FormelsammlungGeometrieBirgitVeraSchmidt9.Juni2009Inhaltsverzeichnis1 Notation 32 Allgemeines 42.1 Symmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Spiegelung, Drehung, Streckung, Scherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Allgemeine Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Analytisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Kreise 123.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Peripheriewinkelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Weitere Satze im Kreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Potenzgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Dreiecke 174.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Kongruenz undAhnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Satzgruppe von Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Satze im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Analytisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.1 Das Wichtigste auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.2 Beziehungen zwischen Langen und Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . 314.5.3 Wichtige Ungleichungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5.4 Formeln zum Inkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5.5 Formeln zum Umkreismittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.6 Formeln zum Lotfupunktdreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 Vierecke 425.1 Allgemeine Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Tangentenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4 Sehnentangentenvierecke (Bizentrische Vierecke) . . . . . . . . . . . . . . . . 465.5 Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Polygone 477 Quellen 4821 Notationd(P, g) bezeichnet den Normalabstand des PunktesPzur Geradeng.d(P, XY ) bezeichnetdenNormalabstanddesPunktesPzurTragergeradenvonXY .d(g, h) bezeichnet den Normalabstand der Geradeng undh, falls diese parallelsind, und hat andernfalls den Wert 0.[ABC] bezeichnet die Flache des DreiecksABC.[A1A2. . . An] bezeichnet die Flache des PolygonsA1A2. . . An.32 Allgemeines2.1 SymmetralenA BPgAbbildung 2.1: Eigenschaften von StreckensymmetralenSatz2.1(Eigenschaften von Streckensymmetralen). Seigdie Streckensymmetrale vonAB,also jene Normale auf die StreckeAB, die durch deren Halbierungspunkt geht. Dann enthaltggenau jene Punkte, die vonA undBgleich weit entfernt sind.Sei PeinPunktauf g, dannfolgtalsoPA=PB. DasDreieckAPBistfolglichgleich-schenkelig undgseine Hohe.ABSPFGwABSPXYwAbbildung 2.2: Eigenschaften von WinkelsymmetralenSatz 2.2 (Eigenschaften von Winkelsymmetralen).Sei w die (innere) Winkelsymmetrale vonASB, also jene Gerade durchS, die mitSA undSBden gleichen Winkel einschliet (undzwischendiesenbeidenliegt). Dannist jederPunkt Pauf wgleichweit vonASundBSentfernt (bez uglich des Normalabstandes), alsod(P, AS) = d(P, BS).Sei P einPunkt auf w, undseienF und GdieFupunkteder HohenvonP auf dieTragergeraden von AS und BS. Dann ist das Viereck SFPG ein Deltoid mit rechten WinkelninFundG.Sei PeinPunktauf w,undseienXundY dieSchnittpunktederNormalenauf wdurchPmit den Tragergeraden vonASundBS. Dann ist das DreieckSXY gleichschenkelig undwseine Hohe.42.2 Spiegelung,Drehung,Streckung,ScherungSatz2.3(EigenschaftenvonSpiegelungenaneinerGeraden). Bei einerSpiegelunganei-ner Geraden bleiben Strecken und Winkel gleich. Geraden werden wieder zu Geraden, Kreisewieder zu Kreisen.JedeFiguristkongruentzuihremBilduntereinerSpiegelunganeinerGeraden.Punkteauf der Spiegelungsgeraden selbst fallen mit ihrem eigenen Spiegelbild zusammen.SeienA

undB

dieSpiegelungenderPunkteAundBbez uglichderselbenSpiegelungsge-radeng.DannschneidendieVerbindungenAB

undBA

einanderauf g,undAA

B

Bistein gleichschenkeliges Trapez.(a)AllgemeinesBeispielABABg(b)Trapez zweier Punkte und ihrerSpiegelungenAbbildung 2.3: Eigenschaften von Spiegelungen an einer Geraden(a)AllgemeinesBeispielABAB(b) Parallelogrammzweier PunkteundihrerSpiegelungenAbbildung 2.4: Eigenschaften von Spiegelungen an einem PunktSatz 2.4 (Eigenschaften von Spiegelungen an einem Punkt).Eine Spiegelung an einem Punktentspricht einerRotationum180umdiesenPunkt. FolglichbleibenStreckenundWinkelgleich, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen.Jede Figur ist kongruent zu ihrem Bild unter einer Spiegelung an einem Punkt.SeienA

undB

dieSpiegelbilderderPunkteAundBbez uglichdesselbenSpiegelungs-punktes P. Dannist ABparallel zuA

B

undAB

parallel zuA

B, alsoist ABA

B

einParallelogramm.5ABCABC(a)DrehungABABC C ABC(b)ZentrischeStreckungAbbildung 2.5: Drehung und zentrische StreckungSatz 2.5 (Eigenschaften von Drehungen). Bez uglich einer Drehung bleiben Winkel und Stre-cken erhalten, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. Jede Figur istkongruent zu ihrem Bild unter einer Drehung um einen Punkt.Satz 2.6 (Eigenschaften von zentrischen Streckungen).Bez uglich einer zentrischen Streckungbleiben Winkel erhalten, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. JedeFigur ist ahnlich zu ihrem Bild unter einer zentrischen Streckung. Die Verhaltnisse von Stre-ckenbleibenerhalten.FlachenverhaltensichzueinanderwiedasQuadratdesVerhaltnissesder Seiten, Volumina wie die dritte Potenz dieses Verhaltnisses. Werden also Seiten um einenFaktors groer (bzw. kleiner), so werden Flachen um einen Faktors2groer (bzw. kleiner)und Volumina um einen Faktors3.SeienA

undB

die ausA undB durch dieselbe zentrische Streckung entstehenden Punkte,dann istA

B

parallel zuAB.A1A2A3A4A5A1A2A3A4A5Abbildung 2.6: Gemeinsamer Schnittpunkt ahnlicher Figuren in paralleler LageSatz 2.7 (Gemeinsamer Schnittpunkt ahnlicher Figuren).Sei A1A2. . . An eine Figur und seiA

1A

2. . . A

n eine dazu ahnliche Figur, deren Seiten parallel zu den entsprechenden Seiten derersten Figur sind, alsoAiAi+1A

iA

i+1f ur 1 i < n 1 undA1AnA

1A

n. Dann entstehtdiezweiteFigurausdererstendurcheinezentrischeStreckung, unddieVerbindungsgera-den einander entsprechender Punkte schneiden einander in einem Punkt, der gleichzeitig dasZentrum der Streckung ist.Konkret f urn = 3: SeienABCundA

B

C

zwei ahnliche Dreiecke mitABA

B

,BC B

C

undCA C

A

. DannschneidendieVerbindungenAA

, BB

undCC

einanderineinem Punkt.6ABABDDCC(a)StreckunganeinerGeradenABCD = DE = EF GABCFG(b)ScherungAbbildung 2.7: Streckung an einer Geraden und ScherungSatz2.8(EigenschaftenvonStreckungenaneinerGeraden). Bez uglicheinerStreckunginderEbeneaneinerGeraden(Dehnung)bleibenGeradenunddieVerhaltnissevonFlachenerhalten.Punkte auf der Geraden, an der gestreckt wird, bleiben unter der Streckung unverandert.SeienAundBzwei Punkteauf unterschiedlichenSeitenderGeraden, andergestrecktwird, und seienA

undB

die Bilder, die bei dieser Streckung entstehen. Dann schneiden dieVerbindungenABundA

