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8/9/2019 Festigkeitslehre.pdf

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Version 1.2

Formelsammlung

FFeessttiiggkkeeiittsslleehhrree


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Festigkeitslehre

4

1 Grundlagen der Festigkeitsl ehre

Umschreibung des Fachgebietes (S 1.1)

Methoden der Festigkeitslehre (S 1.2)

Beanspruchung (S 1.3)

Spannungsbegriff (S 1.6)

Belastungsarten (S 1.8)

1.6 Werkstoffkennwerte der Festigkeitslehre (S 1.11)

Rm= ZugfestigkeitRe= ElastizittsgrenzeE = Elastizittsmodul

(E-Modul)

Spannung:

0A

F=

Dehnung:

0l

l=

Lineares Formnderungsgesetz (Hooksches Gesetz):Zugbeanspruchung:

: Spannungxx E = E : Elastizittsmodul

Querdehnung : Dehnung

xzy == : Poissonzahl, Querzahl, Querkontraktion

Schubbeanspruchung: : Schubspannung

= G G : Gleitmodul, Schubmodul : Gleitung, Gleitwinkel, Schiebung, Schubw.

1.7 Bemessung und Sicherheit (S 1.15)Festigkeitsbedingung

S

CGzulmax = S = S 1 S2 S 3...S n

Verformungsbedingung G = Spannungsgrenzwert (F , B , 0.2 ...)

S

CGzulmax =

Richtwerte fr die Sicherheit Sicherheit gegen Fliessen: S F 1.2 2.0 Sicherheit gegen Bruch: S B 1.5 3.0

Sicherheit gegen Instabilitt: S K 3.0 5.0 8.0

Festigkeitslehre

57

BiegungNormalspannungen:

zS

EM)z(

b

ibi

= IESb =

KD

b2

DK

D2h

D

bD

K

b

DbD

Kmax

hhb

M

)hh(

h

hb

M2h

2

h

S

EMh

2

h K

+

+

+

=

+=

Schubspannungen:

Deckschicht: ( )

++

= 2

2K

DKDb

DQD z4

hhhh

S2

EF)z(

Kern: ( )

++

= 2

2K

D

KDKD

b

DQK z

4

h

E

Ehhh

S2

EF)z(

Bisquit-Formel:Ib

)z(SF)z( Q

= siehe auch 6.7.1

( )

++

===

4

h

E

Ehhh

S2

EF)0z(

2K

D

KDKD

b

DQmax

( )DKDb

DQK hhhS2

EF)

2

hz( +

==

Verformungen:Achtu ng : Die Durchsenkung kann gewhnlich nicht vernachlssigt werden!Durchbiegung: nach Dubbel C20Durchsenkung: (siehe auch 6.7.2)

( ) +===l

0 hh

KK

l

0

l

0 S

QS dx

21hbG

F

AG

Fdx

S

Fy

K

D

Sbmax yyy +=

Durchsenkung

Durchbiegung Durchsenkungdx

dyb dys

FQ

MB


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Festigkeitslehre

56

16.5 Schicht Verbundelemente (Sandwich) (S 16.27)Bei symmetrischen Deckschichten!

Zug- bzw. Drucksteifigkeit:

+=+==

D

K

D

KDDDDKKiiD,Z

E

E

h2

h1hb2Ehb2EhbEAES

Bei grossem Unterschied zwischen EKund E D kann die Klammer vernachlssigt werden.

Biegesteifigkeit

++

+

==

2DK

D

3D

D

3K

Kiib2

hhhb

12

hbE2

12

hbEIES

( )

( ) ( )

++

+

++

+=

D2

DK

3K

D

K2

DK

2D

D

2DK

Dbhhh

h

E6

E

hh9

h1hb

2

hhES

Schubsteifigkeit2

K

DKKS hh1hbGS

+=

Sehr hufig liegen besondere Verhltnisse vor:

Spannungen:

Zugbeanspruchung parallel zur Schichtung

( ) DD,ZEEh2hDD ES

F

1hb2

F

D

K

D

K=

+=

KD,ZD

KDK E

S

F

E

E==

1E

E

D

K


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Festigkeitslehre

6

3 Spannungs- und Verformung szustand

3.1 Grundbegriffe (S 3.1)

3.2 Einachsiger Spannungszustand (S 3.4)

Schrger Schnitt mit Winkel :

= cosA

A

==

=

2

02 coscos

A

F

A

cosF

)2sin(2

1cossin

A

F

A

sinF0 ==

=

Folgerungen:1. Auch bei einachsigem Spannungszustand treten neben den Normalspannungen noch Schubspannungen

auf, und zwar in Schnittflchen, die nicht senkrecht zur Beanspruchungsrichtung stehen.2. und sind vom Winkel abhngig.

3. Maximale Schubspannung:

maxbei sin (2 ) = 1, also =

= 454

Die Ebene der maximalen Schubspannung ist also nur = 45 gegen die Beanspruchungsrichtung geneigt.

