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FACHHOCHSCHULE K OLN
Fakultat fur Wirtschafts- und Rechtswissenschaften
FORMELSAMMLUNG
Deskriptive StatistikInduktive Statistik
Herausgeber: Fachgruppe Quantitative Methoden
c⃝ 2004
1 Eindimensionale Haufigkeitsverteilungen
1.1 Notation
x∗j Obergrenze der Einfallsklasse
x∗j−1 Untergrenze der Einfallsklasse
nj
nrelative Haufigkeit der Einfallsklasse
bj x∗j − x∗
j−1 Breite der EinfallsklasseF kumulierte relative Haufigkeiten
1.2 Anteilswerte
F (x) ≈ F (x∗j−1) +
nj/n
bj· (x− x∗
j−1)
fur x ∈ (x∗j−1; x
∗j ]
1.3 Prozentpunkte (p−Quantile)
xp ≈ x∗j−1 +
p− F (x∗j−1)
nj/n· bj
fur p ∈(F (x∗
j−1);F (x∗j)]
1
2 Empirische Lagemaße
2.1 Median=Zentralwert=50%−Punkt
2.2 Modus/haufigster bzw. dichtester Wert
2.3 Arithmetisches Mittel
2.3.1 Arithmetisches Mittel aus Einzelwerten
x =1
n
n∑i=1
xi
2.3.2 Arithmetisches Mittel aus tabellierten Daten
x =1
n
m∑i=1
xi · ni
2.3.3 Arithmetisches Mittel aus klassierten Daten
x ≈ 1
n
k∑j=1
x′j · nj
mit x′j = Klassenmitte
2.3.4 Arithmetisches Mittel aus r Datensatzen
x =n1
n· x1 +
n2
n· x2 + . . .+
nr
n· xr
mit n = n1 + n2 + . . .+ nr
2.4 Geometrisches Mittel
2.4.1 Geometrisches Mittel aus Einzelwerten
xG = n√x1 · x2 · . . . · xn = n
√√√√ n∏i=1
xi mit xi > 0 fur alle i
2.4.2 Geometrisches Mittel aus tabellierten Daten
xG = n
√xn11 · xn2
2 · . . . · xnmm = n
√√√√ m∏i=1
xnii
2.4.3 Geometrisches Mittel aus klassierten Daten
xG ≈ n
√(x′
1)n1 · (x′
2)n2 · . . . · (x′
k)nk = n
√√√√√ k∏j=1
(x′j)
nj
2.5 Harmonisches Mittel
xH =n
n∑i=1
1
xi
2
3 Empirische Streuungsmaße
3.1 Spannweite aus Einzelwerten
R = max{x1, . . . , xn}− min {x1, . . . , xn} = x(n) − x(1)
3.2 Quartilsabstand
Q ≈ x0,75 − x0,25
3.3 Durchschnittliche Abweichung
3.3.1 Durchschnittliche Abweichung aus Einzelwerten
d =1
n
n∑i=1
| xi − x0,50 |
3.3.2 Durchschnittliche Abweichung aus klassierten Daten
d =1
n
k∑j=1
| x′j − x0,50 | ·nj
3.4 Varianz
3.4.1 Varianz aus Einzelwerten
s2x =1
n
n∑i=1
(xi − x)2 =
(1
n
n∑i=1
x2i
)− (x)2
3.4.2 Varianz aus tabellierten Daten
s2x =1
n
m∑i=1
(xi − x)2 · ni =
(1
n
m∑i=1
x2i · ni
)− (x)2
3.4.3 Varianz aus klassierten Daten
s2x ≈ 1
n
k∑j=1
(x′j − x)2 · nj =
1
n
k∑j=1
(x′j)
2 · nj
− (x)2
3.4.4 Varianz aus r Datensatzen
s2 =n1
ns21 +
n2
ns22 + . . .+
nr
ns2r +
n1
n(x1 − x)2 +
n2
n(x2 − x)2 + . . .+
nr
n(xr − x)2
mit n = n1 + n2 + . . .+ nr
3
3.5 Standardabweichung
sx =√s2x
3.6 Variationskoeffizient
v =sxx
3.7 Relativer Quartilsabstand
x0,75 − x0,25
x0,50
3.8 Relative durchschnittliche Abweichung
vd =d
x0,50
4
4 Verhaltniszahlen
4.1 Gliederungszahlen
4.2 Beziehungszahlen
4.3 Messzahlen
5
5 Indizes
5.1 Notation
Symbol Bedeutungq Mengep Preis je Mengeneinheit0 Basisjahrt Berichtsjahri Laufindex der m Guter
5.2 Wertindex
W =
m∑i=1
pti qti
m∑i=1
p0i q0i
5.3 Mengenindex
5.3.1 Mengenindex nach Laspeyres
QLa =
m∑i=1
p0i qti
m∑i=1
p0i q0i
=m∑i=1
(qtiq0i
)·
p0i q
0i
m∑j=1
p0j q0j
5.3.2 Mengenindex nach Paasche
QPa =
m∑i=1
pti qti
m∑i=1
pti q0i
=m∑i=1
(qtiq0i
)·
pti q
0i
m∑j=1
ptj q0j
5.4 Preisindex
5.4.1 Preisindex nach Laspeyres
PLa =
m∑i=1
pti q0i
m∑i=1
p0i q0i
=m∑i=1
(ptip0i
)·
p0i q
0i
m∑j=1
p0j q0j
6
5.4.2 Preisindex nach Paasche
P Pa =
m∑i=1
pti qti
m∑i=1
p0i qti
=m∑i=1
(ptip0i
)·
p0i q
ti
m∑j=1
p0j qtj
5.5 Zusammenhang von Wert-, Mengen- und Preisindex
W = PLa ·QPa = P Pa ·QLa
5.6 Deflationierung des Wertindex/Reales Wachstum
W
P= Q
5.7 Umbasierung
5.8 Verknupfung/Verkettung
7
6 Zusammenhange zweier metrischer Merkmale
6.1 Empirische Kovarianz
6.1.1 Kovarianz aus Einzelwerten
sxy =1
n
n∑i=1
(xi − x)(yi − y) =
(1
n
n∑i=1
xi · yi)− x · y
6.1.2 Kovarianz aus tabellierten Daten
sxy =1
n
m∑i=1
q∑j=1
(xi − x)(yj − y) · ni,j =
1
n
m∑i=1
q∑j=1
xi · yj · ni,j
− x · y
6.2 Regression
6.2.1 Regression von Y auf X
