georgios-g-outras-kathigitis-mathimatikon-2i-istoselida3 ...... · [3] § 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Οι πραγματικο αριθμο

Παπαδόπουλος Παναγιώτης Παπαδόπουλος Παναγιώτης

[2]

Στο συγκεκριμένο τεύχος περιέχεται

όλη η θεωρία και μια συλλογή ασκήσεων

για τα μαθηματικά της Γ΄ Γυμνασίου

Δεν αντικαθιστά το σχολικό βιβλίο

αλλά λειτουργεί ως συμπλήρωμά

για την καλύτερη κατανόηση του

Σεπτέμβριος 2018

[3]

§ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Φυσικοί αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, …

Ακέραιοι αριθμοί : …, 2, 1, 0, 1, 2, …

Ρητοί αριθμοί είναι όλα τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς (ο

παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός).

Άρρητοι αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί.

Πραγματικοί αριθμοί ονομάζονται όλοι οι ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Δηλαδή όλοι οι αριθμοί που

συναντάμε στην καθημερινή μας πραγματικότητα.

Δραστηριότητα

Οι ακέραιοι αριθμοί είναι και ρητοί; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας)

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με |α| και είναι ίση με την απόσταση

του σημείου, που παριστάνει τον αριθμό α, από την αρχή του άξονα.

π.χ. |2| = 2, |23| = 23, |0| = 0

[4]

Πρόσθεση αριθμών

Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο

άθροισμα αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο.

π.χ. 25= 7, +6+9=

+15

Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη

μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτε-

ρη απόλυτη τιμή.

π.χ. +25= 3, 6+9=

+3

Πολλαπλασιασμός αριθμών

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους

και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο +.

π.χ. (2)(5) =

10, (+6)(+9) =

+54

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους

και στο γινόμενό τους βάζουμε πρόσημο .

π.χ. (+2) (5)

=

10, (6)

(+9)

=

54

Διαίρεση αριθμών

Για να διαιρέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο

τους βάζουμε πρόσημο +.

π.χ. (10) : (2)

=

+5

Για να διαιρέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο

τους βάζουμε πρόσημο .

π.χ. (10) : (+2)

=

5

Οι ιδιότητες των πράξεων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο μαθηματικών Γ΄ Γυμνασίου

[5]

Αντίθετοι αριθμοί

Δυο αριθμοί λέγονται αντίθετοι αν έχουν άθροισμα ίσο με το μηδέν (0).

π.χ. 3, +3

2

7,

2

7

Αντίστροφοι αριθμοί

Δυο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι αν έχουν γινόμενο ίσο με ένα (1).

π.χ. 3, 3

1

2

7,

7

2

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν 2 συμβολίζεται με

αν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α.

γοντεςάπαρν

ν ααααα

Ισχύουν οι σχέσεις: α0 = 1

α1 = α

ν

ν

α

1α

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

αμ α

ν = α

μ+ν

αμ

:αν = α

μν

νννβαβα

ν

νν

β

α

β

α

νμνμ αα

νν

α

β

β

α

[6]

Προτεραιότητα πράξεων

Πρώτα εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις

Υπολογίζουμε τις δυνάμεις

Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις

Κάνουμε την απαλοιφή των παρενθέσεων

Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις

Τετραγωνική ρίζα

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α, λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός, ο οποίος, όταν

υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει ως αποτέλεσμα τον αριθμό α.

Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α .

Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας:

αα2

, με α

0

αα2

βαβα , με α, β

0

β

α

β

α , με α

0 και β>0

Ασκήσεις

1. Να γίνουν οι πράξεις:

α)

2

1

10

120723 β)

522

3

322 4

23

[7]


α) 22233622

2

1 β) 2335262224182 :


α) 202 52015342

1

3

1

4

1

β) 2

2

3 2322

122


α)

3

14

2

3:

3

1

3

5:

9

1

3

22

β) 3

5:

3

1

2

1)3(:3620182

8

1

4

1 222

γ)

5

1

6

1

2

1

3

12018

2

1:

2

1 0

2


α) 12322233

3

1

β) 024201839:3

γ)

32

2

4

3

6

1:

2

1

3

1318

2

1:

2

1

δ) 22

2

22

2

1

2

122:

2

1

4

1

2

1

6. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

y3x2y3y2x4

x7y3x2y2x3Α

)yx(3y4

y4)x2y(3)yx(2yB

7. Να υπολογίσετε την παράσταση: y)x2y(4x3

)yx(10)yx(6yx13Α

8. Αν 3yx να υπολογίσετε την παράσταση: y)xy(3)y2x(x2Α

9. Αν 1yx να υπολογίσετε την παράσταση: y3)xy(5)y2x(2yΑ

[8]

10. Αν x + y = 5 τότε να προσδιορίσετε την παράσταση: Α=

y4ω-y2ωx2

xy4x3y2y4102018

.

11. Αν x y=1 τότε να προσδιορίσετε την παράσταση: Β=

1

352342

yx

yxyx.

12. Αν 3x και 2y να υπολογίσετε την παράσταση 422 yxyxA

13. Αν 4x και 3y να υπολογίσετε την παράσταση 22

2

22

yx)yx(

yxA

14. Αν x = 2 και y = 3, να υπολογίσετε την παράσταση: 22112 23 yxyxxA .

15. Aν 2x και 1y να υπολογίσετε την παράσταση 3

2

42 x2x

yyxA

16. Να προσδιορίσετε την τιμή της παράστασης: 1111

1212

154

106

.

17. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 1748

1815

32

64Α

18. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 412

2012

46

2)3(Α

19. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:

α)

52

234 5

x

xx β)

233

23223

yx

yxyx

γ) 21

2

2

2

2

3

2

4

6

xxx δ) 23

122

2 4

2

x

x

x

ε) y

x

x

y

3

3

2

στ)

6124

236442323223

ωyx

ωyxωyxωyx

[9]

ζ)

32

32242

x

xx η)

x

xx

2

36225

20. Αν x=10

1 και y=

100

1 να προσδιορίσετε την τιμή της παράστασης:

5

10324

y

xyx

.

21. Αν 32 x και 107 y , να προσδιορίσετε την τιμή της παράστασης:

A= 2

33

2

2

x

yx

22. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

α) 1371 β) 1651321 γ) 10069615


α) 2552040 β) 927424 γ) 10090120


α) 842 β) 819

8

3

2

3

1 γ)

216

400

2

3

5

2


α) 50239

81625381 β) 1518656164

26. Να γίνουν ο πράξεις:

α) 503282 β) 7512273

γ) 455205 δ) 5021838

ε) 50045220 στ) 11004411


α) 7248350 β) 300482272

γ) 18025001252 δ) 243982832732

[10]


α) 137137 β) 211211 γ) 213213


α) 32

32

32

32

β)

βα

βα

βα

βα

αν α, β>0

30. Να γίνουν ρητοί οι παρονομαστές στα παρακάτω κλάσματα:

α) 2

1, β)

3

1, γ)

5

2, δ)

7

7, ε)

12

1

, στ)

13

1

31. Να γίνουν ρητοί οι παρονομαστές:

α) 7

1, β)

3

2, γ)

5

5, δ)

6

4, ε)

13

2

, στ)

15

4

§ 1.2 ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ

Αλγεβρική παράσταση

Μία παράσταση η οποία περιέχει αριθμούς, και σύμβολα πράξεων, ονομάζεται αριθμητική

παράσταση.

π.χ. 534324 2

Μία παράσταση η οποία περιέχει αριθμούς, μεταβλητές και σύμβολα πράξεων, ονομάζεται

αλγεβρική παράσταση.

π.χ. y2 55xy2x2

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πρά-

ξεις, τότε θα προκύψει ένας αριθμός ο οποίος ονομάζεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της αλγεβρι-

κής παράστασης.

[11]

π.χ. αν στην προηγούμενη αλγεβρική παράσταση θέσουμε 1x και 2y τότε:

130125142551221222 , δηλαδή το 130 είναι η αριθμητική τιμή της αλγε-

βρικής παράστασης

Μονώνυμα

Μονώνυμο ονομάζεται μια αλγεβρική παράσταση στην οποία είναι σημειωμένη μόνο η πράξη του

πολλαπλασιασμού.

π.χ. 2x3 , 23yx

2

1, 52ωxy2

Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής ενώ το γινόμενο των μεταβλη-

τών μαζί με τους συντελεστές τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου.

π.χ.

συντελεστής κύριο μέρος

Ο εκθέτης μιας μεταβλητής ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ

βαθμός του μονωνύμου ως προς τις μεταβλητές του, λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλη-

τών του.

π.χ. το μονώνυμο zyx5 23 είναι:

3ου

βαθμού ως προς x, 2ου

βαθμού ως προς y, 1ου

βαθμού ως προς z και 6ου

βαθμού ως προς τις

μεταβλητές του.

Οι αριθμοί θεωρούνται μονώνυμα και ονομάζονται σταθερά μονώνυμα.

5 x3y

2z

[12]


Διαγράψτε όσες παραστάσεις δεν εκφράζουν μονώνυμα:

3x, 3

5α

8β

2, 12xy

-1, (0,51x)2y, 3x+y

6, 3

62xyz

9


Κυκλώστε όσα μονώνυμα είναι ίσα μεταξύ τους:

6x2y

3, 3xy, 6x

2y

3, 9 y

3x

3, (12

2)yx,

2

9x

3y

3,

1

6

1

x

2y

3, 3x+y,

2

3

2

9yx, 4,5(xy)3


Γράψτε ένα μονώνυμο 6ου

βαθμού ως προς x:

Γράψτε ένα μονώνυμο 3ου

βαθμού ως προς y:

Όμοια μονώνυμα

Όμοια μονώνυμα ονομάζονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος.

π.χ. 3xy7 , 3xy

3

2 , 3xy5

Ίσα και αντίθετα μονώνυμα

Δύο όμοια μονώνυμα με τον ίδιο συντελεστή ονομάζονται ίσα μονώνυμα.

π.χ. 32 yx3 και 32 yx3

Δύο όμοια μονώνυμα με αντίθετους συντελεστές ονομάζονται αντίθετα μονώνυμα.

π.χ. 3yωx2 και 3yωx2

[13]

Πράξεις μονωνύμων

Πρόσθεση μονωνύμων

Η πρόσθεση μονωνύμων γίνεται μόνο μεταξύ όμοιων μονωνύμων. Ειδικότερα, για να προσθέ-

σουμε δύο ή περισσότερα όμοια μονώνυμα προσθέτουμε τους συντελεστές τους και αφήνουμε το ίδιο

κύριο μέρος.

Δηλαδή, το άθροισμα μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά που έχει ως συντελεστή το

άθροισμα των συντελεστών τους.

π.χ. xy2xy9xy3xy8

Αν έχουμε να προσθέσουμε δυο μονώνυμα που δεν είναι όμοια, τότε η πρόσθεση

δεν μπορεί να γίνει και το αποτέλεσμα δεν είναι μονώνυμο.

π.χ. 32 yx3xy2

Πολλαπλασιασμός μονωνύμων

Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελε-

στών τους και ως κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη η καθεμιά το άθροι-

σμα των εκθετών της.

π.χ. 8341721112272 zyx24zyx423zxy4xz2yx3

Διαίρεση μονωνύμων

Για να διαιρέσουμε δύο μονώνυμα, διαιρούμε τους συντελεστές τους κι στη συνέχεια τα κύρια

μέρη τους ακολουθώντας τις ιδιότητες των δυνάμεων. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο μονωνύμων

δεν είναι υποχρεωτικά μονώνυμο.

π.χ. yx4yx5

yx20yx5:yx20 2

24

362436 , το οποίο είναι μονώνυμο

5

9

53

945394

z

xy4

zx2

yx8zx2:yx8

, το οποίο προφανώς δεν είναι μονώνυμο.

[14]

Ασκήσεις

1. Να προσδιορίσετε την αριθμητική τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων:

α) 423

1 323 xyyx , αν x=3 και y= 1 β) βααβ 22

3

4

2

3 , αν α=2 και β=3

2. Να εξετάσετε αν είναι μονώνυμα οι παραστάσεις:

α) 2x4y

2 β) 63xy

2 γ) 2x

9yω

3 δ)

5

4yx,

ε) 2

4

ω

yx στ) 2x

3y

2ω4

ζ) )( 22 αβ4 η)

3

4αβ

2

3. Βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια:

α) 4x3y

2 β)

3

4x

2y

3 γ) 432 yx δ) 2x

3y

2

ε) 3y3x

4 στ)

4

32yx ζ)

32

4

1xy η) y

4x

3

θ) 3x4y

3 ι) x

2y

3ω

4. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι όμοια

α) 1βα2α yx

3

5 και α3β2α4 yx4

β) 1β2α6yx2 και yx3 β28

γ) α5xy2 και β4x12

5. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς κ, λ, μIR έτσι ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι όμοια:

α) 15

2α

κ4 β

2λ γ

3μ+8, 2α

2β

4γ

2μ+6 β) 4α

3 β

κλ γ

3κ+4, 11α

μ1 γ

κ+8

6. Να βρείτε τους αριθμούς μ , ν ώστε τα μονώνυμα 4ν yx 12 και 1νyx 53 να είναι όμοια.

