Exkurs in die Grundlagen der Kontaktmechanik · FEM 1 Lehrstuhl für Festkörper-mechanik Universität Siegen Exkurs in die Grundlagen der Kontaktmechanik Dr.-Ing. Denis Anders SMS

Kontaktmechanik

D. Anders

Inhaltsübersicht

Einleitung

2D Kontakt

Halbebene unter Punktlast

Halbebene unter Linienlast

Verformung der Halbebene

Starrer Stempel aufHalbebene

Hertzscher Kontakt zweierScheiben

3D Kontakt

Punktförmige Belastung des

elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)

Krümmungsverhältnisse in

der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt

rotationssymmetrischerKörper

Analytische Lösung vs.

FEM

1

Lehrstuhl fürFestkörper-mechanik

Universität Siegen

Exkurs in die Grundlagen der

Kontaktmechanik

Dr.-Ing. Denis AndersSMS Siemag

Strukturanalysen und numerische Berechnungen

Lehrauftrag im Kurs Festigkeitslehre,18./21.01.2013

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Inhaltsübersicht

Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



FEM

2


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Inhaltsübersicht

Einleitung – Annahmen und Voraussetzungen

Hertzscher Kontakt für ebene Probleme Punktförmige Belastung einer elastischen

Halbebene (Flamant-Lösung) Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.

Drucklasten Verformungszustand der Halbebene Hertzscher Kontakt zweier Scheiben

Hertzscher Kontakt für dreidimensionale Probleme Punktförmige Belastung des elastischen

Halbraumes (Boussinesq-Lösung) Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischer Körper Analytische Lösung vs. FEM

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



FEM

3


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Einleitung

Annahmen und Voraussetzungen (Hertzscher Kontakt)

Werden zwei elastische Körper mit gewölbter Oberfläche inRichtung ihrer Berührungsnormalen gegeneinander gedrückt,so verformen sich vorwiegend die Berührstellen der beidenKörper.Voraussetzungen für den Hertzschen Kontakt:

• linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe

• Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in derKontaktfläche

• kontinuierliche Berührflächen ohne Oberflächenfehler

• Kontaktfläche eben und klein gegenüber denAbmessungen der Körper

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



FEM

3


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Einleitung

Kontaktbereich

=⇒ Überführung des Kontaktproblems in denBelastungs-/Verformungszustand einer elastischenHalbebene (für ebene Probleme) bzw. des elastischenHalbraumes (für dreidimensionale Probleme)

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



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4


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Halbebene unter einer Punktlast

Die keilförmige Scheibe unter Last

Die untersuchte keilförmige Scheibe wird durch dieNormalkraft FL0, die Querkraft FQ0 sowie das Moment M0

belastet.

x

y

M0

FQ0

FL0α

αrϕ

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



FEM

4


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Ansatz für die Airysche Spannungsfunktion Ψ:

Ψ = C1rϕ sinϕ+ C2rϕ cosϕ+ C3ϕ+ C4 sin 2ϕ (1)

Mit Hilfe der nachfolgenden Beziehungen für polareKoordinaten

σr = 1

r

∂Ψ

∂r+ 1

r2

∂2Ψ

∂ϕ2=

2C1

rcos ϕ− 2C2

rsin ϕ− 4C4

r2sin 2ϕ (2)

σϕ= ∂2Ψ

∂r2=0 (3)

τrϕ=− ∂∂r

(1

r

∂Ψ

∂ϕ

)=

C3

r2+

2C4

r2cos 2ϕ (4)

erhalten wir aus den Randbedingungen

σϕ(ϕ=±α)=0 (durch den bisherigen Ansatz bereits erfüllt)

τrϕ(ϕ=±α)=0 ⇔ C3

r2+

2C4

r2cos 2α=0 ⇔C3=−2C4 cos 2α. (5)

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

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4


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M0

FQ0

FL0

σrτrϕ

α

αrϕ

Die Gleichgewichtsbedingungen an diesem freigeschnittenenSegment liefern

∑

→= 0 : FL0 + d

∫ α

−α(τrϕ sinϕ− σr cosϕ) r dϕ = 0

∑

↓= 0 : FQ0 − d

∫ α

−α(τrϕ cosϕ+ σr sinϕ) r dϕ = 0

∑

M = 0 : M0 + d

∫ α

−ατrϕ r2 dϕ = 0

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Einleitung

2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

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Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen folgt:

C1 =FL0

d (sin 2α+ 2α)

C2 =FQ0

d (sin 2α− 2α)

C4 =M0

d (4α cos 2α− 2 sin 2α)

⇒ C3 = −2C4 cos 2α =−M0 cos 2α

d (2α cos 2α− sin 2α)

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2D Kontakt






3D Kontakt




der Kontaktzone

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Der Übergang zur Halbebene als ein Sonderfall derkeilförmigen Scheibe wird durch α = π

2 realisiert:

y

x

M0

FQ0

FL0

α = π2

α = π2

r

ϕ

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3D Kontakt




der Kontaktzone

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Für die Halbebene lauten die Integrationskonstanten:

C1 =FL0

dπ, C2 = −FQ0

dπ, C3 = −M0

dπ, C4 = − M0

2dπ.

