Formeln und Notizen - Startseite | HaWosiflfran/uni/IuK/Formelsammlungen/... · Formeln und Notizen Nachrichtenübertragung Florian Franzmann∗ 7. April 2009, 23:54 Uhr Abbildungsverzeichnis

Formeln und Notizen

Nachrichtenübertragung

Florian Franzmann∗

7. April 2009, 23:54 Uhr

Abbildungsverzeichnis

1. A-law-Kompressorkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362. Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Das komplementäre gauß’sche Fehlerintegral . . . . . . . . . . . 694. Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren . . . . . . 845. Typisches Szenario zur Wiener Filterung . . . . . . . . . . . . . 956. rect- und sinc-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997. Konvergenzbereich diskreter LTI-Systeme . . . . . . . . . . . . 102

Tabellenverzeichnis

1. Bandbegrenzung einiger Beispielanwendungen . . . . . . . . . . 112. Eckdaten von PAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Merktabelle für Pegelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134. Kenngrößen elektrischer Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155. Beispiele für Spitzenwertfaktoren ζ0 . . . . . . . . . . . . . . . 166. Typische Signaldynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177. Typische Frequenz und Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . 198. Typische Sendeleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209. Typische Empfangsleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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Inhaltsverzeichnis

10. Effektive Wirkfläche einiger Antennentypen . . . . . . . . . . . 2111. Beispielwerte für β aus Formel 40 auf Seite 22 . . . . . . . . . . 2212. Hochfrequenz- und ECB-Signal amplitudenmodulierter Signale 2413. Eigenschaften amplitudenmodulierter Signale . . . . . . . . . . 2414. Signal-Störabstand für AM beim AWGN-Kanal . . . . . . . . 2615. Eigenschaften winkelmodulierter Signale . . . . . . . . . . . . . 2816. Kennzeichen digitaler Übertragungssysteme . . . . . . . . . . . 4517. Parameter des AWGN-Kanals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4618. Parameter eines Kanalcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4619. Parameter eines diskreten Modulationsverfahrens . . . . . . . . 4820. Beispiele für Minimale Euklidische Distanzen . . . . . . . . . . 5221. Teile von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522. Vielfache von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5623. Trigonometrische Funktionen – Funktionswerte besonderer Winkel 5824. Potenzen der imaginären Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6325. Bekannte Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6526. Korrespondenzen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . 9626. Korrespondenzen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . 9726. Korrespondenzen der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . 9827. Sätze der Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 10028. Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation . . . . . . . 10230. Korrespondenzen der Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . 104

Inhaltsverzeichnis

1. Nachrichtenübertragung 111.1. Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1. Pegelrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1.1. dBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Bewertungskriterien für Übertragungsverfahren . . . . . 111.1.3. Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4. Anwendung von Codierverfahren . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4.1. Quellencodierung . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4.2. Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Quellensignale und deren Modellierung . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Analoge Quellensignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1.1. Primäres Quellensignal . . . . . . . . . . . . . 141.2.1.2. Aussteuergrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

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Inhaltsverzeichnis

1.2.1.3. Aussteuerpegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1.4. Äquivalente Störung infolge Spitzenwertbegren-

zung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1.5. Soft-Limiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1.6. WDF der äquivalenten Störung . . . . . . . . . 161.2.1.7. Leistung NL der Störung nL . . . . . . . . . . 161.2.1.8. SNR durch Spitzenwertbegrenzung (SNRL) . . 161.2.1.9. SNR des Verbrauchersignals (SNRv) . . . . . . 171.2.1.10. Signaldynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1.11. Normiertes Quellensignal . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2. Digitale Quellensymbolsequenzen . . . . . . . . . . . . . 181.2.2.1. Informationsfluß . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Übertragungskanäle und deren Modellierung . . . . . . . . . . 181.3.1. Übertragungsmedien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1.1. Übertragungsfunktion kabelgebundener Über-tragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1.2. Fern- und Nahnebensprechen in vielpaarigen Ka-beln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1.3. Funkübertragung – Modell der Freiraumausbrei-tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Störmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2.1. Thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . 221.3.2.2. Verstärkerrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2.3. Whitening Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4. Modulationsverfahren zur Übertragung analoger Signale . . . . 231.4.1. Bandbreiteneffizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2. Banderweiterungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5. Demodulationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.1. Synchrondemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5.2. Einhüllendendemodulation . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3. Einfluß additiver Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.3.1. HF-Störabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3.2. Vergleichsstörabstand . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3.3. NF-Störabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.3.4. Modulationsgewinn . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.4. Störabstand infolge Spitzenwertbegrenzung und additi-ver Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6. Winkelmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.1. Momentanfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.2. Frequenzhub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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1.6.3. Phasenhub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.4. Spektrum FM-modulierter Signale . . . . . . . . . . . . 271.6.5. Carson-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.6. Näherung an das LDS nach Woodward . . . . . . . . . . 291.6.7. Effektiver Frequenzhub bei FM . . . . . . . . . . . . . . 291.6.8. Einfluß von Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.8.1. HF-Störleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6.8.2. HF-Störleistungsverhältnis . . . . . . . . . . . 291.6.8.3. NF-Störleistungsverhältnis . . . . . . . . . . . 291.6.8.4. FM-Schwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6.9. Preemphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.9.1. Optimales Preemphasefilter . . . . . . . . . . . 301.6.9.2. Optimales Signalstörleistungsverhältnis . . . . 301.6.9.3. Gewinn durch Preemphase . . . . . . . . . . . 30

1.7. Analoge Pulsamplitudenmodulation (PAM) . . . . . . . . . . . 311.7.1. PAM-Sendesignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.2. Mittlere Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . 311.7.3. Mittleres Leistungsdichtespektrum . . . . . . . . . . . . 311.7.4. Spezialfälle des Leistungsdichtespektrums . . . . . . . . 31

1.8. Pulscodemodulation (PCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8.1. Nachrichtenfluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8.2. Mittlere Leistung des Quantisierungsgeräusch . . . . . . 321.8.3. Optimale Quantisierung nach Lloyd und Max . . . . . . 321.8.4. Näherung an die optimale Quantisierung . . . . . . . . . 331.8.5. Mittlere Quantisierungsgeräuschleistung . . . . . . . . . 331.8.6. Zeitdiskretes Quantisierungsgeräusch . . . . . . . . . . . 331.8.7. Störabstand bei gleichmäßiger Quantisierung . . . . . . 341.8.8. Kompandierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8.8.1. Quantisierungsgeräuschleistung . . . . . . . . . 341.8.8.2. Optimale Kompressorkennlinie . . . . . . . . . 341.8.8.3. Quantisierungsgeräuschleistung im Optimalfall 341.8.8.4. Gewinn bei optimaler Kompandierung . . . . . 351.8.8.5. Störabstand bei optimaler Kompandierung . . 351.8.8.6. Logarithmische Kompandierung mit A-Law . . 361.8.8.7. Abschnittsweise gleichmäßige Quantisierung . 371.8.8.8. Überabtastverfahren zur Signalrekonstruktion 37

1.8.9. Einfluß von Übertragungsfehlern auf das PCM-Signal . 381.8.9.1. Bit Error Rate (BER) . . . . . . . . . . . . . . 381.8.9.2. Word Error Rate (WER) . . . . . . . . . . . . 381.8.9.3. WER für den BSC . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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1.8.9.4. Wahrscheinlichkeit für e Fehler in einem Wort 391.8.9.5. Leistung des Fehlersignals . . . . . . . . . . . . 39

1.9. PCM-Schwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.10. Vergleichssignalstörleistungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10.1. Vergleichsstörabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.10.2. Spektrale Effizienz (digital) . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11. Übertragung analoger Signale mittels PCM . . . . . . . . . . . 401.11.1. Signalstörleistungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.2. Spektrale Effizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.3. HF-Störleistungsverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.4. Vergleichssignalstörleistungsverhältnis . . . . . . . . . . 401.11.5. Shannon-Grenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.12. Differenzielle Pulscodemodulation (DPCM) . . . . . . . . . . . 401.12.1. Lineare Prädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.12.2. Yule-Walker-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.12.2.1. 0. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.12.2.2. 1. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.12.2.3. Beliebigen Grades . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.12.3. Leistung des Prädiktionsfehlers . . . . . . . . . . . . . . 421.12.4. Leistungsgewinn durch optimale Prädiktion . . . . . . . 421.12.5. Maximaler Gewinn durch lineare Prädiktion . . . . . . . 421.12.6. Vorwärtsprädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.12.7. Rückwärtsprädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.12.8. DPCM mit logarithmischer Kompandierung . . . . . . . 431.12.9. Einfluß von Übertragungsfehlern . . . . . . . . . . . . . 431.12.10.∆-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.12.10.1.Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12.11.Adaptive ∆-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.12.12.Σ∆-Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.13. Shannon-Grenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.13.1. Austausch von Leistungs- und Bandbreiteneffizienz . . . 441.13.2. Kanalkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.14. Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.14.1. Systematische Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.14.2. Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.14.3. Mapping-Redundanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.15. Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.15.1. Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.15.2. Rate eines Modulationsverfahrens Rm . . . . . . . . . . 471.15.3. Signalformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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1.15.4. Rate eines digitalen Übertragungsverfahrens . . . . . . . 491.16. Digitale Pulsamplitudenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.16.1. Impulsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.16.2. Grundimpulsform der PAM . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.16.2.1. Energie des Grundimpulses . . . . . . . . . . . 491.16.2.2. Leistungsdichtespektrum der zeitdiskreten Folge 501.16.2.3. Leistungsdichtespektrum des PAM-Signals . . 501.16.2.4. Spitzenwertfaktor des PAM-Signals . . . . . . 50

1.16.3. Signalangepaßtes Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.16.4. ISI-freie PAM-Übertragung über den AWGN-Kanal . . 50

1.16.4.1. Detektionssignal . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.16.4.2. Störsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.16.4.3. 1. Nyquist-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . 511.16.4.4.

√Nyquist-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.16.5. Detektion und Decodierung für digitale PAM-Signale . . 511.16.5.1. MAP-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.16.5.2. ML-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.16.5.3. Metrik eines Codeworts ~c . . . . . . . . . . . . 521.16.5.4. Normierte Euklidische Distanz . . . . . . . . . 52

1.16.6. Fehlerwahrscheinlichkeit bei kohärenter Demodulation . 521.16.6.1. ML-Detektion ohne Kanalcodierung . . . . . . 521.16.6.2. Kapazität des AWGN-Kanals . . . . . . . . . . 531.16.6.3. Leistungs-Raten-Diagramm für digitale PAM . 531.16.6.4. Leistungs-Bandbreiten-Diagramm für digitale PAM 531.16.6.5. Kanalcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A. Mathematische Grundlagen 54A.1. Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.1.2. Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.1.3. Normierte Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.1.4. Die z-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.2. Lösungsformel für quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . 57A.3. Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3.1. Gerade durch einen Punkt P (x0, y0) mit Steigung m . . 57A.3.2. Gerade durch die Punkte P (x0, y0) und A(x1, y1) . . . . 57A.3.3. Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung . . . . . . . . . 57

A.4. Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.5. Rechenregeln des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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A.6. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.6.1. Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.6.1.1. Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.6.1.2. Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.6.1.3. Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.6.1.4. Logarithmische Differentiation . . . . . . . . . 60A.6.1.5. Differentiation eines parameterabhängigen In-

tegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.6.1.6. l’Hospital’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . 60

A.6.2. Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.6.2.1. Laplace-Operator ∆ . . . . . . . . . . . . . . . 60A.6.2.2. Divergenz-Operator div . . . . . . . . . . . . . 60A.6.2.3. Gradient-Operator ∇ . . . . . . . . . . . . . . 61A.6.2.4. Rotations-Operator . . . . . . . . . . . . . . . 61A.6.2.5. Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) . . . . . . . 62A.6.2.6. Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.6.2.7. Zusammengesetzte Operationen . . . . . . . . 62

A.7. Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.7.1. Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.7.2. Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.7.3. Logarithmische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.7.4. Integration der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . 63

A.8. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A.8.1. Komplexe Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.9. Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.9.1. Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

A.10.Abschätzung mittels Union-Bound . . . . . . . . . . . . . . . . 64A.11.Bessel-Funktion erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A.11.1.Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66A.11.2.Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B. Abtasttheorem 66B.1. Basisband-Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.2. Bandpass-Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.3. Interpolationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

B.3.1. Basisbandsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.3.2. Bandpaßsignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B.4. Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

C. Zufallsvariablen 67

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C.1. Statistische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67C.1.1. Statistische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 67C.1.2. Unkorreliertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67C.1.3. Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C.2. Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68C.2.0.1. Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C.3. Abbildungen von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 68C.3.1. Eindimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68C.3.2. Mehrdimensionaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C.4. Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69C.4.1. Komplementäres gauß’sches Fehlerintegral . . . . . . . . 69

C.5. Verteilung und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70C.5.1. Eigenschaften einer Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 70C.5.2. Eigenschaften einer Verteilung . . . . . . . . . . . . . . 70C.5.3. Randdichte und Randverteilung . . . . . . . . . . . . . . 70

C.5.3.1. Randdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70C.5.3.2. Randverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

C.5.4. Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70C.5.5. Spezielle Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

C.5.5.1. Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 71C.5.5.2. Binomialverteilung (Bernoulli-Experiment) . . 71C.5.5.3. Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . 72C.5.5.4. Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 72C.5.5.5. Gauß-Verteilung (Normal-Verteilung)N (mX , σX) 72C.5.5.6. Cauchy-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 73C.5.5.7. Lognormal-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . 73C.5.5.8. Laplace-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 73C.5.5.9. Γ-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

C.6. Perzentil und Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C.7. Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

C.7.1. Momentenerzeugende Funktion ΦX(s) . . . . . . . . . . 76C.7.2. Charakteristische Funktion ΦX(jω) . . . . . . . . . . . . 76C.7.3. Kumulantenerzeugende Funktion ΨX(s) . . . . . . . . . 76

D. Zufallsprozesse 76D.1. Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

D.1.1. Strenge Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76D.1.2. Gemeinsame strenge Stationarität . . . . . . . . . . . . 76D.1.3. Schwache Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D.1.3.1. Eigenschaften (schwach) stationärer Prozesse . 77

8

Inhaltsverzeichnis

D.1.4. Zyklostationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78D.1.5. Schwach zyklostationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . 79D.1.6. Ergodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D.2. Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D.2.1. Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D.2.2. Momente n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

D.2.2.1. kontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2.2.2. diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

D.2.3. Zentrale Momente n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . 80D.2.3.1. kontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2.3.2. diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

D.2.4. Wichtige Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2.4.1. Linearer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . 80D.2.4.2. Quadratischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . 80D.2.4.3. Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81D.2.4.4. Normierte Momentanleistung . . . . . . . . . . 81

D.2.5. Zentrale Verbundmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 81D.2.5.1. kontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81D.2.5.2. diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82D.2.5.3. Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82D.2.5.4. Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . 82D.2.5.5. Bedingte Erwartungswerte . . . . . . . . . . . 82

D.3. LTI-Systeme und schwach stationäre Prozesse . . . . . . . . . . 82D.3.1. Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

D.3.1.1. Linearer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . 82D.3.1.2. Quadratischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . 83

D.3.2. Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83D.3.2.1. Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . 83D.3.2.2. Autokovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83D.3.2.3. Kreuzkorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . 84D.3.2.4. Kreuzkovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84D.3.2.5. Eigenschaften von AKF, AKV, KKF und KKV 84D.3.2.6. Autoleistungsdichtespektrum . . . . . . . . . . 85D.3.2.7. Kreuzleistungsdichtespektrum . . . . . . . . . 85D.3.2.8. KKF und LDS . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

D.3.3. Autokorrelationsfunktion und Autoleistungsdichtespek-trum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86D.3.3.1. kontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86D.3.3.2. diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

D.3.4. Kohärenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9

Inhaltsverzeichnis

D.3.5. Weißes Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86D.3.5.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86D.3.5.2. Leistungsdichtespektrum . . . . . . . . . . . . 87D.3.5.3. Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . 87D.3.5.4. Störleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87D.3.5.5. Bandbegrenztes ECB-Rauschen . . . . . . . . 87D.3.5.6. Streng weißes Rauschen . . . . . . . . . . . . . 87

D.4. Schätztheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87D.4.1. Prädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

D.4.1.1. Parameterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . 88D.4.1.2. Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . 89

D.4.2. Prädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89D.4.2.1. Punktprädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 89D.4.2.2. Intervallprädiktion . . . . . . . . . . . . . . . . 89

D.4.3. Gütekriterien für Parameterschätzer . . . . . . . . . . . 89D.4.3.1. Erwartungstreuer Schätzer . . . . . . . . . . . 89D.4.3.2. Effizienter Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . 90D.4.3.3. Konsistenter Schätzer . . . . . . . . . . . . . . 90D.4.3.4. Hinreichende Statistik . . . . . . . . . . . . . . 90

D.4.4. Mittelwertschätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90D.4.4.1. Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . 90D.4.4.2. Varianzschätzer bei bekanntem Mittelwert . . 91D.4.4.3. Varianzschätzer bei unbekanntem Mittelwert . 91D.4.4.4. Mittelwertschätzung bei bekannter Varianz . . 91D.4.4.5. Mittelwertschätzung bei unbekannter Varianz 91D.4.4.6. Mittelwertschätzung bei unbekannter Verteilung 91D.4.4.7. Parameterschätzung bei bestimmten Verteilungen 91D.4.4.8. Wahrscheinlichkeitsschätzung . . . . . . . . . . 92D.4.4.9. Varianzschätzung bei normalverteilten Zufalls-

variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92D.4.5. MMSE- und LSE-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . 92

D.4.5.1. MMSE-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . 92D.4.5.2. MSE-Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . 93D.4.5.3. Maximum-Likelihood-Schätzer . . . . . . . . . 93D.4.5.4. Log-Likelihood-Funktion . . . . . . . . . . . . 93D.4.5.5. Bayes’sche Schätzung . . . . . . . . . . . . . . 93D.4.5.6. Maximum a posteriori-Schätzer (MAP) . . . . 94

D.4.6. Cramer-Rao-Schranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94D.5. Lineare Optimalfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

D.5.1. Wiener Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10

1. Nachrichtenübertragung

Tabelle 1: Bandbegrenzung einiger Beispielanwendungen

Anwendung fu fo BNF

Telefon 300 Hz 3,4 kHz 3,1 kHz

FM-Rundfunk 20 Hz 15 kHz 15 kHz

D.5.1.1. Zeitkontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . 94

E. Transformationen 95E.1. Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

E.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95E.1.2. Inverse Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 96E.1.3. rect- und sinc-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96E.1.4. Hinreichende Bedingung für die Existenz . . . . . . . . 98

E.2. z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101E.2.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101E.2.2. Konvergenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101E.2.3. Inverse z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

E.3. Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103E.3.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103E.3.2. Besonderheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

E.4. ECB-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105E.4.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105E.4.2. Inverse Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105E.4.3. Theorem von Grettenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 105E.4.4. Inphasekomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106E.4.5. Quadraturkomponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11


Tabelle 2: Eckdaten von PAL

Bezeichnung Wert

Zeilenzahl 625

Bildwechselfrequenz 50 Hz (60 Hz bei PAL M)

Kanalbandbreite 6-8 MHz

Videofrequenzbandbreite 4,2-6 MHz

Bild-/Tonträgerabstand 4,5-6 MHz

Restseitenband 0,75-1,25

Tonmodulation AM oder FM

12


Tabelle 3: Merktabelle für Pegelmaße

Leistungsverhältnis Effektivwertverhalten Pegelmaß [dB]

1 1 0

2√

2 3

3√

3 4,72

4 2 3 + 3 = 6

5√

5 10− 3 = 7

6√

6 3 + 4,77 = 7,77

7√

7 10+72 = 8,5

8√

8 3 + 3 + 3 = 9

9 9 4,77 + 4,77 = 9,5

10√

10 10

20√

20 3 + 10 = 13

50√

50 7 + 10 = 17

100 10 10 + 10 = 20

10n 10n2 10 · n

13



1.1. Grundlegende Definitionen

1.1.1. Pegelrechnung

1.1.1.1. dBmPdBm = 10 log10

(P

1 mW

)[dBm] (1)

P = 10PdBm

10−3 (2)

1.1.2. Bewertungskriterien für Übertragungsverfahren

Die Qualität analoger wie digitaler Übertragungsverfahren wird anhand ihrerLeistungseffizienz und ihrer Bandbreiteneffizienz bemessen.

