Geschlossene fieod~itische

Von WILHELM KLINGENBERG In Bonn

Meinem heutigen Festvortrag anl~]lieh der Ehrenpromotion unseres verehrten Kollegen Shimshing Chern mSehte ich einen Gegenstand zu- grunde legen, der zu den ~ltesten und auch schwierigsten der Riemazm- sehen Geometrie gehSrt und dem ieh meine gazLze wissenschaftliche Arbeitskraft in den vergangenen Jahren gewidmet habe:

Es ist die Frage nach der Existenz yon periodischen Bahnkurven eines speziellen kr~ftefreien mechanischen Systems, n~mlich der Bewegung eines Massenpunktes auf einer Fl~ehe oder, allgemeiner, auf einer Rie- mannschen Mannigfaltigkeit M ~ (M, g), wobei wir mit der letzteren Bezeiehnung ausdrfieklich die Metrik auf der unterliegenden differenzier- baren ~[annigfaltigkeit hervorheben.

Wir woUen M stets als kompa~t ohne Rand voraussetzen, also z.B. Ms geschlossene Fl~che im Raum, wie das Ellipsoid oder den Torus.

Wenn wir einen Massenpunkt auf M mit der Geschwindigkeit 1 los- stol]en und ihn an die Fl~ehe gebunden halten, so wird er eine Geod~- tisehe auf M durchlaufen. Aus metaphysischen Grfinden ist es zweifellos yon besonderem Interesse zu wissen, ob dieser Punk~ einmal wieder in seine Ausgangssituation zurfiekkehren wird mit gleieher Gesehwindig- keitsriehtung, oder zumindest, wie grol] die Wahrscheinliehkeit daf'tir ist. Das heil~t, wir fragen nach der Existenz und der H~ufigkeit yon periodisehen Bahnkurven des sogenannten geod~tischen Flusses auf dem Raum T1M der Einheitstangentialvektoren an M.

Nehmen wir das einfachste Beispiel, die Sph~e (S 1, go) mit der Stan- dardmetrik go der konstanten Krfimmung 1. Hier sind alle Geodatischen geschlossen, d. h., alle Bahnkurven sind periodiseh, und ihre Periode ist

2z. Dies ist jedoeh ein hoehgradig exzeptioneller Fall: Eine beliebig kleine StSrung der Metrik go auf S I wird diese meehanisehen VerhMtnisse im ~llgemeinen griindlieh ver~ndern, es wird z. B. nur noch yon einer Menge yon Anfangsrichtungen, die der Haufigkeit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen entsprieht, gelten, da[t sic Anla~ geben zu einer periodi- schen Bewegung.

Betrachten wir insbesondere das 2-dimensionale Ellipsoid E 2 mit drei verschiedenen Achsen; man kann ja (S 2, go) approximieren dutch solehe

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Ellipsoide. C. C. JACOBI hat bereits vor fiber 130 J a ~ e n den geod~tisehen FluB auf E ~ untersucht - - die ~)bertragung seiner Resultate auf Ellipsoide E n+l beliebiger Dimension n -{- 1 wurde 1877 yon R o s o o ~ T ~ s in seiner GSttinger Dissertation vollzogen. Es ist zweekmi~Big, den geodgtisehen ~-~luB als Hamiltonsches System zu interpretieren, wie sieh das in ka- noniseher Weise ffir das Tangential- und Kotangentialbfindel (die ja wegen der Riemaxmsehen Metrik miteinander identifiziert werden kSn- nen) anbietet.

Das Hauptresul ta t ffir diese Hamiltonsehen Systeme fiber EUipsoiden ist nun, dab sie vollsti~ndig integrabel sin4. Das heiBt, die Bahnkurven verlaufen quasiperiodiseh auf Tori der Dimension (n -~ 1), welche ihrer- seits eine (n ~ 1)-paxametrige Familie bilden und damit das Ta~gential- biindel bis anf Teile niederer Dimension ausffillen.

Insbesondere sind die periodisehen Balmkurven noch dicht in dem Sinne, dab ihre Tangenten einen diehten Teil bilden in T1M.