Ist die Halbebene nur durch eine senkrechte Punktlast FL0

belastet, so erhalten wir für die Airysche Spannungsfunktion

Ψ =FL0

dπrϕ sinϕ

und die zugehörigen Spannungskomponenten

σr =2FL0 cosϕ

rdπ, σϕ = 0, τrϕ = 0.

Für eine auf die Halbebene wirkende Druckkraft erhält mananalog

Ψ = −FL0

dπrϕ sinϕ ⇒ σr = −2FL0 cosϕ

rdπ, σϕ = 0, τrϕ = 0.

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3D Kontakt




der Kontaktzone

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Halbebene unter veränderlicher Last

Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.Drucklasten

Transformation des bisherigen Ergebnisses mit Hilfe derBeziehungen

sinϕ =y

r, r =

√

x2 + y2 und ϕ = arctany

x

in kartesische Koordinaten

Ψ = −FL0

dπy arctan

y

x.

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Elastische Halbebene unter beliebigen Zug- bzw.Drucklasten

Die zugehörigen Spannungskomponenten in kartesischenKoordinaten errechnen sich aus den Relationen

σx =∂2Ψ

∂y2, σy =

∂2Ψ

∂x2, τxy = − ∂2Ψ

∂x∂y

und der Ableitungsbeziehung ddx

arctan x = 11+x2 zu

σx = −2FL0

dπ

x3

(x2 + y2)2 , σy = −2FL0

dπ

y2x

(x2 + y2)2 ,

τxy = −2FL0

dπ

yx2

(x2 + y2)2 .

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Über eine Koordinatentransformation y → η = y − u könnenwir einen Zustand beschreiben, in welchem eine DruckkraftFL im Abstand u vom Koordinatenursprung auf derHalbebenenoberfläche angreift. Damit verändert sich dieAirysche Spannungsfunktion zu

Ψ = −FL

dπη arctan

η

x= −FL0

dπ(y − u) arctan

y − u

x.

Nun kommt ein mathematischer Trick! Die Kraft Kraft FL

wird durch ein Produkt aus einer Linienlast q (u) und eineminfinitesimalen Linienelement du dargestellt. Eine Integrationüber die Kraftinkremente q (u) du entlang der Wirkungslinievon q liefert die resultierende Spannungsfunktion für einekontinuierliche Linienbelastung q (u) gemäß

Ψ = −∫ ∞

−∞

q (u)

dπ(y − u) arctan

y − u

xdu.

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2D Kontakt






3D Kontakt




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Skizze des Vorgehens

(a) (b)

du

yy

xxuu

ηFL q (u)

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3D Kontakt




der Kontaktzone

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Verformungszustand der Halbebene

Elastische Verformungen der Halbebene

Annahme eines ebenen Verformungszustandes (EVZ).Aus dem Hookeschen Gesetz folgt

εz = 0 ⇔ σz = ν (σx + σy)

Mit den zuvor berechneten Spannungen folgt für dieVerzerrung in x-Richtung

εx =∂ux

∂x=

1

E(σx − ν (σy + σz))

=1

E

((

1 − ν2)

σx − ν (1 + ν)σy

)

=1 + ν

E((1 − ν)σx − νσy)

= −2FL (1 + ν)

πdE

[

(1 − ν)x3

(x2 + y2)2 − νy2x

(x2 + y2)2

]

.

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Die Einsenkungslinie ux (y) der Halbebenenoberfläche folgtaus

ux (y) =

∫ t

0εx dx

= −2FL (1 + ν)

πdE

∫ t

0

[

(1 − ν)x3

(x2 + y2)2 − νy2x

(x2 + y2)2

]

dx

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der Kontaktzone

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Substitution x2 + y2 = ξ2 liefert mit x dx = ξ dξ:

∫ t

0

x3

(x2 + y2)2 dx =

√t2+y2

∫

y

(ξ2 − y2

)ξ

ξ4dξ

=

√t2+y2

∫

y

dξ

ξ− y2

√t2+y2

∫

y

dξ

ξ3

= ln

√

1 +t2

y2− y2

2

[1

y2− 1

t2 + y2

]

y2∫ t

0

x

(x2 + y2)2 dx = y2

√t2+y2

∫

y

dξ

ξ3=

y2

2

[1

y2− 1

t2 + y2

]

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3D Kontakt




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Da wir nur die nähere Umgebung der Lastangriffsstellebetrachten, können wir t

y≫ 1 voraussetzen. Mit dieser

Annahme vereinfachen sich die zuvor berechneten Ausdrückezu

y2∫ t

0

x

(x2 + y2)2 dx ≈ 1

2,

∫ t

0

x3

(x2 + y2)2 dx ≈ lnt

y− 1

2.

