Etwas Mathematik - ips.tu-braunschweig.de · Etwas Mathematik Aussagen Aussagen und ihre Bedeutung Aussage: Ein sprachliches Gebilde, dem man sinnvoll einen der Wahrheitswerte wahroderfalschzuordnen

Etwas Mathematik

Vorkurs Wintersemester 2017/18

Werner Struckmann

4.–13. Oktober 2017

Etwas Mathematik

Aussagen

Aussagen und ihre Bedeutung

Aussage: Ein sprachliches Gebilde, dem man sinnvoll einen der Wahrheitswertewahr oder falsch zuordnen kann.

Menge der Wahrheitswerte:

B = boolean = 0,1 = t, f = true, f alse = w, f = wahr, f alsch

TND: Tertium non datur (ein Drittes gibt es nicht)

Es gibt auch Logiken, bei denen Aussagen anders sind.Beispiele: Fuzzy-Logik, LTL (linear time logic, zeitabhängige Aussagen), ....

4.–13. Oktober 2017 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 2 / 67

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Aussagenlogik

Menge der Aussagenvariablen: V

V = p1, p2, p3, ...Die Variablen werden z. B. auch als p, q, r, ... geschrieben.

Menge der Ausdrücke: A

pi ∈ A

Φ,Ψ ∈ A =⇒(¬Φ) ∈ A Negation(Φ ∧ Ψ ) ∈ A Konjunktion(Φ ∨ Ψ ) ∈ A Disjunktion(Φ → Ψ ) ∈ A Implikation(Φ ↔ Ψ ) ∈ A Äquivalenz

Diese Operationen werden auch Verknüpfungen genannt.

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Wahrheitswerte bei Verknüpfungen

F (Φ)

Φ ¬Φf ww f

Φ Ψ Φ ∧ Ψ Φ ∨ Ψ Φ → Ψ Φ ↔ Ψf f f f w wf w f w w fw f f w f fw w w w w w

Kein exklusives Oder

Φ ist erfüllbar gdw. es ex. ein Fall mit F (Φ) = wΦ ist allgemeingültig gdw. für alle Fälle gilt F (Φ) = w

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Äquivalente Aussagen

Die Aussagen Φ → Ψ und ¬Φ ∨ Ψ sind äquivalent.

Φ Ψ ¬Φ ¬Φ ∨ Ψ Φ → Ψf f w w wf w w w ww f f f fw w f w w

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Prädikatenlogik

Die Prädikatenlogik legt eine Struktur der Aussagen fest.

Variable p1, p2, p3, ..., x, y, z, ...

Quantoren: ∃, ∀Funktionssymbole

Relationssymbole

Verknüpfungen, Klammerungen


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Mengenlehre

Georg Cantor, 1895

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassungvon bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung

oder unseres Denkens zu einem Ganzen M.

m ∈ M

ZFC ist eine der axiomatischen Mengenlehren.

Relationssymbol: ∈


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Mengenlehre

Beispiel:M = 2,7,5 = 5,2,5,7,7,2,2,2

| M |= 3

Ein Axiom:Das Extensionalitätsaxiom:

∀x∀y(∀z(z ∈ x↔ z ∈ y)↔ x = y)


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Mengen

Leere Menge: ∅ =

Zahlenmengen: N,N0,Z,Q,R,C

Teilmenge: N ⊆ M

Potenzmenge: P (M) = N | N ⊆ M

Durchschnittsmenge: M ∩ N = x | x ∈ M ∧ x ∈ N

Vereinigungsmenge: M ∪ N = x | x ∈ M ∨ x ∈ N

Differenzmenge: M \ N = x | x ∈ M ∧ x /∈ N

Kartesisches Produkt: M × N = (x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ N

Relationen: R ⊆ M × N Funktionen: f : M → N

Relationen und Funktionen können auch mehrstellig sein.

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Fazit bis jetzt

Was sind Aussagen? (Aussagenlogik)Wie können Aussagen formuliert werden? (Prädikatenlogik)Mengenlehre (axiomatisch)

spezielle Mengen: leere Menge, ZahlenmengenMengenoperationenRelationen, Funktionen

Dies ist die Basis und die Sprache der Informatik, der Mathematik, ....

Kann man alles beweisen? Auch die Widerspruchsfreiheit?Gödelsche Unvollständigkeitssätze

Hinweis: Außer der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik gibt weitere Logiken(schon erwähnt).

