Die Geometrie gehört zu jenemGrenzbereich, in dem sich Geistund Natur innig durchdringen. Istzum Beispiel die einfacheGesetzmäßigkeit, daß sich die 3Winkelhalbierenden in jedemDreieck in einem Punkt treffen,der zudem den Mittelpunkt desInkreises darstellt, als eine Aus-

sage der Natur- oder der Geistes-wissenschaften zu betrachten?Wo befanden sich die platoni-schen Körper oder die aus ihnenabgeleiteten Sternfiguren, bevorein Mensch sie erstmals ent-deckte? Geometrische Gesetz-mäßigkeiten erfindet oder kon-struiert der Mensch ja nicht, er

entdeckt sie, vergleichbar mitder Entdeckung neuer Sterne amHimmel.

Im Reich der Geometrie gibt es Urbil-der, die vielen konkreten Ausgestal-

tungen in der Welt zugrunde liegen.Dies war jedenfalls die feste Überzeu-gung von Johannes Kepler (1571–1630),dem Entdecker der 3 Planetengesetze

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und dem Verfasser der „Welt-Harmo-nik“ (1619). In seinem Buch werden diegemeinsamen Strukturprinzipien inMusik und Kosmos auf geometrischeUrbilder oder Archetypen, wie Keplersie nannte, zurückgeführt und seinKonzept einer – die früheren Vorstellun-gen auf eine neue Stufe hebenden –Sphärenharmonie dargelegt. Hierschließt sich die Frage an, woher denndie Urbilder kommen, die offenkundigetwas Geistiges sind. Nicht anders alsIdeen des Weltgeistes oder des gött-lichen Geistes, was auch immer das inder Vorstellung des einzelnen bedeutenmag, sind sie denkbar. Die Aktualität

von KeplersGedanken wirddurch die Auffin-dung klarer geo-metrischer Struk-turen in den räum-lichen Verhältnis-sen in unseremSonnensystemeindrucksvollbestätigt.

So wie die Ideevon der in Teil 1behandelten Sphä-renharmonie(Magazin2000plus, Nr. 297)seit Jahrtausendenin der Menschheitverankert ist, sowurde seit wohlebenso langer Zeitein Zusammen-hang zwischenGeometrie undden himmlischenVerhältnissenerahnt. Platonbrachte die fünfexistierenden undnach ihm benann-

ten regelmäßigenKörper mit denElementen Feuer,Wasser, Erde, Luftund der himm-lisch-ätherischenSubstanz in Ver-bindung. Letztereordnete er demDodekaeder zu,jener Figur, dievon zwölf Fünfek-ken umgrenztwird. Auch in geo-metrischer Hin-sicht war es dann

Johannes Kepler, der die alten Vorstel-lungen knapp zwei Jahrtausende späterweiterentwickelte. Ziemlich zu Beginnseiner Suche nach der Ordnung imSonnensystem kreierte er sein bekann-tes Modell, wonach die Anordnung dersechs zu seiner Zeit bekannten Plane-ten durch die platonischen Körper gere-gelt wird. So entspricht beispielsweisedas Verhältnis der Radien von Um- undInkugel des Würfels grob demjenigender mittleren Sonnenabstände bzw. dergroßen Halbachsen der Ellipsenbahnenvon Saturn und Jupiter oder beim Dode-kaeder von Mars und Erde (unabhängigdavon, daß die Entdeckung, daß sichPlaneten auf Ellipsenbahnen bewegen,Kepler erst einige Jahre später gelang).

Die Strukturiertheit des ganzenSystems einschließlich der erst nachder Zeit Keplers entdeckten Planetenjenseits von Saturn, so wie sie sich inder Signatur der Sphären kundtut, wirdjedoch von den kleinen Halbachsen bder Ellipsenbahnen vorgegeben, denenja schon bei den Harmonien derGeschwindigkeiten eine zentraleBedeutung zukam. Am auffälligsten istzunächst, daß erster und vierter Planet,sowohl von innen als auch von außen

gezählt, bezogen auf ihre kleinen Halb-achsen im Verhältnis 4:1 stehen. Ersterund sechster Planet, wiederum voninnen und von außen gerechnet, wei-sen die Proportion 25:1 auf. Dadurchergibt sich eine sehr klare übergeord-nete Struktur, die von weiteren Verhält-nissen kleiner ganzer Zahlen unterglie-dert wird. Diese Ordnung ist in derAbbildung 2 durch entsprechendeKreise symbolisiert. Die Abweichungenvon den realen Werten betragen jeweilsnur wenige Promille, außer bei denIntervallen 8:3 bzw. 3:2, wo sie etwasüber ein Prozent ausmachen. (Die

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Abbildung 1: 2 Darstellungen aus Mysterium Cosmographicum (Das Weltgeheimnis) von Johannes Kepler.