Regressionsgerade yi = a1 + b1 · xi
6.2.2 Losungsformeln
b1 =sxys2x
=
n ·(
n∑i=1
xi · yi)−(
n∑i=1
xi
)·(
n∑i=1
yi
)
n ·(
n∑i=1
x2i
)−(
n∑i=1
xi
)2
a1 = y − b1 · x =
(n∑
i=1
yi
)− b1 ·
(n∑
i=1
xi
)n
6.2.3 Regression von X auf Y
Regressionsgerade xi = a2 + b2 · yi
6.2.4 Losungsformeln
b2 =sxys2y
=
n ·(
n∑i=1
xi · yi)−(
n∑i=1
xi
)·(
n∑i=1
yi
)
n ·(
n∑i=1
y2i
)−(
n∑i=1
yi
)2
a2 = x− b2 · y =
(n∑
i=1
xi
)− b2 ·
(n∑
i=1
yi
)n
8
6.3 Korrelation
6.3.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
rxy =sxy
sx · sy=
n ·(
n∑i=1
xi · yi)−(
n∑i=1
xi
)·(
n∑i=1
yi
)√√√√√n ·
(n∑
i=1
x2i
)−(
n∑i=1
xi
)2 ·n ·
(n∑
i=1
y2i
)−(
n∑i=1
yi
)2
wobei −1 ≤ rxy ≤ +1
6.3.2 Bestimmtheitsmaß
B = (rxy)2 = b1 · b2 wobei 0 ≤ B ≤ +1
9
7 Zeitreihenanalyse
7.1 Notation
yt Zeitreihe (Beobachtung von Y zum Zeitpunkt t)t Zeitmt Trendkt Konjunkturgt glatte Komponentest Saisonut Restxt geglattete Zeitreihe
7.2 Modelle von Zeitreihen
7.2.1 Additives Modell
yt = mt + kt︸ ︷︷ ︸gt
+st + ut
7.2.2 Multiplikatives Modell
yt = gt · st · ut
7.3 Trendmodelle
7.3.1 Linearer Trend: mt = a+ b · ta und b werden nach 6.2.1 berechnet
7.3.2 Parabolischer Trend (Polynom 2. Grades): mt = a+ b · t+ c · t2
7.3.3 Kubischer Trend (Polynom 3. Grades): mt = a+ b · t+ c · t2 + d · t3
7.3.4 Exponential-Trend: mt = a · bt
Losungsformeln (nach der Methode der kleinsten Quadrate):
ln b =
n ·n∑
i=1
ti · ln yi −n∑
i=1
ti ·n∑
i=1
ln yi
n ·n∑
i=1
t2i −(
n∑i=1
ti
)2
ln a =
n∑i=1
ln yi − ln b ·(
n∑i=1
ti
)n
mit t = t1, t2, t3, . . . , tn Zeitpunkte
10
7.4 Glattung von Zeitreihen
7.4.1 Gleitender Durchschnitt aus einer ungeraden Anzahl 2k + 1 von Beobachtungswerten:
xt =1
2k + 1
+k∑u=−k
yt+u
d.h. z.B. fur 2k + 1 = 5:x1 entfalltx2 entfallt
x3 =1
5[y1 + y2 + y3 + y4 + y5]
x4 =1
5[y2 + y3 + y4 + y5 + y6]
usw.
7.4.2 Gleitender Durchschnitt aus einer geraden Anzahl 2k von Beobachtungswerten:
xt =1
2
1
2k
k−1∑u=−k
yt+u +1
2k
k∑u=−k+1
yt+u
d.h. z.B. fur 2k = 12:x1 entfallt...x6 entfallt
x7 = 12
[112(y1 + . . .+ y12) +
112(y2 + . . .+ y13)
]= 1
12[0,5 · y1 + (y2 + y3 + . . .+ y12) + 0,5 · y13]
x8 = 12
[112(y2 + . . .+ y13) +
112(y3 + . . .+ y14)
]= 1
12[0,5 · y2 + (y3 + y4 + . . .+ y13) + 0,5 · y14]
usw.
7.5 Saisonbereinigung
7.5.1 Additives Modell: yt = gt + st + ut
p = Periode der Saisonkomponente
(z.B. p = 4 bei quartalsmaßigen Saisonschwankungen)
Rechenschritte:
a) Glattung der Zeitreihe yt anhand eines geeigneten gleitenden Durchschnitts
b) Differenzbildung: dt = yt − xt
c) Berechnung der arithmetischen Mittel d1, d2, . . . , dp aus den Differenzen dt fur jedeeinzelne Saisonphase 1, 2, . . . , p:
11
fur p = 4
d1 = arithmetisches Mittel aus d5, d9, d13, . . .
d2 = arithmetisches Mittel aus d6, d10, d14, . . .
d3 = arithmetisches Mittel aus d3, d7, d11, . . .
d4 = arithmetisches Mittel aus d4, d8, d12, . . .
d) Schatzung der Saisonkomponente s1, s2, . . . , sp durch:
sj = dj − 1p
(d1 + d2 + . . .+ dp
):
fur p = 4
s1 = d1 − 14(d1 + d2 + d3 + d4)
s2 = d2 − 14(d1 + d2 + d3 + d4)
s3 = d3 − 14(d1 + d2 + d3 + d4)
s4 = d4 − 14(d1 + d2 + d3 + d4)
e) Schatzung der Restkomponente: ut = dt − st
f) Schatzung der saisonbereinigten Zeitreihe: yt − st
7.5.2 Modell: yt = gt + gt · st + ut
p = Periode der Saisonkomponente
(z.B. p = 4 bei quartalsmaßigen Saisonschwankungen)
Rechenschritte:
a) Glattung der Zeitreihe yt anhand eines geeigneten gleitenden Durchschnitts
b) Differenzbildung: dt = yt − xt
c) Berechnung der Verhaltnisse: rt =dtxt
d) Berechnung der arithmetischen Mittel r1, r2, . . . , rp aus den Quotienten rt fur jedeeinzelne Saisonphase 1, 2, . . . , p:
fur p = 4
r1 = arithmetisches Mittel aus r5, r9, r13, . . .
r2 = arithmetisches Mittel aus r6, r10, r14, . . .
r3 = arithmetisches Mittel aus r3, r7, r11, . . .
r4 = arithmetisches Mittel aus r4, r8, r12, . . .