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Summen- und Produktzeichen

Summenzeichen (Sigma):

b∑i=a

xi = xa + xa+1 + xa+2 + ... + xb

Produktzeichen (Pi):b∏i=a

xi = xa · xa+1 · xa+2 · ... · xb

Beispiele:

5∑i=0

(i +2) = 275∑i=0

i +2 = 175∑i=0

2 = 12b∑i=a

1 = b−a+1

Typisch, aber nicht immer, falls a > b: Leere Summe: 0 Leeres Produkt: 1


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Gaußsche Summenformel, Beweis durch Induktion

Satz:n∑i=1

i =n2· (n + 1)

Beweis:Induktionsanfang:

n = 1 :1∑i=1

i = 1 =12· (1 + 1)

Induktionsschluss mit Induktionsvoraussetzung:

n+1∑i=1

i =n∑i=1

i + (n+1) =n2· (n+1)+ (n+1) =

n · (n + 1) + 2 · (n + 1)2

=(n + 1)

2· (n+2)

Durch Induktion können z. B. Mengen und Funktionen definiert und Aussagenbewiesen werden. Es gibt mehrere Varianten der Induktion.

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Landau-Symbole

Definition: Es sei eine Funktion g : N −→ R gegeben.

Θ(g) = f : N −→ R | ∃c1 > 0, c2 > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0. 0 ≤ c1g(n) ≤ f (n) ≤ c2g(n)

O(g) = f : N −→ R | ∃c > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0. 0 ≤ f (n) ≤ cg(n)

Ω(g) = f : N −→ R | ∃c > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0. 0 ≤ cg(n) ≤ f (n)

o(g) = f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n0 > 0 ∀n ≥ n0. 0 ≤ f (n) < cg(n)

ω(g) = f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n0 > 0 ∀n ≥ n0. 0 ≤ cg(n) < f (n)

Anwendung, Komplexität: Anzahl der Vergleiche bei Bubblesort:

f (n) =n−1∑i=1

i =n − 1

2· n = 1

2n2 − 1

2n ≤ n2

Schreibweise: f ∈ O(n2) oder f = O(n2)

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Beispiele für das Summenzeichen

Distributivgesetz:

c · a1 + c · a2 + ... + c · an = c · (a1 + a2 + ... + an)

n∑i=1

(c · ai ) = c ·n∑i=1

ai

n∑i=1

(c · ai + d ) = c ·n∑i=1

ai + n · d

Umindizierung:n∑i=0

ai =n+a∑i=a

ai−a

Doppelsumme:n∑i=1

m∑j=1

ai · bj = a1 · b1 + a1 · b2 + ... + a1 · bm

+ a2 · b1 + a2 · b2 + ... + a2 · bm + ..... + an · b1 + an · b2 + ... + an · bm

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Etwas weiteres zum Summenzeichen

Häufig verwendte Formeln

n∑i=0

qi =1 − qn+1

1 − qq 6= 1

n∑i=1

qi =q − qn+1

1 − qq 6= 1

Andere Schreibweise;I eine endliche Indexmenge, i ∈ I,0 ∈ A, ai ∈ A∑

i∈∅

ai := 0

∑i∈Iai := aj +

∑i∈I\j

ai

Für das Produktzeichen gibt es auch eine Schreibweise mit einer Indexmenge.

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Etwas Rechnen

Potenz, Wurzel und Logarithmus:

y = xn ↔ x = n√y ↔ n = logx(y)

Potenz:

xn · xm = xn+m x−n =1xn

xn

xm= xn−m (xn)m = xn·m

Wurzel:n√y · z = (y · z)

1n = y

1n · z 1

n = n√y · n√z

Logarithmus:logx(y · z) = logx(y) + logx(z)

logx(yz

) = logx(y) − logx(z)

logx(yn) = n · logx(y)

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Etwas Wichtiges für die Komplexität von Algorithmen

Logarithmen vom gleichen Wert x zu unterschiedlichen Basen unterscheiden sichnur um einen Faktor, der nicht von x abhängt.

Satz: Hier hängt c nicht von x ab: c · loga(x) = logb(x)

Beweis: Setze c = logb(a). Damit gilt

c · loga(x) = loga(x) · logb(a) = logb(aloga(x)) = logb(x)

Vermutlich haben Sie diese Regel beim Rechnen mit Taschenrechner verwendet.