1.1.3. Wirkungsgrad

η =PNutz

Pzugeführt(3)

1.1.4. Anwendung von Codierverfahren

1.1.4.1. Quellencodierung Reduktion von Redundanz und Irrelevanz.

1.1.4.2. Kanalcodierung Hinzufügen von Redundanz mit dem Ziel einefehlerarme bzw. fehlerfreie Übertragung zu gewährleisten.

1.2. Quellensignale und deren Modellierung

1.2.1. Analoge Quellensignale

1.2.1.1. Primäres Quellensignal Ein elektrisches Signal, das aus einemsonstigen Signal gewonnen wurde. Es handelt sich um einen reellen, mittel-wertfreien Prozeß, für den Zyklostationarität oder schwache Stationarität an-genommen wird.

1.2.1.2. AussteuergradA :=

q0,eff

qmax(4)

Der maximal mögliche Aussteuergrad, ohne daß Verzerrung auftritt ist A = 1ζq0

.

14


Tabelle 4: Kenngrößen elektrischer Signale

Bezeichnung Formel

Leistung Sq0 = E(q0(η, t))2

∀t

Leistung an einem Widerstand P = seff2

R

Effektivwert (Varianz) q0,eff =√Sq0 =

∫∞−∞ q2fq(q) dq =

√1T

∫ T0 q20(t) dt

Spitzenwert q0 = maxη,t |q0(η, t)|

Spitzenleistung Sq0,max = q20

Crestfaktor ζq0 = q0√Sq0

= q0q0,eff

Peak-to-Average-Ratio PAR =Sq0,max

Sq0= ζ2

q0

Bandgrenze unten / oben (einseitig) fq0,u / fq0,o

Bandbreite (einseitig) Bq0 = fq0,o − fq0,u

(mittlere) AKF siehe D.3.2.1 auf Seite 83 φq0q0(τ)

(mittleres) LDS siehe D.3.2.6 auf Seite 85 Φq0q0(f) = F φq0q0(τ)

WDF fq0(q0, t) ≈ fq0(q0)∀t

Einseitige Rauschleistungsdichte N0

Zweiseitige Rauschleistungsdichte N02

Störleistung durch Spitzenwertbegrenzung NL

15


Tabelle 5: Beispiele für Spitzenwertfaktoren ζ0

Signal ζ0

gaußverteilt ∞

gleichverteilt√

3

sinusförmig√

2

dreieckförmig√

3

rechteckförmig 1

1.2.1.3. Aussteuerpegel

10 log10(A2) = 20 log10(A) [dB] (5)

1.2.1.4. Äquivalente Störung infolge Spitzenwertbegrenzung

nL(t) := qL(t)− q0(t) (6)

1.2.1.5. Soft-Limiter

qL :=

−qmax für q0 < −qmax

q0 für − qmax ≤ q0 ≤ qmax

qmax sonst(7)

1.2.1.6. WDF fnL(nL) der äquivalenten Störung infolge Spitzenwert-begrenzung bei achsensymmetrischer WDF des Quellensignals

fnL(nL) = δ(nL) ·qmax∫

−qmax

fq0(q0) dq0 +

fq0(qmax − nL) für nL ≤ 0fq0(q−max − nL) für nL > 0

(8)

1.2.1.7. Leistung NL der Störung nL

NL =

∞∫−∞

n2LfnL(nL) dnL

wg. Symmetrie= 2 ·

∞∫0

n2Lfq0(qmax + nL) dnL (9)

16


1.2.1.8. SNR durch Spitzenwertbegrenzung (SNRL)

SNRL :=Sq0NL

=q20,eff

NL(10)

im Pegelmaß10 log10(SNRL) [dB] (11)

Gleichverteilung

NL = q20 ·

(q − 1√

3A

)3

3(12)

SNRL =

1„

1− 1

(√

3A)

«3 für A > 1√3

−→∞ für A ≤ 1√3

(13)

LaplaceverteilungNL = q20,effe−

√2

A (14)

SNRL = e√

2A (15)

10 log10 (SNRL) =6,14A

[dB] (16)

1.2.1.9. SNR des Verbrauchersignals (SNRv)

Sv = Sq0 = A2 · q2max (17)

Nv = NL +N (18)

SNRv :=Sv

Nv=

Sq0NL +N

(19)

1.2.1.10. Signaldynamik

DS :=Smax

Smin(20)

1.2.1.11. Normiertes Quellensignal

q(t) :=qL(t)qmax

(21)

Falls die Störung nur gering ist, so gilt folgendes:

• Effektivwert: A

• Mittlere Leistung: A2

17


Tabelle 6: Typische Signaldynamik

Anwendung Dynamik

Sprache 15 [dB]

Popmusik 5 [dB]

Orchester (Barock) 50 [dB]

Orchester (Hochromantik) ≥ 90 [dB]

1.2.2. Digitale Quellensymbolsequenzen

1.2.2.1. Informationsfluß

φS :=1Tb︸︷︷︸1

[bits

](22)

1.3. Übertragungskanäle und deren Modellierung

1.3.1. Übertragungsmedien

1.3.1.1. Übertragungsfunktion kabelgebundener Übertragung

KoaxialkabelHK(f) ≈ e−aN·l·

q2j f

f0 (23)

Symmetrisches Kabel

|HK(f)| = 10−adB(f)· l20 (24)

1.3.1.2. Fern- und Nahnebensprechen in vielpaarigen Kabeln

1Tb ist der mittlerer zeitlicher Abstand zwischen zwei Quellensymbolen

18


Übertragungsfunktion des Nutzsignals

HK(f) =E(f)S(f)

∣∣∣∣sF(t)=0∧sN(t)=0

= e−α(2πf)·l · e−jβ(2πf)·l (25)

α: kilometrische Dämpfung

β: kilometrischer Phasengang

FEXT Nebensprechen von Signalen gleicher Richtung.

|HFEXT(f)|2 =|E(f)|2

|SF(f)|2

∣∣∣∣s(t)=0∧sN(t)=0

(26)

= kFEXT · l ·(f

f0

)2

· |HK(f)|2 (27)

kFEXT ist abhängig vom Leitungstyp und der gegenseitigen Lage der Adern-paare.

NEXT

|HNEXT(f)|2 =|E(f)|2

|SN(f)|2

∣∣∣∣sF(t)=0∧s(t)=0

(28)

= kNEXT ·(f

f0

) 32

· (1− e−2·α(2πf)·l) (29)

Ab l ≈ 100m vereinfacht sich die Formel zu

|HNEXT(f)|2 ≈ kNEXT ·(f

f0

) 32

(30)

und somit einer Dämpfung von −15 [dB] pro Dekade.

1.3.1.3. Funkübertragung – Modell der Freiraumausbreitung

Isotroper Strahler Die Leistungsdichte eines isotropen Strahlers im Ab-stand d beträgt

SS

4πd2

[Wm2

](31)

19


Tabelle 7: Typische Frequenz und Wellenlänge

Anwendung f λ

GSM ca. 990 MHz ca. 30 cm

UMTS ca. 2 GHz ca. 15 cm

Tabelle 8: Typische Sendeleistungen

Anwendung Sendeleistung

P PdBm

UKW-Rundfunk 100 W bis 100 kW 50 bis 80 dBm

LW-Rundfunk 500 kW bis 2000 kW 87 bis 93 dBm

Tabelle 9: Typische Empfangsleistungen

Anwendung Empfangsleistung

P PdBm

Mobiles Empfangsgerät für Sprachverbindungen 10 fW bis 100 pW -70 bis -110 dBm

20


Tabelle 10: Effektive Wirkfläche einiger Antennentypen. η ist die Beleuch-tungseffizienz, D der Antennendurchmesser.

Antennentyp Ae η

Parabolantenne πD2

4 · η 0,5 bis 0,6

Hornantenne η ·A 0,8

Punktförmiger Isotroper Strahler als Absorber λ2

4π –

Äquivalenter Isotroper Strahler Das Modell des Äquivalenten IsoptropenStrahlers enthält einen Antennengewinn Gs, der die Hinweiseinheit dBi trägt.Die effictive isotropic radiated power berträgt

EIRP = Ss ·Gs (32)

Die Ursache des Antennengewinns ist die Richtwirkung der Antenne.

Von der Empfangsantenne aufgenommene Leistung

S(d) = EIRP · Ae

4πd2(33)

Ae ist die effektive Wirkfläche der Empfangsantenne.

Gewinn der Empfangsantenne gegenüber äquivalentem isotropenStrahler

Ge =4πλ2Ae (34)

Leistung an der Empfangsantenne

Se(d) = SS ·GS ·Ge ·1

(4π)2·(λ

d

)2

für d λ (35)

Se(d) = Se(d0) ·(d0

d

)2

d0 Normierungsdistanz (36)

21


Tabelle 11: Beispielwerte für β aus Formel 40

Umgebung β

Freiraum 2

Stadtgebiet bei 1 bis 2 GHz 3 bis 4,5

Innerhalb von Gebäuden (Sichtverbindung) 1,6 bis 1,8

Übertragungsfaktor

D :=

√Se(d)SS

(37)

Signaldämpfung

10 log10

(SS

Se(d)

)= 10 log10

(SS

Se(d0)

)+ 20 log10

(d

d0

)(38)

= −20 log10(D) (39)

Für mittlere Entfernungen bei direkter Sichtverbindung gilt folgende Näherung:

10 log10

(SS

Se(d)

)= 10 log10

(SS

Se(d0)

)+ 10β log10

(d

d0

)(40)

1.3.2. Störmodelle

1.3.2.1. Thermisches Rauschen

ΦnHFnHF =N0

2für |f| < 300 GHz (41)

= 2kTkR = 2 · 1,38 · 10−23

[WsK

]· (−TCelsius + 273) [K] ·R (42)

Falls R nicht gegeben ist, ist R = 1 [Ω] anzunehmen.

1.3.2.2. Verstärkerrauschen

22


Breitbandverstärkery(t) = v · x(t) (43)

• Rauschleistung am Eingang: Nx

• Rauschleistung am Ausgang: Ny

• Rauschzahl: F = Ny

v2·Nx≥ 1

• Rauschmaß: 10 log10(F )

Schmalbandverstärker

Y (f) = Hv(f) ·X(f) (44)

• LDS des Rauschens am Eingang: Φxx(f)

• LDS des Rauschens am Ausgang: Φyy(f)

• Noise-Figure: F (f) = Φyy(f)Φxx(f)·|Hv(f)|2 ≥ 1∀f

1.3.2.3. Whitening Filter Transformation eines farbigen Rauschens in einweißes Rauschen durch ein Filter mit der Übertragungsfunktion

HW(f) =

√N0

Φnn(f) · ejϕ(f) ∀f ≤ BHF

2

beliebig sonst(45)

1.4. Modulationsverfahren zur Übertragung analoger Signale

1.4.1. Bandbreiteneffizienz

Γa :=BNF

BHF(46)

1.4.2. Banderweiterungsfaktor

J :=BHF

BNF=

1Γa

(47)

1.5. Demodulationsverfahren

1.5.1. Synchrondemodulation

v1(t) + v2(t) = (q1(t) + jq2(t)) · e−j(2π∆fct+∆ϕ0) (48)

23


Tabelle 12: Hochfrequenz- und ECB-Signal amplitudenmodulierter Signale

Physikalisches Sendesignal sHF(t) ECB-Sendesignal

AM o. Tr.√

2 · zeff · q(t) · cos(2πfct+ ϕ0) zeff · q(t) · ejϕ0

AM m. Tr. s · (1 +m · q(t)) · cos(2πfct+ ϕ0) s√2· (1 +m · q(t)) · ejϕ0

QAM√

2 · zeff · (q1(t) · cos(2πfct+ ϕ0) zeff · (q1(t) + jq2(t))ejϕ0

−q2(t) · sin(2πfct+ ϕ0))

EM√

2 · zeff · (q(t) · cos(2πfct+ ϕ0) zeff · (q(t)± jHq(t))ejϕ0

∓Hq(t) · sin(2πfct+ ϕ0))

Tabelle 13: Eigenschaften amplitudenmodulierter Signale

≈ mittlere Sendeleistung Ss Spitzenleistung Smax PAR

AM o. Tr. z2eff ·A2 z2

eff1A2

AM m. Tr. 12 · s

2 · (1 +m2A2) 12 · s

2 · (1 +m)2 (1+m)2

1+m2A2

QAM z2eff · (A2

1 +A22) 2 · z2

eff2

A21+A2

2

EM 2 · z2effA

2 ∞ bzw. 2 · z2eff

2 1A2

24


1.5.2. Einhüllendendemodulation

Bedingung: m ≤ 1.env dHF =

s√2· |1 +m · q(t)| (49)

1.5.3. Einfluß additiver Störungen

1.5.3.1. HF-Störabstand Signalstörleistungsverhältnis nach dem Eingangs-filter:

SNRHF =Se

N0 ·BHF(50)

⇒ 10 log10(SNRHF ) [dB] (51)

1.5.3.2. Vergleichsstörabstand Der Vergleichsstörabstand für den AWGN-Kanal ist derjenige Störabstand, der bei direkter Übertragung des NF-Signalsmit mittlerer Leistung Sl über den AWGN-Kanal bei empfangsseitiger Band-begrenzung auf BNF gültig wäre:

10 log10(SNR0) := 10 log10

(Sl

BNF · N0

)(52)

Nur bei PCM und FM ist SNR0 < SNRNF möglich.

1.5.3.3. NF-Störabstand

SNRNF :=Sv

NK≈ A2

NK(53)

1.5.3.4. Modulationsgewinn Modulationsgewinn für den AWGN-Kanalbei Begrenzung der mittleren Sendeleistung:

G := 10 log10

(SNRNF

SNR0

)[dB] (54)

Modulationsgewinn für den AWGN-Kanal bei Begrenzung der maximalen Sen-deleistung:

G := 10 log10

(SNRNF

SNR0

)(55)

SNR0 :=Smax

N0 ·BNF(56)

25


Tab

elle

14:S

igna

l-Stö

rabs

tand

für

AM

beim

AW

GN

-Kan

al

Ver

fahr

enJ

SNR

NF

GG

AM

o.T

r.2

2·S

NR

HF·c

os2(∆ϕ

0)

20lo

g 10(|

cos(

∆ϕ

0)|)

20lo

g 10(|A

·cos

(∆ϕ

0)|)

AM

m.T

r.(m

≤1)

22·S

NR

HF·

m2·A

2

1+m

2·A

210

log 1

0

( m2·A

2

1+m

2·A

2

)10

log 1

0

( m2·A

2

(1+m

)2

) a

QA

M1

SNR

HF

für

∆ϕ

0=

00

10lo

g 10

( A2 1+A

2 22

)E

M1

SNR

HF

020

log 1

0(A

)

afü

rm

<1

ist

Aut

osyn

chro

ndem

odul

atio

nm

öglic

h.

26


1.5.4. Störabstand infolge Spitzenwertbegrenzung und additiverStörung

SNRv =A2

NK +NL=

11

SNRNF + 1SNRL

(57)

1.6. Winkelmodulation

Bei den winkelmodulierten Verfahren ist das PAR = 1.

1.6.1. Momentanfrequenz

fM(t) :=12π· ddtϕ(t)− fc (58)

:=12π· ddtψ(t) (59)

1.6.2. Frequenzhub

Maximale Auslenkung der Momentanfrequenz:

∆f := max∀f∈R

|fM(t)| (60)

:= max∀t∈R

∣∣∣∣ 12π· ddtψ(t)

∣∣∣∣ (61)

1.6.3. Phasenhub

Maximale Auslenkung der Phase von der Trägerphase:

∆ψ := max∀t∈R

|ψ(t)| (62)

1.6.4. Spektrum FM-modulierter Signale

Die Berechnung des Spektrums von FM-Signalen gelingt nur für spezielle mo-dulierte Signale. Ein sinusförmig moduliertes FM-Signal enthält Spektrallinienan der Stelle des Trägers und auf beiden Seiten des Trägers im Abstand vonganzzahligen Vielfachen der modulierten Frequenz. Abgesehen von der Phasen-drehung des Trägers ist das Spektrum reell.

∆ψ =∆ffq

(63)

S′(f) = seff ·∞∑

n=−∞Jn(∆ψ)δ(f − nfq) (64)

SHF(f) =1√2· (S′(f − fc) + S′∗(−f − fc)) (65)

27


Tabelle 15: Eigenschaften winkelmodulierter Signale

PM FM

Sendesignal sHF(t) s · cos(2πfct+ ψ(t))

ECB-Signal s(t) s√2· ejψ(t)

Sendeleistung Sss2

2 = Smax

Informationstragende ∆ψ · q(t) 2π∫ t−∞ fM(τ) dτ

Phasenfunktion

Momentanfrequenz ∆ψ2π ·

ddtq(t) ∆f · q(t)

fM(t) = 12π ·

ddtψ(t)

Maximaler Phasenhub ∆ψ →∞

Maximaler Frequenzhub ∆f = ∆ψ ·BNF ∆f

HF-Signalbandbreite BHF3 ≈ 2(∆f + 2BNF) =

(2∆ψ + 4)BNF

≈ 2(∆f + 2BNF)

Banderweiterungsfaktor ≈ 2∆ψ + 4 ≈ 2 ∆fBNF

+ 4

J = BHFBNF

NF-Störabstandsgewinn 10 log10(A2∆ψ2) ≈10 log10

(A2(J2 − 2

)2) 10 log10

(3A2( ∆f

BNF)2)≈

10 log10

(3A2

(J2 − 2

)2)G = G4

SNRNF A2 ·(J2 − γ

)2 · SNR0 3A2(

∆fBNF

)2· SNR0

28


1.6.5. Carson-Formel

zur Abschätzung der Bandbreite für winkelmodulierte Signale:

BHF ≈

2(∆f +BNF) für mittlere Qualität (90%)2(∆f + 2BNF) für hohe Qualität (99%)

(66)

Sie liefert zu große Werte für PM, jedoch eine gute Abschätzung für FM.