7. Αν τα μονώνυμα 62423 αyxα , αyx

α

341 είναι όμοια, να βρεθεί το α.

8. Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ , μ ώστε τα μονώνυμα 1-λκ yx6 και yxμ 26 να είναι ίσα.

[15]

9. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς κ, λ, μIR έτσι ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι ίσα:

(3λ4)ακ+1

β103μ

, α42κ

β2μ+5

10. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ώστε τα παρακάτω μονώνυμα να είναι

ίσα

α) 5βγβ2 yx2α3 και yx3α2 5γ2β

β) 3γ1β yx5α και 1β15γ4 ωy1α2

11. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς κ, λ , ν ώστε τα μονώνυμα 2-λκ yx)ν( 4 και 2yx 3 να είναι

αντίθετα.

12. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ έτσι ώστε τα μονώνυμα 313 yxλ 4 , 341 yxλ να

είναι: α) ίσα, β) αντίθετα.

13. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις μεταξύ μονωνύμων:

α) 4x3y

22x

3y+3x

2yx6yx

32(x

3y

2 3x

3y)

β) 6x2yz+6xy

2z6xyz

211zyx

2+3zxy

2 10z

2xy+6xyz


α) 232323 36 yxyxyx β) αβαβαβ 333 3612

γ) 323232

10

1

5

4ωyxωyxωyx δ) yxyxyx 444 343233


α) 32223 x3x26x1x3x7x2x6

β) 34223223 yx2xyxyx6yx7yx5

γ) 2xx5x21xx5x4 232323

δ) xy3xxy6xxyxy2x7x6 223223

ε) 22222222 xyx2y2yxxy4xy2x

στ) yx10yx9yx7 222

ζ) 243432423 yωx11ωxy5ωyx6

η) 422424 yxω11ωyx4ωyx2

[16]

16. Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

α)

222425

6

132 ωyxyxyx β) 3223 2

4

1ωxyωyx

γ)

xyxyyx10

125 22 δ) γβαγαββα 22

6

134 32


α) 23 x4x12 β) 3222 yxα10yxα5

4

γ) 223 xα3xα3

1 δ) 2352 yx2yx

4

1

,

ε)

232322 αx12

5βx10xβα

5

6


α) 232 ωxy2xy4yx3 β)

32323 ωyx

2

1ωxy

3

1ωyx6

γ) 22433 yx2yx2 δ) 2234 xy5yx3

1

ε)

yx

4

1yx2 22332

19. Να υπολογίσετε τα πηλίκα:

α)

242

6

1

3

1xy:yx β) ωyx:ωyx 32234 32

γ) 38225 126 yx:yx


α) 23284 ωxy2:ωyx14 β)

3

2

2 xy4

1:xy

2

1,

γ)

64

2

43 yx32

1:yx

4

1 δ) 22332 ωxy2:ωxy2


α) 2223 xy2:yx6 β) ωyx:ωyx7 532234

[17]

γ)

33

2

432 ωyx16

1:ωyx

4

1 δ) ωyx4:ωyx

2

15 33

2

123


α) 446 223 xxx

β) 64362 532 yxyxx

γ) 2322 xx

δ) 46 714 x:x

23. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις:

α) 3αβ2xy(2)x

2β

3

236

33223

αβγ

xγβα2

y+(2)2αβ

5x

3y

β) 2

1αβx

2

4

1(αβ)

3(2)

4x+2(αβ)

4x

3

γ) [3x8(y

4ω

2)

2]

: (xωy)

4

[18]

§ 1.3 – 1.4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

Πολυώνυμα

Πολυώνυμο ονομάζεται το άθροισμα δύο ή περισσοτέρων μονωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ

τους.

π.χ. 322 yxxy9x8

Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο, λέγεται όρος του πολυωνύμου.

Βαθμός του πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, ονομάζεται μεγαλύτερος

βαθμός των όρων του.

π.χ. το πολυώνυμο 3224 yxxy2x3 είναι :

4ου

βαθμού ως προς x

3ου

βαθμού ως προς y

5ου

βαθμού ως προς x και y

Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως πολυώνυμο το οποίο θα ονομάζεται σταθερό πολυώνυμο

και είναι μηδενικού βαθμού. Ειδικά ο αριθμός μηδέν (0) λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει

βαθμό.

Τα πολυώνυμα συνήθως συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφάβητου,

π.χ. P, Q, R, A κλπ. Μετά από το όνομα του πολυωνύμου γράφουμε σε παρένθεση τις μεταβλητές

που περιέχει, χωρίζοντάς τες με κόμμα (,), εφόσον είναι περισσότερες από μία.

π.χ. 5xx2x3)x(P 34

y2yx3yx)y,x(Q 264

Ένα πολυώνυμο που περιέχει μία μεταβλητή (όπως το P(x) στο προηγούμενο παράδειγμα),

συνηθίζουμε να το γράφουμε με φθίνουσα σειρά των δυνάμεων της μεταβλητής του.

Αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές ενός πολυωνύμου με μια τιμή και εκτελέσουμε τις πράξεις,

τότε ο αριθμός που θα προκύψει ονομάζεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου.

π.χ. για το πολυώνυμο 5xx2x3)x(P 34 , αν θέσουμε 2x τότε έχουμε:

39521648522223)2(P 34

Δύο πολυώνυμα λέγονται ίσα όταν έχουν ως όρους ίσα μονώνυμα.

π.χ. x2x3xy)x(Α 2 και x2x3xy)x(Β 2 , δηλαδή )x(Β)x(Α .

[19]

Αναγωγή ομοίων όρων

Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοιοι όροι (δηλαδή όμοια μονώνυμα) τότε μπορούμε να τους

αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων.

π.χ. zy2yzx4xy3xy2yzx3zy2yzxxy5 32232

Πρόσθεση Αφαίρεση πολυωνύμων

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε πολυώνυμα, ουσιαστικά κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

Φυσικά ακολουθούμε τη σειρά προτεραιότητας των πράξεων που γνωρίζουμε από τους πραγματικούς

αριθμούς.

π.χ.

2x2xy2x5x2x3xy52xy3x2x2x3xy52xy3x2 2222222222

Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυωνύμου

Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε

όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

π.χ. 4322222 xy4yx10yx6y2xy5x3xy2

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμου με πολυωνύμου

Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός

πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

π.χ. 322332222322 xy3yx7yx6xy3yx2yx9yx6xy3x2yxy3

[20]

Ασκήσεις

1. Να κάνετε τις πράξεις:

α) –3(x+ ψ2xy)+2x(y+3) β) 3y(x +y)2x(xy)

γ) 2

1(4α6β

2α+4α

3β)αβ(3β+3α

2βα) δ) 5(4α

2β

5+3αβ

42)3αβ

4(5αβ)

2. Να κάνετε τις πράξεις:

α) 32323 465243 xxxxxxx

β)

43243222243

4

13

3

106

4

15

3

243 yxxyxyxxyyxxyyxyx

γ) xyyxxyyxxy 83222


α) xxx2x3xx2x4 2333

β) x4xx21x1x6x7x5x2 323223

γ) 588558 xx2xx27x2x3

4. Αν xx3x)x(P 34 , 1x5xx)x(Q 34 και 1x6xx2x2)x(R 234 να

υπολογίσετε:

α) )x(Q)x(P β) )x(P)x(R γ) )x(R)x(Q)x(P

5. Δίνονται τα πολυώνυμα A(x)= 123 2 xx , B(x)= 953 3 xx και Γ(x)= xxx 323 .

Να προσδιορίσετε τις παραστάσεις:

α) Α(x)+B(x)Γ(x)

β) 2Α(x)3B(x)+4Γ(x)

γ) 6Α(x)+ B(x)3Γ(x)


α) xyxyx 3322

β) yxxxy 2322

γ) yxωyxωyx 22232322

δ) 322333 23 yxyxyx

[21]


α) yxxyyx 22 23

β) 233 234 xyxyxy

γ) 3222 yxxyyxx

δ) 432 xyxxy


α) xyxxxyx 35213 2

β) xyxyxxyyx 56255 12324

γ) αβααββαβαβα 9323 222

δ) αββαβα 32


α) yxyxyx 2222

β) 2322 633242 xxxxxx

γ) 4232444 222 xxxxxxx


xyyyxxyxxyxyxy 223 3222


α) – α2(β

3α – α

2β

3 +2β)+5αβ(α

2β

2 3α) β) 2x(x

2–3y+xy)3(x3y)4x

2(2x2y)

γ) –2y(x2y–xy+6)+3xy(x–y)3x

2y+3x

2y

2 δ) –2x

4y

3(2x–3y)+2y

5(y3x

2)–2x

2y

3(y

2–x

2)


α) (α1)(α2)(α+1)(α+2)+ α2(9α

2) β) 2x

2y

4(3x

2 6)3x

2y

2(x

2y

2 4y

4)

γ) (2x–3y)(4x2+6xy+9y

2)–8x

3+27y

310


α) 3xy2(xy)(2x

2+3xy

3)6x

3y

2(2xy

42y

3)(x

2y+2y)(x

2y2y)

β) (2x3y)(4x2+6xy+9y

2)(3x+2y)(9x

26xy+4y

2)+19(x

3+2y

3)

γ) (3x2y

36xy

3)(6xy

33x

2y

3)2x

2y

2(2x

3y

4+18x

2y

6)

δ) (2x2y

33x

3y

2)(x

43xy

2)(x+y)(3x

3y

2xy)


α) (3αβ2γ

32α

2γ

3)(2α

2βαβ

3) 2α

2(4αβ

3γ

3+α

4βγ

3)

β) 2(αβγ3α

4βγ)(αβγαβ)(2γ

2+2α

3γ)+3αβγ

2

[22]


α) 13232423 23223 xxxxxxxxxx

β) yxxyxyxxyxyx 32222 422

γ) 1223213 3232 xxxxxxx


α) yxxyyxyxyx 222

β) xyxyyyxxyxyxyx 422 2222


α) 22222 21132 xxxxxxx

β) 11321 22 xxxxxx

γ) 14214 22 xxxxx


α) 333 322 xyxyωxyωxy

β) 111 32 xxxx

γ) 116144144 2222 xxxxxx


α) xyyxxxyxyyyxxy 22 34232

β) γββγαβγαβαγαβγγβααβγ 2 22 22

γ) yxyyxxxyyx 25532 2222

δ) xyxyyyxyyxyyxyyx 2222222222 22


α) 3222 x1xx5xx32xx4

β) 352432 x7x4xx4x21xxx5

γ) 2xx2x61x3xx2 3432

δ) xx21x2x11x3x 222

ε) 24222 yx3xy3yx3yx6

στ) y3xx7x9y5x6xx3 2222

ζ) y2x4xyx4xyy3y2xy3x

[23]

η) y31yx41yx42y1yyx4 22222

θ) 2222 yxy4x4yx2yxyx8

21. Δίνονται τα πολυώνυμα 1x2x4)x(P 3 , 2x3x)x(Q 3 και 1x2)x(R . Να

γίνουν οι πράξεις:

α) )x(R7)x(Q4)x(P

β) )x(Px)x(P)x(Q

γ) )x(P)x(Rx2)x(Q 2

22. Αν A(x)=3x(2x4)(2x) και B(x)=αx3+βx

2+γx+δ, να βρείτε τις τιμές των αριθμών α, β, γ, δ

ώστε τα πολυώνυμα A(x) και B(x) να είναι ίσα.

§ 1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Ταυτότητα

Ταυτότητα ονομάζεται μια ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των

μεταβλητών.

Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Τετράγωνο αθροίσματος : 222βαβ2αβα

Απόδειξη

22222βαβ2αβαβαβαβαβαβα

[24]

Τετράγωνο διαφοράς : 222βαβ2αβα

Απόδειξη

22222βαβ2αβαβαβαβαβαβα

Διαφορά τετραγώνων : βαβαβα 22

Απόδειξη

2222 βαβαβαβαβαβα

Κύβος αθροίσματος : 32233βαβ3βα3αβα

Απόδειξη

3222232223βαβ2βααββα2αβαβ2αβαβαβαβα

3223 βαβ3βα3α

Κύβος διαφοράς : 32233βαβ3βα3αβα

Απόδειξη

3222232223βαβ2βααββα2αβαβ2αβαβαβαβα

3223 βαβ3βα3α

Άθροισμα κύβων : 2233 βαβαβαβα

Απόδειξη

3332222322 βαβαββααββααβαβαβα

Διαφορά κύβων : 2233 βαβαβαβα

Απόδειξη

3332222322 βαβαββααββααβαβαβα

[25]

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τα α, β, γ ώστε το πολυώνυμο α3γx)12β2(x)15α3()x(P 23 να

είναι μηδενικό.

