum Kontinuumsmodell wird jedoch die zur

lokalen Schädigung eines Volumenelements aufzuwen-

dende Energie keinesfalls nur durch die Erzeugung neu—

er freier Oberflächen infolge Materialtrennung bestimmt,

sondern sie beinhaltet auch die Arbeit fiir zusätzliche,

energiedissipative Mechanismen im Bereich um den Ma-

terialfehler. Als Ursache für das nichtlineare Spannungs—

— Verformungsverhalten von Kompositen können mi-

264

kroskopische Defekte angenommen werden, die sich

gleichmäßig über das Material verteilen. Dazu gehören:

Faseranrisse

— Faserbrüche

— Matrixanrisse

— Delamination von Fasern

— Ausziehen von Fasern aus der Matrix

Mit in situ Untersuchungen [I] an faserverstärkten Epo—

xidharzen konnten vier unterschiedliche Stadien der

Bauteilschädigung mit steigender Belastung nachgewie-

sen werden. Dem Reißen einzelner Fasern folgt, ausge-

hend von der Front gebrochener Fasern, eine plastische

Deformation im Werkstoff, die sich an den Faserflan—

ken fortsetzt und schließlich zum Bruch des umgeben-

den Matrixmaterials führt. Kurz vor dem Versagen der

Probe ist, ausgehend von den lokalen Schädigungszonen,

eine teilweise Delamination der verstärkenden Fasern zu

beobachten. Eine strukturorientierte Beschreibung faser—

verstärkter Verbunde, die der Realität'entspricht, führt

bei praktischer Anwendung infolge der Vielzahl von

Mechanismen zur Werkstoffschädigung schnell ins Ufer-

lose.

Zusätzlich wirken vergleichsweise kurzreichweitige Me-

chanismen, die Spannungskonzentrationen an der Spitze

von Rissen abbauen. Dazu gehören Rißverzweigungen so-

wie das Abbiegen der Rißfront in der Nähe elastischer

Einschlüsse, wie sie verstärkende Fasern darstellen [2],

[3]. So wird z. B. in Faserverbunden ein Rißstop durch

vorgegebene schwache Bindungen zwischen Faser und

Matrix im Rißweg erreicht. die Zugspannungen parallel

zum Riß hervorrufen und ein Abbiegen des Risses in die

Grenzschicht zwischen beiden Materialkomponenten be-

wirken In der engeren Umgebung der Rißfront exi—

stiert in Analogie zur elastisch-plastischen Bruchmecha—

nik ein reduziertes Spannungsfeld, das nichtlineares Ma1

terialverhalten zeigt.

3. Statistik lokaler Schädigungen

Reale Werkstoffe unterscheiden sich in ihrem Aufbau

häufig von idealisierten Modellmaterialien. Die mikro-

mechanischen Parameter weichen nach mehr oder weni-

ger bekannten statistischen Gesetzmäßigkeiten von de-

nen der Idealstruktur ab. In diesem Zusammenhang er-

scheint es notwendig. eine statistische Komponente

strukturbezogener Festigkeitsmodelle in Betracht zu

ziehen. Mit wachsender Belastung kumulieren stocha—

stisch verteilte Schädigungen des Werkstoffes. Diese Pro-

zesse führen zu einer effektiven Verringerung tragender

Querschnitte in Bauteilen aus‘faserverstärkten Verbun-

den.

Äm Beispiel eines faserverstärkten 3-Punkt—Biegebalkens

a.

der Höhe h, der Dicke b und des Auflagerabstandes I so]-

Ien die verbal angedeuteten Zusammenhänge näher er—

läutert werden; analoge Überlegungen treffen auch für

Zugproben zu. Die Zugspannung oz parallel zu den ver-

stärkenden Fasern in der Linie x = 0 der Lasteinleitung

berechnet sich bei der Last P nach den bekannten Be-

ziehungen der linearen Biegetheorie aus:

oz = My/I ; —h/2<y<h/2 (l)

Der Nullpunkt der Koordinate y liegt auf der neutralen

Faser des Balkens. Der Parameter

lM=—-Pl 24 <>

steht für das Biegemoment am gewählten Querschnitt

mit dem Trägheitsmoment I:

l = h3b/12 (3)