Γa =BNF

BHF≈

1

2( ∆fBNF

+ 1)für mittlere Qualität (90%)

beginequation2ex]1

2( ∆fBNF

+ 2)für hohe Qualität (99%)

(67)

1.6.6. Näherung an das LDS nach Woodward

Falls ∆f BNF, so kann für das LDS eines FM-Signals die quasistationäreNäherung nach Woodward verwendet werden:

ΦSS(f) ≈s2eff∆f

· fq(f

∆f

)(68)

1.6.7. Effektiver Frequenzhub bei FM

∆feff := ∆f ·A (69)

1.6.8. Einfluß von Störungen

1.6.8.1. HF-Störleistung

N = N0 ·BHF (70)

1.6.8.2. HF-Störleistungsverhältnis

SNRHF =s2eff

N0 ·BHF(71)

1.6.8.3. NF-Störleistungsverhältnis Die empfangsseitige Differentiationbei FM bewirkt eine Färbung des Störsignals. Die Störleistung steigt mit demQuadrat der HF-Bandbreite.

SNRNF = 3 ·A2 ·(δf

BNF

)2

· SNR0 (72)

29


1.6.8.4. FM-Schwelle Absenkung von SNRNF infolge Clicks um 1 [dB] ge-genüber Näherung für hohe Störabstände, d. h.

NK +Nc = 10110 ·NK ⇒ Nc = 0,26NK (73)

⇒ Q(√

2SNRHF, Schwelle) =0,26

3SNRHF, Schwelle · J2(74)

Bei FM-Rundfunk beträgt der Banderweiterungsfaktor J = 14 und SNRNF, Schwelleliegt bei 9 [dB].

1.6.9. Preemphase

1.6.9.1. Optimales Preemphasefilter

|HD(f)| = 4√λ · SNRf (75)

wobei λ so zu wählen ist, daß

√λ =

1Sq·

BNF∫−BNF

√Φqq(f) · Φnvnv(f) df (76)

=1Sq·

BNF∫−BNF

Φqq(f)√SNR(f)

df (77)

1.6.9.2. Optimales Signalstörleistungsverhältnis

SNRv, P =

Sq

BNF∫−BNF

√Φqq(f) · Φnvnv(f) df

2

(78)

1.6.9.3. Gewinn durch Preemphase

SNRv, P

SNRv=

BNF∫−BNF

Φqq(f) df ·BNF∫

−BNF

Φnvnv(f) df

BNF∫−BNF

√Φqq(f) · Φnvnv(f) df

2 (79)

30


1.7. Analoge Pulsamplitudenmodulation (PAM)

1.7.1. PAM-Sendesignal

s(t) =∞∑

k=−∞a[k]︸︷︷︸

5

g(t− kTA) (80)

1.7.2. Mittlere Autokorrelationsfunktion

φss(τ) =1TA

∑ν

φaa[ν]︸︷︷︸Ea[k]·a∗[k−ν]

· ϕgg(τ − νTA)︸︷︷︸g(t+τ−kTA)·g∗(t−(k−ν)TA)

(81)

1.7.3. Mittleres Leistungsdichtespektrum

Φss(f) =1TA

Φaa(fTA) · |G(f)|2 (82)

1.7.4. Spezialfälle des Leistungsdichtespektrums

1. Beim ideal abgetasteten Zufallsprozeß

x(t) = TA ·∑k

a[k]δ(t− kTA) (83)

giltΦxx(f) = TA · Φaa(fTA) (84)

2. FürY (f) = X(f) ·H(f) (85)

giltΦyy(f) = Φxx(f) · |H(f)|2 (86)

falls x(t) schwach zyklostationär ist, da zu schwach zyklostationären Zu-fallsprozessen durch Phase Randomizing schwach stationäre Ersatzpro-zesse gebildet werden können.

3. Die periodische Fortsetzung im Spektralbereich bei Abtastung gilt auchhinsichtlich des mittleren Leistungsdichtespektrums.

Φaa(F ) =1TA

·∑l

Φqq

(F − l

TA

)mit F = f · TA (87)

5a[k] = q(kTA), k ∈ Z ist die Folge der Amplitudenkoeffizienten

31


1.8. Pulscodemodulation (PCM)

1.8.1. Nachrichtenfluß1Tb

= fA · log2(Mq︸︷︷︸6

) = fA · n[

Bits

](88)

1.8.2. Mittlere Leistung des Quantisierungsgeräusch

NQ =MQ∑i=1

ui∫ui−1

(q − ri)2fq(q) dq (89)

1.8.3. Optimale Quantisierung nach Lloyd und Max

Das Verfahren nach Lloyd und Max findet den optimal an die gegebene Wahr-scheinlichkeitsdichtefunktion angepaßten Quantisierer, der die geringste Quan-tisierungsgeräuschleistung erzeugt.

1. Optimale Wahl der Rekonstruktionswerte. Gesucht: Rekonstruktionswer-te ri ∈ Ii, so daß die Leistung NQi

für das Intervall Ii minimiert wird.

ri =

ui∫ui−1

q · fq(q)P (q ∈ Ii)

dq (90)

⇒ Schwerpunkte bezüglich der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

2. Optimale Wahl der Intervallgrenzen ui

ui =ri+1 + ri

2(91)

⇒ Mittelwerte zwischen den Rekonstruktionswerten.

3. Initialisierung durch Vorgabe von Intervallgrenzen.

Iteration:

a) berechne ~r aus ~u.

b) berechne ~u aus ~r.

bis sich nichts mehr ändert.

6Zahl der Quantisierungsintervalle

32


1.8.4. Näherung an die optimale Quantisierung

Näherung an die optimale Quantisierung für kleine Quantisierungsintervalle.Voraussetzung:

∆qi qeff ∧Mq 1 (92)

1. Annäherung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Quellensignals in-nerhalb des Intervalls durch Konstanten.

2. Rekonstruktionswert = Mittelwert

ri = −1 +i−1∑k=1

∆qk + ∆qi2

(93)

1.8.5. Mittlere Quantisierungsgeräuschleistung

NQ =Mq∑i=1

∆q2i12

·ui∫

ui−1

fq(q) dq (94)

≈Mq∑i=1

∆q3i12

fq(ri) (95)

Spezialfall: gleichmäßige Quantisierung.

⇒ NQ =∆q2

12(96)

1.8.6. Zeitdiskretes Quantisierungsgeräusch

Falls ∆q qeff und fA2 nicht sehr viel größer ist als Bq

Φεε(F ) = NQ ∀F (97)

Mittlere Quantisierungsgeräuschleistung nach dem Rekonstruktionsfilter:

NQc = NQ ·2 ·BNF

fA(98)

Achtung: Überabtastung ist eine äußerst ineffiziente Maßnahme zur Geräusch-reduktion.

33


1.8.7. Störabstand bei gleichmäßiger Quantisierung

Voraussetzung: Gleichmäßige Quantisierung und nur geringe Übersteuerung.

SNRNF =q2effNQ

=A2

NQ= 2 ·A2 ·M2

q (99)

10 log10(SNRNF) = 4,77 [dB] + 10 log10(A2) + n · 6,02 [dB] (100)

⇒ 6[

dBBit

]Störabstandsgewinn (101)

1.8.8. Kompandierung

Erzeugung einer nicht gleichmäßigen Quantisierung durch zwei dispersionsfreienichtlineare Übertragungsglieder mit den Kennlinien

x = kK(q) (Kompander) (102)

v = k−1K (y) (Expander) (103)

vor einem ADC und einem DAC mit gleichmäßiger Quantisierung. Zielist ein konstanter NF-Störabstand über einen möglichst weiten Bereich desAussteuergrades.

1.8.8.1. Quantisierungsgeräuschleistung

NQ ≈1

3 ·M2q

·1∫

−1

fq(q)(k′K(q))2

dq (104)

1.8.8.2. Optimale Kompressorkennlinie

kK(q) = c ·q∫

0

3

√fq(q′) dq′ für q ≥ 0 (105)

1.8.8.3. Quantisierungsgeräuschleistung bei optimaler Kompandie-rung

NQ =2

3M2q

·

1∫0

3

√fq(q) dq

3

(106)

34


1.8.8.4. Gewinn bei optimaler Kompandierung

GK, max := 10 · log10

1

2 ·(∫ 1

03√fq(q) dq

)3

(107)

Gaußverteilung

GK, max = 10 log10

( 2√27π

A2(1−Q( 1√3A

))3

)(108)

Für A < 210 ist

GK, max = 10 log10

(2√27π

)− 20 log10A (109)

NF-Störabstand ohne Berücksichtigung von Übersteuerung:

10 log10(SNRNF) = n · 6,02 [dB]− 4,35 [dB] (110)

unabhängig von A.

Laplaceverteilung

GK, max = 10 log10

227(

1− e−√

23A

)3

− 20 log10(A) (111)

Für A < 110 ist

GK, max = 10 log10

(227

)− 20 log10A = −11,3 [dB]− 20 log10A (112)

NF-Störabstand ohne Berücksichtigung von Übersteuerung:

10 log10(SNRNF) = n · 6,02 [dB]− 6,53 [dB] (113)

unabhängig von A.

1.8.8.5. Störabstand bei optimaler Kompandierung

10 · log10(SNRNF) = 10 · log10(3M2qA

2) +GK, max (114)

35


−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

q−→

kK(q) −→

A = 87.56

Abbildung 1: A-law-Kompressorkennlinie

1.8.8.6. Logarithmische Kompandierung mit A-Law LogarithmischeQuantisierung erfordert keine Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktiondes Quellensignals. Der Quantisierungsfehler ist proportional zur Amplitudedes Quellensignals. Der Störabstand ist konstant über einen sehr großen Aus-steuerbereich.

Mit steigendem A stellt sich ein Verlust an maximal erzielbarem SNR ein.

Kompressorkennlinie

kK(q) =

q · A

1+lnA für 0 ≤ q < qL

1 + ln(q)1+ln(A) für qL ≤ q ≤ 1

−kK(−q) für q < 0

(115)

Geräuschleistung und SNR Durch die Kompandierung wird für |q| < qLdie Stufenzahl um den Faktor

a =A

1 + ln(A)(116)

gegenüber einer gleichmäßigen Quantisierung erhöht.

36


1. Bei sehr niedriger Aussteuerung

NQ ≈1

3(aMq)2(117)

SNRNF ≈ 3(aMq)2 ·A2 (118)

2. Bei mittlerer bis Vollaussteuerung

NQ ≈A2

3a2MQ2

(119)

10 log10(SNRNF) = 10 log10(3M2q )− 20 log10(1 + ln(A)) (120)

3. Bei Übersteuerung

NQ ≈ 2

∞∫0

q2 · fq(q + 1) dq (121)

SNRL ≈q2effNL

(122)

Fall 1 und 2 sind unabhängig von fq(q), das SNR infolge Quantisierung istkonstant. Erst in Fall 3 spielen Aussteuerung und Wahrscheinlichkeitsdichte-funktion eine Rolle für die Rauschleistung.

1.8.8.7. Abschnittsweise gleichmäßige Quantisierung

Störleistung

NQ ≈ 2 ·B∑l=1

∆q2l12

·bl∫

−bl−1

fq(q) dq (123)

Laplaceverteiltes Quellensignal

NQ =1

768 ·M2q

·

((1− x) +

6∑i=1

(x2i−1 − x2i) · 22i

)mit x = e−

√2

64A (124)

1.8.8.8. Überabtastverfahren zur Signalrekonstruktion

37


Wirksamer Quantisierungsfehler

N(z) = (1−R(z)) · E(z) (125)

Leistung des wirksamen Quantisierungsgeräuschs

NQ =∆q2

12· T ·

fa2∫

− fa2

∣∣∣1−R(ej2πfT )∣∣∣2 df (126)

Spezialfälle:

1. Keine Rückkopplung

R(z) = 0 ⇒ NQ =∆q2

12· T · fa =

∆q2

12· 1c

(127)

2. Vierfach-Überabtastung: c = 4, R(z) = z−1

NQ =∆q2

12· 2 ·

(1c−

sin(πc

)π

)(128)

Gewinn:

G = −10 log10

(2 ·

(1c−

sin(πc

)π

))(129)

1.8.9. Einfluß von Übertragungsfehlern auf das PCM-Signal

1.8.9.1. Bit Error Rate (BER)

BER := P (q[k] 6= q[k]) (130)

Beim AWGN-Kanal ist die Bitfehlerrate

BER = Q

(√2 · Eb

N0

)= Q

(√SNR0

n

)(131)

Der Worst-Case für die Fehlerrate ist BER = 0,5, da dann keine brauchbareVorhersage mehr möglich ist.

1.8.9.2. Word Error Rate (WER) Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß min-destens ein Bitfehler in einem Wort der Länge n auftritt. Die WER ist damitzugleich die Wahrscheinlichkeit für die Verfälschung eines Abtastwertes.

WER := P („Mindestens ein Bitfehler im Wort“) (132)

38


1.8.9.3. WER für den BSC

WER = 1− (1− BER)n ≈ n · BER (133)

1.8.9.4. Wahrscheinlichkeit für e Fehler in einem Wort

P (e Fehler in n Symbolen) =(n

e

)︸︷︷︸

7

·BERe︸︷︷︸8

· (1− BER)n−e︸︷︷︸9

(134)

1.8.9.5. Leistung des Fehlersignals

NE ≈ BER ·n−1∑l=0

1∑bn−1=0

· · ·1∑

b0=0

(r(bn−1, . . . , be, . . . , b0))2 · fq(r(~b))∆q(~b) (135)

Bei gewöhnlichem Binärcode hat das Fehlersignal die Leistung

NE ≈43· BER ∀n ≥ 4 (136)

Bei symmetrischem Binärcode hat es die Leistung

NE ≈ (4 ·A2 +13) · BER (137)

1.9. PCM-Schwelle

Die größte Bitfehlerrate, bei der das Fehlersignal infolge Übertragungsfehler imMittel keine höhere Leistung hat als das Quantisierungsrauschen.

1.10. Vergleichssignalstörleistungsverhältnis

für digitale Übertragung über den AWGN-Kanal:

Eb

N0(138)

1.10.1. Vergleichsstörabstand

10 log10

(Eb

N0

)[dB] (139)

7Zahl der möglichen Fehlermuster8e falsch9n− e richtig

39


1.10.2. Spektrale Effizienz (digital)

Γd =1Tb

BHF

[bit/sHz

](140)

1.11. Übertragung analoger Signale mittels PCM

1.11.1. Signalstörleistungsverhältnis

SNRv =A2

NQ +NE +NL(141)

1.11.2. Spektrale Effizienz

Γa = J−1 =Γd

2 n︸︷︷︸10

(142)

1.11.3. HF-Störleistungsverhältnis

SNRHF =Se

N0 ·BHF=Eb

N0· Γd (143)

1.11.4. Vergleichssignalstörleistungsverhältnis

SNR0 =Se

N0 ·BNF=

Se

N0 ·BNF· TbTb

= 2 · n · Eb

N0(144)

1.11.5. Shannon-Grenze

für die transparente11 digitale Übertraung eines Analogsignals:

SNRNF = (1 + Γa · SNR0)1

Γa − 1 (145)

1.12. Differenzielle Pulscodemodulation (DPCM)

1.12.1. Lineare Prädiktion

Erzeuge einen Prädiktionswert p[k] für den nachfolgenden Wert a[k+1] anhandbisher beobachteter Werte a[κ] (κ ∈ k; k − 1; . . . ;−∞) mittels eines linearenSystems mit der Impulsantwort hP[· · · ]

p[k] = a[k] ∗ hP[k] (146)

so daß der Prädiktionsfehler x[k] = a[k]− p[k − 1] minimal wird.10Wortlänge in Bit pro Abtastwert11d. h. nur BNF ist spezifiziert

40


1.12.2. Yule-Walker-Gleichung

Liefert in jedem Fall ein strikt minimalphasiges Prädiktionsfehlerfilter F (z) =1−HP (z) · z−1. n-ter Grad entspricht (n+ 1)-ter Ordnung.

1.12.2.1. 0. GradeshP[0] =

φaa[1]φaa[0]

(147)

1.12.2.2. 1. Grades

hP[0] =φaa[1]φaa[0]− φaa[2]φaa[1]

φ2aa[0]− φ2

aa[1](148)

hP[0] =φaa[0]φaa[2] + φ2

aa[1]φ2

aa[0]− φ2aa[1]

(149)

1.12.2.3. Beliebigen GradesP∑i=0

hP[i]φaa[l − i] = φaa[l + 1] für l = 0(1)P (150)

hP[0]φaa[0] hP[1]φaa[−1] · · · hP[P − 1]φaa[1− P ] hP[P ]φaa[−P ] φaa[1]

hP[0]φaa[1] hP[1]φaa[0] · · · hP[P − 1]φaa[2− P ] hP[P ]φaa[1− P ] φaa[2]

......

. . ....

......

hP[0]φaa[P − 1] hP[1]φaa[P − 2] · · · hP[P − 1]φaa[0] hP[P ]φaa[−1] φaa[P ]

hP[0]φaa[P ] hP[1]φaa[P − 1] · · · hP[P − 1]φaa[1] hP[P ]φaa[0] φaa[P + 1]

(151)

=

hP[0]φaa[0] hP[1]φaa[1] · · · hP[P − 1]φaa[P − 1] hP[P ]φaa[P ] φaa[1]

hP[0]φaa[1] hP[1]φaa[0] · · · hP[P − 1]φaa[P − 2] hP[P ]φaa[P − 1] φaa[2]

......

. . ....

......

hP[0]φaa[P − 1] hP[1]φaa[P − 2] · · · hP[P − 1]φaa[0] hP[P ]φaa[1] φaa[P ]

hP[0]φaa[P ] hP[1]φaa[P − 1] · · · hP[P − 1]φaa[1] hP[P ]φaa[0] φaa[P + 1]

(152)

41


1.12.3. Leistung des Prädiktionsfehlers

σ2x = φaa[0]︸︷︷︸

12

−P∑i=0

hP[i]φaa[i+ 1] (153)

1.12.4. Leistungsgewinn durch optimale Prädiktion

GP, opt = 10 log10

(φaa[0]σ2x

)(154)

= −10 log10

(1−

P∑i=0

hP[i] · φaa[i+ 1]φaa[0]

)(155)

1.12.5. Maximaler Gewinn durch lineare Prädiktion

σ2a

σ2x

=

1∫0

Φaa(F ) dF

eR 10 ln(Φaa(F )) dF

(156)

1.12.6. Vorwärtsprädiktion

Bringt keinen Vorteil bezüglich des meßbaren Störabstandes. Vorteil wegenpsychoakistischen Effekts. Prädiktionsfehlersignal nahezu weiß.