Beispiel: a = 10, b = e

ln(10) · lg(x) = ln(x) → lg(x) =ln(x)

ln(10)

lg(2) =ln(2)

ln(10)= 0,3010299957...

Folge: Wegen des Satzes kann geschrieben werden:

O(log(n)) = O(loga(n))

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Eine weitere Regel

Es gilt die Gleichung:

loga(b) =1

logb(a)

Beispiel:

log2(16) = 4 → log16 (2) =14

Denn es gilt:

1614 =

4√

16 = 2

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Kann ein Computer richtig rechnen?

Wie rechnet ein Computer?

Warum muss man das wissen, wenn man mit einem Computer arbeitet?

Das wollen wir uns ansehen!

Zuerst rechnen wir etwas selbst.


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Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen

12 · 23 = ?

6

7

2

1 2 · 2 32 4

3 62 7 6

12·23 = (1·10+2)·(2·10+3) = 1·2·100+(1·3+2·2)·10+2·3 = 2·100+7·10+6 = 276

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1 2 · 1 21 2

2 41 4 4

1 2 3 · 1 2 31 2 3

2 4 63 6 9

1 5 1 2 9

1 2 3 4 · 1 2 3 41 2 3 4

2 4 6 83 7 0 2

4 9 3 61 5 2 2 7 5 6

Berechnen Sie 12345 · 12345.

Mit einem Java-Programm kontrollierenwir unsere Ergebnisse und berechnen123456 · 123456.


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public class Mult01 public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args )

System . out . p r i n t l n ( 1 * 1 ) ;System . out . p r i n t l n (12 *12 ) ;System . out . p r i n t l n (123*123) ;System . out . p r i n t l n (1234*1234) ;System . out . p r i n t l n (12345*12345);System . out . p r i n t l n (123456*123456);

Ausgabe:

1

144

15129

1522756

152399025

-1938485248

Das Quadrat einer Zahl ist nicht negativ. Hat sich der Computer verrechnet?

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System . out . p r i n t l n ( 1 * 1 ) ;System . out . p r i n t l n (12 *12 ) ;System . out . p r i n t l n (123*123) ;System . out . p r i n t l n (1234*1234) ;System . out . p r i n t l n (12345*12345);System . out . p r i n t l n (123456*123456);

Ausgabe:

1

144

15129

1522756

152399025

-1938485248

Das Quadrat einer Zahl ist nicht negativ. Hat sich der Computer verrechnet?

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Wir sehen uns ein zweites Beispiel an:


i n t z = 256*256*256*128+2147483647;System . out . p r i n t l n ( z * z ) ;

Ausgabe: 1

Hat sich der Computer schon wieder verrechnet?


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Wir sehen uns ein zweites Beispiel an:


i n t z = 256*256*256*128+2147483647;System . out . p r i n t l n ( z * z ) ;

Ausgabe: 1

Hat sich der Computer schon wieder verrechnet?


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Das nächste Beispiel: Kommazahlen können größere Werte annehmen

Java:

p u b l i c c lass Numerik p u b l i c s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args )

double a = 1 . 0 / 3 . 0 ,b = 10.0+a−10.0 , c ;

i f ( a==b )c = 0;

elsec = 1 / ( a−b ) ;

System . out . p r i n t f ( " %20.5 f%n " , c ) ;

Ausgabe: -1637672591771089.50000- 1 Billiarde 637 Billionen 672 Milliarden 591 Millionen 771 Tausend und 89,5

korrekter Wert: 0

Kann der Computer nicht rechnen?

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Das nächste Beispiel: Kommazahlen können größere Werte annehmen

Java:

p u b l i c c lass Numerik p u b l i c s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args )

double a = 1 . 0 / 3 . 0 ,b = 10.0+a−10.0 , c ;

i f ( a==b )c = 0;

elsec = 1 / ( a−b ) ;

System . out . p r i n t f ( " %20.5 f%n " , c ) ;

Ausgabe: -1637672591771089.50000- 1 Billiarde 637 Billionen 672 Milliarden 591 Millionen 771 Tausend und 89,5

korrekter Wert: 0

Kann der Computer nicht rechnen?

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Frage

Gibt es weitere Fehler?


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Fehler beim Programmieren

In Jahre 1999 wurde durch die Fehlfunktion eines Seitenairbags ein Babygetötet.

Die Untersuchungen ergaben einen Softwarefehler:Die Ausführungsreihenfolge zweier Anweisungen war vertauscht worden.

