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Theoretische Physik (Elektrodynamik) Andreas Knorr [email protected], PN 742 Technische Universität Berlin Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/27

Theoretische Physik (Elektrodynamik)A.Einstein (1879-1955) Elektrodynamik bewegter Körper W.Heisenberg (1901-1976) u.a., Quantisierung der Ladungsträger P.Dirac (1902-1984) Quantisierung

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Theoretische Physik(Elektrodynamik)

Andreas Knorr

[email protected], PN 742

Technische Universität Berlin

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/27

Page 2: Theoretische Physik (Elektrodynamik)A.Einstein (1879-1955) Elektrodynamik bewegter Körper W.Heisenberg (1901-1976) u.a., Quantisierung der Ladungsträger P.Dirac (1902-1984) Quantisierung

I: Vorkenntnisse und Geschichte (1)

Elektrodynamik: Beschreibung des elektromagnetischen Felds,dessen Erzeugung, Ausbreitung und Wechselwirkung mit Ladungen

1. Geschichte / Vorkenntnisse

C.A. Coulomb (1736-1806) Kraftgesetz für elektrischen Ladungen

J.P Biot (1774-1862), S.Savart (1791-1841):Magnetfeld um stromdurchflossenen Leiter

M.Faraday (1791-1867) Induktionsgesetz:Elektrisches Feld wird durch zeitliche Änderung des Magnetfelds erzeugt

J.C.Maxwell (1831-1879):magnetische und elektrische Effekte vereinheitlicht

H.A.Lorentz (1853-1928) Kraft auf Ladung im elektromagnetischen Feld

H.Hertz (1857-1894) Nachweis elektromagnetischer Wellen

A.Einstein (1879-1955) Elektrodynamik bewegter Körper

W.Heisenberg (1901-1976) u.a., Quantisierung der Ladungsträger

P.Dirac (1902-1984) Quantisierung der elektromagnetischen Felds

N.Basov, C.Schawlow, C.Townes:Ausnutzung der stimulierten Emission für Laser (1954-58)

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Vorkenntnisse: Grundstruktur (2)

Grundgleichungen der Elektrodynamik sind :

selbstkonsistentes System

(Felder resultierenaus Ladung, Strom)

für bewegte LadungenBewegungsgleichungenMaxwellgleichungen

für die Felder

(Beschleunigung der Ladungsträger

resultiert aus WW mit Feldern)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/27

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Vorkenntnisse: Statische Felder (3)

Wiederholung Elekro- und Magnetostatik� � � bzw.

��� � �

in den vollen Maxwellgleichungen

Elektrostatik

�� �� ����

��� �� � � � ���

� ��� � � ������ � � � ! ��� ! �" � � � ! "

Bsp.:Punktladung am Ort � � �$#

� % & ��� �(' �� %������ " � " �

)

el

� � �� �� * + , ��� �

� �-$��� � �.� � �.� ! �� � ��� ! �

" � � � ! "

Magnetostatik

� � / � �

� � / � 0� 1

/ � � � 2

2 �� � � 0� ��� � �� ! 1 �� ! �" � � � ! "

Bsp.:Linienstrom entlang z-Achse:1 �� � � 3 & �54 � & �56 �87:9 ' / � 0� 3* � 7:;

)

mag

� � �� �* 0� < , ��� �

� 0� -$� � �� � �� ! 1 �� � � 1 ��� ! �

" � � � ! "

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/27

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Vorkenntnisse: Maxwellgleichungen (4)

2. Maxwellgleichungen

Die Felder

und

/

werden durch die Maxwellgleichungen bestimmt.

� � � ���� Die Quellstärke des elektrischen Felds ist gegeben durch die

Ladungsdichte. Feldlinien können entstehen und vergehen.

� � / � �

Die Quellstärke des magnetischen Felds ist Null. Die Feldliniensind geschlossen.

� � � � � �� � Die Wirbelstärke des elektrischen Felds ist gegeben durch

die zeitlichen Änderung des Magnetfelds. Das negative Vorzeichnenspiegelt die Lenzsche Regel.

� � / � 0� � � �� �

��� � Die Wirbelstärke des magnetischen Felds ist gegeben

durch die zeitliche Änderung des elektrischen Felds und durch dieStromdichte.