1.12.7. Rückwärtsprädiktion

Prädiktionsgewinn GP ist voll nutzbar.

NQ = X(z)− Y (z) = E(z) (157)

⇒ nQ[k] = ε[k] (158)

⇒ Fehler durch Quantisierung und Übersteuerung werden nicht verstärkt, dasPrädiktionsfehlersignal ist nahezu gaussverteilt. Die Zahl der Quantisierungs-stufen läßt sich durch Rückwärtsprädiktion bei gleichbleibender Qualität um

∆n =

16· ((20 log10(AD︸︷︷︸

13

)− 20 log10) +GP)

(159)

12Leistung vor dem Prädiktionsfilter

42


vermindern. Der Gewinn gegenüber PCM liegt für gewöhnlich bei 3 bis 4 Bitpro Abtastwert.

1.12.8. DPCM mit logarithmischer Kompandierung

Wenn ADC und DAC logarithmisch kompandieren, so wird der Prädiktions-gewinn durch DPCM unmittelbar in einen Störabstand transformiert.

1.12.9. Einfluß von Übertragungsfehlern

Das inverse Prädiktionsfilter1

F (z)=

11−HP(z)z−1

(160)

muß strikt stabil sein, d. h. alle Pole müssen innerhalb des Einheitskreises derz-Ebene liegen. Daraus folt, daß das Prädiktionsfilter strikt minimalphasig seinmuß, d. h.

F (z) = 1−HP(z)z−1 (161)

hat keine Nullstellen im Einheitskreis. Andernfalls pflanzen sich Übertragungs-fehler unendlich fort.

Prädiktoren, die durch Yule-Walker-Gleichungen gewonnen werden genügendiesen Anforderungen immer.

1.12.10. ∆-Modulation

Die ∆-Modulation ist die einfachste Form der DPCM. Es wird ein Prädiktornullten Grades mit der Übertragungsfunktion

HP(z) = 1 (162)

sowie Ein-Bit-ADC/DAC verwendet.

1.12.10.1. Störungen

• |Quantisierungsfehler| ≤ ∆

• Granulares Rauschen: Keine zwei aufeinanderfolgende Rekonstruktions-werte können gleich sein. Gegenmaßnahme: Überabtastung im Sinkenfil-ter.

• Steigungsüberlastung: Bitfehler verursachen bleibende Fehler ±2∆, diesich unendlich lang fortpflanzen. Gegenmaßnahme: Hochpaßanteil im Sin-kenfilter.

13Optimaler Aussteuergrad

43


1.12.11. Adaptive ∆-Modulation

Anpassung des Inkrements ±∆ an das Quellensignal

1.12.12. Σ∆-Modulation

Integration des Quellensignals vor der ∆-Modulation, Differentiation nach der∆-Demodulation. Vermeidet bleibende Fehler, vermindert das granulare Rau-schen und die Steigungsüberlastung. Dies ist der einfachste Empfänger ohneLinearitätsprobleme.

1.13. Shannon-Grenze

1.13.1. Austausch von Leistungs- und Bandbreiteneffizienz

Eb

N0=

1Γd·(2Γd − 1

)(163)

1.13.2. Kanalkapazität

CT = BHF · ld(

1 +S

N

)[bits

](164)

1.14. Kanalcodierung

1.14.1. Systematische Codierung

Werden bei binären Codesymbolen, d. h. für Mc = 2 die K Quellensymboledirekt auf K Codesymbole abgebildet, so spricht man von einer systematischenCodierung.

1.14.2. Zuordnung

Redundanzfreie Umcodierung der Codesymbolsequenz c[ν] mit ν ∈ Z, c[ν] ∈ C,|C| = Mc in das M -wertige Symbolalphabet 0; . . . ;M − 1 der Signalnum-mern, Transformation:

c[ν] 7→ m[k] ν, k ∈ Z m[k] ∈ 0; . . . ;M − 1 (165)

• m[k]: Signalnummer des k-ten Modulationsintervalls.

• M : Stufenzahl des Modulationsverfahrens bzw. des digitalen Übertra-gungsverfahrens.

44


Tabelle 16: Kennzeichen digitaler Übertragungssysteme

Formel Bezeichnung

1Tb

[bit/s] übertragener Nachrichtenfluß („Datenrate“)

Tb [s] Bitintervall

T [s] Symbolintervall (Symbolabstand)

1T [symbole/s] [Symbole/s] Symbolrate (Baudrate)

R = TTb

[bit/Symbol] Rate des Übertragungsverfahrens

Ss mittlere Sendesignalleistung

Se mittlere Leistung des Empfangsnutz signals

Es = Se · T mittlere Empfangssignalenergie pro Symbol

Eb = Se · Tb = EsR mittlere Signalenergie je bit

BHF einseitige Bandbreite des Signals

Γd = 1B =

1TbBHF

[bits

Hz

]Bandbreiteneffizienz (spektrale Effizienz)

EbN0

Leistungseffizienz

45


Tabelle 17: Parameter des AWGN-Kanals

Bezeichnung Formel

Zweiseitige Rauschleistungsdichte N02

Einseitige Rauschleistungsdichte N0

Vergleichsstörleistungsverhältnis EbN0

= Se · TbN0

= EsN0·R

Tabelle 18: Parameter eines Kanalcodes

Formel Bezeichnung

n Codewortlänge

C = c1, c2, . . . , cMc Codesymbolalphabet

Rc = 1n · ld

(2K)

= Kn

[bit

Codesymbol

]Coderate

ρc = 1n ·(ld(Mn

c − ld(2K)))

= ld(Mc)−Rc

[bit

Codesymbol

]Coderedundanz je Codesymbol

46


1.14.3. Mapping-Redundanz

ρM = ld(M)− L

Vld(Mc) (166)

1.15. Modulation

Repräsentation der Sequenz m[k], k ∈ Z von Signalnummern durch das wert-und zeitkontinuierliche Sendesignal sHF(t), bzw. das E. C. B.-Signal s(t), wobei

• jeder Signalnummer m[k] (unabhängig von vorausgegangenen und nach-folgenden Signalnummern) ein Signalimpuls sm[k](t − kT ) je Modulati-onsintervall T aus der Signalmenge

S = s0(t), s1(t), . . . , sM−1(t) (167)

mit |S| = M zugeordnet wird. Die Elemente der Signalmenge (die Signa-limpulse) werden als die Signalelemente des digitalen Übertragungsver-fahrens bezeichnet.

• das Sendesignal durch additive Überlagerung dieser Signalelemente ent-steht:

s(t) =∞∑

k=−∞sm[k](t− kT ) (168)

sHF(t) =∞∑

k=−∞sHF,m[k](t− kT ) (169)

• die Signalelemente bezüglich zeitlicher Verschiebung um ganzzahlige Viel-fache des Symbolintervalls T wechselseitig und bezüglich sich selbst or-thogonale Funktionen bilden.

1.15.1. Rate

Mittlerer Informationsgehalt, gemessen in bit pro Symbol, Modulationsab-schnitt, Modulationsintervall oder Zeit.

1.15.2. Rate eines Modulationsverfahrens Rm

Rm = H(M) mit H(M) = −M−1∑m=0

P (M = m) ld(P (M = m)) (170)

Mittlerer Informationsgehalt je Modulationsschritt unter Annahme einer red-undanzfreien Zuordnung redundanzfreier Quellensymbole auf die Signalelemen-te, also ohne Kanalcodierung. Es gilt Rm ≤ log2(M), mit Gleichheit bei gleich-wahrscheinlichen Signalelementen.

47

1. NachrichtenübertragungT

abel

le19

:Par

amet

erei

nes

disk

rete

nM

odul

atio

nsve

rfah

rens

Form

elB

ezei

chnu

ng

1 Tb

Übe

rtra

gene

rIn

form

atio

nsflu

ß

TM

odul

atio

nsin

terv

all,

Mod

ulat

ions

schr

itt

MM

odul

atio

nsst

ufen

zahl

Es=∑ M

−1

m=

0Em·P

(M=m

)M

ittl

ere

Sign

alen

ergi

eje

Sym

bol

Es=

1 M

∑ M−

1m

=0Em

Mit

tler

eSi

gnal

ener

gie

jeSy

mbo

lbei

glei

chw

ahrs

chei

nlic

hen

Sign

alel

emen

ten

Em

=∫ ∞ −

∞|s

m(t

)|dt

Mit

tler

eSi

gnal

ener

gie

jeSy

mbo

l

S=

EsT

mit

tler

eSi

gnal

leis

tung

R=R

c·L V[

bit

Mod

ulat

ions

absc

hnit

t] Abb

ildun

gvo

nL

Cod

esym

bole

nm

itjeR

cbi

tIn

form

atio

nau

fV

Sign

alel

emen

te

R=

T Tb≤

ld(M

)K

onti

nuit

ätsb

edin

gung

1bi

tT

b=

Rbi

tT

R=

ld(M

)be

ired

unda

nzfr

eier

Übe

rtra

gung

1 T=

1 Tb·

1 R=

1T

b·R

c·L

Schr

ittg

esch

win

digk

eit

(Bau

drat

e)

Eb

=S·T

b=

EsR

mit

tler

eSi

gnal

ener

gie

jebi

tIn

form

atio

n

MZu

falls

vari

able

zur

Sign

alnu

mm

erm

48


1.15.3. Signalformung

Verfahren zur Erzeugung einer nicht gleichwahrscheinlichen Verteilung für dieSignalelemente.

Shaping-Redundanz:ρS = ld(M)−H(M) (171)

1.15.4. Rate eines digitalen Übertragungsverfahrens

R = Rc ·Rm =T

Tb

[bit

Modulationswert

](172)

Mittlerer Informationsgehalt, der pro Modulationsschritt übertragen werd, Ka-nalcodierung, Zuordnung und Signalformung eingeschlossen.

1.16. Digitale Pulsamplitudenmodulation

Sind alle M Signalelemente eines digitalen Modulationsverfahrens Vielfacheeiner Grundimpulsform g(t), d. h.

si(t) = aig(t) i ∈ 0, . . . ,M − 1 (173)

so spricht man von Pulsamplitudenmodulation.Der Digitalen Symbolfolge wird eine Sequenz von Amplitudenkoeffizienten

zugeordnet, die einer Menge A mit M Elementen entstammen. das Sendesignalsetzt sich aus äquidistanten Impulsen zusammen, die mit den Amplitudenko-effizienten gewichtet werden:

s(t) =∞∑

k=−∞am[k]g(t− kT ) am[k] ∈ A ∧ k ∈ Z (174)

1.16.1. Impulsformer

Ein Impulsformer ist ein Filter, das die Sendeimpulse so formt, daß sie möglichstwenig Bandbreite benötigen.

1.16.2. Grundimpulsform der PAM

1.16.2.1. Energie des Grundimpulses

Eg =

∞∫−∞

|g(t)|2 dt =

∞∫−∞

|G(f)|2 df (175)

49


1.16.2.2. Leistungsdichtespektrum der zeitdiskreten Folge

Φaa(F ) = σ2a + |ma|2 ·

1T·

∞∑t=−∞

δ

(F − l

T

)(176)

1.16.2.3. Leistungsdichtespektrum des PAM-Signals

Φss(f) = σ2a ·|G(f)|2

T+ |ma|2 ·

|G(f)|2

T 2·

∞∑t=−∞

δ

(f − l

T

)(177)

1.16.2.4. Spitzenwertfaktor des PAM-Signals

ζ ≤ ζa · ζg (178)

wobei

ζa =maxam |am|√E |a|2

(179)

ζg =maxt

∑∞k=−∞ |g(t− kT )|√

Eg

T

(180)

1.16.3. Signalangepaßtes Filter

zur optimalen Detektion von Impulsen beim AWGN-Kanal. Liefert eine ge-spiegelte und verschobene Version des Originalimpulses.

HM(f) = γG∗(f) · e−j2πfTV (181)hM(t) = γg∗(TV − t) (182)

g(t): gesuchter Impuls.Für PAM ist

γ =1Eg

(183)

1.16.4. ISI-freie PAM-Übertragung über den AWGN-Kanal

Ermöglicht die optimale Extraktion mittels Signalangepaßtem Filter.

1.16.4.1. Detektionssignal am Ausgang des Signalangepaßten Filters:

d(t) =∞∑

k=−∞am[k]ϕ(t− kT − TV ) (184)

50


1.16.4.2. Störsignal am Ausgang des Signalangepaßten Filters:

σ2n = φndnd

(0) =N0

xEg(185)

Die Störabtastwerte sind statistisch unabhängig, wenn das 1. Nyquistkriteriumerfüllt ist (siehe 1.16.4.3).

1.16.4.3. 1. Nyquist-Kriterium

ϕ[λT ] =

∞∫−∞

g(t′ + λT ) · g∗(t′) dt′ =

Eg für λ = 0

0 sonst

= δ[λ]Eg (186)

⇒ Um Vielfaches des Grundimpulses verschobene Impulse sind wechselseitigorthogonal.

1.16.4.4.√

Nyquist-Impuls Impulse g(t), deren Autokorellierte ϕgg(τ) mitsich selbst bei l

T ∀l ∈ Z spektral überlagert äquidistante Nullstellen bei t =kT∀k ∈ Z \ 0 besitzt. Das gilt insbesondere für

1. Jeden zeitbegrenzten Impuls.

2. Rechteck/Trapez im Frequenzbereich.

3. Punktsymmetrische cos-Flanke im Frequenzbereich.√

Nyquist-Impulse ermöglichen eine ISI-freie Übertragung über nichtverzerren-de Kanäle mit anschließender Rekonstruktion durch Signalangepaßte Filter.

1.16.5. Detektion und Decodierung für digitale PAM-Signale

Ein Abtastwert pro Modulationsschritt ist hinreichend, falls phasensynchronabgetastet wird (dies reicht jedoch nicht für eine Rekonstruktion eines zeitkon-tinuierlichen Signals).

1.16.5.1. MAP-Regel

~a = argminM−1~a∈C1σ2n

∣∣∣~d− ~a∣∣∣2 − ln(P ( ~A = ~a)) (187)

~d ist das Detektionssignal, ~a der Kandidat, aus dem ~d entstanden sein könnte.

51


Tabelle 20: Beispiele für Minimale Euklidische Distanzen einiger Modulations-arten ohne Kanalcodierung.

Verfahren d2min

ASK bipolar 6ld(M)M2−1

PSK 2ld(M) · sin2(πM

)QAM quadratische Konstellation 3ld(M)

M−1

1.16.5.2. ML-Regel

~a = argminM−1~a∈C

∣∣∣~d− ~a∣∣∣2 (188)

1.16.5.3. Metrik eines Codeworts ~c

Λ(~c) = c1 ln(f~d(~d|~a)) + c2 (189)

1.16.5.4. Normierte Euklidische Distanz eines digitalen Übertragungs-verfahrens

d2min :=

Eg2Eb

·min~m6=~l

∞∑k=−∞

|am[k] − al[k]|2 (190)

Ohne Kanalcodierung

d2min =

Eg2Eb

·minm=l

|am − al|2∀m, l ∈ 0; 1; . . . ;M − 1 (191)

Beispielwerte siehe Skript S. 544.

Mit Kanalcodierung

d2min =

Eg

2Ebmin~m6=~l

N−1∑k=0

∣∣am[k] − al[k]∣∣2 : M−1 ~m ,M−1

~l∈ C (192)

1.16.6. Fehlerwahrscheinlichkeit bei kohärenter Demodulation

1.16.6.1. ML-Detektion ohne Kanalcodierung

52


Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei Bipolarer ASK

SER =2M − 2M

·Q

(√d2

min ·EbN0

)(193)

Schätzungstip: Für große M verhält sich der Vorfaktor wie 2.

Allgemeine untere Schranke

SER ≤ Nmin ·Q

(√d2

min ·EbN0

)(194)

Nmin mittlere Zahl Nachbarsignalpunkte.

Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei PAM mit Gray-Zuordnung

BER ≈ Nmin

ld(M)·Q

(√d2

min ·EbN0

)(195)

1.16.6.2. Kapazität des AWGN-Kanals

C = log2

(1 +

S

N

)(196)

Im Optimalfall nimmt R den Wert C an.

1.16.6.3. Leistungs-Raten-Diagramm für digitale PAM

R =T

Tbld(

1 +Eb

N0·R)

= ld

(1 +

S · TbN0T · Tb

)(197)

Eb

N0=

1R

(198)

ES

N0= 2R − 1 ⇔ R = ld

(1 +

ES

N0

)= Γd · (1 + α)

(2R − 1

)(199)

1.16.6.4. Leistungs-Bandbreiten-Diagramm für digitale PAM Band-breiteneffizienz für

√Nyquist-Impulse:

Trägermoduliert

Γd =1

BHF· Tb =

R

1 + α=

ld(M)1 + α

(200)

BHF =1T

(1 + α) =1 + α

ld(M) · Tb(201)

53

A. Mathematische Grundlagen

Basisbandübertragung

Γd = 2 · R

1 + α= 2 · ld(M)

1 + α(202)

BS =1

2T· (1 + α) =

1 + α

2(ld(M) · Tb)(203)

1.16.6.5. Kanalcodierung für binäre bipolare Übertragungsverfahren

Hamming-Distanz Anzahl δ der Symbole, in denen sich zwei Codewörter~cn und ~ci unterscheiden. δmin − 1 Fehler sind erkennbar, δmin−1

2 Fehler sindkorrigierbar.

Rate eines CodesRc =

k

n

[bit

Codesymbol

](204)

k Quellwortlänge, n Codewortlänge.Fehlerkorrektur bedeutet Störabstandsgewinn durch Bandbreitenerweiterung.

Ratenverlust Kanalcodierung verursacht einen Ratenverlust, da für die Co-deredundanz Energie aufgewendet werden muß.

Eb =ES

R= ES ·

Tb

T(205)

Bei binärem Kanalcode gilt

Eb =ES

Rc · ld(M)(206)


A.1. Frequenz

A.1.1. Definition

f :=1T

(207)

T ist die Periode der Schwingung.

54


Tabelle 21: Teile von Einheiten

Bezeichnung Präfix Faktor Faktor2 Faktor3

yotto y 10−24 10−48 10−72

zepto z 10−21 10−42 10−63

atto a 10−18 10−36 10−54

femto f 10−15 10−30 10−45

pico p 10−12 10−24 10−36

nano n 10−9 10−18 10−27

micro µ 10−6 10−12 10−18

milli m 10−3 10−6 10−12

centi c 10−2 10−4 10−8

deci d 10−1 10−2 10−4

55


Tabelle 22: Vielfache von Einheiten

Bezeichnung Präfix Faktor Faktor2 Faktor3

Deka da 101 102 103

Hekto h 102 104 106

Kilo k 103 106 1012

Mega M 106 1012 1018

Giga G 109 1018 1027

Tera T 1012 1024 1036

Peta P 1015 1030 1045

Exa E 1018 1036 1054

Zeta Z 1021 1042 1063

Yotta Y 1024 1048 1072

56


A.1.2. Kreisfrequenz

ω := 2πf (208)

A.1.3. Normierte Kreisfrequenz

Ω :=ω

fa(209)

fa ist die Abtastfrequenz.

