Fortgeschrittenen - Praktikum

CT

Versuchsleiter: Frau Kallenrode

Autor: Daniel Bruns

Gruppe: 10, Donnerstag

Daniel Bruns, Simon Berning

Versuchsdatum: 25.01.2006

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Theorie 2

2.1 Einheiten und Messgröÿen energiereicher Strahlung . . . . . . . . 22.2 Entstehung von Röntgenstrahlung: Das Bremsstrahlungsspektrum 22.3 Die Röntgenröhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Wechselwirkung mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Elastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4.2 Photoe�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.3 Compton-E�ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4.4 Paarerzeugung und Kernphotoe�ekt . . . . . . . . . . . . 72.4.5 Energieabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.6 Abschwächung durch Materie . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Das Röntgenbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.1 Aufnahmequalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.2 Das CCD als aufzeichnendes Medium . . . . . . . . . . . 92.5.3 Streustrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.4 Räumliches Au�ösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Computer-Tomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Schichtbildrekonstruktion mit Hilfe von einfacher Rückprojektion 14

2.7.1 Beispiel einer einfachen Rückprojektion . . . . . . . . . . 152.8 Ge�lterte Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Simulation des CT-Verfahrens 16

3.1 Simulation der iterativen Rekonstruktion mit einem einfachenDatensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Detaillierte Aufnahme eines Objekts 18

5 Bildbearbeitung - Vorarbeiten 19

5.1 Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Kontrastanreicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Farbliche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Rekonstruktion der 3D-Darstellung 25

7 Anhang 25

7.1 Die CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Ein Einblick in das Java-Programm zur Schnitterzeugung . . . . 26

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1 Einleitung

In diesem Versuch sollen einige Fähigkeiten zur Nutzung von Röntgenstrahlungerworben werden.Dazu gehört, wie Röntgenstrahlung entsteht und welche Eigenschaften das Brems-strahlspektrum besitzt. Zudem sollen bei Röntgenaufnahmen entstehende Pro-bleme erkannt und minimiert werden. Daraus folgend wird auf verschiedene CT-Verfahren eingegangen. Aus den eigenen 2D Aufnahmen sollen schlieÿlich 3D-und Schichtbilder rekonstruiert werden und die Bildqualität durch verschiedeneVerfahren verbessert werden.

2 Theorie

2.1 Einheiten und Messgröÿen energiereicher Strahlung

Als Einheit für Radioaktivität wird Bequerel [Bq] genutzt. Sie beschreibt dieradioaktiven Umwandlungen pro Sekunde.

Desweiteren wird als Einheit für die Energiedosis Gray [Gy] benutzt und wirdin Joule pro Kelvin angegeben. Durch sie wird die gesamte, in einem Massen-element absorbierte Strahlungsenergie pro Kilogramm angegeben. Daraus re-sultiert auch die Energiedosisleistung, welche in Gray pro Sekunde angegebenwird.

2.2 Entstehung von Röntgenstrahlung: Das Bremsstrah-

lungsspektrum

Röntgenstrahlung wird erzeugt, indem ein Elektronenstrahl von der Kathodezur Anode hin beschleunigt wird, wobei das Anodenmaterial typischer Wei-se ein Material hoher Ordnungszahl ist, in welcher er stark abgebremst wirdund die somit verlierende Energie als Photon wieder emittiert wird. Dabei istwichtig, dass die Geschwindigkeit des Eletronenstrahls sehr viel kleiner als dieLichtgeschwindigkeit ist (da ansonsten Synchrotonstrahlung erzeugt wird). Dadie Elektronen in der Anode nicht nur einmal abgelenkt werden, sondern, waszudem viel wahrscheinlicher ist, mehrmals, entsteht das so genannte Bremsstrah-lungsspektrum. Das Prinzip mehrfacher Streuung ist in Abbildung 1 ersichtlich.Das wir es hier wirklich mit Röntgenstrahlung zu tun haben, lässt sich relativeinfach veri�zieren.

m

2v2 = U ∗ e

ve =√

2Ue

me

ve = 1, 18 ∗ 108 m

s(1)

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Abbildung 1: Vergleich mehrfacher und einzelner Streuung in der Anode

Da dieser Wert nur einen maximalen Wert darstellt und, wie in Abbildung 2zu erkennen ist, nicht der häu�gsten Energie entspricht, kann man also davonausgehen, das wir es mit Röntgenstrahlung zu tun haben.

Leider wird das enstehende Bremsspektrum noch durch weitere E�ekte überla-gert. So werden zum einen Röntgenstrahlung niedrigerer Energie von der An-ode selbst absorbiert und zum anderen kommt es zur Absorption im Gehäuse,wodurch wieder zusätztliche Photonen entstehen, welche solch hohe Energienbesitzen können, dass auch diese einen Beitrag zum Röntgenspektrum leisten.Ist noch ein Filter vor den Nutzstrahl angebracht, um niederenergetische Rönt-genstrahlung herauszu�ltern, so verschiebt sich das Spektrum noch weiter.Alle diese E�ekte sind in Abbildung 2 zu sehen. A beschreibt den idealen Ver-lauf des Röntgenspektrums. B zeigt die Änderung durch die Absorption derAnode und dem abschiermenden Material, sowie dessen Emission. C zeigt dasSpektrum, wenn zusätzlich noch ein Filter vorgeschaltet wird.Mit der im Skript abgebildeten Abbildung 3 lassen sich zudem für die von unsverwendete Röntgenröhre mit einer Beschleunigungsspannung von 40keV Ener-gien für den häu�gste auftretende sowie die mittlere auftretende Energie errech-nen. Man kann eine mittlere Wellenlänge von λmittel = 0, 06nm und eine häu-�gste Wellenlänge von λhaeufig = 0, 05nm ablesen. Mit Hilfe der Formel E = hc

λkann man somit Energien von Emittel = 20, 5keV und Ehaeufig = 24, 7keV be-rechnen.

