§7.5 Transportprozesse in Gasen

Transport von:

GasvoluminaVerteilung einer Molekülsorte in einer anderenEnergieImpuls

– Gasströmung– Diffusion– Wärmeleitung– Viskosität

Auftreten bei räumlichem Unterschied von Dichte, Temperatur und Strömungsgeschwindigkeit

Gaub 1WS 2014/15

Diffusion

Nettotransport von Teilchen aus einem Gebiet hoher Konzentration in ein Gebiet niedriger Konzentration

Gaub 2WS 2014/15

Fluorescence recovery after photobleaching (FRAP)

Gaub 3WS 2014/15

DiffusionBei gegebener Dichteverteilung der Teilchen nA(x), einer mittleren freien Weglänge Λ und isotroper Geschwindigkeitsverteilung (T=const) ist die Wahrscheinlichkeit W- , dass ein bestimmtes Teilchen die Fläche dA an der Stelle x =x0 nach seinem letzten Stoß bei x =x0 – L cos ϑ unter dem Winkel ϑ zur Flächennormalen nach rechts durch-quert ist gleich der Wahrscheinlichkeit W+, dass ein bestimmtes Teilchen von rechts nach links läuft.

€

dN+ v( ) = n+ f v( ) dv v dt dA cosϑdΩ

4π

Mit einer Teilchenzahldichte n+ auf der linken Seite durchfliegen dN+Teilchen von links nach rechts in einem Zeitintervall dt aus dem Raumwinkel dΩ mit der Geschwindigkeit v im Intervall dv unter dem Winkel ϑ die Fläche dA:

Aber: die Teilchenzahldichten n sind verschieden!

€

n+ = n0 + Δxdn

dx

n− = n0 − Δxdn

dx

€

dN− v( ) = n− f v( ) dv v dt dA cosϑdΩ

4π

dA

Gaub 4WS 2014/15

Diffusion

Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist:

€

j =dN+ − dN−

dA dt

Beitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte :

€

dj v( ) dv = −1

dA

dN+ v( )dt

−dN− v( )

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dv

€

=>djx v( ) dv = −2 Λ f v( ) v dvcos2 ϑ sinϑ dϑ dϕ

4π

dn

dx

€

=>jx = −2 Λ f v( ) v dv−∞

+∞

∫ 1

4πcos2 ϑ sinϑ dϑ dϕ

0

π /2

∫0

2π

∫ dn

dx

€

v 2π/3

Ficksches Gesetz:

€

jx = −Λ v

3

dn

dx= −D

dn

dx

oder vektoriell:

€

rj = −D grad n( )

mit der Diffusionskonstanten

€

D =Λ v

3=

1

n σ

8 k T

9 π m5Gaub WS 2014/15

Diffusion

Schwere Teilchen diffundieren langsamer:

Þ

Heliumatome viel leichter als Luftmoleküle

Heliumatome gleichen den geänderten Partialdruck viel schneller aus!

Gaub 6WS 2014/15

Brownsche Bewegung

Bewegung von Mikroteilchen unter Einfluss der thermischen Bewegung kleinerer Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle.

Die Bewegung besteht aus kurzen geraden Stücken, deren Richtungen und Längen statistisch verteilt sind.

7WS 2014/15Gaub

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-

Gaub 8WS 2014/15

Robert BrownGaub 9WS 2014/15

See also Jan IngenhouszJ. Philos. 26, 339- (1785)

Gaub 10WS 2014/15

Annalen der Physik, Band 17, 1905, p 549-

See also Dissertation April 1905 Uni Zürich published in Ann Physik 19, 289-(1906)

Gaub 11WS 2014/15

Concept of osmotic pressure works for makromolecules, no reason why it should not for suspended particles! Einstein proved this first.

Osmotic pressure gradient results in force on particle.

In steady state this force is balanced by friction (implicit assumption of over-damped regime)

Particles move independently + basic statistics

Outline:

Gaub 12WS 2014/15

Fluktuations-Disssipations-Theorem

For a comprehensive review see Hänggi, Marchesoni and Nori, Ann. Phys. (Leipzig) 14, 51-70 (2005)

Kubo

Memory-less trajectories, ballistic motion decays after ≈ m/6kP ≈ 10-8 s

SmoluchowskiLangevin

Gaub 13WS 2014/15

Brownian Motor

Gaub 14WS 2014/15

Up-hill Transport

Gaub 15WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Energieübertrag von Orten höherer Temperatur zu Orten niedriger Temperatur durch Stöße.

