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2015
GeoGebra im
Mathematikunterricht Skript zur Veranstaltung
Ulrich Steinmetz, Medienberater
Ulrich Steinmetz, dynamische Geometrie mit GeoGebra
http://dgs.ulrich-steinmetz.de
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Vorwort „des Schulministeriums“
Das NRW Schulministerium legt in dem Kernlehrplan
Mathematik Hauptschule Folgendes fest:
Prozessbezogene Kompetenz: Werkzeuge nutzen
Zitat:
Bereits ab Beginn der Jahrgangsstufe 5 nutzen die Schülerinnen und Schüler verschiedene (nicht-digitale) Werkzeuge für mathematisches Arbeiten. Beim Umgang mit den jeweils zur Verfügung stehenden fachlichen Gegenständen sollen sie die folgenden Werkzeuge nutzen können:
Geodreieck Zirkel Regelheft (Merkheft)
Im weiteren Verlauf bis zum Ende der Jahrgangsstufe 10 sollen die Schülerinnen und Schüler zusätzlich weitere (auch digitale) Werkzeuge nutzen können:
Formelsammlung Taschenrechner Tabellenkalkulation
Dabei sollen sie die Eigenschaften dieser Werkzeuge darstellen, die Werkzeuge der jeweiligen Situation angemessen auswählen und Vor- und Nachteile des Einsatzes der Werkzeuge sowie möglicher Alternativen beurteilen können.
zusätzlich Mittlerer Schulabschluss: Die Schülerinnen und Schüler sollen Dynamische-Geometrie-Software zur Bearbeitung mathematischer Situationen nutzen können.1
…
Eine abschlussbezogene Differenzierung mathematischer Kompetenz in der Doppeljahrgangsstufe 9/10 ergibt sich wiederum aus der entsprechenden Differenzierung in den inhaltsbezogenen Bereichen. Daher wird bei der Darstellung der prozessbezogenen Kompetenzen nicht nach Doppeljahrgangsstufen differenziert. Eine Differenzierung zwischen den beiden Abschlussniveaus ist nur im Bereich Werkzeuge nutzen ausgewiesen. Dies betrifft den Einsatz Dynamischer-Geometrie-Software, der eng mit der inhaltsbezogenen Differenzierung im Gebiet Geometrie verbunden ist. …
Zitat Ende
1 http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-
i/hauptschule/mathematik/kernlehrplan/kompetenzen/ (Stand 3.10.2013)
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Das NRW Schulministerium legt in dem Kernlehrplan Mathematik Realschule Folgendes fest:2
Bereich Werkzeuge Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8
Zitat Anfang
Schülerinnen und Schüler Erkunden
nutzen Tabellenkalkulation und Geometriesoftware zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge
Berechnen nutzen den Taschenrechner
Darstellen tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mit Hilfe einer
Tabellenkalkulation dar Recherchieren
nutzen Lexika, Schulbücher und Internet zur Informationsbeschaffung
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 Schülerinnen und Schüler Erkunden
nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme
Berechnen wählen ein geeignetes Werkzeug ("Bleistift und Papier", Taschenrechner,
Geometriesoftware, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter) aus und nutzen es Darstellen
wählen geeignete Medien für die Dokumentation und Präsentation aus Recherchieren
nutzen selbstständig Print- und elektronische Medien zur Informationsbeschaffung
Zitat Ende
Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter, das alles kann GeoGebra!
2 http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-
i/realschule/mathematik/kernlehrplan/kompetenzen/kompetenzen.html (Stand 3.10.2013)
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Wo gibt es GeoGebra kostenlos? http://www.geogebra.org
Der Arbeitsbildschirm von GeoGebra
Aufgaben zu Grundfunktionen und Zusammenhängen der Fensterbereiche
1. Übung:
a. Klicken Sie in der Menüleiste auf Ansicht und aktivieren Sie
i. Algebra
ii. Tabelle
b. Klicken Sie mit rechter Maustaste in der Grafik Ansicht und aktivieren Sie
i. Achsen
ii. Koordinatengitter
c. Geben Sie in der Tabelle in Zelle A1 ein: (1,3) Suchen Sie den Punkt in der Grafik-
Ansicht!
d. Geben Sie in der Tabelle in Zelle A2 ein: (-2,1) Suchen Sie den Punkt in der Grafik-
Ansicht!
e. Geben Sie in der Eingabezeile ein: Strecke[A1,A2]
Alternativ kann auch eine Strecke „gezeichnet“ werden mit Hilfe der Werkzeuge.
f. Lesen Sie in der Algebraansicht ab, wie lang die Strecke a ist.
g. Lassen Sie die Länge und den Namen der Strecke a anzeigen. (Eigenschaften!)