Die Versagenswahrscheinlichkeit Pv dafür, daß ein tra-

gendes Strukturelement in der Linie der Lasteinleitung

versagt. ergibt sich gemäß Weibullstatistik [5] (Weibull-

modell m) aus:

2

hböx

1— exp [—c (u/no)m]

H

a

Pv lw exp_[— f( —z)m b Öxdy]

00

(4)

ll

c = l/(m+l)

Das lntegrationsgebiet umfaßt den Querschnittsanteil

0<y<h/2 unterhalb der neutralen Faser. in dem Zug-

spannungen auftreten. Eventuelle Schädigungen des

heterogenen Materials im Bereich der Druckspannungen

[Ö], [7] werden in die Statistik nicht mit einbezogen

Die lokalen Biegespannungen beziehen sich auf eine

materialspezifische Festigkeit 00. Die Verschiebungen

u und uo entsprechen, linear—elastisches Materialverhal-

ten vorausgesetzt. der Biegespannung bzw. der Referenz-

festigkeit. Der reziproke Wert l/m des Weibnllmoduls

charakterisiert stochastische Schwankungen der lokalen

Festigkeit, die ihrerseits wiederum ein Maß für die lni-

tiierung des Rißfortschritts darstellt. lm Gegensatz zu

reinem Sprödbruch verhindern jedoch die genannten

energiedissipativen Rifastoppmechanismen, die zu einem

effektiven R-Kun em erhalten [9] des Verbundwerk-

stuffs führen können. das plötzliche. katastrophale Ver-

sagen des Bauteils nach Überschreiten der lokalen‘Fe-

stigkeit. Eine Gemeinsalnheit im Festigkeitsverhalten

von Verbundwerkstoffen besteht darin. daß der Prozefa

des Rißwachstums über die Bildung neuer. freier Bila-

flächen von Energie absorbierenden Mechanismen be-

gleitet “ird, die mit dem Wachstum der Prozeßzone ver-

knüpft sind. So kann das heterogene Gefüge in faserver-

stärkten Kompositen dazu führen, daß sich in der Um-

gebung eines Makrorisses an der Grenzfläche Faser-Ma-

trix kleinere Nebenrisse ausbilden, die dem Hauptriß

Energie entziehen und damit stabiles Rifswachstum er—

möglichen. Unterkritisches Rißwachstum hat aber le-

diglich eine partielle, lokal begrenzte Schädigung der

Probe zur Folge.

Die Beschränkung auf eine 2parametrige Weibnllvertei-

lung, wie sie im vorliegenden Beispiel gewählt wurde. ist

für die Modellierung des nichtlinearen mechanischen

Verhaltens von Kompositen nicht zwingend [10]. Gerade

die Erweiterung des Modells auf mehrachsige Belastun-

gen erfordert auch die Einbeziehung anderer Festigkeits—

verteilungen und Spannungskriterien [11].

4. Nichtlineares Kraft—Durchbiegungsdiagramm

Die Durchbiegungen des partiell geschädigten Balkens

werden in Analogie zum teilweise plastisch verformten

Bauteil unter der üblichen Annahme berechnet, daß die

bereits gebrochenen Querschnittsanteile die Biegung

nicht behindern. Die Durchbiegungen beziehen sichlso-

mit ausschließlich auf den elastischen Kern der Probe

und entsprechen den zugehörigen Lösungen der elasti-

schen Biegetheorie. Die Wahrscheinlichkeit fiir das Ver-

sagen des Biegebalkens im betrachteten Ligament der

Höhe h kann unmittelbar auch als Verhältnis zwischen

geschädigten und nicht geschädigten Flächenanteilen A

interpretiert werden. Diese Auffassung indiziert die Exi-

stenz eines effektiven Trägheitsmomentes leff, welches

sich mit der Last ändert. Ursache sind die lokal begrenz-

ten. stochastisch verteilten mikrostrukturellen Schädi-

gungen des heterogenen Materials.

l h/2

= feff 11/2 y2 bdy <1—Pv> <5)