Abbildung 2: Annäherung an die Intervalle derkleinen Halbachsen der Planeten. Von links nachrechts: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter,Saturn, Uranus, Neptun, Pluto.(© Keplerstern Verlag.)

René Descartes, „La Géometrie“ (Erstausgabe 1637)

genauen Werte finden sich in dem BuchDie Signatur der Sphären, S. 23 ff.). Eszeigt sich übrigens auch hier sehr klar,daß Pluto zur Gemeinschaft der Plane-ten dazugehört, unabhängig davon, obman ihn heute als Planeten oder Klein-planeten definieren will.

Die Abbildung 2 offenbart eine sobestechend klare und einfache Anord-nung, daß man sich wundern muß,warum diese zuvor nicht entdeckt wor-den ist. Es ist wie eine Spiegelung umJupiter, das größte Mitglied der planeta-rischen Gemeinschaft. Er, die Venusund Neptun sind in die gezeigte Ord-nung allerdings noch nicht integriert.Dies ermöglicht jedoch eine geometri-sche Annäherung mit Hilfe der einfach-sten regelmäßigen Figuren: Kreis, Qua-drat, Dreieck. Denn die Proportionen2:1 und 4:1 ergeben sich auch durch dieFlächenverhältnisse von Um- undInkreis eines Vier- bzw. eines Dreiek-kes. Der Kreis teilt dabei Proportionenvon der Form 4/π, π/2 etc. ab. Beispiel-haft für die 4 äußeren Planeten kommtman so zu folgender Anordnung (Abbil-dung 3):

Man wird vielleicht zunächst über-rascht sein, drei der Planetenbahnen alsQuadrate wiederzufinden. Es handeltsich jedoch um die Darstellung des Ord-nungsprinzips von Strecken, den klei-nen Halbachsen. Deren Verhältnissesind hier wie die Flächen von Vierek-kenn bzw. der eines Kreises aufeinan-der bezogen. Die Abweichungen zwi-schen realen planetarischen und idea-len geometrischen Verhältnissen ent-sprechen im Maßstab der Zeichnungetwa der halben Strichstärke, so daßoffenkundig eine sehr gute Überein-stimmung vorliegt (eine statistischeAussage hierzu folgt weiter unten).

Warum aber spielen die kleinen Halb-achsen in der Anordnung der Planeten-bahnen die entscheidende Rolle undwarum sollen sich deren Proportionen

nach Flächenverhältnissen gestalten?Eine Antwort könnte darin zu findensein, daß die kleinen Halbachsen dasgeometrische Mittel von Aphel- undPeriheldistanz (sonnenfernster bzw. -nächster Punkt einer Ellipsenbahn) bil-den, für eine geometrische Anordnunginsofern prädestiniert sind. Wenn dann

und nur dann die Entfernungsmaßenach Flächenverhältnissen bestimmtsind, ergibt sich nach den KeplerschenGesetzen – zumindest trifft das fürKreise zu –, daß die Geschwindigkeitenden Radien und die Umlaufzeiten denzu bildenden Kugeln entsprechen. Dochwie dem auch sei, es wird hier keine

neue physikalische Theorie aufgestellt,sondern eine Beschreibung von sehrbemerkenswerten Phänomenen gelie-fert. Denn auf ähnliche Weise lassensich sämtliche Verhältnisse der kleinenHalbachsen geometrisch erfassen. Diedafür erforderlichen einfachen Kon-struktionen sind in der Abbildung 4zusammengestellt und mit den betref-fenden Zahlenwerten versehen (iminneren Planetensystem tritt noch füreine Hilfskonstruktion das Sechseckhinzu). Die Abweichungen von planeta-rischen und geometrischen Verhältnis-sen betragen auch hierbei nur wenigePromille, zum Teil noch weit darunter(Details siehe „Die Signatur der Sphä-ren“, Kapitel 13).

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Die Platonischen KörperDie Platonischen Körper sind eine Klasse vollkommen regelmäßiger Körper. Sie wer-den auch reguläre Körper (von lat. corpora regularia) genannt und sind nach demgriechischen Philosophen Platon benannt.Es gibt fünf Platonische Körper, deren Namen auf griechisch die Anzahl ihrer Flächenwiedergeben:• Tetraeder (Vierflächner aus vier Dreiecken)• Hexaeder (Sechsflächner bzw. Würfel aus sechs Quadraten)• Oktaeder (Achtflächner aus acht Dreiecken)• Dodekaeder (Zwölfflächner aus zwölf Fünfecken)• Ikosaeder (Zwanzigflächner aus zwanzig Dreiecken)Sie sind konvexe Polyeder (Vielflächner), deren Seitenflächen regelmäßige, zueinan-der deckungsgleiche Vielecke sind, von denen in jeder Ecke des Körpers jeweilsgleich viele zusammentreffen.Eine etwas allgemeinere Gruppe sind die sogenannten halb- bzw. semiregulärenoder archimedischen Körper.

