Gasstromung durch Offnungen und Leitungen

W. Jitschin

Liegen an den beiden AnschluBenden eines Bauteils unterschiedliche Drucke an, so ergibt sich eine Stromung. Die GroBe des Gasstroms hangt u. a. von der Druckdifferenz, dem Druck selbst,

der Art des Gases und der Temperatur ab.

Als Gasstrom bezeichnet man die Men- ge des pro Zeit durch ein Bauteil stro- rnenden Gases. Die Menge kann auf un- terschiedliche Arten charakterisiert wer- den, so daB verschiedene Angaben des Durchflusses benutzt werden (siehe z. B. Ref. [l], die Syrnbole sind in Tab. 1 er- klart):

pV-DurchfluO qpv:

MassendurchfluO qm:

. Reibungs- ' . erhirhl

f

I >

Abb. 1: Viskose Strornung in einer Rohrleitung mit Einlauf.

Als Stromungsleitwert C einer Offnung, einer Leitung oder eines Leitungsstucks definiert man den Quotienten aus pV- DurchfluO und Differenz der Drucke an den beiden Seiten des Bauteils:

(3) C=- qPv

P1 - P2

Der Strornungsleitwert eines Bauteils hangt von seinern Einbau und der Art der Druckmessung ab. Haufig liegt ei- ner der beiden folgenden Spezialfalle vor:

1. Das Bauteil befindet sich zwischen zwei groOen Behaltern, in denen die (nahezu) homogenen Drucke p1 bzw. p2 herrschen. In diesem Fall er- gibt sich der charakteristische Stro- mungsleitwert.

2. Das Bauteil ist in eine Leitung einge- baut, die den gleichen Querschnitt wie das Bauteil besitzt. Die stati- schen Drucke p1 bzw. p2 werden an der EinlaO- bzw. AuslaOstelle (an der Leitungswand) abgenommen. In diesem Fall ergibt sich der reduzier- te Stromungsleitwert. Irn ersten Fall mu6 das Gas vom er-

sten Behalter in das Bauteil einstro- men, wobei die Stromungsgeschwin- digkeit von (nahezu) Null im Behalter auf den Wert irn Bauteil ansteigt. Die Zu-

nahrne der Bewegungsenergie geht zu Lasten der Druckenergie, so dal3 die Ein- strornung rnit einern Druckverlust ver- bunden ist (Abb. 1). Dieser Verlust ent- fallt irn zweiten Fall. Daher ist der cha- rakteristische Stromungsleitwert eines Bauelernents kleiner als der reduzierte.

Fur eine allgerneine Charakterisierung der Art der Strornung kann man dimen- sionslose Kennzahlen, narnlich die Knudsenzahl und die Reynoldszahl ein- fuhren.

Die Knudsenzahl Kn ist ein MaB da- fur, ob die einzelnen Gasteilchen unab- hangig voneinander im Bauteil fliegen oder ob infolge ihrer gegenseitigen Wechselwirkung das Gas wie ein homo- genes Fluid stromt.

Die Knudsenzahl wird definiert als Verhaitnis aus mittlerer freier Weglange 2 der Gasteilchen und der Abmessung des Bauteils (d. h. Durchmesser d bei kreisforrnigem Querschnitt):

(4)

Das Produkt ? . p hangt lediglich von der Art des Gases und der Temperatur ab, jedoch nicht vom Druck. Es IaOt sich

226 Vakuurn in Forschung und Praxis (1998) Nr. 3 226-229 0 WILEY-VCH Verlag GrnbH, D-69451 Weinheirn, 1998

0947-076W98/0308-0226/$17.50+.50/0

Tab. 1 : Alphabetisches Verzeichnis benutzter Symbole (siehe auch Text).

