Elektrodynamik || Wellenlösungen

33 Wellenlösungen

Wir untersuchen elektromagnetischeWellen in homogener Materie. Für eine mono-

chromatische, ebene Welle diskutieren wir die Unterschiede zur Vakuumlösung.

Anschließend behandeln wir die Dispersion von Wellenpaketen, die durch die

Frequenzabhängigkeit der Responsefunktionen entsteht.

Monochromatische, ebene Welle

Wir betrachten ein homogenes und isotropes Medium mit den makroskopischen

Responsefunktionen

ε = ε(ω) , μ = μ(ω) (33.1)

Wir untersuchen zunächst Lösungen mit einer festen Frequenz ω:

E(r, t) = Re E(r) exp(− iωt), D(r, t) = Re ε(ω) E(r) exp(− iωt)

B(r, t) = Re B(r) exp(− iωt), H (r, t) = Re B(r)

μ(ω)exp(− iωt) (33.2)

Hierbei wird ω = reell vorausgesetzt. Die Größen E(r), B(r), ε und μ sind im

Allgemeinen komplex. Das Zeichen Re für die Bildung des Realteils wird im Fol-

genden meist unterdrückt.

Wir setzen die Felder (33.2) in die quellfreien (�ext = 0, j ext = 0) makro-

skopischen Maxwellgleichungen (29.29) ein:

divE(r) = 0 , rotE(r)− iω

cB(r) = 0

divB(r) = 0 , rotB(r)+ iω ε(ω)μ(ω)

cE(r) = 0

(33.3)

Mitrot rotB(r) = −�B + grad divB = −�B(r)

rot rotE(r) = −�E + grad divE = −�E(r)(33.4)

erhalten wir(�+ ω2εμ

c2

)B(r) = 0 und

(�+ ω2 εμ

c2

)E(r) = 0 (33.5)

Diese Gleichungen werden durch die Ansätze

E(r) = E0 exp( ik · r) , B(r) = B0 exp( ik · r) (33.6)

302

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_34© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

Kapitel 33 Wellenlösungen 303

mit beliebigen Amplituden E0 und B0 gelöst, falls der Wellenvektor k die Bedin-

gung

ω2 = c2k2

εμ= c2k2

n2(33.7)

erfüllt. Der hier eingeführte Brechungsindex n ist im Allgemeinen komplex:

n = √εμ = nr + iκ = |n| exp( iδ) Brechungsindex (33.8)

Gelegentlich wird der Realteil nr allein als Brechungsindex (im engeren Sinn) be-

zeichnet. Die reellen Größen nr und κ werden auch optische Konstanten (des be-trachteten Materials) genannt. Nach (31.3) ist klar, dass diese Größen keine kon-

stanten Größen sind; sie hängen insbesondere von der Frequenz des Lichts ab.

Mit n ist auch der Wellenvektor k komplex; denn die anderen Größen (c und ω)

in (33.7) sind reell. Daher enthält k = kr + i ki zwei reelle Vektoren kr und ki, die

im Allgemeinen verschiedene Richtungen haben. Für die Welle der Form

exp( ik · r) = exp( ikr · r) exp(−ki · r) (33.9)

sind die Phasenflächen kr · r = const. verschieden von den Flächen ki · r = const.gleicher Amplituden. Im Folgenden beschränken wir uns auf den Fall kr ‖ ki. Dazu

setzen wir

k = nk0 (33.10)

wobei k0 ein reeller Vektor mit beliebiger Richtung ist. Aus (33.7) folgt k0 = ω/c.

Auf den Ebenen k0 · r = const. hat die komplexe Welle jeweils denselben Wert;

daher die Bezeichnung als „ebene Welle“. Auf einer solchen Ebene sind sowohl die

Amplitude wie die Phase konstant.