B

einander auf der Geraden, an der gestreckt wird.Satz2.9(EigenschaftenvonScherungen). Bez uglicheinerScherungbleibenGeradenundFlacheninhalte erhalten.2.3 AllgemeineSatzefghAbbildung 2.8: ParallelwinkelsatzSatz2.10(Parallelwinkelsatz,Z-Satz). SeiengundhzweiparalleleGeradenundfeineweitere Gerade, die diese beiden schneidet. Dann schlietfmit beiden denselben Winkel ein.DieUmkehrunggilt ebenso: Schliet f mit zwei GeradendengleichenWinkel ein(aufderselben Seite vonf), dann sind diese beiden Geraden parallel.7ABCDP(a)GemeinsameHoheABPQM(b)GemeinsameSeiteAbbildung 2.9: Gemeinsame Hohe oder SeiteSatz 2.11 (Gemeinsame Hohe).Wenn vier Punkte A, B, C und D auf einer Geraden liegen,und seiPein Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt. Dann gilt f ur die Flacheninhalte:[ABP] : [CDP] = AB : CDSatz 2.12 (Gemeinsame Seite).Seien PAB und QAB zwei Dreiecke mit einer gemeinsamenSeiteAB. SeiMder Schnittpunkt vonPQ undAB. Dann gilt f ur die Flacheninhalte:[ABP] : [ABQ] = MP: MQABCABC(a)AllgemeinAB= BCAC(b)HaugerSpezialfallAB= BCAC(c)HaugerSpezialfallAbbildung 2.10: Gemeinsamer WinkelSatz2.13(Gemeinsamer Winkel). Wenn die Winkel ABCund A

B

C

gleich gro sindoder sich auf 180erganzen, dann gilt f ur die Flacheninhalte:[ABC][A

B

C

]=AB BCA

B

B

C8Auch die Umkehrung gilt: Wenn f ur die Flacheninhalte die obige Beziehung gilt, dann sinddie Winkel ABCund A

B

C

gleich gro oder erganzen sich auf 180.ABCABCX Y ZghAbbildung 2.11: Satz von PapposSatz2.14(Satz von Pappos). Seiengundh zwei Geraden und seienA,B,Cdrei Punkteauf gundA

, B

undC

dreiPunkteauf h.SeienweitersXderSchnittpunktvonBC

mitB

C,Yder Schnittpunkt vonCA

mitC

A undZder Schnittpunkt vonAB

mitA

B. DannliegenX,YundZauf einer Geraden.ABCABCPXYZAbbildung 2.12: Satz von DesarguesSatz 2.15 (Satz von Desargues). Seien ABC und A

B

C

zwei Dreiecke, sodass die TragergeradenvonAA

, BB

undCC

einanderineinemPunkt Pschneiden.SeiweitersXderSchnitt-punkt vonBCundB

C

,Yder Schnittpunkt vonCA undC

A

undZder Schnittpunkt vonABundA

B

. Dann liegenX,YundZauf einer Geraden.Die Umkehrung gilt ebenfalls: Wenn X, Yund Z auf einer Geraden liegen, dann schneidendie Tragergeraden vonAA

,BB

undCC

einander in einem Punkt.92.4 Analytisches2.4.1 TrigonometrischeFunktionenSatz2.16(Gegenseitige Darstellung).tan x =sin xcos xsin2x + cos2x = 1cot x =1tan xSatz2.17(Symmetrien).sin(x) = sin xcos(x) = cos xtan(x) = tan xSatz2.18(Periodizitat).sin(x + 2) = sin xcos(x + 2) = cos xtan(x +) = tan xSatz2.19(Phasenverschiebungen).sin_x +2_= cos xcos_x +2_= sin xSatz2.20(Additionstheoreme).sin(x +y) = sin xcos y + cos xsin ysin(x y) = sin xcos y cos xsin ycos(x +y) = cos xcos y sin xsin ycos(x y) = cos xcos y + sin xsin ytan(x +y) =tan x + tan y1 tan xtan ytan(x y) =tan x tan y1 + tan xtan ysin(x +y) sin(x y) = cos2y cos2xcos(x +y) cos(x y) = cos2y sin2xSatz2.21(Doppelwinkelformeln).sin(2x) = 2 sin xcos xcos(2x) = cos2x sin2x= 1 2 sin2x= 2 cos2x 1Satz2.22(Halbwinkelformeln).sin_x2_= _1 cos x2f urx [0, 2]cos_x2_= _1 + cos x2f urx [, ]Satz2.23(Quadrate).sin2x =12(1 cos(2x))cos2x =12(1 + cos(2x))tan2x =1 cos(2x)1 + cos(2x)Satz2.24(Summen).sin x + sin y = 2 sin x +y2cos x y2sin x sin y = 2 cos x +y2sin x y2cos x + cos y = 2 cos x +y2cos x y2cos x cos y = 2 sin x +y2sin x y2tan x + tan y =sin(x +y)cos xcos ytan x tan y =sin(x y)cos xcos y10Satz2.25(Produkte).sin xsin y =12 (cos(x y) cos(x +y))cos xcos y =12 (cos(x y) + cos(x +y))sin xcos y =12 (sin(x y) + sin(x +y))tan xtan y =tan x + tan ycot x + cot y= tan x tan ycot x cot ycot xcot y =cot x + cot ytan x + tan y= cot x cot ytan x tan ytan xcot y =tan x + cot ycot x + tan y= tan x cot ycot x tan ysin xsin y sin z =14 (sin(x +y z) + sin(y +z x) + sin(z +x y) sin(x +y +z))cos xcos y cos z =14 (cos(x +y z) + cos(y +z x) + cos(z +x y) + cos(x +y +z))sin xsin y cos z =14 (cos(x +y z) + cos(y +z x) + cos(z +x y) cos(x +y +z))sin xcos y cos z =14 (sin(x +y z) sin(y +z x) + sin(z +x y) + sin(x +y +z))Satz2.26(Abschatzung f ur den Sinus).sin xx2f ur 0 < x 2Satz2.27(Wichtige Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen). in (rad) sin cos tan 00 0 1 030 612323345 42222160 33212390 21 0 120 2332123180 0 1 0113 Kreise3.1 Grundlagenk1k2(a) Nebeneinanderliegendk1k2(b) In-einanderliegendAbbildung 3.1: Ber uhrende KreiseSatz3.1(Ber uhrendeKreise). Seienk1undk2zweiKreise,dieeinanderineinemPunktber uhren. Dannist der Abstandder Mittelpunktegleichder Summeder Radien, falls dieKreise nicht ineinander liegen, andernfalls die Dierenz der Radien.M1M2ABAbbildung 3.2: Schneidende KreiseSatz3.2(Schneidende Kreise). Seienk1undk2zweieinanderschneidendeKreisemitdenMittelpunktenM1undM2, undseienAundBdiebeidenSchnittpunktederKreise. Danngilt:Die DreieckeABM1undABM2sind gleichschenkelig.Die DreieckeM1AM2undM1BM2sind kongruent.Das ViereckAM1BM2ist ein Deltoid. ABsteht normal aufM1M2.Falls die beiden Kreise gleichen Radius haben, istAM1BM2eine Raute.12ABSAbbildung 3.3: Gleich lange TangentenSatz3.3(EigenschaftenvonTangenten,Eist utensatz,Chinesenh utchensatz). SeienAundBdie Ber uhrpunkte der beiden Tangenten von einem PunktPan den Kreisk, dann giltPA = PB.3.2 Peripheriewinkelsatz1802B ACDEMt(a) Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkelsatz, Sehnen-Tangentenwinkelsatz(b)SatzvonThalesAbbildung 3.4: Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkelsatz, Sehnen-TangentenwinkelsatzSatz 3.4 (Peripheriewinkelsatz).Seik ein Kreis,AB eine Sehne und seienCundD Punkteauf dem Kreis, die auf der gleichen Seite der Sehne liegen. Dann gilt ACB = ADB.Sei EeinPunkt auf demKreis, der auf der anderenSeiteder Sehneliegt. DanngiltAEB = 180 ACB.Auch die Umkehrungen gelten: Schliet ein PunktFmit der SehneAB den Winkel ACBoder 180 ACBein, dannliegt F auf demUmkreis vonABCauf der gleichenbzw.entgegengesetzten Seiten vonABwieC.Satz3.5(Zentriwinkelsatz). Sei keinKreis, ABeineSehne, undCeinPunkt auf demlangeren Kreisbogen uber dieser Sehne. Dann gilt AMB = 2 ACB.AuchdieUmkehrunggilt:Schliet CmitderSehneABdenWinkel12AMBein,dannliegtCauf dem Kreis.13Satz 3.6 (Sehnen-Tangentenwinkelsatz).Seik ein Kreis,AB eine Sehne undt die TangenteinA ank. Dann ist der Winkel zwischen der Tangentet und der SehneABgleich gro wieder Peripheriewinkel uber dieser Sehne.Auch die Umkehrung gilt: Schliet eine Gerade durch A mit AB einen Winkel ein, der gleichgro ist wie der Peripheriewinkel uber dieser Sehne, dann ist diese Gerade eine Tangente.Satz 3.7 (Satz von Thales).SeiAB ein Durchmesser des Kreisesk und seiCein Punkt aufdem Kreis. Dann gilt ACB = 90.DerSatzvonThalesisteinSpezialfall desPeripheriewinkelsatzes(f urdenFall,dassdieSehneABein Durchmesser ist). Entsprechend gelten auch hier die Umkehrungen.3.3 WeitereSatzeimKreisABCDTPghkAbbildung 3.5: Potenz eines PunktesSatz 3.8 (Potenz eines Punktes). Seik ein Kreis undPein Punkt, durch den zwei Geradeng undh gehen, die den Kreis schneiden. SeienA undB die Schnittpunkte der Geradeng mitdem Kreis k, und C und D jene der Geraden h mit dem Kreis k. Dann gilt PAPB = PCPD.FallsPauerhalbdesKreisesliegt,seiweitersTderBer uhrpunkteinerTangentevonPan den Kreisk. Dann gilt auchPA PB = PC PD = PT2.ABCDMPQXYAbbildung 3.6: Schmetterlingssatz14Satz 3.9 (Schmetterlingssatz). SeiPQ eine Sehne des Kreisesk und seiMder Mittelpunktdieser Sehne. SeienABundCD zwei weitere Sehnen, die beide durchMgehen. Die SehnenAD undBCschneidenPQ in den PunktenXundY . Dann istMauch der Mittelpunkt vonXY .AA BBM1M2T1T1T2T2k1k2Abbildung 3.7: NetzhautsatzSatz 3.10(Netzhautsatz). Seienk1und k2zwei einander nicht schneidendeKreisemitMittelpunktenM1undM2. SeienT1undT