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (5)

��� �� � �� � � � � � �� ��� � � ��� �� � � � � ��� � � � � � �� � �� � � � � �� ��� � � �

� � � � � ! � � � � � " �� � � � # $ �� � � � % & � � �' �� � � �� � � �� � � ( � ) * � + ,� � � � � � .-

� � � # �� � � % ��� � � � � � � �� � � � � � ��� �� $ �� � � � /� �� &10

20 � � 3� � � � � � � ' � � � � � � � , �� � � � � � 4 � � � , , �� �

� & ( � � � � � � � � � � � " �� � � � /� �� � �

� � /0 � � � � � #� 56 789 ��

: ; 8 <� 2 # �� � $ � � � �' � � � � �� � � � �� � � � � = , �� � � �> � # � � � � &

Vφ( )

r+dx e x

rKoordinaten

Berechnung

r

in kartesischen

φ( )

Ax (r)

Ax(r+dx e )x

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (6)

Taylorreihe zur Erinnerung:

� �54 � �4 � � � �54 � � ���

� �54 � �4grad

#� ��4 �6 ��� � �7 �

�6 ��� # �54 ' 6 ' � � � 7 ��6 � � # �54 � �4 ' 6 ' � �

� 7 ��4 ��� # �54 ' 6 ' � � � 7 ��4 � � # � 4 ' 6 � �6 ' � �

�79 �4 �6 # � 4 ' 6 ' � � � 79 �4 �6 # �54 ' 6 ' � � � � � �

� 7 ���

# �� � � 7 ���

# ��� � � 79 �9 # �� � � � # ��� �

� � � �� ' �� ' �9 �

grad

#� � #aus dem vollständigen Differential folgt :

�� � � #� � #

Interpretation : Der Gradient beschreibt den Zuwachs

� #

von

#

wenn man sichim Raum um

�� fortbewegt.In der Mechanik konnte mit

� � � � #

ein konservatives Kraftfeld dargestelltwerden, in der Elektrostatik das elektrische Feld.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/27

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (7)

b) Divergenz eines Vektorfelds :

div

% �� ' � � � 56 789 ��

: ; 8 <� 2 � % �� �

Interpretation : Fluß/Volumen durch die Oberfläche (V) eines infinitisimalenVolumens V

ist also Maß für entstehende Feldlinien in diesemPunkt (Oberflächenelement zeigt nach außen),(Divergenz eines Felds � “Quellstärke”)

( + )r ∆rV

r=(x,y,z)

V( )r

dx

dz

dy1 2

div r( ,t)=v

Berechnung inkartesischen Koordinaten

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/27

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (8)

div

% � ��4 �6 � � � � :�

�54 ' 6 ' � � �6 � � � :�

�54 � �4 ' 6 ' � � �6 � � �

� �� �� ��

:�

�54 ' 6 ' � � �4 �6 ���

��4 �6 � � � � :�

�54 ' 6 ' � � �4 ��� � :�

�54 ' 6 � �6 ' � � �4 � � �

� �� �� ��

:�

� 4 ' 6 ' � � �4 �6 � �

��4 �6 � � � � :9 � 4 ' 6 ' � � �4 �6 � :9 �54 ' 6 ' � � ��� � �4 �6 �

� �� �� �9 :9 �54 ' 6 ' � � �4 �6 � �

� ��

:�

� 4 ' 6 ' � � � ��

:�

�54 ' 6 ' � � � �9 :9 �54 ' 6 ' � � � � � %

div

% � � � %

Quellstärke (Divergenz) eines Vektorfelds in kartesischen Koordinaten x,y,z.

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (9)

c) Rotation eines Vektorfelds :

Def. : rot

% � 56 789 ��

: ; 8 <� 2 � % ��� �

Interpretation : Zirkulation/Volumen auf der Oberfläche eines infinitisimalenVolumens V

V(r)

dAKreuzprodukt

ist also Maß für die Wirbel, die in diesem Punkt vorliegen(Rotation eines Felds

�� Wirbelstärke)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/27

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Vorkenntnisse: Differentialoperatoren (10)

rot

% � � � ��4 � �4 , �4 � � � � �� � � �� : � �� � � � �� � � �� : � ��� � �4 � 7 � ��

� ��4 � �4 , �4 � � � � �� � �4 � �4 � : � �� � � � � � � �4 � �4 � : � ��� �

�� �� � �4 � �4 � �4 � ���

: � ��� � �

� � � � � �� : � � � � � % � �

rot

% � � � %Wenn man alle Komponenten betrachtet, kommt man somit zur Wirbelstärke in

kartesischen Koordinaten.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/27

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Punktladungen (11)

4. Mikroskopische Punktladungen

� � � � �

ist die Bahnkurve der i-ten Punktladung

�54 �' 6 �' � � �(' � 4 � � ' 4 � , ' 4 � � �

ri(t)Bahnkurve des i−ten Teilchenmit Ladung q

i

a) Ladungsdichte: �� ' � � � �� % � & ��� � � � � � � �

(Ladung pro Volumen)

b) Stromdichte:

� ��� ' � � � �� % � �� � � � � & �� � � � � � � �

(Geschwindigkeit mal Ladung / Volumen)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/27

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Punktladungen (12)

Strom und Ladung sind über die Kontinuitätsgleichung verbunden:

�� � �� ' � � �

% � �� & �� � � � � � � � ��

% � �� � & �54 � 4 � � � � � & �56 � 6 � � � � � & � � � � � � � � � �

��

% � � � ��

& �54 � 4 � � � � � � � � �4 � � � � � & �6 � 6 � � � � � & � � � � � � � � �

� & � 4 � 4 � � � � � � ��

& �6 � 6 � � � � � � � � �6 � � � � � & � � � � � � � � �

� & � 4 � 4 � � � � � & �6 � 6 � � � � � � �9 & � � � � � � � � � � � � �� � � � � � �

� ��

% � ��

& �� � � � � � � � � �� �

� � �

� � �� �

% � �� � � � � & �� � � � � � � � � � �� � � ��� ' � �

� �� ' � � � �� � � ��� ' � � � �

Kontinuitätgleichung

Die zeitliche Änderung der Ladungsdichte ist durch

die Quellstärke der elektrischen Stromdichte bestimmt.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/27

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Punktladungen (13)

Interpretation: Aus der Kontinuitätsgleichung folgt das Gesetz von Erhaltungder Ladung. Integration über Volumen V, Anwendung des Satzes von Gauß:

�� � 8

� �� ��� ' � �

� �� �� � 8� �� �

� � � ��� ' � � � � ; 8 <� 2 � � �� ' � �

Änderung der Ladg. in V � � Stromdichtefluss durch die Oberfläche=-Strom

V dQdt =−I

(V)

Kontinuitätsgleichung beschreibt die Veränderungder Ladung Q im Volumen V durch Ladungstrans-port durch die Oberfläche (V),negatives Vorzeichnen beschreibt die Dichtever-ringerung bei Strom I (Stromdichtefluß) durch diegeschlossene Oberfläche nach aussen.

Der Strom durch Oberfläche wird als Oberflächenintegral über die Stromdichtedurch die Oberfläche definiert.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.14/27

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Energiebilanz (14)

5.Energiebilanz der Elektrodynamik

Wirbel-Gl.:

� � � � � � /' � � / � 0� � ��

� , �� �

� / � � � � � � � � � � / � � �* �� � < , �

�� , + , � � 0� � �

� � � � � / � � �* �� � < , �

�� , + , � � 0� � �

�0� � � � � / � � �� � < ,* 0� � ��* + , � � � � �

ähnlich der Kontinuitätgleichung:

� � � � � � � �

� � # Ladungsstrom' # Ladungsdichte�

� � � � �� �

em

� � � �

Poynting-Theorem(Energiebilanz des EM-Felds)

� # Energiestrom' � � � � / � 0 � �� “Poynting Vektor”

em

# Energiedichte' �em

� < ,* 0� � �* + ,

� � �# Vermutung: Leistung bei Verrichten von Arbeit am Ladungsstrom

�� Verlorengehen von Feldenergie durch die Beschleunigung der Ladungen

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.15/27

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Energiebilanz (15)

wie sieht die Arbeit des Felds an einem Ladungsträger aus?k

(aus Einführung I)r(t)

(Kurve)

���

�� � ��� �� ' �� ' � � ��

�� � % � � � � / �

(Lorentzkraft (r,t))

� ����

� � ! ��� � ! � % � � � � / �

Parameterdarstellung der Kurve in Zeit � � � ! �(' � !