2.3 Die Röntgenröhre

Gehen wir jetzt nochmal näher auf den Aufbau der Röntgenröhre ein (Abbil-dung 3). Die Elektronen werden von der Kathode zur Anode hin beschleunigt.Da Photonen niedriger Energie absorbiert werden, durch das Eindringen derElektronen Atome angeregt werden können und sowieso die entstehenden Pho-tonen isotrop emittieren, wird nur 1% der erzeugten Röngtenstrahlung nutzbar.Der Rest wird letztendlich in Wärme umgewandelt. Daher wird eine Drehanodeverwendet. Diese hat den Vorteil, das immer wieder ein anderer Teil der Anodevom Elektronenstrahl getro�en wird und sich die Anode somit insgesamt nicht

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Abbildung 2: Ideales und reales Röntgenspektrum

so stark erwärmt, was besonders in den heutzutage genutzten groÿen Anlagenein Problem darstellt.Wie zuvor erwähnt werden nur 1% der emittierten Photonen für die Röntgen-strahlung verwendet. Da zudem noch ein groÿer Teil vom Gehäuse absorbiertwird, reduziert sich der im Ende�ekt genutzte Anteil auf 0,01% der entstehendenRöntgenstrahlung, die e�ektiv für den Nutzstrahl verwendet wird. Die Energiedes Nutzstrahls lässt sich wie folgt berechnen:

fe = 10−4ZE (2)

Für das in unserem Versuch genutzte System mit einer Beschleunigungsspan-nung von 40keV und einem maximalen Kathodenstrom von 1mA sowie einemmittleren Z der Anode von 74 ergibt sich:

I =Q

tI ∗ t = Q = e ∗ n

Für eine Sekunde ergibt sich somit eine Anzahl Elektronen n von

n =It

e= 6, 24 ∗ 1015

Mit der vorher errechneten maximalen Geschwindigkeit der Elektronen von ve =1, 18 ∗ 108 m

s folgt für die kinetische Energie

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Abbildung 3: Röntgenröhre mit Drehanode

Abbildung 4: elastische Streuung

Ekin =m

2v2

e ∗ n

= 2, 47 ∗ 1014MeV

Damit ergibt sich dann für den Nutzstrahl eine Energie von

fe = 1, 83 ∗ 1018eV

2.4 Wechselwirkung mit Materie

Man unterscheidet zwischen Absorption und Streuprozessen. Bei Streuprozessenwird die Flugrichtung verändert und die Energie des Photons reduziert. DurchAbsorption wird die gesamte Energie des Photons absorbiert und somit dasPhoton �vernichtet�.

2.4.1 Elastische Streuung

Bei elastischer Streuung wird ein Hüllenelektron durch das Photon in der ent-sprechenden Frequenz angeregt, verlässt allerdings nicht seinen Platz und er-

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Abbildung 5: Photoe�ekt

Abbildung 6: Compton-E�ekt

zeugt ein Photon, welches dieselbe Frequenz hat, aber eine andere Richtung wiedas Ursprungsphoton besitzt, wie in Abbildung 4 zu sehen ist. Es kommt zukeinem Energieübertrag.Haben die einfallenden Photonen eine Energie von über 10keV, so hat dieserE�ekt nahezu keine Bedeutung mehr. In unserem Fall kann man davon ausgehen,das nahezu alle Photonen eine Energie von über 12keV haben und somit fastkeine elastische Streuung auftritt.

2.4.2 Photoe�ekt

Beim Photoe�ekt wird das einfallende Photon vollständig absorbiert und da-durch ein Hüllenelektron ausgelöst, wie in Abbildung 5 dargestellt. Die Energiedes Photons geht dabei in das Elektron über, welches eine Energie gleich der desPhotons abzüglich der ursprünglichen Bindungsenergie besitzt. Durch Elektronkann wiederum Bremsstrahlung oder Ionisation entstehen.

2.4.3 Compton-E�ekt

Der Compton-E�ekt schlieÿt sich energetisch an den Photoe�ekt an. Ist dieEnergie des Photons nicht groÿ genug, um zu einem vollständigen Energieüber-trag zu führen, so wird nur ein Teil der Energie übertragen. Das führt dazu, dassein Elektron ausgelöst wird, dabei handelt es sich zumeist um ein Auÿenelek-tron, und das Photon abgelenkt wird, welches nun auch eine verringerte Energiebesitzt (Abbildung 6. Zu beachten ist noch, dass der Streuwinkel des Photonsabhängig ist von der Energie des einfallenden Photons. Bei hoher Energie istfast nur noch Vorwärtsstreuung zu beobachten.

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Abbildung 7: Energieabhängigkeit der verschiedenen Wechselwirkungen

Da sich bei unserem Versuchsaufbau die meisten Elektronen im Bereich von24keV be�nden, haben wir eine nahezu isotrope Verteilung der Compton-Streuungund somit ist die Verteilung in Abhängigkeit zur Energie zu vernachlässigen.

2.4.4 Paarerzeugung und Kernphotoe�ekt

Diese beiden E�ekte seien hier nur zur Vollständigkeit kurz erwähnt, sie habenjedoch keine Bedeutung in unserem Versuch, da sie sehr hohe Energien benöti-gen. Bei diesen E�ekten werden ein Elektron und eine Positron beziehungsweisesogar ein Neutron oder Proton emittiert.

2.4.5 Energieabhängigkeit

Wie schon in den Erläuterungen zuvor sind die einzelnen E�ekte von der Energiedes einstrahlenden Photons abhängig. Wie der Abbildung 7 zu entnehmen ist,haben wir es in unserem Versuch hauptsächlich mit Compton-Streuung und demPhotoe�ekt zu tun, da die Photonen eine Energie im Bereich um 20keV haben.Auch bei Materialien, die eine viel schlechtere Durchlässigkeit haben, wie zumBeispiel Blei, ist der Photoe�ekt die wichtigste Wechselwirkung. Dort ist nochim geringen Maÿe der Compton E�ekt von Bedeutung. Die anderen E�ekte sindfür die von uns verwendete Energie vernachlässigbar.

2.4.6 Abschwächung durch Materie

Durch das Durchdringen von Materie wird der Röntgenstrahl abgeschwächt.Dabei kann für Röntgenstrahlen sowohl eine homogene, als auch eine inhomoge-ne Abschwächung angenommen werden, welche aber abhängig von der Energieder einfallenden Photonen ist. Zum Beispiel für Wasser nimmt man eine ho-mogene Abschwächung an, für Knochen allerdings eine inhomogene. Dabei sinddiese Prozesse rein statsistische Annahmen. Entsprechend dieser Abschwächun-gen versucht man nun die detektierte abgeschwächte Röntgenstrahlung entspre-chend ihrer Intensität gewissen Materialien zuzuordnen. Somit ergeben sich imEnde�ekt Röntgenbilder, welche eine gewisse Interpretation zulassen.