0max2

1)45( ===

Die maximale Schubspannung ist bei zhen Werkstoffen wie z.B. Baustahl verantwortlich fr die plastischeDeformation und den Bruch der Probe, indem das Material entlang den Gitterebenen mit 45 abgleitet. An

den Probenoberflchen wird dies in den Fliesslinien oder Fliessfiguren sichtbar.

Spannungskreis

Gleichung: 20220 )2

()2

(

=+

Eigenschaften des Spannungskreises:1. Ein bestimmter Spannungskreis entspricht einem ganz bestimmten Spannungszustand.

2. Jedem Winkel entspricht ein ganz bestimmter Bildpunkt T auf dem Spannungskreis.

3. Das Zentrum des Spannungskreises liegt bei allen Spannungszustnden der -Achse.

4. Der Spannungskreis des einachsigen Spannungszustandes geht durch den Ursprung des , -Koordinatensystems.

Vorzeichen der Schubspannungen:Aus dem Spannungskreis geht hervor, dass die Schubspannungen als negativ zu betrachten sind, wenn dasSchnittufer relativ zur Spannungsrichtung links liegt, und als positiv, wenn es rechts liegt.

Festigkeitslehre

55

Anw endungen :

Kugelschale mit p = konst. (R1= R2= R = konstant)

h4

dp

h2

Rp21

==

==

Zylinderschale mit p = konst.

h2dp

hRp1

== Kesselformel

2h4

dp

h2

Rp 12

=

=

=

Kegelschale mit p = konst.

==cos

tan

h

Hp

h

Rp max1max

=

cos

tanz

h2

p2

2h2

Rp

cos

tan

h2

Hp max1max12max

=

=

=

Kegelschale mit p = p(z) (z.B. Wasserfllung)= tanzr = cossin

= tan

)zH(z

cosh

tan)z(1

=

===

cosh4

tanH)z(

2

2H

11max

=3

z

2

Hz

cosh

tan)z(2

===cos

tan

h16

H3)z(

2

4H3

22max


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Festigkeitslehre

54

16.3 Platten (S 16.19) (Dubbel C38)

Plattensteifigkeit:b)21(12

IE

)21(12

3hEbS

=

=

2

2

x2x

xh

bpc

h

M6 ==

+

=

2

2

2

2

bxy

w

x

wSM

2

2

y2

yy

h

bpc

h

M6 ==

+

=

2

2

2

2

byx

w

y

wSM

2

2

xy2

xyxy

h

bpc

h

M6 == ( )

yx

wS1MM

2

btxy

==

3

4

whE

bpcw

=

cx; cy; cw: Konstanten in Abhngigkeit von Belastung, Lagerung, Geometrie, bei =0,3!

p: Belastung pro Flcheneinheit dx dyw: Durchbiegung senkrecht zur Plattenebeneh: Plattendickeb: Plattenbreite

Analog fr rotationssymmetrische Probleme:

2

2

rrh

rpc =

2

2

tth

rpc =

3

4

whE

rpcw

=

Weitere Formeln: Siehe Dubbel C38

16.4 Schalen (S 16.21)

Krfte und Spannungen (mit der 2. Grundgleichung beginnen)

am Volumenelement:h

p

RR 2

2

1

1 =

+

1. Grundgleichung

am Schalenabschnitt: =)z(r

0

2 dp)z(sinh)z(r

1 2. Grundgleichung

Festigkeitslehre

7

Verformung des Zugstabes

Dehnung: 0l

l

0x >

=

Querkontraktion: 0D

D

D

DD

oo

ozyq =Stat

Kin

Festigkeitslehre

49

FestigkeitsrechnungBeurteilung aufgrund der Schubspannungshypothese:

) zulrzzttrmaxV ,,Max2 == Innendruck: Offenes und geschlossenes Rohr

rati2i

2a

2a

iVrr

r2p

SSH =

= kritisch: r = r i

Aussendruck: Offenes und geschlossenes Rohr

2i

2a

2a

atVrr

r2p

iSSH

== kritisch: r = r i

Folgerung:- Bei allen Rohren ist die Innenseite am hchsten beansprucht- Vergleichsspannung nach der SSH generell:

-2i

2a

2a

Vrr

r2p

= ai ppp = Druckdifferenz

Formnderung

Dehnungen: ( )[ ]ru

E1 zrtt =+=

( )[ ]dr

du

E

1ztrr =+= u: Radialverschiebung

( )[ ]rtzzE

1+=

Durchmessernderung:

Allgemein: ( )[ ]zrttE

1r2r2)r(d +==

[ ] ( ) )r(z2i

2a

2ii

2i

2a

2ii

z .konst21rr

r

E

p)z(1

rr

r

E

p=

=

=

Innendruck: ( )

++

= 11

r

r

rr

r

E

pr2)r(d

2

2a

2i

2a

2ii Offenes Rohr

( )

++

= 211

r

r

rr

r

E

pr2)r(d

2

2a

2i

2a

2ii Geschl. Rohr

Aussendruck: ( )