Menüleiste
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2. Übung:
a. Geben Sie in B1 eine 5 ein.
b. Geben Sie in der Eingabezeile ein: f(x)= B1 x -3 (Leerzeichen beachten!)
c. Ändern Sie in Zelle B1 die 5 zur 2! Beobachten Sie Veränderungen in der Grafik-
Ansicht.
3. Übung:
a. Geben Sie in der Eingabezeile ein: g(x)=B1 x^2 -3 (statt x^2 ginge auch x² oder x*x)
b. Ändern Sie den Wert in B1. (z.B. 0.5 mit Punkt eingeben!)
c. Geben Sie in der Eingabezeile ein: Ableitung[g(x)]
d. Fügen Sie einen neuen beweglichen Punkt der Parabel ein.
e. Lassen Sie eine Tangente durch den Punkt gehen.
f. Zeigen Sie die Steigung der Tangente an.
4. Parabeln: GeoGebra stellt auch die folgenden Funktionen bereit. Testen Sie diese!
Nullstelle[f(x)]
Extremum[f(x)] Integral[f(x),a,b]
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5. Übung:
a. Bereiten Sie eine Zeichnung vor, welche ein einfaches Dreieck mit Innenwinkeln
darstellt. Schüler sollen später damit die Winkelsumme herausfinden. Sie benötigen
neue Werkzeuge.
Ziel:
b. Achten Sie auf die Farben und Nachkommastellen und Bezeichnungen. Kommt es
auch mal zur Winkelsumme 181° oder 179° ? Wie gehen Sie damit um?
Nachkommastellen berücksichtigen?
6. Schauen Sie sich auf YouTube dieses Video von Jörn Loviscach an:
http://www.youtube.com/watch?v=OuImEm2Nwgo
Er leitet die Winkelsumme im Dreieck auf eine andere Art her.
Erstellen Sie dazu auch mal eine GeoGebra Konstruktion!
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7. Übung:
a. Öffnen Sie ein neues GeoGebra-Fenster
Strg+N oder Menübefehl Datei + Neues Fenster
b. Legen Sie zwei Schieberegler in die Grafik-Ansicht.
Sie sollen die Werte von – 10 bis +10 darstellen können und die Breite 200 (Pixel)
haben.
Schauen Sie nach, wie die Schieberegler-Variablen heißen.
(Eigenschaft, Algebraansicht)
c. Geben Sie dann eine Funktion 3.Grades + 2.Grades mit Verwendung der beiden
Schieberegler ein. (Beispiel f(x)= a x³ - b x² + 2)
Die Leerzeichen sind relevant, denn sonst denkt das Programm, es handle sich um
Variablen, die ax oder bx heißen!
d. Ändern Sie die Schieberegler und beobachten Sie.
Animieren Sie die Regler! (Eigenschaft Animation ein)
e. Ergänzen Sie die Nullstellen (Befehl Nullstelle[Funktionsname])
f. Ergänzen Sie die Scheitelpunkte (Befehl Extremum[Funktionsname])
g. Stellen Sie die 1. Ableitung der Funktion in roter Farbe dar. (Befehl Ableitung[f(x)])
(Es ginge auch die Eingabe f‘(x) für die erste Ableitung!)
h. Wenn Sie Spaß an Integralen haben: Eingabe Integral[f, -0.5, 2], wobei die beiden
Zahlen Anfangs- und Endwert sind. Sie sind beliebig eingebbar. „f“ ist der Name der
Funktion. Denkbar sind auch Schieberegler-Variablen für die Grenzen.