� ����

� � ! % � � � � � � � � /

� �� �

���

(Magnetfeld verrichtet keine Arbeit)

mag

Bahnkurve

� ����

� � ! % � � ' � � �� �� % � � � � � ' P: Leistung

Der Poyntingsche Satz beschreibt die zeitliche Änderung der Energiedichte

� � des em-Felds im Raumpkt. � zur Zeit

durch zu oder Abströme derEnergie

� � � � �

und die Umwandlung von Feldenergie in dieLadungsträgerenergie pro Zeiteinheit (

�� � �

).�� �

em

�� ' � � � � � � � � �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.16/27

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Erinnerung an klassisches Mechanik 16

6. Kanonischer Formalismusfür elektromagnetische Felder

Ziel: Ableitung der Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus, Beispiel f.Feldtheorie

6.1 Erinnerung an klassische Mechanik

a) Newtonformalismus im Potential

� �54 �

,

� � � � � �54 � � � � � � �54 �

� �4 � ��

� � 4 � � �

, 4 � � � # Bahnkurve eines Pkt-teilchens (1d)

b) Lagrangeformalismus

� � � � �� �* �4 , � � � 4 �

�� �

� �� �4 � � ��4 � �' �# Lagrangefunktion

c) Hamiltonformalismus: �� � �� �4 � � �4 ' �� � � �

� �� � � ��4 ' �4 � � �� � ' Hamiltonfkt.:

� � 4 ' � � � � ,* �

� � � 4 �

alle 3 Formalismen sind äquivalent.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.17/27

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Erinnerung an klassische Mechanik 17

d) Verallgemeinerung auf viele Massenpunkte

�� �

���

� ,�* � �� � �54 � �

e) Verallgemeinerung für eine Feldtheorie für Feld

� �54 �:

4 � � � � 4 � �54 � �' � � 4 �Ausarbeitung dieses Prinzips führt zum kanonischen Formalismus fürFelder:

4 � � � � � � �� �4 �

� � � 4 ' � � � ��� �54 ' � � � & �

& �� � �54 ' � �

� 4 ' � � � � �' � �

sind zueinander kanonische Variable.&& � ist eine Funktionalableitung (siehe TP I: Mechanik).

So wie in der Quantenmechanik Kommutatorrelationen zwischen 4 ' �

gefordert werden, so werden in der Quantenfeldtheorie Kommutatorrelationenfür Felder gefordert (hier aber im Moment klassische Theorie).

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.18/27

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Variationsableitungen/Funktionalableitungen 18

6.2 Variationsableitungen/Funktionalableitungen

statt

� ��4 �

Variable 4 � � & �

& # �54 � �

Feldvariable# � 4 � �

variieren nicht nach 4 sondern nach dem Feld, ähnliche Regeln,wird lediglich dem Kontinuum angepaßt.

Ableitungsregel I: 4 � seien kartesische Koordinaten

�4��4 �� &

� � � & # � 4�

�& # �54 �� � & �54

� � 4 ��

Kettenregel

� � �54�

��4 �

� � � � 4�

��4

�4��4 �

� & � � # � 4�

� �

& # � 4 �� � � � �54

��

� # �54�

� �& # �54

��

& # � 4 ��

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/27

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Variationsableitungen/Funktionalableitungen 19

Ableitungsregel II:

��4 �

� � �54�

��4

� � && # �54 ��

� # � 4�

��4

��4

� � �54�

��4 �

� ��4

� � � 4�

��4

&� � � ��4

& # �54�

�& # �54 �� �

��4

& � 4� � 4 �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.20/27

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Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 20

6.3 Die Ableitung der freien Maxwellgleichungen imLagrangeformalismus

Methode um die Feldgleichungen zu gewinnen:

�� �

& �

& �� # �� & �& # � analog zu:

�� �

� �� �4 � � ��4

# � � � #' �� ' �� ' �9 �

sind die Feldkomponenten.Für diese werden Feldgleichungen gesucht:

�� )

el

� )

mag (analog zu

�� � � �)

� � )

el

� )

mag (analog zu

�� � � �konstruiert)