Somit ergibt sich insgesamt

ux (y) = −2FL (1 + ν)

πdE

[

(1 − ν) lnt

y− 1

2

]

und hieraus durch Differentiation

∂ux

∂y(y) = −2FL

(1 − ν2

)

πdE

1

y.

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der Kontaktzone

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Analog zu der Herleitung der Airyschen Spannungsfunktionfür beliebige Zug- und Drucklasten in dem vorherigenAbschnitt führen wir eine Koordinatentransformationy → y − u durch, ersetzen FL durch q (u) · du undintegrieren über den Wirkungsbereich von q (u). Hierbeibeschränken wir uns der Einfachheit halber auf einesymmetrische Druckbelastung p (u) = q (u) /d auf demIntervall I = [−a, a].

∂ux

∂y(y) = −2

(1 − ν2

)

πdE

∫ a

−a

q (u)

y − udu

= −2(1 − ν2

)

πE

∫ a

−a

p (u)

y − udu.

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3D Kontakt




der Kontaktzone

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Unter der Annahme einer symmetrischen Druckverteilungp (u) = p (−u) folgt

∂ux

∂y(y) = −2

(1 − ν2

)

πE

∫ a

−a

p (u)

y − udu

= −2(1 − ν2

)

πE

[∫ 0

−a

p (u)

y − udu +

∫ a

0

p (u)

y − udu

]

= −2(1 − ν2

)

πE

[∫ a

0

p (−u)

y + udu +

∫ a

0

p (u)

y − udu

]

= −2(1 − ν2

)

πE

∫ a

0p (u)

[1

y + u+

1

y − u

]

du

= −4(1 − ν2

)

πEy

∫ a

0

p (u)

y2 − u2du.

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der Kontaktzone

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Starrer Stempel auf Halbebene

Eindrücken eines starren Stempels in eine elastischeHalbebene

Gesucht: Flächenpressung zwischen Stempel und Halbebene

a

a

y

xF0

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der Kontaktzone

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Aufgrund der Starrheit des eingedrückten Stempels muss imKontaktbereich (−a < y < a) die Tangentenneigung derEinsenkungslinie ux (y) verschwinden. Somit folgt:

∂ux

∂y(y) = 0 ⇔

∫ a

0

p (u)

y2 − u2du = 0 für y2 < a2

a

a

y

xF0

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der Kontaktzone

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In den Integraltafeln nach Gröbner-Hofreiter findet sich dasbestimmte Integral

∫ a

0

du

(y2 − u2)√

a2 − u2=

0 für y2 < a2,π

2 |y|√

y2 − a2für y2 > a2.

Damit erhält man für die allgemeine Darstellung derDruckverteilung

p (u) =C√

a2 − u2.

Die Integrationskonstante C drücken wir mitp (u = 0) = p0 = C

aals C = p0a aus.

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Den Wert für p0 erhält man aus derGleichgewichtsbedingung der zur x-Achse parallelen Kräftegemäß

F0 =

∫ a

−ad · p (u) du = 2p0ad

∫ a

0

du√a2 − u2

= 2p0a

[

arcsinu

a

]a

0= 2p0ad

π

2= p0adπ

⇔ p0 =F0

πad

Damit ist der Druckverlauf vollständig bestimmt und es gilt

p (u) = p0a√

a2 − u2=

F0

dπ

1√a2 − u2

.

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der Kontaktzone

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Druckverteilung in der Kontaktzone

−1 −0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

5

6

7

u/a

p

p0

∞∞

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3D Kontakt




der Kontaktzone

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Hertzscher Kontakt zweier Scheiben

Hertzscher Kontakt zweier elastischer Scheiben

Als ein Beispiel für den Hertzschen Kontakt im ebenenSpannungs- oder Verzerrungszustand betrachten wir denKontakt zweier Scheiben (der Dicke d).Gesucht: Druckverteilung und Größe der Abplattung

R1

R2a1 a2

√

R21 − y2

1

y1 F0F0

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der Kontaktzone

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Eine genauere Betrachtung der Kontaktzone zeigt, dass dieSumme der Abplattungen der beiden Scheiben konstant ist:

w0 (y) = ux1 (y) + ux2 (y) + a1 (y) + a2 (y)

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der Kontaktzone

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Detaillierte Betrachtung des Kontaktbereiches

a

a

w0

ya1a2

ux1ux2

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der Kontaktzone

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Aus den Kreisgleichungen folgt für a1 und a2

a1 (y) = R1 −√

R21 − y2 = R1

[

1 −√

1 − y2

R21

]

,

a2 (y) = R2 −√

R22 − y2 = R2

[

1 −√

1 − y2

R22

]

.