e) Schatzung der Saisonkomponente s1, s2, . . . , sp durch:
sj = rj − 1p(r1 + r2 + . . .+ rp):
fur p = 4
s1 = r1 − 14(r1 + r2 + r3 + r4)
s2 = r2 − 14(r1 + r2 + r3 + r4)
s3 = r3 − 14(r1 + r2 + r3 + r4)
s4 = r4 − 14(r1 + r2 + r3 + r4)
f) Schatzung der Restkomponente: ut = dt − st · xt
g) Schatzung der saisonbereinigten Zeitreihe:yt
1 + st
12
8 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
8.1 Notation
S= StichprobenraumA= Ereignis
8.2 Wahrscheinlichkeiten
8.2.1 Allgemeine Axiome nach A. Kolmogorov
(a) 0 ≤ P (A) ≤ 1
(b) P (S) = 1
(c) P (A ∪B) = P (A) + P (B) ; wenn A ∩B = ∅
8.2.2 Spezielle Begriffe
Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach P. Laplace:
P (A) =Anzahl der fur A gunstigen Ergebnisse
Anzahl aller gleich moglichen Ergebnisse
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach R. von Mises:
P (A) = limn→∞
n(A)
n
8.3 Satze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
8.3.1 Additionssatz
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
8.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
(a) Definition
P (A | B) =P (A ∩B)
P (B)
(b) Allgemeiner Muliplikationssatz
P (A ∩B) = P (A | B) · P (B) = P (B | A) · P (A)
(c) Stochastisch unabhangige Ereignisse
P (A | B) = P (A)
(d) Spezieller Multiplikationssatz fur stochastisch unabhangige Ereignisse
P (A ∩B) = P (A) · P (B)
13
(e) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
P (A) =k∑
i=1
P (Bi) · P (A | Bi)
(f) Satz von Bayes
P (Bi | A) =P (A | Bi) · P (Bi)
P (A | B1) · P (B1) + . . .+ P (A | Bk) · P (Bk)
14
9 Kombinatorik
9.1 Permutationen
9.1.1 Anzahl der Permutationen des n−Tupels (1, . . . , n)n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n
9.1.2 Anzahl der Permutationen des n−Tupels (1, 1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸n1−mal
, 2, 2, . . . , 2︸ ︷︷ ︸n2−mal
, . . . , k, k, . . . , k︸ ︷︷ ︸nk−mal
)
n!
n1! · n2! · . . . · nk!
9.2 Kombinationen
Ziehen von k Elementen aus n Elementen
9.2.1 ohne Zurucklegen mit Berucksichtigung der Reihenfolgen!
(n− k)!
9.2.2 mit Zurucklegen mit Berucksichtigung der Reihenfolge
nk
9.2.3 ohne Zurucklegen ohne Berucksichtigung der Reihenfolge(n
k
)
9.2.4 mit Zurucklegen ohne Berucksichtigung der Reihenfolge(n+ k − 1
k
)
15
10 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
10.1 Notation
X = Zufallsvariable
F (x) = P (X ≤ x) Verteilungsfunktion
10.2 Diskrete Zufallsvariablen
xi = mogliche angeordnete Werte der Zufallsvariablen X
10.2.1 Einzelwahrscheinlichkeitenf(xi) = P (X = xi) mit
∑i
f(xi) = 1
10.2.2 Verteilungsfunktion an der Stelle xi
F (xi) = P (X ≤ xi) = f(x1) + f(x2) + . . .+ f(xi)
10.3 Stetige Zufallsvariablen
10.3.1 Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion
f(x) ≥ 0 mit∫ +∞
−∞f(x) d(x) = 1
10.3.2 Verteilungsfunktion an der Stelle xi
F (xi) = P (X ≤ xi) =∫ xi
−∞f(x) d(x)
10.4 Maßzahlen
10.4.1 Erwartungswert
E[X] =
∑i
xi · f(xi) wenn X diskret∫ +∞
−∞x · f(x) d(x) wenn X stetig
10.4.2 Varianz
V ar[X] =
∑i
(xi − E[X])2 · f(xi) wenn X diskret∫ +∞
−∞(x− E[X])2 · f(x) d(x) wenn X stetig
10.4.3 Standardabweichung
√V ar[X] =
√∑i
(xi − E[X])2 · f(xi) wenn X diskret√∫ +∞
−∞(x− E[X])2 · f(x) d(x) wenn X stetig
16
11 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
11.1 Hypergeometrische Verteilung X ∼ H(N ;M ;n)
11.1.1 Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = x) =
(Mx
)(N−Mn−x
)(Nn
) fur max{0, n− (N −M)} ≤ x ≤ min{n,M}
11.1.2 Erwartungswert
E[X] = n · MN
11.1.3 Standardabweichung√V ar[X] =
√n · M
N·(1− M
N
)· N − n
N − 1
11.1.4 Naherungslosung durch Binomialverteilung mit n und p = MN
P (X = x) ≈(n
x
)·(M
N
)x (1− M
N
)n−x
; wennn
N≤ 0,05
11.2 Binomialverteilung X ∼ B(n; p)
11.2.1 Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = x) =
(n
x
)· px(1− p)n−x; x = 0, 1, 2, . . . , n
11.2.2 ErwartungswertE[X] = n · p
11.2.3 Standardabweichung√V ar[X] =
√n · p · (1− p)
11.2.4 Naherungslosungen
Naherungslosung durch Poissonverteilung mit λ = n · pP (X = x) ≈ e−n·p · (n · p)x
x!wenn p ≤ 0,10 und n · p ≤ 5
Naherungslosung durch Normalverteilung mit µ = n ·p und σ =√np(1 − p)
P (X = x) ≈ FU
x+ 0,5− np√np(1− p)
− FU
x− 0,5− np√np(1− p)
wenn np ≥ 10 und n(1− p) ≥ 10
17
11.3 Poissonverteilung X ∼ Po(λ)
11.3.1 Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = x) = e−λ · λx
x!; fur x = 0, 1, 2, . . . , n
mit e = 2,71828 . . .
11.3.2 ErwartungswertE[X] = λ
11.3.3 Standardabweichung√V ar[X] =
√λ
11.3.4 Naherungslosung durch Normalverteilung mit µ = λ und σ =√λ
P (X ≤ x) ≈ FU
(x+ 0,5− λ√
λ
)wenn λ > 9
11.4 Normalverteilung X ∼ N(µ;σ)
11.4.1 Dichtefunktion
f(x) =1
σ ·√2π
e−(x− µ)2
2σ2 ; x ∈ IR
mit π = 3,14 . . . und e = 2,71828 . . .
11.4.2 ErwartungswertE[X] = µ
11.4.3 Standardabweichung√V ar[X] = σ
11.4.4 Standardisierung der Zufallsvariablen X
U =X − µ
σmit U ∼ N(0; 1)
bzw.