++

= 11

r

r

rr

r

E

pr2)r(d

2

2i

2i

2a

2aa Offenes Rohr

( )

++

= 211

r

r

rr

r

E

pr2)r(d

2

2i

2i

2a

2aa Geschl. Rohr


13/30


14/30

Festigkeitslehre

14

6. Biegung (Dubbel C20) 6.1 Begriffe und Voraussetzungen (S 6.1)6.2 Biege- Grundgleichung (S 6.3)

zI

M)z(

y

bx =

Besondere Spannungswerte:

Neutrale Faser: spannungsfreiz = 0 x = 0

Randfaser:

y

b

z

Ib

maxy

bmaxxb W

MMz

I

M)z(

max

y====

max

yy

z

IW = : Widerstandsmoment bezglich der y-Achse

6.3 Flchenmomente (S 6.5)

= A2x dAyI =

A

2y dAxI

Bsp. Rechteck12

bhI

3

x= Kreisflche44

x r4

d64

I

=

=

Flchentrgheitsmoment in Bezug auf parallele Achsen:

Satz von Steiner

AyII 2Sxx += analog: AxII2Syy

+=

Zusammengesetzte Flchen

21

21

xxA

2

A

2

A

2

x IIdAydAydAyI +=+==

Polare Flchenmomente

=A

2p dArI yxr

22 += yxp III += max

pp

r

IW =

Zentrifugal- oder Deviationsmo ment

==A

yxxy IdAyxI

Satz von Steiner: AyxII SSyxxy +=

Querschnittshauptachsen (siehe Skript Seite 6.11)Bedingung fr Hauptachsen:

yx

xy

II

I2)2tan(

=

=

yx

xy1

II

I2arctan

2

1

212

+=

2xy

2Yxyx

2,1 I2

II

2

III +

+=

r

Das Zentrifugalmoment ist immer dann gleich null, wenn mindestens eine derbeiden Bezugsachsen eine Symmetrieachse der Querschnittsflche ist.

Festigkeitslehre

47

15.3 Versagensverhalten der Kunststoffe (S 15.5) Bruch: Zeitstandfestigkeit ( Beiblatt 30) berschreiten der Streckgrenze: Analog Metalle Rissbildung: Oberhalb einer Fliessdehnung F (Kurzzeit: t < 1h FF 2 ) GDH

Richtwerte: - Amorphe Thermoplaste F 0,8%- Teilkristalline Thermoplaste F 2 4%

- Duroplaste F 0,1 0,2%- GFK-Mattenlaminate F 0,3 0,5%

Instabilitt (zeitabhngig)2

C2K

s

IEF

=

15.4 Festigkeitsrechnung (S 15.7) Festigkeitsbedingung

S

CGzulV = V: Vergleichsspannung (Hypothese je nach Versagensart)

G: (S:Streckspannung)(B/tZeitstandfestigkeit {Bruch}) Verformungsbedingung

GDH: == zul321max ),,(Max {h0,1t:S/

F 1,0

Formnderung (z.B. Durchbiegung usw.)Fr lineare wie aus ElastizittstheorieFr nichtlineare gelten die Resultate als Nherung

Stabilittsbedingung

K

Kzul

S

=

K

Kzul

S

=

K

Kzul

S

ppp =

Fr kleine Schlankheitsgrade liefert die Euler-Formel fr Kunststoffe gute Resultate.Die Tetmajerformel ist sehr selten bei Kunststoffen anzutreffen.

15.5 Literatur zu Viskoelastizitt Kunstst offverhalten (S 15.10)


15/30

Festigkeitslehre

46

15 Viskoelastisches Verhalten

15.1 Lineare Viskositt (S 15.1)Viskoelastisches Verhalten ist typisch fr: Metallische Werkstoffebei hheren Temperaturen, z. B.

>0,5 S S: Schmelztemperatur Polymere Werkstoffe oberhalb der Glastemperatur

> G

Allgemeine Lsung der Differentialgleichung:= )t(E E(t): zeitabhngig abnehmende

Werkstoffsteifigkeit

15.2 Verformungsverhalten der Kun ststoffe (S 15.3)Kriechmodul: Mass fr die zeitabhngige Werkstoffsteifigkeit (definiert als Sekantenmodul); anstelle E-Modul

),,t(E

0

0C

=

Nherungsmethode (Beiblatt 28): sehr grob, nur im Notfall!