2. Να βρείτε τα α, β, γ ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυμα 6x)1x()1x()x(P 2 και

γx)βα2(xα)x(Q 3 .

3. α) Αν 1α

1α , να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

2

2

α

1αΑ .

β) Αν 2β2

1β , να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης

2

2

β4

1βΒ .

4. Να υπολογίσετε τα x, y σε καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις:

α) 05y2x4yx 22 β) 010y6x6y9x 22

5. Να εκτελεστούν οι πράξεις:

α) (x+1)(1x)3(x+2)2+4(1x)

2

β) (7α+β)(β+7α)(7αβ)27(12αβ)

γ) (2xy)(2x+y)(2xy)2+2y(y2x)

δ) (2α3β)(2α3β)+(3β2α)(2α+3β)2(3β2α)2


α) (α+β+1)(αβ+1)+(βα)2 2α(αβ)

β) (2x+3y1)(2x+3y+1)(3x2y)2 +1+5(x+y)(xy)

γ) (2x+y+2)(2xy+2)4(x1)2

δ) (x+3y)2 +(3xy)

22(2y2x)(2y+2x)


α) (α1)(α2)(α+1)(α+2)+ α2(3α)

2 β) (α+2β)

2 (α3β)

2+5β

2

γ) (α3+2β

2)

2(2α

3+β

2)

2+(α

32β

2)(α

3+2β

2) δ) (2βα)

2(β+2α)

23(βα)

2


α) (x1)3(x+1)

3+2x(3x1) β) (2x+y)

3+(x2y)

36xy(x+3y)

γ) (x2)3+(x+2)

32x(x1)

2 δ) (x

21)

3(x

31)

22x

2(x

2+x)

[26]

9. Να εκτελεστούν οι πράξεις:

α) 22223123 xxx

β) 14323222

xyxyyxxy

γ) βαβαβαβα 322222222

δ)

68

2

2

3

3

2

2

2 1111

xxx

xx

xx

ε) 52522525222

xxxx

στ) 14212 422223 xxxxx

ζ) 313231313 xxxx

η) 223112132132 yxyxyx

θ) 111233

xxxxx

ι) 233137114 xxxx

ια) xzyzyxzyxzyx

10. Να γίνουν οι πράξεις

α) 222α8β2αβ2α3

β) 22)xβ()βα2()βα2(xα2

γ) αβγ2αβγ2αβ2γγ2αβ 222222

δ) 2221x64x3x342x344x3

ε) 2xx64x2x2x2x 23

στ) 222x2x2x2x2

ζ) 1x31x391x9 3323

η) 2331x2x3x343x23x2

θ) 1x1x1x2x11x 22222

ι) 4xx3x2x24x62

11. α) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες έτσι ώστε να είναι σωστά τα

αναπτύγματα των ταυτοτήτων:

i. 22x92

ii. xy4x2

iii. 23xy12x

[27]

β) Να αποδείξετε την ισότητα: xy4x

y1x8x2y3y3x2y3x2 22

12. Να αποδειχθούν οι ισότητες:

α) (2α+β)2(α2β)

2 3(αβ)(α+β) = 8αβ

β) (α2+β

2)(γ

2+δ

2) = (αγ+βδ)

2+(αδβγ)

2

γ) (α3+β

3)

2 (2αβ)

3+3α

2β

2(α+β)

2 = (α

2+β

2)

3

δ) (α+4β)2 (α3β)

27(β+2α)(2α+β) = 14α(β+2α)

ε) (α+1)(α2 α+1)(α1)(α

2 +α+1) = 2

στ) α2+β

2 = (α+β)

22αβ

ζ) α3+β

3 = (α+β)

33αβ(α+β)

η) (αβ)3(α+β)

3+2β(β

2+3α

2+2α) = (αβ)

2(βα)

2

θ) (2x3)2+(32x)(2x+3)+(12x)

3 = 6x(3+2x)8x

3+19

13. Να αποδείξετε τις ισότητες:

α) x21x2x6x321x4

β) 251x1x51x2x522

γ) 0y81x31y2y2x32y2x322

δ) xy

1xy3

xy

111yxxy1 222

ε) 3x81x52xxxx4x2222

στ) xy12yx3yx322

ζ) 2222222 xy12x4y9y9x4

η) 488x2x4yxyxx2yyx222

θ) 222yx28y7yx16x4yyx4

14. Να αποδείξετε ότι:

α) xyyxyx 24323222

β) xyyxyxyx 2833452 2222

γ) 222222 3294 x2βyαy3βxαβαyx

δ) 222222232943232 ωyxωyxωxωyyx

ε) 3331258523052 yxyxxyyx

[28]

15. Να αποδειχθούν οι ισότητες:

α) y2xxy8y2xy2xy2x23

β) 2x2

1x

x2

1x

22

γ) 222β4βα3βα32βα3βα3

δ) β14βα3βα32βα32βα3

ε) βαα2β2αβ2αβ2α233

στ) α3β2γ2γ2β2α3γβ2γ3αγ2ββ3α2222222

16. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:

α) 2

1 β)

23

1

γ)

352

1

δ)

αββα

1

§ 1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Παραγοντοποίηση

Παραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία με την οποία μια αλγεβρική παράσταση που είναι

άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων.

Η παραγοντοποίηση μπορεί να γίνει με διάφορες μεθόδους. Ειδικότερα οι τρόποι που μπορούμε να

κάνουμε παραγοντοποίηση είναι:

Κοινός παράγοντας

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση όλοι οι όροι έχουν κοινό παράγοντα, τότε η παράσταση μετατρέ-

πεται σε γινόμενο παραγόντων με χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας.

π.χ. xy3xy2xy2yx6yx2xy4 22232

[29]

Ομαδοποίηση

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση δεν υπάρχει κοινός παράγοντας σε όλους τους όρους της τότε

μπορεί να υπάρχει η δυνατότητα να χωρίσουμε τους όρους της παράστασης σε ομάδες (με ίσο πλήθος

όρων συνήθως η καθεμιά) στις οποίες να υπάρχει κοινός παράγοντας. Η ομαδοποίηση θεωρείται

επιτυχημένη, αν οι παρενθέσεις που θα προκύψουν από την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας, είναι ίδιες

μεταξύ τους.

π.χ. βα3α3αβ3ααβ3αβα3α2

Ταυτότητες

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση υπάρχει κάποια από τις αξιοσημείωτες ταυτότητες, τότε μπορού-

με να τις χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να την παραγοντοποιήσουμε.

π.χ. 4x4x16x 2

222 1xy41xy8yx16

9x6x43x227x8 23

1αα1α1α 23

323 3α27α27α9α

Τριώνυμο

Τριώνυμο ονομάζεται ένα πολυώνυμο της μορφής γxβxα 2 , με 0α .

Για να παραγοντοποιήσουμε ένα τριώνυμο ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Υπολογίζουμε την παράσταση αγ4βΔ 2 (διακρίνουσα)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

- Αν 0Δ τότε υπολογίζουμε τους αριθμούς α2

Δβx1

και

α2

Δβx 2

οι οποίοι είναι

οι ρίζες του τριωνύμου (δηλ. είναι οι αριθμοί που αν αντικατασταθούν στη θέση της μεταβλητής

και γίνουν οι πράξεις, παίρνουμε σαν αποτέλεσμα το μηδέν)

Το τριώνυμο στην περίπτωση αυτή παραγοντοποιείται ως εξής:

212 xxxxαγxβxα

- Αν 0Δ τότε υπολογίζουμε τον αριθμό α2

βx 0

η οποία είναι διπλή ρίζα του τριωνύμου

Το τριώνυμο στην περίπτωση αυτή παραγοντοποιείται ως εξής:

202 xxαγxβxα

- Αν 0Δ τότε το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται.

[30]

Συνδυασμός περιπτώσεων

Παρατηρούμε μήπως μπορούν να συνδυαστούν δύο ή περισσότερες από τις προηγούμενες

περιπτώσεις.

Γενικά αν μας δοθεί μια αλγεβρική που παράσταση που πρέπει να την παραγοντοποιήσουμε, τότε

σκεφτόμαστε ως εξής:

Ελέγχουμε αν υπάρχει κοινός παράγοντας.

Εξετάζουμε αν μπορούμε να ομαδοποιήσουμε την παράσταση.

Παρατηρούμε αν μπορούμε να κάνουμε χρήση κάποιας ταυτότητας ώστε να παραγοντοποιήσου-

με την παράσταση.

Εξετάζουμε αν υπάρχει τριώνυμο

Ελέγχουμε αν μπορούμε να συνδυάσουμε τις παραπάνω περιπτώσεις.

Ασκήσεις

1. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις (κοινός παράγοντας):

α) 12αβ8β2 β) 2α

46α

2

γ) 28α3β

2+20α

2β

316α

4β

4 δ) 14α

349α+21α

2

ε) 15x3y

2+20x

2y

425xy

3 στ) 6x

412x

224x

5y

ζ) 4x4y6x

3y

2+8x

4

2. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις (κοινός παράγοντας):

α) 26(α+β)239(α+β) β) 8(2x1)

2+4x(2x1)

γ) 4(x1)26(x1)

3(1x) δ) (xy)

3(x+y)(yx)

2

ε) x3y

4(xy)

2x

2y

5(xy)

3 στ) 4x

2(3x1)12x(13x)

3. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις (ομαδοποίηση):

α) 8x+4xy+6y+12 β) xyyz+xωzω

γ) 4x2y+10xy

36xy

215y

4 δ) αxzαxωβxz+βxω+αyzαyωβyz+βyω

ε) x65x

4+3x

315xx

2+5 στ) 4x

2y

38x

3y

2+2xy

ζ) αβ+αγ +xβ+xγ+x+α η) x2x

3+yyx+ωx

2ωx

[31]

4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (ταυτότητες):

α) x(αβ)α2+β

2 β) x

2y

2+(yx)

2

γ) 2x48x

2+84x δ) x

2+4x+49y

2

ε) 16x481y

4+9y

24x

2 στ) x

22xy+y

29

ζ) 9x2+4y

212xy36x

2y

2 η) (y

2+

2y

1+2)x

22x1

θ) 9y2x

24x4 ι) 16x

2168yy

2

5. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (τριώνυμο):

α) x23x+2 β) 2x

23x+1

γ) 4x23x1 δ) x

2+4x+4

ε) 6x2x1 στ) x

29x+20

ζ) 24x22x1 η) x

2+x+10

θ) 9x26x+1

6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις (άθροισμα και διαφορά κύβων):

α) 27α31 β) x

3+64

γ) (x1)38x

3

7. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις (συνδυαστικές):

α) x2(y2)+6x(2y)+9(y2) β) x

2(α+β)3x(α+β)+2α+2β

γ) x2+8αx+16α

216 δ) (2x+1)(x2)+6x

23x

3

ε) (x216)

24(x+4)

2 στ) x

42α

2x

2+α

4+α

2x

2

ζ) 3(2x)(x29)7(x2)(3x)

2 η) (3x)(x+2)4x

2+16

θ) 25x29y

2(3y5x)(yx) ι) (x

22)(x

21)+x

3x

ια) x3+y

3xyxy

2x

2y ιβ) 4x

24x+1(2x1)+(4x

3x)

ιγ) (2x2+5x+3)

2x

22x1 ιδ) x

3+12x

2+48x+64y

3

ιε) (α2+β

2γ

2)4α

2β

2 ιστ) α

24β16β

2+α

8. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις:

α) 3223 yx2yx6 β) 6β2α3αβ

γ) 1yx16 44 δ) 32234 αβ4βα4βαα

ε) yxyxyxyx2yxyx 22332443

στ) 4β4βα16αβ16αβ4α16βα16βα4 222222

ζ) 1yxy4x4 22

[32]

9. Να γίνουν οι παραγοντοποιήσεις:

α) yxxxy 282

β) 222 416 xx

γ) yxxy 22 164 δ) αββαβα 222

ε) 99 2222 xyyx στ) 3526 xxxx

ζ) 442 11 xxx η) yxyxyx 244 22

θ) 22224 24 xωxω ι) 224 619 yxx

ια) 222 451625 xx

ιβ) 2222 11 xxx

ιγ) 14444 222 xxβαβα

ιδ)

251025 24 ββα

ιε) 222 3619 αα ιστ) 2244 yxyx

ιζ) 134169 2 xxxx

ιη) yxyx 216 44

ιθ) 144 24 xxx

κ) 222254255232 yxxyyxyx

10. α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i. 12x7x 2 , ii. x3x 2 , iii. 2x16

β) Να απλοποιηθεί η παράσταση: 2

22

x16

x3x

6x2

12x7x

.

[33]

§ 1.9 – 1.10 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ

Ρητή παράσταση

Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή

αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση.

π.χ. 22

23

yx

3xyx

Οι μεταβλητές μιας ρητής αλγεβρικής παράστασης δεν πρέπει να παίρνουν τιμές οι

οποίες να μηδενίζουν τον παρονομαστή της, διότι δεν ορίζεται κλάσμα με παρονο-

μαστή μηδέν.