Der Faktor (l-l’v) berücksichtigt die Verringerung des

effektiv tragenden Querschnittelementes bdy mit wach-

sender Belastung. Exakterweise müßte davon ausgegan-

gen werden. dafs die Versagenswahrscheinlichkeit Pv

ihrerseits eine Funktion des tatsächlichen Trägheitsmo—

mentes darstellt; in erster Näherung wird diese Tatsache

vernachlässigt. Die Last P, die sich auf das virtuelle T räg—

heitsmoment leff bezieht. ist danach über folgende Be-

ziehung mit der Durchbiegung u am Lastangriffspunkt

verknüpft.

w 48EII

P‘ 3

u I exp [— c (u/uo)m l (6)

Der Ausdruck vor der Exponentialfunktion entspricht

der bekannten Lösung der linear-elastischen Biegetheo-

rie. Die Größe E |l steht für den Elastizitätsmodul des un-

geschädigten Materials in Faserrichtung. Der Parameterl

kennzeichnet den Abstand der Auflager. Die Last-Ver-

schiebungskurve besitzt, wie durch Differentation der

Kurve (6) leicht nachzuprüfen ist, ein Maximum bei:

(um/“0)m : 1/(C m) (7)

Die Kombination der Gleichungen (4) und (5) gestattet

die Ermittelung des Weibnllmodul m ausschließlich aus

charakteristischen Meßwerten der nichtlinearen Last-

Verschiebungskurve lm Bereich niedriger Lasten ist

ein nahezu linearer Anstieg dP/du der Kurve feststellbar.

welcher dem der Tangente an die Kurve bei Nullast ent-

spricht. Außerdem läßt sich eine Sekante festlegen, die

die Last Null und die Maximallast Pm in der Last-Ver-

schiebungskurve direkt verbindet. Die zur Last Pm ge—

hörige Verschiebung eines geeigneten Meßpunktes sei

um. Der natürliche Logarithmus vom Verhältnis aus dem

Anstieg beider Geraden [12] liefert den Wert l/m.

dP/du

ln

m/“m

: l/m (8)

265

Die Beziehung (8) gilt auch für Zugproben. Der danach

gewonnene materialspezifisehe Wert l./m charakterisiert

die relative Streuung der Festigkeiten lokaler Struktur-

elemente _im l'aSc'n/‘erstärkten Verbundmaterial. Die zu-

nehmende Anzahl lokaler Schädigungen im Werkstoff

mit steigender Belastung führt zu einem effektiven nicht-

linearen Materiaberhalten der kompakten Probe.

Um eine weitgehend von Geometrie und Proben unab-

hängige Darstellung der Last-Versehiehungskurve zu er-

halten. ist es von Vorteil. die Meläwertpaare (P. u) je-

weils auf ihre Extremwerte (Pm, um) zu beziehen.

P/Pm = u/um exp {[1 —(U/um')m]/nl} (9)

Gleichung (9). die in dieser Form auch für Zugproben

gültig ist. ermöglicht in Verbindung mit der Beziehung

(8) zur Ermittelung des Weihullmoduls eine quantita—

tive Charakterisierung des gemessenen nichtlinearen

mechanischen Verhaltens von unidirektionalen Faser—

verbunden. In Ergänzung dazu seien noch die Bestim-

mungsgleichungen für den Skalenparameter 00 der Wei-

bullverteilung bzw. für den entsprechenden Bezugswert

der Verschiebung u0 vorgestellt.

ÖEHh .

a0 |2 u0 (10)

„ "1 l/m

uo um ( (11)

Bild l zeigt die Anpassung des Modells (9), welches auf

einer modifizierten Statistik de.- schwiichsten Clieds be-

ruht. an experimentelle Ergebnisse. die an einem Glas-

faserverbund ermittelt wurden. Aus den Meßdaten las-

sen sich näherungsweisc die Werte des Weihullmodul m

sowie der Bezugsspannung O0 abschätzen:

m = 4.5 und 00 : 760 Vnimg

P (N)

800

=35 mm

>— . :l,'18 mnl

b=9.5 mm

400 r"

300 " — Theorie ‘ ‘ ‚

A'thruncnt (ii‘ l\/l‘Ol.

