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Fokus Mathematik Baden-WürttembergKursstufe - Lehrerfassung
Probekapitel 2.1 „Flächen, Bestände und Wirkungen“
ISBN 978-3-06-009195-9
Hinweis:Änderungen gegenüber der Prüfauflage desSchülerbuches sind mit dicken roten Ausrufezeichengekennzeichnet.
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48
2 Das IntegralAufträge
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen
Auftrag 1 Auf und Ab
Ein Fahrstuhl beginnt seine Fahrt im Erdgeschoss, hält kurz im 2. Stock, fährt weiter in den dritten Stock und nach einem kurzen Stopp direkt in die Tiefgarage. Bild 48/1 zeigt das zuge-hörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm in idealisierter Form (die Beschleunigungs- und Brems phasen werden vernachlässigt). Wie hoch liegt der 3. Stock über dem Erdgeschoss und wie tief die Tiefgarage unter dem Erdgeschoss?
Das Diagramm im Bild 48/2 gehört zu einem Heißluftballon, dessen Steig- und Sinkge-schwindigkeit aufgezeichnet wurde.Geben Sie für den Ballon eine obere Schran-ke für die Höhe an, die er nach einer Minute erreicht hat. Ermitteln Sie zudem aus dem Graphen möglichst genaue Werte für die Höhe des Ballons nach 40, 60 und 80 Sekun-den, wenn er zum Zeitpunkt t = 0 startet.Erläutern Sie hierzu zunächst die Bedeutung der Rechtecksflächen im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm des Aufzugs und entwickeln Sie anschließend eine Strategie, die es Ihnen erlaubt, Näherungswerte für den Höhenzu-wachs des Ballons zu ermitteln.
Auftrag 2 WasservorräteEin 600 m 3 fassendes Wasserreservoir ist zu 2 _ 3 gefüllt und kann über einen Kanal von einem vorbeifließenden Fluss gefüllt und über einen anderen Kanal in diesen Fluss entleert werden. Mithilfe von Schiebern können die Zu- bzw. Abflussmengen stufenlos geregelt werden. Um das gespeicherte Wasser durch Frisch-wasser zu ersetzen, wird das volle Becken zunächst teilweise entleert und dann wieder aufgefüllt. Bild 48/3 beschreibt diesen Aus-tausch. Skizzieren Sie den Wasserinhalt des Beckens in Abhängigkeit von der Zeit.
Arbeitsblatt 048-12
2,0
1,5
1,0
0,5
−0,5
−1,0
−1,5
t(s)0
4 6 8 10 14 16 18 20 2212
v( )ms
48/1
48/2
90
60
30
−30t (min)2 4 6 8 10 12 14
Zu- und Abussrate ( )m3
min
48/3
Arbeitsblatt 048-2
LÖ Der 3. Stock liegt 8,4 m über dem Erdgeschoss, die Tiefgarage liegt 4,2 m unter dem Erdgeschoss.
DE Für SuS ist es einsichtiger, zunächst die kons-tanten Zu- und Abflussraten zu betrachten.
49
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen Aufträge
Bei einem Stausee, der von mehreren Bächen und Flüssen gespeist wird und dem gleichzei-tig mit einer veränderlichen Rate Wasser ent-nommen wird, könnte die Zuflussrate im Jahresverlauf etwa wie im Bild 49/1 ausse-hen. Beschreiben und begründen Sie den Ver-lauf dieses Graphen und erläutern Sie, wie Sie nun vorgehen können, um die Füllmenge des Stausees zu verschiedenen Zeitpunkten zu bestimmen.
Auftrag 3 MittelwerteDie nebenstehende Ta belle gibt die Luft-temperaturen wieder, die am 25. Juni 2008 von der Wetterstation der freien Waldorf-schule Wendelstein gemessen wurden.Zusätzlich hat ein Temperaturschreiber den zeitlichen Tem-peraturverlauf an diesem Tag in einem Diagramm festgehal-ten (Bild 49/2). Berechnen Sie nach den drei in der Info angegebenen Metho-den die mittlere Ta ges temperatur.
Die drei Werte unterscheiden sich erheblich und berücksichtigen nur ungenau den Temperaturverlauf, den der Temperaturschreiber aufge-zeichnet hat. Benennen Sie Vor- und Nachteile der verschiedenen Berechnungs-methoden. Zeichnen Sie dazu zu der angegebenen Temperaturtabelle ein Säulendiagramm und überlegen Sie, wie der Wert T 3 mit diesem Diagramm zusammenhängt.
Wie gewinnt man nach diesen Überlegungen die mittlere Tagestemperatur für den 4. Januar 2008 aus der Temperaturkurve für diesen Tag (Bild 49/3)?Sind die Messwerte realistisch? Wo liegen Fehlerquellen?
49/1
Uhrzeit Temp.in °C
00:0001:0002:0003:0004:0005:0006:0007:0008:0009:0010:0011:0012:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00
8,816,916,716,416,216,316,817,520,020,520,520,520,520,530,930,728,024,424,424,424,424,424,424,4
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
T(°C)
Uhrzeit
4 6 8 10 12 14 16 18 20 222
49/2
INFO
Um die mittlere Tages temperatur zu berechnen, verwenden Meteorologen ver-schiedene Methoden:(1) Man berechnet das arithmetische Mittel T 1 der höchsten und der tiefsten Tagestempera-tur. (2) Man berechnet das gewichtete arithmeti-sche Mittel T 2 der Temperaturen um 7:00 Uhr, 14:00 Uhr und 21:00 Uhr, wobei die ersten beiden Tempe-raturen einfach und die letzte Temperatur dop-pelt gewichtet werden.(3) Man berechnet das arithmetische Mittel T 3 der stündlich gemesse-nen Temperaturen von 0:00 Uhr bis 23:00 Uhr.
Arbeitsblatt 049-1
2,0
−2,0
−4,0
−6,0
Uhrzeit
2 4 6 8 10 12 14
T(°C)
16 18 20
49/3
▶ Auftrag 1 wird bei der Erarbei-tung verwendet.
Zu- und Ab�ussrate
Januar Dezember
LÖ Hinweis: In den Wintermonaten positive Zuflussrate durch verstärkten Niederschlag und Schneeschmelze; in den Sommer-monaten negative Zuflussrate durch geringen Nieder-schlag.Vorgehen: Stück-weise lineare Nähe-rungsfunktionen und Rechteckflä-chen zur Darstel-lung der Zu- und Abflussmengen.