Στη συνέχεια σε κάθε ρητή παράσταση που θα γράφουμε, θα εννοείται ότι οι μεταβλητές δεν παίρ-

νουν τιμές που να μηδενίζουν τους παρονομαστές.

Πολλαπλασιασμός Διαίρεση ρητών παραστάσεων

Για να πολλαπλασιάσουμε δυο ρητές παραστάσεις, δημιουργούμε ένα νέο κλάσμα που έχει ως

αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και ως παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

π.χ.

1x

3x

3xx1x1x

1x3x3xx

3xx

1x

1x1x

3x3xx

x3x

1x

1x

x9x22

3

Για να διαιρέσουμε δυο ρητές παραστάσεις, αντιστρέφουμε το κλάσμα που παίζει το ρόλο του

διαιρέτη και αντί για διαίρεση, κάνουμε πολλαπλασιασμό.

π.χ.

2

22

2

2

1x1xx

1xx1x1x

1x

xx

x

1x

xx

1x:

x

1x

Ένα σύνθετο κλάσμα, παριστάνει ουσιαστικά τη διαίρεση δύο κλασμάτων. Συνεπώς για να

μετατρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία:

γβ

δα

γ

δ

β

α

δ

γ:

β

α

δ

γ

β

α

[34]

Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο ρητές παραστάσεις ακολουθούμε τα εργαζόμαστε ως

εξής:

Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.

Bρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.

Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα.

Εκτελούμε τις πράξεις και τις δυνατές απλοποιήσεις

π.χ. 1x1x

x2x

1x1x

1

1x1x

xx

1x1x

1x

1x

1

1x

x

1x

1 22

2

Ασκήσεις

1. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις:

α) 4

22

2

x

xx β)

xx

xx

3

92

3

γ) 4

422

2

x

xx δ)

xx

xx

2

42

3


α) 22

22

168

16

yxyx

yx

β)

22

22

9124

94

βαβα

βα

γ) 1

222

23

x

xxx δ)

25204

2542

2

xx

x

3. Να απλοποιηθούν οι παρακάτω παραστάσεις:

α) 22

22

94

1249

xy

xyyx

β)

55

251022

2

xyxy

xx

γ) 44

3223 2

yx

yxyxxy

δ) 4

442

23

α

ααα


α) x3x

)x2(

x

9x32

2

3

β)

5x

2x

4x

25x2

2

[35]

γ) 2x3x

1x

2x3x

20x52

2

2

2

δ)

22

2222

yxy2x

yx

yx

yxy2x


α) 254

452

2

522

2

3

x

x

x

xx β)

42 2

22

α

βα:

α

βα

γ) xx

x:

xx

xx

5

153

2510

2522

3

δ)

22

4522

3

9

4

2

yx

xyx

x

yx

yx


α) )αα(:1α

αα 324

β)

1x

9x4:

2x3x

3x2 2

2

γ) 9x

2x:

3x

4x2

2


α) 4x

x3x2

2x

1x

2x

x2

2

β)

2x1

x4

1x

1x

γ) 1x

x

1x2x

x2

δ) x4x

x

x2x

1

x2x

1322


α) 3x

3x

2x

2x

6x5x

x22

β)

4x

1x

x1

2

4x5x

x4102

γ) x31

1

1x

1

1x2x3

42

δ) x21

x

1x4x4

12

9. Να γίνουν οι πράξεις :

α) 22 yx

xy4

yx

yx

β)

222 yx

y2x

xyx

yx

γ) xyx

y

yxy

x2

2

2

2

δ)

1x

1

1x

12


α) 6α6

α52

3α3

2

2α2

32

β)

22

2

β9α

β9

β3α

α

β3α

β3

[36]

γ) 2αα

α2

1α

1

2α

α2


α) 12x4x

1

6x5x

2

2x3x

1222

β) )2x)(x1(

5x3

1x

1x32


α) xx2

1

1xx2

1x22

, β)

x2x

2x

x2x

2x

x4x

8x223

2

13. Να γίνουν πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις:

α) αααα

α

2

21

2 2

β)

22223 αββα

β

βα

α

αββα

βα3

γ) 1

1

1

1

1

1223

ααααα

α

δ)

22 94

4

32

1

32

1

αβ

β

αβαβ

14. Να γίνουν πράξεις στις παρακάτω παραστάσεις:

α) 44

2

22

2111

βα

β

βαβαβα

β)

2916

8

43

1

43

1

ααα

γ) 12

2

1

1

1

122

αααα

δ) 132

1

1

1

12

12

αααα


α) 23

1

1

1

2

12

αααα

β) 96

217

3

1

9

122

αα

α

αα


α) yxyx

x

yxyx

x

2

2

444 2222

β) 63

2

44

1

123

122

xxx

x

x

x

γ) 12

1

44

1

23

2222

xxxxxx

δ) xxxxx 2

2

4

1

6

1222

[37]


α) 2222 4

1

2

1

2

1

44

1

yxyxyxyxyx

β) 2216

8

4

1

4

1

xy

y

yxyx

γ) x

x

x

x

xx

2365

12

δ) 3

2

23

4

2

422

x

x

x

x

xx

x

xx

x

18. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται καθένα από τα παρακάτω κλάσματα:

α) xx

xx

4

443

24

β)

xx

x

20254

2542

2

[38]

§ 2.2 - 2.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού

Μια εξίσωση λέγεται δευτέρου βαθμού ή δευτεροβάθμια, όταν ο μεγαλύτερος εκθέτης του

αγνώστου είναι το 2. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η εξής:

0γxβxα 2 , με 0α

Για να λύσουμε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α΄ μέλος.

Παραγοντοποιούμε το α΄ μέλος.

Εξισώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου που προέκυψε στο α΄ μέλος με το μηδέν.

Επιλύουμε τις εξισώσεις που προέκυψαν

Μετά τη μεταφορά όλων των όρων στο α΄ μέλος, μπορούμε να κάνουμε αναγωγή

ομοίων όρων εφόσον χρειάζεται.

Για την επίλυση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης, βασιζόμενοι στον τρόπο παραγοντοποίησης

τριωνύμου, ισχύουν τα ακόλουθα:

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα: αγ4βΔ 2

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

- Αν 0Δ τότε οι λύσεις της εξίσωσης είναι: α2

Δβx1

και

α2

Δβx 2

- Αν 0Δ τότε η λύση της εξίσωσης είναι: α2

βx 0

(διπλή)

- Αν 0Δ τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

[39]

Ασκήσεις

1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 0x2x4 2 β) 0x6x3 2

γ) 0xx5 2


α) 09x 2 β) 025x4 2

γ) 1x25 2

3. Να λυθούν οι εξισώσεις :

α) 3x22x1=0 β) 4x

2 +12x +9=0

γ) 7x2+3x+5=0


α) 02xx 2 β) 01x7x12 2

γ) 01x3x10 2 δ) 01x3x4 2

ε) 06x17x5 2 στ) 020xx2 2

5. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x2+x15=0 β) 2x

2 +2x

=

(x3)(x+1)

γ) x2 6x+7=5x

28x+5 δ) x

34x

2+x(xx

2+2)+1=0

ε) x410x

2+9=0 στ) x

43x

24=0


α) (2x+1)2 4x=5 β) (x2)

2 +(3x2)(3x+2)=6x

γ) (3x+1)2 (3x1)

2=(x+1)(x+5)


α) 0)x4()1x3()1x3( 2

β) 0)2x()1x5(2)1x5( 2

γ) 0)5x2()1x()x1( 2


α) (2x1)3 +4x

2 2x = 8x

31 β) (2x

21)(2x

2+1)(2x

23)

2 =11x(x1)20

[40]

9. Να λύσετε την εξίσωση:

)4x3(7x7)1x()3x( 233

10. Να λυθεί η εξίσωση : x22

5x2

4

x1214x2

22

11. Δίνονται τα πολυώνυμα Α= 2x3x 2 και Β= 1x .

α) Να υπολογίσετε την παράσταση Γ= 3BBA

β) Να λύσετε την εξίσωση: Γ= 11

12. Δίνεται η παράσταση: Α= 1x9x2x2x330xx 222

α) Να γίνουν οι πράξεις στην παράσταση Α.

β) Να λύσετε την εξίσωση : Α=3.

13. Δίνεται η εξίσωση 09λ2λ3xλ3x 22 (με άγνωστο το x). Αν η εξίσωση έχει λύση

x=2, να προσδιορίσετε το λ.

14. Να λυθεί η εξίσωση: 4x2x2x4x9x3x42xx 22322

15. Δίνεται η παράσταση Α= x25)3x2()3x2()3x()1x3( 22 .

α) Να δείξετε ότι Α= 19x25x6 2

β) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0.

γ) Να λύσετε την εξίσωση Α= 18x21x2 2 .

16. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = 1x41x21x21x21x3x22

και

Q(x) = 1x21x 22 .

α) Να αποδείξετε ότι P(x) = 3x2x6 2 και Q(x) = 2x2x3 2 .

β) Να λύσετε την εξίσωση: P(x)=Q(x).

17. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 22x5 και Β= 21x2 .

α) Να βρείτε τα αναπτύγματα των παραστάσεων Α και Β.

β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση ΑΒ.

γ) Να λύσετε την εξίσωση Α=Β.

[41]

18. Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει εμβαδόν 1500 m2. Να βρείτε τις

διαστάσεις του αν η περίμετρος του οικοπέδου είναι 160 m.

19. Να βρείτε δυο αριθμούς που έχουν άθροισμα 8 και γινόμενο 15.

20. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς που το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι

14.

§ 2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κλασματική εξίσωση - Τρόπος επίλυσης

Μια εξίσωση που έχει ένα τουλάχιστον κλάσμα με άγνωστο στον παρονομαστή, λέγεται

κλασματική εξίσωση.

Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.

Βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Παίρνουμε τους απαραίτητους περιορισμούς, θέτοντας το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών

διάφορο του μηδενός.

Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

Επιλύουμε την εξίσωση που προκύπτει.

Ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι δεκτές, σύμφωνα με τους περιορισμούς που

έχουμε πάρει στην εξίσωση.

Όταν μετά από την επίλυση μιας κλασματικής εξίσωσης καταλήγουμε στη μορφή

0x0 , τότε η εξίσωση έχει ως λύσεις όλους τους αριθμούς, εκτός από αυτούς που

δεν ικανοποιούν τους περιορισμούς.

[42]

Ασκήσεις


α) 01x

1

1x

12

β) 2x

2x

2x

2x

4x

x2

2

γ) 1x4

1x8

1x2

x

1x2

x32

2

2. Να λυθούν οι εξισώσεις

α) 0xx

1

1x

x

x

22

β) 4x

x

x

x3

x4x

12

γ) 9x

x

x

9x

xx9

x2

2

3.

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x3x

1

1x

2x

2x

1x2

β)

3x4x

1x

x3

1x1

2

2

,

γ) 03x2x

2x2x

1x

x

3x

x22

2

δ)

2xx

7x

x1

1x

2x

3x2

2


α) 2x3

1x

1x

2x3

2xx3

3xx72

2

β) 0

1x

1

x21

x

1xx2

x2


α) 3x2x

201

3x

2x2

β)

4x

2x

2x

4

x

12


α) x

2xx

x1

2x

xx

x 2

2

3

β)

6x5x

x

2x

1

1x

1

3x4x

x22


α) 16x

24xx

4x

4x

2x

14

43

2

2

β) 0

1x

2

x2

2

2xx

32

[43]


α) 1x

1x

1x2

1x2

1x3x2

x62

β)

2x

1x3

x31

2x

2x5x3

9x2x82

2

9. Να λυθούν οι κλασματικές εξισώσεις:

α) 2xx3

3x

4x9

1

2x5x3

x222

β)

1x

3

1x

x

1x

22

γ) x2

x1

2x9x4

7

1x4

1x2

δ)

x

x2

x2x4

4

4x2

x2


α) 8x6x

1

2x3x

1

4x5x

1222

β) 1x3

1x

1x2

x

1x5x6

x3x52

2


α) x4x

1

x4x

1

x16x

8223

β) 8x

x

x12

1x

96x4x

8x5x22

2


α) 6x5x

3

2x

2

x3

x2

β) x

1

3x

x

x3x

6xx22

2

γ) 22 xx4

4

x

1

16x

x

δ)

6x5x6

2x2x12

2x3

2

3x2

x2

2

13. Να λυθούν οι κλασματικές εξισώσεις:

α) 01x

2

x

x1

xx

3x2

β)

x2

1

2x

1

4x

x2

2

γ) x2x

x4

xx2

1

4x

2222

δ)

222 xx4

2x

x2x

4x

8x6x

6


α) xx4

2

x21

1

x

13

β) 1xx2

x1

1x2

12

γ) 11x2

x

)1x2(

2x5x22

2

δ) 1x

3

x1

2

1xx

132

[44]


α) x1

1

1x

1

1x

x

1x

3x24

3

β)

2x

1

1x

1

1x

1

2xx2x

3x23

16. Δίνονται οι παραστάσεις Α=(3x1)2

4 και B=8x

2

8.