Der Fehler trat nur in der Software eines speziellen Fahrzeugmodells auf.

Es wurde vergessen, diese spezielle Software zu testen.


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Fehler beim Programmieren

Richtige Reihenfolge:

airbag = ein;if (kindersitz == belegt)

airbag = aus;

Falsche Reihenfolge:

if (kindersitz == belegt) airbag = aus;

airbag = ein;


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Ariane-Rakete

Bevor wir uns anschauen, wie es zu solchen Rechenfehlern kommt, sehenwir uns eine Minute einen Film an.

Der Film zeigt den Start einer Ariane-Rakete.


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Ariane-Rakete

Wikipedia:

The launch ended in failure due to an error in the software designcaused by inadequate protection from integer overflow. This resulted inthe rocket veering off its flight path 37 seconds after launch, beginning todisintegrate under high aerodynamic forces, and finally self-destructingby its automated flight termination system. The failure has becomeknown as one of the most infamous software bugs in history. The failureresulted in a loss of more than US $ 370 million.


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Dualzahlen: Darstellung

12 = 1 · 101 + 2 · 100

= 8 + 4 + 0 + 0

= 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20

= (1100)2

123 = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100

= 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1

= 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20

= (1111011)2


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Weitere Basen: Die Zahl 95

95 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 1 · 26 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + +1 · 20

= (1011111)2

95 = 64 + 24 + 7

= 1 · 82 + 3 · 81 + 7 · 80

= (137)8

95 = 80 + 15

= 5 · 161 + 15 · 160

= (5F)16

Bei Basis 16: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Auch als: a,b,c,d,e,f.

Wichtige Basen für Java: 2,8,10,16.Basis 2: Binärzahl, Dualzahl. Basis 8: Oktalzahl. Basis 16: Hexadezimalzahl.

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Die Darstellung der Zahl 95 in Java

System.out.println(" Binär: "+0b1011111);System.out.println(" Oktal: "+0137);System.out.println(" Dezimal: "+95);System.out.println(" Hexadezimal: "+0x5F);System.out.println(" Hexadezimal: "+0x5f);


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Weitere Basen: Die Zahl 95

Gelten die folgenden Darstellungen?

95 = (1011111)2 95 = (10112)3

95 = (1133)4 95 = (340)5

95 = (235)6 95 = (164)7

95 = (137)8 95 = (115)9

95 = (95)10 95 = (87)11

95 = (7B)12 95 = (74)13

95 = (6B)14 95 = (65)15

95 = (5F)16 95 = (5A)17

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Dualzahlen: Addition

1 2+ 1 2 3

1 3 5

1 1 0 0+ 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1 1

Das exclusive Oder reicht also für die Addition.Subtraktion, Multiplikation und Division werden auf die Addition zurückgeführt.

Das exclusive Oder ermöglicht also die bitweise Rechnung.

(10000111)2 = 1 · 27 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 128 + 4 + 2 + 1 = 135

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Dualzahlen: Multiplikation

1 2 · 1 21 2

2 41 4 4

1 1 0 0 · 1 1 0 01 1 0 0

1 1 0 00 0 0 0

0 0 0 01 0 0 1 0 0 0 0

(10010000)2 = 1 · 27 + 1 · 24 = 128 + 16 = 144

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Dualzahlen: Speicherung/Verarbeitung

Computer speichern Zahlen meistens als Dualzahlen.

Null oder Eins wird durch ein Bit repräsentiert.

Java: Der Datentyp int soll zum Rechnen mit ganzen Zahlen, d. h. mit Elementender Menge

Z = . . . ,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5, . . .

verwendet werden. Eine Zahl vom Typ int wird durch 32 Bits gespeichert.Dadurch gehören 232 = 4 294 967 296 Zahlen zum Typ int. Java deckt damit denBereich von −231 = −2 147 483 648 bis 231 − 1 = 2 147 483 647 ab. Die Zahl2 147 483 647 wird MAX_VALUE genannt. Das Ergebnis der Multiplikation123456 · 123456 ist 15 241 383 936. Diese Zahl ist größer als MAX_VALUE undkann daher nicht verarbeitet werden. Das obige Programm hat sich also schon beieiner Multiplikation um

15 241 383 936 − (−1 938 485 248) = 17 179 869 184,

d. h. um 17 Milliarden 179 Millionen 869 Tausend 184 verrechnet.