0C EE E 0: Ursprungsmodul der Kurzzeitkurve = t 10-2h

: Einflussfaktor Zeit: Einflussfaktor Temperatur

Mehrachsiger Spannungszustand (Isotropie) Lineares Formnderungsverhalten: E C E C()

Verallgemeinertes Hooksches Gesetz (vgl. 3.4)

( )[ ]321C

1E

1+=

( )[ ]132C

2E

1+=

( )[ ]213C

3E

1+=

Nichtlineares Formnderungsverhalten. E C= E C()Abwandlung des verallgemeinerten Hookschen Gesetzes

( )e3e2e1C

3

C

2

C

11

321EEE

+=

+

=

( )e1e3e2C

1

C

3

C

22

132EEE

+=

+=

( )e2e1e3C

2

C

1

C

33

213EEE

+=

+

=

Index = e1 bei einachsiger Dehnung umrechnen auf mehrachsig

ECi= E C(i): SpannungsabhngigerKriechmodul

= (): Poissonzahl (vgl. Beiblatt 28)

)(E iC

iie

= :

Einachsige Dehnung derSpannung i

:Ec Viskoelastischer E-Modul

:G Schubkriechmodul:)1(2

Ec+

=

Festigkeitslehre

15


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Festigkeitslehre

16

Polare Flchenmomente 2. Ordnung fr einfache Querschnitte

Festigkeitslehre

45

14.4 Biegung (S 14.6)Dubbel C23

k: Reserve von Fliessbeginn bis zum vo llplastisc hen Bereich

Formfaktor:b

s

b

b

F

0

W

Ay

W

S2

M

Mk

===

MF: Biegemoment bei Fliessbeginn: b = F

M0: Biegemoment bei vollplastischem Querschnitt

1s1b yAS = Dubbel C58 Sb: Statisches Moment 1. Grades der halbenQuerschnittsflche bezglich der neutr. AchseWb: Achsiales Widerstandsmoment

2FS1FS0 AyAyM 21 += ySi: Abstand Schwerpunkt zur neutralen AchseAi: Flche ber bzw. unter der neutralen Achseys= y s1= y s2

Im vollplastischen Bereich verschiebt sich dieneutrale Achse so, dass A1=A 2wird.

Bei symmetrischem Bauteil:AyM FS0 =

FtbFF WWM ==

Fb

F

F

0

b

00 SkM

M

M

M

M

M

S ===

14.5 Torsion (S 14.10)Auch bei Torsionsbeanspruchung ist die Spannungsverteilung ungleichmssig. Das Torsionsmoment kanndaher nach dem Fliessbeginn noch gesteigert werden, bis der ganze Querschnitt vollplastisch ist.

Formfaktor:F

0

M

Mk=

FtF WM =

=

A

F0 dArM

Bei Kreis: F33

F

0

2F

A

F0 d12

d24

2drr2dArM

2d

=

===

:3

4

M

Mk

F

0Kreis ==

14.6 Literatur zur Plastizitt (S 14.11)

k:


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Festigkeitslehre Festigkeitslehre


19/30

Festigkeitslehre

42

13.5 Schwingende Belastung (S 13.7)Dynamischer Spannungsintensittsfaktor (K)

Ma)(fQ

aK =

= )(f

QM 2

=

O: Oberspannung

a: Spannungsamplitude

U: Unterspannung

= aUO 2 = )0( UO >

O )0( UO >

Rissausbreitungsgesetz:

n0 )K(C

dN

da=

n = 2

=

i

c2

0C

a

aln

M)(C

1N

ac: Kritische Rissgrsseai: anfngliche RissgrsseN: Lastspielzahl

Nc:Anz. Lastwechsel bis zur kritischen Rissgrsse n 2

2n

2n2

2n2

M)(C

aa

2n

2N

n0

ciC

=

St A533 B n = 2,2 C0= 6,2510-9mm 4.3/LWkp2,2

NiMoV ST n = 3,0 C0= 1,0510-11mm 5,5/LWkp3

M

Ka

2

2Ic

c

= bei S R= 1 )(fQ

M 2

=

Sicherheit Sicherheit gegen instabile Rissausbreitung

=

=

R

IIzul

S

KKNN C

zul

i

zul

2

0 a

aln

M)(C

1 (n = 2)

2n

2n2

2n2

M)(C

aa

2n

2

n0

zuli

(n 2)

Sicherheit S Nder ertragbaren Lastwechsel

N

Czul

S

NN

13.6 Spannungsris skorrosi on (S 13.11)Allg.:

CSCC IIKK < scc: Stress corrosion cracking

Fr hochfeste Werkstoffe gilt Nherungsweise:CSCC II

K3

1K

13.7 Literatur zur Bruchmechanik (S 13.12)

C0; n = 2 4 : Werkstoffkonstanten.Achtung: C0 ist dimensionsbehaftet in Abhngikeit von n!

Festigkeitslehre

19

6.11 Schiefe Biegu ng (S 6.45)

M1=McosM2=Msin

zI1

M11x = y

I2

M22x =

yI2

M2zI1

M12x1xx =+=

Neutrale Achse: x=0

Neutrale Achse: x=0

yI2

I1tanyI2

I1M1

M2z == I2

I1tantany

z==

= zulx

maxz*,y*

Durchbiegung:

vvv 2221+= senkrecht zur neutralen Achse

1

11

EI

Mv = 1v 1v

2

22 EI

Mv = 2v 2v

6.12 Weiterfhrende Hinweise zur Biegung (S 6.49)

neutraleAchsex

x1 x2

Zug

Druck

S

Z=2

Y=1

neutraleAchse



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Festigkeitslehre

20

6.13 Biegelinien von statisch bestimmt en Trgern mit konst antem Querschnitt

Festigkeitslehre

41

13. Bruchmechanik

13.1 Problemstellung (S 13.1)

13.2 Brucht heorie von Griffith (S 13.2)

Bei Ausbreitung: 02

4E

a2

: herrschende Spannung quer zum Riss

Spannung, unter der sich ein Riss ohne Steigerung der usseren Last ausbreitet:

a

E2 0

0: Oberflchenenergie je Flcheneinheit

a: Ellipsenhalbachse

13.3 Spannungszustand in Rissnhe (S 13.3)

=

2

3sin

2sin1

2cos

r2

KIx

+

=

2

3sin

2sin1

2cos

r2

KIy

2

3cos

2sin

2cos

r2

KIxy

=

KI: Spannungsintensittsfaktor (analog KIIund K IIIfr die Belastungsflle II und III )Allgemein:

( ) aMfQ

aK I =

= ( )

= 2f

QM

2

3

2

3

I kpmmNmm:K

)(f

1

a

Q

S

K

2R

IC

KI, KIIund K III: siehe Beiblatt 27Q: Rissfaktor (Beiblatt 28)f(): Korrekturfunktion (Beiblatt 27)KI: Bruch- oder Reisszhigkeit fr Belastungsfall (Beiblatt 27)

13.4 Statische Belastung (S 13.5)

R

ICI S

KK bzw.

R

IICII S

KK

SR 2: Sicherheit gegen RissausbreitungSR= 1: kritische RissausbreitungKIC: Bruch- oder Reisszhigkeit des Werkstoffs (Beiblatt 29)



21/30

Festigkeitslehre

40

12.3 Kontakt paralleler Zylinder (S 12.7)Achtung: b ist nur die halbe Breite (siehe Bild)

+

=

2

22

1

21

E

1

E

1

l

RF12b

El

RF 21596,1

1

2

22

1

21

0E

1

E

1

lR

F1p

+

= 21

399,0

E

lR

F

lE

F

7.5 [Kunz; De Maria (2001/02)]

Spannungszustand: 0max pV =

12.4 Festigkeitsrechnung (S 12.9)

S

Ckkpp Gzul00 zul == Bestimmung nicht einfach, da meist fast hydrostatische Spannungszustnde.

Nach SIA-Norm gilt vereinfachend:

Punktberhrung:S

C77p Gzul0zul =

Linienberhrung

S

C55p Gzul0zul =

Festigkeitslehre

21



22/30

g

22

6.14 Biegemomente und Biegelinien von statisch unbest.Trgern mit konst . Querschnitt

g

39

Al lgem eine Punktber hr ung (Beib latt 25)Vereinfachte Berechnungsformeln:

3

hE

RFm109,1a

= 3

E

RFn109,1b

=

32

2h0

R

EFnm

388,0p

= ( )

= KRE

Fm783,0 3

2h

2

12.2 Kontakt zweier Kugeln (S 12.5)( cos () = 0 und m = n = 1 ) 1. Vereinfachung 2.Vereinfachung

3

2

22

1

21

E

1

E

1RF909,0ba

+

== 3

h

2

E

)(1RF145,1

3

hE

RF109,1

3

2

2

22

1

21

20 E

1

E

1

R

F578,0p

+

= 3

2

2

h

2 )(1

E

R

F364,0

3

2

2h

R

EF388,0

3

2

2

22

1

21

2

E

1

E

1

R

F826,0

+

= 3

2

h

22

E

)(1

R

F310,1

3

2h

2

RE

F23,1

mit21

21

21 RR

RR

aa

1

R +

=+= bei R 11= R 12

1. Vereinfachung: ( )2121 +=

21

21h

EE

EE2E

+

=

2. Vereinfachung: 3,021 und SSH

( ) 0VmaxV p62,0a47,0z === ( SSH ; 0,3 )

Eh: harmonisches Mitteldes E-Moduls



23/30

38

Abplattung: Annherung der beiden Krper infolge Verformung

( )a

)(KFkk

2

3w 21

+==

22

m

n1

a

b1)sin(

=

=

Berechnung von Kontaktproblemen: Allgemein: nach Beiblatt 24oben Vereinfacht: nach Beiblatt 25

Rechengang bei Punktberhru ng:

1. Krmmungsradien und Winkel bestimmen:

R11 R 12; R 21 R 22

2.R

1

R

1

R

1

R

1

R

1

2

1aa

2221121121 =

+++=+ [mm-1]

)2cos(R

1

R

1

R

1

R

12

R

1

R

1

R

1

R

1

2

1aa

22211211

2

2221

2

121112

+

+

= [mm

-1]

3.21

12

aa

aacos

+

=

4. Diagramm: m, n :f() Beiblatt 24

5.