P (X ≤ x) = FU
(x− µ
σ
)tabelliert
18
12 Ungleichungen und Grenzwertsatze derWahrscheinlichkeitsrechnung
12.1 Notation
X1, . . . , Xn stochastisch unabhangige Zufallsvariable
X = 1n[X1 + . . .+Xn]
X1, . . . , Xn haben dieselbe Verteilung
12.2 Ungleichung von Bienayme-Tschebyschev
12.2.1 Beliebige Verteilung
P (µ− k · σX ≤ X ≤ µ+ k · σX) ≥ 1− 1
k2
bzw.
P
(µ− k · σX√
n≤ X ≤ µ+ k · σX√
n
)≥ 1− 1
k2
12.2.2 Binomialverteilung
P
p− k ·√p(1− p)
n≤ p ≤ p+ k ·
√p(1− p)
n
≥ 1− 1
k2
12.3 Quadratwurzelgesetz
12.3.1 Standardabweichung des arithmetischen Mittels einer beliebigen Verteilung
√V ar
[X]=
1√n·√V ar[X]
12.3.2 Standardabweichung des arithmetischen Mittels einer Binomialverteilung
√V ar
[X]=
1√n·√p(1− p)
12.4 Schwaches Gesetz der großen Zahlen
12.4.1 Die Variable X hat eine beliebige Verteilung mit E[X] = µ und V ar[X] = σ2
limn→∞
P (| X − µ | ≤ ε) = 1 fur alle ε > 0
12.4.2 Die Variable X ist ist binomialverteilt B(n; p)
limn→∞
P (| X − p | ≤ ε) = 1 fur alle ε > 0
19
12.5 Zentraler Grenzwertsatz
12.5.1 Approximation einer beliebigen Verteilung durch die Normalverteilung
Ist die Verteilung von X schief, aber nicht extrem asymmetrisch, so genugt schon einStichprobenumfang von n ≥ 30, um eine annahernde Normalverteilung der endlichenSumme der Zufallsvariablen X1 + . . .+Xn bzw. des Durchschnitts zu gewahrleisten.
P
(n∑
i=1
Xi ≤ x
)≈ FU
(x− nµ√
nσ2
)bzw.
P (X ≤ x) ≈ FU
x− µσ√n
mit E[X] = µ und
√V ar[X] = σ
12.5.2 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Die Annaherung der Binomialverteilung X ∼ B(n; p) an die Normalverteilung ist gut,wenn np ≥ 10 und n(1− p) ≥ 10 gilt.
P (X ≤ x) ≈ FU
x+ 0,5− np√np(1− p)
20
13 Konfidenzintervalle
13.1 Konfidenzintervalle
13.1.1 Approximatives Konfidenzintervall fur den Mittelwert E[X], falls n ≥ 30[x− u · sx√
n; x+ u · sx√
n
]mit dem Konfidenzniveau 1− α
u ist das (1− α2)−Quantil der Standard-Normalverteilung
13.1.2 Approximatives Konfidenzintervall fur den Anteilswert p, falls n ≥ 100p− u ·√p(1− p)
n; p+ u ·
√p(1− p)
n
mit dem Konfidenzniveau 1− α
u ist das (1− α2)−Quantil der Standard-Normalverteilung
13.2 Erforderlicher Mindeststichprobenumfang
13.2.1 Das Konfidenzintervall [x − ϵ;x + ϵ] fur den Mittelwert E[X] hat die halbe Breite ϵ,falls
n ≥ u2 · σ2
ϵ2
13.2.2 Das Konfidenzintervall [p− ϵ; p+ ϵ] fur den Anteilswert p hat die halbe Breite ϵ, falls
n ≥u2 · palt(1− palt)
ϵ2
bzw.
n ≥ u2 · 0,25ϵ2
21
14 Testen auf den Erwartungswert µ
14.1 Notation
X ∼ N(µ, σ)x1, . . . , xn Stichprobe aus Xα Signifikanzniveauα = P (
”irrtumliche Ablehnung von H0“) Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art
β = P (”irrtumliche Annahme von H0“) Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art
14.2 Testen anhand der Teststatsitik
• H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ = µ1 (µ1 > µ0)
Ablehnung von H0 ⇔ X > c
mit c = µ0 + u1−α · σ√n
β = FU
(c− µ1
σ/√n
)
• H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0
Ablehnung von H0 ⇔ X > c
mit c = µ0 + u1−α · σ√n
β = 1− α
• H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ = µ1 (µ1 < µ0)
Ablehnung von H0 ⇔ X ≤ c
mit c = µ0 − u1−α · σ√n
β = 1− FU
(c− µ1
σ/√n
)
• H0 : µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0
Ablehnung von H0 ⇔ X ≤ c
mit c = µ0 − u1−α · σ√n
β = 1− α
• H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ = µ0
Ablehnung von H0 ⇔ X /∈ [µ0 − c;µ0 + c]
mit c = u1−α2· σ√
nβ = 1− α
22
14.3 Fehlerwahrscheinlichkeiten
RealitatH0 trifft zu H1 trifft zu
Test-Entscheidung fur H0 richtige Entscheidung Fehler 2. Art
Test-Entscheidung fur H1 Fehler 1. Art richtige Entscheidung
14.4 Testen anhand der p−Werte
Viele Statistikprogramme berechnen nicht den kritischen Wert, sondern den so genann-ten p−Wert. Ist der p−Wert kleiner oder gleich α, so wird die Nullhypothese abgelehnt.