1die Ber uhrpunkte der Tangenten vonM1ank2,und seienT2 undT

2 die Ber uhrpunkte der Tangenten vonM2 ank1. Die Verlangerungen derStreckenM1T1undM1T

1schneidenk1indenPunktenAundA

,unddieVerlangerungender StreckenM2T2undM2T

2schneidenk2inBundB

.Dann giltAA

= BB

.A BXAbbildung 3.8: Kreis des ApolloniusSatz3.11(KreisdesApollonius). GegebenseieneineStreckeABundeinepositivereelleZahl = 1. Dann ist die Menge der PunkteX, f ur die der Quotient der Abstande zuA undBgleich ist (alsoAX : XB = ), ein Kreis.Der Radius des Apolloniuskreises betragt|21| AB.Bist die Inversion des PunktesA am Apolloniuskreis.153.4 PotenzgeradenDenition (Potenz eines Punktes). Die Potenz eines PunktesPbez uglich eines Kreises mitMittelpunktMund Radiusr ist gegeben alsMP2r2. Sie entspricht also dem Quadrat derLange der Tangente vonPan den Kreis.M1M2k1k2M1M2k1k2Abbildung 3.9: PotenzgeradeSatz3.12(Potenzgerade). Seienk1undk2zwei nichtkonzentrischeKreise. DannistdieMenge aller Punkte, die bez uglich beider Kreise dieselbe Potenz haben, eine Gerade.Die Potenzgerade verlauft senkrecht zur Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte.WenndieKreiseeinander schneiden, dannverlauft diePotenzgeradedurchdiebeidenSchnittpunkte.Ber uhrendieKreiseeinander,soistdiePotenzgeradediegemeinsameTan-gente im Ber uhrpunkt.Satz3.13(TangentenvonPunktenaufderPotenzgeraden). Seienk1undk2zweiKreise,undsei PeinPunktaufderPotenzgeradendieserbeidenKreise.DannsinddieTangentenvonPank1undk2gleich lang.M1M2M3k1k2k3Abbildung 3.10: Schnitt dreier PotenzgeradenSatz 3.14 (Schnitt dreier Potenzgeraden).Seien k1, k2 und k3 drei nicht konzentrische Krei-se. Folglich besitzen je zwei dieser Kreise eine Potenzgerade. Diese drei Potenzgeraden schnei-den einander in einem Punkt.164 DreieckeFalls nicht anders angegeben, gelten im gesamten Kapitel uber Dreiecke folgende Bezeichnun-gen im DreieckABC:a = BCb = CAc = ABs =a +b +c2 = BAC = CBA = ACBha = d(A, BC) = Hohe auf BChb = d(B, AC) = Hohe auf AChc = d(C, AB) = Hohe auf ABI = Inkreismittelpunktr = InkreisradiusU= UmkreismittelpunktR = UmkreisradiusH = HohenschnittpunktS = SchwerpunktIA = Mittelpunkt des Ankreises uberBCIB = Mittelpunkt des Ankreises uberACIC = Mittelpunkt des Ankreises uberABrA = Radius des Ankreises uberBCrB = Radius des Ankreises uberACrC = Radius des Ankreises uberAB4.1 GrundlagenSatz 4.1 (Winkelsumme).Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks ist immer gleich 180.Satz4.2(Auenwinkel). JederAuenwinkel einesDreiecksistgleichgrowiedieSummeder beiden nicht anliegenden Innenwinkel.Satz 4.3 (Eigenschaften des Umkreises). Jedes DreieckABChat genau einen Umkreis, alsoeinen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte geht.Diedrei StreckensymmetralenderSeitenvonABCschneideneinanderineinemPunkt.Dieser ist von den drei Ecken gleich weit entfernt und somit der UmkreismittelpunktU.Der Umkreismittelpunkt liegt genau dann auerhalb des Dreieckes, wenn das Dreieck stumpf-winkelig ist.IneinemrechtwinkeligenDreieckfalltderUmkreismittelpunktmitdemHalbierungspunktder Hypotenuse zusammen.17A BCUMABMBCMAC(a)UmkreismittelpunktA BCI(b)InkreismittelpunktA BCH(c)HohenschnittpunktA BCMABMBCMACS(d)SchwerpunktABCIAIBIC(e)AnkreismittelpunktAbbildung 4.1: Wichtige Punkte18Satz4.4(EigenschaftendesInkreises). JedesDreieckABChat genaueinenInkreis, alsoeinen Kreis, der alle drei Seiten (von innen) ber uhrt.Diedrei WinkelsymmetralenderWinkel vonABCschneideneinanderineinemPunkt.DieseristvondendreiSeitengleichweitentfernt(bez uglichdesNormalabstandes)undistsomit der InkreismittelpunktI.Der Inkreismittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks.Satz 4.5 (Eigenschaften des Ankreises).Jedes Dreieck ABC hat zu jeder Seite einen Ankreis,also einen Kreis, der diese Seite von auen und die Verlangerungen der beiden anderen Seitenvon innen ber uhrt.DieWinkelsymmetraledesWinkels BACunddieAuenwinkelsymmetralenderbeidenanderenWinkel schneideneinanderineinemPunkt. Dieserist vondendrei Seiten(oderderenVerlangerungen)gleichweit entfernt (bez uglichdesNormalabstandes)undsomit derAnkreismittelpunktIAzur SeiteBC. Analog erhalt man die Mittelpunkte der beiden anderenAnkreise.Die Ankreismittelpunkte liegt immer auerhalb des Dreiecks.Satz4.6(EigenschaftendesHohenschnittpunktes). InjedemDreieckABCschneidendieHohen einander in einem Punkt, dem HohenschnittpunktH.Der Hohenschnittpunkt liegt auerhalb des Dreiecks genau dann, wenn das Dreieck stumpf-winkelig ist.In einem rechtwinkeligen Dreieck fallt der Hohenschnittpunkt mit dem der Hypotenuse ge-gen uberliegenden Eckpunkt zusammen.Satz4.7(VertauschbarkeitvonEckpunktundHohenschnittpunkt). WennHderHohen-schnittpunkt eines DreiecksABCist, dann istCder Hohenschnittpunkt des DreiecksABH.Satz 4.8 (Eigenschaften des Schwerpunktes). Die drei Schwerlinien eines Dreiecks ABC, alsodie Verbindungen der Seitenmittelpunkte mit den gegen uberliegenden Eckpunkten, schneideneinander in einem Punkt, dem SchwerpunktS.Der SchwerpunktSliegt immer innerhalb des Dreiecks.DerSchwerpunkt teilt alledrei SchwerlinienimVerhaltnis2: 1, wobei jeweilsderTeilzwischen Schwerpunktund Eckpunkt derlangere Teilist, also zumBeispiel SC= 2 SMAB(wobeiMABder Mittelpunkt vonABist).Analytisch lasst sich der Schwerpunkt berechnen alsS =A+B+C3.Satz4.9(FlacheeinesDreiecks). DieFlache[ABC] desDreiecksABCberechnetsichalsGrundlinie mal Hohe (auf die gewahlte Grundlinie) halbe, also [ABC] =aha2=bhb2=chc2.Alternativ dazu kann man die Flache auch berechnen als Inkreisradius mal halbem Umfang,also [ABC] = r a+b+c2= r s.Satz 4.10 (Heronsche Flachenformel).Sei s der halbe Umfang des Dreiecks ABC. Dann lasstsich die Flache des Dreiecks berechnen als [ABC] =_s (s a) (s b) (s c).19A BCUHSAbbildung 4.2: Eulersche GeradeSatz 4.11 (Eulersche Gerade). In jedem Dreieck liegen der Hohenschnittpunkt H, der Schwer-punktSund der UmkreismittelpunktUauf einer Geraden.Sliegt dabei zwischenHundU,und weiters giltHS : SU= 2 : 1.A BCUHMABAbbildung 4.3: Verhaltnis des oberen Hohenabschnitts zur UmkreismittelpunkthoheSatz4.12(VerhaltnisdesoberenHohenabschnittszurUmkreismittelpunkthohe). EsgiltHC : UMAB = 2 : 1, wobeiMABder Mittelpunkt der SeiteABist.(Analoges gilt f ur die beiden anderen Seiten.)A BCIAIXYAbbildung 4.4: Verhaltnis der Ber uhrpunkte von Inkreis und AnkreisSatz4.13(Verhaltnis der Ber uhrpunkte von Inkreis und Ankreis). Sei XderBer uhrpunktdes Inkreises mit der Seite BC und Yder Ber uhrpunkt des Ankreises zur Seite BC mit dieser.Dann giltCX = BY(und nat urlich auchBX = CY ).(Analoges gilt f ur die beiden anderen Seiten.)204.2 KongruenzundAhnlichkeitAbbildung 4.5: Zwei kongruente und ein zu diesen ahnliches DreieckSatz 4.14 (Kongruenzsatze). Die Kongruenz zweier Dreiecke ABC und A