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2.5 Das Röntgenbild

Damit überhaupt ein Röntgenbild erstellt werden kann, müssen gewisse Bedin-gungen erfüllt sein. Zum einen muss das zu untersuchende Objekt so durch-drungen werden, das Strahlung nach dem durchdringen der Materie auch auf-gezeichnet werden kann. Zum anderen muss es eine Wechselwirkung zwischender Strahlung und der Materie geben, damit Rückschlüsse auf die durchdrun-gene Materie gemacht werden können. Speziell in der Medizin muss dabei aufdie verschiedenen im Körper vorhandenen Körpergewebe Rücksicht genommenwerden und eine entsprechende Energie für den Röntgenstrahl verwendet wer-den, so dass keine zu hohe Belastung für den Körper entsteht und trotzdem dieverschiedenen Gewebearten gut di�erenziert werden können.

Vermutlich könnte auch das in diesem Versuch zur Verfügung stehende Gerätzur medizinischen Anwendung verwendet werden. Probleme könnten besondersdann entstehen, wenn man mehr und vor allem dichteres Gewebe untersuchenwill. Vermutlich wird der kontrast nicht mehr ausreichen, um gute Röntgenbilderzu erhalten, da zu viel von der Strahlung absorbiert wurde. Der Vorteil könnteda aber auch in diesem Gerät liegen, wenn zum Beispiel nur die Hand gerönchtwerden soll. Da bei geringeren Energien ein gröÿerer Unterschied zwischen denverschiedenen Geweben besteht, können diese natürlich bei ausreichender Auf-nahmequalität auch besser unterschieden werden.

2.5.1 Aufnahmequalität

Folgende Ansprüche stellt man an ein gutes Röntgenbild:

• die Aufnahme soll scharf sein, so dass Begrenzungen einzelner Bereicheund Diskontinuitäts�ächen identi�ziert werden können,

• das räumliche Au�ösungsvermögen soll gut sein, so dass auch kleine De-tails noch zuverlässig erkannt werden können,

• die Aufnahme soll kontrastreich sein, so dass verschiedene Gewebe deut-lich unterschieden werden können,

• das Signal- zu Rauschverhältnis soll groÿ sein,

• die Strahlenbelastung soll möglichst gering sein, zumindest wenn man einlebendes Objekt untersucht. (Zum Beispiel eine Eichel ist von der Strah-lenbelastung eher unbeeindruckt.)

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Abbildung 8: Darstellugn einer einzelnen CCD und einiger in Reihe angeordneterCCD's

2.5.2 Das CCD als aufzeichnendes Medium

Erwähnt sei noch, dass die Röntgenstrahlung auch mit einem Röntgen�lm odereinem Röntgenscanner aufgenommen werden kann. Da die Aufnahme in unse-rem Versuch allerdings mit einem CCD realisiert wird, gehen wir auch nur aufdieses näher ein.

Ein CCD funktioniert wie folgt. Zunächst einmal beruht die Wirkungsweise aufdem photoelektrischen E�ekt. Tri�t ein Photon auf einen Halbleiter, so wird einElektronen-Loch-Paar erzeugt. Diese Eletronen werden in einer Potentialsenken,welche aus vielen Elektroden bestehen, gelagert, bis ihre Anzahl an eine Aus-leseelektrode übergeben wird. Realisiert wird dies über eine Halbleiterschicht,welche durch eine dünne Siliziumoxidschicht von einer Elektrode getrennt ist.Dabei wird die Elektrode auf einer geringen Spannung gehalten, um die Elek-tronen �einfangen� und sammeln zu können. Viele über- und nebeneinanderangeordnete einzelne CCD's ermöglichen somit eine Aufnahme verschiedener In-tensitäten über eine gewisse Fläche. Meistens wird dabei einzelnen Intensitätenein gewisser Grauwert zugeordnet. Der Aufbau einer einzelnen beziehungsweiseeiner Reihe von CCD's ist in Abbildung 8 zu sehen.

Bei der Aufnahme eines CCD's wird dabei von einer gewissen Statistik ausge-gangen, da in der zu untersuchenden Materie auch nur Wahrscheinlichkeitenfür Absorption und Streuungse�ekte angegeben werden können. Somit ist man

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einem zu groÿen statistsichen Fehler ausgeliefert, wenn man eine zu kurze Belich-tungszeit wählt. Es muss also wiederum einen Mittelweg gefunden werden, umeine Belichtungszeit zu �nden, bei der der statistische Fehler zwar gering, aberdie Belastung für den menschlichen Körper nicht zu groÿ wird (Untersucht manein nicht lebensdes Objekt, kann man natürlich eine Belichtungszeit wählen, dieein optimales Ergebnis liefert). Ansonsten hat man, wenn man von einem Feh-ler von f = 1√

zausgeht, zum Beispiel für hundert aufgenommene Werte einen

Fehler von 10%, bei 10000 aufgnenommenen Werten nur noch einen Fehler von1%.

Als Beispiel nehmen wir mal unser hier verwendetes CCD. Wir haben eineCCD mit 752 mal 582 Bildpunkten. Daraus ergibt sich eine Gesamtzahl vonp = 437664 Pixeln. Zudem gilt für die Anzahl der Photonen:

z =fe ∗ E−1

m t

p(3)

Wie zuvor schon berechnet haben wir eine mittlere Energie von Emittel =20, 5keV und einen Nutzstrahl von fe = 1, 83 ∗ 1018eV. Damit ergibt sich ei-ne Anzahl Photonen pro Pixel in einer Sekunde von:

z = 204 ∗ 106

Nun können wir berechnen, wie viele Photonen benötigt werden, damit alle 256Grauwerte trotz der Standardabweichung σ unterscheidbar sind. Dazu mussfolgende Bedingung erfüllt sein.

σ =√

z ≤ 1256

∗ z (4)

Dies ist bei etwa 100000 Photonen der Fall.