LÖ T 1 = 19,85 °C; T 2 = 24,30 °C; T 3 = 21,1875 °C
Erarbeitung
50
2 Das Integral
▶ Produkte und FlächenDer gesuchte zurückgelegte Weg des Aufzugs ist jeweils das Produkt aus der Länge des Zeit-intervalls und der Geschwindigkeit. Für die drei Etappen der Aufzugfahrt lassen sich deshalb die zurückgelegten Wege einzeln berechnen, und es zeigt sich, dass der 3. Stock 8,4 m über dem Erdgeschoss und die Tiefgarage 4,2 m unter dem Erdgeschoss liegen.
Etappe Länge des Zeit inter-valls
Geschwin-digkeit
zurückgelegter Weg Bedeutung Entfernung zum EG
1 4 s 1,4 m __ s 4 s ∙ 1,4 m __ s = 5,6 m Weg nach oben 5,6 m
2 2 s 1,4 m __ s 2 s ∙ 1,4 m __ s = 2,8 m Weg nach oben 8,4 m
3 9 s −1,4 m __ s 9 s ∙ ( −1,4 m __ s ) = −12,6 m Weg nach unten − 4,2 m
Produkte von zwei Faktoren lassen sich geometrisch immer als Rechteckflächen deuten (Länge × Breite) – so auch die Produkte aus Länge des Zeitintervalls und Geschwindigkeit. Beispielsweise entspricht der zurückgelegte Weg
s2 = 2 s ∙ 1,4 m __ s = 2,8 m in der zweiten Etappe des Aufzugs dem Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen und der t-Achse. Dies wird auch dadurch deutlich, dass unter Berücksichti-gung der Achseneinheiten das Produkt die Einheit einer Länge hat.
▶ Das Problem der krummlinigen BegrenzungUm beim Heißluftballon den Höhenzuwachs innerhalb einer Zeitspanne zu berechnen, müss-te auch hier das Produkt aus Geschwindigkeit und Länge des Zeitintervalls berechnet werden. Jedoch ändert sich die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit ständig mit der Zeit, sodass kein kon-stanter Wert für die Geschwindigkeit benutzt werden kann.
Wenn man stark vereinfacht annimmt, der Ballon würde über 60 Sekunden konstant mit seiner maximalen Steiggeschwindigkeit stei-gen, so ließe sich als eine obere Schranke für die maximale Höhe Dh max = 60 s ∙ 2,5 m __ s = 150 m berechnen. Dieser Wert entspricht wieder dem Flächen-inhalt des eingefärbten Rechtecks in Bild 50/2.
Um genauere Werte für den Höhenzuwachs berechnen zu können, lässt sich der Verlauf des Graphen näherungsweise durch stückwei-se konstante Geschwindigkeiten beschreiben (siehe Bild 50/3). So entsteht eine Treppen-funktion, die berechenbare Rechteckflächen mit der t-Achse einschließt, und es erlaubt, näherungsweise den tatsächlichen Höhenzu-wachs zu bestimmen:
8 10 12
2s
1,4
m s
50/1 AusschnittausBild48/1
3,0
2,0
1,0
t(s)
v( )ms
10 20 30 40 50 60 700
50/2
3,0
2,0
1,0
t(s)
v( )ms
10 20 30 40 50 60 700
50/3
Erarbeitung
51
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen
Innerhalb der ersten Sekunden hätte der Ballon so 5 s · 0,4 m __ s = 2 m und zwischen der z. B. 15. und 20. Sekunde 5 s · 2,05 m __ s ≈ 10 m an Höhe gewonnen. Insgesamt:
h (40) = 5 · 0,4 + 5 · 1,1 + 5 · 1,7 + 5 · 2,05 + 5 · 2,3 + 5 · 2,4 + 5 · 2,5 + 5 · 2,5 ≈ 75und entsprechend h (60) ≈ 105.
105, der Näherungswert für h (60), ist zugleich ein Näherungswert für den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von v (t) und der x-Achse, und für eine immer feinere Einteilung der Intervalle erhält man Näherungswerte mit immer größerer Genauigkeit. h (60) ist also gleich dem Inhalt der vom Graphen und der t-Achse eingeschlossenen Fläche.
▶ Produktsummen und IntegralSowohl die Fläche unter dem Funktionsgra-phen als auch die Höhe h (t) des Ballons las-sen sich näherungsweise durch Summen von Produkten berechnen, wobei jeder Summand dem Inhalt einer Rechteckfläche entspricht: Die Breite jedes Rechtecks ergibt sich aus der Intervalleinteilung der t- bzw. x-Achse, seine Höhe ist ein Funktionswert der Funktion in diesem Teilintervall. Solche Summen heißen Produktsummen.
Definition
2.1Ist P 1, P 2 ,… eine Folge von Produktsummen einer Funktion f zu einer beliebig fein werdenden Einteilung des Intervalls [a, b], so schreibt man für den Grenz-wert dieser Folge
lim/n → ∞ Pn= ∫ a
b
f (x) d x
(Gesprochen: „Integral von a bis b, f von x d x''.)a und b heißen untere bzw. obere Grenze des Integrals.
Mithilfe des Integrals lässt sich der Inhalt der von einem Graphen f oberhalb der x-Achse im Intervall [a; b] eingeschlossene Fläche A berechnen:
A = ∫ a
b
f (x) d x
In diesem Abschnitt sind genaue Berechnungen von Integralen für stückweise lineare Funktio-nen möglich. In den Fällen, in denen die Fläche durch eine krummlinige Funktion begrenzt wird, lassen sich zunächst nur Näherungswerte bestimmen.
Im nächsten Abschnitt werden aber Methoden erarbeitet, die auch hierfür exakte Lösungen möglich machen.
HINWEIS
Auf der Doppelseite 60/61 wird das Verfah-ren zur Bestimmung von Flächen unter Gra-phen mittels Grenz-wertbetrachtungen genauer erläutert.
Pn = A1+ A2+ ... + Anf (x)
a b x
A1
An
Dx Dx Dx Dx
A3= Dx · f (x3)
f(x 3
)
x3
51/1 ProduktsummePn(imBeispieln=4)
f (x)
a b x
A
51/2
HINWEIS
Ein Beispiel für die Berechnung eines sol-chen Grenzwertes von Produktsummen finden Sie auf Seite 60/61.
Erarbeitung
52
2 Das Integral
▶ Die Integralfunktion als FlächenbilanzUm die Höhe des Heißluftballons zu einem beliebigen Zeitpunkt x angeben zu können, wird die obere Grenze des Integrals durch die Variable x ersetzt, so dass eine Funktion entsteht.