Da im Kontaktbereich die Werte yR1

bzw. yR2

stets sehr kleinsein werden, ist es zulässig die obigen Ausdrücke für a1 unda2 als eine Taylorreihe um 0 zu entwickeln und nach denGliedern 2. Ordnung abzubrechen.

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der Kontaktzone

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Es gilt:

a1 (y) ≈ a1 (0)︸︷︷︸

=0

+1

1!

da1

dy(0)

︸︷︷︸

=0

(y − 0) +1

2!

d2a1

dy2(0)

︸︷︷︸

= 1

R1

(y − 0)2

=y2

2R1

und analog dazu a2 (y) ≈ y2

2R2. Mit diesen Beziehungen

erhalten wir

ux1 + ux2 = w0 − (a1 + a2) = w0 − y2

2

(1

R1+

1

R2

)

.

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der Kontaktzone

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Differenzieren wir die letzte Gleichung nach y, so ergibt sich

dux1

dy+

dux2

dy= −y

(1

R1+

1

R2

)

.

Nun nutzen wir die Beziehungen für den elastischenHalbraum

dux1

dy(y) = −4

(1 − ν2

1

)

πE1y

∫ a

0

p (u)

y2 − u2du,

bzw.dux2

dy(y) = −4

(1 − ν2

2

)

πE2y

∫ a

0

p (u)

y2 − u2du.

⇒∫ a

0

p (u)

y2 − u2du =

π

4·

1R1

+ 1R2

1−ν2

1

E1+

1−ν2

2

E2

= const.

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der Kontaktzone

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Zum Lösen der vorherigen Integralgleichung verwenden wirdie Ingegralbeziehung

∫ a

0

√a2 − u2

y2 − u2du =

∫ a

0

(a2 − u2

)

√a2 − u2 (y2 − u2)

du

=

∫ a

0

(a2 − y2 + y2 − u2

)

√a2 − u2 (y2 − u2)

du

=

∫ a

0

du√a2 − u2

+(

a2 − y2) ∫ a

0

du√a2 − u2 (y2 − u2)

=π

2+

0 für y2 < a2,

π(a2 − y2

)

2 |y|√

y2 − a2für y2 > a2.

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der Kontaktzone

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Damit lautet die allgemeine Lösung für die Druckverteilung

p (u) = C√

a2 − u2.

Mit C = p0

aist

p (u) = p0

√

1 −(

u

a

)2

.

Hierbei handelt es sich um eine halbkreisförmige/elliptischeDruckverteilung.

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Halbkreisförmige Druckverteilung beim Kontakt zweierScheiben

a−a

p0

u

p (u)

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Nun fehlen noch die unbekannten Konstanten p0 und a. Ausder vorherigen Integralbeziehung erhalten wir

Cπ

2=π

2

p0

a=π

4

1R1

+ 1R2

1−ν2

1

E1+

1−ν2

2

E2

⇔ a = 2p0

1−ν2

1

E1+

1−ν2

2

E2

1R1

+ 1R2

Des weiteren erhalten wir aus der Gleichgewichtsbedingungder zur Presskraft F0 parallelen Kräfte:

F0 =

∫ a

−ap (u) · d du = 2d

∫ a

0p (u) du

= 2dp0

∫ a

0

√

1 −(

u

a

)2

du

= 2dp0

a

[

u

2

√

a2 − u2 +a2

2arcsin

u

a

]a

0

= dp0aπ

2

⇔ p0 =2F0

dπa

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Auflösen der vorherigen Gleichungen liefert für y2 < a2 dieHertzschen Formeln (EVZ):

p0 =

√√√√√

F0

dπ

1R1

+ 1R2

1−ν2

1

E1+

1−ν2

2

E2

und a =

√√√√√

4F0

dπ

1−ν2

1

E1+

1−ν2

2

E2

1R1

+ 1R2

.

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Analog zu den vorherigen Betrachtungen erhält man für denebenen Spannungszustand (ESZ) durch Transformation der

Materialkonstanten1−ν2

1

E1,

1−ν2

2

E2→ 1

E1, 1

E2die Ergebnisse

p0 =

√√√√

F0

dπ

1R1

+ 1R2

1E1

+ 1E2

und a =

√√√√

4F0

dπ

1E1

+ 1E2

1R1

+ 1R2

.