B

C

ist aquivalentzu jeder der folgenden Bedingungen:Alle drei Paare einander entsprechender Seiten sind gleich lang, also zum Beispiel AB =A

B

,BC = B

C

undCA = C

A

.AlledreiPaareentsprechenderWinkel sindgleichgroundeineSeiteistgleichlang,alsozumBeispiel BAC=B

A

C

, CBA=C

B

A

, ACB=A

C

B

undAB = A

B

.Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleichground eine Seite ist gleich lang,alsozum Beispiel BAC = B

A

C

, CBA = C

B

A

undAB = A

B

.ZweiPaareeinanderentsprechenderSeitensindgleichlangunddievonihneneinge-schlossenenWinkel sindgleichgro, alsozumBeispiel AB=A

B

, BC=B

C

undCBA = C

B

A

.Zwei Paare einander entsprechender Seiten sind gleich lang und die der langeren dieserSeiten gegen uberliegenden Winkel sind gleich gro, also zum Beispiel AB = A

B

, BC =B

C

,AB BCund ACB = A

C

B

.Alle drei Paare einander entsprechender Seiten sind zueinander parallel, und eine Seiteist gleich lang, also zum Beispiel ABA

B

,BCB

C

,CAC

A

undAB = A

B

.Satz 4.15 (Ahnlichkeitssatze). DieAhnlichkeit zweier Dreiecke ABC und A

B

C

ist aquivalentzu jeder der folgenden Bedingungen:Die Dreiecke sind kongruent.Alledrei PaareentsprechenderWinkel sindgleichgro, alsozumBeispielBAC=B

A

C

, CBA = C

B

A

und ACB = A

C

B

.Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich gro, also zum Beispiel BAC = B

A

C

und CBA = C

B

A

.Alle drei Verhaltnisse einander entsprechender Seiten sind gleich gro, also AB : A

B

=BC : B

C

= CA : C

A

.Alledrei PaareeinanderentsprechenderSeitensindzueinanderparallel, alsoABA

B

,BCB

C

undCAC

A

.21ABABghSAbbildung 4.6: StrahlensatzSatz4.16(Strahlensatz). Sei SeinPunkt, vondemzwei Strahlenausgehen, undseiengundh zwei parallele Geraden, die beide nicht durchSgehen. gschneide die beiden Strahlenin den PunktenA undB,h in den PunktenA

undB

. Dann gilt:SA : SA

= SB : SB

= AB : A

B

Umgekehrtgilt:Wenn5PunktedieobigeBedinungerf ullen,dannsinddieStreckenABundA

B

zueinander parallel.4.3 SatzgruppevonPythagorasSei ABCeinrechtwinkeligesDreieckmitrechtemWinkel inC. Sei c=ABdieLangederHypotenuse und seiena undb die Langen der KathetenBCundAC.A BCFa bchp qAbbildung 4.7: Satzgruppe von PythagorasSatz4.17(Satz von Pythagoras). In diesem Dreieck gilta2+b2= c2.Die Umkehrung gilt ebenso: Wenn in einem Dreieck der Satz des Pythagoras gilt, dann istdas Dreieck rechtwinkelig.Satz4.18(Hohensatz). Sei FderFupunktderHoheauf AB, hdieLangedieserHohe,p = AFundq = FB. Dann gilth2= p q.Die Umkehrung gilt ebenso: Gilt in einem Dreieck der Hohensatz, so ist das Dreieck recht-winkelig.Satz4.19(Kathetensatz). Weiters giltb2= p c unda2= q c.224.4 SatzeimDreieckA BCFFAbbildung 4.8: S udpolsatzSatz 4.20 (S udpolsatz). SeiABCein Dreieck. Dann schneiden die Streckensymmetrale vonABund die Winkelsymmetrale von ACBeinander auf dem Umkreis des Dreiecks.Auch die Auenwinkelsymmetrale von ACB und die Streckensymmetrale vonAB schnei-den einander auf dem Umkreis.Die Umkehrung gilt ebenfalls: Seien Fund F