A.1.4. Die z-Ebene

z := ejΩ (210)

A.2. Lösungsformel für quadratische Gleichungen

ax2 + bx+ c = 0 (211)

⇒ x1,2 =

−b±

√b2 − 4ac

2afalls b2 − 4ac ≥ 0

−b± j√−(b2 − 4ac)2a

falls b2 − 4ac < 0(212)

A.3. Geradengleichung

A.3.1. Gerade durch einen Punkt P (x0, y0) mit Steigung m

y = m(x− x0) + y0 (213)

A.3.2. Gerade durch die Punkte P (x0, y0) und A(x1, y1)

y = y0 +y1 − y0

x1 − x0· (x− x0) mit x1 6= x0 (214)

A.3.3. Parameterform

x = x0 + t cosα (215)y = y0 + t sinα (216)

mit t ∈ ]−∞,∞[.

A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung

Ax+By + C = 0 (217)

57


cottan

cos

sin

Abbildung 2: Trigonometrische Funktionen

Tabelle 23: Trigonometrische Funktionen – Funktionswerte besonderer Winkel

0 π6

π4

π3

π2 π 3

2π Quadrant

ϕ 0 30 45 60 90 180 270 I II III IV

sinϕ 0 12

12

√2 1

2

√3 1 0 −1 + + − −

cosϕ 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0 −1 0 + − − +

tanϕ 0 13

√3 1

√3 nicht

definiert0 nicht

definiert+ − + −

cotϕ nichtdefiniert

√3 1 1

3

√3 0 nicht

definiert0 + − + −

58


A.4. Additionstheoreme

sinα · sinβ =12(cos(α− β)− cos(α+ β)) (218)

cosα · cosβ =12(cos(α− β) + cos(α+ β)) (219)

sinα · cosβ =12(sin(α− β) + sin(α+ β)) (220)

sin2 α =12(1− cos 2α) (221)

cos2 α =12(1 + cos 2α) (222)

sin 2α = 2 sinα cosα = 1− cos2 α (223)

cos 2α = cos2 α− sin2 α = 1− sin2 α (224)

sinα =ejα − e−jα

2j(225)

cosα =ejα + e−jα

2(226)

ejα = cosα+ j sinα (227)

e−jα = cosα− j sinα (228)

A.5. Rechenregeln des Logarithmus

logb(u · v) = logb u+ logb v logb(uv

)= logb u− logb v (229)

logb uz = z · logb u logb

n√u =

1n· logb u (230)

A.6. Differentiation

A.6.1. Regeln

A.6.1.1. Quotientenregel (uv

)′=u′v − uv′

v2(231)

59


A.6.1.2. Kettenregel

(u(v(x)))′ = u′(v(x)) · v′(x) (232)

A.6.1.3. Produktregel

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x) (233)

A.6.1.4. Logarithmische Differentiation

y = u(x)v(x) mit u(x) > 0 (234)

⇒ y′ = u(x)v(x)(v′(x) · lnu(x) +

v(x) · u′(x)u(x)

)(235)

A.6.1.5. Differentiation eines parameterabhängigen Integrals

∂

∂x

b(x)∫a(x)

f(t, x) dt =

b(x)∫a(x)

∂

∂xf(t, x) dt+f(b(x), x)·b′(x)−f(a(x), x)·a′(x) (236)

A.6.1.6. l’Hospital’sche Regel

limx→a

u(x)v(x)

= limx→a

u′(x)v′(x)

(237)

A.6.2. Operatoren

A.6.2.1. Laplace-Operator ∆

∆f :=n∑i=1

∂2f

∂x2i

(238)

= Sp (Hessf (~x)) (239)= ∇ · ∇f (240)

A.6.2.2. Divergenz-Operator div

Definition

divf :=n∑i=1

∂fi∂xi

= Sp(J~v) = ∇ · f (241)

Rechenregeln

∇ · (φ~v) = (∇φ) · ~v + φ(∇~v) (242)∇ · (~v × ~w) = ~w · (∇× ~v)− ~v · (∇× ~w) (243)

60


A.6.2.3. Gradient-Operator ∇

Definitiongradf := ∇f = (fx1 , · · · , fxn)T (244)

Rechenregeln∇(A+B) = ∇A+∇B (245)

∇(A B) = ∇A B +∇A

B (246)

Hierbei bedeutet „“ eines der Produkte „·“, „×“ oder „⊗“ und „A“ bedeutet,

daß ∇ nur auf A angewandt wird. Damit folgt:

∇(φψ) = φ(∇ψ) + (∇φ)ψ (247)∇(φ~v) = ~v ⊗ (∇φ) + φ(∇~v) (248)

∇(~v · ~w) = (∇~v)T ~w + (∇~w)T~v (249)∇ · (φf) = (∇φ) · f + φ∇ · f (250)

A.6.2.4. Rotations-Operator

Definition

rot~V :=

∂v3∂x2

− ∂v2∂x3

∂v1∂x3

− ∂v3∂x1

∂v2∂x1

− ∂v1∂x2

= ∇× ~V (251)

Rechenregeln

∇× (φ~v) = (∇φ)× ~v + φ(∇× ~v) (252)

∇× (~v × ~w) = (∇ · ~w)~v +∂~v

∂ ~w− (∇ · ~v)~w − ∂ ~w

∂~v(253)

Hierbei ist ∂~v∂ ~w die Richtungsableitung von ~v in Richtung von ~w, d. h. ∂

∂ ~w = ~w·∇.

61


A.6.2.5. Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix)

∇~f =∂ ~f

∂~x= J ~f =

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

.... . .

...

∂fm

∂x1· · · ∂fm

∂xn

= ~f ⊗∇ (254)

A.6.2.6. Hesse-Matrix

Hessφ(~x) =∂2φ

∂x2=

∂2φ∂x2

1

∂2φ∂x1∂x2

∂2φ∂x1∂x3

∂2φ∂x2x1

∂2φ∂x2

2

∂2φ∂x2∂x3

∂2φ∂x3x1

∂2φ∂x3x2

∂2φ∂x2

3

(255)

= grad(gradφ) = ∇⊗∇φ (256)

A.6.2.7. Zusammengesetzte Operationen

∇ · (∇× ~v) = 0 (257)∇× (∇φ) = 0 (258)

∇× (∇× ~v) = ∇(∇ · ~v)−∆~v (259)

A.7. Integrationsregeln

A.7.1. Partielle Integration∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x) dx (260)

A.7.2. Substitutionsregel

x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen.∫f(x) dx =

∫f(u(t))u′(t) dt bzw. (261)∫

f(x) dx =∫

f(u(t))v′(u(t))

dt (262)

62


Tabelle 24: Potenzen der imaginären Einheit

n 0 1 2 3

j(n mod 4) 1 j −1 −j

A.7.3. Logarithmische Integration∫f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|+ c (263)∫f ′(x) · f(x) dx =

12· f2(x) + c (264)

A.7.4. Integration der Umkehrfunktion

u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. Dann ist∫u(x) dx = xu(x)− F (u(x)) + c1 (265)

mitF (x) =

∫v(x) dx+ c2 (266)

A.8. Komplexe Zahlen

z = a+ jb (267)= ρ(cosϕ+ j sinϕ) (268)

arg z = ϕ+ 2kπ (−π < ϕ ≤ +π ∧ k ∈ Z) (269)

a = ρ cosϕ (270)b = ρ sinϕ (271)

ρ =√a2 + b2 (272)

ϕ =

arccos aρ für b ≥ 0 ∧ ρ > 0

− arccos aρ für b < 0 ∧ ρ > 0

unbestimmt für ρ = 0

(273)

63


ϕ =

arctan ba für a > 0

+π2 für a = 0 ∧ b > 0

−π2 für a = 0 ∧ b < 0

arctan ba + π für a < 0 ∧ b ≥ 0

arctan ba − π für a < 0 ∧ b < 0

(274)

z = ρ · ejϕ (275)

ejϕ = cosϕ+ j sinϕ (276)

ea+jb = ea · cos b+ jea · sin b (277)

A.8.1. Komplexe Wurzel

n√z = n

√|z| ·

(cos(ψ + 2πk

n

)+ j sin

(ψ + 2πk

n

))(278)

mit k = 0, . . . , n− 1 und ψ = arg(z).

A.9. Binomialkoeffizient(n

k

)=(

n

n− k

)=

n!k!(n− k)!

(279)

A.9.1. Reihen

Für konvergente Reihen gilt

∞∑n=1

(αan + βbn) = α

∞∑n=1

an + β

∞∑n=1

bn (280)

A.10. Abschätzung mittels Union-Bound

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) ≤ P (A) + P (B) (281)

14Harmonische Reihe15Geometrische Reihe

64


Tabelle 25: Bekannte Reihen

Formel Anmerkung

14∞∑n=1

1n

divergiert

15∞∑k=0

qk1

1− qfalls |q| < 1

k1∑k=k0

qkqk0 − qk1+1

1− q

n∑(−1)n

ln(

12

)∞∑n=1

1n2

π6

∞∑n=1

1nα

konvergiert für α > 1

m∑n=1

nm · (m+ 1)

2

m∑n=1

n2 m · (m+ 1) · (2n+ 1)6

65

B. Abtasttheorem

A.11. Bessel-Funktion erster Art

A.11.1. Definition

Jν(η) =12π

π∫−π

ej(η sinx−νx) dx (282)

≈ 1n!·(x

2

)n− 1

(n+ 1)!·(x

2

)n+1falls x 1 (283)

A.11.2. Eigenschaften

• n gerade ⇒ Jn(x) = Jn(−x) = J−n(x) = J−n(−x)

• n ungerade ⇒ Jn(x) = −Jn(−x) = −J−n(x) = J−n(x)

B. Abtasttheorem

B.1. Basisband-Signale

ωB ≤ωS2

=π

T(284)

B.2. Bandpass-Signale

ωS = 2ωB mit ωB = ω2 − ω1 (285)

falls die obere Bandgrenze ω2 ganzzahliges Vielfach der Bandbreite ωB ist.Sonst wähle maximales ganzzahliges n, so daß

ωS = 2ω2

n> 2ωB (286)

B.3. Interpolationsfilter

B.3.1. Basisbandsignale

H(jω) = T rect(

ω

2ωB

)(287)

(288)h(t) = T · 2 · ωB · sinc(t · ωB)(?) (289)

66

C. Zufallsvariablen

B.3.2. Bandpaßsignale

H(jω) = T rect(ωT

π

)∗(δ

(ω − ω0 −

∆ω2

)+ δ

(ω + ω0 +

∆ω2

))(290)

(291)

h(t) = sinc(πt

2T

)· cos

((ω0 +

∆ω2

)· t)

(292)

B.4. Abtastung

xs(t) = xc(t) ∗∞∑−∞

δ(t− nT ) (293)

(294)

Xs(jω) =12πXc(jω) · 2π

T

∞∑k=−∞

δ(ω − 2πT· k) (295)

C. Zufallsvariablen

C.1. Statistische Unabhängigkeit

C.1.1. Statistische Unabhängigkeit

fXY (x, y) = fX(x) · fY (y) (296)

C.1.2. Unkorreliertheit

E XY = E X · E Y (297)

Aus statistischer Unabhängigkeit folgt Unkorreliertheit – ausschließlich beiGauß-Verteilung folgt aus Unkorreliertheit statistische Unabhängigkeit.

Für unkorrelierte Zufallsprozesse gilt

SXY (jω) = 2π ·mX ·m∗Y · δ(ω) (298)

SXY (ejΩ) = 2π ·mX ·m∗Y ·

∞∑k=−∞

δ(Ω− 2πk) (299)

67

C. Zufallsvariablen

C.1.3. Orthogonalität

Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen orthogonal, wenn E XY = 0.Aus Unkorreliertheit und E X = 0 ∪ E Y = 0 folgt Orthogonalität.Für orthogonale Zufallsprozesse gilt

RXY = 0 ∧ SXY = 0 (300)

C.2. Bedingte Wahrscheinlichkeit

P (B|A) =P (B ∩A)

P (A)(301)

C.2.0.1. Satz von Bayes

P (A|B) =P (B|A) · P (A)

P (B)(302)

Bei statistischer Unabhängigkeit gilt

P (A|B) = P (A) ∧ P (B|A) = P (B) (303)

1. P (B|B) = 1

2. P (∅|B) = 0

3. Falls A ∩B = ∅, so gilt

P (A ∪ C|B) = P (A|B) + P (C|B) (304)

C.3. Abbildungen von Zufallsvariablen

C.3.1. Eindimensionaler Fall

fY (y) = fX(x) · |dx|dy

=fX(x)|g′(x)|

(305)

C.3.2. Mehrdimensionaler Fall

fY (~y) =fX(g−1(~y))

|det J(g−1(~y))|=

fX(~x)|det J(~x)|

mit J(~x) =

∂g1∂x1

· · · ∂g1∂xK

.... . .

...

∂gK∂x1

· · · ∂gK∂xK

(306)

68

C. Zufallsvariablen

1e− 16

1e− 14

1e− 12

1e− 10

1e− 08

1e− 06

0.0001

0.01

1

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Q(x

)−→

20 log10(x) −→

(a) logarithmische Darstellung

Abbildung 3: Das komplementäre gauß’sche Fehlerintegral

fUW (u,w) =fXY (x, y)|det J(x, y)|

(307)

C.4. Wichtige Funktionen

C.4.1. Komplementäres gauß’sches Fehlerintegral

Q(x) :=

∞∫x

1√2π

e−y2

2 dy (308)

Tip: Bei Q(√

2 · . . .) hebt sich die Wurzel mit 20 log(. . . ) weg.

69

C. Zufallsvariablen

C.5. Verteilung und Dichte

C.5.1. Eigenschaften einer Dichte

fX(x) ≥ 0 ∧∞∫

−∞

fX(x) dx = 1 (309)

C.5.2. Eigenschaften einer Verteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist immer monoton steigend. Außerdem gilt

0 ≤ FX(x) ≤ 1 (310)

C.5.3. Randdichte und Randverteilung

C.5.3.1. Randdichte

fX(x) =

∞∫−∞

fXY (x, η) dη (311)

fY (y) =

∞∫−∞

fXY (ξ, y) dξ (312)

C.5.3.2. Randverteilung

FX(x) =

x∫−∞

∞∫−∞

fXY (ξ, η) dη dξ =

x∫−∞

fX(ξ)dξ (313)

FY (y) =

y∫−∞

∞∫−∞

fXY (ξ, η) dξ, dη =

y∫−∞

fY (η) dη (314)

C.5.4. Bedingte Verteilungen

FX|X>t(x) =

∫ x−t fX(ξ) dξ1− FX(t)

(315)

fY (y|X = x) =fXY (x, y)fX(x)

(316)

fY |X(y) =fXY (x,y)

fX(x)(317)

70

C. Zufallsvariablen

C.5.5. Spezielle Verteilungen

Skript ab Seite 131.

C.5.5.1. Gleichverteilung

Diskreter Fall

fX(x) =1N·N∑i=1

δ(x− xi) (318)

mX =1N·N∑i=1

xi (319)

σ2X =

1N·N∑i=1

(xi −mX)2 (320)

Kontinuierlicher Fall

fX(x) =

1

xmax−xminfür xmin ≤ x ≤ xmax

0 sonst(321)

mX =xmax + xmin

2(322)

σ2X =

x3max − x3

min

3(xmax − xmin)− (xmax + xmin)2

4(323)

Der Spitzenwertfaktor eines Zufallsprozesses mit gleichverteilter Amplitude istζq0 =

√3.

C.5.5.2. Binomialverteilung (Bernoulli-Experiment)

fX(x) =N∑k=0

(N

k

)pk · (1− p)N−k · δ(x− k) mit 0 < p < 1 (324)

FX(x) =N∑k=0

(N

k

)pk · (1− p)N−k · ε(x− k) mit 0 < p < 1 (325)

mX = N · p (326)

m(2)X = N · p(1 +Np− p) (327)

σ2X = N · p(1− p) (328)

71

C. Zufallsvariablen

Die Binomialverteilung nähert sich für N · p · (1− p) 1 der Normalverteilungan.

C.5.5.3. Geometrische Verteilung Beschreibt die Zahl der Fehlversuchebis zum ersten Treffer.

fX(x) =∞∑k=0

p · (1− p)k · δ(x− k) mit 0 < p < 1 (329)

FX(x) =∞∑k=0

p · (1− p)k · ε(x− k) (330)

ΦX(s) =p

1− (1− p) · es(331)

mX =1− p

p(332)

m(2)X =

(1− p)(2− p)p2

(333)

σ2X =

1− p

p2(334)

C.5.5.4. Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeit, daß bei einem wiederhol-ten Bernoulli-Experiment k Ergebnisse im Intervall ∆ liegen.

fX(x) = e−a ·∞∑k=0

ak

k!· δ(x− k) (335)

FX(x) = e−a ·∞∑k=0

ak

k!· ε(x− k) (336)

ΦX(s) = ea(es−1) (337)

mX = a (338)

m(2)X = a+ a2 (339)

σ2X = a (340)

Wobei a = λ∆.

C.5.5.5. Gauß-Verteilung (Normal-Verteilung) N (mX , σX)

72

C. Zufallsvariablen

Definition

fX(x) =1√

2π · σX· e−(x−mX)2/2σ2

X (341)

FX(x) =12·[1 + erf

(x−mX√

2σX

)]mit erf(x) =

2√π∫ x0

e−ξ2

dξ (342)

ΦX(s) = es2σ2

X/2+smX (343)

Nur bei normalverteilten Zufallsvariablen gilt:Xi unkorreliert ⇒ Xi statistisch unabhängig. Der Spitzenwertfaktor eines

Zufallsprozesses mit gaußverteilter Amplitude geht gegen Unendlich.

Zwei gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen

fXY (x, y) =1

2πσXσY√

1− c2XY

·e

„− 1

2(1−c2XY

)·„

(x−mX )2

σ2X

−2cXY ·(x−mX )(y−mY )

σXσY+

(y−mY )2

σ2Y

««

(344)

N gemeinsam normalverteilte Zufallsvariablen N ZufallsvariablenX1, . . . , XN

werden als gemeinsam normalverteilt bezeichnet, wenn jede Linearkombinationy = a1X1 + · · ·+ aNYN = ~a ~X eine normalverteilte Zufallsvariable erzeugt.