8. Schauen Sie sich weitere Übungen an, welche oft mit Schiebereglern ausgestattet sind:
Sie finden eine Auswahl von meinen Aufgaben bei http://dgs.ulrich-steinmetz.de
Die Links führen zu Aufgaben, die ich zuvor auf GeogebraTube hochgeladen habe.
a. http://www.geogebratube.org/student/m80300
Hier werden Schieberegler für die Veränderung von Farben eingesetzt
b. http://www.geogebratube.org/student/mxZrexqFB
Hier ändern Schieberegler den Streckungsfaktor bei einer zentrischen Streckung
c. http://www.geogebratube.org/student/moBFZ7gYg
Schieberegler ändern eine Streckenlänge
d. http://www.geogebratube.org/student/my6WMcNpH
Ein Schieberegler ändert die Öffnung einer Parabel
e. http://www.geogebratube.org/student/meevlRTld
2 Schieberegler ändern Dreiecksseiten
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9. Übung:
a. Denken Sie sich eine einfache Zuordnung aus, zu der Sie eine Wertetabelle erfassen
wollen. Proportional oder umgekehrt proportional.
b. Geben Sie innerhalb der Tabellenansicht die x-Werte in Spalte A und die y-Werte in
Spalte B ein. Keine Überschriften in die Spalten einfügen!
c. Versuchen Sie danach, die Punkte auch in der Grafikansicht erscheinen zu lassen.
Hierzu der Tipp:
Versuchen Sie in Spalte C die Daten in der Form (x,y) erscheinen zu lassen. Man kann
A1 und B1 weiterverwenden, =(A1,B1) wäre zulässig wie in Excel.
d. Stellen Sie in einer anderen Farbe als schwarz die zu den Daten in der
Zuordnungstabelle gehörige Funktion dar, indem Sie die Funktionsgleichung
eingeben.
10. Übung:
a. Stellen Sie ein allgemeines veränderbares Dreieck in blauer Farbe her. Die Höhe hc
soll in Rot erscheinen. Werkzeug Vieleck verwenden.
b. In einem Textfeld soll erscheinen:
„h = xx.xxx cm“
Hierzu müssen Sie ein Textfeld
anlegen. (Hinweis für ältere
Geogebra Versionen: Texte in
Anführungszeichen, Variablen mit
„+“ anfügen.)
c. Anspruchsvoller ist diese Aufgabe:
In einer weiteren Zeichnung soll ein veränderliches Dreieck mit einem dauerhaft
rechten Winkel bei C erstellt
werden. Sie brauchen
einen Thaleskreis dafür!
Versuchen Sie in Ihrer
Zeichnung den Höhensatz
anschaulich zu zeigen.
Stellen Sie z.B. h² als
Quadrat dar und p mal q als
Rechteck.
Optimal wäre auch die
Anzeige des rechten
Winkels bei C. (Werkzeug
Winkel)
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d. Sie benötigen dazu folgende Werkzeuge:
i. Kreis mit Mittelpunkt und Radius, um p abzutragen (als Radius dann die
Variable eingeben!)
ii. Senkrechte und parallele Geraden
iii. Schneide zwei Objekte, um Schnittpunkte zu bilden
iv. Textfelder für die Maßzahlen der Flächen, damit die Flächengleichheit klar
wird
11. Übung
a. Schauen Sie sich den Beweis des Satzes des Pythagoras nach Henry Perigal an bei
Wikipedia.
b. Vergleichen Sie mit meiner ersten Version des GeoGebra Arbeitsblattes
http://www.geogebratube.org/student/mP9f397F4
c. Vergleichen Sie mit meiner zweiten Version des GeoGebra Arbeitsblattes
http://www.geogebratube.org/student/m88253
d. Versuchen Sie den Anfang dieser Konstruktion, indem Sie zunächst ein rechtwinkliges
Dreieck und die Quadrate herstellen. Weitere Schritte erst nach Praxiserfahrung!
