nand duni 18. 1Y38 Heft 3 Buchbesprechungen 205

die Mathieu'scho Differentialgleichung, ferner ein Beispiel aus der Tragfliigeltheorie. Uie oben ge- schilderte Entstehung des Ruches wirkt sich in sehr vorteilhafter Weise dahin aus, dab der Leser nirgends rnit ermiidenden Darstellungeii geplagt wird. Der Zweck eines einfiihrenden Lehrbuches wird ja sonst vielfach verkannt. Ein solches Lehr- buch hann und soll weder dem, der eine Tlieorie, noch dem, der Xnwendungen studieren will, das Durcharbeiten der Originalliteratur ersetzen. Im Gegenteil, das Ziel jedes Unterrichtes soll stets clarauf gerichtet sein, den Lernenden moglichst bald zur Originalliteratur zu fuhren und ihm das Durch- arbeiten der Originalliteratur zu erleichtern. Diesem Cirundsatz entspricht das vorliegende Buch in ge- radezu beispielgebender Weise. Wcnn a uch die Darstellung im allgemeinen nur Bekanntes umfafit und nur gelegentlich Neues bringt, so ist doch ihr Erscheinen deshalb sehr zu begruben, da der Ver- fasser seiner Eigenart entsprechend den Stoff V O I ~ Grund aus durchdacht hat, so da13 das Buch eine personliche Note hat.

F u n k . 836.

ERNST FORADORI, G r u n d g e d a n k e n d e r 80 9. Leipzig 1937, Verlag S.

Versuch einer axiomatischen Grundlegung der

Hamburg. W. B l a s c h k e . 804

Dr. KARL DOEHLEMANN, weil. Prof. a. d. Techn. Hochsch. Miinchen, Dr. HEINRICH TIMER- DING, Prof. a. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, P r o j e k t i v e G e o m e t r i e (Sammlung Goschen, Kr. 72). 131 S. in. 37 Fig. Berlin und Leipzig 1937, Verlag Walter de Gruyter t Go. Preis geb. 1,62 M.

Auch nach der Zusammenziehung des Stoffes in ein Bandchen wird der Leser in den Fragenkreis nnd in die Denkweise der projektiven Geometrie tlurch klare und knappe Darstellung gut eingefiihrt und lernt die wesentlichsten Eigenschaften nicht iiur der ebenen, sondern auch der riiumlichen Be- ziehungen und Gebilde kennen, die den Grund- begriffen der projektiven Geometrie entspringen.

Dresden. W. L u d w i g . 819

JULIEN MALENGREAU, E s s a i s u r l e s F o n d e m e n t s d e l a G B o m k t r i e E u c l i - cl i e n n e. 311 .S. Lausanne 1938. Librairie Payot & Cie. Preis 8 Frcs.

Das Buch soll als Einleitung zu einem Werk iiber Geometrie dienen, das der Verfasser vorbereitet, und baut axiomatisch den elementarsten Raum auf, in dem die euklidische Qeometrie angewendet wer- den kann. Auf Grund von geeigneten Postulaten werden Zahlen, Zahlenpaare, Zahlentripel den Punk- ten zugeordnet, bzw. als Punkte aufgefabt; und zwar werden nur r a t i o n a 1 e Zahlen herango- zogen. Die Grundlawe fur den Aufbau der Geraden ist eine Kette von h n k t e n , die aus dem Postnlat folgt: ,,Ist ein Punktepaar gegebcn, so gibt es einen F'unkt, der rnit dem einen gegebenen Punkte ein Punktepaar vom Abstand des gegebenen Paares und rnit dem anderen gegebenen Punkte ein Punktepaar des doppelten Abstandes bildet." Die Grundlage fur den Aufbau der Ebene ist ein in Lhn- licher Weise gewonnenes regelmabiges Dreiecksnetz - usf. Dieser Aufbau erfordert g r o h , bis ins ein- zelne dringende Sorgfalt und bedarf zahlreicher De- finitionen von Begriffen, die in der allgenieinen euklidischen Geometrie nicht auftreten; deshalb ist es unmoglich, mit kurzen Worten den Hergang zu kennxeichnen. Es sei nur darauf hingewiesen, dab die euklidische Geometrie in diesem Raume sich

T e i I t 11 e o r ie. Hirzel. Preis kart. 4,80 11.