Begriff

Querschnittsflache rnittlere therrnische Teilchengeschwindig- keit

Strornungsleitwert DurchfluOzahl charakteristische Lange, Rohrdurchrnesser Vorgeschwindigkeitsfaktor

Leitungslange rnittlere freie Weglange Masse des Gases Teilchenanzahldichte Druck Durchlauhvahrscheinlichkeit

Massen-DurchfluO pV-DurchfluO Zeit Strornungsgeschwindigkeit (Mittelwert uber Querschnitt) Volurnen Viskositat (irn viskosen Bereich) Dichte AusfluBfunktion

aus der druckunabhangigen Viskositat (im viskosen Bereich) berechnen [2]. Nach Einsetzen erhalt man:

Man kann je nach Wert der Knudsenzaht die folgenden drei Stromungsbereiche unterscheiden [3]:

Fur Kn > 1 bewegen sich die Gasteil- chen praktisch ohne gegenseitige StoOe durch ein Bauteil, wobei die Teilchen je- doch auf die Wande des Bauteils treffen. Man spricht von molekularer Stromung. Hier ist der Stromungsleitwert unabhan- gig vom Druck und wird von der therrni- schen Teilchengeschwindigkeit F be- stimmt.

Fur Kn < 0,Ol fuhren die haufigen ge- genseitigen StoOe der Teilchen dazu, daO das Gas sich wie ein hornogenes Fluid verhalt. Man spricht von viskoser Stromung. Der Strornungsleitwert wird von der Viskositat q des Gases - und bei Auftreten von Turbulenzen - zusatz- lich auch von der Massendichte p des Gases bestimmt.

SI-Einheit

rn2 rnls

rn3/s 1

rn 1

rn rn kg 1/m3

Pa 1

kgls

Pa. m3/s S

rnls

rn3

kg/m3 1

kg . s-1 . rn-1

qpv Re c- viskos +Ubergang+ rnolekular --+ mbarUs)

. ...

I I I I I I 10' l o3 loz 10' I 10" 10" l o 3 lod 10.~ lo4

PWbar)

Abb. 2 GasdurchfluB durch ein Kreisrohr mit Durch- messer d = 10 mm. Das Gas ist Stickstoff bei 20°C. Der angegebene Druck ist der eingangsseitige, der ausgangs- seitige Druck ist als sehr klein gegenuber dem eingangs- seitigen angenommen.

Irn Bereich 0,Ol < Kn < 1 spricht man von Ubergangs-Stromung oder Knud- sen-Stromung .

Im Bereich der viskosen Strornung be- wirkt die Wandreibung eine Abbrern- sung der Stromungsbewegung in Wand- nahe. Diese kann irn Fall groOerer Lei- tungslangen und hoherer Strornungsge- schwindigkeiten dazu fuhren, daO Wirbel (Turbulenzen) auftreten. Da bei der Aus- bildung von Wirbeln Druckverluste ent- stehen, ist der Strornungsleitwert bei turbulenter Stromung kleiner als bei wir- belfreier.

Die Reynoldszahl Re bietet ein Kriterium dafur, ob eine Stromung laminar (wirbelfrei) oder turbulent ist. Sie wird ublicherweise folgendermaOen definiert:

wobei die GroBe d die Abrnessung der Leitung charakterisiert. Irn Falle eines kreisformigen Quer- schnitts ist d der Durchrnesser. Druckt man die Strornungsgeschwindigkeit V durch den Gasstrom aus (Gleichungen 1, 2), so erhalt man:

bzw.

Die Stromung in Kreisrohren ist fur Re < 2320 laminar, fur Re > 2320 treten bei gronerer Rohrlange Turbulenzen auf.

Im Bereich der Molekularstromung wird der charakteristische Stromungsleit- wert eines Bauteils. das zwischen zwei

Vakuum in Forschung und Praxis (1998) Nr. 3 227

Behaltern eingebaut ist, ublichenveise faktorisiert in Eintrittsleitwert Co und Durchlaufwahrscheinlichkeit P des Bau- teils [l], also

C = C o . P (9)

Der Eintrittsleitwert CO resultiert schlicht- weg aus der Tatsache, daB die Gasteil- chen aus dern Behalter die Eintrittsoff- nung des Bauteils finden rnussen. So- rnit ist CO der Leitwert einer (ideal) dun- nen Blendenoffnung. Fur eine Blende rnit Querschnittsflache A ergibt sich nach der kinetischen Gastheorie:

Co = C . A (1 0)

Bei der Hintereinanderschaltung mehre- rer Bauteile rnit gleichern Querschnitt (gleiche GroOe und Form der Flache), die die charakteristischen Strornungs- leitwerte CI, Cp, ... besitzen, ist zu be- achten, daO die Einstrornung nur einrnal auftritt. Daher ergibt sich fur den Stro- rnungsleitwert C der Hintereinander- schaltung folgende Forrnel:

1 1 1 1 1 1 _ _ _ - - -- - +- - -+ ... (11) c co c1 co c2 co

Die obige Gleichung gilt nur naherungs- weise, da die Zusarnrnenschaltung der einzelnen Bauteile zu Ruckwirkungen untereinander fuhrt.

