Elementare Geometrie Vorlesung 2

Markus Rost

8.4.20191

1[Korrigierte Fassung vom 14.4.2019]

Die Hohe oder das Lot

Definition

Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt P .Das Lot (oder die Hohe) von P auf g ist die Gerade h diesenkrecht auf g steht und durch P geht:

h ⊥ g (1)

P ∈ h (2)

Der Schnittpunkt L von g mit h heißt der Lotfußpunkt:

g ∩ h = {L}

Fur einen Punkt P , der auf g liegt (P ∈ g), gilt L = P und dieHohengerade h ist die Senkrechte zu g im Punkt P .

Wir erlauben uns, zu schreiben (keine Mengenklammern):

g ∩ h = L statt g ∩ h = {L}

[Zeichnungen gestohlen von Wikipedia, andere Bezeichnungen sindmoglich]

Dreiecke I

Definition

Ein Dreieck ∆ = ABC besteht aus drei Punkten A,B,C, dienicht auf einer Geraden liegen.Man betrachtet zu den Punkten A,B,C die anliegenden Winkelα, β, γ und die gegenuberliegenden Seiten

a = BC

b = CA

c = AB

Dreiecke II

Dreiecke III

Der Begriff des Winkels wird spater behandelt (Grad, Bogenmaß,Außenwinkel, Innenwinkel, . . . ).

Zum Thema gehoren auch der Inkreis und die Exkreise.

Hier nur soviel:

Satz (Winkelsumme im Dreieck)

α+ β + γ = 180◦ = π

Dreiecke IV

Man unterscheidet verschiedene Typen von Dreiecken:

1 Spitzwinklige Dreiecke (α, β, γ < 90◦)

2 Rechtwinklige Dreiecke (ein rechter Winkel, z.B. α = 90◦,β + γ = 90◦)

3 Stumpfwinklige Dreiecke (ein Winkel > 90◦)

4 Gleichschenklige Dreiecke (zwei gleich lange Seiten oder zweigleiche Winkel )

5 Gleichseitige Dreiecke (a = b = c, α = β = γ = 60◦)

6 ? “Unregelmaßige” oder “allgemeine” Dreiecke (alle Seitenverschieden, alle Winkel verschieden, kein rechter Winkel?)

7 Degenerierte Dreiecke (alle Punkte auf einer Geraden)

8 Sehr degenerierte Dreiecke (zwei Punkte gleich, etwa A = B)

9 Total degenerierte Dreiecke (A = B = C)

Dreiecke V

Unter den “Seiten” eines Dreiecks versteht man meist die Strecken(“Zweiecke”), die das Dreieck begrenzen (a = BC).

Manchmal versteht man darunter auch nur die Lange der Seite(z.B. schreibt man etwa a = b bei einem gleichschenkligenDreieck).

Oft versteht man darunter aber auch die gesamte Gerade durchzwei Punkte des Dreiecks (“Seitengerade”). Beispiel: Bei derKonstruktion der Hohe in einem stumpfwinkligen Dreieck fallt mandas Lot auf die “verlangerte” Seite.

Hohen I

Definition

Gegeben sei ein Dreieck ∆ = ABC. Die Hohe ha ist das Lot (oderdie Lotgerade) von A auf die gegenuberliegende Seite a = BC.Analog bezeichnen hb, hc die beiden anderen Hohen.

Satz (Schnittpunkt der Hohen)

Die Hohen in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt, demHohenschnittpunkt H.Bezeichnung:

H = H(∆) = H(ABC) = ha ∩ hb ∩ hc

[Beweis spater, siehe auch Blatt 1, Aufgabe 3.]

Hohen II

Hohen III

Proposition

Es seiH = Hohenschnittpunkt(ABC)

Dann giltA = Hohenschnittpunkt(HBC)

Dies ist Blatt 1, Aufgabe 1.

Ein Beweis kommt gleich. Die Losung aber bitte selbst formulieren!

Hohen IV

Beweis.

Die Seiten bzw. Hohen im Dreieck ABC sind

a, b, c ha, hb, hc

Die Seiten bzw. Hohen im Dreieck HBC sind

a, hc, hb ha, c, b

Dies sieht man an der Zeichnung.

Formal kann man so argumentieren:

Hohen IV

Beweis (Fortsetzung: formale Begrundung).