Definition
2.2 Fa(x) = ∫ a
x
f (t) d t
heißt Integralfunktion Fa zu f mit dem Startwert a, die Funktion f heißt Integrand.
Für die bisher ermittelten Näherungswerte kann demnach geschrieben werden:
h (40) = ∫ 0
40
f (t) d t ≈ 75 und h (60) = ∫ 0
60
f (t) d t ≈ 105.
Der Heißluftballon hat im Zeitintervall 60 s < t < 80 s negative Geschwindigkeitswer-te, d. h., er sinkt und damit ist sein Höhenzu-wachs negativ. Da der Höhenzuwachs des Ballons der Fläche unter dem Graphen in die-sem Intervall entspricht, wird auch die Maß-zahl für den Flächeninhalt mit einem negati-ven Vorzeichen versehen. Auch mithilfe der Trep penfunktion ergibt sich für das Zeitintervall 60 s < t < 80 s ein negativer Näherungswert für den Höhenzu-wachs, da in der Produktsumme die Intervall-längen stets positiv und die Funktionswerte stets negativ sind: ein Höhenzuwachs von etwa − 30 m.
Für das Intervall [60; 80] ist ∫ 60
80
f (t) d t ≈ − 30.
Als „Bilanz“ für die Höhe des Ballons nach 80 Sekunden ergibt sich h (80) ≈ 105 − 30 = 75.
Man schreibt: h (80) = ∫ 0
80
f (t) d t ≈ 75.
Satz
2.1Nimmt der Integrand f auch negative Funktionswerte an, so gibt die Integral-funktion eine Flächenbilanz an, da die Maßzahlen von Flächen unterhalb der t-Achse mit negativen Vorzeichen versehen werden.
HINWEIS
x, die variable obere Grenze, ist die Funktionsvariable der Integralfunktion Fa.Zur Unterscheidung davon wird hier die Funktionsvariable der Integrandenfunktion fmit t bezeichnet.
3,0
2,0
1,0
−1,0
−2,0
−3,0
−4,0
t(s)
v( )ms
10 20 30 40 50 60 700
+
−
52/1
53
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen Aufgaben
Aufgaben
Trainieren Anwenden Vernetzen
1 Skizzieren und berechnen Sie.
a) ∫ 2
4
1,5 d t b) ∫ 0
3
1 _ 4 x d x c) ∫ 0
6
1 _ 3 td t d) ∫ −1
1
(2 u + 3) d u
2 Berechnen Sie die Flächenbilanz zwischen dem Funktionsgraphen zu f (t) = 1 _ 4 t − 2 und der t-Achse für das angegebene Intervall.a) [8; 12] b) [0; 4] c) [0; 16] d) [− 3; 15]
3 Bestimmen Sie die Integralfunktion Fa(x) zu der Funktion f mit f (t) = 1 _ 2 t + 2 für den gege-benen Startwert.a) a = − 4 b) a = 0 c) a = 2
4 Flächeninhalt und Flächenbilanza) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Flächeninhalt und Flächenbilanz.b) Unter welchen Bedingungen ist die Flächenbilanz dasselbe wie der Flächeninhalt?
5 Berechnen Sie für die durch ihren Graphen gegebene Funktion das Integral ∫ a
b
f (x) d x.
a)
b)
c)
d)
6 Bestimmen Sie ∫ 1
6
f (x) d x
näherungsweise aus dem Gra-phen der Funktion fin den Bil-dern 53/5 und 53/6, indem Sie die gesuchten Flächen durch Rechtecke der Breite 1 LE (0,5 LE) ausfüllen.
53/1
x
y
0
2
2 4−1−2−3 1 3
1
5 b
3
a
53/2
x
y
2
1
1
−1
−2
2 3 4 7−1−2−3
ba
65
53/3
x
y2
10
1
−1
−2
2 3 4 5 7−1−2 6
b
a
53/4
x
y
0
2
2 41 3−1
−2
1
65 7 8 9
ba
Arbeitsblatt mit beiden Schaubildern 053-1
x
y
2
0
1
−1
−2
2 3 4 5−1
4
3
6
5
1 x
y
2
10
1
−1
−2
2 3 4 5−1
4
3
6
5
53/5 53/6
LÖ 1a) 3; b) 9 _ 8 ; c) 6; d) 6
LÖ 2a) 2; b) −6; c) 0; d) −9
LÖ 3a) F − 4 (x) = 1 _ 4 x 2 + 2 x + 4;
b) F 0 (x) = 1 _ 4 x 2 + 2 x;
c) F 2 (x) = 1 _ 4 x 2 + 2 x − 5
LÖ 4a) Flächenbilanz: Flächenstücke un-terhalb der x-Achse werden negativ ge-rechnet.b) Der Graph muss vollständig ober-halb der x-Achse verlaufen.
LÖ 5a) 27; b) 3 + 1 _
6 ;
c) −13,5; d) − 7 _ 4
LÖ Bild 53/6: I ≈ −3 LE bzw. I ≈ −3 − 3 _ 8 LE
Bild 53/5: I ≈ 5,5 LE bzw. I ≈ 8,25 LE
! Abbildungen 53/5 und 53/6 getauscht.
54
2 Das IntegralAufgaben
7 Welcher Graph der Integralfunktionen gehört zu welchem Graphen des Integranden? Be-gründen Sie.
F0 (x)
f (x)
Noch fit?
I Bestimmen Sie das Intervall I, in dem der Graph der Funktion f monoton steigt (fällt).a) f (x) = − 2 x 2 + 8 x − 9 b) f (x) = 1 _ 3 x 3 + 3 x 2 + 5 x − 8
II Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktionen f.a) f (x) = x 2 + 4 x − 5
b) f (x) = 1 _ 8 x 4 + x 3 − 4 x 2 + 2
c) f (x) = − 3 _ 4 x 4 + 4 x 3
d) f (x) = x 3 + 15 x 2 + 75 x + 6
III Die Funktion f mit f(t) = 0,001 t 3 − 0,06t 2 + 0,9 t beschreibt modellhaft die Wirkstoffkonzentration in
mg __ l
eines Medikamentes im Blut eines Patienten in den ersten 30 Stunden nach der Einnahme.a) Beschreiben Sie anhand des Graphen
die Entwicklung der Wirkstoffkonzen-tration in den ersten 30 Stunden (s. Bild 54/7).
b) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wirkstoffkonzentration am stärksten ab-nimmt und um wie viel
mg __ l pro Stunde sie zu diesem Zeitpunkt abnimmt.
c) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wirkstoffkonzentration im Blut um 0,375 mg
__ l pro Stunde zunimmt.
54/7
54321
−1−2
f (t)
4 8 2012 16
t
24 28
x
y
0,50−0,5
1 1,5 2 2,5
2,5
3
1,5
0,5
1
2
3,5
4
54/1 Graph1
y
−0,5
x
0,50 1 1,5 2 2,5
−1
−1,5
2,5
3
1,5
0,5
1
2
54/2 Graph2
y
−3
0,5
1
−1
−2,5
−3,5
–0,5
−1,5
−2
x
0 1 1,5 2 2,50,5
54/3 Graph3
x
y
1
0,50
0,5
−0,5
−1
1 1,5 2 2,5
2
1,5
2,5
54/4 Graph4
x
y
0,50
−2
−2,5
1 1,5 2 2,5
0,5
1
−0,5
−1,5
−1
54/5 Graph5
x
y
0,50−0,5
1 1,5 2 2,5
2,5
3
1,5
0,5
1
2
54/6 Graph6
LÖ Zusammen ge-hören die Graphen 2 und 4; 3 und 5 sowie 1 und 6.
LÖ I a) Für x < 2 steigt der Graph monoton, für x > 2 fällt der Graph monoton.b) Für 1 < x < 5 fällt der Graph monoton, sonst steigt er.LÖ II Sattelpunk-te, Hoch- und Tief-punkte:a) T (−2 | −9)b) T(−8 | −254); H (0 | 2); T(2 | − 4)c) S(0 | 0); H(4 | 64)d) S(−5 | −119)LÖ III a) Zum Zeitpunkt null befindet sich kein Wirkstoff im Blut des Patienten. Danach steigt die Wirkstoffkonzen-tration an, bis sie nach 10 Stunden einen maximalen Wert von 4 mg/l erreicht hat. An-schließend fällt sie ab, bis sie nach 30 Stunden einen Wert von nahezu 0 mg/l erreicht.b) Am stärksten nimmt die Wirk-stoffkonzentration 20 Stunden nach Einnahme ab. Die Abnahme beträgt −0,3 mg/l.c) 5 Stunden nach Einnahme nimmt die Wirkstoffkon-zentration um 0,375 mg/l pro Stunde zu.
55
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen Aufgaben
Trainieren Anwenden Vernetzen
8 Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = c die Integralfunktion Fa(x)=∫a
x
f (t) d t.
9 Begründen Sie anschaulich und ggf. anhand von geeigneten Skizzen die folgenden Eigen-schaften der Integralfunktion.
a) ∫a
a
f (t) d t = 0 b) ∫a
b
f (t) d t + ∫b
c
f (t) d t = ∫a
c
f (t) d t
c) Sind M und m das Maximum bzw. Minimum von f auf dem Intervall [a; b], so gilt:
m(b − a) ≤∫a
b
f (t) d t ≤ M(b − a).
10 Berechnen Sie für f(x) = 2 x − 3 die folgenden Integrale.
a) ∫ 2
4
f (x) d x
b) ∫ 2
2,5
f (x) d x+∫ 2,5
4
f (x) d x
c) ∫ 2
9
f (x) d x−∫ 4
9
f (x) d x
d) ∫ 1
3
f (x) d x+∫ 3
4
f (x) d x+∫ 4
7
f (x) d x
11 Geben Sie für die Integrale jeweils eine untere und eine obere Schranke an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis am Graphen des Integranden.
a) ∫ 0
4
( 1 _ 8 x 2 + 2 ) d x b) ∫ −1
3
( 1 _ 8 x 2 + 2 ) d x c) ∫ − 2
1
( 1 __ 24 x 4 − 1 _ 9 x 3 − 1 _ 4 x 2 + 2 ) d x
12 Bestimmen Sie näherungsweise folgende Integrale, indem Sie die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen mit Rechtecken der Breite 0,5 cm füllen.
a) ∫ 1
3
( − 1 _ 5 x 2 + 2 ) d x b) ∫ 0
2
( 1 __ 20 x 4 + 1 ) d x
13 Interpretieren Sie das Integral ∫ − 4
4
√ _______
16 − x 2 d x geometrisch und geben Sie seinen Wert an.
14 Bestimmen Sie eine reelle Zahl k mit ∫ k
4 k
x d x =15 .
15 Berechnen Sie ∫a
b
f (x) d x für die Funk-
tion f, deren Graph im Bild 55/1 dargestellt ist und sich aus Geradenstücken und einem Kreisbogen zusammensetzt.a) im Intervall I= [2; 6]b) im Intervall I= [0; 8]c) Wie weit müsste der Graph von f nach
oben verschoben werden, damit die Flächenbilanz im Intervall I= [0; 8] null ist?
16 Ein frei fallender Körper erhöht bei Vernachlässigung der Reibung in jeder Sekunde seine Fallgeschwindigkeit um ca. 10 m __ s . Berechnen Sie hieraus die Fallstrecken s eines Körpers für die ersten 3 Sekunden des Falls in 0,2-Sekunden-Schritten und fertigen hieraus ein s-t-Dia-gramm an.
x
y
0
1
−1
−2
1 32 4 5 7−1 6
M−3
8
55/1
LÖ Fa(x) = c · (x − a)
LÖ 9c) Die Flä-che, die der Graph zwischen a und b mit der x-Achse einschließt, ist grö-ßer als das Recht-eck m · (b − a) und kleiner als das Rechteck M · (b − a).
LÖ 6
LÖ 6
LÖ 6
LÖ 30
LÖ 11a) f(0) · 4 = 8 < Int. < 16 = f(4) · 4b) f(0) · 4 = 8 < Int. < 12,5 = f(3) · 4c) f (1) · 3 = 5,04 < Int. < 7,67 = f(−2) · 3
DE 11c) ist deutlich anspruchsvoller als a) und b). Ein Funktionenplotter ist hilfreich. Sonst Extremwert-bestimmung mit Randextrema.
DE Einsatz einer Tabellenkalkulation ist möglich. Hierdurch wären durch Verfeine-rung der Schrittweite auch genauere Lösun-gen möglich (vgl. Aufgabe 33, S. 58).
LÖ Aufgabe 13:Der Graph der Funktion
f(x) = √ _______
16 − x 2 ist ein Halbkreis mit Radius r = 4.Das Integral beträgt somit 1 _ 2 · p · 4 2 = 8 · p.