Aus den Maxwellgleichungen folgen noch Bedingungen für die AmplitudenE0

und B0, die in (33.5) nicht enthalten sind. Um diese Bedingungen zu erhalten, set-

zen wir (33.6) in alle vier Gleichungen (33.3) ein, wobei wir εμ = n2 und k = nk0berücksichtigen:

k0 ·E0 = 0 , k0 × (nE0) = k0B0

k0 · B0 = 0 , k0 × B0 = −k0 (nE0)(33.11)

Wir berechnen nun die reellen Felder E und B aus (33.2), wobei wir (33.8), (33.10)

und (33.11) berücksichtigen:

E = Re(E0 exp [ i(nr k0 · r − ωt)]

)exp(−κ k0 · r) (33.12)

B = |n| (k0/k0)× Re(E0 exp [ i(nr k0 · r − ωt + δ)]

)exp(−κ k0 · r)

(33.13)

Zur Festlegung dieser Lösung ist ein Wellenvektor k0 (reell, beliebige Richtung,

k0 = ω/c) und ein Amplitudenvektor E0 (im Allgemeinen komplex, k0 · E0 = 0)

304 Teil VI Elektrodynamik in Materie

zu wählen. Speziell für eine reelle Amplitude E0 ergibt (33.12, 33.13) eine linear

polarisierte Welle:

E = E0 cos(nr k0 · r − ωt) exp(−κ k0 · r) (33.14)

B = |n| (k0/k0)×E0 cos(nr k0 · r − ωt + δ) exp(−κ k0 · r) (33.15)

In diesem Fall bilden k0, E0 und B0 drei orthogonale Vektoren.

Wir diskutieren die Eigenschaften der Materiewelle (33.12, 33.13) im Ein-

zelnen. Dabei geben wir jeweils die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede zur

Vakuumlösung (mit n = 1, also nr = 1 und κ = 0) an:1. Transversalität: Es gilt

E(r, t) ⊥ k0 , B(r, t) ⊥ k0 (33.16)

Für die erste Aussage multipliziert man (33.12) mit k0, zieht den reellen Vek-

tor k0 unter das Realteilzeichen und berücksichtigt E0 k0 = 0 aus (33.11).

Die zweite Aussage folgt sofort aus der Multiplikation von (33.13) mit k0.

Die elektromagnetische Welle ist also transversal, ebenso wie die Welle im

Vakuum.

2. Polarisation: Wir vergleichen die Materielösung (33.12) mit der Vakuum-lösung (20.24). Die Unterschiede (reeller Faktor nr im Wellenvektor und

Dämpfungsfaktor exp(−κ k0 ·r)) haben keinen direkten Einfluss auf die Zeit-abhängigkeit des Feldvektors. Daher kann die Polarisation wie in Kapitel 20

behandelt werden. Die Lösung (33.12) stellt daher im Allgemeinen eine el-

liptisch polarisierte Welle dar.

Durch (33.14) und (33.15) ist speziell eine linear polarisierte Welle gegeben.

3. Phasengeschwindigkeit: Für k0 = k0 ez und nr k0z− ωt = 0 hat (33.12) einefeste Phase; in (33.14) bestimmt dieses z = zmax die Position des Maximums.

Die Position des Maximums verschiebt sich mit der PhasengeschwindigkeitvP = zmax/t , also mit

vP =c

nr(33.17)

Mit dieser Geschwindigkeit verschieben sich jeweils die Punkte mit einer be-

stimmten Phase (wie zum Beispiel die Maxima) in k0-Richtung. Wie wir un-

ten noch sehen werden, ist dies nicht die Geschwindigkeit eines Lichtsignals.

4. Wellenlänge: Zwei benachbarte Maxima des Felds sind durch die Phase 2πvoneinander getrennt. Der zugehörige räumliche Abstand ist die Wellenlänge

λ. Aus nr k0λ = 2π folgtλ = λ0

nr(33.18)

Dabei ist λ0 = 2π/k0 die Wellenlänge im Vakuum.


5. Phasenverschiebung und Amplitudenverhältnis: Aus (33.12, 33.13) folgt

|B(r, t + δ/ω)||E(r, t)| = |n| (33.19)

Die Zeitverschiebung im B-Feld bedeutet eine Phasenverschiebung um den

Winkel

δ = arctan κ

nr(33.20)

Die Maxima von E und B liegen nicht an derselben Stelle. Das Verhältnis

der maximalen Amplitude des magnetischen und elektrischen Felds ist gleich

|n|. Bei der Vakuumwelle sind B und E dagegen phasengleich und haben

dieselbe Stärke, (20.27) und Abbildung 20.1.

