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Geometrie 1.) Körper – Ecken, Kanten, Flächen
Lehrer bringt das Modell eines Quaders, einer Kugel, eines Kegels, eines Zylinders und einer Pyramide als Anschauung mit in den Unterricht. Die mathematischen Modelle werden mit ihren Namen genannt. Schüler werden aufgefordert, Gegenstände aus ihrer Umwelt zu nennen, die die Form dieser mathema-tischen Körper besitzen. Dazu wird eine Tabelle angelegt:
Quader Kugel Kegel Zylinder Pyramide
Postpaket Ball Eistüte Konservendose Zelt
Würfel Globus Pylone Kerze Dach
Buch Trichter CD Kerze
Klassenraum
MERKE: In der Mathematik nennt man Gegenstände, die einen Raum beinhalten, in die man also etwas einfüllen kann (Wasser, Sand, usw.), Körper. Entscheidend ist die Form der Körper, nicht aber ihre Farbe, das Material oder ihr Gewicht. Jeder Körper besitzt eine Länge, eine Breite und eine Höhe. Körper werden von Flächen begrenzt, diese können eben oder gewölbt sein. Aneinander stoßende Flächen bilden eine Kante; Kanten können gerade oder gekrümmt sein. Aufeinander treffende Kanten bilden eine Ecke. Fragen zur Tabelle oben: Welche der oben genannten Körper kann man nur rollen, welche nur schieben, welche rollen und auch schieben? Rollen: Kugel, Kegel, Zylinder � Ball, Globus, Trichter, Kerze, Dose, usw. Schieben: Quader, Zylinder, Kegel, Pyramide � Paket, Trichter, Dose, Zelt, usw. Rollen und Schieben: Kegel, Zylinder � Eistüte, CD, usw. Welche der oben genannten Körper besitzen nur ebene Begrenzungsflächen, welche nur gewölbte Flä-chen, welche ebene und auch gewölbte Flächen? Ebene Flächen: Quader, Pyramide � Paket, Zelt, usw. � SCHIEBEN Gewölbte Flächen: Kugel � Ball, usw. � ROLLEN Ebene und Gewölbte Flächen: Kegel, Zylinder � Eistüte, CD, usw. � SCHIEBEN, ROLLEN
(Buch, S.105 – 107)
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Punkte und Strecken Aufgabe: Zeichne eine Strecke DE mit der Länge 5,5 cm. MERKE: 1.) Punkte werden mit großen Buchstaben (A, B, C, D...) bezeichnet. 2.) Jede Strecke hat einen Anfangspunkt und einen Endpunkt. 3.) Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.
4.) Strecken werden mit ihrem Anfangs- und Endpunkt bezeichnet: Strecke DE . Aufgabe: Zeichne folgende Strecken in das Heft: AB 7,5 cm RS 6,2 cm
AE 5,1cm ST 8,6 cm
CB 6,8 cm RT 7,0 cm
DB 4,5 cm PT 3,4 cm
EB 4,1cm PS 5,7 cm
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D
E
5,5 cm
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Das Koordinatensystem Anzeichnen und erklären der Begriffe des Koordinatensystems:
� Rechtsachse (x-Achse) � Hochachse (y-Achse) � Ursprung (0/0) � Abstände an den Achsen (1 cm)
� Eintragen des Punktes A(3/1)
A(3/1) Rechts- Hoch- Koordinate Koordinate A (3/1) bedeutet: Vom Ursprung (0/0): � gehe 3 Einheiten nach rechts � gehe 1 Einheit nach oben Zeichne nun folgende Punkte ein: B(8/2) ; C(10/6) ; D(6/7) ; E(0/5) Zeichne und messe folgende Strecken: (1) (2) AB 5,1cm AD 6,7 cm
BC 4,5 cm AC 8,6 cm
CD 4,1cm BE 8,5 cm
DE 6,3 cm BD 5,4 cm
EA 5,0 cm CE 10,0 cm
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Der Umfang (u) des Fünfecks ABCDE beträgt: 5,1 + 4,5 + 4,1 + 6,3 + 5,0 = 25,0 cm MERKE: 1.) Eine Fläche, die von Strecken vollständig begrenzt wird, heißt Vieleck. 2.) Vielecke sind: Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke usw. 3.) Ein Vieleck wird durch seine Eckpunkte bezeichnet, z.B. Fünfeck ABCDE. 4.) Die Strecken, die ein Vieleck begrenzen, nennt man Seiten des Vielecks. 5.) Die Summe aller Seitenlängen ergibt den Umfang des Vielecks. 6.) Jede Verbindungsstrecke, die keine Seite ist, nennt man Diagonalen. Anlegen einer Entfernungstabelle: Lege eine Entfernungstabelle an, in der man alle Streckenlängen zwischen den einzelnen Punkten A, B, C, D, E ablesen kann.
