Heft ti b i n e Mitteilungeii 396

noch von holiem Interesse, wenn es auch nichl richtig ist, d a l ))bisher nichts zur Er- forschung des StrBmungscharakters in diver- gierenden Rohren geschehencc ssi. Mit die- ser Behauplung leitet George E. L y o n den Auszug aus einer Dr.-1ng.-Dissertalion ein, den er in den Transactions of the American society of mechanical engineers, Bd. 43, 1921, S. 1245 bis 1258 ver6ffenUcht. Er machte Versuche an 7Saugrohren, die a n der Ein- lrittstelle slmtlich 3 engl. Zoll Durchmesser halten, wlhrend f k f auf 6ZOU und zwei auf 9 Zoll sich erweiterten; der g a z e Conuq- Winkel lag zwischen 4 und 120. An vier Querschnittcn wurde die Geschwindigkeits- Verteilung, und zwar bei drei verschiedenen DurchfluUmengen aufgenommen. Die Ergeb- nisse werden in 84 ~scliwindigkeils-Iurveu dargestellt, die den charakteristischen Ver- lauf - allmlhliche Verbreilerung des Strb-

mungslcernes iiber den Querscbnilt - auf- weisen. Das erste Versuchsrohr, das aus Beton hergeslellt war und einen Conus- Winkel von 40 besal, zeigle slarke Ab- weichungen von allen iibripen und wurde fur die weitere. Untersucliung ausgeschieden. Von den sechs Stahlrohren zeigte ein 43 engl. Zoll langes rnit dem Oeffnungswinkel 80 den beslen Wirkungsgrad, und zwar bei mittleren Geschwindigkeiten von 10 bis 20 FulISekunde fast unveriinderlich 91vH. Den geringslen Wirlmngsgrad, und zwar wieder in den gleichen Grenzen fast unverlnderlich, wies ein 34 engl. Zoll langes Rohr’ mit 100 Oeffnungswinkel auf. Urn dieoe Ergebnisse richtig beurteilen und varwerten zu konnen, bedarf es wohl nocli krilischer Durcharbei- Lung der Versuchsbedinyngen, nainenllich hinsichtlich der Auswahl der Rohrlingen und der MeDquerschnitte. M i s e s . 361

KLEINE MITTEILUNGEN GtartheoretirQe Deuhag der R e y n 01 d s -

rcfienKennzahL In fast allen hydro- und aero- dynamischen Aufgaben, bei welchen sowohl die TrBgheit als die Reibung der Fliissigkeit bezw. des Uases eine Bolle spielt, tritt als wesentlicher Parameter die sog. BReynoldssche K e n n - zahlg auf. Betrachten wir z. B. den Wider- stand gegen die gleichfijrmige Translations- bewegung eines fasten Korpers, 50 kann man &us den Differentialgleichungen, welche f a r die Bewegung der Fltissigkeit gelten, leicht her- leiten, daS der Strijmungszustand bei geome- trisch Bhnlichen WiderstandskSrpern Bhnlich

bleibt, falls die Verhllltniszahl__ (u = GQ-

schwindigkeit des Korpers, d = eina lineare Dimension desselben, Q = Dichte der Fliissig- keit, p = Koeffizient der inneren Reibung) denselben Wert hat. Bezieht man - wie iiblich - den Widerstand auf die StirnfiBchef

des Korpers und auf den Staudruck -, so 2

wird die Widerstandsziffer y in der Formel

U d e P

P Ua

W = y f - - e Ua 2

CJd Q eine Funktion der Kennzahl R = -. t

ZurErkltlrung der R e y noldsschenKennzah1 pflegt man zumeiat anzufiihren, daB sie die einzige dimensionslose Kombination aus den physikalischen Konstantenq und p einerseits und aus den BestimmungsgroLIen: Geschwindig- keit und Kijrperabmessung andererseits dar - stellt. Fernerhin kann man anfmren, da13 sie ein M& ftir das GrSBenverhBltnis der ent- stehenden Massen- und ReibungekrMte liefert,

indem die ersteren mit dem Staudruck - , die

letzteren rnit @ wrchsen. (Die Reibung ist

gleich Reibungskonstante X senkrechtes Ge-

e @ 2

a

f U e der Geschwindigkeit; dae Cfeflllle ist jedoch bei tlhnlich bleibender Stromung der Geschwindigkeit direkt und der Karperab- messung umgekehrt proportional.)