6. Dämpfung: Die elektromagnetische Welle in Materie ist für κ �= 0 gedämpft.Wir führen den Absorptionskoeffizienten α,

α = 2k0κ (33.21)

ein und berechnen die Energiedichte (29.33) für die Welle:

wem =1

8π

(ε∣∣E∣∣2 + ∣∣B ∣∣2/μ ) ∝ exp(−α �) (33.22)

Dabei ist � = k0 · r/k0. Auf der Länge 1/α fällt die Intensität der Welle aufden e-ten Teil ab. In der Regel ist Im ε � Re ε und μ ≈ 1. Dann ist der

Absorptionskoeffizient proportional zum Imaginärteil von ε,

α(ω) = 2ω

cIm√εμ ≈ ω

c

Im ε(ω)√Re ε(ω)

(33.23)

Diskussion der Dämpfung

Die Dämpfung der Welle bedeutet, dass sie Energie verliert. Diese Energie wird an

die Materie abgegeben. Wir studieren diesen Zusammenhang näher im Oszillator-

modell (25.2).

Stellvertretend für Materie betrachten wir ein Teilchen (Masse m, Ladung q),

das harmonisch gebunden ist (Eigenfrequenz ω0, Dämpfung Γ ). Die Auslenkung

r0(t) eines Teilchens im Feld einer Welle wird durch (25.7) bestimmt:

m(r0 + Γ r0 + ω 20 r0

) = qE0 exp(− iωt) (33.24)

Hierfür wurde λ� r0 vorausgesetzt. Zur Vereinfachung nehmen wir im Folgenden

E0 = reell an. Im eingeschwungenen Zustand lautet die Lösung

r0(t) =qE0

mRe

(exp(− iωt)

ω 20 − ω2 − iωΓ

)= (33.25)

= qE0

m

((ω 20 − ω2) cos(ωt)

(ω 20 − ω2)2 + ω2Γ 2+ ωΓ sin(ωt)

(ω 20 − ω2)2 + ω2Γ 2

)


Durch die Kraft

F = q ReE0 exp(− iωt) = qE0 cos(ωt) (33.26)

wird die Leistung P = F · r0 auf das Teilchen übertragen. Wir mitteln diese Leis-tung über eine Periode T = 2π/ω :

P = ⟨F · r0 ⟩ = 1

T

∫ t+T

t

dt F (t)· r0(t) =q2E 2

0

2m

ω2Γ

(ω 20 − ω2)2 + ω2Γ 2(33.27)

Das Oszillatormodell ergibt die dielektrische Funktion (31.2),

ε(ω) = 1+ 4πn0 q2/m

ω 20 − ω2 − iωΓ (33.28)

Dabei ist n0 die Anzahl der Oszillatoren (Atome) pro Volumen. Die absorbierte

Leistung pro Volumen ist n0P . Sie kann durch den Imaginärteil der dielektrischen

Funktion ausgedrückt werden:

n0 P =1

8πE 20 ω Im ε(ω) (33.29)

Diese Leistung wird von der Welle auf das Teilchen übertragen und verschwindet

über den Reibungsterm in (33.24) in nicht näher spezifizierte andere Freiheitsgrade

(Abstrahlung in andere Richtungen, Wärmebewegung). Damit geht diese Leistung

der Welle verloren; die Welle ist gedämpft.

Telegraphengleichung

Für einen Leiter (Metall) haben wir aus dem Lorentzmodell die Form (31.15) erhal-

ten, also ε = εo(ω) + 4π iσ/ω. Wenn wir dies in die Wellengleichung (33.5) fürdas elektrische Feld einsetzen, erhalten wir(

�+ ω2 εoμ

c2

)E(r) = −4π i σ ωμ

c2E(r) (33.30)

Wenn wir mit− iω→ ∂t zur zeitabhängigen Form zurückgehen, dann ist die rechte

Seite proportional zu ∂E(r, t)/∂t . Eine analoge Form gilt für das magnetische Feld.

Diese Form derWellengleichungmit einer linearen Zeitableitung wird Telegraphen-gleichung genannt.

Die Lösung von (33.30) kann wie oben erfolgen, nur dass der komplexe Bre-

chungsindex jetzt durch n2 = μ(εo + 4π iσ/ω) gegeben ist. Für hochfrequenteWellen kommt der wesentliche Beitrag zur Dämpfung von der Leitfähigkeit. Tat-

sächlich dringen solche Wellen nur sehr wenig in das Metall ein; der metallische

Draht einer Telegraphenleitung dient im Wesentlichen als Führung der Wellen. Die

Eindringtiefe wird im nächsten Kapitel (Abschnitt „Metall“) als Skineffekt quanti-

tativ diskutiert.