Andererseits gibt es auf S 2 anf Metriken g, beliebig naJae an go, bei denen die Tangenten an periodische Bahnkurven in TI(S ~, g) alle in einem Teil beliebig kleinen vorgegebenen MaBes liegen: U m so eine Metrik zu konstruieren, gehen wir aus yon einer Rotationsfl~ehe kon- stanter Krf immung 1 vom Spindeltyp, deren_~quator die Lgnge 2~(1 - -e ) hat mit 0 ~ e ~ 1. Die Singulaxiti~ten an den Spitzen runden wir ab, so dab die entstehende Fli~ehe differenzierbax gleich S 2 ist und, mit Aus- na~me kleiner ~-Kappen um Nord- und Sfidpol, lokal isometrisch ist zu (S, go).

Man sieht nun leicht: Wenn e irrational ist, und genau dann, gibt jede Richtung, die yore ~quator ausgeht und mit diesem einen Winkel ~, 0 ~ cr ~ u/2 - - (~ bildet, wo ~ = ~ (~) klein wird mit ~, AnlaB zu einer nieht periodisehen Batmkurve. Die Ta~genten an diese nieht periodischen Ba~hnen fiberdecken einen ,,groBen" offenen Teil in TI(S ~, g).

Wir erkennen an diesen Beispielen, dab es sehr sehwierig ist, allge- meine Aussagen fiber die Diehtigkeit periodiseher Ba~_nen ftir Metriken aus S ~ zu maehen.

VSllig anders liegt der Fall bei einer Fl~che oder einer Mannigfaltigkeit negativer Kri immung. E. HoPF und ANosov haben gezeigt, dab dann die periodischen Riehtungen im Tangentialbfindel dicht sind, und da bei kleinen StSrungen der Metrik die Krf immung sicherlich negativ bleibt, haben wir hier ein,,stabiles" Verhalten f'tir die H~ufigkeit periodischer Bah- hen, das sich sogax noch sehr viel seh~fer fassen li~Bt als hier angedeutet.

Wie wir oben sahen, ist die Situation bei einer Sphere vSllig anders. Der Grund hiefffir las t sieh schon an dem lokalen Verhalten der periodisehen Geod~tisehen auf einer Sphere einerseits und auf einer Fl~ehe negativer Krf immung andererseits ablesen.

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Um das n~her zu beschreiben, betrachten wir ganz allgemein f'tir eino periodische Geod~tische c die sogenannte Poincax~-Abbildung: Sei Xo, Ixol = 1, der Anfangsvektor der Geodatischen, also d(0)----Xo, und sei v o > 0 die Periode, also c(~o) = ~(0). Betrachte X 0 als Punkt im (2n ~ 1)-dimensionalen Raum T1M der Einheitstangentialvektoren von M, dim M----n ~ 1. Sei 2: eine lokale transversale Hyperfl~che, also d i m Z ---- 2n. Fiir jedes X e2:, geniigend nahe an Xo, wird die Geods mit Anfangsrichtung X die Fl~che wiederum treffen nach einer Zeit v nahe 30. Hierdurch ist die Poinear~-Abbildung ~ : (27, Xo) --> (X, Xo) definiert, die zu verstehen is~ als eine Abbildung einer Umgebung von Xo in 27 auf eine solehe Umgebung mit Xo als Fixpunkt.

2: ist offenbax tokaler Diffeomorphismus und, wie man zeigt, sogax symplektiseh. Fiir dim M = 2 ist dies dasselbe wie inhaltstreu.

Die Bedeutung yon ~ beruht daxauf, dab jedem periodischen Punkt X unter ~ (d. h., ~ X ----X, fiir ein gewisses natiirliches N), eine pe- riodische Bahnkurve nahe ~ entspricht und umgekehrt.