Gas zwischen zwei Platten an den Orten und :

€

x1

€

x2

Transport abhängig vom Verhältnis der mittleren freien Weglänge zum Plattenabstand.

Falls Λ > d :

Energie der Moleküle, die von Platte 1 kommen:

€

Ekin1=

1

2m v1

2 =3

2k T1

Auf das Flächenelement dA treffen pro Zeiteinheit bei einer Teilchendichte n aus dem Raumwinkel Ω um die Richtung ϑ kommend:

€

d

dtN v,ϑ( ) = n cosϑ dA v f v( ) dv∫( )

dΩ

4πGaub 16WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Integriert ergibt sich:

Unter der Annahme, dass jedes Molekül beim Kontakt die Temperatur der Platte annimmt, verliert das Flächenelement dA pro Zeiteinheit die Energie:

€

dN

dt=

n v dA

4πsinϑ cosϑ dϑ dϕ

0

2π

∫0

π

2

∫

€

=n v dA

4

€

dW1

dtdA = −

dN1

dtdA U1 mit:

€

U1 =f

2k T1

Gleichzeitig gewinnt das Flächenelement Energie:

€

dW2

dtdA = −

dN2

dtdA U2 mit:

€

U2 =f

2k T2

Die Netto-Wärmeleistung ist also:

€

dW

dt= κ A1 T2 − T1( )

mit der Wärmeübergangszahl κ:

€

κ =n v k f

8

€

κ[ ] = 1J

s m2 KGaub 17WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

Weil der Druck an jeder Stelle gleich ist, gilt für die Dichten:

€

n1

n2

=T2

T1

Moleküle stoßen oft zwischen den Platten und übertragen die Energie auf andere.

Es stellt sich ein Temperaturgradient im Gas ein.

Wärme wird „diffusiv“ transportiert =>

€

dW

dt=

1

3Λ

d

dxv n U( )

weil:

Falls Λ << d :

Þ

€

=1

3Λ n

f

2k T

dv

dx

€

U n = nf

2k T

Gaub 18WS 2014/15

Wärmeleitung in Gasen

mit:

mit der Wärmeleitfähigkeit λ

wird:

€

dv

dx=

dv

dT

dT

dx=

8 k

2 T π m

dT

dx

€

dW

dt= λ

dT

dx

€

λ =1

12f n k v Λ

€

λ[ ] =J

s m K

λ wird im Druckbereich Λ << d unabhängig von der Dichte, weil:

€

Λ =1

n σÞ

€

λ =1

12

f k v

σ

Gaub 19WS 2014/15

Viskosität von Gasen

Liegt zusätzlich zur thermischen Bewegung noch eine Bewegung des Systems vor (Strömung), tritt viskose Reibung auf.

Die Bewegung der Moleküle in einer Schichtist eine Überlagerung von (statistischer und isotroper) thermischer Bewegung und Strömungsgeschwindigkeit u(x).

Strömt ein Gas in y-Richtung über eine Fläche, bewegt sich die der Fläche nächste Schicht auf Grund der Reibung nicht.

€

x = x0 ±Δx

2

Aufgrund der thermischen Bewegung wechseln die Teilchen in andere Schichten und übertragen bei Stößen abhängig vom Geschwindigkeitsgradienten Impuls

Gaub 20

Viskosität von Gasen

Die Impulsstromdichte (transportierter Impuls pro Fläche und Zeit) lässt sich schreiben als:

€

jp

€

jp = ηdu

dx

mit dem Viskositätskoeffizienten η:

€

η =1

3n m v Λ

Gaub 21WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre

Die verschiedenen Bestandteile neigen einerseits dazu, sich durch Diffusion zu vermischen und werden andererseits durch die Gravitation auseinander gezogen.

Im stationären Gleichgewicht sind der Diffusionsstrom und der nach unten gerichtete gravitative Strom gleich groß:

Bei Fall eines Teilchens wirkt eine Reibungskraft der Schwerkraft entgegen.

€

jD z( ) + jg z( ) = 0

Þ konstante Sinkgeschwindigkeit, damit konstanter Strom

€

jg = n vg

Gaub WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre

Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich, dass das Konzentrationsverhältnis eines leichten Gases zu einem schwereren mit der Höhe zunimmt.

Þ

Das sich aus Messungen ergebende konstante Konzentrationsverhältnis ist mit der nicht konstanten Temperatur zu begründen.

Starke vertikale Strömungen

Starke Durchmischung der atmosphärischen Schichten

schwerere

Gaub 23WS 2014/15

§7.6 Die Erdatmosphäre

Temperaturverlauf:

Standardatmosphäre:

Gaub 24WS 2014/15