die Schnittpunkte der Streckensymmetrale vonABmit dem Umkreis vonABC, dann halbierenCFundCF

den Winkel bzw. AuenwinkelinC.A BCX(a)WinkelsymmetraleA BCXa bcm nt(b)SatzvonStewartAbbildung 4.9: Teilungsverhaltnisse von EcktransversalenSatz 4.21(Teilungsverhaltnis der Winkelsymmetrale). Sei ABCeinDreieckundXderSchnittpunkt der Winkelsymmetrale inCmit der SeiteAB. Dann giltAX : XB = AC : CB.Sei XderSchnittpunktderAuenwinkelsymmetraleinCmitderVerlangerungderSeiteAB, dann gilt dasselbe Verhaltnis.Satz4.22(SatzvonStewart). Sei ABCeinDreieck, geineGeradedurchCundXderSchnittpunktvongmitderSeiteAB(wobei gdieSeiteABzwischenAundBschneidet).Sei m =AX, n =XB, t =CX, und wie gewohnta =BC, b =ACundc =AB =m + n.Dann giltc(t2+mn) = ma2+nb2, oder umgeformtt2=ma2+nb2m+nmn.Satz4.23(Satz von Steiner-Lehmus). JedesDreieckmitzweigleichlangenWinkelsymme-tralen ist gleichschenkelig.23A BCXYZPAbbildung 4.10: Satz von Ceva, Satz von Euler-GergonneSatz4.24(SatzvonCeva). Sei ABCeinDreieck, PeinPunktimInnerendesDreiecks,undseienX, Y undZdieSchnittpunkederVerlangerungenvonAPmitBC,vonBPmitCA und vonCPmitAB. Dann gilt:AZZBBXXCCYY A= 1AuchdieUmkehrunggilt: Fallsf urdrei PunkteX, Y undZauf BC, CAundABdieobige Gleichung gilt, dann schneiden die VerbindungenAX,BYundCZeinander in einemPunkt.Der Satz von Ceva gilt auch f ur Punkte auerhalb des Dreiecks, allerdings muss man dabeigerichtete Teilverhaltnisse verwenden wie beim Satz von Menelaos (Satz 4.28).Satz4.25(SatzvonCevainSinus-Darstellung). Sei ABCeinDreieck, PeinPunkt imInnerendesDreiecks,undseienX, Y undZdieSchnittpunkederVerlangerungenvonAPmitBC, vonBPmitCA und vonCPmitAB. Dann gilt:sin BAXsin CAX sin ACZsin BCZ sin CBYsin ABY= 1AuchdieUmkehrunggilt: Fallsf urdrei PunkteX, Y undZauf BC, CAundABdieobige Gleichung gilt, dann schneiden die VerbindungenAX,BYundCZeinander in einemPunkt.Satz4.26(SatzvonEuler-Gergonne). Sei ABCeinDreieck, PeinPunktimInnerendesDreiecks, undseienX, Y undZdieSchnittpunkederVerlangerungenvonAP mit BC,vonBP mit CAundvonCP mit AB. Sei weiters u=AP : PX, v =BP : PY undw = CP: PZ. Dann gilt:11 +u +11 +v +11 +w= 124A BCXYZRSTAbbildung 4.11: Satz von RouthSatz4.27(SatzvonRouth). Sei ABCeinDreieckundseienX, Y undZdrei beliebigePunkteauf BC, CAundAB,sodassdieVerbindungenAX, BY undCZeinDreieckRSTimInnerenvonABCeinschlieen. Sei x=BX: XC, y=CY : Y Aundz=AZ: ZB.Dann gilt f ur das Verhaltnis der Flachen:[RST][ABC]=(1 xyz)2(xy +y + 1)(yz +y + 1)(zx +z + 1)A BCXYZAbbildung 4.12: Satz von MenelaosSatz 4.28 (Satz von Menelaos). F ur diesen Satz benotigen wir zuerst den Begri des gerich-teten Teilverhaltnisses. Dieses ist betragsmaig gleich dem normalen TeilverhaltnisAZ : ZB,ist aber negativ genau dann, wennAZundZB entgegengesetzt orientiert sind, was wiederumgenau dann eintritt, wennZnicht zwischenA undBliegt.Sei ABCeinDreieckund g eineGerade, diedieSeitenBC, CAund AB(oder ihreVerlangerungen) inX,YundZschneidet. Dann gilt:AZZBBXXCCYY A= 1Auch die Umkehrung gilt: Wenn f ur drei Punkte X, Yund Zauf den Seiten eines DreiecksABCdie obige Gleichung gilt, dann sindX,YundZkollinear.25A BCPXYZAbbildung 4.13: Simsonsche GeradeSatz4.29(Simsonsche Gerade). SeiPein Punkt auf dem Umkreis des DreiecksABCundseienX,YundZdie Fupunkte der Hohen vonPauf die Seiten des Dreiecks. Dann liegenX,YundZauf einer Geraden.AuchdieUmkehrunggilt: WenndieFupunktederHohenvonPauf dieDreiecksseitenauf einer Geraden liegen, dann liegtPauf dem Umkreis des Dreiecks.A BCHUFAbbildung 4.14: Feuerbach-KreisSatz4.30(Feuerbach-Kreis,Neun-Punkte-Kreis,Euler-Kreis). DieSeitenmittelpunkte,dieHohenfupunkteunddieMittelpunktederoberenHohenabschnitte(VerbindungenvonHzuden Eckpunkten) liegen auf einem Kreis. Der MittelpunktFdieses Kreises liegt auf der Eu-lerschen Geraden und halbiertHU.Der Radius des Feuerbach-Kreises ist halb so gro wie der Umkreisradius.Der Inkreis ber uhrt den Feuerbachkreis von innen in einem Punkt. (Dieser Punkt wird auchalsFeuerbach-PunktdesKreisesbezeichnet.)Auerdember uhrtderFeuerbachkreisalledreiAnkreise von auen jeweils in einem Punkt.26A BCHAbbildung 4.15: Inkreis des Hohenfupunktdreiecks und Spiegelung des HohenfupunktesSatz4.31(Inkreis des Hohenfupunktdreiecks). Die Hohen in einemspitzwinkeligen Drei-eck halbieren die Innenwinkel des Hohenfupunktdreiecks. Folglich ist der Hohenschnittpunkteines Dreiecks gleichzeitig der Inkreismittelpunkt des Hohenfupunktdreiecks.Satz 4.32 (Spiegelung des Hohenfupunktes).Spiegelt man in einem spitzwinkeligen Dreieckden Hohenschnittpunkt an den Seiten, so liegen die Bildpunkte auf dem Umkreis des Dreiecks.A BCXYZPAbbildung 4.16: Miquelscher PunktSatz4.33(Miquelscher Punkt). SeiABCein Dreieck und seienX,Y undZdrei beliebigePunkteauf BC, CAundAB. DannschneidendieUmkreisevonAY Z, BZXundCXYeinander in einem Punkt.27ABCFAbbildung 4.17: Fermat-PunktSatz4.34 (Fermat-Punkt). SeiABCein Dreieck, in dem alle Winkel kleiner als 120sind,undsei PeinPunktimInneren,sodassAP+ BP+ CPminimal ist.Danngilt APB=BPC = CPA = 120.AuchdieUmkehrunggilt:IstPeinPunktimInnereneinesDreiecks,dessenWinkel allekleiner als 120sind, dann istAP +BP +CPminimal.Der Fermat-Punkt ist eindeutig.ABCPQAbbildung 4.18: Punkt auf dem Umkreis eines gleichseitigen DreiecksSatz4.35 (Punkt auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks). SeiPein Punkt auf demUmkreiseinesgleichseitigenDreiecks ABC, dernicht mit einemEckpunkt zusammenfallt.APschneide die SeiteBCinQ. Dann giltPB +PC = PA und1PB +1PC=1PQ.A BCXYZGAbbildung 4.19: Gergonne-PunktSatz 4.36 (Gergonne-Punkt).Sei ABC ein Dreieck und seien X, Yund Z die Ber uhrpunktedes Inkreises mit den SeitenBC,CA undAB. Dann schneiden die VerbindungenAX,BYundCZeinander in einem PunktG.28ABCXYZNAbbildung 4.20: Nagel-PunktSatz4.37(Nagel-Punkt). Sei ABCeinDreieckundseienX, Y undZdieBer uhrpunkteder Ankreise mit den SeitenBC,CA undAB. Dann schneiden die VerbindungenAX,BYundCZeinander in einem PunktN.A BCABCPAbbildung 4.21: Kiepert-DreieckSatz4.38(Kiepert-Dreieck).UberdenSeitendesDreiecks ABCwerdendrei zueinanderahnliche gleichschenkelige Dreiecke ABC