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3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



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Halbraum unter einer Punktlast

Punktförmige Belastung des elastischen Halbraumes(Boussinesq-Lösung)

Analog zu den Betrachtungen im 2D-Fall wird derVerformungszustand des elastischen Halbraumes unter einerPunktlast in die Herleitung des 3D Hertzschen Kontaktesmit einfließen.

xy

z

rϕ

F

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der Kontaktzone

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9


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Boussinesq gibt für das Verschiebungsfeld eines elastischenHalbraumes infolge einer Punktlast im Koordinatenursprungdie folgende Lösung an:

ux =Fx

4πGR

[z

R2− 1 − 2ν

R + z

]

, uy =Fy

4πGR

[z

R2− 1 − 2ν

R + z

]

,

uz =F

4πGR

[

2 (1 − ν) +z2

R2

]

.

Hierbei ist R =√

x2 + y2 + z2 und G der Schubmodul.

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der Kontaktzone

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Durch Transformation auf Zylinderkoordinaten(

mit r =√

x2 + y2)

erhalten wir

ur =Fr

4πGR2

[z

R− (1 − 2ν)

R

R + z

]

, uϕ = 0,

uz =F

4πGR

[

2 (1 − ν) +z2

R2

]

.

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3D Kontakt




der Kontaktzone

Hertzscher Kontakt



FEM

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Krümmungsverhältnisse in der Kontaktzone

Krümmungsbeschreibung

Da die Druckverteilung und die Verformung bei demKontakt elastischer Körper entscheidend durch die lokalengeometrischen Verhältnisse innerhalb der Kontaktzonebestimmt wird, ist es wichtig eine allgemeine Beschreibungder vorliegenden Krümmungsverhältnisse anzugeben.Ausgangspunkt für unsere Betrachtung ist ein punktförmigerKontakt zweier elastischer Oberflächen.Der Ursprung des Koordinatensystems für dieKontaktbetrachtung wird in den Berührpunkt gelegt. Diex, y-Ebene fällt mit den Tangentialebenen der beiden Körperim Berührpunkt zusammen. Die z-Achse verläuft in Richtungder Berührungsnormalen.

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Hertzscher Kontakt



FEM

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x y

z

F

F

Tangentialebene

Körper 1

Körper 2

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FEM

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In der Nähe des Berührungspunktes kann die Oberfläche desoberen Körpers durch die Gleichung

z1 (x, y) =

[

x

y

]T

G1

[

x

y

]

beschrieben werden. Hierbei ist G1 ein metrischer Tensor, derdie Krümmung der Fläche charakterisiert. Analog gilt für dieOberfläche des unteren Körpers

z2 (x, y) =

[

x

y

]T

G2

[

x

y

]

.

Vereinfacht gesprochen handelt es sich hierbei um einemehrdimensionale Taylorreihenapproximation derOberflächen z1 (x, y) und z2 (x, y).

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FEM

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Mit diesen Ergebnissen folgt für die durch den Kontaktinduzierte Abplattung der beiden Körper

w0 = (z1 + uz1) + (z2 + uz2)

=

[

x

y

]T

(G1 + G2)

[

x

y

]

+ uz1 + uz2.

Nun legt man die x- und y-Achse so, dass G1 + G2 inDiagonalform überführt wird. Seien λ1 und λ2 die Eigenwertedieses Tensors, so geht die Abplattungsgleichung über in

w0 = λ1x2 + λ2y2 + uz1 + uz2.

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FEM

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Die Eigenwerte λ1, λ2 hängen mit den lokalenHauptkrümmungsradien R11,R12 der Fläche 1 und R21,R22

der Fläche 2 über die Beziehungen

2 (λ1 + λ2) =1

R11+

1

R12+

1

R21+

1

R22,

4 (λ1 − λ2)2 =

(1

R11− 1

R12

)2

+

(1

R21− 1

R22

)2

+ 2 cos (2ψ)

(1

R11− 1

R12

)(1

R21− 1

R22

)

.

Hierbei ist die Konvention R11 ≥ R12; R21 ≥ R22 zubeachten, in der die Radien konkav gekrümmter Oberflächenals negative Größen gerechnet werden. ψ ist der Winkelzwischen den Normalschnitten der Oberflächen, in denen dieKrümmungsradien R11 und R21 vorliegen

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x y

z

F

F

R11R12

R21R22

Körper 1

Körper 2

ψ

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Kontakt rotationssymmetrischer Oberflächen

Hertzscher Kontakt rotationssymmetrischerOberflächen

Als ein Anwendungsbeispiel untersuchen wir hier denKontakt zweier rotationssymmetrisch zurBerührungsnormalen ausgebildeten Körper

1

2

Tangentialebenez1

z2

F

F

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Aufgrund der Rotationssymmetrie gilt für die Haupt-krümmungsradien R11 = R12 = R1 und R21 = R22 = R2.Damit folgt für die Eigenwerte des Metriktensors aus demvorherigen Abschnitt

(λ1 + λ2) =1

R1+

1

R2, 4 (λ1 − λ2)2 = 0

⇒ λ1 = λ2 =1

2R1+

1

2R2

Mit diesem Ergebnis ergibt sich für die Abplattungsgleichung

uz1 + uz2 = w0 − λ1x2 − λ2y2 = w0 − x2 + y2

2

(1

R1+

1

R2

)

= w0 − r2

2

(1

R1+

1

R2

)

.