Wellenpaket

Eine Überlagerung von Lösungen (33.6) mit verschiedenen k-Vektoren ist wieder

Lösung; dies folgt aus der Linearität der Maxwellgleichungen (29.29). In diesem

Abschnitt diskutieren wir einige Eigenschaften von solchen Überlagerungen oder

Wellenpaketen. Die Diskussion bezieht sich auch auf andereWellenformen wie zum

Beispiel Schallwellen.

Im betrachteten Frequenzbereich sei der Brechungsindex reell:

n = n(ω) = reell (transparentes Medium) (33.31)

Ein Medium mit reellem n ist durchsichtig (transparent), weil der Dämpfungs-

koeffizient verschwindet, α = 2k0 Im n = 0. Nach (33.7) ist dann auch die Wellen-zahl k = |k| reell. Wir lösen (33.7), k2 = ω2 n(ω)2/c2, nach ω auf:

ω = ω(k) (aus n = n(ω)) (33.32)

Die Beziehung zwischen Frequenz und Wellenzahl heißt Dispersionsrelation.Dispersionsrelationen lassen sich auch für andere Wellen angeben, zum Beispiel:

ω(k) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ck Licht im Vakuum√ω 2P + c2k2

Plasmawelle (34.25),

Hohlraumwelle (21.45), (21.49)

hk2/(2m) Freie Schrödingerwelle

csk Schallwelle, akustische Phononen

≈ const. Optische Phononen

(33.33)

Eine Abweichung von dem linearen Zusammenhang ω ∝ k führt zu Dispersions-effekten. Für elektromagnetische Wellen in Materie impliziert n(ω) �= const. solcheEffekte.

Damit Dispersionseffekte auftreten, müssen verschiedene k- oder ω-Werte in

der Welle vorkommen; es muss sich also um ein Wellenpaket handeln. Dispergieren

heißt wörtlich auseinanderlaufen oder verbreiten. Dies bedeutet konkret:

• Die verschiedenen Anteile des Wellenpakets bewegen sich mit unterschied-licher Phasengeschwindigkeit vP = c/n(ω). Dadurch fließt das Wellenpaket

im Laufe der Zeit räumlich auseinander. Dies wird im Folgenden näher un-

tersucht.

• Die verschiedenen Anteile des Wellenpakets werden an einer Grenzflächezwischen zwei Medien unterschiedlich stark gebrochen und laufen deshalb

auseinander (Abbildung 34.1).

Der Einfachheit halber betrachten wir nur eine Komponente der Felder E oder B,

die wir mit ψ bezeichnen. In der folgenden Diskussion kann ψ auch das Wellenfeld


einer der in (33.33) genannten Wellen sein. Wir beschränken uns auf k = k ez. Die

allgemeine Form eines solchen Wellenpakets ist

ψ(z, t) = 1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k) exp

[i(kz − ω(k) t

)](33.34)

Dies ist Lösung der Wellengleichung, wenn ω(k) die zugehörige Dispersionsrela-

tion erfüllt.

Wir betrachten zunächst eine einzelne k-Komponente des Wellenpakets, also

ψk = A(k) exp[ i(kz−ω(k) t)]. Der Ort zmax eines Wellenbergs hat eine konstantePhase, kzmax − ω(k) t = const. Der Wellenberg pflanzt sich mit der Phasenge-schwindigkeit vP = zmax/t fort:

vP =ω(k)

k(Phasengeschwindigkeit) (33.35)

Für Plasmawellen mit ω2 = ω 2P + c2k2 gilt zum Beispiel

vP = c

√1+ ω 2P

c2k2(33.36)

Zur Zeit t = 0 hat das Wellenpaket (33.34) die Formψ0(z) = ψ(z, 0) = A(z) (33.37)

Dabei ist A(z) die Fouriertransformierte von A(k),

A(z) = 1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k) exp( ikz) (33.38)

Wir betrachten im Folgenden ein bei k = ko lokalisiertes Wellenpaket. Als konkre-tes Beispiel verwenden wir

A(k) = C exp(− a (k − ko)

2)

(33.39)

In diesem Fall ist auch |ψ0(z)| eine Gaußfunktion. Der Realteil Reψ0 und die Am-plitudenfunktion A(k) sind in Abbildung 33.1 skizziert.