C.5.5.6. Cauchy-Verteilung

fX(x) =b

π(b2 + (x− a)2)(345)

x0,5 = a = mX (346)

C.5.5.7. Lognormal-Verteilung

fX(x) =1√

2πσUx· e− (ln x−mU )2

2σ2U · ε(x) (347)

C.5.5.8. Laplace-Verteilung

fX(x) =1√2σX

· e−√

2|x−mX |/σX (348)

ΦX(s) =2

2− σ2Xs

2· esmX (349)

73

C. Zufallsvariablen

C.5.5.9. Γ-Verteilung

fX(x) =λa · xa−1eλx

Γ(a)ε(x) (350)

FX(x) =

∞∫0

λaξa−1e−λξ

Γ(a)dξ · ε(x) (351)

Γ(x) =

∞∫0

tx−1 · e−t dt x > 0 (352)

= (x− 1)! (353)

ΦX(s) =(

λ

λ− s

)a(354)

mX =a

λ(355)

m(2)X =

a(a+ 1)λ2

(356)

σ2X =

a

λ2(357)

Erlang-Verteilung

fX(x) =λnxn−1e−λx

(n− 1)!· ε(x) (358)

χ2-Verteilung Spezialfall der Γ-Verteilung für λ = 12 und a = b

2 , b ∈ N.

fX(x) =xb/2−1e−x/2

2b/2 · Γ(b/2)· ε(x) (359)

ΦX(s) =(

11− 2s

) b2

(360)

χ-Verteilung

fX(x) =2xN−1e−

x2

2

2N2 Γ(N2 )

· ε(x) (361)

74

C. Zufallsvariablen

Rayleigh-Verteilung (für N = 2)

z =√x2 + y2 (362)

fZ(z) =z

σ2· e−

x2

2σ2 wobei z ≥ 0 (363)

mZ =√π

2· σ (364)

σ2Z =

(2− π

2

)· σ2 (365)

Maxwell-Verteilung (für N = 3)

fX(x) =

√2π· x2 · e−

x2

2 · ε(x) (366)

Exponential-Verteilung

FX(x) =(1− e−λx

)· ε(x) (367)

fX(x) =(λe−λx

)· ε(x) (368)

ΦX(s) =λ

λ− s(369)

mX =1λ

(370)

m(2)X =

2λ2

(371)

σ2X =

1λ2

(372)

C.6. Perzentil und Median

Das u-Perzentil einer Zufallsvariable X ist der kleinste Wert, für den gilt

u = P (X ≤ xU ) = FX(xU ) =

xU∫−∞

fX(ξ) dξ (373)

Das 0,5-Perzentil wird auch Median genannt.

75

D. Zufallsprozesse

C.7. Erzeugende Funktionen

C.7.1. Momentenerzeugende Funktion ΦX(s)

ΦX(s) = E

esX

=

∞∫−∞

fX(x)esx dx = LfX(−x) (374)

Das Moment n-ter Ordnung entspricht der n-ten Ableitung von Φ(n)X (0) bei

s = 0.

C.7.2. Charakteristische Funktion ΦX(jω)

ΦX(jω) = E

ejωX

=

∞∫−∞

fX(x)ejωx dx =

∞∫−∞

fX(−x)e−jωx dx = F fX(−x)

(375)

C.7.3. Kumulantenerzeugende Funktion ΨX(s)

ΨX(s) = lnΦX(s) =∞∑n=0

Ψ(n)X (0)n!

sn (376)

Kumulanten: λ(n)X = Ψ(n)

X (0)

D. Zufallsprozesse

D.1. Stationarität

D.1.1. Strenge Stationarität

Ein Prozeß heißt streng stationär, wenn gilt

fX(t1)···X(tN )(x1, . . . , xN ) = fX(t1+∆)···X(tN+∆)(x1, . . . , xN ) ∀N ∈ N, ∆ ∈ R(377)

D.1.2. Gemeinsame strenge Stationarität

fX(t1)···X(tM )Y (t1)···Y (tN )(x1, . . . , xN , y1, . . . , yN )

= fX(t1+∆)···X(tN+∆)Y (t1+∆)···Y (tN+∆)(x1, . . . , xN , y1, . . . , yN ) ∀M,N ∈ N, ∆ ∈ R

76

D. Zufallsprozesse

D.1.3. Schwache Stationarität

1.mX(t) = mX (378)

2.

RXX(t1, t2) = E X(t1)X∗(t2) (379)= RXX(t+ τ, t) = E X(t+ τ)X∗(t) (380) RXX(τ) mit τ := t1 − t2 (381)

3.RXY (t+ τ, t) := RXY (τ) (382)

speziell SXY = RXY (0) Kreuzleistung.

4. Für komplexe Zufallsprozesse gilt

Rex(η, t) = xI(η, t) Inphasekomponente (383)Imx(η, t) = xQ(η, t) Quadraturkomponente (384)

a)RxIxI(τ) = RxQxQ(τ) (385)

Real- und Imaginärteil besitzen gleiche AKF.

b)RxIxQ(τ) = −RxIxQ(−τ) (386)

Punktsymmetrische KKF zwischen Real- und Imaginärteil. Schwachstationäre Prozesse sind somit rotationsinvariant, d. h. x(η, t) undx(η, t) · ejϕ haben die gleiche AKF.

Ein als komplex definierter Zufallsprozeß, dessen Imaginärteil 0 ist kannniemals stationär sein.

5. Symmetrieeigenschaft: RXX(τ) = R∗XX(−τ), speziell beim reellen Zu-fallsprozeß RXX(τ) = RXX(−τ) und RXY (τ) = RY X(−τ).

Bei normalverteilten Prozessen gilt:Schwache Stationarität ⇒ Stationarität.

D.1.3.1. Eigenschaften (schwach) stationärer Prozesse

77

D. Zufallsprozesse

AKF und AKV

RXX(−τ) = R∗XX(τ) (387)CXX(−τ) = C∗XX(τ) (388)

RXX(τ) = E X(t+ τ)X∗(t) (389)= E X(t+ τ + t0)X∗(t) (390)= RXX(τ + t0) (391)

AKF und AKV haben ein Maximum in τ = 0.

KKF und KKV

RXY (−τ) = R∗Y X(τ) (392)CXY (−τ) = C∗Y X(τ) (393)

CXY (t1, t2) = RXY (t1, t2)−mX(t1)mY (t2) (394)= RXY (t+ τ, t)−mX(t+ τ)m∗

Y (t) (395) RXY (τ)−mXm

∗Y (396)

Auto- und Kreuz-LDS Grundsätzlich gilt:

SXX(jω) ≥ 0 (397)

Komplexer Fall

SXX(jω) = S∗XX(jω) (398)SXY (jω) = S∗XY (jω) (399)

Reeller Fall

SXX(jω) = SXX(−jω) (400)SXY (jω) = SY X(−jω) (401)

D.1.4. Zyklostationäre Prozesse

fX···X(x1, . . . , xN , t1, . . . , tN ) = fX···X(x1, . . . , xN , t1 + kT, . . . , tN + kT ) ∀k ∈ Z(402)

Die zeitlich gemittelte AKF eines zyklostationären Prozesses hat die gleichenEigenschaften wie die AKF eines stationären Prozesses (siehe Abschnitt D.1.3.1).

78

D. Zufallsprozesse

D.1.5. Schwach zyklostationäre Prozesse

mX(t+ kT ) = mX(t) (403)

RXX(t+ τ + kT, t+ kT ) = RXX(t+ τ, t) (404)

D.1.6. Ergodizität

Ein Prozeß heißt ergodisch, wenn jeder zeitliche Mittelwert einer beliebigenMusterfunktion mit dem entsprechenden Scharmittelwert identisch ist.

Nachweis: Aus

mX konstant

CXX(t0, t1) = CXX(τ)

schwache Stationarität (405)

und

limT→∞

12T

2T∫−2T

(1− |τ |

2T

)CXX(τ) dτ = 0 (406)

folgt Ergodizität.

D.2. Mittelwerte

D.2.1. Erwartungswert

Erwartungswertoperator für eine Funktion g und eine reelle ZufallsvariableX(η):

E g(X) =

∞∫−∞

g(x)fX(x) dx (407)

Eg( ~X)

=

∞∫−∞

· · ·∞∫

−∞

g(~x)f ~X(~x) d~x (408)

Der Erwartungswertoperator ist linear:

E a1g1(X) + a2g2(X) = a1E g1(x)+ a2E g2(x) (409)

Das Signal-Störleistungs-Verhältnis berechnet sich aus den Mittelwerten zwei-ter Ordnung folgendermaßen:

SNR = 10 log10

(m

(2)X

m(2)N

)dB (410)

79

D. Zufallsprozesse

D.2.2. Momente n-ter Ordnung

D.2.2.1. kontinuierlich

m(n)X = E Xn =

∞∫−∞

xnfX(x) dx n ∈ N0 (411)

D.2.2.2. diskret

m(n)X = E Xn =

∞∑i=0

xni · P (xi) n ∈ N0 (412)

D.2.3. Zentrale Momente n-ter Ordnung


µ(n)X = E

(X −m

(1)X

)n=

∞∫−∞

(x−m

(1)X

)nfX(x) dx n ∈ N0 (413)

D.2.3.2. diskret

µ(n)X = E

(X −m

(1)X

)n=

∞∑i=−∞

(x−m

(1)X

)n· P (xi) n ∈ N0 (414)

D.2.4. Wichtige Momente

D.2.4.1. Linearer Mittelwert

kontinuierlich

m(1)X = mX = E X =

∞∫−∞

xfX(x) dx (415)

diskretm

(1)X mX = E X =

∑i

xi · P (xi) (416)

D.2.4.2. Quadratischer Mittelwert

80

D. Zufallsprozesse

kontinuierlich

m(2)X = E

X2

=

∞∫−∞

x2fX(x) dx (417)

=12π

∞∫−∞

SXX(jω) dω (418)

m(2)X =

12π

∞∫−∞

SXX(jω) dω = RXX(0) = E|X(t)|2

(419)

diskretm

(2)X =

∑i

x2i · P (xi) (420)

D.2.4.3. Varianz

kontinuierlich

σ2X = µ

(2)X = E

(X −mX)2

=

∞∫−∞

(x−mX)2fX(x) dx (421)

σ2X = RXX(0)−m2

X (422)

diskretσ2X = m

(2)X −m2

X (423)

D.2.4.4. Normierte Momentanleistung

Sx(t1) = E|x(η, t1)|2

=

∞∫−∞

|x|2fx(x, t1) dx (424)

D.2.5. Zentrale Verbundmomente


µ(m,n)XY = E (X −mX)m(X −mY )n (425)

=

∞∫−∞

(x−mX)m(y −mY )nfXY (x, y) dx dy (426)

81

D. Zufallsprozesse

D.2.5.2. diskret

µ(m,n)XY = E (X −mX)m(X −mY )n (427)

=∑i

∑j

(xi −mX)m(yj −mY )n · P (xi ∩ yj) (428)

D.2.5.3. Kovarianz

kontinuierlich

CXY = µ(1,1)XY = E (X −mX)(Y −mY ) (429)

= E XY − E XE Y (430)

=

∞∫−∞

∞∫−∞

(x−mX)(y −mY )fXY (x, y) dx dy (431)

diskret

CXY = µ(1,1)XY = E (X −mX)(Y −mY ) (432)

=∑i

∑j

(xi −mX)(yj −mY ) · P (xi ∩ yj) (433)

CXY = 0 ⇒ X und Y sind unkorreliert ⇒ E XY = E XE Y

D.2.5.4. Korrelationskoeffizient

cXY =CXYσXσY

(434)

D.2.5.5. Bedingte Erwartungswerte

Eg( ~X|A)

=

∞∫−∞

· · ·∞∫

−∞

g(~x)f ~X|A(~x) d~x (435)

D.3. LTI-Systeme und schwach stationäre Prozesse

D.3.1. Mittelwerte

D.3.1.1. Linearer Mittelwert

kontinuierlich

mY = mX ·∞∫

−∞

h(t) dt = mX ·H(0) (436)

82

D. Zufallsprozesse

diskretmY = mX ·H(1) (437)

D.3.1.2. Quadratischer Mittelwert

kontinuierlich

m(2)Y = RY Y (0) =

12π

∞∫−∞

|H(jω)|2 · SXX(jω) dω (438)

diskret

m(2)Y = RY Y [0] =

12π

2π∫0

SY Y(ejΩ)

dΩ =12π

2π∫0

|H(ejΩ)|2 · SXX

(ejΩ)

dΩ

(439)

D.3.2. Korrelationsfunktionen

D.3.2.1. Autokorrelationsfunktion

Rxx(t1, t2) = E x(η, t1) · x∗(η, t2) (440)

im Reellen=

∞∫−∞

∞∫−∞

x1x2fx1x2(x1, x2, t1, t2) dx1 dx2 (441)

im Komplexen=

∞∫−∞

∞∫−∞

∞∫−∞

∞∫−∞

((ac+ bd) + j(bc− ad))fabcd(a, b, c, d) da db dc dd

(442)

wobei a = Rex(η, t1), b = Imx(η, t1), c = Rex(η, t2) und d = Imx(η, t2).

Laplaceverteilter Zufallsprozeß

Raa[λ] = σ2ae− λ2

α2 (443)

D.3.2.2. Autokovarianz

CXX(t1, t2) = E [X(t1)−mX(t1)] · [X(t2)−mX(t2)]∗ (444)

= RXX(t1, t2)−mX(t1)mX(t2)∗ (445)

83

D. Zufallsprozesse

h(τ)

SXX(jω) SXY (jω) SY Y (jω)

RXX(τ) RXY (τ) RY Y (τ)

H∗(jω) H(jω)

h∗(−τ)

(a) Im Kontinuierlichen

h∗[−κ]

SXX(ejΩ) SXY (ejΩ) SY Y (ejΩ)

RXX [κ] RXY [κ] RY Y [κ]h[κ]

H(ejΩ)H∗(ejΩ)

(b) Im Diskreten

Abbildung 4: Korrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren

D.3.2.3. Kreuzkorrelation

DefinitionRXY (t1, t2) = E X(t1)Y ∗(t2) (446)

KreuzleistungSxy = φxy(t1, t1) (447)

D.3.2.4. Kreuzkovarianz

CXY (t1, t2) = E [X(t1)−mX(t1)] · [Y (t2)−mY (t2)]∗ (448)

= RXY (t1, t2)−mX(t1)mY (t2)∗ (449)

D.3.2.5. Eigenschaften von AKF, AKV, KKF und KKV AKF undAKV sind gerade Funktionen:

RXX(−τ) = R∗XX(τ) (450)CXX(−τ) = C∗XX(τ) (451)

AKF und AKV eines periodischen Zufallsprozesses sind periodisch:

RXX(τ) = RXX(τ + t0) (452)

Wegen CXX(τ) = RXX(τ)− |mX |2 folgt CXX(τ) = CXX(τ + t0).AKF und AKV haben ihr Maximum in τ = 0:

RXX(0) ≥ |RXX(τ)| ∀τ (453)

84

D. Zufallsprozesse

D.3.2.6. Autoleistungsdichtespektrum

kontinuierlich

SXX(jω) = F RXX(τ) =

∞∫−∞

RXX(τ)e−jωτ dτ (454)

diskret

SXX(ejΩ) = F∗ RXX [κ] =∞∑

κ=−∞RXY [κ]e−jΩκ (455)

D.3.2.7. Kreuzleistungsdichtespektrum

kontinuierlich

SXY (jω) = F RXY (τ) =

∞∫−∞

RXY (τ)e−jωτ dτ (456)

diskret

SXY (ejΩ) = F∗ RXY [κ] =∞∑

κ=−∞RXY [κ]e−jΩκ (457)

D.3.2.8. Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichtespektrumzwischen Ein- und Ausgang

kontinuierlich

RXY (τ) = RXX(τ) ∗ h∗(−τ) (458)RY X(τ) = RXX(τ) ∗ h(τ) (459)

SXY (jω) = H∗(jω) · SXX(jω) (460)SY X(jω) = H(jω) · SXX(jω) (461)

diskret

RXY [κ] = RXX [κ] ∗ h∗[−κ] (462)RY X [κ] = RXX [κ] ∗ h[κ] (463)

SXY(ejΩ)

= H∗ (ejΩ)· SXX

(ejΩ)

(464)

SY X(ejΩ)

= H(ejΩ)· SXX

(ejΩ)

(465)

85

D. Zufallsprozesse

D.3.3. Autokorrelationsfunktion und Autoleistungsdichtespektrumam Ausgang


RY Y (jω) = h(jω) ∗RXY (jω) (466)= h(jω) ∗ h∗(−jω) ∗RXX(jω) (467)= ρ(jω)︸︷︷︸

Filter-AKF

∗RXX(jω) (468)

SY Y (jω) = H(jω) · SXY (jω) (469)= H∗(jω) · SY X(jω) (470)

= |H(jω)|2 · SXX(jω) (471)

D.3.3.2. diskret

RY Y [κ] = h[κ] ∗RXY [κ] (472)= h[κ] ∗ h∗[−κ] ∗RXX [κ] (473)= ρ[κ]︸︷︷︸

Filter-AKF

∗RXX [κ] (474)

SY Y(ejΩ)

= H(jω) · SXY (jω) (475)= H∗(jω) · SY X(jω) (476)

= |H(ejΩ)|2 · SXX

(ejΩ)

(477)

D.3.4. Kohärenzfunktion

GXY (jω) =CXY (jω)√

SXX(jω) · SY Y (jω)(478)

GXY (ejω) =SXY

(ejΩ)√

SXX (ejΩ) · SY Y (ejΩ)(479)

D.3.5. Weißes Rauschen

D.3.5.1. Definition Ein Prozeß heißt genau dann „weiß“, wenn er ein kon-stantes Spektrum hat. Die Autokorrelationsfunktion ist dann ein Dirac-Impulsin 0.

86

D. Zufallsprozesse

kontinuierlich

CXX(t1, t2) = RXX(t1, t2)−mX(t1) ·m∗X(t2) = 0 ∀t1 6= t2 (480)

CXX(t1, t2) = RXX(t1, t2) = C0(t1)δ(t1 − t2) (481)

diskretCXX [k1, k2] = RXX [k1, k2] = C0[k1]δ[k1 − k2] (482)

D.3.5.2. Leistungsdichtespektrum

SnHFnHF(jω) =N0

2(483)

D.3.5.3. Autokorrelationsfunktion

RnHFnHF(τ) =N0

2· δ(τ) (484)

D.3.5.4. StörleistungNl →∞ (485)

D.3.5.5. Bandbegrenztes ECB-Rauschen

Snn(jω) = N0∀ω ∈ R (486)

D.3.5.6. Streng weißes Rauschen Ein weißer Rauschprozeß heißt strengweiß genau dann, wenn die Zufallsvariablen X(t1) und X(t2) statistisch unab-hängig für beliebige t1 6= t2 sind.

D.4. Schätztheorie

D.4.1. Prädiktion

Prädiktion macht Aussagen über nicht beobachtbare oder nicht beobachteteEreignisse auf Basis eines Wahrscheinlichkeitsmodells. Zu prädizierende Signalewerden als Musterfunktionen eines Zufallsprozesses angesehen.

Wichtige Größen bei der Prädiktion:

• Parametervektor ~φ oder ~Φ

– ~φ: Vektor von deterministischen aber unbekannten Parametern.

– ~Φ: Zufällige Parameter.