σ =√

100000 = 316 ≤ 1256

∗ 100000 = 390 (5)

Damit folgt für eine Aufnahme ohne Objekt eine minimale Aufnahmezeit von1

2040 ≈ 0, 5µs pro Winkel um die 100000 Photonen pro Pixel erreicht zu haben.Versuchen wir nun Materie zu durchdringen, so verlängert sich die Belichtungs-zeit natürlich, da eine längere Zeit gebraucht wird, um dieselbe Menge an Pho-tonen pro Pixel erreicht zu haben. Diese Zeiterhöhung lässt sich über das Ver-hältnis der Ursprungsintensität zur verminderten Intensität errechnen. Die In-tensität vermindert sich durch das Durchlaufen des Mediums um:

I(x) = I0 ∗ exp−µρx (6)

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mit I(x): verminderte Intensität, I0: unverminderte Intensität, µ: Massenab-schwächungskoe�zient, ρ: Dichte des zu durchlaufende Materials, x: Dicke deszu durchlaufenden Materials.

Somit kommt man bei Wasser mit Werten von µ = 0, 0778m2

kg bei einer mitt-

leren Energie von 20,5keV, ρ = 1000 kgm3 und x = 0, 007m auf einen Wert von

I(x) = 0, 58∗I0. Aus diesem Verhältnis lässt sich nun bestimmen, dass man alsoungefähr die 1,7-fache Zeit benötigt, um dieselbe Intensität zu erreichen. Führtman diese Rechnung für ein x = 0, 1mm dickes Eisenblech durch (µ = 0, 255m2

kg

bei einer mittleren Energie von 20,5keV, ρ = 7700 kgm3 ), so ergibt sich eine Erhö-

hung der Zeit, um auf dieslbe Intensität zu kommen, um den Faktor 7,1.

2.5.3 Streustrahlung

Dieser E�ekt hat bei unserem Versuchsaufbau eine vermutlich eher kleine Bedeu-tung. Er wird erzeugt durch die Streuung der Photonen im zu untersuchendenObjekt. Da wir zwar eine isotrope Aufteilung de gestreuten Ohotonen haben, esaber mit einem dünnen Strahlenbündel zu tun haben, verursacht die Streuungeher eine generelle Intensitätszunahme für jeden Pixel. Wir haben somit alsomehr Rauschen und wir müssen den dadurch entstandenen Fehler weiter ver-mindern, indem wir eine höhere Belichtungzeit wählen. In anderen Geräten wirdzur Unterdrückung dieses E�ektes häu�g auch eine Lamellentechnik verwendet,in der nur die nicht gestreuten Strahlen auf das CCD tre�en können, oder eswerden zwei Blenden installiert, welche den E�ekt auch weiter minimieren.

2.5.4 Räumliches Au�ösungsvermögen

Das räumliche Au�ösungsvermögen ist ein Maÿ dafür, mit welcher Feinheit Ele-mente des Bildes noch zu erkennen sind. Beein�usst wird diese Gröÿe durchdie Streuung und den Kontrast. Ein guter Kontrast und eine geringe Streuungverbessern somit das räumliche Au�ösungsvermögen. Zudem verursacht eine zugroÿe Strahlaufweitung auch eine Verschlechterung des räumlichen Au�ösungs-vermögens da diese zu einer Verschleierung der Begrenzungen zwischen zweiObjekten führt.

Daher bestimmen wir hier zunächst einmal die Strahlaufweitung. Dazu habenwir jeweils eine Aufnahme eines Drahtes gemacht, der sich in der Entfernungzum Fokus um 8mm verändert hat (Abbildung 9). Dabei kommt es zu einerÄnderung der Breite der Aufnahme von 2 Pixeln. Da man aus der Gra�k ent-nehmen kann, dass ein Pixel ungefähr 0, 0208mm entspricht, ergibt sich alsoeine Strahlaufweitung von 5, 2µm pro Millimeter, den man sich zum Fokus hinbewegt.Weiterhin lässt sich aus den Aufnahmen der Gitter (Abbildung 10) das Au�ö-sungsvermögen abschätzen. Dazu wird das fokusnahe Bild genommen, da dieseseine gröÿere Strahlaufweitung besitzt und zudem einen schlechteren Kontrastbietet. Man kann abschätzen, dass man circa 5 Pixel zwischen zwei Objekten

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Abbildung 9: Vergleich der beiden Aufnahmen eines einzelnen Drahtes aus ver-schiedenen Fokusentfernungen mit dem CCD. Mitte: Fokusfern, Auÿen: Fokus-nah

Abbildung 10: Links: Fokusnahes Gitter: Rechts: Fokusfernes Gitter

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Abbildung 11: CT's verschiedener Generationen. Generation 1: a; Generation 2:b; Generation 3: c; Generation 4: d

benötigt, um diese eindeutig voneinader trennen zu können. Dies entspricht0,04mm.

2.6 Computer-Tomographie

Computertomographen benutzen das folgende Prinzip, um ein Objekt abzuta-sten und ein Bild daraus zu entwickeln. Es wird eine Röntgenröhre und ein De-tektor um das Objekt bewegt. Dabei werden einzelne Schichten des Objekts ausverschiedenen Richtungen gescannt und mit dem Computer zu einem Schicht-bild umgerechnet. Inzwischen gibt es mehrere Generationen von CT's. Dabeiwurde die Geschwindigkeit, mit der die Einzelbilder erzeugt werden erheblichgesteigert. Allerdings hat sich bei den neueren Generationen auch der Streu-ungse�ekt vergröÿert. So wurde früher ein nahezu paralleler Röntgenstrahl aufeinen Detektor gerichtet. Heutzutage be�ndet sich ein Ring aus Detektoren umdas Objekt und es wird einfach nur mit der Röntgenröhre um das Objekt herumgefahren bezeihungsweise, der Strahl wird so gelenkt, dass man jeden im Kreisangeordneten Detektor erreicht (Abbildung 11.Bei unserem CT wird eine leicht andere Technik benutzt. Es werden noch dieganz normalen Röntgenbilder aus verschiedenen Winkeln erzeugt. Somit kannman nicht nur eine Schicht mit Hilfe des Computers berechnen, sondern gleichdas ganze Objekt, wobei für jede Schicht einfach die entsprechende Zeile desnormalen Röntgenbildes verwendet wird.