Die Durchlaufwahrscheinlichkeit von Leitungen irn rnolekularen Bereich IaOt sich durch theoretische Uberlegungen berechnen [4]. Dabei ergeben sich als Ergebnis rneist keine einfache For- rneln, sondern nurnerische Werte. Das gleiche gilt fur Sirnulationsrechnungen nach dern Monte-Carlo-Verfahren. In der Praxis kann man diese rnit guter Ge- nauigkeit durch einfache Ausdrucke an- nahern [5].

Irn Fall eines Kreisrohrs rnit Durch- rnesser d und beliebiger Enge I gilt in guter Naherung (Fehler unter 1 %):

14 + 4 . I/d P = 14 + 18. I/d + 3 . V/d2 (12)

Fur einen Spalt rnit der Querschnittsfla- che a x b (a % b) und der Lange I gilt naherungsweise (Fehler unter 1 %):

1 + ln(0.433. I/b + 1) I/b + 1

P =

Bei einern kurzen Bauteil wird der Stro- rnungsleitwert durch die Einstrornung des Gases vorn Behalter (oder einern Leitungsstuck rnit groOerern Quer- schnitt) in das Bauteil bestirnrnt. Wenn sich der Querschnitt verkleinert, rnuO sich die Strornungsgeschwindigkeit er- hohen. Die fur die Geschwindigkeitser- hohung notwendige Energie wird durch Verringerung der Druckenergie (und der therrnischen Energie) aufgebracht. Hierdurch entsteht ein Druckabfall beirn Einstrornen. Man nennt dieses Strornungsverhalten gasdynamisch [6, 71.

Das Durchrechnen dieser Strornung liefert unter der Annahrne, daO beirn Ein- strornen des Gases kein Warrneaus- tausch rnit der Urngebung auftritt (isen- troper ProzeO) folgenden Zusarnrnen- hang zwischen DurchfluB und den stati- schen Drucken vor bzw. hinter dern Bau- teil:

Der Vorgeschwindigkeitsfaktor E .be- rucksichtigt den Fall, daO das Gas be- reits rnit einer endlichen Strornungs- geschwindigkeit bei dern Bauteil an- kornrnt. 1st diese (nahezu) Null, so ist

Cd ist die sogenannte DurchfluOzahl, die zwei Effekte berucksichtigt: Zurn ei- nen die an einer abrupten Querschnitts- verengung auftretende kinetische Ein- schnurung des Gasstrorns. Zurn ande- ren die Wandreibung des Gases. Bei ei- nern strornungstechnisch gunstig aus- gelegten Venturi-Rohr kann cd sehr nahe bei ldealwert 1 liegen (2.B. cd M

0,98), fur eine Blende liegt Cd je nach Blendenforrn und Druckverhaltnis bei 0,6 bis 0,8.

Die AusfluOfunktion ty gibt an, wie der DurchfluB von den Drucken abhangt. Einzig entscheidend ist das Verhaltnis der statischen Drucke auf AuslaB- und EinlaBseite. Die AusfluOfunktion IaBt sich analytisch angeben. In den Grenz- fallen sehr kleinen und sehr groOen

E = l .

Drucks ergeben sich die folgenden, ein- fachen Forrneln [6, 71.

Bei sehr kleinern Druckabfall (PI - p2 << pl) gilt:

Bei sehr groBern Druckabfall (p2 << pl) erreicht die Strornungsgeschwindigkeit einen rnaxirnalen Wert (verblockte Stro- rnung). Die AusfluOfunktion nirnrnt einen rnaxirnalen, von der Gasart abhangigen Wert an. Dieser betragt ganz grob gena- hert:

ty M 0,5 (17)

Die gasdynarnische Einstrornung be- stirnrnt den Strornungswiderstand von Bauteilen, deren Lange nicht allzu groO gegenuber ihrern Querschnitt ist. Bei zu- nehrnender Lange des Bauteils rnacht sich allrnahlich die Abbrernsung des Gases an der Leitungswand infolge der Wandreibung bernerkbar. Hier- durch entsteht ein weiterer Druckabfall (Abb. 1).