Fur die verschiedenen Testprobleme ergeben sich folgende p−Werte:
• H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ = µ1 (µ1 > µ0)
p−Wert = P (X > x) = 1− P (X ≤ x) = 1− FU
(x− µ0
σ/√n
)
• H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0
p−Wert = P (X > x) = 1− P (X ≤ x) = 1− FU
(x− µ0
σ/√n
)
• H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ = µ1 (µ1 < µ0)
p−Wert = P (X ≤ x) = FU
(x− µ0
σ/√n
)
• H0 : µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0
p−Wert = P (X ≤ x) = FU
(x− µ0
σ/√n
)
23
15 Tabellen
15.1 Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Ablesebeispiel: X ∼ B(n = 4; p = 0,2)
P (X ≤ 2) = 0,9728
P (X = 2) = P (X ≤ 2)− P (X ≤ 1) = 0,9728− 0,8192 = 0,1536
n x p =0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500
1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500
2 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,12501 0,9927 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,50002 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,87503 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,06251 0,9860 0,9744 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,31252 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,68753 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,93754 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,03131 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,18752 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,50003 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,81254 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,96875 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,01561 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,10942 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,34383 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,65624 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,89065 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,98446 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,00781 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,06252 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,22663 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,50004 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,77345 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,93756 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,99227 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0577 0,0319 0,0168 0,0084 0,00391 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,03522 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,14453 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,36334 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,63675 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,85556 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,96487 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,99618 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
24
n x p =0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
9 0 0,6302 0,3874 0,2316 0,1342 0,0751 0,0404 0,0207 0,0101 0,0046 0,00201 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,01952 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,08983 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,25394 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,50005 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,74616 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,91027 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,98058 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,99809 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0283 0,0135 0,0060 0,0025 0,00101 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,01072 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,05473 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,17194 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,37705 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,62306 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,82817 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,94538 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,98939 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,999010 1,0000 1,0000 1,0000
11 0 0,5688 0,3138 0,1673 0,0859 0,0422 0,0198 0,0088 0,0036 0,0014 0,00051 0,8981 0,6974 0,4922 0,3221 0,1971 0,1130 0,0606 0,0302 0,0139 0,00592 0,9848 0,9104 0,7788 0,6174 0,4552 0,3127 0,2001 0,1189 0,0652 0,03273 0,9984 0,9815 0,9306 0,8389 0,7133 0,5696 0,4256 0,2963 0,1911 0,11334 0,9999 0,9972 0,9841 0,9496 0,8854 0,7897 0,6683 0,5328 0,3971 0,27445 1,0000 0,9997 0,9973 0,9883 0,9657 0,9218 0,8513 0,7535 0,6331 0,50006 1,0000 0,9997 0,9980 0,9924 0,9784 0,9499 0,9006 0,8262 0,72567 1,0000 0,9998 0,9988 0,9957 0,9878 0,9707 0,9390 0,88678 1,0000 0,9999 0,9994 0,9980 0,9941 0,9852 0,96739 1,0000 1,0000 0,9998 0,9993 0,9978 0,994110 1,0000 1,0000 0,9998 0,999511 1,0000 1,0000