Die Seiten bzw. Hohen im Dreieck HBC sind

a, hc, hb ha, c, b

Denn

B,C ∈ a = BC

H,C ∈ hc = CH

H,B ∈ hb = BH

H ∈ ha ha ⊥ a = BC

B ∈ c = AB c ⊥ hc = CH

C ∈ b = AC b ⊥ hb = BH

Gibt es Fragen zu Blatt 1, Aufgabe 2 (a) (die Mittelsenkrechtenschneiden sich in einem Punkt)?

Gibt es Fragen zu Blatt 1, Aufgabe 2 (b) (die Winkelhalbierendenschneiden sich in einem Punkt)?

Die Mittelparallele

Satz (Satz von der Mittelparallelen im Dreieck)

In einem Dreieck der euklidischen Ebene ist die Verbindungsstreckeder Mittelpunkte zweier Seiten stets parallel zur drittenDreiecksseite und stets halb so lang wie diese.

[Formulierung und Bild gestohlen von Wikipedia]

Das Seitenmittendreieck I

Definition

Das Seitenmittendreieck von ∆ = ABC ist das Dreieck∆′ = A′B′C ′ dessen Punkte die Seitenmitten des Dreiecks ∆ sind.

Dabei bezeichnet A′ die Seitenmitte der dem Punkt Agegenuberliegenden Seite a = BC. Entsprechend sind B′, C ′ zuverstehen.

Erinnerung an die algebraischen Formeln:

A′ =B + C

2

B′ =C +A

2

C ′ =A+B

2

Das Seitenmittendreieck II

Seitenmittendreieck = Mittendreieck = Mittelparallelendreieck

Ahnlich zum ursprunglichen Dreieck. Streckfaktor 1/2, um 180◦

gedreht um den Schwerpunkt S.

Das Seitenmittendreieck III

Satz (Satz von der Mittelparallelen im Dreieck)

Die Geraden BC und B′C ′ sind parallel. Analog fur die anderenSeiten. Also:

B′C ′ ‖ BCC ′A′ ‖ CAA′B′ ‖ AB

Das Seitenmittendreieck IV

Beweis.

Mit Strahlensatzen (. . . ).

Oder algebraisch (mit Vektorrechung):

C ′ −B′ = A+B

2− C +A

2

= −1

2(C −B)

Also ist B′C ′ parallel zu BC und zwar halb so lang.

Das Minuszeichen besagt, daß B′C ′ als Vektor die umgekehrteRichtung wie BC hat.

Gibt es Fragen zu Blatt 1, Aufgabe 3?

Aufgabe

Die Mittelsenkrechten in einem Dreieck sind die Hohen imSeitenmittendreieck.

Sie durfen den Satz von der Mittelparallelen verwenden.

Das Seitenmittendreieck V

Die Konstruktion des Seitenmittendreiecks kann man umkehren:

Dazu betrachtet zu jedem Punkt des Dreiecks die Parallele zurgegenuberliegenden Seite. Diese Parallelen nenne ich die“Seitenparallelen” des Dreiecks.

Definition

Das Parallelendreieck eines Dreiecks ∆ ist das Dreieck ∆ dessenSeitengeraden die Seitenparallelen von ∆ sind.

Das Seitenmittendreieck VI

Satz

Das Parallelendreieck des Seitenmittendreiecks ist dasursprungliche Dreieck:

(∆′) = ∆

Das Seitenmittendreieck des Parallelendreiecks ist dasursprungliche Dreieck:

(∆)′ = ∆

Jedenfalls die erste Aussage folgt aus dem Satz uber dieMittelparallele.

Das Seitenmittendreieck VII

Satz

Fur die Punkte des Parallelendreiecks ∆ = ABC des Dreiecks∆ = ABC gilt:

A = B + C −AB = C +A−BC = A+B − C

Die Dreiecke haben alle den gleichen Schwerpunkt:

S = S′ = S =A+B + C

3

Das Seitenmittendreieck VIII

Exkursion: Beschreibung mit Matrizen.

Matrizenrechnung bekannt? (“Zeile mal Spalte”)

A′B′C ′

=1

2

0 1 11 0 11 1 0

ABC

ABC

=

−1 1 11 −1 11 1 −1

ABC

Das Seitenmittendreieck IX

Matrizen-Multiplikation:

1

2

0 1 11 0 11 1 0

·−1 1 1

1 −1 11 1 −1

=

1 0 00 1 00 0 1

−1 1 1

1 −1 11 1 −1

· 1

2

0 1 11 0 11 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

Rechts steht die Einheitsmatrix.