Da das Differential d ~ = d?~x o in X o symplektisch ist, sind mit einem Eigenwert 2 von d ~ auch ~, 2 -1, ~-1 Eigenwerte. Daher gestattet der (2n)-dimensionale Tangentialraum Txo,V, an 2: in Xo eine unter d invaxiante Zerlegung der Form

Txo,V, = Tr �9 T'2 �9 T~ -2'~,

entspreehend der Einteilung in Eigenvektoren, die zu Eigenwerten 2 mit ]4[ < 1, ]h 1 > 1 und 141 = 1 gehSren.

(oder auch die periodisehe Geodi~tische e) heiBt hyperbolisch, wenn m----n, also wenn fiir alle 2 gilt: ]2]-~ 1 oder ]21> 1. Es heil~t ellip- tisch, wenn fiir alle 2 gilt: ]4] ---- I. Fiir n : 1 ist dies offenbax eine voll- sti~ndige Disjunktion, dagegen nieht ftir n > 1.

Im hyperbolischen Fall gibt es keine periodisehen Punkte X ~= Xo na~e Xo, da diese X unter ~ angen~hert auf Hyperbeln bewegt werden. Dieses Verhalten wird sieh nicht ~ d e r n unter ldeinen StSrungen der Metrik, d. h., dieses ist eine stabile Eigensehaft. Periodisehe Ba~men auf Fl~ehen negativer Kriimmung sind stets vom hyperbolisehen Typ.

Im elliptisehen (oder aueh nieht-hyperbolisehen) Falle kann es dureh- aus neben Xo noch a~dere periodisehe Punkte in 27 geben. So ist z.B. auf der Standaxdsphiixe (S ~, go) ~----id., also alle X sind periodiseh. Dureh kleine StSrungen von go kann man erreiehen, dal3 ~ eine Dre- hung wird um einen irrationalen W i n k e l - das ist es, was wir in unserem obigen Beispiel mR dem Xquator der Spindelii~ehe gemaeht haben.

Es sind aber nieht notwendig alle periodisehen Bahnen auf Flaehen positiver Kriimmung hyperboliseh: Auf E 2 ist die Ellipse mittlerer Li~nge z.B. hyperbolisch, und im allgemeinen wird es in der NiChe yon ellip-

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tischen periodisehen Bahnkurven stets aueh hyperbolisehe geben. Nehmen wir an, dab die gesehlossene Geodi~tische c nieht-hyperboliseh

ist. Dann kSnnen wir die 2m Eigenwerte yon d ~ yore Betrage 1 in der Form schreiben/~., ~[r mit

~ = e ~ , 0 <: ~j ~ , ~ , l ~ i ~ m ,

c (und ~) heiBt 4-elementar, wenn es keine Relation der Form

Xkja~ : 0 mod 2~

gibt mit k~ ganz und 1 ~_ X I k~ ] ~ 5.

Es gibt stets fiir eine nicht-hyperbolisehe Geodgtisehe eine unter invaria~te 2m-dimensionale Untermaamigfaltigkeit 2:c, yon 27, die dureh den Ursprung X 0 yon 27 geht un4 dort T ~ als Tangentialraum besitzt. 2:~, ist die sog. Zentrumsmannigfalt igkeit yon ~.

Wir beschr~nken ~ auf 27c~ und schreiben dafiir wiederum ~ , d .h . , wir betraehten eine rein-elliptische Poinca~-Abbildung. Wenn ~ 4-ele- mentar ist, so l ~ t ~ sieh in geeigneten komplexen Koordinaten sehrei- ben in der Form

wo (5} Terme der Ordnung ~ 5 bezeietmet und ~t~ = e ~ Eigenwert von d ~ ist, s. oben.

Falls det (tiCk) ~= 0, so hei$t ~ Twist-Abbildung. Fiir m = 1 bedeutet dies einfach, dab das Bild des yore Ursprung ausgehenden Strahles z = rzo, r ~ O, iibergefiihrt wird (bis auf Glieder der Ordnung ~ 5) in den Zweig z = rzoei~(1 + r2), r :> 0, einer kubisehen Parabel.