, AB

C und A

BC errichtet, wobei die Punkte A

, B

undC

jeweils den Basen in den gleichschenkeligen Dreiecken gegen uberliegen. Dann schnei-den die VerbindungenAA

,BB

undCC

einander in einem PunktP.29A BCPKAbbildung 4.22: Isogonal konjugierter PunktSatz4.39(IsogonalkonjugierterPunkt). Sei PeinPunktimInnerendesDreiecksABC.Spiegelt man die Tragergeraden von AP,BPund CPan den Winkelsymmetralen der WinkelinA,BundC, so schneiden diese Spiegelbilder einander in einem Punkt.A BCSLAbbildung 4.23: Lemoine-PunktDenition(Symmediane). Das Spiegelbild einer Schwerlinie an der Winkelsymmetrale, dievom gleichen Eck ausgeht, nennt man Symmediane.Satz4.40(Lemoine-Punkt). Diedrei SymmedianeneinesDreiecksschneideneinanderineinem PunktL. Dieser ist per denitionem der isogonal konjugierte Punkt zum Schwerpunkt.304.5 AnalytischesAlle Bezeichnungen seien weiterhin wie am Anfang des Kapitels auf Seite 17 festgelegt, undsei weitersF= [ABC] die Flache vonABC. Manche Formeln sind aus Platzgr unden nur f ureine der drei Seiten angegeben, gelten aber nat urlich auch f ur die beiden anderen.4.5.1 DasWichtigsteaufeinenBlick|a b| < c < a +b|b c| < a < b +c|c a| < b < c +a + + = 180asin =bsin =csin = 2Rc2= a2+b22ab cos abc = 4Rrsab +bc +ca = s2+ 4Rr +r2a +b +c = 2sF= rsR 2r mit Gleichheit genau im gleichseitigen DreieckIU2= R22Rr4.5.2 BeziehungenzwischenLangenundWinkelnSatz4.41(Winkelsumme). + + = 180Satz4.42(Sinussatz).asin =bsin =csin = 2RSatz4.43(Erweiterter Sinussatz).a = 2Rsin b = 2Rsin c = 2Rsin R =abc4FSatz4.44(Tangentensatz).b +cb c=tan+2tan2=cot2tan2a +ca c=tan+2tan2=cot2tan2b +ab a=tan+2tan2=cot2tan2Satz4.45(Projektionssatz).a = b cos +c cos b = c cos +a cos c = a cos +b cos 31Satz4.46(Cosinussatz).c2= a2+b22ab cos cos =a2+b2c22abc2+ 2ab cos =a2+b2+c22a2= b2+c22bc cos cos =b2+c2a22bca2+ 2bc cos =a2+b2+c22b2= c2+a22ca cos cos =c2+a2b22cab2+ 2ca cos =a2+b2+c22Satz4.47(Winkelbeziehungen).sin = sin( +)cos = cos( +)tan = tan( +)cot = cot( +)sin 2= sin_ +2_cos 2= cos_ +2_tan 2= cot_ +2_cot 2= tan_ +2_sin( ) = 2 sin cos sin = sin 2 cos sin cos( ) = 2 cos cos + cos = 2 sin sin cos sin_ 2_=sin sin 2 sin2cos_ 2_=sin + sin 2 cos2sin + sin + sin = 4 cos 2 cos 2 cos 2cos + cos + cos = 1 + 4 sin 2 sin 2 sin 2tan + tan + tan = tan tan tan cot cot + cot cot + cot cot = 1tan 2 tan 2+ tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2= 1cot 2+ cot 2+ cot 2= cot 2 cot 2 cot 2=srSatz4.48(Beziehungen von Winkeln mit Langen).sin + sin + sin =sRcos + cos + cos = 1 +rRsin 2 + sin 2 + sin 2 =abc2R3sin sin sin =abc8R3=rs2R3=14(sin 2 + sin 2 + sin 2)32Satz4.49(Mollweidesche Formeln).b +ca=cos2sin2b ca=sin2cos2c +ab=cos2sin2c ab=sin2cos2a +bc=cos2sin2a bc=sin2cos2Satz4.50(Halbwinkelsatze).sin 2=_(s b)(s c)bccos 2=_s(s a)bctan 2=(s b)(s c)s(s a)Satz4.51(Formeln mit dem halben Umfang).s a =b +c a2s b =c +a b2s c =a +b c2(s b) + (s c) = a(s c) + (s a) = b(s a) + (s b) = c(s a) + (s b) + (s c) = ss = 4Rcos 2 cos 2 cos 2s a = 4Rcos 2 sin 2 sin 233Satz4.52(Flacheninhalt).F=_s (s a) (s b) (s c) =14_(a +b +c) (b +c a) (c +a b) (a +b c)F=14_2 (b2c2+c2a2+a2b2) (a4+b4+c4)F=12bc sin =12ca sin =12ab sin F=12aha =12bhb =12chcF= 2R2sin sinsinF=abc4RF= rs = ra (s a) = rb (s b) = rc (s c)F= rrarbrcF= 4rRcos2cos2cos2F= s2tan2tan2tan2Satz4.53(In- und Ankreisradien).r = (s a) tan 2= (s b) tan 2= (s c) tan 2r = 4Rsin 2 sin 2 sin 2= s tan 2 tan 2 tan 2r = R(cos + cos + cos 1)r =Fs=abc4Rsr =_(s a) (s b) (s c)s=12_(b +c a) (c +a b) (a +b c)a +b +cr =acot2 + cot2=bcot2 + cot2=ccot2+ cot2ra = s tan 2= (s b) tan 2= (s c) tan 2ra = 4Rsin 2 cos 2 cos 2= (s a) tan 2 cot 2 cot 2ra = R(cos + cos + cos + 1)ra =Fs a=abc4R(s a)ra =_s (s b) (s c)s a=12_(a +b +c) (c +a b) (a +b c)b +c a34ab +bc +ca = s2+r2+ 4rR1r=1ra+1rb+1rcSatz4.54(Hohen).ha = b sin = c sin =2Fa= 2Rsin sin hb = c sin = a sin =2Fb= 2Rsin sin hc = a sin = b sin =2Fc= 2Rsin sin ha =acot + cot hb =bcot + cot hc =ccot + cot ha =2a_s(s a)(s b)(s c)hb =2b_s(s a)(s b)(s c)hc =2c_s(s a)(s b)(s c)F=12aha =12bhb =12chc1ha+1hb+1hc=1r=1ra+1rb+1rcha +hb +hc =s2+ 4Rr +r22Rhahb +hbhc +hcha =2rs2Rhahbhc =2r2s2RSatz4.55(Schwerlinien). Seiensa = AMBC,sb = BMCAundsc = CMABdie Langen derSchwerlinien.sa =12_2b2+ 2c2a2=12_b2+c2+ 2bc cos =_a24+bc cos sb =12_2c2+ 2a2b2=12_c2+a2+ 2ca cos =_b24+ca cos sc =12_2a2+ 2b2c2=12_a2+b2+ 2ab cos =_c24+ab cos s2a +s2b +s2c =34_a2+b2+c2_35Satz4.56(Winkelsymmetralen). Seienwa, wbundwcdieLangendervonA, BundCausgehenden Winkelsymmetralen, also jeweils der Abstand des Eckpunktes zum Schnittpunktder Winkelsymmetralen mit der gegen uberliegenden Seite.wa =bc_1 a2(b +c)2_=2bc cos2b +c=2Fa cos2wb =ca_1 b2(c +a)2_=2ca cos2c +a=2Fb cos2wc =ab_1 c2(a +b)2_=2ab cos2a +b=2Fc cos232s < ma +mb +mc< 2sSatz4.57(Beziehungen von Seitenlangen und Radien).abc = 4Rrsab +bc +ca = s2+ 4Rr +r2a +b +c = 2sa2+b2+c2= 2(s24Rr r2)a3+b3+c3= 2s(s26Rr 3r2)Satz 4.58(Abstandeder besonderenPunkteimDreieck). Sei rhderUmkreisradius desHohenfupunktdreiecks.IU2= R22RrUH2= 9R2(a2+b2+c2)= R24RrhIH2= 2r24R2cos cos cos SH2= 4R2 49(a2+b2+c2)US2= R2 19(a2+b2+c2)=14SH2SI2= r2112(a +b +c)2+ 29(a2+b2+c2)Satz 4.59 (Winkel HCU). In einem Dreieck ABC mit den obigen Bezeichnungen gilt HCU=| |.364.5.3 WichtigeUngleichungenimDreieckSatz4.60(Dreiecksungleichung).