Bei genugend kleiner Reynoldszahl (Re < 2320) bleibt die Strornung lami- nar, und die einzelnen Schichten des Gases gleiten aneinander vorbei. Bei voll ausgebildeter Reibungsstrornung in einern Kreisrohr rnit Durchrnesser d und Lange I IaOt sich der Zusarnrnen- hang zwischen DurchfluO und Druckab- fall elernentar unter Ausnutzung der De- finition der Viskositat q berechnen, wo- bei man die Forrnel von Hagen und Poi- seuille erhalt:

Ebenfalls IaOt sich der DurchfluO bei voll ausgebildeter Reibungsstrornung in ei- nern rechteckforrnigen Spalt rnit Quer- schnittsflache a x b (a % b) elernentar berechnen:

Bei groOen Strornungsgeschwindigkei- ten, also groOen Reynoldszahlen (Re > 2320) bewirkt die Abbrernsung des Gases an der Leitungswand eine Aus- bildung von Wirbeln. In diesern Fall der turbulenten Strornung ist der Gas- durchfluO kleiner bei larninarer Stro- rnung. Fur den Druckabfall pro Enge in einem hydraulisch glatten Kreisrohr

228 Vakuurn in Forschung und Praxis (1998) Nr. 3

mit Durchmesserd gibt H. Blasius (1913) folgende empirische Formel an:

dp - 0,3164 dl %.d (20)

. p . ii2 - _

Nach einigen Umformungen erhalt man hieraus schlieOlich folgendes Ergebnis fur den pV-DurchfluO:

Will man im viskosen Stromungsbereich deli Gasstrom durch eine Leitung ange- ben, so braucht man nicht vorher zu ent- scheiden, ob die Stromung gasdyna- misch, laminar oder turbulent ist. In der Praxis ist es meist einfacher, die Gasdurchflusse fur die drei moglichen Stromungsarten auszurechnen. Der kleinste der drei Werte ist das gesuchte Ergebnis, ferner identifiziert erdie Art der herrschenden Stromung [8].

mungsbereich ist eine rigorose rechneri- sche Behandlung der Gasstromung schwierig. Im allgemeinen gilt, daO der Stromungsleitwert im viskosen Bereich mit kleiner werdendem Druck kleiner wird und schlieBlich bei genugend gerin- gem Druck den druckunabhangigen Wert im molekularen Bereich erreicht. Fur grobe Abschatzungen kann man da- her den Stromungsleitwert bei beliebi- gen Druck aus den Leitwerten im mole- kularen und viskosen Bereich durch In- terpolation erhalten:

1 1 --+- 1 _ - c Cmolekular Cviskos

[4] W. Steckelmacher, Rep. Prog. Phys. 49, 1083 (1 986)

[5] A. Berman, Vacuum Engineering Calculations, Formulas, And Solved Exercises, San Diego: Academic Press (1992)

[5] W. Jitschin, Vakuum in der Praxis 5, 260 (1993)

[6] W. Jitschin und M. Ronzheimer, Va- kuum in Forschung und Praxis 9,

m M. Wutz, Vakuum-Technik 14, 126 133 (1997)

(1 965).

Fur Bauelernente mit einfacher geome- trischer Form (z. B. Kreisrohr) gibt es gute empirische Beziehungen fur den Eine kompakte und umfassende Dar- Stromungsleitwert im Ubergangsbe- stellung der Gasstromung durch Rohre reich [3] (Abb. 2). und Offnungen findet sich in Kapitel 2

des neu erschienenen Buches ,,Foun- dations of Vacuum Science and Techno- logy", herausgegeben von J. M. Lafferty, New York: John Wiley & Sons (1998).

[l] W. Jitschin und Th. Feldsmann, Va- kuum in der Praxis 5, 179 (1993)

[2] W. Jitschin, Vakuum in Forschung und Praxis 10(2), 138 (1998)

[3] W. Jitschin, Vakuum in der Praxis 6, 32 (1994)

Im Ubergangsbereich zwischen dem molekularen und dem viskosen Stro-

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