LÖ k = √ __
2
DE Aufgabe 15c) ist deutlich an-spruchsvoller als a) und b).LÖ 15a) 2 · p − 4 ≈ 2,28b) 2 · p − 8 ≈ -1,72c) h = 1 − p__ 4 ≈ 0,21
DE Einsatz einer Tabellenkalkulation ist sinnvoll.
!
56
2 Das IntegralAufgaben
17 Berechnen Sie den Mittelwert __
y von y1 = 3, y2 = 5, y3 = 4 und y4 = 1. Die Werte sind im Bild 56/1 als Säulendia-gramm mit Säulenbreite 1 LE dargestellt. Ein solches Histogramm lässt sich als Graph einer Treppenfunktion f interpretieren.Begründen Sie, warum der Mittelwert auch
mit __
y = 1 ____ 7 − 3 ∫ 3
7
f (x) d x berechnet werden kann.
18 Berechnen des Mittelwerts einer Funk tion (siehe Info)a) Interpretieren Sie diesen Mittelwert geo-
metrisch.b) Begründen Sie, dass man das arithmetische Mittel endlich vieler reeller Zahlen als Spezial-
fall dieses Mittelwertes auffassen kann.
19 Berechnen Sie den Mittelwert der Funktion f in dem angegebenen Intervall.a) f (x) = x; I = [0; 6] b) f (x) = | x|; I = [− 4; 4] c) f (x) = 2 x 3 − 3 x; I = [− 2; 2]
20 Bestimmen Sie möglichst genau die mittlere Tagestemperatur für die Temperaturkurve im Bild 56/2.
21 Das Diagramm im Bild 56/3 zeigt den Graphen der Geschwindigkeits-Zeit-Funk tion einer Rangierlok in einem Zeitraum von 20 s. Bestimmen Sie möglichst genau, wo sich die Rangierlok nach 20 s im Vergleich zu ihrem Startpunkt befindet und welche Wegstrecke sie bis dahin zurückgelegt hat.
22 Erdgaslieferungen vom Herkunftsland Promptreich zum Verbraucherland Ödland unterliegen immer wieder Schwankungen. Deshalb haben die Verantwortlichen in Öd-land eine Messstelle in die Pipeline einge-baut, die zu jedem Zeitpunkt die momentane Durchflussmenge an Erdgas anzeigt. Ein an-geschlossener Schreiber zeichnet die gemes-senen Werte auf (siehe Bild 56/4).
(FortsetzungderAufgabeaufSeite57)
56/1
INFO
Mittelwert einer Funktion Schließt der Graph einer Funktion f im Intervall [a; b] (a < b)mit der x-Achse eines oder mehrere Flächen-stücke ein, so lässt sich
mit 1 ____ b − a
∫a
b
f(x) d x
ein Mittelwert der Funktion f über [a; b] berechnen.
2
1
−1
−2
−3
−4
−5
2 4 6 8 10 12 140 16 18 20 22
Uhrzeit
T(°C)
t(s)
v( )ms
6
4
2
–2
–4
–6
–8
2 4 6 8 10 12 140 16 18 20 22
56/2 56/3
Arbeitsblatt 056-1 mit den Diagrammen zu den Aufgaben 20, 21 und 22.
800
700
600
500
400
300
200
100
2 4 6 8 10 12 140 16 18 20 22
Zeit (h)
momentane Durch�ussmenge (1000 )m3
h
56/4
5
4
3
2
1
y
1 2 53 4 x6 70
f
DE Bei Aufgabe 19c) lässt sich die Symmetrie des Graphen ausnutzen. Gute Möglichkeit, weitere Auswirkun-gen von Symmet-rieeigenschaften auf Integrale zu thematisieren. LÖ Mittlere Tagestemperatur:
ca. −1,6 °C
LÖ Die Lok ist nach 20 Sekunden ca. 1,5 m vom Startpunkt entfernt und hat in diesen 20 s eine Strecke von ca. 53,5 m zurückgelegt.
57
2.1 Flächen, Bestände und Wirkungen Aufgaben
a) Wie hoch war in dem angegebenen Zeitraum die maximale bzw. die minimale Durchflussmenge?
b) Bestimmen Sie möglichst genau die Erdgasmenge, die in dem angegebenen Zeitraum ge-liefert wurde.
c) Wie groß war die durchschnittliche Durchflussmenge an diesem Tag?
23 Um die Wirkungsweise eines sogenannten Depot-Medikamentes zu untersuchen, nehmen zwei freiwillige Probanden A und B eine Tablette mit einem gewissen Wirkstoff ein. Es soll untersucht werden, von welchen Faktoren es abhängt, wie lange der Wirkstoff im Körper der Patienten verbleibt. Hierzu wird bei den beiden Probanden über einen Zeitraum von insgesamt 6 Monaten mehrfach die Menge des über den Urin ausgeschiedenen Wirkstoffs gemessen.
Zeit in Tagen 1 2 60 120 150 180Menge des Wirkstoffs in mg/Tag – A 3,5 3,4 1,8 0,8 0,5 0,4Menge des Wirkstoffs in mg/Tag – B 2,9 3,0 2,8 2,8 2,7 2,6
a) Bestimmen Sie näherungsweise die Gesamtmenge des ausgeschiedenen Wirkstoffs für die beiden Probanden A und B.
b) Erläutern Sie Ihren Rechenweg und über-legen Sie, ob sich die Berechnung noch verbessern lässt.
24 Während des Entladens eines Kondensa-tors wurde der zeitliche Verlauf der Strom-stärke Iregistriert (siehe Bild 57/1). Bestim-Bestim-men Sie möglichst genau, wie viel Ladung vom Kondensator abgeflossen ist.
25 Es gibt in der Physik und anderen Fachgebieten Funktionen, deren Integralfunktionen ebenfalls eine inhaltliche Bedeutung haben. Ergänzen Sie die Tabelle und suchen Sie weitere Beispiele.
Bedeutung der Integrandenfunktion Bedeutung der IntegralfunktionenGeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
Volumen des abgeflossenen Mediums
Kraft in Abhängigkeit vom Weg
Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
Kosten in Abhängigkeit von der produ-zierten Stückzahl
26 Begründen Sie, warum die Gleichung ∫ 0
k
( x 2 + 1 ) d x = 0 für positive k nicht erfüllbar ist.
27 Begründen Sie: Zwei Integralfunktionen zu einer Funktion f mit verschiedenen Startwerten a1 und a2 unterscheiden sich stets nur um einen konstanten Summanden. Welche geometrische Bedeutung hat dieser?