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Vieleck (Fünfeck) ABCDE Seite
Diagonale
Eckpunkt
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Entfernungstabelle: Übungsaufgabe: 1.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(0/1) ; B(5/0) ; C(7/3) ; D(6/6) ; E(3/7) ; F(1/6)
a.) Zeichne alle möglichen Verbindungsstrecken ein. b.) Bestimme den Umfang (u) des Sechsecks ABCDEF. c.) Lege eine Entfernungstabelle für alle Punkte an.
u = 5,1 cm + 3,6 cm + 3,2 cm + 3,2 cm + 2,2 cm + 5,1 cm u = 22,4 cm 2.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
A(0/1) ; B(4/2) ; C(1/7) ; D(2/4) ; E(7/2) ; F(7/6) ; G(4/9) ; H(5/0) ; K(10/1) ; L(10/7) ; M(6/10) ; N(4/6) Benutze unterschiedliche Farben:
a.) Zeichne das Dreieck ABC und bestimme seinen Umfang (u). b.) Zeichne das Viereck DEFG und bestimme seinen Umfang (u). c.) Zeichne das Fünfeck HKLMN und bestimme seinen Umfang (u).
cm A B C D E
A X 5,1 8,6 6,7 5,0
B 5,1 X 4,5 5,4 8,5
C 8,6 4,5 X 4,1 10,0
D 6,7 5,4 4,1 X 6,3
E 5,0 8,5 10,0 6,3 X
cm A B C D E F
A X 5,1 7,3 7,8 6,7 5,1
B 5,1 X 3,6 6,1 7,3 7,2
C 7,3 3,6 X 3,2 5,7 6,7
D 7,8 6,1 3,2 X 3,2 5,0
E 6,7 7,3 5,7 3,2 X 2,2
F 5,1 7,2 6,7 5,0 2,2 X
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a.) Dreieck ABC: u = AB + BC + AC u = 4,1 + 5,8 + 6,1 u = 16,0 cm b.) Viereck DEFG: u = DE + EF + FG + GD u = 5,4 + 4,0 + 4,2 + 5,4 u = 19,0 cm c.) Fünfeck HKLMN: u = HK + KL + LM + MN + NH u = 5,1 + 6,0 + 5,0 + 4,5 + 6,1 u = 26,7 cm
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Strecken, Vielecke, Umfang, Entfernungen 1.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(0/1) ; B(5/0) ; C(7/3) ; D(6/6) ; E(3/7) ; F(1/6) a.) Zeichne alle möglichen Verbindungsstrecken ein. b.) Bestimme den Umfang (u) des Sechsecks ABCDEF. c.) Lege eine Entfernungstabelle für alle Punkte an. 2.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
A(0/1) ; B(4/2) ; C(1/7) ; D(2/4) ; E(7/2) ; F(7/6) ; G(4/9) ; H(5/0) ; K(10/1) ; L(10/7) ; M(6/10) ; N(4/6) Benutze unterschiedliche Farben: a.) Zeichne das Dreieck ABC und bestimme seinen Umfang (u). b.) Zeichne das Viereck DEFG und bestimme seinen Umfang (u). c.) Zeichne das Fünfeck HKLMN und bestimme seinen Umfang (u). 3.) Zeichne eine beliebige Figur in ein Koordinatensystem und notiere die Koordinaten der Eckpunkte deiner
Figur. Gib die Koordinaten dann zu deinem Nachbarn und lasse ihn deine Figur zeichnen. Vergleiche dann mit deiner Figur!