12. Übung: Der verletzte Forscher
a. Zwei Forscher sind mit Ihren Landrovern in der Wüste westlich des Nils bei Ausgrabungen. Ein Forscher verletzt sich und benötigt dringend Hilfe und vor allem Wasser. Er ruft mit seinem GPS-Handy seinen Kollegen herbei, der nun auf dem kürzesten Weg Wasser holen muss und damit dann seinen Kollegen retten soll. Beschreiben Sie eine Strategie für sein Vorhaben!
b. Lösen Sie die Aufgabe mit einer GeoGebra Konstruktion. Lassen Sie sich dabei
Winkel anzeigen!
c. Wie würde eine reine tafelorientierte Lösung aussehen?
d. Stellen Sie das Ergebnis vor! (Teamarbeit)
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13. Anzeigen von Meldungen unter Bedingungen
In Aufgabenstellungen, bei denen Schülerinnen und Schüler etwas erkennen sollen oder
etwas konstruieren sollen, ist es oft sinnvoll, dass eine Textmeldung auf dem Bildschirm
erscheint, in der bestätigt wird, dass die Konstruktion richtig gemacht wurde. Objekte
können unter selbst festgelegten Bedingungen erscheinen oder verborgen werden.
a. Erstes Beispiel zum Einsatz:
Zwei Geraden sollen so auf dem Bildschirm platziert werden, dass sie senkrecht
zueinander sind. Die notwendige Bedingung ist also das „zueinander senkrecht
sein“. (im folgenden Bild ist die Meldung noch nicht sinnvoll!)
Anleitung:
i. Neues Arbeitsblatt ohne Koordinatensystem mit Gitter
ii. Zeichnen Sie 2 beliebige Geraden.
iii. Legen Sie ein Textfeld mit dem entsprechenden Text an. Schwarzer Hintergrund,
gelbe Textfarbe. Schön groß machen!
iv. Nun beginnt die Eingabe einer Bedingung zur Anzeige des Textes, denn er
darf nur dann erscheinen, wenn die Geraden senkrecht zueinander sind.
v. Öffnen Sie die Eigenschaften des Textfeldes. Klicken Sie auf Erweitert.
vi. Die Geraden heißen a und b. Geben Sie als Bedingung ein a ⊥ b
Das Zeichen für senkrecht finden Sie, indem Sie auf das @ Zeichen in der
Eingabezeile für die Bedingung klicken.
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b. Zweites Beispiel zum Einsatz:
Ein beliebiges Dreieck soll so durch Ziehen an den Eckpunkten verändert werden, dass
genau 2 Seiten gleich lang sind. Die Dreiecksseiten sind a, b, c. Wenn also a=b oder a=c
oder b=c richtig ist, soll eine Meldung erscheinen, nicht aber wenn alle 3 Seiten gleich
lang sind.
Erste grundsätzliche Schwierigkeit ist hierbei, dass eine Längengleichheit von Strecken
fast nie erreicht werden kann, weil sich Längen manchmal nur um 1/1000 cm
unterscheiden. Man sollte also einen Schwellenwert bestimmen. Wenn 2 Seiten sich
unterhalb dieses Schwellenwertes unterscheiden, ist die Aufgabe bereits gelöst.
Vorschlag: wenn der Längenunterschied <=0.01 ist, soll es in Ordnung sein. Es ist hier
sinnvoll eine Variable anzulegen: schwelle=0.01 in der Eingabezeile!
i. Zum Zweiten muss man daran denken, dass Unterschiede als Absolutwert
berechnet werden, damit keine negativen Differenzen auftauchen. Man kann
abs(a-b) schreiben, die abs() Funktion entfernt das Vorzeichen.
ii. Man benötigt bei der Eingabe das „oder“ Zeichen, es ist ein v und das „und“
Zeichen, es ist ein ^ (wie ein Dach). Beide Zeichen findet man wieder unter dem
@ Zeichen bei der Eingabe.
Sie können sich das nach einer ZP 10 Aufgabe entstandene Beispiel dazu ansehen:
http://tube.geogebra.org/student/m180195
iii. Vorbereitung des Arbeitsblattes
iv. Nun die Bedingungen als Eigenschaften des Textes schreiben!
Der Anfang: abs(a - b) ≤ schwelle ....
v. Es ist ratsam eine zusätzliche Bedingung zu definieren für den Fall, dass alle Seiten
gleich lang sind. Ist diese Bedingung dann erfüllt, darf der Text nicht erscheinen.
Gegebenenfalls erscheint dann ein anderer Text. Sie werden das Zeichen für nicht
benötigen! So kann es aussehen: …∧ (¬allegleich) In der Klammer sehen Sie das
„nicht“ Zeichen vor der Variablen allegleich, welches aus dem Bereich der
Aussagenlogik bekannt ist.