Wegen der vorausgesetzten Lokalisierung von A(k) ist es sinnvoll, ω(k) in

(33.34) bei ko zu entwickeln:

ω(k) = ω(ko)+(dω

dk

)ko

(k − ko)+1

2

(d 2ω

dk2

)ko

(k − ko)2 + . . .

= ωo + vG (k − ko)+ β (k − ko)2 + . . . (33.40)

Als Entwicklungskoeffizienten treten die Gruppengeschwindigkeit

vG =(dω

dk

)ko

(Gruppengeschwindigkeit) (33.41)


und der Dispersionsparameter auf,

β = 1

2

(d 2ω

dk2

)ko

(Dispersionsparameter) (33.42)

In der niedrigsten Näherung brechen wir (33.40) beim linearen Term ab und setzen

ω ≈ ωo + vG (k − ko) in (33.34) ein:

ψ(z, t) ≈ exp[i (kovG − ωo)t

] 1√2π

∫ ∞

−∞dk A(k) exp

[ik (z− vG t)

]= exp

[i (kovG − ωo)t

]ψ0(z − vG t) (33.43)

Die Intensität der Welle ist∣∣ψ(z, t)∣∣2 ≈ ∣∣ψ0(z − vG t)∣∣2 (lineare Näherung der

Dispersionsrelation)(33.44)

Im elektromagnetischen Fall ist ψ eine der Komponenten von E oder B, und |ψ |2ist proportional zur Energiedichte.

In der Näherung (33.43) wird das Wellenpaket ohne Änderung seiner Form, also

ohne Dispersion, mit der Geschwindigkeit vG in z-Richtung verschoben. Diese Ge-

schwindigkeit vG, mit der die ganze Wellengruppe (Wellenpaket) verschoben wird,

heißt Gruppengeschwindigkeit. Wenn man über die lineare Näherung hinausgeht,ist vG die Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Wellenpakets; dies wird sich aus

(33.48) ergeben. Das Wellenpaket könnte als Signal verwendet werden; dann ist vGauch die Signalgeschwindigkeit.

Als Beispiel setzen wir die Dispersionsrelation (33.33) für Plasma- oder Hohl-

raumwellen in (33.41) ein:

vG =(dω

dk

)ko

= c√1+ ω 2P

/c2k 2o

(33.45)

Für eine lineare Dispersionsrelation gilt

vG = vP = c , (für ω = ck) (33.46)

In diesem Fall gilt (33.44) exakt, das heißt die Welle breitet sich dispersionsfrei aus.

Dies gilt insbesondere für elektromagnetische Wellen im Vakuum.

Bei einer nichtlinearen Dispersionsrelation verbreitert sich das Wellenpaket im

Laufe der Zeit, es dispergiert. Dies kann man so verstehen, dass sich die einzelnen

Bestandteile (Frequenzen) des Wellenpakets mit unterschiedlicher Geschwindigkeit

bewegen. Die führende Abweichung von der Linearität ist durch den Dispersions-

parameter (33.42) gegeben. Wir berechnen die Dispersion des Wellenpakets (33.34)


�

�Reψ0(z)

z�

�A(k)

ko k

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Abbildung 33.1 Links ist die Amplitudenfunktion A(k) mit a1/2 ko = 6 gezeigt. Rechts

ist der Realteil der zugehörigen Wellenfunktion (33.34) für t = 0 abgebildet; die Funktionψ0(z) = ψ(z, 0) ergibt sich aus (33.47).

�z

�

0 vG t

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∣∣ψ(z, 0)∣∣2∣∣ψ(z, t)∣∣2�Zeitliche Entwicklung

Abbildung 33.2 Gezeigt ist die Intensitätsverteilung (33.48) des Wellenpakets (33.34) mit

(33.39) für zwei Zeiten. Der Schwerpunkt des Wellenpakets bewegt sich mit der Gruppen-

geschwindigkeit vG in z-Richtung. Gleichzeitig wird das Wellenpaket breiter, es dispergiert.