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ganze Zahlen als Dualzahlen zu speichern.Eine sehen wir uns an, das. sog. Zweierkomplement:

0 0000....0000

1 0000....0001

2 0000....0010

3 0000....0011

.... ............

MAX_VALUE: 2 147 483 647 = 231 − 1 0111....1111

MIN_VALUE: −2 147 483 648 = −231 1000....0000

−231 + 1 1000....0001

.... ............

−3 1111....1101

−2 1111....1110

−1 1111....1111

Es geht bei 0000....0000 los. In jedem Schritt geht es um eins weiter. So machtes zum Beispiel Java. Für den Datentyp int werden 32 Bits benutzt.

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Zugegeben: In Java gibt es den Datentyp long, der größere Zahlenverarbeiten kann. Aber auch für diesen Datentyp gibt es eine Maximalzahl.

Nicht alle Programmiersprachen behandeln Zahlen gleich. Es kommt sogarvor, dass eine Programmiersprache Zahlen auf verschiedenen Rechnernunterschiedlich bearbeitet.

Computeralgebrasysteme, zum Beispiel Maple, behandeln Zahlen anders:

» 123456*123456;15241383936

» z:=256*256*256*128+2147483647;z:=4294967295

» z*z;18446744065119617025

Fazit: Wenn man mit einem Computer arbeitet, muss man sich seine Spracheund Rechner genau anschauen. Insbesondere also wie Zahlen gespeichertwerden und dargestellt werden können. Sonst kann es zu schweren Fehlernführen.

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Dezimalzahlen: Rationale Zahlen

Die Dezimalbruchentwicklung von rationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus Q,ist periodisch:

174

= 4,2500000...

= 4,250 = 4,25

157

= 2,142857142857142857142857142857...

= 2,142857

Die Dezimalbruchentwicklung von irrationalen Zahlen, d. h. von Elementen ausR \Q, ist nicht periodisch:√

2 = 1,4142135623730950488016887...

π = 3,1415926535897932384626433...

e = 2,7182818284590452353602874...

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Dualzahlen: Rationale Zahlen

Die gleichen Aussagen gelten für Dualzahlen:

12= 0,5000000... = 0,50 = (0,10)2 = (0,1)2

154

= 3,7500000... = 3,750 = (11,110)2 = (11,11)2

110

= 0,1 = 0,00011001100110011001100110011... = 0,00011

π = 11.00100100001111110110101...

Wenn also endlich viele Bits zur Speicherung von rationalen Zahlen in derDualzahldarstellung benutzt werden, dann kann also nicht einmal die Zahl 0,1korrekt gespeichert werden (→ Numerik).

Durch Rundung wird aber nicht jede Rechnung falsch.

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Dualzahlen: Subtraktion

Wie darf ein Computer subtrahieren? Die Subtraktion kann auf die Additionzurückgeführt werden:

3 5- 1 4

2 1

3 5+ 8 5 (Komplement von 14)

1 2 0+ 1

2 1

85 ergänzen die Ziffern von 14 auf 99.

Komplement:

b + b = 10k − 1, 10k > b.

b = 10k − 1 − b

a − b = a − (10k − 1 − b) = a + b − 10k + 1 (s. Beispiel)

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Dualzahlen: Subtraktion

35 − 14 = 21:

1 0 0 0 1 1- 1 1 1 0

1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 1+ 1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0 0+ 1

1 0 1 0 1

110001 ist das Komplement von 1110.

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Dualzahlen: Division

13 : 8 = 1,625

13 : 8 = 158= 1 +

12+

04+

18= (1,101)2

13 = (1101)2

8 = (1000)2

1 1 0 1 : 1 0 0 0 = 1, 1 0 11 0 0 0

1 0 1 01 0 0 0

1 0 0 01 0 0 0

0

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Logische Operation

Wir haben gesehen, wie die Subtraktion, die Multiplikation und die Division auf dieAddition zurückgeführt werden kann.

Die Addition für Binärzahlen kann auf die folgende logische Operationzurückgeführt werden. Man sieht 0 als falsch und 1 als wahr an.