|a b| < c< a +b|b c| < a< b +c|c a| < b< c +aSatz4.61(Dreiecksungleichung mit dem halben Umfang).s > as > bs > cSatz4.62(Ungleichungen mit den Radien).R 2r mit Gleichheit genau im gleichseitigen Dreieck2s 33RSatz4.63(Ungleichungen mit den Winkeln).1 < sin 2+ sin 2+ sin 2320 < sin + sin + sin 3320 < sin sin sin 3381 < cos + cos + cos 321 < cos cos cos 182 < cos 2+ cos 2+ cos 2 3320 < sin 2 sin 2 sin 2180 < cos 2 cos 2 cos 2338Satz4.64(Ungleichungen mit verschiedenen Abstanden).s2 r(16R 5r) r(15R 3r) r(14R r) 27Rr2 r(10R + 7r) 27r2s2 4R2+ 4Rr + 3r2 (2R +r)2+R22(4R +r)2327R24374.5.4 FormelnzumInkreismittelpunktSeienD, EundFdieSchnittpunktederWinkelsymmetraleninA, BundCmitdenge-gen uberliegendenSeiten,seienwa=AD, wb=BEundwc=CFdieLangenderWinkel-symmetralen, und seien R, S, und Tdie Fupunkte der Hohen des Inkreismittelpunktes I aufdie SeitenBC,CA undAB.A BCDEFIbca+bcaa+bcab+cabb+cabc+abcc+aA BCRSTIs as bs bs cs cs aAbbildung 4.24: InkreismittelpunktSatz4.65(Oensichtliches).RI = SI = TI = rAT= s aBT= s bBR = s bCR = s cCS = s cAS = s aSatz4.66(Ber uhrpunkte).SIT= 180 = +TIR = 180 = +RIS = 180 = +tan 2=rs atan 2=rs btan 2=rs cSatz4.67(Winkel).BAI = CAI =2CBI = ABI =2ACI = BCI =2BIC = 90 +2CIA = 90 +2AIB = 90 +2ADB = +2 = 90 2BEC = +2 = 90 2CFA = +2 = 90 2CDA =2+= 90 + 2AEB =2+ = 90 + 2BFC =2 += 90 + 238CIE = BIF= 90 2= +2AIF= CID = 90 2= +2BID = AIE = 90 2= +2Satz4.68(Langen).AF=bca +bBF=caa +bBD =cab +cCD =abb +cCE =abc +aAE =bcc +aAI =b +c2s AD =bcscos 2=rsin2BI =b +c2s BE =cascos 2=rsin2CI =b +c2s CF=abscos 2=rsin2DI =a2sADEI =b2sBEFI =c2sCFAIDI=b +caBIEI=c +abCIFI=a +bcSatz4.69(Flachen).[BIC] =ra2[CIA] =rb2[AIB] =rc2[ABC] = rs394.5.5 FormelnzumUmkreismittelpunktSeienD,EundFdie Mittelpunkte SeitenBC,CA undAB.A BCUFD EAbbildung 4.25: UmkreismittelpunktSatz4.70(Oensichtliches).AU= BU= CU= RDU= R|cos |EU= R|cos |FU= R|cos |a = 2Rsin b = 2Rsin c = 2Rsin Satz4.71(Winkel).BUC = 2CUA = 2AUB = 2BUD = CUD = CUE = AUE = AUF= BUF= DUE = +EUF= +FUD = +BCU= CBU= 90 CAU= ACU= 90 ABU= BAU= 90 Satz4.72(Flachen).[BUC] =R22 |sin 2| =aR2 |cos |[CUA] =R22 |sin 2| =aR2 |cos |[AUB] =R22 |sin 2| =aR2 |cos |404.5.6 FormelnzumLotfupunktdreieckSeiABCein Dreieck undPein beliebiger Punkt. Seien weitersX,YundZdie Fupunkteder Hohen (Lote) vonPaufBC,CA undAB.A BCPXYZAbbildung 4.26: LotfupunktdreieckSatz4.73(Seitenlangen des Lotfupunktdreiecks).XY=CP AB2RY Z =AP BC2RZX =BP CA2R415 ViereckeSatz 5.1 (Winkelsumme).Die Summe der vier Winkel eines Vierecks ist immer gleich 360.Satz 5.2(Hierarchiespezieller Vierecke). Unter denspeziellenViereckenherrscht dieinAbbildung 5.1 abgebildete Hierarchie. Jede Verbindungslinie bedeutet, dass das untere Viereckein Spezialfall des oberen ist.Abbildung 5.1: Hierarchie spezieller ViereckeSatz5.3(Inkreis). FolgendespezielleViere-cke habenimmer einen Inkreis:DeltoidRaute (Rhombus)QuadratFolgende spezielle Vierecke haben nie einenInkreis:Parallelogramm (auer Raute)Rechteck (auer Quadrat)42Satz 5.4 (Umkreis). Folgende spezielle Vier-ecke habenimmer einen Umkreis:Gleichschenkeliges TrapezRechteckQuadratFolgende spezielle Vierecke haben nie einenUmkreis:Konkaves ViereckTrapez (auer gleichschenkeliges Tra-pez)Parallelogramm (auer Rechteck)Raute (auer Quadrat)Ein Deltoid hat genau dann einen Umkreis,wenndiebeidengleichgroenWinkel genau90betragen.Satz5.5(Diagonalen). Beifolgendenspezi-elleViereckenhalbierendieDiagonalenein-ander immer:ParallelogrammRauteRechteckQuadratBei folgendenspezielleViereckenstehendieDiagonalen immer aufeinander normal:DeltoidRauteQuadrat5.1 AllgemeineViereckeABCDMabcdefAbbildung 5.2: Allgemeines ViereckSatz 5.6 (Halbierung von Diagonale und Flache). Wenn eine Diagonale ein Viereck in zweiachengleiche Halften teilt, dann halbiert sie auch die andere Diagonale.Auch die Umkehrung gilt: Halbiert eine Diagonale die andere, so halbiert sie auch die Flachedes Vierecks.Satz5.7(Fliegensatz). Sei ABCDeinViereckundMderSchnittpunkt derDiagonalen.Dann gilt f ur die Flachen [ABM] [CDM] = [BCM] [DAM].43Satz5.8(Ungleichung von Ptolemaus). Seiena =AB, b =BC, c =CDundd =DAdieSeitenlangenunde =ACundf=BDdieLangenderDiagonaleneinesVierecksABCD.Dann gilta c +b d e fmit Gleichheit im Sehnenviereck.Satz5.9(BretschneidersFormel). Sei ABCDeinViereckmitdenSeitenlangena=AB,b =BC, c =CDundd =DA,seiweiterss =a+b+c+d2derhalbeUmfangundseienunddieWinkel inzwei gegen uberliegendenEckpunkten. Dannlasst sichdieFlache[ABCD]folgendermaen