Strecken, Vielecke, Umfang, Entfernungen
1.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(0/1) ; B(5/0) ; C(7/3) ; D(6/6) ; E(3/7) ; F(1/6) a.) Zeichne alle möglichen Verbindungsstrecken ein. b.) Bestimme den Umfang (u) des Sechsecks ABCDEF. c.) Lege eine Entfernungstabelle für alle Punkte an. 2.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein:
A(0/1) ; B(4/2) ; C(1/7) ; D(2/4) ; E(7/2) ; F(7/6) ; G(4/9) ; H(5/0) ; K(10/1) ; L(10/7) ; M(6/10) ; N(4/6) Benutze unterschiedliche Farben: a.) Zeichne das Dreieck ABC und bestimme seinen Umfang (u). b.) Zeichne das Viereck DEFG und bestimme seinen Umfang (u). c.) Zeichne das Fünfeck HKLMN und bestimme seinen Umfang (u). 3.) Zeichne eine beliebige Figur in ein Koordinatensystem und notiere die Koordinaten der Eckpunkte deiner
Figur. Gib die Koordinaten dann zu deinem Nachbarn und lasse ihn deine Figur zeichnen. Vergleiche dann mit deiner Figur!
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Geraden – Beziehungen zwischen Geraden Die Gerade ist eine gerade Linie, die keinen Anfangspunkt und keinen Endpunkt besitzt. Die Länge einer Geraden lässt sich also nicht messen. Aufgabe: Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen folgende Punkte ein: A(4/3) ; B(7/9) Information: Wie benötigen ein Koordinatensystem mit Rahmen, um die Unendlichkeit der Geraden in einem kleinem Ausschnittsfenster darstellen zu können.
a.) Zeichne Geraden durch den Punkt A. Wie viele Möglichkeiten gibt es? b.) Zeichne Geraden, die durch die Punkte A und B gehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt?
MERKE: 1.) Durch einen Punkt (A) kann
man unendlich viele Geraden zeichnen.
2.) Durch 2 Punkte lässt sich nur eine Gerade zeichnen. Man bezeichnet sie mit AB oder BA und nennt sie Verbindungs-gerade der Punkte A und B
3.) Geraden können auch mit klei-nen Buchstaben (g, h, k, usw.) bezeichnet werden.
Schnittpunkte: Aufgabe: Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen folgende Punkte ein: A(2/2) ; B(9/4) ; C(1/5) ; D(5/1) ; E(8/6) ; F(7/1) ; G(9/6) ; H(8/1)
a.) Zeichne die Geraden AB ; CD ; EF und GH. b.) Wie viele Schnittpunkte besitzen diese Geraden?
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Es gibt 5 Schnittpunkte, 3 innerhalb des Rahmens, 2 außerhalb des Rahmens, da die Geraden ja unend-lich lang sind und nicht am Rahmen enden. Die Geraden EF und GH schneiden sich auch außerhalb des Rahmens nicht, man sagt sie verlaufen parallel zueinander. Geraden in einem Zeichenfenster: Zeichne in ein 3 Zeichenfenster (8 cm lang, 5 cm breit) drei Geraden a, b, c ein, so dass sie sich:
a.) in einem Punkt schneiden. b.) in 3 Punkten schneiden. c.) Die Geraden a und b sollen sich in einem Punkt außerhalb des Zeichenfenster schneiden. Die Ge-
rade c soll die Geraden a und b auf dem Zeichenblatt schneiden. a.) b.) c.)