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Die Deformationen uz1 (r) und uz2 (r) werden durch den inder Berührungsfläche Ω herrschenden Druck p (r) hervor-gerufen. Mit genügender Genauigkeit können wir im Bereichder gesamten Druckfläche Ω den Druck in Richtung derBerührungsnormalen annehmen. Wir erhalten somit dasKräftegleichgewicht

F =

∫

Ωp (r) dΩ

Aufgrund der Rotationssymmetrie zur Berührungsnormalenmuss Ω eine kreisförmige Fläche sein. Um nun auf denZusammenhang zwischen den Verformungen uz1 (r) unduz2 (r) und dem Kontaktdruck p (r) zu schließen, denken wiruns die Druckverteilung durch eine jeweils in den einzelnenFlächenelementen dΩ wirkende EinzelkraftbelastungdF = pdΩ ersetzt.

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Betrachten wir die alleinige Wirkung der auf das Flächen-element dΩ = d dϑ entfallenden Elementarlast dF = pdΩauf die Deformationen uz1 (r) und uz2 (r).

dϑ

· dϑd

C0

ϑ

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Es liegt mit guter Näherung der Fall eines durch einePunktlast beanspruchten elastischen Halbraumes vor. DieseAnnahme ist nur dann gültig, wenn die Abmessungen derDruckfläche klein gegen- über den Krümmungsradien R1 undR2 sind. Die Verschiebungen uz1 und uz2 entsprechen dannnäherungsweise den lotrechten Verschiebungen derHalbraumoberfläche mit z = 0 und R = hervorgehen.Ersetzen wir in den Verschiebungsgleichungen F durch p dΩso erhalten wir für die Deformation der beiden Rotations-körperoberflächen

duz1 =p dΩ (1 − ν1)

2πG1

1

, duz2 =

p dΩ (1 − ν2)

2πG2

1

.

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Integration über sämtliche Elementarlasten liefert

uz1 =1 − ν1

2πG1

∫

Ω

p

dΩ =

1 − ν21

πE1

∫

Ω

p

dΩ,

uz2 =1 − ν2

2πG2

∫

Ω

p

dΩ =

1 − ν22

πE2

∫

Ω

p

dΩ

Mit diesem Ergebnis folgt aus der Abplattungsgleichung

w0 − r2

2

(1

R1+

1

R2

)

=1

2π

[1 − ν1

G1+

1 − ν2

G2

] ∫

Ω

p

dΩ.

Mit den Abkürzungen b = 12

[1

R1+ 1

R2

]

und

c = 12π

[1−ν1

G1+ 1−ν2

G2

]

liest sich die obige Gleichung als

w0 − br2 = c

∫

Ω

p

dΩ = c

π∫

ϑ=0

[∫ 2

−1

p d

]

dϑ.

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Zum Lösen der obigen Integralgleichung führen wir zunächstden längs der Strecke DE = η herrschenden mittleren Druck

p =1

η

2∫

−1

p d

ein, womit wir die Integralgleichung in

w0 − br2 = c

π∫

0

pη dϑ

überführen können.

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replacements

1

2

ϑ

η2

D

E

C

0r

ξ

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Mit ξ = r sinϑ und η = 2√

a2 − ξ2 = 2√

a2 − r2 sin2 ϑerhalten wir

w0 − br2 = c

π∫

0

pη dϑ = 2c

π∫

0

p√

a2 − r2 sin2 ϑ dϑ.

a ist der Radius der kreisförmigen Druckfläche Ω. Aufgrundder Rotationssymmetrie muss p eine Funktion vonξ2 = r2 sin2 ϑ sein. Des weiteren muss beachtet werden,dass der mittlere Druck p für ξ = a verschwinden muss. Mitdieser Restriktion gibt es nur eine einzige Lösung, diequalitativ der obigen Integralgleichung mit der Bedingungp (a) = 0 genügt:

p = χ√

a2 − r2 sin2 ϑ = χ√

a2 − ξ2.

Hierbei ist χ ein noch zu bestimmender Parameter.

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Mit diesen Ergebnissen erhalten wir

w0 − br2 = 2χc

π∫

0

(

a2 − r2 sin2 ϑ)

dϑ = 2χcπ

(

a2 − r2

2

)

.

