ERWARTUNGSTREUER, KONSISTENTER SCHÄTZER

Universität Potsdam

Sommersemester 2011

Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie

Seminarleiterin: Frau S. Roelly

Referentin: Sophie Newiger

Datum: 26. Mai 2011

GLIEDERUNG1 Einstieg in die Thematik (Motivation)

2 Reißzweckenwurf (Binomialverteilung) 2.1 Definition: Schätzfunktion und Schätzer (Wiederholung)2.2 Beispiele für Schätzer2.3 Definition: Erwartungstreue und Konsistenz2.4 Qualität der Schätzer überprüfen

3 Sammelbilderproblem (Diskrete Gleichverteilung)

3.1 Beispiele für Schätzer3.2 Qualität der Schätzer überprüfen

4 Verkehrszählung (Poissonverteilung) 4.1 Beispiel eines Schätzers 4.2 Qualität des Schätzers überprüfen

5 Zusammenfassung6 Quellen

1 EINSTIEG IN DIE THEMATIK (MOTIVATION) schließende bzw. beurteilende Statistik

Beispiele: Bestandskontrollen ,Qualitätskontrollen, Prognose des Wahlverhaltens einer Bevölkerung, …

unvollständige Kenntnis über die zu untersuchenden Daten

Notwendigkeit des Schätzens!

parametrische Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter p machen

p bestimmt Verteilung der Stichprobe

von Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen

1 EINSTIEG IN DIE THEMATIK (MOTIVATION) Wahl eines guten Schätzers hängt von

Qualitätsmerkmalen ab

z.B. Erwartungstreue und Konsistenz

Betrachtung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

n-facher Reißzweckenwurf

NotationWahrscheinlichkeitsmaß, welches vom Parameter p

abhängt,

unabhängig voneinander und identisch verteilte Zufallsvariablen

Realisierungen der Zufallsvariablen

n Anzahl der Würfe

k Anzahl der Treffer („Reißzwecke fällt auf den Kopf“)

Zufallsvariable ist bernoulliverteilt zum Parameter p

„Reißzwecke fällt auf den Kopf“

„Reißzwecke fällt schräg auf die Spitze“

2 REIẞZWECKENWURF

pP ]1,0[p

nXX ,...,1

nyy ,...,1

pi BX ,1~

pXPp )1(

pXPp 1)0(

Definition 1: Schätzfunktion

Eine Schätzfunktion für den Parameter p ist eine Funktion

d.h.

Definition 2: Schätzer

Die Zufallsvariable heißt Schätzer für den Parameter p.

2 REIẞZWECKENWURF

]1,0[}1,0{: nt]1,0[),...,( 1 nyyt

),...,( 1

)(

n

n

XXtp

Beispiele für Schätzer

2 REIẞZWECKENWURF

2

1),...,()1( 11

)(1

nn XXtp

n

iin

n Xn

XXtp1

11)(

2

1),...,()2(

113)(

3 ),...,()3( XXXtp nn

n

iin

n Xn

XXtp1

,...,14)(

4 1

1)()4(

Definition 3: ErwartungstreueEin Schätzer für den Parameter p heißt erwartungstreu, wenn für alle .

Definition 4: Konsistenz

Ein Schätzer heißt konsistent, wenn für alle gilt:

, , d.h.

für alle

),...,( 1

)(

n

n

XXtp

pp np

][ )( ]1,0[p

2 REIẞZWECKENWURF

),...,( 1

)(

n

n

XXtp

0

1,0p

Qualität der Schätzer überprüfen

2 REIẞZWECKENWURF

nicht erwartungstreu nicht konsistent

erwartungstreu konsistent

erwartungstreu nicht konsistent

nicht erwartungstreu konsistent

2

1),...,()1( 11

)(1

nn XXtp

n

iin

n Xn

XXtp1

11)(

2

1),...,()2(

113)(

3 ),...,()3( XXXtp nn

n

iin

n Xn

XXtp1

,...,14)(

4 1

1)()4(

3 SAMMELBILDERPROBLEM

Wie viel verschiedene Bilder gehören

zu einer Serie?

NotationM Anzahl der verschiedenen Bilder einer Serie:

{1,…,M}

n Anzahl der gekauften Duplo: {1,...,n}

unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen

Realisierungen der Zufallsvariablen

Zufallsvariable ist gleichverteilt zum Parameter M

nXX ,...,1

nyy ,...,1

Beispiele für Schätzer

{nächste ganze Zahl zu }

3 SAMMELBILDERPROBLEM

},...,max{)1( 1)(

1 nn XXM

5)2( 1)(

2

MM n

)(3)3( nM 1

2

1

n

iiXn

12

1

n

iiXn

3 SAMMELBILDERPROBLEM

o Qualität der Schätzer überprüfen nicht erwartungstreu konsistent

nicht erwartungstreu nicht konsistent

{nächste ganze Zahl zu } ungefähr erwartungstreu

konsistent

},...,max{)1( 1)(

1 nn XXM

5)2( 1)(

2

MM n

)(3)3( nM 1

2

1

n

iiXn

12

1

n

iiXn

4 ZÄHLUNG VON AUTOUNFÄLLEN (POISSONVERTEILUNG) In dieser Zählung werden Autounfälle in einem

bestimmten Zeitintervall (pro Tag) erfasst.

Notationn Anzahl der Tage: {1,…n}

entspricht der mittleren Unfallanzahl pro Tag

Anzahl der Autounfälle am i-ten Tag(unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariable)

Realisierungen der Zufallsvariablen

Zufallsvariable ist poissonverteilt zum Parameter

iX

)(~ PoissX i

nyy ,...,1

Beispiel eines Schätzers

erwartungstreukonsistent

4 VERKEHRSZÄHLUNG (POISSONVERTEILUNG)

n

ii

n Xn 1

)(1

1)1(

5 ZUSAMMENFASSUNG

Ziel der Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter treffendazu erforderlich: Schätzer

Gute Qualität der Schätzer!?Gütekriterien nutzen, wie z.B.

Erwartungstreue: für alle

Konsistenz: für alle

ppEn

p

)()(

]1,0[p

]1,0[p

6 QUELLEN Knöpfel, H. & Löwe, M. (2007). Stochastik – Struktur im

Zufall. München: Oldenburg-Verlag

Georgii, H.-O. (2009). Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. De Gruyter-Verlag.

Bourier, G. (2011). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung mit Aufgaben und Lösungen. Wiesbaden: Gabler-Verlag.

Kunze, S. (2010). Das Sammelbilderproblem. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Online abrufbar unter http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2011/5164/pdf/Preprint_2010_12.pdf