+

=+

2

22

1

21

21 E

1

E

11kk nur bei genauer Berechnung

6. 321

21

aa

kkF

4

3ma

+

+

= 3

21

21

aa

kkF

4

3nb

+

+

= oder Vereinfachung

7. zul0m0 pp2

3

A

F

2

3

ba

F

2

3p ==

= oder Vereinfachung

8.22

m

n1

a

b1)sin(

=

=

9. Diagramm: K() Beiblatt 24

10. ( ) aKFkkw )(23 21 +== (Annherung der beiden Krper) oder Vereinfachung

K(): Beiblatt 24: Abplattung (Annherung der

Krperschwerpunkte): Exzentrizittsmass fr das Verhltnis zwischen

den Ellypsenachsen a und b

23



24/30

24

7. Torsion (Dubbel C27)

7.1 Begriff e (S 7.1)

7.2 Rotationssymmetrische Querschnitte (S 7.2)

Torsions- Grundgleichung: rI

M

p

t)r( =

Maximale Schubspannung:l2

dG

W

MMR

I

M

t

t

R

It

p

t)Rr(maxt

p

====== =

mitR

IW

pt = : Torsionswiderstandsmoment [cm

3] = maxtt WM

Wtist nur bei rotationssymmetrischen Querschnitten so definiert !Verdrehung der Welle mit Lnge l: Allgemein:

=l

0 p

t dxIG

M [rad] G Ip = Torsionssteifigkeit

Zylindrische Welle: M t= konstant, I p= konstant

p

t

IG

lM

= [rad]

Federkonstante:

l

IGM

l

Fc ttt

=

=

=

Spannungsverteilung bei Rohren:

rI

M

p

t)r( =

konische Wellen:

( )ItG

lMt

d32d31

3G

d22d2d1d21

l32Mt

=

++=

d22d2d1d21

d32d31

32

3It

++

=

t=Vergleichs-Torsionsflchenmoment fr konische Vollwellen

d12

d22

max

(r)

=

PMt

30

n = n: in U/min

37

12. Kontaktprobleme

12.1 Allgemeine hertzsche Theorie (S 12.1) Krmmungsverhltnisse Im Kontaktbereich ( Beiblatt 23) R>0: konvexR11 R 12: Hauptkrmmungsradien Krper 1 R


25/30

36

Grenzschlankheitsgrad: (bergang Euler / Tetmajer)

p0

E

= fr St37: 105

190

101.2 50

=

Knickspannung in Funktion des Schlankheitsgrades:

Vorgehen bei unbekanntem Trgheitsmoment:Als erstes Annahme: Euler, d.h. 0 und I bestimmen. Anschliessend Nachrechnung von und ermitteln obdie Eulerformel korrekt war oder ob die Tetmajer Formel anzuwenden ist.

Inperfektionen und Sicherheit: (S 11.9)

11.3 Knicken unter achsialen Massenkrften (S 11.10)Knickkraft

22

FF

2

1K0

l

IE

c1

cF

0

+=

:(F -0,2F 0):F0 = F + ma:c1,c 2: Konstanten, abhngig von den Randbedingungen (Beiblatt 16)

22

FF

2

1

KK

K00

l

IE

c1

c

S

1

S

FamFF

0

+=+=

11.4 Beulen (S 11.12) Dubbel; C45 Beibltter 18.1; 18.211.5 Andere Instabilitten (S 11.14)11.6 Abgrenzung verschiedener Versagensursachen (S 11.15)

25

Festigkeitsrechnung: Festigkeitsbedingung

S

C

W

MGzul

t

tmax ==

oder:S

Ck GzulmaxVmax ==

l2

dGmax

=

Verformungsbedingung

=l

0

zulp

t dxIG

M [rad] bei Rotationssymmetrie:

p

t

IG

lM

=

7.3 Formnderungsenergie bei Torsi on (S 7.9)

Grundformel ==l

0

l

0 p

2t dx

IG2

MdUU

Dieses Resultat gilt fr rotationssymmetrische Querschnitte. Mit dem Torsionstrgheitsmoment Itanstelle I p

lsst es sich auf beliebige Querschnittsformen anwenden: =l

0 t

2t dx

IG2

MU

Beispiel: Zylindrischer Torsionsstab

W =2

1Mt =

p

tt

IG

lMM

2

1

=

p

2t

IG2

lM

= U

Satz von Castigliano

=

=

=

l

0

tt

t

l

0 t

2t dxMMM

IG1dx

IG2M

MMU [rad]

=l

0

t

t

tM dxF

M

IG

Mv

7.4 Physikalische Analogien (S 7.12)7.5 Nichtrotationssymmetri sche Querschnit te (S 7.13)

In Analogie zum rotationssymmetrischen Querschnitt:

t

tmax

WM= =

l

0 t

t dxIG

M =l

0 t

2t dx

IG2MU

Nherung:

=

n

1i Ipi

A4i40

1It Profil in Teilflchen aufteilen oder Tabelle im Dubbel Seite C28

G : Schubspannungs-GrenzwertG : Normalspannungs-GrenzwertS : Sicherheitsfaktork : Zahlenfaktor, abhngig von der gewhlten