Eine solche Dispersion tritt nur dann nicht auf, wenn die Dispersionsrelation linear ist, also

wenn ω ∝ k.


mit (33.39) und (33.40):

ψ(z, t) = C√2π

∫ ∞

−∞dk exp

[ − a (k − ko)2]exp ( ikz)

· exp(− i [ωo + vG(k − ko)+ β(k − ko)

2]t)

= C√2

exp[ i(ko z− ωot)]√a + iβ t

exp

(− (z − vG t)

2

4 (a + iβ t )

)(33.47)

Die Welle hat die Intensität

∣∣ψ(z, t)∣∣2 = |C|22√a2 + β2 t2

exp

(− a (z− vG t)

2

2 (a2 + β2 t2)

)(33.48)

Hieran sehen wir zunächst, dass sich das Zentrum des Wellenpakets mit der Grup-

pengeschwindigkeit vG bewegt. Außerdem wird das Wellenpaket im Laufe der Zeit

breiter, es dispergiert. Dieses Verhalten ist in Abbildung 33.2 skizziert.Die Breite eines Gaußpakets exp(−z2/2Δz2) wird durch Δz charakterisiert.

Für (33.48) gilt

Δz(t) =√a2 + β2 t2

a(33.49)

Der Parameter√a legt die Breite Δz(0) zur Zeit null fest. Im Laufe der Zeit ver-

breitert sich das Paket gemäß

Δz(t)

Δz(0)=√1+ β2 t2

a2(33.50)

Dieser Effekt heißt Dispersion des Wellenpakets.Wegen n = n(ω) zeigen elektromagnetische Wellen in Materie in der Regel Di-

spersion. Für freie Schrödingerwellen folgt aus β = h/2m die quantenmechanische

Dispersion. Unter dem Gesichtspunkt der Entwicklung (33.40) ist die dispersions-

freie Ausbreitung eher als Sonderfall anzusehen. Licht breitet sich im Vakuum exakt

und in Luft in sehr guter Näherung dispersionsfrei aus. Im hörbaren Bereich ist die

Dispersion von Schallwellen in Luft (Wasser, Eisen) ebenfalls sehr klein.

Maximale Signalgeschwindigkeit

Im Verlauf der Diskussion haben wir die Phasengeschwindigkeit vP und die Grup-

pengeschwindigkeit vG eingeführt:

vP =ω(k)

k, vG =

(dω

dk

)ko

(33.51)


Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit von Maxima oder Minima ei-

ner ausgedehnten Welle. Die Gruppengeschwindigkeit hatten wir als die Geschwin-

digkeit des Schwerpunkts eines Wellenpakets erhalten.

Im dispersionsfreien Fall gilt vP = vG = c. Die Phasengeschwindigkeit vP =c/nr, (33.17), einer elektromagnetischen Welle in Materie ist meist kleiner als c.

Wie das Beispiel der Plasmawelle zeigt, ist aber auch vP > c möglich, (33.36). Die

Gruppengeschwindigkeit (33.41) der Plasmawelle ist dagegen kleiner als c.

Nach der Speziellen Relativitätstheorie können sich Signale nicht schneller als

mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Ein Signal hat notwendig eine endliche räum-

liche Ausdehnung; es besteht also immer aus einem Wellenpaket. Für das oben un-

tersuchte Wellenpaket (33.47) ist die Gruppengeschwindigkeit die Signalgeschwin-

digkeit. Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt vG ≤ c. Die Voraussetzungen

waren eine reelle Dispersionsrelation und die Entwicklung (33.40) (langsam verän-

derliches ω(k)).

Unter bestimmten Umständen (Dispersion in der Nähe von Resonanzen, ‘instan-

tanes’ Tunneln in einem Hohlleiter1) können sich Gruppengeschwindigkeiten erge-

ben, die größer als c sind; dies sind dann keine Signalgeschwindigkeiten. In diesen

Fällen muss der Transport von Energie genauer untersucht werden; der Energie-

transport ist das entscheidende Kriterium einer Signalübertragung. Bei der Bestim-

mung der effektiven Geschwindigkeit des Energietransports muss dann insbesonde-

re die Absorption berücksichtigt werden.

1Siehe hierzu G. Nimtz, Instantanes Tunneln, Physikalische Blätter 49 (1993) 1119, und nach-folgende Diskussion von P. Thoma, Th. Weiland und G. Eilenberger unter dem Titel Wie real ist dasInstantane Tunneln?, Physikalische Blätter 50 (1994) 313.

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