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Abbildung 12: Erzeugung der Durchsichtzeilen beim iterativen Verfahren

Gehen wir nochmal auf die einzelnen Schichtbilder ein. Jede Schicht bestehtaus einer Fläche von Voxeln (Volumenelemente). Jedem dieser Voxel soll einbestimmter Abschwächungskoe�zient µ zugeordnet werden, was durch die Be-rechnung des Computers der einzelnen Bilder der Schicht erledigt wird. Dabeiwird jedem Voxel eine so genannte Houns�eld-Zahl zugeordnet, welche auf denAbschwächngskoe�zienten von Wasser normiert ist. Für Luft ergibt sich somiteine Houns�eld-Zahl von -1000, für Wasser von 0 und für Knochen von 1000.Da somit rein theoretsich 2000 verschiedene Werte zugeordnet werden können,der Mensch aber nur (im Durchschnitt) 36 Grauwerte unterscheiden kann, wer-den diese 2000 Werte aufgeteilt auf zumeist 16 bis 64 verschiedene Graustufen.Dabei wird vorher bestimmt, welcher Bereich der Houns�eld Zahlen jeweils vonBedeutung ist und wie somit die Graustufen verteilt werden müssen.

2.7 Schichtbildrekonstruktion mit Hilfe von einfacher Rück-

projektion

Einfache Rückprojektion funktioniert wie folgt. Man nimmt an, dass der Schnittdurch eine MxM Matrix von Grauwerten dargestellt werden kann. Die Zeilen-zahl dieser Matrix entspricht genau der Anzahl der Pixel einer CCD-Zeile, alsoder 'anzahl der Röntgenstrahlen' die eine Schicht durchdringen. Diese Schnitt-Matrix aus Grauwerten kann dann, wie ein richtiges Objekt, aus unterschiedli-chen Winkeln 'durchleuchtet' werden. Mann summiert dazu einfach die Grau-werte in der Matrix entlang eines Röntgenstrahles auf. Es ist sinnvoll dies füreine recht groÿe Anzhal an Winkeln zu tun, da das Ergebnis mit steigender Ite-rationszahl besser wird. Die erhaltenen Grauwertzeilen entsprechen dann denDurchsichten aus den jeweiligen Winkeln. Zur Veranschaulichung hilft Abbil-dung 12.

Nun versucht man die Ausgangsmatrix möglichst genau zu reproduzieren. Dazubenötigt man zunächst eine leere Matrix der gleichen Gröÿe wie die Ausgangs-matrix. Jetzt verteilt man die einzelnen Werte einer Grauwertzeile gleichmäÿig

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Abbildung 13: Die einfach Rückprojektion

auf die entsprechend durchleutete Zeile dieser Matrix. Danach wird die Ma-trix um den Winkel gedreht und die Werte der nächsten Grauwertzeile werdenwieder gleichmäÿig auf die entsprechenden Zeilen der Matrix aufaddiert. Nach-dem man alle Grauwertzeilen verarbeitet hat, erhält man eine Matrix mit sehrgroÿen Werten. Um einen besseren Vergleich zur Ausgangsmatrix zu erhalten,kann man nun noch durch die Anzahl der Durchsichten teilen.

2.7.1 Beispiel einer einfachen Rückprojektion

Wie in der Abbildung 13 zu erkennen ist, haben wir eine relativ einfache sym-metrische Matrix benutzt, um die einfache Rückprojektion durchzuführen. Wirhaben bei dem präsentierten Ergebnis 15 Drehungen zu je 3,135◦ in Bogen-maÿ vollführt. Man erkennt, dass die generelle Struktur der Matrix ersichtlichwird, sich allerdings kein Rückschluÿ auf die Stärke der Absorption ziehen lässt.Was uns vor allem bei der Beschäftigung mit diesem Beispiel verwunderte, ist,dass eine Erhöhung der Durchsichten zu einem schlechteren Ergebnis führt. DieUnterschiede der einzelnen Werte werden geringer und sind somit schlechtervoneinander zu unterscheiden. Im Gegensatz zum iterativen Verfahren, welchesspäter in dem Protokoll durchgeführt wird und bei dem auch noch eine Fehler-betrachtung mit einhergeht, ist das durch die einfache Rückprojektion erhalteneErgebnis doch als schlecht anzusehen. Mit Hilfe einer Java Laufzeitumgebungkann das auf der Cd enthaltene zugehörige Programm mit Hilfe des Befehls'java SimulationEinfach 5 > test.txt' durchgeführt werden. Nähere Angabenentnehmen Sie bitte der auf der Cd enthaltenen Readme.txt.

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Abbildung 14: Verteilen der Messwerte

2.8 Ge�lterte Rückprojektion

Die ge�lterte Rückprojektion basiert auf zweidimensionalen Fourier Transfor-mationen und ist auch eines der wichtigsten Rekonstruktionsverfahren. Damitlassen sich zwar sehr gute Ergebnisse erzielen, jedoch ist dieses Verfahren auchrecht kompliziert. Für unsere Auswertungen wird dieses Verfahren nicht genutzt.Es gibt diverse weitere Verfahren, für dessen Verständnis man aber einen Ma-thematiker zu Rate ziehen sollte. Immerhin ist dieser Bereich ein eigenes For-schungsgebiet.

3 Simulation des CT-Verfahrens

3.1 Simulation der iterativen Rekonstruktion mit einem

einfachen Datensatz

Bevor wir mit dem experimentellen Teil beginnen, wollen wir noch das Verfah-ren der iterativen Rekonstruktion an einem Testdatensatz veranschaulichen. Daunser Programm für die Rekonstruktion eines Schnittes, welches wir im näch-sten Abschnitt erläutern, auch in Java geschrieben ist, liegt es nahe für diesesProgramm eine 'Test-Applikation' zu schreiben, mit der man das Verfahrennachvollziehen kann.Das Verfahren der iterativen Rückprojektion funktioniert wie folgt:

Zunächst erzeugt man analog zur einfachen Rückprojektion die nötigen Durch-sichtzeilen. Nun nimmt man weiter an, dass die in den Durchsicht-Zeilen ent-haltenen Gesammtabschwächungen, einfach gleichmäÿig wieder auf die Feldereiner Matrix verteilt werden können, die der Strahl schneidet. Das Ergebnis fürunser Beispiel nach der ersten Iteration ist in Abbildung 14 zu sehen.Nun erstellt man für jede weitere Iteration aus der bisherigen Matrix eine Zeile