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Zueinander senkrechte Geraden Aufgabe: Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen folgende Punkte ein: P(0/6) ; Q(6/0) ; R(1/0) ; S(7/6)
a.) Zeichne die Geraden PQ, nenne sie g, zeichne die Gerade RS, nenne sie h. b.) Welche besondere Eigenschaft besitzen diese beiden Geraden g und h?
MERKE: Zwei Geraden g und h sind senkrecht zueinander, wenn die obere Spitze des Geodreiecks in eine der vier Öffnungen passt. Diese beiden Geraden bilden dann einen 90°-Winkel miteinander. Man schreibt abkürzend: g h oder h g⊥ ⊥
Trage jetzt den Punkt D(5/4) und den Punkt E(1/2) ein. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks die Senkrechte zu h durch D und dann die Senkrechte zu g durch E. Zueinander senkrechte Geraden lassen sich auch mit Hilfe der Mittellinie des Geodreiecks zeichnen.
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Aufgabe: Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen folgende Punkte ein: M(0/2) ; N(7/6) ; P(6/2) Zeichne die Gerade MN, nenne sie g. Bestimme dann den Abstand des Punktes P von g. Zeichne und mes-se! (Vergleich: Die Gerade g ist eine Straße, der Punkt P ein Haus. Welcher Weg ist der Abstand von der Straße zum Haus?)
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Der Abstand des Punktes P von der Geraden g beträgt 3 cm. MERKE: Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist die kürzeste Verbindung vom Punkt zur Geraden. Man erhält diesen Abstand, indem man die Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt P zeichnet.
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Senkrechte Geraden, Abstand 1.) Zeichne in den Rahmen eine beliebige Gerade g und markiere auf ihr 5 Punkte A, B, C, D und E. Zeich-
ne nun mit Hilfe des Geodreiecks durch jeden Punkt die Senkrechte zu g. 2.) Zeichne in den Rahmen eine beliebige Gerade h. Zeichne nun in den Rahmen 5 beliebige Punkte A, B,
C, D und E, die nicht auf h liegen. Zeichne nun durch jeden der 5 Punkte mit Hilfe des Geodreiecks die Senkrechte zu h.
3.) Zeichne in den Rahmen 3 Geraden g, h und k, die sich in einem Punkt schneiden.
Zeichne weiterhin einen beliebigen Punkt P, der auf keiner der drei Geraden liegt. Zeichne nun durch den Punkt P Geraden, die zu g, h und k senkrecht sind.
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4.) Bestimme die Abstände der Punkte R, S, T, V, W, Y von der Geraden g. Zeichne diese Abstände mit roter Farbe ein.
R g S T V W Y 5.) Bestimme die Abstände der Punkte A, B, C, D, E, F von der Geraden h und von der Geraden k. Zeichne
diese Abstände zur Geraden h mit roter Farbe ein, zeichne diese Abstände zur Geraden k mit blauer Farbe ein.
C A B D
h k E F 6.) Bestimme den Abstand vom Punkt A zur Geraden BC, den Abstand von Punkt B zur Geraden AC und
den Abstand des Punktes C von der Geraden AB. Zeichne diese Abstände mit roter Farbe ein.
Was fällt auf? C A B
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Zueinander parallele Geraden Aufgabe: Zeichne drei Geraden g, h und m so in ein Zeichenfenster ein, dass sie:
a.) 3 Schnittpunkte b.) 2 Schnittpunkte c.) 1 Schnittpunkt d.) keinen Schnittpunkt haben
a.) 3 Schnittpunkte b.) 2 Schnittpunkte c.) 1 Schnittpunkt d.) kein Schnittpunkt MERKE: Zwei Geraden g und h besitzen entweder einen Schnittpunkt oder keinen Schnittpunkt. Geraden, die keinen Schnittpunkt besitzen, nennt man parallel zueinander und schreibt abkürzend:
g h⊥
Aufgabe: 1.) Zeichne in ein Zeichenfenster (8 cm x 4 cm) eine Gerade g und ein Punkt P, der nicht auf g liegt. Zeich-
ne nun mit Hilfe des Geodreiecks die Parallele h zu g durch P.