Abbildung 3: Geometrische Annäherung an die Verhältnisse der kleinen Halbachsen im äußeren Planetensystem.

Abbildung 4: Zusammenstellung der Proportionen der kleinen Halbachsen als Flächenverhältnisse in Kreis-, Quadrat- und Dreieck-Konstruktionen. Von links nach rechts: äußerer Bereich, Saturn/Mars,Jupiter/Erde, innerer Bereich. (© Keplerstern Verlag.)

Mit geeigneten statistischen Metho-den läßt sich nachweisen, daß dieWahrscheinlichkeit für die zufälligeBevorzugung von Proportionen, diesich aus diesen einfachen Konstruk-tionsprinzipien – mit den angeführtenminimalen Abweichungen – ergeben,äußerst gering ist (< 1:100.000). Weiter-hin läßt sich auch die Sonne über ihrenDurchmesser in diese Darstellungs-weise einbeziehen (Abbildung 5). Hier-bei ergibt sich, daß das Verhältnis derkleinen Halbachse Merkurs und des

Sonnenradius geometrisch durch eineVerschachtelung von 7 Quadraten undKreisen (oder 3 Dreiecken plus 1 Qua-drat, was rechnerisch auf das gleichehinausläuft) äußerst genau anzunähernist (Abweichung 0,11%, siehe Die Sig-natur der Sphären, S. 310).

Am erstaunlichsten ist jedoch, daßalle angeführten Proportionen systema-tisch in den Flächenverhältnissen einesZwölfsterns auftreten. Dies ist in der

Abbildung 6 dargestellt. Die entspre-chenden Verhältnisse sind dabei farbigunterlegt. Beispielsweise ergibt sich dieRelation Mars/Venus (violett markiert)aus dem Verhältnis des äußeren Krei-ses und des Zwölfecks, das dem näch-sten Kreis mit dem Radius r4 einge-schrieben ist (rechnerisch entsprichtdas 2/3 π). Saturn/Mars (gelb, 2 π)kommt der Relation des äußeren Krei-ses zu dem Quadrat gleich, welches inden r4-Kreis eingefügt ist. Dieses Ver-hältnis ist arithmetisch exakt die Kreis-zahl π und wäre noch mit 2 mal zu neh-

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Abbildung 5: Geometrische Annäherung an dasVerhältnis der kleinen Halbachse von Merkurund dem Sonnenradius. Der zusätzlich eingezeichnete äußere Kreis hat die gleiche Fläche wie das äußere Quadrat.

Abbildung 6: Die den Intervallen der kleinenHalbachsen entsprechenden Flächenverhältnisseim Zwölfstern. (©Keplerstern Verlag.)

Die Geometrie (Personifikation) unterrichtet in der Euklidschen Geometrie (Darstellung vomBeginn des 14. Jh.)

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men, sozusagen in diehöhere Oktave zuerheben; geome-trisch läßt sich dassehr einfach durchdie Einschreibung

einer weiteren Kreis-Quadrat-Abfolge realisie-ren, siehe Abbildung 4.

Seit Urzeiten ist die Zahl12 mit der kosmischen Voll-

kommenheit assozi-iert worden, wie es inden 12 Sternzeichenoder den 12 Haupt-gottheiten des grie-chischen Pantheons

und vielem anderenzum Ausdruck kommt.Wie wir in Teil 3 sehenwerden, spielt derZwölfstern darüber hin-aus bei den Figuren, diesich aus den langfristigin Beziehung gesetzten

Bewegungen der Plane-ten ergeben, eine zentrale

Rolle, die Abbildung 7 gibt

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Abbildung 7: Neptun aus Saturn-zentrierterSicht bei Jupiter/Neptun-Konjunktionen,700 mal, Zeitraum ca. 8947 Jahre.(© Keplerstern Verlag.)

Römische Kopie eines griechischen Porträts desgriechischen Philosophen Pla-ton (428/427–348/347 v.Chr.).

Platon (links) und Aristoteles mit dem Timaiosbzw. der Nikomachischen Ethik in Händen,Detailansicht aus Raffaels Die Schule von Athen(1510–1511), Fresko in der Stanza della Segnatura (Vatikan).

Die platonischen Körper bestimmen dieLage der Planeten (Aus Keplers Harmonice mundi, 1619).

hierfür ein Beispiel. Der Zwölfsternkann somit als ein Urbild sowohl für dieräumlichen als auch die dynamischenVerhältnisse im Sonnensystem aufge-faßt werden.