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14. Einsatz von Befehlsschaltflächen und Skripting-Befehlen
a. Schaltflächen können Aufgaben übernehmen, die zuvor eingegeben wurden.
Beispielsweise können ein paar Punkte im Koordinatensystem per Klick gesetzt
werden, zu denen Schülerinnen und Schüler dann die Koordinaten ermitteln sollen.
Sehen Sie sich dieses Beispiel an:
http://www.geogebratube.org/student/m97708
Hier werden 8 Punkte mit Skripting Befehlen zufällig neu positioniert.
b. Schaltflächen werden mit Skripting Befehlen programmiert. Die Skripting Befehle
findet man alle auf der Website von GeoGebra. Es ist nicht sinnvoll, alle hier zu
nennen, denn die Anzahl der möglichen Befehle wird regelmäßig größer.
Auf http://www.geogebra.org/cms/de/ am besten auf Hilfe klicken, man kommt auf
http://wiki.geogebra.org/de/Hauptseite und dort als Suchwort Skripting oder Befehle
eingeben. Die Skripting Befehle sind die, die man oft gebrauchen kann, aber auch
weitere Befehle sind nützlich.
Screenshot 20.3.2014
c. Es gibt bei GeoGebra einige Tausend einsetzbare Befehle. Allein die Gruppierung
stellt über 400 Seiten zu verschiedenen Themen dar. Auf jeder dieser Seiten findet
man wieder themenorientierte Einzelbefehle.
d. Beispielbefehle:
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e. Erstellen Sie ein neues GeoGebra Arbeitsblatt mit einem Koordinatensystem,
welches ausschließlich den 1. Quadranten des Koordinatensystems zeigt. Einstellung
über die Eigenschaften der Grafik-Ansicht. (Rechte Maustaste Klick)
i. Erzeugen Sie auf „normale Art“ 4 Punkte.
ii. Erzeugen Sie eine Schaltfläche „zufällige Punkte“
iii. Schreiben Sie Skripting Befehle zu der Schaltfläche, die bei Mausklick
stattfinden sollen!
SetzeKoordinaten(A,Zufallszahl[0,7],Zufallszahl[0,7])
Dieser Befehl setzt die Koordinaten des Punktes A auf neue Werte im Bereich
0 bis 7.
Testen Sie Ihr neues Arbeitsblatt.
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15. Aus der ZP 10 Mathematik Realschule 2011
a. Erstellen Sie diese (GeoGebra) Zeichnungen in identischer Form!
b. Blenden Sie auf Wunsch die geforderten Flächeninhalte ein!
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16. Pythagoras beweisen? Besser anschaulich machen ohne den formellen Beweis.
Meine Übung dazu: http://www.geogebratube.org/student/m88253
17. Schon mal die folgende Frage überlegt? Klasse 9!
Wie weit ist der Horizont entfernt?
Meine Übung dazu: http://tube.geogebra.org/student/m1431947
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18. Die in diesem Skript verwendeten Links zu GeoGebra Aufgaben stellen nur eine kleine
Auswahl der Anwendungsmöglichkeiten dar. Auf meiner für den Schulunterricht
konzipierten Website (Adresse s.o.) befinden sich momentan diese Übungen.
(Stand 02.09.2015)
Alle Beispiele wurden mit GeoGebra erstellt
Klasse 5-8 Klasse 9/10+ alle Klassen/Diverses
Erkenntnisse von Thales Pythagoras entdecken Der Nilforscher
Steigung von Geraden Pythagoras mal anders Tangram Figuren
Schnittpunkte im Dreieck(Video) Pythagoras als Film
Winkelgrößen zeigen Pythagoras und Raumdiagonale Entscheidung der Bienen (I)
Winkel auf 90° stellen Der Perigal Pythagoras-Beweis Entscheidung der Bienen (II)
6 Winkel einstellen Pythagoras Satz anschaulich
(Perigal) Garfields Beweis des Pythagoras
Spuren suchen im Dreieck Der "Stuhl der Braut" Beweis Hausbau in 3D
Inkreis des Dreiecks Sechsecksfläche
Zuordnung (proportional) Parabeln bei Brücken Das Volumen einer Box optimieren
(1)
Zuordnung (umgekehrt proportional)
Parabeln bei Brücken
(inkl. Modellierung)
Das Volumen einer Box optimieren (2) Lösung mit Funktionsgraph
Spiegeln mit Eichhörnchen (A) Steinwurf Parabel bestimmen Wo liegt das neue Kraftwerk?