g
P
h
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2.) Zeichne in ein Zeichenfenster (8 cm x 4 cm) eine Gerade m. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks eine Gerade s zu m, die 2 cm Abstand von m hat.
m
s
2 cm
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Parallele Geraden 1.) Zeichne in den Rahmen eine beliebige Gerade g. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks 5 weitere Ge-
raden a, b, c, d und e, die zu g parallel sind. 2.) Zeichne in den Rahmen eine Gerade g und markiere beliebig 5 Punkte A, B, C, D und E, die nicht auf
der Geraden liegen. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks durch jeden Punkt die Parallele zu g. 3.) Zeichne in den Rahmen drei beliebige Geraden g, h und k. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks drei
Geraden a, b und c, so dass gilt:
ag bh ck
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4.) Zeichne in den Rahmen eine beliebige Gerade g. Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks mit roter Farbe 2 Geraden a, b, die zu g parallel sind und mit grüner Farbe 2 weitere Geraden c, d, die zu g senkrecht sind.
g 5.) Zeichne in den Rahmen 4 Geraden g, h, k, m so ein, dass folgendes gilt:
g ⊥ h ; k || h ; m ⊥ h g 6.) Zeichne in den Rahmen 6 Geraden a, b, c, d, e, f so ein, dass folgendes gilt:
a ⊥ b ; b ⊥ c ; c || d ; d ⊥ e ; e || f. a Setze nun wie du es in deiner Zeichnung erkennen kannst das entsprechende Abkürzungszeichen (⊥ oder ||) in die folgenden Leerstellen ein:
a d ; c e ; f b ; e d ; a f ; f e
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Geometrie (1) 1.) Zeichne folgende vier Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(3/1) ; B(9/2) ; C(8/5) ; D(4/6) a.) Verbinde alle Punkte der Reihe nach und bestimme den Umfang des Vierecks.
b.) Wie weit ist der Punkt D von der Strecke AB entfernt? Zeichne und messe. 2.) Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: A(1/3) ; B(2/6) ; C(5/8) ; D(7/1) ; E(8/4) ; F(0/0) ; G(10/6) a.) Zeichne die Verbindungsgerade FG. b.) Die Punkte A, B, C, D und E sollen Städte auf einer Landkarte darstellen. Lege eine Entfernungs- tabelle an, mit deren Hilfe man alle Entfernungen, die zwischen den Städten bestehen, ablesen kann. c.) Die Verbindungsgerade FG soll eine Stromleitung darstellen. Zeichne und messe wie weit die fünf Städte auf dieser Karte von der Stromleitung entfernt sind. 3.) Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: R(2/2) ; S(7/1) ; T(7/5) ; P(5/8) ; V(1/6) ; X(0/9) ; Y(8/2) a.) Zeichne die Verbindungsgerade XY, nenne sie h. b.) Zeichne nacheinander jeweils die Senkrechte zu h durch die Punkte R, S, T und P. 4.) Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: R(2/2) ; S(6/1) ; T(7/5) ; P(4/8) ; V(1/6) ; X(2/0) ; Y(6/6) a.) Zeichne die Verbindungsgerade XY, nenne sie g. b.) Zeichne nacheinander jeweils die Parallele zu g durch die Punkte R, S, T und P. 5.) Zeichne in ein Koordinatensystem folgende Punkte ein: A(2/2) ; B(8/8) a.) Zeichne die Verbindungsgerade AB, nenne sie c. b.) Zeichne nacheinander auf beiden Seiten von c jeweils drei Punkte ein, die einen Abstand von 2 cm zur Geraden c besitzen. c.) Auf welchen besonderen Linien liegen diese Punkte jeweils? 6.) Zeichne in ein Koordinatensystem eine Gerade durch die Punkte T(3/1) und S(9/5). a.) Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks in einer anderen Farbe 3 weitere Geraden, die zu der Geraden TS parallel sind. b.) Zeichne nun mit Hilfe des Geodreiecks wieder mit einer anderen Farbe 3 weitere Geraden, die zu der Geraden TS senkrecht sind.
