FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Programmieren 2 Future Car Projekt Praktikum 6 Reiner Nitsch [email protected] - Speichern von Graphen - Suchen in

FB InformatikProf. Dr. R.Nitsch

Programmieren 2

Future Car Projekt

Praktikum 6

Reiner Nitsch [email protected]

- Speichern von Graphen- Suchen in Graphen- Kürzeste Wege


09.10.2008 Projekt FutureCar 2

Darstellung von Graphen als Array von Listen

• Grundlagen zu Graphen (siehe Vorlesung Mathematik 1)

1

6

2

5

3

4

Ungerichteter Graph G(V,E)V: KnotenmengeE: Kantenmenge

1

2

3

4

5

6

2

5

5

1

4

3

4

4

6

2

3

6

1

5

2

1

6

2

5

3

4

Gerichteter Graph

1

2

3

4

5

6

2

5

5

2

4

6

4

6

Bietet Antwort auf Fragen zu Graphen G wie z.B.

• Speicherbedarf? proportional zur Anzahl Knoten plus Anzahl Kanten O(|V|+|E|)

• Wieviele Kanten enden an vi?

• Welche Nachbarn vj hat vi?

• Existiert Kante E=(vi,vj)? O(|Ei|)

Gewichteter Graph: Gewicht als zu-sätzliche Info der Listenelemente

Adjazenzlisten

Die mit Knoten 5 verbundenNachbarknoten (= Kantenmenge E5 )

Array vonAdjazenzlisten



Darstellung von Graphen mit Adjazenzmatrix

Adjazenzmatrix a mit Elementen aijaij = 1 wenn Kante E=(vi,vj) in G enthalten, sonst aij=0

1

6

2

5

3

4

Ungerichteter Graph G(V,E)

0 1 0 1 0 01 0 0 1 1 00 0 0 0 1 11 1 0 0 1 00 1 1 1 0 00 0 1 0 0 1

aij = aji (symmetrisch)

1

6

2

5

3

4

Gerichteter Graph G(V,E)

0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 1 10 1 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1

aij ≠ aji (unsymmetrisch)

Bietet Antwort auf Fragen zu Graphen G wie z.B.

• Welche Kanten enden an vi?

• Welche Nachbarn vj hat vi?

• Existiert Kante E=(vi,vj)? O(1)

Speicherbedarf? O(|V|2)

ungünstig wenn G wenige

Kanten hatGewichteter Graph: Gewicht

an Stelle von '1' in Matrix eintragen

123456

i

1 2 3 4 5 6

j



Adjazenzliste des Graphen der FutureCar World

4,7 7,7

Adjazenzlisten

Rasterkarte (Grid) von FC-City

Rasterkarte von FC-Citymit XY-Koordinaten

Graph zur Modellierung derErreichbarkeitsbeziehungenzwischen den Zellender Rasterkarte

1

2

3

4

4 7 5 8 6 5 7 75 5 4 6 7 7 5 87 6 6 5 5 8 4 66 8 7 7 4 6 6 5 3 7 4 7 4 6 3 6

Adjazenzlisteninfo als Textsequenz

5

5,5 6,5 7,5

5,6 6,6 7,6

5,7 6,7 7,7

5,8 6,8 7,8

5,4 6,4 7,4

5,9 6,9 7,9

8,5

8,6

8,7

8,8

8,4

8,9

3,5

3,6

3,7

3,8

3,4

3,9

4,5

4,6

4,7

4,8

4,4

4,´9

##### # # # # # # ## #

##

#

###

# # # #

##

#

###

#

###

##

##

5,8

7,7

6,5

5,5 5,8 4,6 7,7

7,6 4,6 6,5 5,8

6,8 6,5 7,7 4,6

3,7 4,7

4,6 3,6



Implementierungsempfehlungen

Empfehlungen:• Container zum Verwalten der Knoten?• Knoten in Container einfügen?• Was sollte in den Adjazenzlisten gespeichert werden?• Welcher Datentyp eignet sich für Route?

map<Location, Node> nodes

nodes[ loc ] = Node(…)

Graph

- nodes:Node[ ]

+ Graph(filename:string) + …

Location oder Adressen der Nachbarknoten.

Verwendbarkeit im Navi sicherstellen (Siehe Praktikum 5)

3,1 2,1 3,2

1,1 1,2

2,1 1,1

1,2 2,2 1,3

3,2 3,1 4,2

2,2 3,2 2,1

Adjazenzlisten

Node

+ loc + adjList

+ Konstruktor:

3,12,1 3,2

1

1..N



Traversieren von Graphen

• Als Traversieren bezeichnet man das systematische Besuchen aller Knoten und das Durchlaufen jeder Kante eines Graphen.