Spiegeln mit Eichhörnchen (P) Pi bestimmen im Viertelkreis
Senkrechte oder
parallele Strecke? Regentropfen im Vollkreis
Der Fermat-Punkt in einem
Dreieck
Schätze suchen 2 Kreise und 2 Umfänge Satz von Viviani im Dreieck
Schätze suchen (mit Hilfe) 2 Kreise und 2 Flächen Der RGB-Trainer
Streckung an Quadraten Das Pyramidenvolumen bestimmen Sternenkollision
Pyramide und Quader im Vergleich Die Herz-Ellipse
Quadranten lernen Die 1. binomische Formel Maria Agnesi: "Witch of Agnesi"
Winkelbezeichnungen lernen Ein Rechteck im Kreis optimieren Das Goldene Dreieck (V1)
Der Schmetterling (V1) Berechnungen an Quadraten Das Goldene Dreieck (V2)
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Der Schmetterling (V2) Der Höhensatz und die Wurzeln Ein Nachbarschaftsproblem
Die Dreiecksfläche Ortslinie des Höhenschnittpunkts
Die Parallelogramm-Fläche Ortslinie des Inkreis-Mittelpunkts
Winkelsummen Dreieck/Viereck Ortslinie des Schwerpunkts
Zentrische Streckung und Flächen Einheitskreis und Sinus
Vierecke ineinander parallel? Sinus und Cosinus verfolgen
11 Würfelnetze * Kugelstoßen auf 3 Planeten
Koordinaten üben (1.Quadrant) Hypotenusen berechnen
Koordinaten üben (alle
Quadranten) Parabeln in Scheitelpunktform
Koordinaten angeben Die Ziege frisst im Viertelkreis Teil 1
Winkel im Sehnenviereck Die Ziege frisst im Viertelkreis Teil 2
Zaunpfosten aufstellen Rechteck im Dreieck maximieren
Haus des Nikolaus
Winkelsumme im Dreieck (V1) Mandala und Symmetrie
Winkelsumme im Dreieck (V2) Kreisflächen schätzen
Polynome und Parabeln
Aus 3 Punkten eine Parabelgleichung
Der Ellipsenbaukasten
Brennpunkt einer Parabel
Brennpunkt einer Parabel suchen
LNB und Satellitenschüssel
Funktionen ausprobieren
Der Horizont
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19. Viele meiner Übungen und auch Übungen
anderer Autoren sind beim NRW Bildungsportal
Learnline NRW abrufbar. Eine ganze Reihe von
Aufgaben anderer Autoren funktioniert leider auf
Grund von Mängeln in der Aufgabenarchitektur
nicht mehr. Man sollte jede Aufgabe in der
Schule testen, denn oft verhalten sich Apps auf
einem Heim PC anders als in der Schule.
http://www.learnline.schulministerium.nrw.de
Suchbegriffe z.B. „GeoGebra Ulrich Steinmetz“
Siehe das Bild als Suchergebnis.
20. Sehr viele GeoGebra Übungen von engagierten Autoren aus der ganzen Welt findet man im
GeoGebraTube Portal. https://tube.geogebra.org/?lang=de
jedoch ist Vorsicht geboten, denn vielfach sind Übungen fehlerhaft oder schlecht
verwendbar im deutschen Schulunterricht. Manchmal gibt es sprachliche Probleme und
abweichende Namenskonventionen. (Ausschnitt vom 2.9.2015)
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Abschluss: Ein Statement zur Einsetzbarkeit von
GeoGebra. (Diskussion)
Frei nach Hilbert Meyer, Professor für Schulpädagogik, Universität Oldenburg
Alle sagten: "Das geht nicht." Dann kam einer, der wusste das nicht,
und hat dynamische Geometrie mit seinen Schülern gemacht.