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7.) Zeichne folgende drei Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(3/1) ; B(7/2) ; C(4/6) a.) Zeichne nun die Verbindungsgeraden AB, BC und AC ein. b.) Zeichne nun mit dem Geodreieck die Senkrechte zu AB durch den Punkt C, die Senkrechte zu BC durch den Punkt A und die Senkrechte zu AC durch den Punkt B. Was fällt auf? 8.) Zeichne in den Rahmen sechs Geraden a, b, c, d, e und f so ein, dass folgendes gilt: a ⊥ b ; b ⊥ c ; c || d ; d ⊥ e ; e || f. Setze nun nach Deiner Zeichnung das entsprechende Abkürzungszeichen ( ⊥ oder || ) in die folgenden Leerstellen ein: a d ; c e ; f b ; e d ; a f ; f e 9.) Bestimme die Abstände des Punktes P von den Geraden a, b, c, d und e. a b P c d e 10.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: a.) A(2/1) ; D(1/4) ; Ergänze die Strecke AD zu einem Quadrat. b.) A(3/1) ; C(7/3) ; Ergänze zu einem Rechteck. c.) D(2/4) ; C(7/4) ; B(8/1) ; Ergänze zu einem Parallelogramm. d.) A(2/4) ; B(3/1) ; Ergänze zu einer Raute. e.) A(1/1) ; B(6/1) ; C(5/5) ; Ergänze zu einem Trapez.
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Besondere Vierecke
Einen Zollstock mitbringen! Weiße Blätter ohne Linien austeilen � Wer kann mit Hilfe des Zollstockes ein Quadrat bilden? Aufgabe: Zeichne auf das weiße Blatt eine beliebige Strecke AB = 4 cm. Ergänze diese Strecke zu einem Quadrat. Benenne die Eckpunkte mit A, B, C und D.
a.) Bestimme den Umfang des Quadrats. b.) Welche Seiten sind parallel, welche senkrecht zueinander? c.) Wie lang sind die Diagonalen des Quadrats? Zeichne und messe!
a.) u 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 16 cm
b.) AB CD AD BC
c.) AD AB AB BC BC CD CD AD
d.) AC BD 5,7 cm
= + + + =
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= =
� �
MERKE: Jedes Viereck, bei dem die benachbarten Seiten senkrecht zueinander und gleich lang sind, nennt man Quadrat. � Wer kann mit Hilfe des Zollstockes ein Rechteck bilden? Aufgabe: Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen 5 cm und 3 cm. Benenne die Eckpunkte mit A, B, C und D.
d.) Bestimme den Umfang des Rechtecks. e.) Welche Seiten sind parallel, welche senkrecht zueinander? f.) Wie lang sind die Diagonalen des Rechtecks? Zeichne und messe!
a.) u 5 cm 3 cm 5 cm 3 cm 16 cm
b.) AB CD AD BC
c.) AD AB AB BC BC CD CD AD
d.) AC BD 5,8 cm
= + + + =
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
= =
� �
MERKE: Jedes Viereck, bei dem die benachbarten Seiten senkrecht zueinander sind, nennt man Rechteck.
A B
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� Lehrer zeigt mit Hilfe des Zollstockes ein Parallelogramm. � Schüler nennen die Eigenschaften eines Parallelogramms.
AB CD und AD BC� �
� Schüler versuchen auf dem weißen Blatt ein Parallelogramm zu zeichnen. MERKE: Jedes Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind, nennt man Parallelo-gramm. Im Parallelogramm sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. � Lehrer zeigt mit Hilfe des Zollstockes eine Raute. � Schüler nennen die Eigenschaften einer Raute.
AB CD und AD BC� �
Die Diagonalen verlaufen senkrecht zueinander
AC BD⊥ � Schüler versuchen auf dem weißen Blatt eine Raute zu zeichnen. MERKE: Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten nennt man Raute.
A B
CD
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b
A
B
C
D
a