0+0 = 0 exklusives Oder0+1 = 1 exklusives Oder1+0 = 1 exklusives Oder1+1 = 10 exklusives Oder und Übertrag auf die nächste Spalte

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Darstellung von Zahlen

Auf den vorigen Folien hatten wir uns das Prinzip und einige Beispiele zu denfolgenden Aspekten angesehen:

Ganze Zahlen: Darstellung bezüglich Basen

Rechnen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Speicherung

Verarbeitung

Etwas zu rationalen und irrationalen Zahlen


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Umformung einer Zahl in eine andere Basis

Es gelten offensichtlich die folgenden Regeln, falls n eine gerade Zahl ist:

bn = b2· n2 = (b2)n2

x · bn+1 + y · bn = (x · b + y) · bn = (x · b + y) · (b2)n2

Es werden also zwei aufeinanderfolgende Ziffern betrachtet. Der größte Wert beider Umformung von der Basis b zur Basis b2 ist:

(b − 1) · bn+1 + (b − 1) · bn = ((b − 1) · b + (b − 1)) · (b2)n2 = (b2 − 1) · (b2)

n2

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Beispiele für die vorige Folie

Die Darstellung der Zahl 95 zu verschiedenen Basen haben wir schon gesehen.Auf dieser Folie formen wir die Darstellung um.

95 = (1 01 11 11)2 = (1 0 · 2 + 1 1 · 2 + 1 1 · 2 + 1)4 = (1133)4

95 = (11 33)4 = (1 · 4 + 1 3 · 4 + 3)16 = (5 15)16 = (5F )16

95 = (1 01 12)3 = (1 0 · 3 + 1 1 · 3 + 2)9 = (115)9

95 = (1 15)9 = (1 1 · 9 + 5)81 = (1 14)81 = (1E )81

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Binomische Formeln:

Eine binomische Formel hatten wir eben benutzt.Zur Erinnerung:

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

Damit kann man auch Kopfrechnen:

24 · 12 = (18 + 6) · (18 − 6) = 324 − 36 = 288

Etwas Mathematik

Beweismethoden

Es gibt eine große Anzahl von Methoden zum Beweis von Aussagen:

direkter Beweis

indirekter Beweis

Beweis durch Kontraposition

Beweis durch Fallunterscheidung

konstruktiver/nichtkonstruktiver Beweis

Eindeutigkeitsbeweis

Äquivalenzbeweis, Ringschluss

Beweis durch Angabe eines Gegenbeispiels

strukturbasierte BeweiseBeispiel: Induktion basiert z. B. auf einer Ordnungsrelation

. . .

Einige Beispiele sehen wir uns an.

Etwas Mathematik

Beweismethoden

direkter Beweis

Ableitung der Aussage aus Axiomen oder aus schon bewiesenen Aussagenmit logischen Regeln

indirekter Beweis

Die Aussage A→ B wird bewiesen, wenn die Annahme A ∧ ¬B zu einemWiderspruch führt.

Es gilt die Äquivalenz:

(A→ B)↔ (A ∧ ¬B→ false)

A B A→ B A ∧ ¬B A ∧ ¬B→ falsef f w f wf w w f ww f f w fw w w f w

Etwas Mathematik

Beweismethoden

Kontraposition

Es gilt die Äquivalenz:

(A→ B)↔ (¬B→ ¬A)

A B A→ B ¬B→ ¬Aw w w ww f f ff w w wf f w w

Etwas Mathematik

Beispiel für einen Beweis

Satz:

m,n ∈ N sind gerade =⇒ m · n ist gerade.

m,n ∈ N sind ungerade =⇒ m · n ist ungerade.

m ∈ N ist gerade⇐⇒ m2 ist gerade.

m ∈ N ist ungerade⇐⇒ m2 ist ungerade.

Beweis: Die beiden ersten Aussagen folgen aus den beiden folgendenGleichungen. Die beiden anderen Aussagen folgen hieraus sofort direkt undindirekt.

2k · 2l = 2 · 2kl(2k + 1) · (2l + 1) = 2 · (2kl + k + l ) + 1

Diese Aussagen verwenden wir auf der nächsten Folie für einen indirekten Beweis.

Etwas Mathematik

Beispiel für einen Beweis

Satz:√

2 ist keine rationale Zahl.

Indirekter Beweis: Annahme:√

2 ist eine rationale Zahl.

=⇒ ex.m, n ∈ N mit√

2 =nm

undnm

ist gekürzt.

=⇒√

2 ·m = n

=⇒ 2 ·m2 = n2

=⇒ n2 und n sind gerade.

=⇒ ex. k mit n2 = 2 · k=⇒ 2 ·m2 = (2 · k)2 = 4 · k2

=⇒ m2 = 2 · k2

=⇒ m2 und m sind gerade.