12 0 0,5404 0,2824 0,1422 0,0687 0,0317 0,0138 0,0057 0,0022 0,0008 0,00021 0,8816 0,6590 0,4435 0,2749 0,1584 0,0850 0,0424 0,0196 0,0083 0,00322 0,9804 0,8891 0,7358 0,5583 0,3907 0,2528 0,1513 0,0834 0,0421 0,01933 0,9978 0,9744 0,9078 0,7946 0,6488 0,4925 0,3467 0,2253 0,1345 0,07304 0,9998 0,9957 0,9761 0,9274 0,8424 0,7237 0,5833 0,4382 0,3044 0,19385 1,0000 0,9995 0,9954 0,9806 0,9456 0,8822 0,7873 0,6652 0,5269 0,38726 0,9999 0,9993 0,9961 0,9857 0,9614 0,9154 0,8418 0,7393 0,61287 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,9905 0,9745 0,9427 0,8883 0,80628 1,0000 0,9999 0,9996 0,9983 0,9944 0,9847 0,9644 0,92709 1,0000 1,0000 0,9998 0,9992 0,9972 0,9921 0,980710 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,996811 1,0000 1,0000 0,9999 0,999812 1,0000 0,0000
13 0 0,5133 0,2542 0,1209 0,0550 0,0238 0,0097 0,0037 0,0013 0,0004 0,00011 0,8646 0,6213 0,3983 0,2336 0,1267 0,0637 0,0296 0,0126 0,0049 0,00172 0,9755 0,8661 0,6920 0,5017 0,3326 0,2025 0,1132 0,0579 0,0269 0,01123 0,9969 0,9658 0,8820 0,7473 0,5843 0,4206 0,2783 0,1686 0,0929 0,04614 0,9997 0,9935 0,9658 0,9009 0,7940 0,6543 0,5005 0,3530 0,2279 0,13345 1,0000 0,9991 0,9925 0,9700 0,9198 0,8346 0,7159 0,5744 0,4268 0,29056 0,9999 0,9987 0,9930 0,9757 0,9376 0,8705 0,7712 0,6437 0,50007 1,0000 0,9998 0,9988 0,9944 0,9818 0,9538 0,9023 0,8212 0,70958 1,0000 0,9998 0,9990 0,9960 0,9874 0,9679 0,9302 0,86669 1,0000 0,9999 0,9993 0,9975 0,9922 0,9797 0,953910 1,0000 0,9999 0,9997 0,9987 0,9959 0,988811 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,998312 1,0000 1,0000 0,999913 1,0000
25
n x p =0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
14 0 0,4877 0,2288 0,1028 0,0440 0,0178 0,0068 0,0024 0,0008 0,0002 0,00011 0,8470 0,5846 0,3567 0,1979 0,1010 0,0475 0,0205 0,0081 0,0029 0,00092 0,9699 0,8416 0,6479 0,4481 0,2811 0,1608 0,0839 0,0398 0,0170 0,00653 0,9958 0,9559 0,8535 0,6982 0,5213 0,3552 0,2205 0,1243 0,0632 0,02874 0,9996 0,9908 0,9533 0,8702 0,7415 0,5842 0,4227 0,2793 0,1672 0,08985 1,0000 0,9985 0,9885 0,9561 0,8883 0,7805 0,6405 0,4859 0,3373 0,21206 0,9998 0,9978 0,9884 0,9617 0,9067 0,8164 0,6925 0,5461 0,39537 1,0000 0,9997 0,9976 0,9897 0,9685 0,9247 0,8499 0,7414 0,60478 1,0000 0,9996 0,9978 0,9917 0,9757 0,9417 0,8811 0,78809 1,0000 0,9997 0,9983 0,9940 0,9825 0,9574 0,910210 1,0000 0,9998 0,9989 0,9961 0,9886 0,971311 1,0000 0,9999 0,9994 0,9978 0,993512 1,0000 0,9999 0,9997 0,999113 1,0000 1,0000 0,999914 1,0000
15 0 0,4633 0,2059 0,0873 0,0352 0,0134 0,0047 0,0016 0,0005 0,0001 0,00001 0,8290 0,5490 0,3186 0,1671 0,0802 0,0353 0,0142 0,0052 0,0017 0,00052 0,9638 0,8159 0,6042 0,3980 0,2361 0,1268 0,0617 0,0271 0,0106 0,00373 0,9945 0,9444 0,8227 0,6482 0,4613 0,2969 0,1727 0,0905 0,0424 0,01764 0,9994 0,9873 0,9383 0,8358 0,6865 0,5155 0,3519 0,2173 0,1204 0,05925 0,9999 0,9978 0,9832 0,9389 0,8516 0,7216 0,5643 0,4032 0,2608 0,15096 1,0000 0,9997 0,9964 0,9819 0,9434 0,8689 0,7548 0,6098 0,4522 0,30367 1,0000 0,9994 0,9958 0,9827 0,9500 0,8868 0,7869 0,6535 0,50008 0,9999 0,9992 0,9958 0,9848 0,9578 0,9050 0,8182 0,69649 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9876 0,9662 0,9231 0,849110 1,0000 0,9999 0,9993 0,9972 0,9907 0,9745 0,940811 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,9937 0,982412 1,0000 0,9999 0,9997 0,9989 0,996313 1,0000 1,0000 0,9999 0,999514 1,0000 1,000015
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26
n x p =0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
17 0 0,4181 0,1668 0,0631 0,0225 0,0076 0,0023 0,0007 0,0001 0,0000 0,00001 0,7922 0,4814 0,2525 0,1182 0,0501 0,0193 0,0067 0,0021 0,0006 0,00012 0,9497 0,7618 0,5198 0,3096 0,1637 0,0774 0,0327 0,0123 0,0041 0,00123 0,9912 0,9174 0,7556 0,5489 0,3530 0,2019 0,1028 0,0464 0,0184 0,00644 0,9988 0,9779 0,9013 0,7582 0,5739 0,3887 0,2348 0,1260 0,0596 0,02455 0,9999 0,9953 0,9681 0,8943 0,7653 0,5968 0,4197 0,2639 0,1471 0,07176 1,0000 0,9992 0,9917 0,9623 0,8929 0,7752 0,6188 0,4478 0,2902 0,16627 0,9999 0,9983 0,9891 0,9598 0,8954 0,7872 0,6405 0,4743 0,31458 1,0000 0,9997 0,9974 0,9876 0,9597 0,9006 0,8011 0,6626 0,50009 1,0000 0,9995 0,9969 0,9873 0,9617 0,9081 0,8166 0,685510 0,9999 0,9994 0,9968 0,9880 0,9652 0,9174 0,833811 1,0000 0,9999 0,9993 0,9970 0,9894 0,9699 0,928312 1,0000 0,9999 0,9994 0,9975 0,9914 0,975513 1,0000 0,9999 0,9995 0,9981 0,993614 1,0000 0,9999 0,9997 0,998815 1,0000 1,0000 0,999916 1,000017
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19 0 0,3774 0,1351 0,0456 0,0144 0,0042 0,0011 0,0003 0,0001 0,00001 0,7547 0,4203 0,1985 0,0829 0,0310 0,0104 0,0031 0,0008 0,0002 0,00002 0,9335 0,7054 0,4413 0,2369 0,1113 0,0462 0,0170 0,0055 0,0015 0,00043 0,9868 0,8850 0,6841 0,4551 0,2631 0,1332 0,0591 0,0230 0,0077 0,00224 0,9980 0,9648 0,8556 0,6733 0,4654 0,2822 0,1500 0,0670 0,0280 0,00965 0,9998 0,9914 0,9463 0,8369 0,6678 0,4739 0,2968 0,1629 0,0777 0,03186 1,0000 0,9983 0,9837 0,9324 0,8251 0,6655 0,4812 0,3081 0,1727 0,08357 0,9997 0,9959 0,9767 0,9225 0,8180 0,6656 0,4878 0,3169 0,17968 1,0000 0,9992 0,9933 0,9713 0,9161 0,8145 0,6675 0,4940 0,32389 0,9999 0,9984 0,9911 0,9674 0,9125 0,8139 0,6710 0,500010 1,0000 0,9997 0,9977 0,9895 0,9653 0,9115 0,8159 0,676211 1,0000 0,9995 0,9972 0,9886 0,9648 0,9129 0,820412 0,9999 0,9994 0,9969 0,9884 0,9658 0,916513 1,0000 0,9999 0,9993 0,9969 0,9891 0,968214 1,0000 0,9999 0,9994 0,9972 0,990415 1,0000 0,9999 0,9995 0,997816 1,0000 0,9999 0,999617 1,0000 1,00001819