α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β.

β) Να λύσετε την εξίσωση Α=Β.

γ) Να λύσετε την εξίσωση: BA

40x54x

A

B

B

A 2

.

17. Δίνεται η παράσταση: Α=x2x

1

x4

x

x2x

1222

α) Να προσδιορίσετε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α.

β) Να λυθεί η εξίσωση: Α=0.

18. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 3x4x 2 και Β= 3x2x 2

α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β.

β) Να λυθεί η εξίσωση: 1x

x

x3

1

A

x7B 2

19. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1xx6 2 και Β= 1x2x 2

α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β.

β) Να λυθεί η εξίσωση: A

2x11B

1x3

1

1x2

3

20. Δίνονται οι παραστάσεις: Α=1x5x4

1x162

2

και Β=

1x5x4

1x2x2

2

.

α) Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις Α και Β.

β) Να λυθεί η εξίσωση: BA1x3x4

x111x132

2

21. Δίνεται το κλάσμα Α=x3x4x

xx23

24

.

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται το κλάσμα Α.

β) Να απλοποιηθεί το κλάσμα Α.

γ) Να λυθεί η εξίσωση Α=9x

x3x2

23

.

[45]

22. α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i. 2x+2, ii. 33x, iii. 6x2 6, iv. x

2 11x+10

β) Να λυθεί η εξίσωση: 6x6

9x

x33

1x

2x2

1x2

23. α) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις 1x3x2 2 και 3x5x2 2 .

β) Να λυθεί η εξίσωση: 3x

1x

1x2

x

3x5x2

x3x2

2

.

§ 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ

Διάταξη πραγματικών αριθμών

Γνωρίζουμε ήδη από τις προηγούμενες τάξεις ότι :

κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το 0

κάθε αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από το 0

κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθμό

Γενικά ισχύουν οι σχέσεις:

αν βα τότε 0βα

αν βα τότε 0βα

και αντίστροφα

αν 0βα τότε βα


Επίσης ισχύει:


[46]

Ιδιότητες διάταξης

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες για τη διάταξη των πραγματικών αριθμών :

Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, προκύπτει

ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή:

αν βα τότε γβγα

Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό,

τότε προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή:

αν βα και 0γ τότε γβγα και γ

β

γ

α

Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ανισότητας με τον ίδιο αρνητικό

αριθμό, τότε προκύπτει ανισότητα με αντίθετη φορά. Δηλαδή:

αν βα και 0γ τότε γβγα και γ

β

γ

α

Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες με την ίδια φορά, προκύπτει

ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή:

αν βα και δγ τότε δβγα

Αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες με την ίδια φορά και θετικά

μέλη, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. Δηλαδή:

αν 0δ,γ,β,α με βα και δγ τότε δβγα

Ισχύει η μεταβατική ιδιότητα. Δηλαδή:

αν βα και γβ τότε γα

Αν 0βα 22 τότε 0βα

[47]

Επίλυση ανισώσεων 1ου βαθμού

Για να λύσουμε μια ανίσωση 1ου

βαθμού ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών

Απαλείφουμε τους παρονομαστές

Κάνουμε πράξεις και απαλείφουμε τις παρενθέσεις

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου, προσέχοντας το πρόσημό του. Αν

διαιρέσουμε με θετικό αριθμό η φορά της ανίσωσης παραμένει, ενώ αν διαιρέσουμε με αρνητικό

αριθμό η φορά αλλάζει.

Ασκήσεις

1. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) –4x12+2x β) –3x+1<–x+3

γ) 4x–12x–7 δ) 7x–54x–8

ε) –3x+15–4x–3 στ) 2(3x–1)<3x–5

ζ) –3(x–2)>4x+3(4–x) η) 2(x3)+95x6


α) 5

1

3

x21

5

x

β)

5

3x2

20

x3

2

x

4

1x

γ) 2

1x

3

x2

x

6

x73


α) 6

17x

2

1x

3

1x

β) 3x+

3

6x <–2+

9

50x5

γ) 2

x3

7

10x121

14

)5x8(3

[48]

4. Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις:

α) 4

x111

2

5x

4

3x

και

8

x4

2

1x

4

x3

β) 10

1

2

x31

5

5x4

και

4

x

12

4x3

3

1

2

4x

γ) 2

1x

5

2x

και

2

1

3

2x

4

x1

5. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: αβ4β4α 22 .

6. Αν 5α3 και 6β2 να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις:

α) βα β) β2α3


α) βα β) β

α


α) βα2 β) 2βα

γ) α4

β δ) 22 αβ

[49]

§ 3.1 - 3.2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ - ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Η εξίσωση ax+βy+γ=0

Κάθε εξίσωση της μορφής 0γyβxα , όπου α, β, γ είναι πραγματικοί αριθμοί και x, y οι

άγνωστοι, ονομάζεται γραμμική εξίσωση. Κάθε ζεύγος τιμών (x, y) που επαληθεύει την εξίσωση,

λέγεται λύση της εξίσωσης.

Ας πάρουμε ως παράδειγμα τη γραμμική εξίσωση 1yx και ας προσπαθήσουμε να βρούμε τις

λύσεις της. Παρατηρούμε ότι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ζεύγη:

0,1y,x , 1,2y,x , 2,3y,x , 3,4y,x κ.ο.κ.

Δηλαδή η συγκεκριμένη εξίσωση (όπως και όλες οι γραμμικές εξισώσεις) έχει άπειρες λύσεις. Αν σε

ένα σύστημα αξόνων αντιστοιχήσουμε κάθε λύση της εξίσωσης με ένα σημείο, τότε τα σημεία που θα

σχεδιάσουμε σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.

[50]

Η ευθεία που σχηματίζεται λέμε ότι έχει ως εξίσωση, τη γραμμική εξίσωση από την οποία προήλ-

θε. Δηλαδή στο προηγούμενο σχήμα η ευθεία έχει εξίσωση: 1yx .

Γενικά κάθε γραμμική εξίσωση της μορφής γyβxα με 0α ή 0β , παριστάνει ευθεία

γραμμή.

Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν

την εξίσωση της ευθείας.

Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε

το σημείο ανήκει στην ευθεία.

Η εξίσωση y=κ

Κάθε εξίσωση της μορφής κy παριστάνει μια ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, η οποία

διέρχεται από το σημείο (0, κ).

π.χ. η εξίσωση 2y

[51]

Η εξίσωση x=κ

Κάθε εξίσωση της μορφής κx παριστάνει μια ευθεία παράλληλη στον κατακόρυφο άξονα, η

οποία διέρχεται από το σημείο (κ, 0).

π.χ. η εξίσωση 2x

[52]

Γραμμικό σύστημα 2x2

Αν έχουμε δυο γραμμικές εξισώσεις με αγνώστους x, y και αναζητούμε τις κοινές τους λύσεις,

τότε λέμε ότι έχουμε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 (δηλ. δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους).

Επομένως κάθε γραμμικό σύστημα 2x2 είναι της μορφής:

γyβxα

γyβxα

Λύση γραμμικού συστήματος 2x2 με αγνώστους x και y, ονομάζεται κάθε ζεύγος (x, y) που επα-

ληθεύει τις εξισώσεις του.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2x2

Για να επιλύσουμε γραφικά ένα σύστημα 2x2, αρκεί να σχεδιάσουμε τις ευθείες που παριστάνει η

κάθε εξίσωση και στη συνέχεια να προσδιορίσουμε το κοινό τους σημείο. Ειδικότερα:

Αν οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση

π.χ.

4yx3

1yx2

Η λύση του συστήματος είναι 1,1y,x

[53]

Αν οι ευθείες δεν έχουν κοινό σημείο, τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

π.χ.

7y2x2

1yx

Δεν υπάρχει κοινό σημείο, άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Αν οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

π.χ.

2y2x2

1yx

Οι δύο ευθείες ταυτίζονται, άρα όλα τα σημεία τους είναι λύσεις του συστήματος. Το σύστημα

επομένως έχει άπειρες λύσεις και λέγεται αόριστο.

[54]

Ασκήσεις

1. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα:

α)

4yx2

1x β)

1y

1y5x3


α)

15y3x4

5yx2 β)

9yx3

4y2x5


α)

1y2x6

1yx3 β)

10y3x

10y3x


α)

5y25x10

1y5x2 β)

3xy2

3y2x

[55]

§ 3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Μέθοδος αντικατάστασης

Για να λύσουμε ένα σύστημα 2x2 με τη μέθοδο της αντικατάστασης εργαζόμαστε ως εξής :

Λύνουμε μια από τις εξισώσεις του συστήματος ως προς έναν άγνωστο.

Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση του συστήματος τον άγνωστο αυτόν με την ίση παράστασή

του, με αποτέλεσμα να προκύψει εξίσωση με έναν άγνωστο την οποία και λύνουμε.

Την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε την αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση, οπότε

προσδιορίζουμε και τον δεύτερο άγνωστο του συστήματος.

Βρίσκουμε τη λύση του συστήματος.

Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών

Για να λύσουμε ένα σύστημα 2x2 με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών εργαζόμαστε ως εξής:

Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη κάθε εξίσωσης με κατάλληλο αριθμό, ώστε να εμφανιστούν αντίθετοι

συντελεστές σε έναν από τους δυο αγνώστους.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις και προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και

λύνουμε.

Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος,

οπότε βρίσκουμε και την τιμή του άλλου αγνώστου.

Προσδιορίζουμε τη λύση του συστήματος.

[56]

Ασκήσεις

1. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο της αντικατάστασης:

α)

5yx4

2y3x β)

20y5x3

4yx

γ)

12y4x6

1x2y δ)

5y2x

5yx3

2. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο της αντικατάστασης:

α)

5y3x2

4yx3 β)

9y5x

4y3x2

γ)

32y12x4

26y4x2 δ)

6y4x

3y5x4

3. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών:

α)

6y4x

10y2x3 β)

2yx2

4y5x3

γ)

2y3x4

8yx6 δ)

25y7x6

4y5x3

4. Να λυθούν τα συστήματα με τη μέθοδο των αντιθέτων συντελεστών:

α)

13y4x3

1y2x β)

12y3x5

1y4x

γ)

7y7x4

2y2x6 δ)

16y3x2

11yx5

5. Να λυθούν τα συστήματα:

α)

20yx3

10y7x4 β)

0yx3

2yx2

γ)

54y20x14

3y5x7 δ)

1y3x2

8yx7


α)

14y5x6

13y3x β)

2016y2x3

1yx

[57]

γ)

8y7x

8yx7 δ)

2y15x6

1y5x2


α)

16y7x9

1y5x6 β)

161y3x2

3y3y32x6


α)

13

y

4

yx3

1y5

y3x

β)

14

y

2

yx

3y5

1x6


α)

02

y

3

x

22

y

3

x

β)

1y27

y4x7

y24

y3x4

2

y3x2

γ)

44

2y

3

x6

22

2y

3

x6

δ)

14

3y

3

1x

32

1y

4

7x


α)

22

y4

4

1x3

13

2y

2

1x

β)

0x8

yx3

23

2yx

γ)

24

y31

2

x3

03

y7x2

4

yx

[58]


α)

2y3x9

4yx3 β)

0y2x

1y2

x

γ)

2y2x8

1yx4 δ)

1y6x8

1y3x4


α)

4y4x

1y4

x

β)

3y3x6

1yx2

γ)

8y4x

12

y

8

x

δ)

2y4x6

1y2x3


α)

12

yx2

4yx4

β)

1yx2

1y3x6

γ)

3y21x3

1y7x δ)

2

9yx2

18y4x8


α)

y2x3)yx(6

2)yx(5x3 β)

1y4x6

x6)xy(2x11


α)

x20)xy(2)y3x(4

y1018)2y(2x3 β)

y253)yx(15)y3x2(4

y8)x2y(3x4


α)

12)yx(2)y3x(10

7)y2x(3x4 β)

7y5x2

5)xy(10)y3x4(3

[59]


α)

1y11x6

5yx2y1x 2222

β)

19yx2

8yx

22

22


α)

3y2x

0yx 22

β)

7y4x2

0y9x4 22

γ)

3yx

0x3x 2

δ)

2yx

0xyx 2


α)

1yx2

2x3x 2

β)

2y3x

1x3x4 2

γ)

0yx3

1x5x6 2

δ)

1y3x2

0x4x 2


α)

2yx

0)2y()4x( 22

β)

2yx

4yxy2x 22

γ)

3yx3

1y9xy6x 22


α)

1y5x6

7y4x3

22

22

β)

x216y2)1x(

x211y)1x(

22

22


α)

8y3x2

y9x6x 22

β)

4y5x3

0y4xy4x 22


α)

7y9x

1y9xy6x

22

22

β)

9y10x4

0y4xy4x 22

[60]


α)

3yx2

0yx 22

β)

20y13x

11y6x22

γ)

4yx

14y4y25x10x 22

δ)

7y3x

0yx4 22


α)

16yx3

4y4x5

2

2

β)

8yx

0y9x25 22


α)

1y2x

8y5x3

2

2

β)

2yx

0y9x4 22

γ)

2yx

0y4x 22

δ)

2y3x2

0yx4 22


α)

17yx

4xy

22 β)

0xyyx

1xy

22

γ)

4yx

xy2yx 22

δ)

10yx

3xy

22


α)

8yx

4xy

22 β)

2yx

xy2yx 22


α)

8y3x4

12yx3 22

β)

8y2x3

5yx 2

γ)

1y5x3

4xxy4 2

[61]


α)

1y

1

x

2

2y

1

x

1

β)

2y

5

x

4

8y

3

x

1


α)

1y

3

x

2

3y

1

x

1

β)

31y

1

x1

3

41y

2

1x

1

32. Να λυθεί το σύστημα:

222

333

yx2)yx(

yx6)yx(

[62]

§ 5.1 ΣΥΝΟΛΑ

Η έννοια του συνόλου

Σύνολο ονομάζεται μια συλλογή (ομάδα) διακεκριμένων αντικειμένων, που η φύση τους μπορεί να

είναι οποιαδήποτε.

Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή

του λατινικού αλφαβήτου, ενώ για να συμβολίζουμε τα στοιχεία ενός συνόλου (δηλ. τα μέλη του συ-

νόλου) χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα.

π.χ. με ΙΝ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών

με Ζ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών

με Q συμβολίζουμε το σύνολο όλων των ρητών αριθμών

με ΙR συμβολίζουμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών

Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σε ένα σύνολο, λέγεται στοιχείο του συνόλου.

Τα σύμβολα και

Για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει σε κάποιο σύνολο, χρησιμοποιούμε το σύμβολο .

Αν δηλαδή ο αριθμός x είναι πραγματικός, δηλ. ανήκει στο σύνολο ΙR , θα γράψουμε xΙR .

Αντίστοιχα, για να δηλώσουμε ότι ένα στοιχείο δεν ανήκει σε κάποιο σύνολο, χρησιμοποιούμε το

σύμβολο . Αν δηλαδή ο αριθμός y δεν είναι φυσικός, δηλ. δεν ανήκει στο σύνολο ΙΝ , θα γράψουμε

yΙΝ .

[63]

Παράσταση συνόλου

Για να παραστήσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου, συνήθως χρησιμοποιούμε έναν από τους τρεις

παρακάτω τρόπους:

● Με αναγραφή των στοιχείων

Όταν δίνονται όλα τα στοιχεία του συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά

μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με το κόμμα.

π.χ.

αν Α είναι το σύνολο των φυσικών μονοψήφιων άρτιων αριθμών, τότε γράφουμε: Α={0, 2, 4, 6, 8}

αν Β είναι το σύνολο των αποτελεσμάτων από τη ρίψη ενός ζαριού, γράφουμε: Β={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Στην περίπτωση που τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά ή άπειρα, γράφουμε μερικά από τα

στοιχεία του συνόλου, παραλείποντας τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι τα στοιχεία που

παραλήφθηκαν.

π.χ.

αν Γ είναι το σύνολο των διψήφιων φυσικών αριθμών, τότε γράφουμε: Γ={10, 11, 12, …, 99}

αν Δ είναι το σύνολο των φυσικών περιττών αριθμών, τότε: Δ={1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

● Με περιγραφή των στοιχείων

Όταν τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά σε πλήθος και έχουν όλα μια κοινή χαρακτηριστική

ιδιότητα τότε μπορούμε να περιγράψουμε τα στοιχεία του συνόλου ακολουθώντας την τυποποιημένη

σύνταξη: {σύνολο από το οποίο προέρχονται τα στοιχεία / ιδιότητα που τα χαρακτηρίζει}.

π.χ.

αν E είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι μικρότεροι του 1, τότε γράφουμε:

E={xΙR / x<1}

το σύνολο Γ={10, 11, 12, …, 99} που αναφερθήκαμε παραπάνω, μπορεί να γραφεί με περιγραφή των

στοιχείων του ως εξής: Γ={ xΙΝ / 10 x 99}

● Με το διάγραμμα Venn

Το διάγραμμα του Venn αποτελεί μια εποπτική παράσταση των στοιχείων ενός συνόλου. Στα

διαγράμματα του Venn τα στοιχεία του συνόλου αναγράφονται μέσα σε μια κλειστή καμπύλη

γραμμή.

π.χ. το σύνολο Ζ={7, 9, 11, 13, 15} με τη βοήθεια των διαγραμμάτων Venn θα παρασταθεί ως εξής:

[64]

Με τα διαγράμματα του Venn μπορούμε να παριστάνουμε σύνολα που ανήκουν σε μεγαλύτερα

σύνολα, χωρίς να εμφανίζονται αναγκαστικά τα στοιχεία τους.

π.χ.

Ίσα σύνολα

Δυο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή

γράφουμε Α=Β.

π.χ. Αν Α={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} και Β={x ΙΝ / 1 x 9} τότε προφανώς Α=Β.

Παρατήρηση : Δυο σύνολα Α και Β θα είναι ίσα, αν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και

στοιχείο του συνόλου Β και αντίστροφα, δηλ. αν κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι

και στοιχείο του συνόλου Α.

Υποσύνολο συνόλου

Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο

του Β και γράφουμε Α Β.

π.χ. αν Α={1, 2, 5} και Β={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε πως κάθε στοιχείο του συνόλου

Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Δηλ. το Α είναι υποσύνολο του Β, άρα Α Β.

Προφανώς ισχύει: ΙΝ Ζ Q ΙR

[65]

Από τον ορισμό προκύπτει ότι:

● Α Α για κάθε σύνολο Α

● αν Α Β και Β Γ τότε Α Γ (μεταβατική ιδιότητα)

● αν Α Β και Β Α τότε Α = Β

Κενό σύνολο

Κενό ονομάζεται το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ή {}.

Παρατήρηση : Για κάθε σύνολο Α ισχύει ότι Α

Πράξεις με σύνολα

● Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω

που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α∪Β .

Α∪Β = {x ∈ Ω| x ∈ Α ή x ∈ Β}

● Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που

ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α ∩ Β

Α ∩ Β = {x ∈ Ω | x ∈ Α και x ∈ Β}

Α Β

Α Β

[66]

● Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του

Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α΄.

Α΄ = {x ∈ Ω | x∉Α}

● Διαφορά δυο μη κενών συνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τα στοιχεία του

συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β και συμβολίζεται με ΑΒ

.

Α Β = {x ∈ Α | x Β}

π.χ. αν Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, Α={1, 2, 3, 4} και Β={1, 3, 6} τότε:

ΑΒ = {1, 2, 3, 4, 6}, ΑΒ = {1, 3}, Α΄={5, 6} και ΑΒ={2, 4}

Ασκήσεις

1. Αν Α, Β είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Α, να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λάθος καθε-

μιά από τις παρακάτω προτάσεις:

α) Α ΑΒ β) ΑΒ Β

γ) (ΑΒ) (ΑΒ) δ) ΑΑ΄ =

ε) ΒΒ΄=Ω στ) (ΑΒ) (ΒΑ) = Ω

ζ) Α (ΑΒ) η) (ΑΒ) (ΒΑ) (ΑΒ)

[67]

2. Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τα παρακάτω σύνολα:

α) Α={xN / 1 < x 10} β) Β={xΖ / x > 2}

γ) Γ={x ΙR / x4+x

2 = 1} δ) ΑΒ

ε) ΑΒ στ) ΒΑ

3. Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα:

α) Α={ x ΙR / x2 3x+2=0} β) Β={ xΙN / x =2κ, κΙN }

4. Να παραστήσετε με περιγραφή των στοιχείων τα παρακάτω σύνολα:

α) Α={5, 4, 3, …, 4, 5} β) Β={100, 101, 102, …, 1000}

β) Γ={1, 3, 5, 7, 9, …, 99} δ) Δ={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …}

ε) Ε={10, 5, 0, 5, 10, 15, …, 150} στ) Ζ={…, 8, 4, 0, 4, 8, 12, 16}

ζ) Η={…, 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, …}

5. Να προσδιορίσετε τους αριθμούς x, y ώστε τα παρακάτω σύνολα να είναι ίσα:

α) Α={1, 5, x, 15} και Β={1, 5, 10, y}

β) Α={2, x+10, y10} και B={2, 6x, 3y40}

6. Να γράψετε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α={1, 0, 1}.

7. Αν Ω={2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, Α={2, 1, 1, 3, 4} και Β={1, 3, 6} να βρείτε τα σύνολα:

α) ΑΒ, β) ΑΒ, γ) Α΄, δ) Β΄, ε) ΑΒ, στ) ΒΑ

8. Αν Ω={3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}, Α={2, 1, 1}, Β={1, 1, 3} και Δ=, να βρείτε τα σύνολα:

α) ΑΒ, β) ΑΒ, γ) Α΄, δ) Β΄, ε) ΑΒ, στ) ΒΔ

ζ) ΑΔ, η) (ΑΒ)Β

9. Αν Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, Α={1, 3, 5, 7, 9} και Β=(1, 2, 3, 4, 5, 6} να αποδείξετε ότι

BABA

.

[68]

10. Με τη βοήθεια του επόμενου διαγράμματος Venn να βρείτε τα σύνολά:

Α, Β, ΑΒ, ΑΒ, Α΄, Β΄, ΑΒ, ΒΑ, (ΑΒ)(ΒΑ), ΑΒ΄

11. Αν Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, Α={1, 3, 5, 7, 9} και Β=(1, 2, 3, 4, 5, 6} να αποδείξετε ότι

BABA

.

[69]

§ 5.2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Πείραμα τύχης - Δειγματικός χώρος


Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του:

1η ρίψη: …………, 2

η ρίψη: …………, 3

η ρίψη: …………

4η ρίψη: …………, 5


Ρίξτε ένα ζάρι 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του:

1η ρίψη: …………, 2

η ρίψη: …………, 3


4η ρίψη: …………, 5


Τι παρατηρείτε στα αποτελέσματα που βρήκατε; Θα μπορούσαν να έχουν προβλεφθεί;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Οι παραπάνω διαδικασίες στις οποίες δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, λέγονται

πειράματα τύχης. Ειδικότερα:

Πείραμα τύχης ονομάζεται μια διαδικασία της οποίας δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέ-

ψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι μπορεί να επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις

ίδιες συνθήκες.

Δειγματικός χώρος

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτε-

λέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγε-

ται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1,ω2,...,ωκ είναι τα

δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το

σύνολο: Ω={ω1, ω2, ... , ωκ}

π.χ. κατά τη ρίψη ενός κέρματος, τα δυνατά αποτελέσματα είναι κορώνα και γράμματα. Αν

συμβολίσουμε με Κ το αποτέλεσμα να προκύψει κορώνα και Γ το αποτέλεσμα να προκύψει γράμμα,

τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι: Ω={Κ, Γ}

[70]


Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο των παρακάτω πειραμάτων τύχης:

Αν ρίξουμε ένα ζάρι και καταγράψουμε την ένδειξη της πάνω όψης του, τότε ο δειγματικός

χώρος είναι: Ω={……, ……, ……, ……, ……, ……}

Αν διαλέξουμε αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάσουμε τα

παιδιά ως προς το φύλο (α: αγόρι, κ: κορίτσι) και τη σειρά γέννησής τους, τότε

ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω={……, ……, ……, ……}

Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές και καταγράφουμε την ένδειξη της πάνω όψης του. Να

βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

1η ρίψη 2

η ρίψη Αποτελέσματα

…………

…………

αρχή

…………

…………

Επομένως Ω={……, ……, ……, ……}

Ενδεχόμενα

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγε-

ται ενδεχόμενο. Είναι φανερό ότι ένα ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου.

Απλό ενδεχόμενο : Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο.

Σύνθετο ενδεχόμενο : Ένα ενδεχόμενο λέγεται σύνθετο αν έχει περισσότερα από ένα στοιχεία.

Πότε ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται: Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμε-

νη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυ-

[71]

τό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’ αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊ-

κές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του.

Βέβαιο ενδεχόμενο: Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο,

το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος

θα ανήκει στο Ω. Γι’αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο.

Αδύνατο ενδεχόμενο: Δεχόμαστε ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο που δεν πραγματοποιείται σε

καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’αυτό λέμε ότι το είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.

Πράξεις με ενδεχόμενα

Τομή ενδεχομένων

Αν Α και Β είναι δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε

η τομή τους (ΑΒ) είναι το ενδεχόμενο που περιέχει τα κοινά

στοιχεία των ενδεχομένων Α και Β. Δηλαδή το ενδεχόμενο ΑΒ

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα

ενδεχόμενα Α και Β.