Dies ist ein Widerspruch, da nm gekürzt war.

Damit ist die Aussage indirekt bewiesen.

Etwas Mathematik

Noch ein Beispiel für einen Beweis durch Induktion

Die Summe der Quadratzahlen

Satz:n∑k=1

k2 =16· n · (n + 1) · (2n + 1)

Induktionsanfang:

n = 1 : 1 =16· 1 · 2 · 3

Induktionsschluss:

n+1∑k=1

k2 =16· n · (n + 1) · (2n + 1) + (n + 1)2

=16· (n + 1) · (2n2 + n + 6n + 6)

=16· (n + 1) · (n + 2) · (2n + 3)

=16· (n + 1) · (n + 2) · (2(n + 1) + 1)

Etwas Mathematik

Ein Beispiel für einen nichtkonstruktiven Existenzbeweis

Behauptung: Es existieren irrationale Zahlen x, y ∈ R mit xy ist rational.

Beweis:

1. Fall:√

2√

2ist rational: Fertig.

2. Fall:√

2√

2ist irrational. Wähle x =

√2√

2und y =

√2.

Beide sind irrational. Dann gilt:

xy =(√

2

√2)√2

=(√

2)2

= 2

2 ist rational. Fertig.

Etwas Mathematik

Mengen

Den Einstieg in die Mengenlehre haben wir bereits gesehen, s. obige Folien.

Ansatz von Cantor, 1895

Relationssymbol: ∈Hinweis auf axiomatische MengenlehrenBeispiel: ZFC

Beispiel für ein Axiom:Extensionalitätsaxiom.

Spezielle MengenBeispiele: Leere Menge, Zahlenmengen.

MengenoperationenBeispiele: Teilmenge, Potenzmenge, Durchschnittsmenge,Vereinigungsmenge, Differenzmenge, Produktmenge.

Etwas Mathematik

Relationen

Eine Relation ist eine Teilmenge vom kartesischen Produkt von Mengen.

Beispiel: Für Mengen A und B ist

R ⊆ A × B

eine zweistellige Relation.

Relationen können auch mehrstellig sein.

R ⊆ A × B × C

R ⊆ A × B × C × ....

Von Relationen erwartet man meistens Eigenschaften.

Etwas Mathematik

Ordnungsrelation

Gegeben sei eine Menge A.Schreibweise:

x ≤ y x, y ∈ A

statt(x, y) ∈ ≤ ≤ ⊆ A × A

Man nennt diese Schreibweise Infixnotation.In manchen Programmiersprachen können Operationen auch vorne oder hintenstehen: Prefixnotation, Postfixnotation.

Eine Ordnungsrelation ≤ auf der Menge A ist meistens eine Relation mit den dreifolgenden Eigenschaften.≤ ist reflexiv: ∀x. x ≤ x≤ ist antisymmetrisch: ∀x, y. x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y≤ ist transitiv: ∀x, y, z. x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z

Wenn für alle Elemente a, b ∈ A die Aussage a ≤ b oder b ≤ a verlangt wird,nennt man ≤ eine totale Ordnungsrelation. Auch <,≥, > sind Ordnungsrelationen.

Etwas Mathematik

Funktionen

Eine totale Funktionf : A→ B

ist eine Relationf ⊆ A × B

die die folgende Eigenschaft erfüllt:

∀a ∈ A ∃!b ∈ B. (a, b) ∈ f

Ausdruck ohne !:

∀a ∈ A (∃b ∈ B. (a, b) ∈ f ∧ (∀c ∈ B. (a, c) ∈ f =⇒ b = c))

Schreibweise: f (a) = b falls (a, b) ∈ f

Falls es nicht für jedes Element a ∈ A einen Funktionswert f (a) gibt, nennt man feine partielle Funktion.

f : A→p B

Die Menge für die es Funktionswerte gibt, heißt Definitionsbereich: D(f ).

Etwas Mathematik

Programme

Hinweis: Typisch ist, dass Programme partielle Funktionen realisieren.

Etwas Mathematik

Eigenschaften von Funktionen

Drei wichtige Eigenschaften von Funktionen sind die folgenden Definitionen.Definition: Gegeben sei eine Funktion

f : A→ B

f ist injektiv gdw ∀a, b ∈ D(f ). f (a) = f (b) =⇒ a = b.

f ist surjektiv gdw ∀b ∈ B. ∃a ∈ D(f ). f (a) = b.

f ist bijektiv gdw f ist injektiv und surjektiv.