• Beobachtungsvektor ~x oder ~X

87

D. Zufallsprozesse

– ~x: Vektor von tatsächlich beobachtbaren Werten.

– ~X: Vektor von als Zufallsvariablen modellierten Beobachtungen.

Ziel: Prädiktion von ~x oder ~X, für die ein statistisches Modell bekannt ist durch~x oder ~

X.Voraussetzung: Kenntnis der Parameter des Wahrscheinlichkeitsmodells (z. B.

Verbunddichte zwischen Parametern und Beobachtungen oder Erwartungswer-te).

D.4.1.1. Parameterschätzung Ein oder mehrere unbekannte Parameter-werte eines Wahrscheinlichkeitsmodells sollen geschätzt werden. Wichtige Va-riablen:

• Parametervektor ~φ oder ~Φ.

• Beobachtungsvektor ~x oder ~X.

• Unbekanntes System/Kanal: Stellt die Beziehung zwischen ~x/ ~X her. (z. B.bedingte Wahrscheinlichkeiten, Verbundwahrscheinlichkeiten, Funktion& Rauschterm).

• Schätzer ~Θ: Erzeugt Schätzwerte als Funktionen der Beobachtung. Ent-wurf heuristisch oder per Modell der Beobachtungen ~X.

• Schätzwerte ~φ = ~Θ(~x), ~Φ = ~Θ( ~X): Mustervektor ~

φ am Ausgang desSchätzers ~Θ abgeleitet aus Beobachtungen ~x oder Ausgangsvektor ~Φ =~Θ( ~X), wenn die Beobachtungen als Zufallsvariablen betrachtet werden.

Ziel: Schätze ~φ bzw. ~Φ aus ~x bzw. ~X.Voraussetzung: Kenntnis der Beobachtung bzw. Struktur eines statistischen

Modells der Beobachtung (der Parameter bei Bayes).

Klassische Parameterschätzung Parameter φ werden als Konstanten an-gesehen. Schätzung ausschließlich auf Basis von tatsächlichen Beobachtungen.

Bayes’sche Schätzung Parameter werden als echte Zufallsvariablen ~Φ auf-gefaßt, Schätzung einer Realisierung mittels eines Wahrscheinlichkeitsmodells⇒ Prädiktion von Parametern.

88

D. Zufallsprozesse

D.4.1.2. Intervallschätzung Es werden für eine zu schätzende Zufallsva-riable ~X zwei Konstanten c1, c2 als Schranken der Wahrscheinlichkeitsvertei-lung bestimmt, so daß

P (c1 < ~X ≤ c2) = γ︸︷︷︸Konfidenzmaß

= 1− δ︸︷︷︸Konfidenzniveau

(487)

∆c = c2 − c1 Vertrauensintervall (488)

D.4.2. Prädiktion

Schätzung des Wertes einer Zufallsvariable.

D.4.2.1. Punktprädiktion Genau ein Wert einer (noch) nicht beobachte-ten Zufallsvariable soll möglichst gut vorhergesagt werden. Optimierungskrite-rium ist z. B. der mittlere quadratische Fehler (MQF) ⇒ Optimierungsziel istder minimale quadratische Fehler (MMSE). Kostenfunktion ist

J(x) = E(X − x)2

= min (489)

D.4.2.2. Intervallprädiktion Für ein bestimmtes Konfidenzmaß γ soll einmöglichst kleines Vertrauensintervall ∆c festgelegt werden. Je nach Beschaffen-heit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

1. Fall – Ein Maximum und und gerade Symmetrie:

fX(c1) = fX(c2) mit c1 ≤ mX ≤ c2 (490)

c1 = xδ/2 ∧ c2 = x1−δ/2 (491)

2. Fall – Ein Maximum: Startlösung nach Fall 1. Anschließend c1 und c2so entlang der x-Achse verschieben, daß die Wahrscheinlichkeits erhöht wird.Dann ∆c so weit verkleinern, daß P (c1 < X ≤ c2) = γ gilt.

3. Fall – Mehrere Maxima: Lösung nach Fall 2, allerdings müssen alle Ver-schiebungen abgesucht werden.

D.4.3. Gütekriterien für Parameterschätzer

D.4.3.1. Erwartungstreuer Schätzer

φbias = E

Φ− φ

= E

Φ− φ (492)

Ein erwartungstreuer Schätzer erfüllt φbias = 0. Ein asymptotisch erwartungs-treuer Schätzer erfüllt limN→∞ φbias = 0.

89

D. Zufallsprozesse

D.4.3.2. Effizienter Schätzer Ein erwartungstreuer Schätzer ist effizientgenau dann, wenn die Kovarianzmatrix

CΦΦ = E

(Φ− E

Φ)T (

Φ− E

Φ)

(493)

minimalCΦΦ,effizient = min

φCΦΦ (494)

ist, wobei als Norm der größte Eigenwert dienen kann.

D.4.3.3. Konsistenter Schätzer Ein erwartungstreuer Schätzer ist konsi-stent, wenn er bezüglich der Wahrscheinlichkeit konvergiert

limN→∞

P(∣∣∣Φ− φ

∣∣∣ ≥ ε)

= 0 (495)

wofürlimN→∞

CΦΦ = 0 (496)

hinreichend ist.Beispiele ab Seite 334.

D.4.3.4. Hinreichende Statistik Ein Schätzer ~Θ(~X)

heißt hinreichende

Statistik für die Schätzung des Parametervektors ~φ, wenn ~Φ = ~Θ(~X)

alle

Informationen über ~φ enthält, die in ~X enthalten sind, d. h.

fX|Φ

(~x, φ, φ

)=

fXΦ

(~x, φ, φ

)fΦ

(φ = ~Θ(~x)

) (497)

hängt nicht von φ ab.

D.4.4. Mittelwertschätzer

D.4.4.1. Arithmetisches Mittel

φ = mX =1N·N∑i=1

xi (498)

90

D. Zufallsprozesse

D.4.4.2. Varianzschätzer bei bekanntem Mittelwert

Φ = Σ2X =

1N

N∑i=1

(Xi −mX)2 (499)

D.4.4.3. Varianzschätzer bei unbekanntem Mittelwert

Σ2X =

1N − 1

N∑i=1

(Xi − MX

)2(500)

D.4.4.4. Mittelwertschätzung bei bekannter Varianz Z. B. für den Fall,daß N zu klein ist um mit dem zentralen Grenzwertsatz zu argumentieren.

1. Nimm N Beobachtungen xi der Zufallsvariablen X und bilde das arith-metische Mittel.

2. Bestimme für das gewünschte Konfidenzmaß γ = 1 − δ das Perzentil zufür u = 1− δ

2 für die normierte Gauß-Verteilung.

3. Bestimme die Intervallgrenzen durch Entnormierung

mX ± z1 −δ

2· σX√

N(501)

D.4.4.5. Mittelwertschätzung bei unbekannter Varianz

σ2X =

1N − 1

N∑i=1

(xi − mX)2 (502)

Für große N gilt σ2X = σ2

X . Anschließend kann nach dem in Abschnitt D.4.4.4aufgezeigten Schema verfahren werden.

D.4.4.6. Mittelwertschätzung bei unbekannter Verteilung Z. B. fürden Fall, daß N zu klein ist um mit dem zentralen Grenzwertsatz zu argumen-tieren.

P

(MX −

σX√Nδ

< mX < MX +σX√Nδ

)> 1− δ (503)

D.4.4.7. Parameterschätzung bei bestimmten Verteilungen

Exponentialverteilung Für MX > 0

P

1− z1 −δ2√N

MX

< λ <1 + z1 −

δ2√N

MX

= 1− δ = γ (504)

91

D. Zufallsprozesse

Poissonverteilung

a1,2 = MX + z2

1−δ2

2N

±

√√√√√MX +

z21− δ

2

2N

2

− M2X (505)

D.4.4.8. Wahrscheinlichkeitsschätzung

P

(∣∣∣MX − p∣∣∣ < z1− δ

2·√p(1− p)N

)= 1− δ = γ (506)

p1,2 =MX + z2

2N ±√MX · z

2

N ·(1− MX

)+(z2

2N

)2

1 + z2

2N

(507)

Für N > 100 gilt

p1,2 = MX ± z ·

√MX · (1− MX)

N(508)

D.4.4.9. Varianzschätzung bei normalverteilten Zufallsvariablen

Varianzschätzung bei bekanntem Mittelwert mX

N Σ2X

χ21− δ

2

(N)< σ2

X <N Σ2

X

χ2δ2

(N)(509)

Varianzschätzung bei unbekanntem Mittelwert mX

(N − 1)Σ2X

χ21− δ

2

(N − 1)< σ2

X <(N − 1)Σ2

X

χ2δ2(N−1)

(510)

D.4.5. MMSE- und LSE-Schätzung

Ziel: Schätze einen Vektor determinierter Parameter ~φ so, daß eine quadra-tische Abweichung Y = g

(~X,~φ)

von einer beobachtbaren Zufallsvariable Yminimiert wird.

D.4.5.1. MMSE-Schätzung Bestimme die Parameter ~φ einer Funktion g

so, daß die Zufallsvariable Y = g(~X, φ

)den mittleren quadratischen Fehler

minimiert (Minimum Mean Square Error).

ΘMMSE

(Y, ~X, φ

)= φMMSE = argminφ

(E(Y − g

(~X, φ

)))(511)

92

D. Zufallsprozesse

D.4.5.2. MSE-Schätzung

~ΦMSE = ~ΘMSE

(Y, ~X,

~Φ)

= argmin~Φ

N∑i=1

(Yi − g

(Xi,

~Φ))

(512)

D.4.5.3. Maximum-Likelihood-Schätzer Gegeben: Ein Beobachtungsvek-tor ~X und ein parametrisches Modell der WahrscheinlichkeitsdichtefunktionfX|Φ (~u|~v) (Likelihood-Funktion).

Ziel: Finde den Maximum-Likelihood-Schätzer

ΦML = ΘML

(~X, φ

)= argmax~vf ~X|~Φ (~x,~v) (513)

D.4.5.4. Log-Likelihood-Funktion

ΦML = ΘML

(~X, φ

)= argmax~v log f ~X|φ (~x|~v) (514)

günstig, wenn die N Elemente Xi des Beobachtungsvektors ~X unabhängig sind:

log f ~X|φ (~u|~v) = logN∏i=1

fXi|φ (xi|~v) =N∑i=1

log fXi|φ (xi|~v) (515)

Um die Log-Likelihood-Funktion bezüglich der K Elemente vk des Parameter-vektors ~v zu maximieren, setzt man die partiellen Ableitungen zu 0 und löstein System mit K Gleichungen:

∂

∂vk

N∑i=1

log fXi|φ (xi, ~v) =N∑i=1

∂

∂~vklog fXi|φ (xi|~v) = 0 ∀k = 1, . . . ,K (516)

D.4.5.5. Bayes’sche Schätzung

φBayes = ~ΘBayes (~x) = argminφR(φ|~x)

(517)

= argminφ

∫V

C(φ, ~v)f~Φ| ~X (~v|~x) d~v

(518)

= argminφ

∫V

C(φ, ~v)f ~X|~Φ (~x|~v) f~Φ (~v) d~v

(519)

93

D. Zufallsprozesse

D.4.5.6. Maximum a posteriori-Schätzer (MAP)

φMAP = argmaxφf~Φ| ~X(φ|~x)

(520)

= argmax~vf ~X|~Φ (~x|~v) · f~Φ (~v) (521)

In logarithmischer Darstellung

~Φ = argmax~v(log f ~X|~Φ (~x,~v) + log f~Φ (~v)

)(522)

D.4.6. Cramer-Rao-Schranke

Untere Schranke für die Varianz eines geschätzten Parametervektors Φ gegeben~X und ~v.

σ2Φi≥

(1 + ∂φbias,i

∂vi)2

E

(∂ ln f ~X|~Φ(~x|~v)

∂vi

) (523)

Für zufällige Parameter

σ2Φi≥

(1 + ∂φbias,i

∂vi

)2

E

(∂ ln f ~X|~Φ(~x,~v)

∂vi

)2

+(∂ ln f~Φ

(~v)

∂vi

) (524)

D.5. Lineare Optimalfilterung

D.5.1. Wiener Filter

D.5.1.1. Zeitkontinuierlich

Schwach stationäres weißes Rauschen am Eingang

hopt(τ) =1R0

·RDX(τ) (525)

Allgemeine nichtkausale Filter

Hopt(jω) =SDX(jω)SXX(jω)

(526)

Restfehler

EE2

min(t)

=12π

∞∫−∞

SEE(jω) dω (527)

94

E. Transformationen

h(t) ++

N(η, t)

X(η, t) Y (η, t)

g(t)

U(η, t) E(η, t)

D(η, t)

Abbildung 5: Typisches Szenario zur Wiener Filterung

mit

SEE(jω) = SDD(jω)−SDX(jω) · SXD(jω)

SXX(jω)(528)

Für D(t) = g(t) ∗ U(t) und X(t) = U(t) +N(t) gilt

Hopt(jω) = G(jω) · SUU (jω) + SUN (jω)SUU (jω) + SUN (jω) + SNU (jω) + SNN (jω)

(529)

Falls U(t) und N(t) orthogonal sind gilt

Hopt(jω) = G(jω) · SUU (jω)SUU (jω) + SNN (jω)

(530)

SEE(jω) = |G(jω)|2 · SUU (jω) · SNN (jω)− SUU (jω) · SNU (jω)SUU (jω) + SUN (jω) + SNU (jω) + SNN (jω)

(531)

E. Transformationen

E.1. Fourier-Transformation

E.1.1. Definition

X(jω) = Fx(t) =

∞∫−∞

x(t)e−jωtdt = Lx(t)∣∣∣s=jω

(532)

X(jω) = |X(jω)| · ejϕ(jω) (533)

95

E. Transformationen

E.1.2. Inverse Fourier-Transformation

x(t) =12π

∞∫−∞

X(jω)ejωtdω (534)

E.1.3. rect- und sinc-Funktion

rect(at) :=

1 für |t| ≤ 1

2a

0 sonst(535)

(536)

sinc(ω) :=

sinωω für ν 6= 0

1 für ν = 0(537)

Bemerkung zur Implementierung von Systemen, die auf der rect- bzw. sincbasieren:

• Der Spitzenwertfaktor ζ0 geht gegen ∞.

• Das System ist schwach stationär, nicht zyklostationär. Dadurch wirdeine eventuell nötige Symboltaktsynchronisation extrem schwierig.

• Die horizontale Augenöffnung im Augendiagramm geht gegen Null.

• Das System ist nur mit einem sehr hohen Systemgrad implementierbarund nie exakt. Die Grundlaufzeit ist sehr hoch.

Tabelle 26: Korrespondenzen der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t) Bemerkung

δ(t) 1 Dirac-Impuls

δ(t) jω

δn(t) (jω)n

96

E. Transformationen



1 2πδ(ω) Gleichgröße

tn 2πjnδn(ω) n ∈ N

ε(t) πδ(ω) + 1jω Sprungfunktion

tn · ε(t) n!(jω)n+1 + πjnδn(ω) n ∈ N

sign(t) 2jω Signumfunktion

11+(at)2

πa · e

− |ω|a

1t2+a2

πa e−a|ω|

tt2+a2 −jπ · e−a|ω| · signω

1πt −jsign(ω) Hilbert-

Transformator

1−cos(ωg)πt jsign(ω) · rect( ωωg

) bandbegr.Hilberttr.

cos(ω0t) π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)] Cosinusschwingung

sin(ω0t) jπ[δ(ω + ω0)− δ(ω − ω0)] Sinusschwingung

ejω0t 2πδ(ω − ω0) komplexeExp.-Schw.

sign(cos(ω0t)) π∑∞

ν=11

2ν−1 [δ(ω − (2ν − 1)ω0) Rechteckschwingung

+δ(ω + (2ν − 1)ω0)]

97

E. Transformationen



∑∞k=−∞ δ(t− kT ) 2π

T

∑∞k=−∞ δ

(ω − 2π

T · k)

Dirac-Kamm

1T ⊥⊥⊥

(1T

)⊥⊥⊥

(ωT2π

)rect(at) 1

|a|sinc(ω2a

)Rechteckimpuls

tri(at) 1asinc2

(ω2a

)Dreieckimpuls

sinc(at) π|a|rect

(ω2a

)sinc-Impuls

ε(t) · e−at 1a+jω Einseitiger

Exp.-Impuls

e−a|t| 2aa2+ω2 a > 0 Zweiseitiger

Exp.-Impuls

e−a2t2√πa e−

ω2

4a2 Gaußimpuls

E.1.4. Hinreichende Bedingung für die Existenz derFourier-Transformierten

∞∫−∞

|x(t)|dt <∞ (538)

98

E. Transformationen

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1 −0.5 0 0.5 1

f(t

)−→

ta −→

(a) f(t) = rect(at)

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

F(j

ω)

a−→

ω · π · a −→

(b) F (jω) = 1|a| sinc( ω

2a)

Abbildung 6: rect- und sinc-Funktion

99

E. Transformationen

Tabelle 27: Sätze der Fourier-Transformation

x(t) X(jω) = Fx(t)

Lineariät Ax1(t) +Bx2(t) AX1(jω) +BX2(jω)

Verschiebung x(t− τ) e−jωτX(jω)

Modulation ejω0tx(t) X(j(ω − ω0))

Differentiation imFrequenzbereich

tx(t) −dX(jω)d(jω)

Differentiation imZeitbereich

dx(t)dt jωX(jω)

Integration∫ t−∞ x(τ)dτ 1

jωX(jω) + πX(0)δ(ω)

Ähnlichkeit x(at) 1|a|X

(jωa

); a ∈ R \ 0

Faltung x1(t) ∗ x2(t) X1(jω) ·X2(jω)

Multiplikation x1(t) · x2(t) 12πX1(jω) ∗X2(jω)

Dualität x1(t)x2(jt)

x2(jω)2πx1(−ω)

Symmetrienx(−t)x∗(t)

x∗(−t)

X(−jω)X∗(−jω)X∗(jω)

ParsevalschesTheorem

∫∞−∞ |x(t)|

2dt 12π

∫∞−∞ |X(jω)|2dω

100

E. Transformationen

E.2. z-Transformation

E.2.1. Definition

Z x[k] = X(z) =∞∑

k=−∞x[k]z−k (539)

mitz := ejΩ (540)

E.2.2. Konvergenzbereich

1. Der Konvergenzbereich ist ein Ring um den Ursprung der z-Ebene.

2. Der Konvergenzbereich enthält keine Pole.

3. Ist x[k] von endlicher Dauer, so besteht der Konvergenzbereich aus dergesamten z-Ebene außer evt. z = 0 und/oder z = ∞.

4. Bei kausalen Folgen: Liegt der Kreis |z| = r0 im Konvergenzbereich, dannauch alle endlichen Werte von z, für die |z| > r0 gilt.

5. Bei antikausalen Folgen: Liegt der Kreis |z| = r0 im Konvergenzbereich,dann auch alle Werte von z, für die 0 < |z| < r0 gilt.