Ένωση ενδεχομένων

Αν Α και Β είναι δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε

η ένωσή τους (ΑΒ) είναι το ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα

στοιχεία των ενδεχομένων Α, Β. Δηλαδή το ενδεχόμενο ΑΒ

πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα

ενδεχόμενα Α, Β.

Συμπλήρωμα ενδεχομένου

Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε το

συμπλήρωμά του (Α΄) είναι το ενδεχόμενο που περιέχει όλα τα

στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν ανήκουν στο Α. Δηλαδή

το ενδεχόμενο Α΄ πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται

το Α.

[72]

Διαφορά ενδεχομένων

Αν Α και Β είναι δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,

τότε η διαφορά τους (Α Β) είναι το ενδεχόμενο που περιέχει

όλα τα στοιχεία του Α που δεν είναι και στοιχεία του Β. Δηλαδή

το ενδεχόμενο ΑΒ πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το

ενδεχόμενο Α αλλά δεν πραγματοποιείται το Β. Μπορούμε να

ισχυριστούμε ότι: ΑΒ=ΑΒ΄.


Κατά τη ρίψη ενός ζαριού, θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α={1, 2, 3, 4}, Β={2, 3, 6}, Γ={1, 6}.

Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα:

ΑΒ= ……………………………………………………………………………………………………

ΒΓ= ……………………………………………………………………………………………………

ΑΒ= ……………………………………………………………………………………………………

ΑΓ= ……………………………………………………………………………………………………

(ΑΒ)Γ= ...……………………………………………………………………………………………

(ΑΒ)Γ= ...……………………………………………………………………………………………

(ΑΒ)Γ= ...……………………………………………………………………………………………

Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν ΑΒ=. Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.

[73]

Ασκήσεις

1. Ρίχνουμε ένα κέρμα τρεις φορές. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

2. Σε ένα κουτί βρίσκονται τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια πράσινη. Επιλέγουμε πρώτα

μια μπάλα από το πρώτο κουτί, στη συνέχεια ρίχνουμε ένα νόμισμα και καταγράφουμε τα αποτε-

λέσματα. Να γράψτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

3. Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματα.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

β) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα:

Α = «να παρουσιαστεί τουλάχιστον μια φορά Γ (γράμμα)»

Β = «να παρουσιαστεί τουλάχιστον μια φορά Κ (κορώνα)»

Γ = «και στις δύο ρίψεις το αποτέλεσμα να είναι το ίδιο»

γ) Να προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα: Α ∪ Β , Β ∪ Γ και ( Α ∪ Β ) ( Β ∪ Γ )

4. Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά και θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α = {1, 2, 6} και Β = {2, 4, 5, 6}. Να

προσδιορίσετε τα ενδεχόμενα:

α) Α ∪ Β, β) Α΄, γ) Α ∩ Β, δ) Β Α.

5. Από το σύνολο Α ={1,3} επιλέγουµε τυχαία ψηφία και κατασκευάζουµε έναν τριψήφιο αριθµό.

Να βρεθούν:

α) Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος.

β) Τα ενδεχόµενα:

Α= «Το πολύ ένα ψηφίο του αριθμού να είναι το 1» ,

Β= « Τουλάχιστον ένα από τα ψηφία του αριθμού να είναι το 3».

γ) Τα ενδεχόµενα Α∩Β, Α′ , Β′ , Β Α

[74]

§ 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Κλασικός ορισμός πιθανότητας

Για να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α, αρκεί να προσδιο-

ρίσουμε το λόγο )Ω(N

)A(N, όπου Ν(Α) είναι το πλήθος των στοιχείων του ενδεχομένου Α και Ν(Ω) το

πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου. Δηλαδή:

)Ω(N

)A(N

σεωνώπεριπτνώδυνατθοςήπλ

σεωνώπεριπτνώκϊευνοθοςήπλ)A(P

Παρατηρήσεις : α) 1)Ω(N

)Ω(N)Ω(P

β) P() 00

)Ω(N

γ) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤

P(A)

≤

1 , αφού το πλήθος των στοιχείων

ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του

δειγματικού χώρου.


Ρίχνουμε ένα ζάρι. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε 6;

………………………………………………………………………………………………………….

Ρίχνουμε ένα κέρμα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε «γράμματα»;

………………………………………………………………………………………………………….

Κατά τη διάρκεια μιας σχολικής γιορτής, σε μία τάξη 25 μαθητών, γίνεται κλήρωση για να κερ-

δίσει ένα βιβλίο κάποιο από τα παιδιά της τάξης. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει το βιβλίο ο

απουσιολόγος της τάξης;

………………………………………………………………………………………………………….

Προσπαθήστε να περιγράψετε το σκεπτικό με το οποίο απαντήσατε τα ερωτήματα της

δραστηριότητας.

[75]


Από μία τράπουλα 52 φύλλων (όπως φαίνεται στο σχήμα), επιλέγουμε τυχαία ένα φύλλο.

Η πιθανότητα να επιλέξουμε άσο (Α) είναι: ………………………………………………………...

Η πιθανότητα να επιλέξουμε μπαστούνι () είναι ………………………………………………….


Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούν να προκύψουν (δηλ. ο

δειγματικός χώρος του πειράματος) εμφανίζονται στο παρακάτω σχήμα:

Η πιθανότητα να φέρουμε δυο διαδοχικές φορές 6 είναι: ……………………………………………

Η πιθανότητα το άθροισμα των δύο ρίψεων να είναι μεγαλύτερο από 9 είναι : …………………….

[76]

Βασικοί κανόνες λογισμού πιθανοτήτων

Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α' ισχύει: P(A΄) = 1P(A)

Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(AB) =

P(A)

+

P(B)

P(AB)

Ασκήσεις

1. Από μία κλασική τράπουλα 52 φύλλων, επιλέγουμε τυχαία ένα φύλλο. Ποια είναι η πιθανότητα

να επιλέξουμε κούπα;

2. Ρίχνουμε ένα ζάρι μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε αποτέλεσμα τουλάχιστον 3;

3. Ρίχνουμε ένα ζάρι μία φορά και θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α = « η ένδειξη είναι το πολύ 4» και

Β= «η ένδειξη είναι περιττός αριθμός». Να προσδιορίσετε τις πιθανότητες: P(A), P(B), P(AB),

P(AB).

4. Ρίχνουμε δυο ζάρια συγχρόνως. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 10;

[77]

5. Ρίχνουμε ένα ζάρι δυο φορές. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων:

Α= “το άθροισμα των δυο ενδείξεων είναι τουλάχιστον 10”

Β= “οι ενδείξεις είναι διαδοχικές”

Γ= “οι ενδείξεις είναι ίδιες”.

6. Ρίχνουμε ένα κέρμα 3 φορές.

α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α= « μία τουλάχιστον ένδειξη είναι γράμματα»,

Β= « δύο το πολύ ενδείξεις είναι γράμματα »

γ) Να προσδιορίσετε τις πιθανότητες: P(AB)

7. Αν από το σύνολο Ω={1, 2, 3, …, 25} πάρουμε στην τύχη έναν αριθμό, ποια είναι η πιθανότητα

ο αριθμός αυτός να διαιρείται με το 4 ή το 5;

8. Αν P(A) =

5

3, P(B)

=

10

7 και P(ΑB)

=

5

2, να προσδιορίσετε την πιθανότητα P(ΑB).

[78]

[79]

§ 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων

Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζονται οι πλευρές του και οι γωνίες του.

Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι διάμεσοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι του. Πιο

αναλυτικά:

Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου

με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους. Και οι τρεις διάμεσοι

διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο ονομάζεται κέντρο βάρους ή βαρύκεντρο του τριγώνου.

Ύψος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή του

τριγώνου και καταλήγει κάθετα στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη. Και

τα τρία ύψη διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο του τρίγωνου.

[80]

Διχοτόμος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας του

τριγώνου που φέρνουμε από μια κορυφή και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Κάθε τρίγωνο έχει

τρεις διχοτόμους. Και οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο ονομάζεται έκκεντρο

του τριγώνου.

Είδη τριγώνων

Τα τρίγωνα διακρίνονται με βάση τις πλευρές τους σε ισοσκελή, ισόπλευρα και σκαληνά.

Ένα τρίγωνο λέγεται ισοσκελές όταν έχει δυο πλευρές ίσες.

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η τρίτη πλευρά (όχι οι δύο ίσες πλευρές) ονομάζεται βάση του ισοσκε-

λούς. Οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου είναι μεταξύ τους ίσες. Η διάμεσος, η διχοτόμος

και το ύψος που αντιστοιχούν στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ταυτίζονται.

Ένα τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

[81]

Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες (από 600). Η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος

προς κάθε πλευρά του τριγώνου ταυτίζονται.

Ένα τρίγωνο λέγεται σκαληνό όταν όλες τις πλευρές του είναι μεταξύ τους άνισες.

Τα τρίγωνα διακρίνονται με βάση τις γωνίες τους σε ορθογώνια, αμβλυγώνια και οξυγώνια.

Ένα τρίγωνο λέγεται ορθογώνιο όταν έχει μια ορθή γωνία.

Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία, ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι πλευρές

που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές.

Ένα τρίγωνο λέγεται αμβλυγώνιο όταν έχει μια αμβλεία γωνία.

Ένα τρίγωνο λέγεται οξυγώνιο όταν έχει και τις τρεις γωνίες τους οξείες

[82]

Ίσα τρίγωνα

ΟΡΙΣΜΟΣ : Δύο τρίγωνα λέγονται ίσα αν και μόνο αν έχουν όλες τις πλευρές τους μία προς μία

ίσες και όλες τις γωνίες του μία προς μία ίσες.

Στα ίσα τρίγωνα του παραπάνω σχήματος, ισχύουν οι σχέσεις:

ΔΕΑΒ , ΕΖΒΓ , ΔΖΑΓ ,

ΔΑ ,

ΕΒ και

ΖΓ

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

1ο κριτήριο (Π – Γ – Π) : Δυο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και την

περιεχόμενη σε αυτές γωνία ίση.

Σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, τα τρίγωνα είναι ίσα αρκεί να ισχύει:

ΔΕΑΒ , ΔΖΑΓ ,

ΔΑ

[83]

2ο κριτήριο (Γ – Π – Γ) : Δυο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες

στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία.


ΕΖΒΓ ,

ΕΒ ,

ΖΓ

3ο κριτήριο (Π – Π – Π) : Δυο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία


ΔΕΑΒ , ΕΖΒΓ , ΔΖΑΓ

Παρατήρηση : Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές και αντίστροφα.

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν:

δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία

μια αντίστοιχη πλευρά ίση και μια αντίστοιχη γωνία ίση.

[84]

[85]

Ασκήσεις

1. Σε κύκλο με κέντρο Ο θεωρούμε τις διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΓ και

ΒΟΔ είναι ίσα.

2. Δυο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΑΒ και

ΛΑΒ είναι ίσα.

3. Δίνεται γωνία yOx

και η διχοτόμος της Οδ. Παίρνουμε τα σημεία Α, Β στις πλευρές Οx και Οy

αντίστοιχα έτσι ώστε να ισχύει ΟΑ = ΟΒ. Αν Γ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ, να δείξετε ότι

ΑΓ = ΒΓ.

4. Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ και ΓΑ προς την κορυφή Α και παίρνουμε τα

τμήματα ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΒ. Να δείξετε ότι ΒΓ = ΔΕ.

5. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =

ΑΓ) . Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΑΓ και ΑΒ

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΒΜ = ΓΝ.


ΑΓ) . Αν ΒΔ και ΓΕ είναι οι διχοτόμοι των αντίστοιχων

γωνιών του τριγώνου, να δείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.


ΑΓ) . Αν Κ, Λ και Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ

και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ΚΛ = ΛΜ.

8. Να δείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ισόπλευρου τριγώνου σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο.

9. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην πλευρά ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Δ και Ε έτσι

ώστε να ισχύει ΒΔ=ΓΕ. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.


ΑΓ) . Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΔ

και την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΕ έτσι ώστε να ισχύει ΒΔ =

ΓΕ. Να δείξετε ότι ΓΔ

=

ΔΕ.


ΑΓ) . Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΔ

και την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα ΓΕ έτσι ώστε να ισχύει ΒΔ =

ΓΕ. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς

ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές.

[86]

12. Να αποδείξετε ότι αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΜ είναι και διχοτόμος του τριγώνου,

τότε το ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

13. Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα, να αποδείξετε ότι οι διάμεσοι στις αντίστοιχες πλευ-

ρές είναι μεταξύ τους ίσες

14. Να δείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

15. Να δείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα

άκρα του τμήματος.

16. Να δείξετε ότι το μέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του.

17. Να αποδείξετε ότι αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΜ είναι και ύψος του τριγώνου, τότε το

ΑΒΓ είναι ισοσκελές.


ΑΓ). Να δείξετε ότι τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα.


ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντί-

στοιχα. Να δείξετε ότι οι κορυφές του τριγώνου ισαπέχουν από την ευθεία ΚΛ.

20. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι οι κορυφές Α και Γ ισαπέχουν από τη διαγώ-

νιο ΒΔ.

21. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το ύψος του ΑΔ.

Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε του ύψους ΑΔ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΕΒ=ΕΓ

β)

EΓAABE

22. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Στην πλευρά ΑΓ

παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ=ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΔΕ=ΔΒ

β) τα σημεία Β, Ε ισαπέχουν από τη διχοτόμο ΑΔ.

[87]

23. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τις διαμέσους του ΒΔ, ΓΕ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΔ=ΓΕ

β) τα σημεία Δ, Ε ισαπέχουν από την πλευρά ΒΓ

24. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΒΔ=ΓΕ

β) το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές

25. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Από τα σημεία Δ, Ε

φέρνουμε τα τμήματα ΔΖ και ΕΗ κάθετα προς τη ΒΓ (τα σημεία Η, Ζ είναι σημεία της ΒΓ). Να

αποδείξετε ότι:

α) ΒΔ=ΓΕ

β) το ΔΕΗΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

26. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα σημεία Δ, Ε στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντί-

στοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ.

α) Να δείξετε ότι ΒΕ=ΓΔ

β) Αν Μ είναι το σημείο τομής των ΒΕ και ΓΔ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

27. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές κατά τμήματα ΒΔ και ΓΕ

έτσι ώστε ΒΔ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε ισαπέχουν από την ευθεία ΒΓ.

28. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στη βάση ΒΓ

παίρνουμε τα σημεία Δ, Ε έτσι ώστε να ισχύει ΒΔ=ΕΓ.

α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

β) Αν ΔΖΑΒ και ΕΗΑΓ, να αποδείξετε ότι ΔΖ=ΕΗ.

γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές.

[88]

29. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) στα οποία είναι

γνωστό ότι έχουν ίσες τις διχοτόμους ΑΗ και ΔΘ, 030ΖΔΘΓAH

και 070ΕΒ

.

Να δείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΔΕΘ είναι ίσα

β) ΑΒ=ΔΕ

γ) τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα.

30. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τα ύψη του

ΒΔ και ΓΕ τα οποία τέμνονται στο σημείο Η.

Να δείξετε ότι:

α) ΒΔ = ΓΕ

β) το τρίγωνο ΒΗΓ είναι ισοσκελές

γ) τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΑΓΗ είναι ίσα

δ) το ΑΗ διχοτομεί τη γωνία

A .

[89]

§ 1.2 – 1.3 ΛΟΓΟΣ ΤΜΗΜΑΤΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ

Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι ο λόγος των μηκών τους, εφόσον τα τμήματα αυτά

έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης.

π.χ.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει: 2

1

4

2

ΓΔ

ΑΒ και

2

1

6

3

ΗΘ

ΕΖ

Άρα ΗΘ

ΕΖ

ΓΔ

ΑΒ

Αν για δυο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ ισχύει λΓΔ

ΑΒ τότε συμπεραίνουμε ότι ΓΔλΑΒ .

Γενικά:

Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα τμήματα β, δ όταν ισχύει:

δ

γ

β

α .

Η ισότητα δ

γ

β

α ονομάζεται αναλογία με όρους τα τμήματα α, β, γ, δ. Οι όροι α και δ λέγονται α-

κραίοι όροι ενώ οι όροι β και δ λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας.

[90]

Ιδιότητες αναλογιών

Οι βασικότερες ιδιότητες των αναλογιών είναι:

Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων ισούται με το γινόμενο των μέσων όρων.

Αν δ

γ

β

α τότε γβδα

Σε κάθε αναλογία μπορούμε να αλλάξουμε τους μέσους ή τους άκρους όρους και να προκύψει

πάλι αναλογία.

Αν δ

γ

β

α τότε

δ

β

γ

α ή

α

γ

β

δ

Λόγοι ίσοι μεταξύ τους είναι ίσοι και με λόγο ου έχει ως αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και

παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών.

Αν δ

γ

β

α τότε

δγ

βα

δ

β

γ

α

Θεώρημα Θαλή

Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που

ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα τμήματα που ορίζονται στην άλλη.

Αν ε1 // ε2 // ε3 τότε ισχύει: ΔΖ

ΑΓ

ΕΖ

ΒΓ

ΔΕ

ΑΒ

[91]

Εφαρμογή του θεωρήματος Θαλή σε τρίγωνο

Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα του Θαλή σε ένα τρίγωνο τότε:

Αν ΔΕ // ΒΓ τότε ΑΓ

ΑΒ

ΕΓ

ΔΒ

ΑΕ

ΑΔ

Αν ΔΕ // ΒΓ τότε ΒΕ

ΔΓ

ΑΒ

ΑΓ

ΑΕ

ΑΔ

[92]

Ασκήσεις

1. Αν ε1 // ε2 // ε3 να προσδιορίσετε το x σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα:

[93]

2. Αν ΑΔ//ΕΖ//ΒΓ, να βρείτε τα x, y σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα:

3. Αν ΔΕ // ΒΓ να προσδιορίσετε το x στα παρακάτω σχήματα:

[94]

4. Αν ΔΕ // AΓ να προσδιορίσετε το x στo παρακάτω σχήμα:

5. Αν ΔΕ // AB να προσδιορίσετε το x στo παρακάτω σχήμα:

[95]

§ 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Όμοια πολύγωνα

Δυο πολύγωνα λέγονται όμοια αν έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες και τις πλευρές τους

ανάλογες.

Στα πολύγωνα του σχήματος παρατηρούμε ότι ισχύουν οι σχέσεις:

ΖΚ

ΑΕ

ΙΚ

ΔΕ

ΘΙ

ΓΔ

ΗΘ

ΒΓ

ΖΚ

AB και

ΖΑ ,

ΗΒ ,

ΘΓ ,

ΙΔ ,

ΚΕ

Επομένως τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΖΗΘΙΚ είναι όμοια και γράφουμε: ΑΒΓΔΕ ΖΗΘΙΚ.

Οι αντίστοιχες πλευρές των όμοιων πολυγώνων λέγονται ομόλογες πλευρές και ο λόγος τους λέγεται

λόγος ομοιότητας.

Αν δυο πολύγωνα είναι όμοια, τότε οι ομόλογες πλευρές τους είναι ανάλογες και οι

αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες.

[96]

Όμοια τρίγωνα

Δυο τρίγωνα είναι όμοια αρκεί να έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Ασκήσεις

1. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ για τα οποία γνωρίζουμε ότι

ΔA =550,

Γ =450,

Ε =800,

ΑΒ=6cm, AΓ=9cm και ΔΕ=3cm.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια.

β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΔΖ.

2. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ για τα οποία γνωρίζουμε ότι

ΔA

=550,

Γ =450,

Ε =800, ΑΒ=6cm, AΓ=9cm και ΔΕ=3cm.

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια.

β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΔΖ.

3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (

A =900) και το ύψος του ΑΔ.

α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια.

β) Αν ΑΒ=6 και ΒΓ=10, να προσδιορίσετε το μήκος του τμήματος ΒΔ.

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και φέρνουμε την ΔΕ//ΒΓ. Αν

γνωρίζουμε ότι ΑΔ=x+1, ΑΕ=6, ΔΒ=4 και ΕΓ=x+11, να

προσδιορίσετε το x.

5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΕ//ΒΓ (όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα). Αν ΑΒ=x+1, ΔΒ=2, ΑΕ=6 και ΕΓ=x2,

να προσδιορίσετε το x.

[97]

§ 2.1 – 2.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 00 ω 1800

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Γνωρίζουμε από την Β΄ Γυμνασίου ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου

τριγώνου ορίζονται ως εξής:

ΒΓ

ΑΓ

νουσαίυποτε

άπλευρθετηάκναντιέαπΒημ

ΒΓ

ΑΒΓημ

ΒΓ

ΑΒ

νουσαίυποτε

άπλευρθετηάκμενηίπροσκεΒσυν

ΒΓ

ΑΓΓσυν

ΑΒ

ΑΓ

άπλευρθετηάκμενηίπροσκε

άπλευρθετηάκναντιέαπΒεφ

ΑΓ

ΑΒΓεφ

Μπορούμε όμως να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οποιασδήποτε γωνίας, δηλαδή

και μιας γωνίας που δεν είναι οξεία. Τοποθετούμε μια γωνία σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντε-

ταγμένων, φροντίζοντας η κορυφή της να ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων και η μία πλευρά της να

συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα Ox (όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα). Στην δεύτερη

πλευρά της γωνίας παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Μ(α, β). Η απόσταση του σημείο Μ από την αρχή

των αξόνων είναι

22 βαρ

[98]

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω είναι:

ρ

β

ΟτοόαπΜτουστασηόαπ

Μτουνηέτεταγμημω

ρ

α

ΟτοόαπΜτουστασηόαπ

Μτουνηέτετμημσυνω

α

β

Μτουνηέτετμημ

Μτουνηέτεταγμεφω


Αν η γωνία ω είναι οξεία, να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμβολο στις παρακάτω σχέσεις (< ή >)

0......ημω 0.....συνω 0......εφω

Ομοίως, αν η γωνία ω είναι αμβλεία:

0......ημω 0.....συνω 0......εφω

ω

[99]


Με τη βοήθεια του ορισμού των τριγωνομετρικών αριθμών, να συμπληρώσετε τις παρακάτω

ισότητες:

......0ημ 0 ......0συν ο ......0εφ ο

......90ημ ο ......90συν ο ......90εφ ο

......180ημ ο ......180συν ο ......180εφ ο

Ομοίως, αν η γωνία ω είναι αμβλεία:

0......ημω 0.....συνω 0......εφω

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών ω και 1800ω, έχουν τα ίδια ημίτονα και αντίθετους τους

άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Δηλαδή:

ημ(1800 ω) = ημω

συν(1800 ω) = συνω

εφ(1800 ω) = εφω

Τριγωνομετρικός πίνακας

ω 00

300

450

600

900

1800

2700

3600

ημω 0 2

1

2

2

2

3 1 0 1 0

συνω 1 2

3

2

2

2

1 0 1 0 1

εφω 0 3

3 1 3 0 0

[100]

Τριγωνομετρικές ταυτότητες

συνω

ημωεφω

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

εφωx

y

ρx

ρy

ρ

x

ρ

y

συνω

ημω

1ωσυνωημ 22

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

2

22

2

2

2

222

22

ρ

xy

ρ

x

ρ

y

ρ

x

ρ

yωσυνωημ

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο

ορθογώνιο ΟΑΜ έχουμε:

222 ΟΜΑΜΟΑ

222 ρyx

Άρα η αρχική σχέση γίνεται:

1ρ

ρ

ρ

xyωσυνωημ

2

2

2

2222

[101]

Ασκήσεις

1. Να αποδείξετε ότι: 14xημ3xσυν222xσυν3xημ22

.

2. Να αποδείξετε ότι: 25xημ3xσυν4xσυν3xημ422 .

3. Να αποδείξετε τις ισότητες:

α) 0ωημωσυνωημωημ 2224

β) 22 συνωημω1συνωημωεφωωσυν .

4. Να αποδείξετε την ισότητα: 2222βασυνφαημφβσυνφβημφα .

5. Αν ημω=5

4 και 90

0 < ω < 180

0, να προσδιορίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας ω.

6. Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ότι ημω=13

12, τότε:

α) να προσδιορίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

β) να προσδιορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής της γωνίας ω.

7. Αν συνω=5

3

και η γωνία ω είναι οξεία, να υπολογίσετε:

α) τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

β) την τιμή της παράστασης: Α= φσυνσυνω3

20φημημω5εφω3 22

8. Δίνεται η αμβλεία γωνία ω για την οποία ισχύει 5

3ημω .

α) Να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

β) Να αποδείξετε τη σχέση: 1120συν16συνω5

135εφεφω40

0

.

9. Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ότι 17

15συνω , τότε:


[102]

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= 00 135εφεφω15συνωω180ημ17 .

10. Δίνεται η εξίσωση 08x14x5 2 και μια γωνία ω με 00 180ω90 .

α) Να λυθεί η εξίσωση.

β) Αν μια λύση της εξίσωσης ισούται με το ημω, να προσδιορίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομε-

τρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

11. Δίνεται η γωνία αμβλεία γωνία ω, για την οποία ισχύει ότι 5

3ημω .

α) Να προσδιορίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

β) Να λύσετε το σύστημα:

4yεφω4x

1yσυνω5xημω5

12. Αν 5

4συνω με 00 180ω90 τότε:


β) Να προσδιορίσετε την παράσταση: Α=2)ω180(εφ4

)ω180(ημ5)ω180(συν100

00

Documents

georgios-g-outras-kathigitis-mathimatikon-2i-istoselida3 ...... · [3] § 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Οι πραγματικο αριθμο