Neben diesen rein hydrodynamischen Deu- tungen, z u welchen noon die durch v. M i s e s gegebene Deutung als mreduzierte Geschwin- digkeitx hinznzufiigen wilre, hat es vielleicht gewisses Igteresse, da5 man zu einer recht anschaulichen Darstellung gelangt, wenn man - wenigstens fa r ideale Gase - auf die gastheoretische Herleitung des Reibnngskoeffi- zienten zuriickgreift.

Die kinetische Theorie der Gase deutet die innere Reibung als *Impulstransporta quer zur StrGmungsrichtuug. Legen wir ein Fltlchenelement von der FlflchengrBBe Eins tangentiell zur StSmungsgeschwindigkeit v, so ist die Reibung pro Flitcheneinheit, d h. die Schubspannung, gleich der nach der StrBmnngs- richtung gerichteten Impulsmenge, welche in der Zeiteinheit durch die Flflche_ durchtritt. Um diesen Impnlstransport zu berechnen, kann men sich folgender vereinfachten Be- trachtungsweise bedienen:

Wir denken uns je eine Schicht von der Dicke der amittleren WeglBnge. ?. auf beiden Seiten des Flilchenelements; dieser Raum repritsentiert uns dann den Bereich, innerhalb dessen der Impulstransport erfolgt. Bezeich- nen wir die mittlere Molekulargeschwindigkeit der thermischen Agitation mit c, so ist die nach beiden Richtungen nekundlich transpor- tierte ffasmenge proportional CQ. 1st das

Geftllle der Geschwindigkeit 7 senkrecht

zum Flitchenelement yon Null verschieden, so ftihrt die Gasmenge, welche von der nech wachsender Stromungsgeschwindigkeit ge- legenen Geite herstammt, eine graJ3ere Impuls- menge mit s ick Die mittlere Geschwindig- keit betrBgt in der schicht von der Dicke 1 auf der Seite der positiven Normalen offenbar

8 , d n

26*

396 Zeitschrift ftir angewandte Mathpmatig und M e W k Band 8

B~ a v + - - , auf der entgegengesetzten Seite 8 n 2

v - - - so da8 der UeberschuB an durch-

tretendem Impuls e e L - proportional ist.

Nun setzt man die Schubspannung nach dem phlinomenologischen Ansatz

a* 7 = p -

bn’ so daB die Reibungskonstante bia auf einen Zahlenfalttor, welcher lrdiglich von der Art der Mittelwertbildung abMngt , gleich e cr2 wird.

FUhren wir diesen Ausdruck in die R e y - noldssche Kennzahl ein, so sehen wir, daB wir dime ermtzen kijnnen durch das Produkt xweier VerhlWtniszahlen

Bn 2 BlJ

bn

u a R f = - . - a ’ d. h. durch das Produkt der Verhllltniszahl zwischen Tr a ns la t i on age s c hw i nd i g ke i t U u n d Molekulargeschwindigkeit c mit der Verhlltniszahl zwischen Ki j rperabmes- s u n g und m i t t l e r e r WeglBnge.

Die vol l s t l lnd ige Diakuss ion d e s W i d e r s t and sp r o b Iems gestaltet .sich als- dann etwa wie folgt:

a) Bere ich de r BrownschenBewegungr U d - < 1, f - 1. - Die Trmslationsgeschwin-

digkeit ist klein gegen die Molekulargeschwin- digkeit, die Kijrperabmessung ist vergleichbar mit der molekularen WeglBnge. Bekanntlich ist die Stokessche Wideratandeformel in die- sem Falle nicht mehr stichhaltig und bedad der Korrektion mit gaetheoretischen Hilfa- mitteln (z. B. Formel von Cunningham). b) H y d r o (ae r 0) d y n am i s c he r Be r e i c h :