• Algorithmen zum Traversieren eines Graphen dienen als Basis für viele andere grundlegende Algorithmen zur Verarbeitung von Graphen

• Man unterscheidet zwischen– Breitentraversierung (breadth-first search, BFS): Die Knoten werden

geordnet nach der "Entfernung" von einem Startknoten durchlaufen• zuerst alle Knoten mit 1 Kantenlänge Abstand vom Startknoten• danach alle diejenigen Knoten mit Abstand 2, • danach die mit Abstand 3, usw.

– Tiefentraversierung (depth-first search, DFS): Dieser Algorithmus erhöht immer zuerst die Distanz vom Startknoten, bevor er in die Breite geht und Nachbarknoten mit gleicher Distanz besucht (meist rekursiv implementiert)

• Bereits besuchte Knoten müssen markiert werden, weil sich die Algorithmen sonst in den Kreisen des Graphen verlieren.

Node

+ loc:Location+ adjList+ visited:bool

+ Konstruktor:

Markierung



Tiefentraversierung (Rekursiv)

• Rekursiver Algorithmus (in Pseudocode), der ausgehend von einer unmarkierten Ecke vi, alle anderen Knoten vj, j!=i eines Graphen G (genauer: einer Komponente desselben) besucht

Funktion: traverse-dfs(v) Zweck: Tiefensuche in einem GraphenParameter v: Ecke bei dem die Suche beginntPRE: --- POST: Alle Ecken, die von v erreichbar sind, sind gefunden.

Markiere v als besuchtBestimme einen Nachbarknoten von v und nenne diesen vnextWHILE(vnext existiert UND noch nicht besucht ist) beginne weitere Tiefensuche bei vnext Wieder zurück, bestimme weiteren Nachbarknoten von v und nenne diesen wieder vnextEND WHILE

Node

+ loc:Location+ adjList+ visited:bool

+ Konstruktor:

procedure traverse-dfs(v) visited(v) := true vnext := adjList[v]

WHILE(exist(vnext) AND NOT visited(vnext)) traverse-dfs(vnext) vnext := succ(v_next)

END WHILE



Beispiel zur Tiefentraversierung

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

2

3

4

5

6

2

5

5

1

4

3

4

4

6

2

3

6

1

5

2

Adjazenzlisten von Seite 2

Alle Knoten und Kanten besucht!

Startknoten

1

2

3

4

5

6

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

5

2

4

4

6

2

3

6

2

5

5

1

4

3

Komplexität: O(|V|+|E|)

procedure traverse-dfs(v) visited(v) := true vnext := adjList[v] WHILE( exist(vnext) UND NOT visited(vnext) traverse-dfs(vnext) vnext := succ(v_next) END WHILE



Tiefentraversierung (Iterativ)

• Iterativer Algorithmus mit einem Stack, der ausgehend von einer unmarkierten Ecke vi, alle anderen Knoten vj, j!=i eines Graphen G (genauer: einer Komponente desselben) besuchtPRE: --- POST: Alle Ecken, die von v erreichbar sind, sind markiert.

procedure traverse-dfs(v) t := empty-stack // t ist ein lokaler Stack visited(v) := true // markiere v als besucht push(t,v) // lege v auf den Stack

WHILE NOT empty(t) DO { v := top(t) // hole oberstes Element aus Stack vnext := adjList[v] // hole ersten Nachbarknoten

WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO // schon besucht? vnext := succ(vnext) // Ja! Dann eben den Nächsten END WHILE IF exist(vnext) THEN // Noch einen Unbesuchten gefunden? visit(vnext) // diesen besuchen (und bearbeiten), visited(vnext) := true // als "besucht" markieren und push(t,vnext) // Erst mal auf den Stack damit ... ELSE DO pop(t) END IF END WHILE // Erledigt! Alle Nachbarn von v besucht}

… und hierschon wieder

runter!



Breitentraversierung

• Iterativer Algorithmus, der alle Knoten eines zusammenhängenden Graphen geordnet nach der Entfernung vom Startknoten v durchläuft.

– Zuerst werden alle vom Startknoten über 1 Kante erreichbaren Knoten besucht– Danach alle über mindestens 2 Kanten erreichbaren Knoten, usw.– Entsteht formal aus Tiefentraversierung, wenn man den Stack durch eine Queue ersetzt.