U I t l L i t l

O l l3 3 4

u (mm)

Bild 1

Last-Durchbiegungskurve

(glasfaserverstärktes Epoxidharz: l = 25 mm, h : 2.18 mm.

b = 9.5 mm)

266

In Zusammenhang mit der vorgeschlagenen Ermittelung

des Weibullmoduls sei darauf hingewiesen. daß im Ge-

gensatz zur Festigkeitsverteilung der singulären Struktur-

elemente [l3] im Verbundwerkstoff eine Weibullstatistik

der gesamten kompakten Probe wegen des effektiven

nichtlinearen Materialverhaltens unangepaßt ist [l4]; das

Versagen des Bauteils fällt nicht mehr mit dem Versagen

des schwächsten Volumenelementes zusammen.

Das vorliegende Beispiel zeigt. daß applikationsorientier-

te lokale Festigkeitskriterien heterogener \\7ei'kstol'te.

d. h. die \"erweudbarkeit makroskopischen“ Spannungen

und Dehnungen als Kennwerte für das örtliche Versa-

gen vom KonipOsiten gemäß der Wahrscheinlicbkeitsver-

teilung (l). die mechanische Bewertung derartiger Matc-

rialien mit Mikrostruktur erheblich erleichtert. linabhäin-

gig von der realen Mikrostruktur der lasen erstarkten

Materialien indiziert diese pragmatisch orientierte Be-

trachtungsweise eine breite '\nwendung.

5. Bauteilanalyse

lm allgemeinen sind detaillierte Festigkeitsanaly sen für

faserverstärkte KompOsite nur noch unter lerwcmlung

moderner numerischer Bern'hnungmnrthodon tragbar.

konventionelle FEM— und Bl‘Wl-l’rogrammc. die dem

Anwender die cfl‘ckthe Bewertung realcr Bauteile gc‘

statten. sind häufig nur für homogene. Materialien aus-

gelegt. Da die üblichen. tcclmisch orientierten Hcrccli»

nungsmethoden in der llegcl nur das makroskopische.

integrale Werkstoffierhalten erlassen. cmptichlt sich

eine theoretische Betrachtungsweise die l’ascrierbunde

nur noeh gemittelt in ihrem mukro‘kopiwhcn Gesamt-

verhalten berücksichtigen. fie werden durch ein homoge»

nes, fiktives ltirsatzmaterial ersetzt. Das Ersatzmaterial

selbst zeigt Anisotropie und häufig ein niclitliucarcs

Spannungs- — \‘erl'ormungs\crbalteir Letzteres wird

durch die stochastische .\usbrcitung mikroskopisch

kleiner Schädigungen im “erkstot‘l hcnorgcrul'cn. Hu-

.\nisotropie Imidirektionaler l’ascrwrbundc auläcrt sich

in effektiicn Nlaterullkonstanten Hi. Et. I)”, Vi >U\\if‘

entsprechenden komponenten des Scliubmoduls: die

Kennzeichnung bezieht sich auf die Richtungen parallel

und >(‘Tll\l"t”t'lll zu den Fasern. Eine cint'acbc \|odellie-

ruugr derartiger “erkstofl'e in l‘iorm parallclcr leshcr-

bundencr Zugelcmcutc t‘iibrt nach dcn bekannten \ll>t'llu

regeln dcr linearen lilastizitiitstbeoric zu folgench l-lc

ziehuugen liir die ct'l‘ektiien Hastizitiitsinoduln tlt‘> l'ir-

satzmaterials:

If.“ cf Er r cm lÖm

Ei : [t'f/ Et- ' cm 'l‘iml' I l2)

(V; _— [cf/(if 4 cm ‚ (im l"

Die lndizierung bcziclit sich aut die Haterialkomp:men-

Len Faser (t) und ‚\lalri\ (in). welche nälierungsueise

gleiclnerteilt mit den \'olumenauteilen cf bzw. c aut-

treten.