Etwas Mathematik

Unendlichkeit nach Dedekind (war unser Dekan)

Definition: M sei eine Menge.

M ist unendlich⇐⇒ ex. eine echte Teilmenge N ⊂ M,N 6= Mmit einer bijektiven Abbildung g : N → M.

⇐⇒ ex. eine injektive Funktion: f : M → M, f (M) 6= M

Beispiel: N = 1,2,3,4, .... ist unendlich, denn sowohl

g : 2,3,4, .... → 1,2,3,4, ...., g(n) = n − 1

ist bijektiv und

f : 1,2,3,4, .... → 1,2,3,4, ...., f (n) = n + 1

ist injektiv und f (n) 6= 1 für alle n ∈ N.

Etwas Mathematik

Kontinuumshypothese, Kardinalzahlen Xn

| N | = X0 N ist abzählbar.

2X0 = | P (N) | = | R | R ist überabzählbar.

Kontinuumshypothese:Gilt die spezielle Aussage?

X1 = 2X0

Gilt die allgemeine Aussage?

Xn+1 = 2Xn

Die spezielle Aussage lautet anders formuliert: Gibt es eine echte Teilmenge Xvon R mit N ⊂ X ⊂ R, die überabzählbar, aber kleiner als | R | ist?

Die Kontinuumshypothese ist mit den Axiomen der Mengenlehre nicht beweisbar!

Etwas Mathematik

Kardinalzahlen

Da wir endlich viele Zeichen benutzen, gibt es offensichtlich nur abzählbarunendliche viele Texte. Also gilt:

Es gibt abzählbar unendlich viele Algorithmen.

Wie viele Funktionenf : N→ 0,1

gibt es? Da es offensichtlich gleich der Anzahl der Teilmengen von N ist und

| P (N) | = | R |

gilt und R überabzählbar ist (s. oben), gibt es überabzählbar viele solcheFunktionen.

Fazit:Computer können nicht einmal alle diese Funktionen berechnen.

Computer können also nicht sehr viel.

Etwas Mathematik

Mathematische Strukturen

Beispiele für mathematische Strukturen:Algebraische Strukturen

Eine innere Verknüpfung: Monoid, Halbgruppe, Gruppe, ...Zwei innere Verknüpfungen: Ring, Körper, ...Innere und äußere Verknüpfung: Vektorraum....

Auf Relationen basierte StrukturenOrdnungsrelationen, Äquivalenzrelationen....

ZahlbereicheAuf Mengensystemen basiert:

Topologische StrukturenWahrscheinlichkeitsrechnung....

Geometrische StrukturenGemischte Strukturen........

Etwas Mathematik

Beispiel: Gruppe (algebraische Struktur)

Eine Gruppe (G, , e) besteht aus einer Menge G, einer Funktion : G × G → G,einem Einselement e ∈ G und den drei folgenden Axiomen:

G1: ∀x, y, z ∈ G. (x y) z = x (y z) AssoziativgesetzG2: ∀x ∈ G. (x e = x) EinselementG3: ∀x ∈ G ∃y ∈ G. (x y) = e rechtsinverses Element

Satz:∀x ∈ G ∃y ∈ G. (y x) = e linksinverses Element

Beweis:Es sei x ∈ G gegeben. Nach G3 ex. ein y mit (x y) = e und ein z mit (y z) = e.Hieraus folgt:

y x = (y x) e = (y x) (y z)

= y (x (y z))

= y ((x y) z)

= y (e z) = (y e) z = y z = e

Etwas Mathematik

Welche Begriffe haben wir uns jeweils mit ein paar Beispielen angesehen?

Aussagen, Verknüpfungen, Aussagenlogik, Prädikatenlogik

Mengen, Mengenlehre, axiomatisch, spezielle Mengen, Mengenoperationen

Relationen, Ordnungsrelation

totale, partielle, injektive, surjektive, bijektive Funktionen

Unser rechnen:Summen- und Produktzeichen, Potenz, Wurzel, Logarithmus, Rechenregeln,Basis von Zahldarstellungen mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Rechnen des Computers: Speicherung, Verarbeitung von Zahlen,

Landausymbole: Komplexitätssymbole

Beweismethoden

Unendlichkeit, Kardinalzahl

mathematische Struktur

Diese Begriffe werden häufig verwendet.Deshalb haben wir sie uns im Vorkurs angesehen.

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