Potentiale: � � � # � ��� 2' / � � � 2

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.21/27

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Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 21

a) Ableitung der E-Quellengleichung

& �

& # ��� � �&

& # ��� � � �� ! ��* + , �� ! � � && # �� � � �� ! �* 0� < , �� ! �

� �� � � � ! ��� ! � � && # ��� � ��� ! � � �

� �� � � � ! �� ! � � && # �� � � � � ! # ��� ! � � �� 2 �� � �

� � �� � �.� ! �� ! � � � ! & �� � � ! �

� �� � �.� ! � ! � ��� ! � & �� � � ! �

& �

& # ��� � � �� � � ��� �('& �

& � # �� � � �

�� �

& �

& �� # �� � � & �

& # �� � � �

� � � ��� � � �(gilt im Vakuum, in Materie anders L verwenden)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/27

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Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 22

b) Ableitung der

2

-Feldgleichung

�� �

& �

& �� � � �� � �& �

& � � �� �

& �

& ��

�� � �& �

& ��

�� � � � �.� ! �* 0� < , �� ! �

� � �0� � �� ! / ��� ! � � && ��

�� ��

��� �

�9 �� ! � � �9 �

��

��� ! ��9 �

��

�� ! � � �� �

�9 �� ! ��� �

��

�� ! � � �� �

��

�� ! ��

� � �0� � �� ! �

<�

�� ! �<�

��� ! �<9 �� ! ��

� ��

��9 �& �� � � ! �

� � � �& ��� � � ! �

��

Skalarprodukt, partielle Integration:

� �0� � �� ! � �9 �

<�

��� ! � � �� �

<9 ��� ! � � & ��� � � ! �

� �0� � �9 <

��� � � ��

<9 ��� � � � � �0� � � � / �

& �

& ��

��� � � � �0� � � � / �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/27

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Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 23

��� � �

& �

& �� ��

��� � �& �

& � ��

��� � � �.� ! ��* + , �� ! � � �� � �� ! �� ! � � & �� ! �& � ��

��� �

� " �� � �� 2 � � # " � � �� � �� ! �� ! � � 7 �& �� � � ! �

��� � � � �� +�

�� � � � � � / �� � �� , �� +

� Maxwellgleichungen können aus den Lagrangegleichungen durchFunktionalableitungen gewonnen werden.

wichtig: solche Feldtheorien gibt es auch für Schrödigerfeld, Diracfeld, das hier

beschriebene Vorgehen ist wichtig um Bewegungsgleichungen aus gegebener

Energie (Messung, Erfahrung) zu bestimmen und weitere Wechselwirkungen

einzubauen.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/27

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Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 24

6.4 Lagrangeformalismus unter Einbeziehungvon Ladungen und Strome

“raten” einer Lagrangefunktion und dann zeigen, daß diese die Material- undMaxwellgleichungen erfüllt.Bedeutung: aus der bestätigten Lagrangefunktion können die kanonischenVariablen zur Quantisierung gewonnen werden.Ansatz für Lagrangefunktion eines Vielteilchensystems:

� � � �� ! ��* + , ��� ! � � �* 0� < , ��� ! �

�* � �� ,

� �� �kinetische Energie

��

% � # ��� � � ��

% � �� � � 2 �� � �

� �� �

potentielle Energie der Ladung

Ableitung der Bewegungsgleichung für

# �� �

:

�� �

� �

� � # �� ' � � � � �

� # ��� ' � � � �' � � �� � � ��

% � & ��� � � � � � �

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/27

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Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 25

� � � �� ��� Quellengleichung des elektrischen Felds

Bewegungsgleichung für das B-Feld:

�� �

� �� � ��

� � �� ��

� �' � � � �54 �' 6 �' � � �

� �� �� +�

��� � � �0� � � � / �

� ��

% � �4 � & �� � � � � � �

Die erste beide Terme sind aus dem freien Feldanteil (siehe oben).

�0� � � � / �

� ��

% � �4 � & ��� � � � � � �� ��� +�

��� �

� � � / �� � 0� �� �

�� , �� +

das ist die Wirbelgleichung für das B-Feld

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Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 26

Analog folgt die Bewegungsgleichung für die Teilchen:

�� �

� �� �4 �� � ��4 �� �

� �� � � % � � % �� � � / �

Damit sind die Lorentzkraft-Bewegungsgleichungen für die Teilchen als auchdie Maxwellgleichungen voll in der formulierten Lagrangefunktion enthalten.Die Lagrangefunktion und die damit definierten Impulse geben später dieMöglichkeit, Vertauschungsrelationen zwischen konjugierten Variableneinzuführen und dann zu quantisieren.

Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/27