"t

lm Gegensatz zum isotropen \\ erkstot't bei dem die Fla-

stizitätsmatrix mit .‘2 unabhängigen konstanten beschrie-

ben werden kann. sind im \orlicgendcn Fall transi ersulel‘

-\nisotropie 3 unabhängige konstanten zur Hillstandigcn

Charakterisierung der Hooke’schen Matrix erforderlich

[15].

Die Belastungsanalyse faserverstärkter Bauteile könnte.

die Berücksichtigung eines nichtlinearen Materialverhal-

tens infolge kumulierender. lokaler Schädigungen ein:

geschlossen. mit Hilfe der Methode der finiten Elemente

(FEM) nach folgendem vereinfachten Schema [16] ge-

schehen. Innerhalb jeder Masche des FEM-Netzes werden

über die Gauläpnnkte gemittelt Durchschnittswerte Ui.

aller Spannungskomponenten berechnet. Anschließend

wird jeder Masche (Querschnitt 52, Dicke 1) eine auf die

gemittelten Spannungskomponenten bezogene. geeig-

nete Beanspruchungsgröße. z. B. die größte Zugspan-

nung OZ in Faserrichtung. zugeordnet. 1m Querschnitts-

element SZ wächst mit steigender Last Uz die Anzahl lo-

kaler mechanischer Materialschädigungen proportional

zur Initiierungswahrscheinlichkeit des Rißfortschritts:

Pv : 1w exp [— (oz/00) m] (1,3)

Unter der bereits genannten Voraussetzung, dafs die

Wahrscheinlichkeit Pv auch als Verhältnis zwischen ge-

schädigten und nichtgeschädigten Flächenanteilen inter—

pretiert werden kann, ergibt sich für effektive Dehnun-

gen Eeff infolge makroskopischer Zugspannungen Oz am

scheinbar tragenden Querschnitt Q näherungsweise der

Wert:

U

Ge” 7 E1112— Pi) (H)

Die Gültigkeit des statistisch orientierten Festigkeitsmo-

dells (lit) vorausgesetzt, basieren die Berechnungen der

makroskopischen Spannungen und Dehnungen im Bau-

teil nach dem vorgestellten Schema interessanterweise

fast vollständig auf dem bekannten Apparat linear-elasti-

scher FEM—Verfahren. Aussagefähige Resultate zu einer

gegenwärtig laufenden Erprobung der Methode und

cwntuell notwendigen Verbesserungen liegen noch nicht

vor.

6. Zusammenfassung

Die Ansammlung Örtlich begrenzter, mechanischer Schä-

digungen führt zu einem effektiven nichtlinearen Span-

nungs-Dehnungsverhalten in faserverstärkten Verbunden.

Es ist möglich. auf der Basis lokaler \ ersagenskriterien

im Rahmen der linear elastischen Kontinuumstheorie

das nichtlineare mechanische Verhalten von Komposi-

ten numerisch zu simulieren. indem effektiv tragende,

lokale Querschnittsanteile der Berechnung von Spannun-

gen im Bauteil zugrunde gelegt werden. 1m Zusammen-

hang mit dem vorgestellten Modell auf der Basis der

Weibullstatistik soll noch einmal darauf hingewiesen

werden. dais im Gegensatz zu ideal spröden Werkstoffen

eine lokale lnitiierung des Rißfortschritts in faserver-

stärkten Verbunden nicht zwangsläufig das Versagen des

Bauteils bedeutet, da unterschiedliche energiedissipative

Rißstopmechanismen ein stabiles Rifäwachstum ermög-

lichen. Wegen der vereinfachenden Annahmen und ldea-

lisierungen des vorliegenden Modells sind die Ergebnisse

gegenwärtig lediglich als Schätzwerte der interessieren-

den Malerialparameter zu betrachten. Von Interesse

wären vor allem weiterführende Untersuchungen zum

Einfluß mehrachsiger Spannungsfelder. Ein Vergleich

mit konventionellen Messungen zur Ermittelung weibull-

verteilter, lokaler Festigkeiten steht noch aus.

Die Autoren danken Herrn Dr. sc. techn. Wieghardt.

Sektion CWT der T U Karl-Marx-Stadt. für die Überlas-

sung experimenteller Daten von Last-Durchbiegungs—

kurven glasfaserverstärkter Epoxid harze.

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