Mittels eines Koeffizientenvergleichs können wir hieraus zweiGleichungen für die unbekannten Größen w0, χ und a

extrahieren:w0 = 2πχca2, b = πχc.

Die dritte Gleichung erhalten wir aus der Gleichgewichts-bedingung zwischen Kontaktdruck und der Kraft F

F =

∫

Ωp dΩ =

a∫

ξ=−a

p (ξ) η (ξ) dξ = 2χ

a∫

ξ=−a

(

a2 − ξ2)

dξ =8

3χa3.

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dξ

a

η

C

0

r

ξ

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FEM

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Auflösen der aufgestellten Gleichungen liefert dieunbekannten Größen w0, χ und a

χ =b

πc=

R1 + R2

R1R2

11 − ν1

G1+

1 − ν2

G2

,

a = 3

√

3

8

F

χ=

3

√

3πFc

8b= 3

√

3

8

R1R2

R1 + R2

[1 − ν1

G1+

1 − ν2

G2

]

F ,

w0 = 2πχca2 = 2b3

√

9

64

F2π2c2

b2

=3

√

9

64

R1 + R2

R1R2

[1 − ν1

G1+

1 − ν2

G2

]2

F2.

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Wir erhalten mit b = πχc und w0 = 2πχca2

∫

Ω

p

dΩ =

1

c

(

w0 − br2)

= 2χπ

(

a2 − r2

2

)

Mit Hilfe der Relation χ = 3F8a3 , können wir die obige

Gleichung über die Presskraft F ausdrücken:∫

Ω

p

dΩ =

3πF

4a3

(

a2 − r2

2

)

.

Somit ergeben sich für die Deformationen derRotationskörperoberflächen im Druckbereich für r ≤ a

uz1 =3

8

1 − ν1

G1

F

a3

(

a2 − r2

2

)

, uz2 =3

8

1 − ν2

G2

F

a3

(

a2 − r2

2

)

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Nun fehlt uns nur noch die konkrete Gestalt derDruckverteilung p (r) innerhalb der Kontaktzone. Hierzuschreiben wir die Integralgleichungen mit der Relationη = 2

√

a2 − ξ2 in2∫

−1

p d = ηp = 2χ(

a2 − ξ2)

um. Hieraus folgt insbesondere für die Druckverteilung in dernachfolgend abgebildeten Geraden D′E′ mit ξ = r dieIntegralgleichung

√a2−r2∫

−√

a2−r2

p d = 2χ(

a2 − r2)

.

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replacements

a

√a

2−

r2

D’

E’

C

P

0r

R

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Die aufgestellte Integralgleichung lässt sich mit Rücksichtauf die zu erwartende Symmetrie der längs der Geraden D′E′

vorliegenden Druckverteilung hinsichtlich des Punktes Cauch in der folgenden Form schreiben

√a2−r2∫

0

p d = χ(

a2 − r2)

.

Aufgrund der Rotationssymmetrie des Problems muss derKontaktdruck p eine Funktion des Abstandes R =

√

r2 + 2

vom Berührungszentrum R = 0 sein. Daher schreiben wir√

a2−r2∫

0

p

(√

r2 + 2

)

d =

√a2−r2∫

0

p

(√

2 + a2 − (a2 + r2)

)

d

= χ(a2 − r2)

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Mit der Abkürzung u2 = a2 − r2 folgtu∫

0

p

(√

2 + a2 − u2

)

d = χu2.

Eine weitere Variablentransformation mit v = u2 − 2 liefertu2∫

0

p(√

a2 − v) dv√

u2 − v= 2χu2.

Mit den Abkürzungen s = u2 und f (v) = p(√

a2 − v)

gelangen wir schließlich zus∫

0

f (v)dv√s − v

= 2χs.

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Diese Bestimmungsgleichung ist eine spezielle Form derverallgemeinerten Abelschen Integralgleichung

s∫

0

f (v)

(s − v)n dv = g (s) mit 0 < n < 1,

deren allgemeine Lösung

f (v) =sin nπ

π

d

dv

v∫

0

g (s) (v − s)n−1 ds

lautet. Für unseren Spezialfall erhalten wir mit n = 12 und

g (s) = 2χs die Lösungsdarstellung

f (v) =2χ

π

d

dv

v∫

0

s√v − s

ds

.

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Für den zu differenzierenden Integralausdruck ergibt sich mitder Substitution ζ = v − s

v∫

0

s√v − s

ds =4

3v

3

2 .

Damit erhalten wir

f (v) =4χ

π

√v

und damit

p(√

a2 − v)

=4χ

π

√v.

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Schließlich folgt mit√

r2 + 2 =√

a2 − v = R bzw.v = a2 − R2

p (R) =4χ

π

√

a2 − R2.