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Abbildung 15: Verteilen der Messwerte

aus theoretischen Grauwerten, vergleicht diese mit den Messwerten und addiertdie Abweichungen auf die Felder. So nähern sich die Werte der Matrix immermehr denen der Original-Matrix an. Zur Veranschaulichung ist die zweite Itera-tion in Abbildung 15 dargestellt.Nachdem wir nun geklärt haben, wie das Verfahren der iterativen Rückprojek-tion funktioniert, sind Sie gerne gebeten, unser Java-Programm zur Simulationauf Herz und Nieren zu prüfen. Dieses Programm erstellt eine MxM Grauwert-matrix, deren Gröÿe vom Benutzer vorgegeben wird. Danach führt es das ebenerläuterte Verfahren durch und gibt nach jeder Iteration die bisherige Grau-wertmatrix aus. Auÿerdem ist jeder Grauwert mit x- und y-Koordinaten ver-sehen, weil unser Programm diese zum Drehen benötigt. Man kann dann gutdie Original-Matrix am Anfang der Ausgabedatei mit der Matrix nach der letz-ten Iteration vergleichen und wird sehen, dass eine gute Näherung erzielt wurde.

Das Simulationsprogramm macht 20 Iterationen, Ihre Matrixgröÿe sollte daheretwa 9x9 nicht übersteigen, damit das Ergebnis noch gut ist. Sie benötigen eineJava-Laufzeitumgebung auf Ihrem Rechner. Die Setup Datei be�ndet sich aufder CD. Dann können Sie das Programm einfach mit:'java Simulation 5 > test.txt' auf der Konsole ausführen. Für die 5 setzen Sie bit-te die gewünschte Matrixgröÿe ein und 'test.txt' ist der Name der Ausgabedatei.

Die Meswert-Matrix und die �nale Ergbenis-Matrix für 5x5 sind schonmal zumVergelich in Abbildung 16 dargestellt. Die Änderungen der x- und y-Koodinatenkommen daher, dass die Matrix während des Verfahrens stückweise bis um 180◦

gedreht wurde.

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Abbildung 16: Ergebnis unseres Programms für eine 5x5-Matrix

Abbildung 17: Durchsichten: Stern-Anis links, Eichel rechts

4 Detaillierte Aufnahme eines Objekts

Nachdem die Voruntersuchungen abgschlossen waren sollten wir die Transmissi-onsaufnahmen eines oder mehrerer Objekte erstellen. Wir haben uns dazu eineEichel und ein Stern-Anis ausgesucht. Zuerst haben wir den Kontarst über dieBelichtungszeit eingestellt, sodass man alle Bestandteile des jeweiligen Objektesgut erkennen konnte. Dann haben wir am Rechner eine Schrittweite von 0.9◦

pro Aufnahme angegeben in einem bereich von 0◦ bis 360◦. Daraus resultierten400 Bilder pro Objekt. Da wir diese verständlicherweise nicht alle hier zeigenkönnen, haben wir uns jeweils eine 'schöne' Durchsicht herausgepickt. Diese sindin Abbildung 17 dargestellt.

Nun folgte der für uns aufwendigste Teil der Nachbearbeitung. Es sollte ein Pro-gramm geschrieben werden, dass aus den von der Software gemachten Durch-sichten einen Schnitt des Objektes nach dem Verfahren der Einfachen bzw.Iterativen Rückprojektion erstellt. Da wir, wie bereits erwähnt, nicht so �rm inMatlab sind, wie in Java, haben wir das Programm wie folgt aufgebaut:

• Ein von uns verfasstes Matlab Skript namens 'ConvertToDat.m' wandelt

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die mitgelieferten Durchsichten in Textdateien um, die jeweils eine Zeileaus 736 Grauwerten enthalten. Dies sind die Werte aus der mittleren Zeiledes Bildes aus denen später der Schnitt entstehen soll.

• Mit dem Java Programm 'TrafoTest.java' kann man dann diese Dateiennach und nach zu einem Schnittblid verarbeiten lassen. Das Verfahren be-ruht auf der iterativen Rückprojektion. Das gröÿte Problem lag hierbeidarin, die Grauwerte einer Datei ensprechend eines beliebigen Drehwin-kels richtig auf die Pixel zu verteilen, wird aber im Anhang anhand vonCode-Ausschnitten noch näher erklärt. Da das Programm eine 736 x 736Felder groÿe Grauwerttabelle erzeugt, bei der für jedes der 400 Bilder jederGrauwert einmal neu angepasst werden muss, dauert das Erzeugen einerGrauwertmatrix in Form einer csv-Datei recht lange (etwa eine Stunde).

• Wenn das Java Programm fertig ist, hat man eine csv-Datei, die das Nega-tiv des Bildes darstellt. Diese kann man mit unserem Matlab Script 'Nega-tiv.m' einlesen und in ein Positiv umwandeln. Das unge�lterte Schnittbildkann man dann in Matlab sofort begutachten.

Die Ergebnisse im Vergleich zu den Bildern der Original Software sind in Abbil-dung 18 zu sehen. Wie man schnell erkennt, ist die Qualität am Rand unsererBilder nicht so gut. Das liegt daran, dass unere Ausgangsmatrix genauso breitist, wie die Röntgenstrahlen. Wird die Matrix gedreht, so werden die äuÿerenPixel (x-Wert betrachtet) nicht mehr durchleuchtet. Dabei entsteht ein kreisför-miger Bereich it guter Qualität im Inneren. Dieser Bereich ist auf den Bildernvom CT gut zu erkennen, bei diesen wurde der äuÿere Bereich nämlich gleichausgeblendet.