Festigkeitshypothese (vgl. Absch. 5.5)NSH : k =1SSH : k =2GDH : k = 1+

GEH : k = 3



26/30

26

7.6 Torsion gekrmmter Stbe (S 7.17)

Spannungen:

t

ttmax W

Mkk ==

iR

Rk=

Verformungen: (Elementar)

Verlngerung:ds

IG

MRdRld

t

t

==

==s

0 t

ts

0

dsIG

MRldl bei R= konstant

s : Gesamtlnge des abgewickelten Stabes: s 2 Rn

Bei Schraubenfedern:

nG

MR2l

t

t2

= n: Windungszahl

Satz von Castigliano

=

=

=s

0

t

t

ts

0 t

2t ds

F

M

IG

Mds

IG2

M

FF

Ul ds = r d

R

Rk

i

=

R

Rk

i

=

=R

Rc;1Maxk

i3 c 3: siehe Dubbel C29 ( )0,1c743,0 3

35

11. Stabilittsprobleme

11.1 bersicht (S 11.1)Stabilittsbedingung FK: Kritische Belastung

K

Kzul

S

FFF = SK: Sicherheit gegen Instabilitt ( 4 10 )

Fr Hin- und Herbewegungen SK 1,8 2,5

11.2 Knicken unter Einzellasten (S 11.2) Beiblatt 17Knicklast nach EULER

22

22

Kl

IEk

s

IEF

=

=

l: Stablnge

s: freie Knicklnge (Beiblatt 15)

Bei der Bestimmung der freien Knicklnge den Stab immer vom Auf- und Seitenriss her betrachten!Anschliessend einsetzen des kritischeren Falles. (Je hher desto schlechter)

As

IE2

2K

=

As

I2

2K

=

Bestimmung der Knickebene

AEsiAE

sIEF

2

22

min

2

min2

2K

=

=

=

Schlankheitsgrad des Knickstabes s: freie Knicklnge

maxmaxi

s

I

As

=

= i =

A

I: Trgheitsradius der Querschnittsflche

: GeometriegrsseKnickebene:

2

1

>1: x,y Ebene

p0

E

=

0)

Tetmajer Formel: (vgl. Beiblatt 17)

{ }2o

PFFK cba +=

=

Zahlenwerte fr: a, b, c siehe Beiblatt 15

Fr Abschtzungen gilt: Zhe Werkstoffe: p E W 0,3 0,5 B p: Proportionalittsgrenze sprde Werkstoffe: p 2 W

( 0)Geschweifter Klammerausdruck kommt nur beigewissen Werkstoffen hinzu.



27/30

34

Mehrachsiger Spannungszustand: (erweitertes Hooksches Gesetz um die Wrmeausd. )

( )[ ] ++= zyxxE

1

( )[ ] ++= xzyyE

1

( )[ ] ++= yxzz E1

Die Schiebungen xy, yz, zxbleiben im isotropen Kontinuum von der Wrmedehnung unbeeinflusst.

Spannungen:

( )

++

++

=21

E

211

Ezyxxx

( )

++

++

=21

E

211

Ezyxyy

( )

++

++

=21

E

211

Ezyxzz

Keine Schubspannungen bei verhinderter Wrmedehnung! Nur Normalspannungen!Beispiel:Platte mit unregelmssiger Spannungsverteilung

0Z=

=2

0

h

z2

3

1

1

E)z(

0max1

E

3

1)0z(

=== Zug!

02h

min1

E

3

2)z(

=== Druck!

0m3

4= : Neutraltemperatur

Spannungsfreie Schicht: (z = zm) = 0: 577,0

3

1z

2

h ==

27

7.7 Torsion von Kreisscheiben (S 7.21)

)r(hr2

M

)r(A

)r(F2

u

u)r(

==

==ra

ri 2 )r(hr

dr

Gra2

M

ra

s

====ra

ri2

ra

ri

ra

ri

ra

ri)r(hr

dr

G2

Mdr)r(

G

1dr)r(dss

Scheibe gleicher Dicke: h(r) = h o=konstant

02 hr2

M)r(

=

rira

rira

Gh2

M

r

dr

Gh2

M

s 0

ra

ri2

0

==

rira

rira

Gh2

M

ra

s2

0

==

7.8 Weiterfhrende Hinweise zur Torsion (S 7.23)

gleicheDicke

gleicheSchubspannungen

Festigkeitslehre

8 S h i d B l t

Festigkeitslehre

10 Th l ti itt


28/30

28

8. Schwingende Belastung

8.1 Belastungsverlauf (S 8.1)o: Oberspannungu: Unterspannung

2uo

m+

= : Mittelspannung

2uo

a

= : Spannungsamplitude, -ausschlag

N : Lastspielzahl

Def:max

mR

= : Spannungsverhltnis

R > 0: hauptschlich ZugR < 0: hauptschlich Druck

R = 1,0: ruhende Belastung ( )1R1 R = 0,5: schwellende BelastungR = 0: wechselnde Belastung