berechnen:[ABCD] =(s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos2_ +2_ABCDEFGHAbbildung 5.3: Varignon-ParallelogrammSatz5.10(Varignon-Parallelogramm). Sei ABCDeinViereckundseienE, F, GundHdie Mittelpunkte seiner Seiten. Dann istEFGHein Parallelogramm. Der Flacheninhalt vonEFGHist halb so gro wie jener vonABCD.5.2 SehnenviereckeEin SehnenviereckABCD ist ein nicht uberschlagenes Viereck mit einem Umkreis.ABCDMABCDSabcdefAbbildung 5.4: Sehnenviereck44Satz 5.11 (Gegen uberliegende Winkel). In einem Sehnenviereck erganzen sich gegen uberliegendeWinkel immer auf 180.Umgekehrtgilt:Erganzensichgegen uberliegendeWinkel ineinemViereckauf180,dannhandelt es sich um ein Sehnenviereck.Satz5.12(Umkreismittelpunkt). DievierStreckensymmetralenderSeiteneinesSehnen-vierecks schneiden einander im Umkreismittelpunkt.Umgekehrt gilt: Schneiden die vier Streckensymmetralen eines Vierecks einander in einemPunkt, so handelt es sich um ein Sehnenviereck.Satz 5.13 (Ahnliche Dreiecke).Sei S der Schnittpunkt der Diagonalen. Dann sind die Dreie-ckeABS undCDS zueinander ahnlich. Analog sind die DreieckeBCS undDAS zueinanderahnlich.Satz5.14(Diagonalenabschnitte). Sei SderSchnittpunktderDiagonalen.Danngilt AS CS = BS DS. (Vergleiche Potenz eines Punktes, Satz 3.8.)Satz 5.15(SatzvonPtolemaus). Seiena=AB, b =BC, c =CDundd=DAdieSeitenlangen und e = AC und f= BD die Langen der Diagonalen. Dann gilt ac+bd = ef.Satz5.16(SatzvonBrahmagupta). Seiena=AB, b=BC, c=CDundd=DAdieSeitenlangenunds=a+b+c+d2derhalbeUmfangdesSehnenvierecks. Dannlasst sichdieFlache berechnen als [ABCD] =_(s a)(s b)(s c)(s d).5.3 TangentenviereckeEin TangentenviereckABCD ist ein Viereck mit einem Inkreis.ABCDIABCDEGFHABCDIMNAbbildung 5.5: TangentenviereckSatz 5.17 (Summe gegen uberliegender Seiten).In einem Tangentenviereck ABCD gilt AB+CD = BC +DA.Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit dieser Eigenschaft ein Tangentenvier-eck ist.Satz5.18(Summegegen uberliegender Sichtwinkel). Sei IderInkreismittelpunktdesTan-gentenvierecksABCD.DieWinkel,unterdenengegen uberliegendeSeiteneinesTangenten-vierecksvomInkreismittelpunktausgesehenwerden, erganzensichauf 180, also AIB +CID = 180.45Satz 5.19 (Winkel in gegen uberliegenden Ber uhrpunkten).Seien E und G die Ber uhrpunktevonABundCDmitdemInkreis.DannerganzensichdieWinkel AEGund EGCauf180.Satz5.20(Gemeinsamer Schnittpunkt). SeienE, F, G undHdie Ber uhrpunkte vonAB,BC, CDundDAmitdemInkreis.DannschneidensichdieDiagonalenACundBDunddie Verbindungen gegen uberliegender Ber uhrpunkteEG undFHin einem Punkt.Satz5.21 (Newtonsche Gerade). SeienMundNdie Mittelpunkte der DiagonalenACundBD, dann liegt der InkreismittelpunktIauf der VerbindungMN.5.4 Sehnentangentenvierecke(BizentrischeVierecke)Ein SehnentangentenviereckeABCD ist ein Viereck mit einem Inkreis und einem Umkreis.ABCDEFGHAbbildung 5.6: SehnentangentenviereckSatz5.22(Ber uhrungssehnen). SeiABCDein Sehnentangentenviereck und seienE,F,GundHdie Ber uhrpunkte des Inkreises mitAB,BC,CD undDA. Dann stehenEG undFHaufeinander normal.Auchdie Umkehrung gilt: Wenndiese beidenStreckennormal aufeinander stehen, istABCDein Sehnentangentenviereck.5.5 ParallelogrammeA BC DabefAbbildung 5.7: ParallelogrammidentitatSatz5.23(Parallelogrammidentitat). SeiABCDein Parallelogramm, und sei wie gewohnta = AB = CD,b = BC = DA,e = ACundf= BD. Dann gilte2+f2= 2(a2+b2).466 PolygoneSatz6.1(Winkelsumme). DieWinkelsummeinjedemnicht uberschlagenenPolygonmitnEcken betragt (n 2) 180 = n 180 360.ABCDEFXYZAbbildung 6.1: Pascalsche GeradeSatz6.2(Pascalsche Gerade). SeiABCDEFein Sechseck, dessen Ecken auf einem Kegel-schnitt (zum Beispiel Kreis oder Ellipse) liegen. Dann liegen die Schnittpunkte der Verlangerungengegen uberliegender Seiten auf einer Geraden.(Anders formuliert: Sei X der Schnittpunkte der Verlangerungen von AB und DE, YjenervonBCmitEFundZjener vonCD mitFA. Dann liegenX,YundZauf einer Geraden.)DieserSatzgiltauch, wenndiePunktenichtindieserReihenfolgeauf demKegelschnittliegen, also zum Beispiel bei einem uberschlagenen Sechseck.ABCDEFPAbbildung 6.2: Satz von BrianchonSatz6.3(Satz von Brianchon). Sei ABCDEFeinSechseck,daseinemKegelschnitt(zumBeispiel KreisoderEllipse)umschriebenist,dasheit,dessenSeitenTangentendesKegel-schnittes sind. Dann schneiden die Diagonalen gegen uberliegender Eckpunkte, alsoAD,BEundCF, einander in einem Punkt.477 QuellenWikipedia (http://de.wikipedia.org/)OMO-Vorbereitungskurs f ur Fortgeschrittene, Erich Windischbacher und Gerhard Win-dischbacher, Raach am Hochgebirge, Mai 2002, Mai 2003, Mai 2004Das Sehnen- & Tangentenviereck, Geometrie-Ausarbeitung von Sarah Schultze & JakobPriwitzer (http://www.mevis-research.de/~albers/Veranstaltungen/GeoPeitg08/Material/HA07_Sehnen_Tangt.pdf)YiminGe: FortgeschritteneGeometrief ur Mathematikolympioniken, 2007(http://www.yimin-ge.com/doc/geometrie-20070212.pdf)48