Johannes Keplers Grundidee, daß inunserem Sonnensystem eine besonderegeometrische Ordnung vorhanden ist,hat sich damit in abgewandelter Formauf das Schönste bestätigt. Das umfas-sendere Ziel seiner „Weltharmonik“ ausdem Jahre 1619 bestand darin aufzuzei-

gen, daß die Grundlagen von Geome-trie, musikalischer Harmonie undAstronomie im wesentlichen eins sindoder, anders formuliert, die unter-schiedlichen Seinsbereiche von dengleichen schöpferischen Prinzipiendurchwirkt werden. Das, was die Welt

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Die Zahl 12• In der griechischen Mythologie ist die Zwölf-zahl in dem zwölfköpfigen Götterkollegiumder Titanen und der zwölf OlympischenHauptgötter präsent. Dem Helden Herakleswurden zwölf Prüfungen auferlegt.• Auch die nordische und die germanische Mythologie kennen ein zwölf-köpfiges Götterkollegium: In Asgard, dem Heim der Asen befinden sich zwölfPaläste für die zwölf Götter.• Das Dodekapropheton, auch Zwölfprophetenbuch genannt, ist ein Buch des Alten Testamentsder Bibel, zu dem die kürzeren Schriften der so genannten „zwölf kleinen Propheten“ zusammen-gefaßt sind.• Nach den Söhnen Jakobs wird das Volk Israel im Alten Testament in zwölf Stämme geglie-dert.• Zwölf Edelsteine sind auf dem Brustschild des Hohenpriesters.• Das Christentum deutet die Zwölf (drei mal vier, neben der Sieben, also drei plus vier) alsHeilige Zahl der Begegnung Gottes (Drei: Trinität = Dreieinigkeit) mit der Welt (Vier: vier Him-melsrichtungen, vier Jahreszeiten, vier Elemente).• Die himmlische Stadt Jerusalem (Offb. Joh. 21) hat 12 Tore, auf denen 12Engel stehen. Die Maße der Stadt basieren alle auf der Zahl Zwölf.• Jesus versammelte nach dem Neuen Testament zwölf Jünger um sich, die erals Apostel einsetzte.• Nach dem Vorbild der Jünger Jesu ist heute das Kollegium der Zwölf ApostelTeil der Hierarchie der Kirche Jesu Christi der Heiligen der Letzten Tage.• Das christliche Weihnachtsfest dauert 12 Tage bzw. Nächte (die „Rauh-

nächte“ einbezogen).• Die Orthodoxe Kirchekennt zwölf Hauptfeste, den sogenanntenDodekaórton.

• Die Imamiten oder Zwölfer-Schii-ten, die größte Gruppe der Schii-ten im Islam, erkennen zwölfImame als Nachfolger des Prophe-ten Mohammed an. • Der zwölfte, Muhammad al-Mahdi, der so genannte verbor-gene Imam, soll als Erlöser in dieWelt zurückkehren. Daher ist erlaut Verfassung das nominelleStaatsoberhaupt des Iran.• Die Tafelrunde des Artus hatnach neuzeitlichen Interpretatio-nen zwölf Plätze. • Die Zwölf hat ihre Bedeutungauch in der chinesischen Zahlen-symbolik.

im Innersten zusammenhält, sind fürKepler letztlich geometrische Urbilder:göttliche Gedanken, die dem Aufbauder Musik und des Kosmos zugrundeliegen.

In der menschlichen Seele sind sieebenfalls als Archetypen verankert,wodurch es uns erst möglich wird, dieHarmonie in den verschiedenen Berei-chen zu erkennen und miteinander inBeziehung zu setzen. Und so wird ver-ständlich, daß die Beschäftigung mitder elementaren Geometrie von Kreis,Quadrat und Dreieck, Sternfiguren undplatonischen Körpern sich nie abnutztund auch heute noch Freude bereitenkann und zu neuen Entdeckungenführt. „Ich weiß, daß ich an der Geome-trie das Glück zuerst kennen gelernthabe“, sagte Rudolf Steiner in seinemBuch „Mein Lebensgang“. �

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Die Signatur der SphärenHartmut WarmDas Buch:Die Signatur der Sphären – Von der Ordnung im Sonnensystem2. erweiterte Auflage, 448 Seiten,gebunden, über 200 s/w Abb., 16 Farbtafeln. ISBN 3-935958-12-9,29,80 Euro

Die DVD:Vortrag und Interview mit Hartmut Warm, Spielzeit 100 Minuten, 19,90 Euro.Vertrieb: www.keplerstern.de,www.nuoviso.deKeplerstern Verlag, www.keplerstern.de

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