Nutzen wir nun unser zuvor erzieltes Ergebnis für χ aus, sofolgt schließlich für die Druckverteilung

p (R) =3F

2πa2

√

1 −(

R

a

)2

bzw. p (x, y) =3F

2πa2

√

1 − x2

a2− y2

a2.

Der maximale Druck findet sich im BerührungszentrumR = 0 und hat den Wert

pmax = p (0) =3F

2πa2.

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Es ist wichtig zu erwähnen, dass die Stelle mit der größtenMaterialbeanspruchung nicht in der Mitte der Druckflächesondern im Inneren der Kontaktkörper zu finden ist. BeimHertzschen Kontakt dient daher die größte Schubspannungals Maß für die Materialbeanspruchung. Föppl fand beiseinen Untersuchungen zum Spannungszustand bei derBerührung zweier elastischer Körper heraus, dass sich beidem Kontakt zweier Kugeln aus demselben Material diegrößte Schubspannung in einer Tiefe von ca. 0.47a auf derSymmetrieachse mit einem Wert von τmax ≈ 0.31pmax

befindet. Mit diesem Ergebnis lässt sich die Pitting-Bildung(Abblättern von Material an der Oberfläche) der Kugeln imKugellager erklären. Die unter der Oberfläche auftretendenSchubspannungen führen während der Belastung desKugellagers zur Zerstörung der Oberflächen, vgl. Abb.

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FEM

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FEM

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Analytische Lösung vs. FEM

Beispielhafte Kontaktsituation

Um die oben angegebenen Ergebnisse auch numerisch zuuntermauern, führen wir eine statische FE-Analyse derKontaktsituation zweier metallischer Kugeln aus demselbenMaterial

(E = 210 · 103 N/mm2, ν = 0.3

)durch. Die

Kugeln haben die Radien R1 = 100 mm bzw. R2 = 200 mmund werden mit F = 500 kN gegeneinander gedrückt.

F

F

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FEM

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Beispielhafte Kontaktsituation

Für die angegebenen Kontaktdaten erhalten wir aus denHertzschen Formeln:

a ≈ 6.00617 mm ⇒ AKontakt = 113.33 mm2,

pmax ≈ 6617.8N

mm2,

(Summe der Abplattungen): w0 ≈ 0.5411 mm

Die Finite Elemente Analyse wurde mit dem kommerziellenFE-programm Pro Mechanika durchgeführt. Dieräumliche Diskretisierung erfolgte mit 70599 Elementen,wobei die Kontaktzone mit einer maximalen Elementgrößevon 3 mm wesentlich feiner aufgelöst wurde als der Rest derKontaktkörper.

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FEM

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FE-Ergebnisse zur vertikalen Verschiebung.Werte in mm

0.00-0.05-0.10-0.15-0.20-0.25-0.30-0.35-0.40-0.45-0.50-0.55-0.60

Die Berechnungen liefern hier eine globale Abplattung vonw0,FEM ≈ 0.5421 mm.

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der Kontaktzone

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FEM

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Vergleichsspannung nach von Mises.Werte in N/mm2

42003850350031502800245021001750140010507003500

Die maximale Vergleichsspannung beträgt hierbeiσv,FEM ≈ 4364 N/mm2.

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Verteilung der maximalen Schubspannungswerte.Werte in N/mm2

21001925175015751400122510508757005273501750

Der insgesamt größte Schubspannungswert findet sich wievon Föppl berechnet knapp unterhalb bzw. oberhalb derDruckfläche auf der Symmetrielinie der Kontaktkörper undbeträgt τmax,FEM ≈ 2200 N/mm2.

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Zum Schluss betrachten wir den Kontaktdruck auf derOberfläche der größeren Kugel. Es ist zu beobachten, dasssich eine nahezu kreisförmige Kontaktzone mit hohenKontaktdrücken ausgeprägt ist. Der maximale Druckbefindet sich im Zentrum der Kontaktzone und hat einenWert von pmax,FEM ≈ 6530 N/mm2. Dies entspricht einerAbweichung von 1.3% gegenüber dem Wert aus deranalytischen Rechnung. Für den Radius der KontaktzoneaFEM erhalten wir

AFEM = 116.75 mm2 ≈ πa2FEM ⇒ aFEM ≈ 6.0961 mm.

Dieser Wert weicht um knapp 1.5% zum Wert aus deranalytischen Rechnung ab.

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Werte in N/mm2

650060005500500045004000350030002500200015001000500

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Exkurs in die Grundlagen der Kontaktmechanik · FEM 1 Lehrstuhl für Festkörper-mechanik Universität Siegen Exkurs in die Grundlagen der Kontaktmechanik Dr.-Ing. Denis Anders SMS