3
2
1
1 2 3 4 5 6 70 8 9 10 11
t (ms)
I (A)
57/1
INFO
Ein elektrischer Strom ist fließende Ladung. Die Stromstärke I gibt an, wie viel Ladung Q in einem Zeitintervall t fließt. Ladungen wer-den in C (Coulomb) und die Stromstärke I in A (Ampère) gemes-
sen. Es gilt: I= Q
__t und für die Einheiten
1 A = 1 C ___ 1 s .
LÖ 22a) v min ≈ 250 000 m 3
__ h;
v max ≈ 750 000 m 3 __ h
b) 10,6 Mio m 3 c) ca. 442 000 m 3
__ h
LÖ 23a) A: ca. 300 μg; B: ca. 500 μgb) A: Trapezfläche; B: RechteckflächeVerbesserte Be-rechnung durch Zerlegung in Teil-flächen.
LÖ ca. 0,0085 C
Zurückgelegter Weg
LÖ Aufgabe 26: Der Graph zu f(x) ist eine nach oben geöffnete und nach oben verschobene Normalparabel, die für jedes Intervall eine positive Flä-che mit der x-Ach-se einschließt.
Geleistete Arbeit
Gesamtkosten der Produktion
Durchflussgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
!!
58
2 Das IntegralAufgaben
Trainieren Anwenden Vernetzen
28 Begründen Sie anhand des Bildes 58/1, dass unabhän-gig von der Lage der Graphen der Funktionen f und g im Koordinatensystem die folgende Aussage richtig ist: Ist f(x) ≤ g(x) für alle x aus einem Intervall [a; b], dann gilt
∫ a
b
f(x) d x ≤ ∫ a
b
g(x) d x.
29 Für die Ausdehnung einer Schraubenfeder gilt (in einem gewissen Bereich) das Hooke’sche Gesetz: Die Kraft F(s), die nötig ist, um die Feder um die Strecke s zu dehnen, ist direkt proportional zu s. Es gilt also: F(s) = D ∙ s. D ist eine für die jeweilige Feder charakteristische Größe, die Federkonstante.Eine Feder mit der Federkonstanten D = 0,15 N __ cm wird aus der Ruhelage gedehnt. a) Zeichnen Sie den Graphen der Kraftfunktion.
b) Berechnen Sie ∫ 0
20
F (s) d s. Welche Bedeutung hat dieses Integral?
30 Bestimmen Sie die oberen und unteren Schranken folgender Integrale. Bestimmen Sie, falls möglich, den genauen Wert der Integrale.
a) ∫ 0
p
1,2 ∙ sin(x) d x
b) ∫ 0
p
1,2 ∙ cos(x) d x
c) ∫ −1
1
(cos(x) +1) d x
d) ∫ −1
1
( 1 _ 3 x 3 − x)d x
e) ∫ −1
1
( 1 _ 8 x 2 + x + 2 ) d x
f) ∫ 0
2
( x 2 − 2 x + 2) d x
31 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 1 _ 8 x 3 .a) Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall I= [0; 4].b) Zeigen Sie, dass bei einer Zerlegung des Intervalls I in n Teilintervalle für den Funktionswert
an der i-ten Stelle gilt: f(xi) = 8 ∙ ( i_n) 3 .c) Stellen Sie einen allgemeinen Term auf, mit dem man die Summe der Rechteckflächen
unter dem Graphen von f berechnen könnte.d) Berechnen Sie den Grenzwert des in c) gefundenen Terms mit folgender Hilfe:
Für die Summe der ersten n Kubikzahlen gilt 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = ( n(n + 1) ______ 2 ) 2 .
32 Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x im Intervall I = [0; 5]. Verfahren Sie wie in Auf-gabe 31 und zeigen Sie, dass der Grenzwert der „Untersumme“ genau dem erwarteten Inhalt der Dreieckfläche entspricht.
33 Erstellen Sie mithilfe einer Tabellenkalkulation eine Wertetabelle für die Funktion f mit f(x) = x 3 − x 2 + 3 für x-Werte von 1 bis 3 in unterschiedlichen Schrittweiten. Be-stimmen Sie weiterhin näherungsweise die Fläche unter dem Graphen von f, indem Sie sowohl die Rechteckflächen (x i + 1 − xi) ∙ f(xi) als auch ( x i+ 1 − xi) · f ( xi+ 1 ) von der Soft-ware berechnen und aufsummieren lassen.a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen (x i + 1 − xi) ∙ f(xi)
und (x i + 1 − xi) ∙ f(xi + 1 ) für monoton steigende Graphen.b) Erläutern Sie den Einfluss der Schrittweite auf die durch-
geführten Berechnungen.
f g
58/1
10
8
6
4
2
1 2−1 30
y
xf(xi)
xi xi+1
58/2
DE Aufgabe 28:Anregung zur Bin-nendifferenzierung: Stufe I: x-Achse unterhalb der Gra-phen einzeichnen;Stufe II: x-Achse oberhalb der Gra-phen einzeichnen;Stufe III: x-Achse innerhalb der grau-en Fläche einzeich-nen.
LÖ 29b) Das Inte-gral hat den Wert
1 _ 2 · 3N · 20 cm =
30 Ncm = 0,3 Nm = 0,3 J. Das Integral entspricht der auf-zuwendenden Arbeit, die benö-tigt wird, um die Schrau benfeder auf eine Länge von 20 cm auszudehnen bzw. der in der Feder gespeicher-ten Energie.
LÖ 0 < Int. < 1,2 · p
LÖ Int = 0
LÖ 2 · cos (1) + 2 < Int. < 4
LÖ Int = 0
LÖ 2,25 < Int. < 6,25
LÖ 2 < Int. < 4
LÖ 31b) f( xi)
= f( i· 4 _ n) = 1 _ 8 · ( i · 4 _ n) 3 = 1 _ 8 · i
3 · 4 3 ____ n 3
= 4 3 __ 8 · ( i_n) 3 = 8 · ( i_n) 3 c) ∑
4 _ n · 8 · ( i_n) 3 = 32 __
n 4 · ∑
i 3
d) lim 32 __ n 4
· ∑
i 3
= lim 32 __ n 4
· ( n(n+ 1) ______ 2 ) 2
= lim 8 · [ n 4 + 2 n 3 + n 2 __________ n 4
] = lim 8 · ( 1 + 2 _ n + 1 __
n 2 )
= 8
LÖ Aufgabe 32:f( xi) = f( i · 5 ___ n ) = i · 5 ___ n , daher gilt für die Summe der Rechteckflächen:
∑
5 _ n · i · 5 ___ n = 25 __ n 2
· ∑
i = 25 __ n 2
· n(n+ 1)
______ 2 = 25 __ 2 · ( 1 + 1 _ n) → 25 __ 2 .
Das Dreieck hat die Grundseitenlänge 5 und die Höhe 5 und damit den Flächeninhalt 12,5.