8.2 Werkstoffverhalten (S 8.2)NG: Grenzlastspielzahl- Stahl: NG 10

6 10 7- Aluminium: NG 10

8(auch Polymerwerkstoffe)

Nherungskonstruktion fr Whlerkurve: S 8.3

8.3 Dauerfestigkeit (S 8.4)Dauerschwingfestigkeit

AmD =

Nherungskonstruktion eines Dauerfestigkeitsdiagramms siehe Skript 8.4

Bei schwellender Belastung:

2sch

A

=

Bei wechselnder Belastung:

wA =

8.4 Zeitfestigkeit (S 8.5))N()N( AmD = (N < N G)

8.5 Einflsse auf die Zeit- und Dauerfestigkeit (S 8.7)

33

10 Thermoelastizitt

10.1 Wrmeausdehnung (S 10.1)Lngenausdehnungd = d d : Temperaturdifferenz

: Ausgangslnge: linearer Wrmeausdehnungskoeffizient: Temperatur

= 2

1

dll

bei = konstant: = ll

Wrmeausdehnung:

=

=2

1

dl

l

Bei = konst.: =

=l

l

Gesamtdehnung: = mech +

10.2 Wrmespannungen (S 10.2)

Einachsiger SpannungszustandBei vollstndiger Behinderung der Wrmeausdehnung gilt:

== 2

1

dEE == AEAF Bei = konstant

Bsp.: Spiel- und spannungsloser Einbau eines Stabes:

)m(EEE ===

)m(AEAF ==

12

2112m FF

FF

= 1: obere Temperatur F1: Kraft bei 1

2: untere Temperatur F2: Kraft bei 2

m1

1 1

E

FA

=

m: Temperatur bei der keine Spannung herrscht

A: Querschnittsflche des Stabes

Bsp.: Schraubenverbindung

22

22

11

11F2F1

AE

lFl

AE

lFllllll

21

=

+==+= wobei F 1 = F 2 = F

+

=

2211

21

AE

1

AE

1F

1A

F1= (Zug)!!!

2A

F2 = (Druck)!!!

l2 (>l1)

l1 lF1

l

lF2

Festigkeitslehre

K b fi dli hk it hl (B ibl t t 14)

Festigkeitslehre


29/30

32

Kerbempfindlichkeitszahl K (Beiblat t 14)

1

1

K

KK

=

K= 1 bei K= K: Werkstoff extrem kerbempfindlich

K= 0 bei K= 1: Werkstoff extrem kerbunempfindlich

)1(1 kKK +=

Sttzwirkung ( Beiblatt 10)G0 +=

: spezifisches Spannungsgeflle0: Spannungsgeflle der BeanspruchungG: Spannungsgeflle der Kerbgeometrie (nicht direkt ermittelbar)

Werkstoffeinfluss:

K*

0*

K1

1

+

+= *: Radius der Ersatzkerbe (Beiblatt 10)

Festigkeitsrechnung

Einfache Beanspruchung: (nur Zug ; Biegung oder Torsion alleine)

F

FzulanKmnK0

S

=+=

anKmnKU = (gilt nicht bei schwellender Belastung)

( )B

B

F

Fzuluomax

Soder

S,Max

==

( )DK

g0mA

D

Aa

aa

S

bb

SA

Fmax

K

zulnn

=

== bei Zug / Druck

( )DK

g0

mAD

A

ab

baa S

bb

SW

Mmax

K

zulnn

=

== bei Biegung

b

mm

W

Mn=

A

FmKnmKmaxm

==

w

sch

A:dlnwechse

2:schwellend

:

( Beiblatt 3 / 4)

9.4 Gestaltfestigkeit (S 9.12)

9.5 Weiterfhrende Hinweise zur Kerbwirkung (S 9.13)

an: Nennamplitudemn: Nennmittelspannung

29

8.6 Festigkeitsrechnung (S 8.8)

8.6.1 Einachsiger SpannungszustandGrundidee: Getrennte Betrachtung des ruhenden und des schwingenden Belastungsanteils. Dementsprechendbestehen 2 Festigkeitsbeding ungen: Maximale Spannung

( )F

Fzulu0

max S,Max

== : Fliessen (

B

B

S

: Bruch)

Spannungsamplitude (vgl. Beiblatt 4)

gOD

mAa

b

aa bb

S

)N,(

W

Mzul

==

Bei gekerbten Werkstcken:

DK

gOA

D

KAaan S

bb

Szul

=

=

SD 1,5 1,8 : Sicherheit gegen DauerbruchbO: Oberflchenwirkungszahl (vgl. Beiblatt 11) Fr sprde Werkstoffe: bO= 1,0

bg: Grssenbeiwert (vgl Beiblatt 11) Fr Zug bg= 1

Bestimmung der zulssigen Spannungsamplitude vgl. Beiblatt 4

8.6.2 Mehrachsige Schwingbeanspruchung (S 8.10)

8.7 Weiterfhrende Hinweise zur schwingenden Belastung (S 8.12)


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Documents

Festigkeitslehre.pdf