U d - < 1, ->> 1. - Es gelten die Differential- E

gleichungen der Hydrodynamik. Far die Strd- mmigsform und das Widerstandsgesetz ist

lediglich das Produkt R’ = - ud d. h. die Rey- n old 8 sche Kennzahl mabgebend. Der Stro- mungszustand ist bei hleinen Werten von R’ durch die Reibung bestimmt (S t o ke a aches, lineares Widerstandsgesetz), bei wachsender Kennzahl folgt zunlichst Uebergang in eine nichtstationilre Wirbelstriimung mit regel- milBiger Periodizitllt (WirbalstraBen, nahezu quadratisches Widerstandsgesetz mit den xgro- 13en Koefflzientena), echUeBlich meist nach plijtzlichem Umschlag (kritischer Ponkt) eine unregelmuige, im Mittel stationare Strijmungs- form (turbulente Strtmung, quadratisches Widerstandsgesetz rnit den Bkleinen Koeffi- zientena).

c) Bal l i s t i s che r Bereich: --1, x>= 1.

- Die Translationsgmchwindigkeit ist yon dereelben QroDenordnung wie die Molekular- geschwindigkeit, oder - was auf. dasselbe herauskommt - die Scha l lgeschwind ig -

C

C L ’

U d

keit. Fiir die StrzlmungSiorm sind die ther- misohen Vorg&nge mitbestimmend. Man kann daher sagen, daB die eigentlicheHydro- oder Aerodynamik nur im Fa11 b) awreicht. SO- wohl im Fall a) wie im Fall o) mu6 die Thermodynamik eiagreifen; nur im ersten Fall massen wir auf ihre mo1ekul8rtheoretische Fassung zurfickgreifen, wlthrend im letzten Fall die philnomenologischen hs&tze aus- reiehen.

Aachen. Th. v. KBrmBn. 314

Ueber die beg I;rmktionn von Vericrbeln adrefende Korrelaffon. Der Korrelations- koefhient stellt den Zusammenhang dar, der zwischen zwei Variabeln im Sinne der Wahr- scheinlichkeitstheorie besteht. Hat man eine Reihe von Variabeln und bildet man aus ihnen zwei Funktionen, so sol1 im folgenden der zwischen diesen Funktionen bestehende Zu- sammenhang berechnet werden. Interessant ist besonders der Fall, daB die Variabeln selbst zusammenhangslos sind.

Man habe die Variabeln XV (v = 1,2, . . . .a) im Sinne der Wahrscheiqlichkeitstheorie, zwischen denen die Korrelationen be- stahen, Mv seien ihre Mittelwefie, xy die Feh- ler, pv die mittleren Fehler und N die Zahl der Beobachtungen. Man bilde aus den XV zwei Funktionen

21 f ( X v ) Wd ZO 9 (Xv) . Bezeichnet man die Mittelw6rte der Z mit 1,

ihre mittleren Fehler rnit u, leweils versehen mit dem entsprechenden Index, so gilt far den Korrel&tionskoefflzienten p zwischen 2% und & nach der Definition

qoiaa=---((zI-IIt)(Z1-I~). 1 N

Im folgenden wird e rnit HiEe der Mittel- we& My der Xy , ihrer mittleren Fehler p und der zwischen den Xy bestehenden 3orrelations- koeffizienten rxi berechnet. Diase Daten sind den Beobachtungen der xy selbst zu ent- nehmen. Infolge der Definition der Mittel- werte wird die rechte Seite gleich

1 N - - B f ( h ) g ( X v ) - 1 1 . 1 2 .

Man setze fltr f und g eine Potenzreihen- entwicklung ein, bezeichne f (Mv) mit f und die entsprechenden Ableitungen mit fux. Man vernachlllesige dann die dritbn und hoheren Potenzen der Fehler gegenliber den ent- spreohenden Potemma der Mittelwerte. Dann wird dies zu 1 -2 (f+ fi XI -I- hxs I-. . . + ‘/ah1 x,a

+ ‘/a taa $a* + . . . + fia XI

+ . . + g i g XI 8s +gia 11 ~8 -+ . . .) - 1 1 Is.

+ fir XI xa + . . .) @+g1 $1 +gs,xi + . . c ’tog11 xia+ ’/igHxae

Nun gilt fur den Mittelwert 11 der 2, unter

(1)

(2).

derselben Voraussetzung

und far den mittleren Fehler u, der 2, I1 = f + ‘Is 2 f x x rx2 f 2 f x x Px pi r x h

= 3 fz’ Pr= t 2 2 f, f r px Pb r?,&.