Mengenlehre.

scheidet; z. B. spielen in ihr, da das gleichseitige Dreieck an erster Stelle steht, die Rechtwinkelig- keit und, da sie Geraden, Ebenen usw. verschiede- ner Gattungen besitzt, die Bewegung nicht ihre iiberlieferungsma8igen Rollen. Erst clurch neue Postulate und die Hinzunahme der Punkte, die sich durch Quadratwurzeln und in allmahlichem fi'ortgang durch hohere arithmetische Mittel ausdriicken lassen, ware der Obergang zum allgemeinen euklidischen Rauni durchzufiihren.

Dresden. W. L u d w i g . 889

EUGEN ROTH, A x i o m a t i s c h e U n t e r - s u c h u n g e n z u r p r 0.j e k t i v e n , a f f i n e n u n d m e t r i s c h e n G e o m e t r i e (Forscliungen zur Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften, neue Folge, unter Mitwirkung von W. Ackermann, F. Bachmann, G. Gentzen, A. Kratzer, herausgegeb. von Heinrich Scholz, Heft 2). 58 S. Leipzig 1937, Verlag von S. Hirzel. Preis brosch. 2,60 M.

Der Verfasser kniipft, wie er in der Einleitung darlegt, a n die Arbeiten von Cayley und Klein an, nach denen man die euklidische und die nichteukli- dischen Geometrien aus der projektiven Geometrie rnit Hilfe gewisser projektiv formulierbaren, aber projektiv nicht invarianten Begriffsbildungen her- ieiten kann. Von dem Axiomensystem aus kann jedoch durch reine Definitionen unter gleichwertigen Begriffsbildungen der genannten Art nicht eine ein- zelne ausgezeichnet und somit auch nicht eine be- stimmte Geometrie festgelegt werden. Diese Be- obachtung veranlaBt den Verfasser zur Unter- suchung noch wenig behandelter, interessanter Fra- gen der mathematischen Logik und Grundlagen- forschung.

Dresden. W. L u d w i g . 800

Abstecken und Vermarken von Gleisbogen nach dem Winkelbildverfahren (Nalenz-Hofer-Verfahren) Lehrfaeh h 501. (Deutsche Reichsbahn, Hilfshefte fur das dienstliche Fortbildungswesen.) XI1 4- 187 S. u. 5 Taf. Berlin 1937, Verlag der Verkehrswissen- schaftlichen Lehrmittelgesellschaft m. b. H. Preis 290 M.

Die vorliegende Schrift ist ursprunglich fur das Unterrichts- und Bildungswesen der Deutschen Reichsbahn bestimmt. Sie soll von den bautech- nischen und vermessungstechnischen Beamten be- nutzt werden. Das ,,Winkelbild" eines Gelekbogens erbLlt man (S. 168), ,,wenn man die am Bogen ge- messenen Pfeilhohen h fortlaufend summiert, die Summe mit dem Pfeilhbhenmaljstabe ch malnimmt und sie als Ordinaten y von einer geraden (waage- rechten oder geneigten) Auftragslinie aus abtragt". Die Darstellung ist, wie man sieht, entsprechend den Zwecken des Buches, sehr breit und elementsr. Man wird an eine solche Schrift nicht den Ma& stab einer wissenschaftlichen Veroffentlichung legen durfen und daher sich nicht wundern, wenn grund- satzliche Fragen der Geleisabsteckung nicht bertihrt werden. Wenn man z. B. bei Ubergangsbogen die Rampe, die zur Uberhohung des luljeren Geleises notwendig ist bei groben Fahrgeschwindigkeiten und grol3en therhohungen nicht linear ansteigend, sondern ,,gemhwungen" ausfiihrt, so schreibt dieses Buch iiber die Gestalt der Ubergangsbogen: ,,man bildet sie am einfachsted aus zwei quadratkchen Parabeln." Selbst wenn amtIich bei der Reichsbahn so verfahren wird, so bleibt es gerade bei hohen Fahrgeschwindigkeiten doch wohl nicht unbedenk- lich, die Gestalt der Ubergangsbogen unabhangig von den bei der Fahrt auftretenden Krlften nnrl ohne Beriicksichtigung der niechanischen Vorganqe bei der Fahrt lediglich nach LuBerlichen Giltinden der ,,Einfachheit" zu wahlen.

von der allgemeinen euklidisc,hen Geometrie unter- Berlin. R. R o t h e. 795