Das fundamentale , ,Fixpunkt theorem" von BmKHOF]r und Lv.wIs be- sagt nun: Wenn ~ eine Twistabbildung ist, so gibt es in jeder Umgebung yon Xo unendlieh viele periodische Punkte flit ~ mit immer grSBer wer- dender Periode.

U m dieses Resultat fiir den Naehweis der Existenz yon unendlieh vielen geschlossenen Geod~tischen auf einer Riemannsehen Mannig- faltigkeit anwenden zu kSnnen, mtissen wir haben: (a) die Existenz wenigstens einer nieht-hyperbolischen Geodi~tisehen und (b) die Poincar6- Abbildung dieser Geodi~tisehen mull 4-elementar und vom Twist-Typ sein.

Man kann nun zeigen: Ad (a): Falls die Fundamenta lgruppe von M endiich ist, so gibt es stets nicht-hyperbolische gesehlossene Geodi~ti- sche. Ad (b): Wenn ftir eine nicht-hyperbolische gesctflossene Geodgti- sche c die Poincax~-Abbildung vielleicht nicht 4-elementar und yore Twist-Typ ist, so kann man doeh jedenfalls die Riemannsehe Metrik immer approximieren durch eine solche, die diese nicht-hyperbolische

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Geodatische erh~lt und fiberdies 4-elementax und veto Twist-Typ ist: Dazu modiflziert man in geeigneter Weise den Fundamentaltensor der Metrik in Termen der Ordnung ~ 2 transversal zu c.

Mit dem Fixpunkttheorem yon Bnc~OFF-L~wIs erhalten wir daher das

Theorem. Sei M eine kompakte differenzierbare Mannig/altigkeit mit end- licher Eundamentalgruppe. Dann gibt es im Raum ff~ (M) der Riemannschen Metriken au] M eine dichte sogar residuelle Teilmenge bestehend aus Metriken g* so, daft die Riemannsche Mannig/altiglceit (M, g*) unendlich vide peri- odische Geoddtische besitzt. Die Poincarg-Abbildung sSmtlicher nichthyper- bolischer Orbits in T1 (M, g*) sind vom Twist-Typ.

Was kann man nun noch erwarten?

Es ist kein Beispiel bekazmt einer (M, g) mit nur endlieh vielen gesehlos- senen Geod/~tisehen. Man kann also vermuten, dab es immer unendlich viele geben wird. Unser oben erw~hntes Beispiel einer Rotationsfliiehe (S ~, g) zeig~, dal3 die Tangenten an periodisehe Geod/~tisehe nieht dieh~ zu sein brauehen in Tz(S 2, g), aber das wax eine hoehgradig nicht- generische Metrik und man kann durchaus vermuten, daB, generisch ge- sehen, diese Tangenten sogax dicht sind.

Bisher haben wir in unseren Untersuehungen iiberhaupt noeh nieht die Theorie der homoklinisehen Bahnkurven im geod~tischen Flul3 heran- gezogen, die besonders periodisehen Geod~tisehen veto hyperbolisehen Typ angepaI3~ sind. Im l~alle einer (M, g) mit negativer Selmittkrtim- mung (was allerdings nut vorkommen kazm, wenn M eine ,,sehr grofle" Fundamenr hat, insbesondere eine nieht-endliehe) liefert diese Theorie die Existenz yon einer diehten Menge yon Elementen X in T1 (M, g), deren Balm periodiseh ist. Es erseheint nieht ausgeschlossen, dal3 diese Theorie auch im allgemeinen Fa31e Methoden liefert, die Exi- stenz yon sehr vie1 mehr periodischen Geod~tischen zu zeigen, als sie unser obiges Theorem beschreibt.

Literaturhinweis

"Lectures on closed geodesics" Lecture Notes in Mathematics - - In Vorbereitung nach Vorlesungen in Berkeley, Bombay und Bonn 1971/72.

"Closed geodesics on Riemannian manifolds", Prec. 13 th Biennial Sere. Can. Math. Congress, pp. 69-92. Can. Math. Congress, Montreal, Can., 1972.

Eingegangen am 9. 10. 1972