27
n x p =0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
20 0 0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,00001 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,00002 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,00023 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,00134 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,00595 0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,02076 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,05777 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,13168 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,25179 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,411910 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,588111 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,748312 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,868413 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,942314 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,979315 1,0000 0,9997 0,9985 0,994116 1,0000 0,9997 0,998717 1,0000 0,999818 1,00001920
25 0 0,2774 0,0718 0,0172 0,0038 0,0008 0,0001 0,00001 0,6424 0,2712 0,0931 0,0274 0,0070 0,0016 0,0003 0,0000 0,00002 0,8729 0,5371 0,2537 0,0982 0,0321 0,0090 0,0021 0,0004 0,00013 0,9659 0,7636 0,4711 0,2340 0,0962 0,0332 0,0097 0,0024 0,0005 0,00004 0,9928 0,9020 0,6821 0,4207 0,2137 0,0905 0,0321 0,0095 0,0023 0,00055 0,9988 0,9666 0,8385 0,6167 0,3783 0,1935 0,0826 0,0294 0,0086 0,00206 0,9998 0,9905 0,9305 0,7800 0,5611 0,3407 0,1734 0,0736 0,0258 0,00737 0,1000 0,9977 0,9745 0,8909 0,7265 0,5118 0,3061 0,1536 0,0639 0,02168 0,9995 0,9920 0,9532 0,8506 0,6769 0,4668 0,2735 0,1340 0,05399 0,9999 0,9979 0,9827 0,9287 0,8106 0,6303 0,4246 0,2424 0,114810 1,0000 0,9995 0,9944 0,9703 0,9022 0,7712 0,5858 0,3843 0,212211 0,9999 0,9985 0,9893 0,9558 0,8746 0,7323 0,5426 0,345012 1,0000 0,9996 0,9966 0,9825 0,9396 0,8462 0,6937 0,500013 0,9999 0,9991 0,9940 0,9745 0,9222 0,8173 0,655014 1,0000 0,9998 0,9982 0,9907 0,9656 0,9040 0,787815 1,0000 0,9995 0,9971 0,9868 0,9560 0,885216 0,9999 0,9992 0,9957 0,9826 0,946117 1,0000 0,9998 0,9988 0,9942 0,978418 1,0000 0,9997 0,9984 0,992719 0,9999 0,9996 0,998020 1,0000 0,9999 0,999521 1,0000 0,999922 1,0000
28
15.2 Verteilungsfunktion der Poissonverteilung
Ablesebeispiel: X ∼ Po(λ = 3)
P (X ≤ 5) = 0,9161
P (X = 5) = P (X ≤ 5)− P (X ≤ 4) = 0,9161− 0,8153 = 0,1008
λx 0,1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,00 0,9048 0,6065 0,3679 0,2231 0,1353 0,0821 0,0498 0,0302 0,0183 0,0111 0,00671 0,9953 0,9098 0,7358 0,5578 0,4060 0,2873 0,1991 0,1359 0,0916 0,0611 0,04042 0,9998 0,9856 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208 0,2381 0,1736 0,12473 1,0000 0,9982 0,9810 0,9344 0,8571 0,7576 0,6472 0,5366 0,4335 0,3423 0,26504 0,9998 0,9963 0,9814 0,9473 0,8912 0,8153 0,7254 0,6288 0,5321 0,44055 1,0000 0,9994 0,9955 0,9834 0,9580 0,9161 0,8576 0,7851 0,7029 0,61606 0,9999 0,9991 0,9955 0,9858 0,9665 0,9347 0,8893 0,8311 0,76227 1,0000 0,9998 0,9989 0,9958 0,9881 0,9733 0,9489 0,9134 0,86668 1,0000 0,9998 0,9989 0,9962 0,9901 0,9786 0,9597 0,93199 1,0000 0,9997 0,9989 0,9967 0,9919 0,9829 0,968210 0,9999 0,9997 0,9990 0,9972 0,9933 0,986311 1,0000 0,9999 0,9997 0,9991 0,9976 0,994512 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,998013 1,0000 0,9999 0,9997 0,999314 1,0000 0,9999 0,999815 1,0000 0,999916 1,0000
29
15.3 Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung
Ablesebeispiel: P (U ≤ u) = 0,164 ⇒ u = −0,9782
u = −0,9822 ⇒ P (U ≤ u) = 0,163
Wkt. .000 .001 .002 .003 .004 .005 .006 .007 .008 .0090.00 −3.0902 −2.8782 −2.7478 −2.6521 −2.5758 −2.5121 −2.4573 −2.4089 −2.36560.01 −2.3263 −2.2904 −2.2571 −2.2262 −2.1973 −2.1701 −2.1444 −2.1201 −2.0969 −2.07490.02 −2.0537 −2.0335 −2.0141 −1.9954 −1.9774 −1.9600 −1.9431 −1.9268 −1.9110 −1.89570.03 −1.8808 −1.8663 −1.8522 −1.8384 −1.8250 −1.8119 −1.7991 −1.7866 −1.7744 −1.76240.04 −1.7507 −1.7392 −1.7279 −1.7169 −1.7060 −1.6954 −1.6849 −1.6747 −1.6646 −1.6546
0.05 −1.6449 −1.6352 −1.6258 −1.6164 −1.6072 −1.5982 −1.5893 −1.5805 −1.5718 −1.56320.06 −1.5548 −1.5464 −1.5382 −1.5301 −1.5220 −1.5141 −1.5063 −1.4985 −1.4909 −1.48330.07 −1.4758 −1.4684 −1.4611 −1.4538 −1.4466 −1.4395 −1.4325 −1.4255 −1.4187 −1.41180.08 −1.4051 −1.3984 −1.3917 −1.3852 −1.3787 −1.3722 −1.3658 −1.3595 −1.3532 −1.34690.09 −1.3408 −1.3346 −1.3285 −1.3225 −1.3165 −1.3106 −1.3047 −1.2988 −1.2930 −1.2873
0.10 −1.2816 −1.2759 −1.2702 −1.2646 −1.2591 −1.2536 −1.2481 −1.2426 −1.2372 −1.23190.11 −1.2265 −1.2212 −1.2160 −1.2107 −1.2055 −1.2004 −1.1952 −1.1901 −1.1850 −1.18000.12 −1.1750 −1.1700 −1.1650 −1.1601 −1.1552 −1.1503 −1.1455 −1.1407 −1.1359 −1.13110.13 −1.1264 −1.1217 −1.1170 −1.1123 −1.1077 −1.1031 −1.0985 −1.0939 −1.0893 −1.08480.14 −1.0803 −1.0758 −1.0714 −1.0669 −1.0625 −1.0581 −1.0537 −1.0494 −1.0450 −1.0407