LÖ 33a) Schrittweite 0,5; A = 16,5 FESchrittweite 0,25; A = 14,875 FESchrittweite 0,1; A = 13,94 FESchrittweite 0,01; A = 13,3934 FE
!
Projekt
59
Die Integralschreibweise nach Leibniz
Die Integralschreibweise nach Leibniz
Die Schreibweise des Integrals geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) zurück. Er erfasste die Fläche unter dem Funktionsgraphen durch immer schma lere Rechtecke, wie es an einem Beispiel auf Seite 60 gezeigt wird. Heute sagen wir: Wenn es immer mehr immer schmalere Rechtecke sind, nähert sich die Summe ihrer Flächeninhalte an einen Grenzwert an. Leibniz stellte sich vor, dass man irgendwann „unendlich viele unendlich schmale“ Rechtecke hätte. Deshalb bezeich-
nete er diesen Flächeninhalt mit ∫ a
b
f (x) d x.
Das Integralzeichen ∫ sollte an ein „S“ für Summe erinnern, und f (x) d x stand für das Produkt aus der Höhe f(x) und der „unendlich kleinen Breite“ d x des jeweiligen Rechtecks. Insgesamt bedeutete das Symbol: Der Flächeninhalt unter dem Graphen ist die Summe der Inhalte aller unendlich schmalen Rechtecke.
Diese Schreibweise hat seit Leibniz zu einem immensen Fortschritt in der Mathematik geführt und sie erweist sich bis heute als praktisch. Die ihr zugrunde liegende Vorstellung von unend-lich schma len Rechtecken ist jedoch unhaltbar.
Wie breit wären solche Rechtecke denn? Kann man sich sie als Strecken vorstellen? Haben sie also die Breite 0 und damit auch den Flächeninhalt 0? Und wie viel ist dann unendlich mal null?
Wie vertrackt die Rede vom „unendlich Kleinen“ ist, zeigt das durch die Höhe in ungleiche Teile geteilte Dreieck (siehe Bild 59/2):
Zu jeder senkrechten Strecke im rechten Dreieck lässt sich eine gleich lange Strecke im linken finden. Das rechte Dreieck enthält keine einzige Strecke mehr als das linke! Ergäben sich die Inhalte der Teildreiecke aus den Strecken, dann wären beide Flächenin-halte gleich!
Zum Problem „unendlich mal null“
Denken Sie sich in nebenstehender Tabelle in jeder Zeile für x immer größer werdende Werte eingesetzt. Begründen Sie, dass dann das Produkt beider Faktoren, letztlich also „unendlich groß“ mal „unendlich klein“, in jeder Zeile zu einem anderen Ergebnis führt.
Heute spricht man in der Mathematik nicht mehr von „unendlich kleinen Größen“. Die Integral- und Differentialrechnung lässt sich mit-hilfe von Grenzwerten begründen, wie Sie sie bei der Ableitung einer Funktion und bei der Definition des Integrals auf Seite 51 kennen gelernt haben.
59/1 GottfriedWilhelmLeibniz
59/2
Faktor, der beliebig groß wird
Faktor, der beliebig klein wird
Produkt („unendlich mal null“)
x 1 _ x
x 2 1 _ x
x 1 __ x 2
LÖ 33a) Schrittweite 0,5; A = 16,5 FESchrittweite 0,25; A = 14,875 FESchrittweite 0,1; A = 13,94 FESchrittweite 0,01; A = 13,3934 FE
2 Das IntegralProjekt
60
Ober- und Untersummen
In der Mathematik werden sehr oft neue Probleme auf bereits Bekann-tes zurückgeführt, um sie zu lösen. Auch bei der Bestimmung von Inhalten von krummlinig begrenzten Flächen kann man so vorgehen.
Das neue Problem ist hier die Bestimmung des Flächeninhaltes A zwischen dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 und der x-Achse auf dem Intervall [0; 2] (siehe Bild 60/1), also die Berechnung von
∫ 0
2
x 2 d x.
Das bereits Bekannte, auf das bei der Lösung dieses neuen Problems zurückgegriffen werden kann, ist das näherungsweise Ermitteln von Flächeninhalten mithilfe von Rechtecken. Dazu zerlegt man das Intervall [0; 2] in z. B. vier gleich lange Teilintervalle und betrachtet die beiden so entstandenen Treppenfunktio-nen (siehe Bilder 60/2 und 60/3).
Die Summe O4 der Inhalte der Rechteckflä-chen in Bild 60/2 ist größer als der gesuchte Flächeninhalt, man nennt deshalb O 4 Ober-summe. Dementsprechend nennt man die Summe U4 der Inhalte der Rechteckflächen im Bild 60/3 Untersumme.
Es gilt also U4 ≤ ∫ 0
2
x 2 d x ≤ O4 .
Beide Summen lassen sich als Summe von Rechteckflächeninhalten berechnen, wobei die Breite der Rechtecke stets 1 _ 2 ist und die Höhen jeweils die Funktionswerte an den Teilpunkten der Intervalle sind:
U4 = 1 _ 2 ∙ ( 1 _ 2 ) 2 + 1 _ 2 ∙ ( 2 _ 2 ) 2 + 1 _ 2 ∙ ( 3 _ 2 ) 2 = 1,75
O4 = 1 _ 2 ∙ ( 1 _ 2 ) 2 + 1 _ 2 ∙ ( 2 _ 2 ) 2 + 1 _ 2 ∙ ( 3 _ 2 ) 2 + 1 _ 2 ∙ ( 4 _ 2 ) 2 = s 4 + 1 _ 2 ∙ ( 4 _ 2 ) 2 = 1,75 + 2 = 3,75
Die Ober- und Untersummen unterscheiden sich jeweils nur um den letzten Summanden der Obersumme.