5 Bildbearbeitung - Vorarbeiten

Die erhaltenen Schnittbilder sind zwar für eine Amateursoftware schon ganzansehnlich, können durch verschiedene Filterungen aber noch an Qualität ge-winnen. Laut Anleitung kann man diese Filterungen gut in Matlab durchführen.Wir haben uns jedoch für die Bearbeitung mit Adobe Photoshop entschieden.Matlab skaliert die Bilder automatisch, sodass nur Werte zwischen 0 und 255auftreten. Adobe Photoshop stellt eine Funktion für eigene Filter zur Verfügung,der man einfach die gewünschte Filtermatrix mitgibt. Diese �ndet man unter'Filter → Sonstige Filter → Eigene Filter'. Dadurch wird das gewünschte Bildganz einfach nach den im Skript genannten Filtern aufgebessert.Die beiden von uns verwendeten Filterungen sind der Glättungs�lter und dieKontrastanreicherung.

5.1 Glättung

Mit dem Glättungs�lter kann man einen Teil der Schlieren in den eigentlichweiÿen Bereichen der Bilder entfernen. Dabei werden nebeneinander liegende

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Abbildung 18: Schnitt unge�ltert: Unsere Ergebnisse links, Micro-CT rechts

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Abbildung 19: Schnitt geglättet: Unsere Ergebnisse links, Micro-CT rechts

Grauwerte gemittelt. Dadurch erscheint der vorher schlieriege Bereich glatter.

Nun schaut man sich an im welchen Graubereich die eigentlich weiÿen Flächenliegen und setzt diesen Bereich auf den Wert 255 (weiÿ). Dadurch kann aberauch Information verloren gehen, weil Teile des Objektes, die im selben Fab-bereich liegen, aber eigentlich nicht weiÿ sind, so ebenfalls weiÿ werden. DieFiltermatrix für die Glättung hat die Form:

Wir haben die Bilder mit Photoshop ge�ltert. Eine verminderung des Grauschlei-ers hat für unsere Bilder keinen Sinn gemacht, weil durch den recht ausgeprägtenSchleier zu viel Information verloren ging. Die entstandenen Bilder sehen Sie inAbbildung 19.

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Durch das Glätten werden die benachbarten Grauwerte angeglichen und somitverschmiert das gesamte Bild etwas. Unser Fazit: Das Glätten ist für unsereBilder eher hinderlich, für die Originale jedoch hilfreich da diese eine ausreichendhohe Anfangsqualität besitzen.

5.2 Kontrastanreicherung

Als nächstes wollen wir den Kontrast der Bilder ehöhen, nachdem wir die lä-stigen Grauschleier beseitigt haben. Dazu nutzen wir die Formel für die lineareDehnung:

p′ =No −Nu

Ao −Au· (p−Au) + Nu

Mit: No= obere Grenze des neuen Wertebereichs, Nu= untere Grenze des neuenBereiches, Au= untere Grenze des alten Bereiches, Ao= obere Grenze des altenBereichesWird p′ negativ, so wird der Wert auf 0 gesetzt, wird er gröÿer als die obereGrenze des neuen Bereichs wird er auf No gesetzt. Wir haben nun einen, unsererAnsicht nach, optimalen Wertebereich für jedes der vier Bilder in Matlab aus-gewählt und die Kontrastanreicherung durchgeführt. Das Ergebnis �ndet manin Abbildung 20.

5.3 Farbliche Darstellung

In der Medizin kann es sinnvoll sein einzelne Bereiche mit bestimmten Grau-werten farblich darzustellen. Wenn man zum Beispiel Tumore sucht und weiÿin welchem bereich sich die CT-Grauwerte eines Tumores be�nden, kann manalle Bereiche, die in diesem Intervall liegen einer Farbe zuordnen um sie leichterzu identi�zieren. Dies funktioniert nur dann gut, wenn das Bild zuvor geglättetwurde, da sonst viele verstreute Farbpixel auftreten, die das Gesamtbild un-deutlich machen.Wir haben diese farbliche Kennzeichnung wie folgt vorgenommen:

• Geglättetes, Kontrast angereichertes Bild in Matlab einlesen

• In Matlab mit der Funktion 'colneu=colormap('Gray')' die Farbtabellefür die Grauwerte aufrufen. Da die Grauwerte hier in RGB eingetragensind, kann man einige RGB-Grauwerte einfach durch ein RBG-Farbtripelersetzen. Wir haben dies für Grauwerte im Bereich 30-50 mit dem Tripel[1,1,0] (Gelb) getan.

• Die neue Farbtabelle wird dann mit dem Befehl 'colormap(colneu)' alsStandard gesetzt. Wenn man sich nun das Bild mit '�gure' ansieht, habendie entsprechenden Grauwerte die Fabe Gelb. Das Ergebnis ist in Abbil-dung 21 zu sehen.

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Abbildung 20: Schnitt mit Kontrastanreicherung: Unsere Ergebnisse links,Micro-CT rechts

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Abbildung 21: Farbliche Darstellung der Grauwerte 30-50: Unsere Ergebnisselinks, Micro-CT rechts

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Wir kommen nach eingehender Analyse unserer und der Originalbilder zu demSchluss, dass unsere Ergbenisse sehr akzeptabel sind. Man kann alle wichtigenElemente der Objekte erkennen. Lediglich die Einfärbung weicht etwas deutli-cher von den Originalen ab. Dass die Egrebnisse etwas schlechter aussehen alsdie Originale liegt vermutlich an der Tatsache, dass unsere Bilder durch Nä-herungen, die unsere Software macht verschmierter sind als die Originale unddamit die Einfärbung bestimmter Grauwerte voneinander abweicht. Wir habenzwar eine Menge Zeit in die Software investiert, aber es bleibt zu bemerken,dass unsere Software nunmal von uns als Physik Studenten stammt und nicht,wie die vom Micro-CT, vermutlich von hochbezahlten Informatikern.