0.15 −1.0364 −1.0322 −1.0279 −1.0237 −1.0194 −1.0152 −1.0110 −1.0069 −1.0027 −0.99860.16 −0.9945 −0.9904 −0.9863 −0.9822 −0.9782 −0.9741 −0.9701 −0.9661 −0.9621 −0.95810.17 −0.9542 −0.9502 −0.9463 −0.9424 −0.9385 −0.9346 −0.9307 −0.9269 −0.9230 −0.91920.18 −0.9154 −0.9116 −0.9078 −0.9040 −0.9002 −0.8965 −0.8927 −0.8890 −0.8853 −0.88160.19 −0.8779 −0.8742 −0.8705 −0.8669 −0.8633 −0.8596 −0.8560 −0.8524 −0.8488 −0.8452
0.20 −0.8416 −0.8381 −0.8345 −0.8310 −0.8274 −0.8239 −0.8204 −0.8169 −0.8134 −0.80990.21 −0.8064 −0.8030 −0.7995 −0.7961 −0.7926 −0.7892 −0.7858 −0.7824 −0.7790 −0.77560.22 −0.7722 −0.7688 −0.7655 −0.7621 −0.7588 −0.7554 −0.7521 −0.7488 −0.7454 −0.74210.23 −0.7388 −0.7356 −0.7323 −0.7290 −0.7257 −0.7225 −0.7192 −0.7160 −0.7128 −0.70950.24 −0.7063 −0.7031 −0.6999 −0.6967 −0.6935 −0.6903 −0.6871 −0.6840 −0.6808 −0.6776
0.25 −0.6745 −0.6713 −0.6682 −0.6651 −0.6620 −0.6588 −0.6557 −0.6526 −0.6495 −0.64640.26 −0.6433 −0.6403 −0.6372 −0.6341 −0.6311 −0.6280 −0.6250 −0.6219 −0.6189 −0.61580.27 −0.6128 −0.6098 −0.6068 −0.6038 −0.6008 −0.5978 −0.5948 −0.5918 −0.5888 −0.58580.28 −0.5828 −0.5799 −0.5769 −0.5740 −0.5710 −0.5681 −0.5651 −0.5622 −0.5592 −0.55630.29 −0.5534 −0.5505 −0.5476 −0.5446 −0.5417 −0.5388 −0.5359 −0.5330 −0.5302 −0.5273
0.30 −0.5244 −0.5215 −0.5187 −0.5158 −0.5129 −0.5101 −0.5072 −0.5044 −0.5015 −0.49870.31 −0.4959 −0.4930 −0.4902 −0.4874 −0.4845 −0.4817 −0.4789 −0.4761 −0.4733 −0.47050.32 −0.4677 −0.4649 −0.4621 −0.4593 −0.4565 −0.4538 −0.4510 −0.4482 −0.4454 −0.44270.33 −0.4399 −0.4372 −0.4344 −0.4316 −0.4289 −0.4261 −0.4234 −0.4207 −0.4179 −0.41520.34 −0.4125 −0.4097 −0.4070 −0.4043 −0.4016 −0.3989 −0.3961 −0.3934 −0.3907 −0.3880
0.35 −0.3853 −0.3826 −0.3799 −0.3772 −0.3745 −0.3719 −0.3692 −0.3665 −0.3638 −0.36110.36 −0.3585 −0.3558 −0.3531 −0.3505 −0.3478 −0.3451 −0.3425 −0.3398 −0.3372 −0.33450.37 −0.3319 −0.3292 −0.3266 −0.3239 −0.3213 −0.3186 −0.3160 −0.3134 −0.3107 −0.30810.38 −0.3055 −0.3029 −0.3002 −0.2976 −0.2950 −0.2924 −0.2898 −0.2871 −0.2845 −0.28190.39 −0.2793 −0.2767 −0.2741 −0.2715 −0.2689 −0.2663 −0.2637 −0.2611 −0.2585 −0.2559
0.40 −0.2533 −0.2508 −0.2482 −0.2456 −0.2430 −0.2404 −0.2378 −0.2353 −0.2327 −0.23010.41 −0.2275 −0.2250 −0.2224 −0.2198 −0.2173 −0.2147 −0.2121 −0.2096 −0.2070 −0.20450.42 −0.2019 −0.1993 −0.1968 −0.1942 −0.1917 −0.1891 −0.1866 −0.1840 −0.1815 −0.17890.43 −0.1764 −0.1738 −0.1713 −0.1687 −0.1662 −0.1637 −0.1611 −0.1586 −0.1560 −0.15350.44 −0.1510 −0.1484 −0.1459 −0.1434 −0.1408 −0.1383 −0.1358 −0.1332 −0.1307 −0.1282
0.45 −0.1257 −0.1231 −0.1206 −0.1181 −0.1156 −0.1130 −0.1105 −0.1080 −0.1055 −0.10300.46 −0.1004 −0.0979 −0.0954 −0.0929 −0.0904 −0.0878 −0.0853 −0.0828 −0.0803 −0.07780.47 −0.0753 −0.0728 −0.0702 −0.0677 −0.0652 −0.0627 −0.0602 −0.0577 −0.0552 −0.05270.48 −0.0502 −0.0476 −0.0451 −0.0426 −0.0401 −0.0376 −0.0351 −0.0326 −0.0301 −0.02760.49 −0.0251 −0.0226 −0.0201 −0.0176 −0.0150 −0.0125 −0.0100 −0.0075 −0.0050 −0.0025
30
Wkt. .000 .001 .002 .003 .004 .005 .006 .007 .008 .0090.50 0.0000 0.0025 0.0050 0.0075 0.0100 0.0125 0.0150 0.0176 0.0201 0.02260.51 0.0251 0.0276 0.0301 0.0326 0.0351 0.0376 0.0401 0.0426 0.0451 0.04760.52 0.0502 0.0527 0.0552 0.0577 0.0602 0.0627 0.0652 0.0677 0.0702 0.07280.53 0.0753 0.0778 0.0803 0.0828 0.0853 0.0878 0.0904 0.0929 0.0954 0.09790.54 0.1004 0.1030 0.1055 0.1080 0.1105 0.1130 0.1156 0.1181 0.1206 0.1231
0.55 0.1257 0.1282 0.1307 0.1332 0.1358 0.1383 0.1408 0.1434 0.1459 0.14840.56 0.1510 0.1535 0.1560 0.1586 0.1611 0.1637 0.1662 0.1687 0.1713 0.17380.57 0.1764 0.1789 0.1815 0.1840 0.1866 0.1891 0.1917 0.1942 0.1968 0.19930.58 0.2019 0.2045 0.2070 0.2096 0.2121 0.2147 0.2173 0.2198 0.2224 0.22500.59 0.2275 0.2301 0.2327 0.2353 0.2378 0.2404 0.2430 0.2456 0.2482 0.2508
0.60 0.2533 0.2559 0.2585 0.2611 0.2637 0.2663 0.2689 0.2715 0.2741 0.27670.61 0.2793 0.2819 0.2845 0.2871 0.2898 0.2924 0.2950 0.2976 0.3002 0.30290.62 0.3055 0.3081 0.3107 0.3134 0.3160 0.3186 0.3213 0.3239 0.3266 0.32920.63 0.3319 0.3345 0.3372 0.3398 0.3425 0.3451 0.3478 0.3505 0.3531 0.35580.64 0.3585 0.3611 0.3638 0.3665 0.3692 0.3719 0.3745 0.3772 0.3799 0.3826
0.65 0.3853 0.3880 0.3907 0.3934 0.3961 0.3989 0.4016 0.4043 0.4070 0.40970.66 0.4125 0.4152 0.4179 0.4207 0.4234 0.4261 0.4289 0.4316 0.4344 0.43720.67 0.4399 0.4427 0.4454 0.4482 0.4510 0.4538 0.4565 0.4593 0.4621 0.46490.68 0.4677 0.4705 0.4733 0.4761 0.4789 0.4817 0.4845 0.4874 0.4902 0.49300.69 0.4959 0.4987 0.5015 0.5044 0.5072 0.5101 0.5129 0.5158 0.5187 0.5215
0.70 0.5244 0.5273 0.5302 0.5330 0.5359 0.5388 0.5417 0.5446 0.5476 0.55050.71 0.5534 0.5563 0.5592 0.5622 0.5651 0.5681 0.5710 0.5740 0.5769 0.57990.72 0.5828 0.5858 0.5888 0.5918 0.5948 0.5978 0.6008 0.6038 0.6068 0.60980.73 0.6128 0.6158 0.6189 0.6219 0.6250 0.6280 0.6311 0.6341 0.6372 0.64030.74 0.6433 0.6464 0.6495 0.6526 0.6557 0.6588 0.6620 0.6651 0.6682 0.6713
0.75 0.6745 0.6776 0.6808 0.6840 0.6871 0.6903 0.6935 0.6967 0.6999 0.70310.76 0.7063 0.7095 0.7128 0.7160 0.7192 0.7225 0.7257 0.7290 0.7323 0.73560.77 0.7388 0.7421 0.7454 0.7488 0.7521 0.7554 0.7588 0.7621 0.7655 0.76880.78 0.7722 0.7756 0.7790 0.7824 0.7858 0.7892 0.7926 0.7961 0.7995 0.80300.79 0.8064 0.8099 0.8134 0.8169 0.8204 0.8239 0.8274 0.8310 0.8345 0.8381
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