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Marginalien S. M. R U M P : Wie euverlassig sind die Ergebnisse unserer Re- chenanlagen ? J. DHOMBRES : Mntliematicinns and the French revolution

H. LENZ: Bus dem mathematischen Werk von RICHARD RADO W. BENZ: Das mathematisehe Seminar der Universitat Ham- burg in seinen ersten Jahrzehnten D. LAUGWITZ: LEONHARD EULER als Lehrer. Eine Betrachtung zu seinem 200. Todestag am 18. September I983

1789-1799

Bueh des Jahres S. D. CHATTEBJI: "LAU~~ENOE YOUNG: Mathematicians and their times"

Huntley, I. D. / Johnson, B.M., L i n e a r a n d N o n l i n e a r D i f f e r e n t i a1 E q ua t i o n s. Chichestcr, Ellis Horwood Ltd., 1983. 190 S., f: 18.50. ISBR 0-85312-441-8

Die vorliegcnde Monographie gibt eine Einffihrung in die qunn- titativen Methoden zur Losung linearer und einiger Klassen nichtlinearer gewiihnlicher Schwingungsdifferentialgleichungen. Neben der Einfuhrung der erforderlichen Vektoralgebra werdcn im ersten Teil ausfiihrlich lineare Systeme gewohnlicher Diffe- rentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten behandelt. Darauf aufbauend befassen sich die beiden folgenden Teile rnit Klassen nichtlinearer Differentialgleichungen. Dargestellt sind graphische Losungsmethoden (Methode der Isoklinen, Libnard's Methode), Phasenebenenunt,ersucliungen und Linearisierungs- techniken fiir autonome Systeme. Damn schlieiat sich die Vor- stellnng asymptotisclier Zijsungsmethoden an; behandelt wer- den die Methoden von PoincarB, Linstedt und Krylov-Bogolju- bov. Im abschlieJ3enden vierten Teil wird auf einige Anwen- dungsfalle fur schwingende Systeme eingegangen. Das fur Stu- denten, Ingenieure und andere Nutzer, die in das Gebiet ein- gefuhrt werden sollen, konzipierte Buch gestattet durch seine iibersichtliche Form und verstandliehe Darstellungsweise sowie durch die Behandlung vieler Beispiele ein gutes Kennenlernen der Materic. Es beschrankt sich aber auf bekannte, klassische quantitative Methoden.

Berlin H. FRIEDRICH

Goliberg, I. / Laneaster, 1'. / Sodman, L., M a t r i c e s a n d I n d e f i n i t e S c a l a r P r o d u c ts. Basel-Boston-Stuttgart, Birkhauscr Verlag 1983. XVII, 374 S., sFr. 70.-. ISBN 3- 7643-1527-X (Operator Theory 8)

Es wird eine umfassende Darstellung gegeben zu Theorie und Anwendungen vvn (n, n)-Matrizen komplexer Zahlen bei Zu- grundelegung eines indefiniten Skalarproduktes. Jedes solche Skalarprodukt [. , -1 in der Menge Cn der n-Tupel komplexer Zahlen laiat sich darstellen mit Hilfe des klassisehen Skalarpro- dnktes (. , a ) auf folgende Weise: [z, y] = (Hz, y) fur eine regu- lare hermitesche Matrix H . Umgekehrt legt ( H , .) ein indefi- nites Skalarprodukt fest, und die Zuordnung [. , -3 - (F .,..) mit einer obigen Matrix H ist eineindeutig. Das Buch 1st in 4 Teile gegliedert. l m ersten Teil finden wir einen systemati- schen Aufbau einer linearen Algebra. Ausgehend vom indefini- ten Skalarprodukt [., .] werden die im weiteren im Mittelpunkt stehenden H-selbstadjungierten, H-unitaren und H-normalen Matrizen ringefuhrt. Analog wie in der klassischen linearen Al- gebra werden kanonische Formen und ihre Invarianten fur sol- che Matrizen untersucht. Der zweite Teil enthalt Anwendungen dcr Theorie von Teil 1 auf lineare periodische Hamiltonsche Siystcrne von Differentialgleichungen, auf polynomiale und ra- tionale Fnnktionen mit hermiteschen Matrizen als Funktions- werten und auf symmetrische algebraische Riccati-Gleichun- gen. Beispielsweise wird der Zusammenhang aufgezeigt, der besteht zwischen den obigen Hamiltonschen Systemen und Fa- milien von H-unitaren Matrizen. Teil 3 dient zuniichst einer Weiterentwicklung des ersten Teils, indem die Auswirknngen von Storungen und die Stabilitat bei H-selbstadjungierten und H-unitaren Matrizen untersucht werden. Dann werden die Er- gebnisse angewandt suf Probleme des zweiten Teils. U. a. inter- essieren Differential- und Differenzengleiehungen mit beschriink-