6 Rekonstruktion der 3D-Darstellung

Das Matlab-Programm zur 3D Darstellung der Schichtbilder wurde, im Gegen-satz zu den Java-Programmen aus den vorhergehenden Versuchsteilen, maÿgeb-lich von Marcel Ogiewa und Kirsten Wedderho� erstellt. Diese Aufteilung derProgrammieraufgaben wurde ja im Vorfeld mit Ihnen besprochen. Um Ergebnis-se zu erzielen, die den PC nicht überfordern, musste zunächst die Datenmengereduziert werden. Dies passiert mit dem Matlab Programm'A344DoAll_glatt_kon_mitKontrolle'. Hier wird aus jedem Bitmap der ge-wünschte Teil als kleineres Bitmap ausgeschnitten und zusätzlich jeweils 5x5 Pi-xel zu einem gemittelt. Mit den Programmen 'ZR6Glatt_V3' und 'ZR7Kontrast'konnten die erzeugten Bitmaps geglättet werden, der Grauschleier wurde be-seitigt und der Kontrast wurde erhöht. Dazu musste man die entsprechendenStellen im Code seinen Bildern anpassen. Danach kann den einzelnen Grauwert-bereichen eine Farbe zugewiesen werden, so wie in der Versuchsanleitung bespro-chen. Dazu dient das Programm 'ColorizeAndShrink'. Wenn die Programme aufdie jeweiligen Schnitte angepasst und ausgeführt wurden, kann man mit demProgramm 'MAKE3Ddispiso' eine 3D-Ansicht des Objektes erstellen. Die Re-sultate in Farbe und Schwarz-Weiÿ für unsere beiden Objekte sind in Abbildung22 dargestellt.

7 Anhang

7.1 Die CD

Wir haben Ihnen eine CD zum Protokoll beigelegt, auf der sich alle Dateienbe�nden, die Sie benötigen, wenn Sie eines unsere Programme ausprobierenmöchten. Eine Readme Datei enthält alle nötigen Informationen zur Handha-bung. Bei Fragen oder Unklarheiten über die Verwednungsweise von Datein,wenden Sie sich gerne an uns.

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Abbildung 22: 3D-Darstellungen der Eichel (rechts) und des Stern-Anis (links)

7.2 Ein Einblick in das Java-Programm zur Schnitterzeu-

gung

Da der Arbeitsaufwand für die Programme sehr groÿ war haben wir die Aufga-ben aufgeteilt. Wir haben dabei das Programm geschrieben, das aus den Durch-sichten einen Schnitt erzeugt. Das Programm ist in Java geschrieben und bestehtaus folgenden Klassen:

• Reader.class: Diese Klasse ist für das Auslesen von .dat Dateien zuständig,die die Grauwertzeilen enthalten. Auÿerdem kann sie die fertige Grauwert-Matrix am Ende auf der Festplatte speichern.

• Pixel.class: Diese Klasse stellt Pixel-Objekte dar, aus denen die Grauwert-Matrix gebildet wird. Jedes dieser Objekte hat 3 wichitge Datenfelder:Einen x- und y-Wert (double) und einen Grauwert (integer). Auÿerdemkann ein Pixel sich bei Bedarf in einen Vektor umwandeln, sodass er miteiner Drehmatrix multipliziert werden kann.

• Matrix.class: Dies ist die Klasse mit der man sich belibige Matrizen erzeu-gen kann. Auÿerdem stellt sie Operationen zum Umwandeln eines Vektorszu einem Pixel und zum multiplizieren von Matrizen zur Verfügung.

• MatrixModi�er.class: Diese Klasse bildet das Herzstück des Programms.Hier werden die Pixel der Grauwert-Matrix mit Hilfe von Dehmatrizen

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gedreht. Hier wird auch berechnet, zu wieviel Prozent ein Röntgenstrahljedes einzelne Pixel schneidet, wenn die Matrix gedreht ist.

• MyFrame.class: Klasse stellt die gra�sche Ober�äche für den User.

• TrafoTest.class: Klasse zum Ausführen des Programms.

Da das Java-Programm vollständig selbst geschrieben wurde und mindestens40 Arbeitsstunden darin stecken, wollen wir ungerne den gesamten Quellcodezur Verfügung stellen. Darum erhalten Sie von uns die für den Rechner überstz-ten Klassen zum ausprobieren und nun einige Erläuterungen zum Quellcode.Da wohl die Klasse MatrixModi�er.class die ineressanteste ist, weil sie die we-sentlichen Schritte der iterativen Rückprojektion enthält, werden wir auf dieseeineghen. Der Quellcode ist Kommentiert, sodass Sie keine Probleme haben soll-ten ihn nachzuvollziehen. Diese Klasse stellt nur einen Bruchteil des gesamtenProgrammes dar. Das gesamte Programm enthält über 1000 Codezeilen und istdamit zu umfangreich um alle Einzelheiten zu erläutern. Noch eine kurze An-merkung: Um eine Translation in Java als Matrixoperation darzustellen mussman zu homogenen Koordinaten wechseln. Dazu fügt man eine Dimension hinzu,es werden aber weiterhin 2D-Objekte dargestellt. Die Matrizen für Translationund Rotation sehen dann so aus:

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Dann fehlt da noch die Methode mit der berechnet wird wieviel Prozent ei-nes Pixels nun bei beliebigem Winkel von einem bestimmten Röntgenstrahlgeschnitten werden, damit man die Grauwerte der Durchsichten sinnvoll auf dieMatrix verteilen kann. Unsere Idee zur Näherung sah dabei so aus: Wir ha-ben für jedes Pixel der Matrix eine x- und y-Koordinate als Mittelpunkt. Wennder Mittelpunkt des Pixels nun genau auf einem Strahl liegt (diese haben ein-fach ganzzahlige Nummern), dann geht nur der Grauwert dieses Strahls in dasPixel ein. Sollte das nicht der Fall, der Mittelpunkt jedoch weniger als 0.5 (in x-Richtung) vom Strahl entfernt sein, so wirkt der Strahl noch auf das Pixel. Dazubestimmen wir den genauen Abstand und errechnen dann wieviel vom Starhldas Pixel tri�t. Der restliche Grauanteil kommt dann vom Strahl daneben, derdann das Pixel ja auch schneidet. Die Vereinfachung liegt darin, dass wir unsere

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Abbildung 23: Drehung unserer Grauwert-Matrix anschulich

Pixel nicht wirklich drehen sondern nur ihren Mittelpunkt. So ist es wesenlicheinfacher die Anteile zu bestimmen, weil die Strahlen immer parallel zu den Pi-xelrändern verlaufen. Dabei ist dann nämlich nur noch die x-Koordinate einesPixels von Bedeutung. Und wie man an unseren Ergebnissen sieht ist eine sol-che Näherung auch sehr hinreichend für unsere Zwecke. Eine kleine Skizze zurVeranschulichung �nden Sie in Abbildung 23.Es folgt die Methodode zum verteilen der Grauwerte:

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