Teilt man das Intervall [0; 2] in acht gleich lange Teilintervalle, so bekommt man einen besseren Näherungswert für den gesuchten Flächeninhalt. Die Bilder 60/4 und 60/5 las-sen erkennen, dass die Obersumme kleiner wird, die Untersumme größer wird und sich beide nur noch um 1 _ 4 ∙ 2 2 = 1 unterscheiden. Die Genauigkeit der Näherung hat sich also verdoppelt. Für den Fall von n gleich langen Teilintervallen ergibt sich:
Un = 2 _ n ∙ ( 2 _
n)2+2 _
n ∙( 2 ∙ 2 ____
n )2 +2 _
n ∙( 3 ∙ 2 ____
n )2 +…+2 _
n ∙( (n − 1) ∙ 2
_______ n )
2
On = 2 _ n ∙ ( 2 _
n)2+2 _
n ∙( 2 ∙ 2 ____
n )2 +2 _
n ∙( 3 ∙ 2 ____
n )2 +…+2 _
n ∙( (n − 1) ∙ 2
_______ n )
2 +2 _
n ∙ ( n ∙ 2 ____
n ) 2
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
0,5
x
0 1 1,5 2
A
60/1
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
0,5
x
0 1 1,5 2
O4
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
0,5
x
0 1 1,5 2
U4
60/2 60/3
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
0,5
x
0 1 1,5 2
O8
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
y
0,5
x
0 1 1,5 2
U8
60/4 60/5
Projekt
61
Ober- und Untersummen
Der Unterschied zwischen On und Un ist wiederum nur durch den letzten Summanden
2 _ n ∙ ( n ∙ 2 ____
n ) 2 = 8 _
n von On gegeben, und dieser wird für wachsendes n immer kleiner.
Der gesuchte Flächeninhalt A liegt also immer zwischen der Unter- und Obersumme, die sich für wachsendes n gegenseitig annähern. Deshalb müssen die Grenzwerte von Un und On für n → ∞ den exakten Wert des gesuchten Flächeninhalts A liefern. Aber wie lässt sich der Grenzwert einer Summe berechnen, die aus unendlich vielen, immer kleiner werdenden Summanden besteht?
Glücklicherweise lassen sich Ober- und Untersumme durch einige Umformungen in eine Gestalt bringen, die es erlaubt, den Grenzwert zu berechnen. Beispielsweise gilt:
A = lim n → ∞
On = lim
n → ∞ ( 2 3 __
n 3 ∙ (1 + 2 2 + 3 2 + … + (n − 1) 2 + n 2 ) ) = lim
n → ∞ ( 2 3 __
n 3 ∙
n (n + 1) (2 n + 1) ____________
6 )
= 2 3 ∙ lim n → ∞
2 n 2 3 n + 1 ________ 6 n 2
= 2 3 ∙ lim n → ∞
2 + 3 _
n + 1 __
n 2 _______
6 = 2 3 ∙ 2 _
6 = 8 _ 3
Für lim n → ∞
Un erhält man denselben Wert, der Inhalt der Fläche zwischen der Normalparabel
und der x-Achse im Intervall [0; 2] beträgt also 8 _ 3 Flächeneinheiten.
Ermittlung des Volumens eines rotationssymmetrischen Körpers: Dies ist ein weiteres Problem, das sich auf gleiche Weise lösen lässt.Rotiert z. B. der Graph der Funktion f mit f(x) = 3 _ 4 x um die x-Achse, so entsteht ein Kegel. Das Volumen des Kegels lässt sich analog in viele kleine Teilvolumina einteilen, die kleine Zylinderscheiben sind (siehe Bild 61/1). Wird das Intervall [0; 5] wieder in n Teilintervalle zerlegt, so hat jede Zylinderscheibe die Höhe 5 _
n.
V Kegel = lim n → ∞
( 5 _ n ∙ p ∙ ( 3 _ 4 ∙ 5 _
n)2 + 5 _
n ∙ p ∙ ( 3 _ 4 ∙ 2 ∙ 5 ____
n )2 + … + 5 _
n ∙ p ∙ ( 3 _ 4 ∙ n ∙ 5 ____
n )2 )
= lim n → ∞
( p ∙ 9 __ 16
∙ 5 3 __ n 3
(1 + 2 2 + … + n 2 ) ) = p ∙ 9 __
16 ∙ lim
n → ∞ ( 5 3 __
n 3 ∙
n (n + 1) (2 n + 1) ____________
6 )
= p ∙ 9 __ 16
∙ 5 3 ∙ lim n → ∞
2 n 3 + 3 n2 +n__________ 6 n 3
= p ∙ 9 __ 16
∙ 5 3 ∙ lim n → ∞
2 + 3 _
n + 1 __
n 2 _______
6
= p ∙ 3 __ 16
∙ 5 3
Diese Formel liefert selbstverständlich dasselbe Ergebnis wie die bereits bekannte Volumen-formel für Kegel: V Kegel = 1 _ 3 ∙ Grundfläche ∙ Höhe, also V Kegel = 1 _ 3 ∙ [ p ∙ ( 3 _ 4 ∙ 5 ) 2 ] ∙ 5 = p ∙ 3 __
16 ∙ 5 3 .
Aufgaben
1 Bestimmen Sie ∫ 0
3
1 _ 6 x 2 d x, indem Sie den Grenzwert der Obersumme berechnen.
2 Bestimmen Sie mithilfe des Grenzwertprozesses das Volumen des Kegels mit der Höhe 5, der entsteht, wenn der Graph der Funktion f mit f(x) = 1 _ 2 x um die x-Achse rotiert, und überprü-fen Sie das Ergebnis mit der bereits bekannten Volumenformel für Kegel.
INFO
Für die Summe der ersten n Quadratzahlen gilt:
1 + 2 2 + 3 2 + … + n 2
= n (n + 1) (2n + 1)
____________ 6
4
3
2
1
−1
−2
−3
−4
y
x
2 3 4 6 750 1
61/1
LÖ Aufgabe 1:
On = ∑
3 _ n · f( i· 3 ___ n ) = ∑
3 _ n · 1 _ 6 · ( i · 3 ___ n ) 2
= 9 ____ 2 · n 3
· ∑
i 2
= 9 ____ 2 · n 3
·
[n · (n+ 1) · (2 n+ 1)]
_______________ 6
= 3 _ 4 · [ 2 + 3 _ n + 1 __ n 2
] ; lim On = 3 _ 2
LÖ Aufgabe 2:
Vn = ∑
p · f 2 ( i · 5 ___ n ) · 5 _ n = ∑
p · ( 1 _ 2 · i · 5 ___ n ) 2 · 5 _ n = p· 125 _____ 4 n 3
· ∑
i 2 = p· 125 _____ 24 · ( 1 + 1 _ n) · ( 2 + 1 _ n)
lim Vn = p· 125 _____ 12 = V Kegel = 1 _ 3 · p · ( 5 _ 2 ) 2 · 5