ten Losungen, die beschrankt bleiben unter kleinen Storungeri der Koeffizienten. Der vierte Teil beginnt mit einer Beschrei- bung der H-selbstadjungierteri Matrizen, die 'nur reelle Eigen- werte haben, die diagonalahnlich sind und dies unter kleinen Storungen bleiben. Dann folgen Anwendungen auf Differential- und Differenzengleichnngen rnit hermiteschen Koeffizienten- matrizen. Die in diesem Bueh durchgefiihrten Untersuchungen gehen zuruck bis auf KRONECKER, FROBENIUS und WEIERSTRASS. We- sentliche Beitrage stammen als Forschungsergebnisse von den Autoren selbst, die das Bueh M. G. KREIN gewidmet haben, der eine Pionierarbeit auf dem Gebiet der Operator-Theorie in un- endlich-dimensionalen RIumen mit indefinitem Skalnrprodukt geleistet hat. Das Buch enthklt eine grol3e Fulle von Stoff. Die beharidclten Probleme werden ausfuhrlich diskotiert, und der aktuellc Stand der Borscliung sowie offene Fragen sind klar ersichtlich. Es ist iibersichtlich und gut lesbar geschrieben. Um das Buch mit Er- folg lesen zu konnen, liefert ein etwa Gsemestriges Mathematik- studium geniigend Vorkenntnisse. Mathematikern und Physi- kern ist das Buch sehr zu empfehlen.

Leipzig K. U. JAHN

Fried, E., A b f i t r a k t e Alge bra . Eine elementare Einfdh- rung. Budapest, AkadBmiai Kiadb 1983. 340 S., Ft. 29Y,-. ISBN 963 05 3037 6

Die ,,Absztrakt algebra - elemi fiton" (Budapest 1972) dcs be- kannten nngarischen Algebraikers, , deren deutsche Ausgabc nunmehr vorliegt - eine russische obersetzung erschien Mos- kau 1979 - hat bereits zahlreiche Liebhaber gefunden, und zwar in dem Kreis der Leser, fur die das Buch geschrieben ist, ,,angefangen von interessierten Schulern, iiber Ingenieure und Okonomen bis hin zu Mathematikern, die keine Algebraiker sind", aber auch dariiber hinaus. Motiviert durch die Uberzeu- gung von der Wichtigkeit vor allem der in der Algebra entwik- kelten Methoden fur die Anwendung in anderen Gebieten, stellt der Autor in anschaulicher und einprhgsamer Weise algebrai- sche Grundbegriffe und Ergebnisse vor und vermittelt geschickt ,,abstrakte algebraische Denkweise", dabei bewuiat an A. Rk- NYIS ,,Dialoge uber Mathematik", R. P ~ T E R S ,,Das Spiel mit dem Unendlichen" und G. P ~ L Y A S ,,Die Schule des Denkens" ankniipfend bzw. sich von deren ZielsteUung abgrenzend, in allgemein ,,mathematische Denkweise" einzuftihren. Dement- sprechend setzt das Werk ,,eine gewisse mathematische Vorbil- dung" voraus. Ein weiteres empfehlenswertes Lehrbuch der mathematischen Allgemeinbildung aus der ungarischen Schule.

Berlin W. WESSEL

Zuily, C., U n i q u e n e s s a n d N o n - U n i q u e n e s s i n t h e C a u c h y P r o b l e m . Boston-Basel-Stuttgart, Birkhauser Ver- lag 1983. 180 S., sFr. 32.00. ISBN 3-7643-3121-6 (Progress in Mathematics 33)

In den funfziger Jahren sind Arbeiten von HEINZ, CORUXS, CAL- D E R ~ N u. a. erschienen, in denen die Einzigkeit von Losungen des Cauchy-Problems bei elliptischen Gleichungen untersucht wurde. Aus diesen Anfangen, zu denen als Vorlaufer eine wich- tige Arbeit von CARLEMAN aus dem Jahre 1939 zu zahlen ist, ist eine eigenstandige Theorie der Einzigkeit von Losungen des Cauchy-Problems bei partiellen Differentialgleichungen ent- standen. Das vorliegende Buch stellt diese Theorie in ihrem ge- genwartigen Stand dar. Es werden Einzigkeitsaussagen in Ab- hangigkeit von der Beschaffenheit der Nullstellen (Vielfachheit, Realitatsverhaltnisse) des dem Differentialoperator in ublicher Weise zugeordneten Polynoms und der Geometrie der Anfangs- hyperflaehe gemacht. Einige dieser Aussagen lassen sich auf Differentialungleichungen verallgemeinern. Wichtigstes Hilfs- mittel ist der Nachweis einer sog. Carleman-Abschbtzung, die a n die klassische Energieabschatzung im hyperbolischen Fall erinnert. Es zeigt sich, daB die Voraussetzungen i. a. nicht abge- schwleht werden konnen. Zu diesem Zweck werden auf kunst- volle Weise Gegenbeispiele konstruiert, die Konstruktionen von HORMANDER u. a. vereinfachen. Alle Beweise sind ausgespro- chen ,,technischer" Natur, sie verlangen angestrengte Mitarbeit des Lesers und setzen insbesondere Kenntnisse iibcr Pseudo- differentialoperatoren voraus.