6. Bei zweiseitigen Folgen: Liegt |z| = r0 im Konvergenzbereich, so ist derKonvergenzbereich ein Ring in der z-Ebene, der |z| = r0 enthält.

E.2.3. Inverse z-Transformation

x[k] =1

2πj·∮C

X(z)zk−1dz (541)

=12π

2π∫0

X(|z|ejΩ|z|kejΩkdΩ (542)

=∑ν

ResX(z)zk−1

∣∣∣z=z∞,ν

(543)

=∑ν

1(m− 1)!

[dm−1

dzm−1(z − z∞,ν)mX(z)zk−1

]∣∣∣∣z=z∞,ν

(544)

m ist die Vielfachheit der betrachteten Singularität.

101

E. Transformationen

Imz

Rez

(a) kausal

Imz

Rez

(b) antikausal

Abbildung 7: Konvergenzbereich diskreter LTI-Systeme

Tabelle 28: Korrespondenzen der zweiseitigen z-Transformation

x[k] X(z) = Zx[k] Kb

δ[k] 1 z ∈ C

ε[k] zz−1 |z| > 1

akε[k] zz−a |z| > |a| (kausal)

−akε[−k − 1] zz−a |z| < |a| (antikausal)

kε[k] z(z−1)2

|z| > 1

kakε[k] az(z−a)2 |z| > |a|

ε[k − 1] · 1k · a

k−1 1a ln

(z

z−a

)|z| > |a|

sin(Ω0k)ε[k] z sin Ω0z2−2z cos Ω0+1

|z| > 1

cos(Ω0k)ε[k]z(z−cos Ω0)

z2−2z cos Ω0+1|z| > 1

102

E. Transformationen

Lineariät ax1[k] + bx2[k] aX1(z) + bX2(z) Kb ⊇KbX1 ∩KbX2

Verschiebung x[k − κ] z−κX(z) Kbx; z = 0und z → ∞gesondertbetrachten

Modulation akx[k] X(za

)Kb =z∣∣ za ∈ Kbx

Multiplikationmit k

kx[k] −z dX(z)dz Kbx; z =

0 gesondert be-trachten

Zeitumkehr x[−k] X(z−1) Kb = z∣∣z−1 ∈

Kbx

Faltung x1[k] ∗ x2[k] X1(z) ·X2(z) Kb ⊇ Kbx1 ∩Kbx2

Multiplikation x1[k] · x2[k] 12πj

∮X1(ζ)X2

(zζ

)1ζ dζ Grenzen der

Konvergenzbe-reiche multipli-zieren

E.3. Hilbert-Transformation

E.3.1. Definition

HH(ejΩ) = −jsign(Ω) (545)

(546)

hh[k] =1π

π∫0

sin(Ωk)dΩ =

2πk für k gerade0 für k ungerade

(547)

103

E. Transformationen

Tabelle 30: Korrespondenzen der Hilbert-Transformation[4].

x(t) Hx(t) Voraussetzung

cos(ω0t) sin(ω0t) ω0 > 0

sin(ω0t) − cos(ω0t) ω0 > 0

δ0(t) 1πt –

sin(ωgt)ωgt

1−cos(ωgt)ωgt

–

s(t) · cos(ω0t) s(t) · sin(ω0t) S(jω) = 0 für |ω| ≥ ω0

E.3.2. Besonderheiten

H

∞∑i=1

ai cos(it) + bi sin(it)

=

∞∑i=1

ai · sin(it)− b · cos(it) (548)

Die Hilbert-Transformation liefert zu einer geraden Funktion eine ungeradeFunktion mit demselben Betragsspektrum (nur Phase gedreht) und umgekehrt.

|X(f)| = |XH(f)|∀f 6= 0 (549)

Ein Signal und seine Hilbert-Transformierte sind zueinander orthogonal

∞∫−∞

x(t) · H x(t)∗ dt = 0 (550)

Läßt sich eine Funktion x(t) in einen geraden Anteil xg(t) und einen ungeradenAnteil xu zerlegen, so gilt

Hx(t) = Hxg(t)+Hxu(t) (551)

Achtung: Bei Signaltransformationen zur Gewinnung des ECB-Signals

jHxHF(t) = jxHF(t) ∗ 1πt

XHF(f) · sign(f) (552)

104

E. Transformationen

E.4. ECB-Transformation

Anmerkung: Der Faktor 1√2

wird verwendet, damit HF- und ECB-Signal diegleiche Energie haben. An f0 werden keinerlei Anforderungen gestellt.

E.4.1. Definition

s(t) =1√2· (sHF(t) + jHsHF(t)) · e−j·2π·f0·t (553)

=1√2s+HF(t) · e−j2πf0t (554)

(555)

S(f) =1√2S+

HF(f + f0) (556)

=1√2

(1 + sign(f + f0)) · SHF(f + f0) (557)

E.4.2. Inverse Transformation

sHF(t) =√

2 · Res(t) · ej2πf0t (558)

=√

22

(s(t) · ej2πf0t + s∗(t) · e−j2πf0t

)(559)

(560)

SHF(f) =√

22

(S(f − f0) + S∗(−(f + f0))) (561)

E.4.3. Theorem von Grettenberg

Ein reeller, physikalischer, schwach stationärer Zufallsprozeß besitzt einen äqui-valenten ECB-Prozeß mit den Eigenschaften stationär, mittelwertfrei, rotati-onssymmetrisch (siehe D.1.3).

105

Literatur

E.4.4. Inphasekomponente

hI(t) = Re hK(t) (562)

(563)

HI(t) =12

Re HK(f) +HK(−f)︸︷︷︸gerader Anteil

+j12

Im HK(f)−HK(−f)︸︷︷︸ungerader Anteil

(564)

E.4.5. Quadraturkomponente

hQ(t) = Im hK(t) (565)

(566)

HQ(t) =12

Im HK(f) +HK(−f) − j12

Re HK(f)−HK(−f) (567)

Literatur

[1] Christoph Schenk, Ulrich T.: Halbleiterschaltungstechnik. 12. Auflage.Berlin : Springer-Verlag, 2002. – ISBN 3–540–42849–6

[2] Furlan, Peter: Das Gelbe Rechenbuch 1. Lineare Algebra, Differentialrech-nung für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Dortmund :Verlag Martina Furlan, 1995. – ISBN 3–9316–4500–2

[3] Huber, Johannes: Nachrichtenübertragung. Erlangen : Vorlesungsskriptzur gleichnamigen Veranstaltung, 2006

[4] Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenübertragung. Stuttgart : Teubner,2004. – ISBN 3–519–26142–1

[5] Kellermann, Walter: Digitale Signalverarbeitung. Erlangen : Vorlesungs-skript zur gleichnamigen Veranstaltung, 2005

[6] Kellermann, Walter: Stochastische Prozesse. Erlangen : Vorlesungsskriptzur gleichnamigen Veranstaltung, 2005

106

Literatur

[7] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Ta-schenbuch der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag HarriDeutsch, 2001. – ISBN 3–8171–2005–2

[8] Paul Mühlbauer, Friedrich B.: Mathematische Formeln und Definitio-nen. München : Bayerischer Schulbuchverlag, 1998. – ISBN 3–7627–3261–X

[9] Rudolf Rabenstein, Bernd G.: Einführung in die Systemtheorie. Stutt-gart : Teubner, 2005. – ISBN 3–5192–6194–4

107

Index

SymboleAe, 21BHF, 45Bq0 , 15DS, 17Eg, 49Eb, 45Em, 48Es, 45, 48F (z), 43G, 25GK, max, 35GP, opt, 42Ge, 21J , 23M , 48NQc , 33NQ, 32, 34P , 15Q(x), 69R, 15, 45, 48, 49, 53Rc, 49Rm, 49Rc, 46Se, 45Ss, 45Sq0,max, 15Sq0 , 15T , 45, 48Tb, 45∆ψ, 27∆feff, 29∆, 60Γa, 23, 40Γd, 40, 44, 45, 53, 54H., 103

Λ(~c), 52Φεε(F ), 33Φss(f), 50Φq0q0(f), 15α, 53, 54Φaa(F ), 50Φss(f), 31φss(τ), 311Tb

, 32, 45, 481T , 45EbN0

, 39, 44TTb

, 49N02 , 15γ, 50q0, 15j, 63N0, 15∇, 61φS, 18φq0q0(τ), 15ρM , 47ρS , 49ρc, 46ζ0, 16ζq0 , 15fq0,o, 15fq0,u, 15q0,eff, 15seff2 , 15

AAbbildung

von Zufallsvariablen, 68–69Ableitungsoperator

Nabla, 61Divergenz, 60

108

Index

Gradient, 61Laplace, 60Rotation, 61zusammengesetzte Operationen,

62Abtasttheorem, 66

Bandpaß, 66Basisband, 66

Abtastung, 67Additionstheoreme, 59atto, 55Ausbreitungsdämpfung, 22Aussteuergrad, 14Aussteuerpegel, 14Autokorellierte

mittlere, 31Autokorrelationsfunktion, 83

weißes Rauschen, 87AWGN, 50

BBandbegrenzung, 11Bandbreitenabschätzung, 29Bandbreiteneffizienz, 23Bandbreitenerweiterung, 54Banderweiterungsfaktor, 23Bayes’sche Regel, 68BER, 38Bessel-Funktion, 66Binomialkoeffizient

(nk

), 64

Bitfehlerwahrscheinlichkeit, 53

CCarson-Formel, 29centi, 55Codierung

Kanal-, 14Quellen-, 14systematische, 44

cos-, 59Covarianz, 82Cramer-Rao-Schranke, 94Crestfaktor, 15, 16

Ddeci, 55Decodierung, 51Deemphase, 30Deka, 56Detektion, 51Diagramm

Leistungs-Bandbreiten, 53Leistungs-Raten, 53

DichteEigenschaften, 70Rand-, 70

Differentialoperator, siehe Ableitungs-operator

Differentiation, 59Kettenregel, 60logarithmische, 60parameterabhängiges Integral, 60Produktregel, 60Quotientenregel, 59

Distanzeuklidische, 52

Divergenz, 60DPCM, 43Dynamik, 17

EECB-Signal

amplitudenmoduliertes Signal, 24ECB-Transformation, 105Effektivwert, 15Effizienz

spektrale, 40, 53, 54Empfangsantenne

109

Index

Gewinn, 21Leistung, 21

Ergodizität, 79Erwartungswert, 79

bedingter, 82Exa, 56Expander, 34

Ffemto, 55Fernnebensprechen, 19FEXT, 19Filter

Matched, 50optimales Preemphase-, 30signalangepaßtes, 50Wiener, 94

nichtkausal, 94FM-Spektrum, 27Frequenzhub, 27

effektiver, 29Funktion

charakteristische, 76Filterautokorrelations-, 86Kohärenz-, 86Korrelations-, 83

Auto-, 77, 83, 86Kreuz-, 78, 84, 85

Kovarianz-Auto-, 77, 83Kreuz-, 78, 84

kumulantenerzeugende, 76Log-Likelihood, 93momentenerzeugende, 76Q, 69rect-, 96sinc-, 96trigonometrische, 58, 59von Zufallsvariablen, 68–69

Wahrscheinlichkeitsdichte-, 70Funktionalmatrix, 62

GGeradengleichung

allgemeine Form, 57durch Punkt und Steigung, 57durch zwei Punkte, 57Parameterform, 57

Giga, 56Gleichverteilung, 16Gradiend, 61Gray-Zuordnung, 53

HHamming-Distanz, 54Hekto, 56Hochfrequenzsignal

amplitudenmoduliertes Signal, 24Hornantenne, 21

IInformationsfluß, 18Inphasekomponente, 106Integration

logarithmische, 63partielle, 62Substitutionsregel, 62Umkehrfunktion, 63

InterpolationsfilterBandpaß, 67Basisband, 66

Intersymbolinterferenz, 50ISI, 50Isotroper Strahler, 19, 21

Äquivalenter, 21

JJakobimatrix, 62

110

Index

KKanalcodierung, 14Kennlinie

Kompressor, 36Kettenregel, 60Kilo, 56Kompander, 34Komplexe Zahlen, 63Kompressorkennlinie, 36

optimale, 34Korrelationskoeffizient, 82Kovarianz, 82Kreuzkorrelierte, 84, 85Kreuzleistung, 77, 84

LLaplace-Operator, 60Laplaceverteilung, 17

Autokorrelation, 83Leistung, 15

Empfangsantenne, 21Fehlersignal, 39von der Empfangsantenne auf-

genommene, 21Widerstand, 15

Leistungsdichte, 19Leistungsdichtespektrum, 31

Auto-, 78, 85, 86Kreuz-, 78, 85mittleres, 31Näherung nach Woodward, 29PAM, 50weißes Rauschen, 87

Leistungsgewinnoptimale Prädiktion, 42

l’Hospitalsche Regel, 60Lloyd, 32Logarithmus

Rechenregeln, 59

MMAP, 51Mapping, 44Matched Filter, 50Matrix

Funktional, 62Hesse, 62Jakobi, 62

Max, 32Maximum a posteriori, 51Maximum-Likelihood, 52Median, 75Mega, 56Metrik, 52micro, 55milli, 55minimalphasig, 43Mittelwert, 79

linearer, 80, 82quadratischer, 80, 83

Modulation, 47Delta

adaptiv, 44∆, 43Σ∆, 44

Modulationsgewinn, 25Moment, 80

zentrales, 80zentrales Verbund-, 81

Momentanfrequenz, 27

NNachrichtenfluß, 32Nahnebensprechen, 19nano, 55NEXT, 19NF-Störabstand, 25Nyquist, 51√

Nyquist, 51

111

Index

OOptimalfilterung, 94Orthogonalität, 68

PPAL, 12, 13PAM, 49PAM, 31PAR, 15

amplitudenmoduliertes Signal, 24Parabolantenne, 21PCM, 32Perzentil, 75Peta, 56Phasenhub, 27pico, 55Prädiktion, 87, 89

Intervall-, 89Punkt-, 89

Prädiktionsfilterinverses, 43

Prädiktorrückwärts, 42vorwärts, 42

Preemphase, 30Produktregel, 60

QQ-Funktion, 69Quadratische Gleichung, 57Quadraturkomponente, 106Quantisierung

annäherung an die optimale, 33Geräuschleistung, 33gleichmäsige

Störabstand, 34optimale, 32

Quantisierungsgeräuschmittlere Leistung, 32

optimale Kompandierung, 34zeitdiskretes, 33

Quellencodierung, 14Quellensignal

normiertes, 18primäres, 14

Quotientenregel, 59

RRate

eines Codes, 54eines digitalen Übertragungsver-

fahrens, 49eines Modulationsverfahrens, 47

Rauschenstreng weißes, 87weißes, 86

Rauschleistungsdichte, 15Redundanz

eines Codes, 46Mapping, 47Shaping, 49Signalformung, 49

Reihegeometrische, 65harmonische, 65

Reihen, 64Roll-Off-Faktor, 53, 54Rotation rot, 61Rotationssymmetrie, 77

SSchätzer

Bayes, 93effizienter, 90erwartungstreuer, 89Intervall

normalverteilte Zufallsvariablemit bekanntem mX , 92

112

Index

normalverteilte Zufallsvariablemit unbekanntem mX , 92

konsistenter, 90MAP, 94Maximum-Likelihood, 93Mittelwert

arithmetischer, 90bei bekannter Varianz, 91bei unbekannter Varianz, 91bei unbekannter Verteilung, 91

MMSE, 92MSE, 93Parameter

Exponentialverteilung, 91Poissonverteilung, 92Wahrscheinlichkeit, 92

Varianzbei bekanntem Mittelwert, 91bei unbekanntem Mittelwert,

91Schätzung

Intervall-, 89Parameter-, 88

Bayes, 88klassische, 88

SchwelleFM, 30PCM, 39

Sendeleistungamplitudenmoduliertes Signal, 24

Shannon-GrenzeAnalogsignal, 40Austausch von Leistung und Band-

breiteneffizienz, 44Kanalcodierung, 44Kanalkapazität, 44transparente Übertragung, 40

Shaping, 49Signal-Störabstand

AM, 26

Signaldämpfung, 22Signaldynamik, 17Signaleigenschaften

winkelmoduliert, 28Signalformung, 49Signalstörleistungsverhältnis

PCM, 40sin-, 59SNR

durch Spitzenwertbegrenzung, 16Gleichverteilung, 17Laplaceverteilung, 17

HFFM, 29

HF, 25L, 16NF

FM, 29NF, 25v, 17Verbrauchersignal, 17Vergleich, 25

Soft-Limiter, 14Spektrale Effizienz, 40Spektrum

FM, 27Spitzenleistung, 15

amplitudenmoduliertes Signal, 24Spitzenwert, 15Spitzenwertbegrenzung, 14, 16Spitzenwertfaktor, 16, 50, 71, 73Stationarität

schwache, 77strenge, 76

gemeinsame, 76Zyklo-, 78

schwache, 79Statistik

hinreichende, 90Störabstand

113

Index

bei gleichmäßiger Quantisierung,34

Störleistungdurch Spitzenwertbegrenzung

Gleichverteilung, 16Laplaceverteilung, 17

HF, 29Störung, 14, 16Symbolfehlerwahrscheinlichkeit, 53Symbolrate, 53Symmetrie

Rotation, 77

TTera, 56Transformation

ECB, 105Fourier-, 95–98Hilbert-, 103inverse z-, 101z-, 101–103

UÜbertragungsfaktor, 22Übertragungsfehler, 38Übertragungsfilter, 43Unabhängigkeit

statistische, 67–68Union-Bound, 64Unkorreliertheit, 67

VVarianz, 15, 81Verbundmoment

Zentrales, 81Vergleichssignalstörleistungsverhältnis,

39, 40Vergleichsstörabstand, 25, 39Verteilung

bedingte, 70Binomial-, 71Cauchy-, 73χ-, 74χ2-, 74Eigenschaften, 70Erlang-, 74Exponential-, 75Gamma-, 74Γ-, 74Gauß-, 72geometrische, 72Gleich-, 71Laplace-, 73Lognormal-, 73Maxwell-, 75Normal-, 72

gemeinsame, 73Poisson-, 72Rand-, 70Rayleigh-, 75

WWahrscheinlichkeit

bedingte, 68Verbund-, 68–70, 73

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, 16Weißes Rauschen, 86WER, 38, 39Winkelmodulation, 27Woodward, 29Wurzel

komplexe, 64

YYotta, 56yotto, 55Yule-Walker, 43Yule-Walker-Gleichung, 41

114

Index

ZZahl

komplexe, 63Wurzel, 64

zepto, 55Zeta, 56Zufallsprozeß, 71, 73Zufallsvariable

Abbildungeindimensional, 68mehrdimensional, 68

Zuordnung, 44

115

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Formeln und Notizen - Startseite | HaWosiflfran/uni/IuK/Formelsammlungen/... · Formeln und Notizen Nachrichtenübertragung Florian Franzmann∗ 7. April 2009, 23:54 Uhr Abbildungsverzeichnis