PRE: ---Post: Alle Knoten, die von v erreichbar sind, sind markiert, also besucht wordenprocedure bfs_node(v) t := empty-queue // Definition einer leeren lokalen Queue visited(v) := true // Starknoten v als "besucht" markieren enqueue(t,v) WHILE NOT empty(t) DO v := front(t) // vordersten Knoten in t lesen vnext := adjList[v] // hole ersten Nachbarknoten WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO // schon besucht? vnext := succ(vnext) // Ja! Dann eben den Nächsten END WHILE IF exist(vnext) THEN // Noch einen Unbesuchten gefunden? visit(vnext) // diesen besuchen (und bearbeiten), visited(vnext) := true // als "besucht" markieren und enqueue(t,v_next) // erst mal in queue einreihen, wo sie bis zur

// Bearbeitung ihrer Nachbarknoten warten ELSE DO dequeue(t) // Erledigt! Alle Nachbarn von v wurden besucht END IFEND WHLE

Die Änderungen gegenüber der Tiefensuche sind ROT markiert!



1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

3

4

procedure bfs_node(v) t := empty-queue visited(v) := true enqueue(t,v) WHILE NOT empty(t) DO v := front(t) vnext := adj[v] WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO vnext := succ(vnext) END WHILE IF exist(vnext) THEN visit(vnext) visited(vnext) := true enqueue(t,vnext) ELSE dequeue(t) END IF END WHILE

Beispiel zur Breitentraversierung

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

Alle Knoten und Kanten besucht!

Startknoten

2

5

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

6

2

5

3

4

1

2

3

4

5

6

2

5

5

1

4

3

4

4

6

2

3

6

1

5

2

Adjazenzlisten von Seite 2

1

2

3

4

5

6

1

5

2

4

4

6

2

3

6

2

5

5

1

4

3 t:

Queue

2 5 4 1 3 6

Jetzt sind alle Knoten mit Distanz "1Kante" zum Startknoten besucht



Kürzeste Wege mittels Breitensuche

• Gesucht ist eine Verbindung (Pfad) zwischen 2 Knoten:– Tiefensuche liefert eine entsprechende Kantenfolge, wenn es eine gibt

(aber nicht unbedingt die Kürzeste).– Breitensuche liefert garantiert die Kürzeste.

• AufgabeMit Hilfe eines Breitensuchverfahrens soll der kürzeste Weg in einem ungewichteten Graphen G vom Startpunkt src zum Zielknoten dest gefunden werden, der über die geringste Anzahl von Kanten verläuft. Dabei wird der Weg so codiert, dass man ihn hinterher rekonstruieren kann.

• Lösung– Die Breitentraversierung durchläuft alle Knoten geordnet nach der

Kantendistanz zu src. – Der Vorgängerknoten, von dem ausgehend der Knoten v betreten wird,

verbindet somit v auf dem kürzesten Wege mit src (keine Kantengewichte!).– Im Bearbeitungsschritt merkt sich Knoten v daher seinen Vorgängerknoten– Nachdem Knoten dest betreten wurde und dieser sich seinen

Vorgängerknoten gemerkt hat, ist die Suche beendet.– Der kürzeste Weg, der dest mit src verbindet, ergibt sich nun, indem man,

beginnend bei dest, die Folge der Vorgängerknoten rekonstruiert. – Rückwärts gelesen (std::reverse) ergibt diese Folge den gesuchten

kürzesten Weg.



Breitensuche des Knotens d ausgehend vom Startknoten s

PRE: exist(s), exist(d)POST: Alle Knoten, die von v erreichbar sind, sind markiert, also besucht worden

FUNCTION bf_search(s,d) t := empty-queue // Definition einer leeren lokalen Queue visited(s) := true // Starknoten v als "besucht" markieren pred(s) := nil // s kennt seinen Vorgänger noch nicht enqueue(t,s) WHILE NOT empty(t) AND front(t)!=d DO // Abbruch der Suche wenn d besucht v := front(t) // vordersten Knoten in t lesen vnext := adj[v] // hole ersten Nachbarknoten WHILE exist(vnext) AND visited(vnext) DO v_next := succ(v_next) // Bereits besuchte Knoten überspringen END WHILE IF v_next != nil THEN // Solange unbesuchte Nachbarknoten zu v existieren visit(v_next) // diese besuchen (und bearbeiten), pred(v_next) := v // Vorgänger merken (besuchen & bearbeiten) visited(v_next) := true // als solche markieren und enqueue(t,v_next) // in queue einfügen, wo sie bis zur Bearbeitung

// ihrer Nachbarknoten warten ELSE DO dequeue(t) // entferne vorderstes Element aus t END IF // Alle Nachbarn dieses Knotens sind besucht IF empty(t) THEN { kein Pfad von s nach d }

Ergänzungen zum vorherigen Algorithmus sind ROT markiert

Node

+ loc:Location+ adjList+ pred+ visited:bool

+ Konstruktor:

Verweis auf Vorgängerknoten

Documents

FB Informatik Prof. Dr. R.Nitsch Programmieren 2 Future Car Projekt Praktikum 6 Reiner Nitsch [email protected] - Speichern von Graphen - Suchen in