GraGraphematische Problemephematische Problem Kae

7/25/2019 GraGraphematische Problemephematische Problem Kae

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EXKURS ZU LOGICA

Rudolf Kaehr

Das graphematische Problem einer Formalisierung

der transklassischen Logik Gotthard Gnthers*)

Dem Verfasser von "Das metaphysische Problem einer Formalis ierung der transzendental-dialektischen Logik. Unter besonderer Bercksichtigung der Logik Hegels", Gotthard Gnther, zum 81. Geburts tag.

Si nous cont inuons nous par ler le mme langage, nous a l lons reprodu i re la mme h is to i re . Re-commencer les mmes h is to i res. Tu ne le sens pas? Luce I r igaray

Scrape the paint of f and you wi l l d iscover an unsuspected system of structural forms and relat ions suggest ing methods o f th ink ing which surpass immeasurab ly a l l c lass ic theor ies . Got thard

Gnther

Erweiterungsstrategien

Der Gnthersche Text ist in sich doppelt und gegenlufig strukturiert. Das Zusammenspiel von philosophischer und mathematischer Tendenz gilt es in seiner komplexen Durchdringung zu denken.

Damit soll einem doppelten Miverstndnis Einhalt geboten werden: dem Unvermgen mathematischer Kritik, sich von der philosophischen Determiniertheit der

Gntherschen mathematischen Innovationen leiten zu lassen und deren ambivalenten und fragilen Status zu erfahren, sowie einem Selbstmiverstndnis in der Applikation mathematischer Methoden zur Formalisierung der transklassis chen Logik.

Unter den vielen Kritiken an der Gntherschen Theorie einer transklassischen Logik, die sich im Modus einer petitio principii aufhalten, befindet sich die wirksamgewordene Kritik im Namen der dialogischen Begrndung der klassischen Logik:Eine Reflexion auf die Operationen der klassischen Logik fhre nicht zu einermehrwertigen Logik, sondern zu einer Logifizierung von Sprechhandlungen, dieeine logische Formebene noch vor jeder Wertigkeit, d.h. Wahrheitsdefinitheit vonlogischen Aussagen, einfhren lasse. Von dieser kritizistischen Position aus erbri

gen sich die Gntherschen Innovationen wie Polykontexturalitt, Morphogrammatik, Kenogrammatik, dialektische Zahlentheorie, Theorie der Negativsprachen, Negationszyklentheorie usw. Denn alle diese transklassischen Disziplinen werden beiGnther im mathematisierenden Text ausschlielich ber das Wahrheitswertprinzipeingefhrt, sei es in seiner Vermass ung oder in seiner Auslschung.

Eine solche Kritik bersieht den Doppelcharakter der Gntherschen Texte zurtransklassischen Logik und insbesondere die ausfhrliche philosophische Theoriedes Unterschieds zwischen "logischem Wert" und "Wahrheitswert" (einer logischenAussage), und der Differenzierung des ersteren in Wert als "Stellenwert" und

"Kontextwert" eines Logiksystems. Die logischen Werte im Sinne Gnthers sindsomit immer indiziert, und zwar doppelt und charakteri sieren logische Systeme, de

*)R. Kaehr, in: "Die Logik des Wissens und das Problem der Erziehung." Felix Meiner Verlag,

Hamburg 1981, S.254-274.


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ren Aussagen sowohl dialogdefinit wie auch neoklassisch wahrheitsdefinit, zweioder mehrwertig, sein knnen.

Die Etappen der Theorie der transklassischen Logik sind: Interpretation der klassischen mehrwertigen Logik, Stellenwerttheorie, Morphogrammatik, Vermittlungstheorie von Stellenwertprinzip und (neu) Kontextwertprinzip, Polykontexturali

ttstheorie. Im Gegensatz zur sukzessiven Radikalisierung der Theorie dertransklassischen Logik ist die Methode ihrer Formalisierungsanstze in den einzelnen Etappen der wahrheitsfunktionalen Abbildungstheorie der ersten Etappe verhaftet geblieben. Diese Diskrepanz hat zu Miverstndnissen in der Rezeption wieauch zu Selbstmiverstndnissen verfhrt. Durch die Wahl der Wahrheitstafelmethode zur Formalisierung und Entwicklung der transklassischen Logik hat sich beiGnther ein Selbstmiverstndnis im mathematisierenden Text eingeschlichen undverhrtet: Die Identifizierung von "logischem Wert" und "Wahrheitswert". DiesesSelbstmiverstndnis, das gegen das eigene philosophische Stellen- und Kontextwertprinzip verstt, ist jedoch nur solange wirksam, als der Gnthersche Text

einseitig mathematisch und nicht in seiner vollen philosophischen und mathema-tisch-logischen Komplexitt gelesen wird.

So ist bspw. die Formel N5(pN3pN4p) wahrheitswertfunktional allgemeingltig im Sinne der Gntherschen Formalisierung der Stellenwertlogik in Beitrgezur Grundlegung einer operationsfhigen Dialektik (Bd. 1, 141-328), dies jedochnur aufgrund einer Identifizierung von Wahrheitswert der Aussage und Stellenwertindex der betr. Wahrheitswerte. Nach der Tableaumethode in Appendix 1,3 dervorliegenden Arbeit ist diese Formel nicht allgemeingltig.

Die Anknpfung der transklassischen Logik an Hegel geschieht hier durch die Mi

nimalthese, da sich bei Hegel - zustzlich zur aristotelischen Formkonzeption undmit ihr verbunden - eine neue transklassische Formkonzeption herausgebildet habe.Die transklassische Logik mu somit als eine echte Erweiterung der klassischenreinen Logik verstanden werden.

Damit entsteht das Problem einer Formulierung des transklassischen Formkonzeptsund mit ihm das Problem einer Formalisierung der transklassischen Logik.

Eine Erweiterung der klassischen Logikkonzeption erweist sich als antinomisch:Eine Erweiterung kann sich nur von innen und von auen zugleich vollziehen. Eine

Erweiterung von innen lt sich immanent nicht legitimieren, denn ihre Motiveverdanken sich dem Auen. Eine Erweiterung von auen lt sich extern nicht legitimieren, denn ihre Begrndung wiederholt spiegelbildlich das Alte. Beide Strategien stehen unter der Herrschaft der Hierarchie und erzeugen Stufungen in sichselbst, unfhig das Andere als Anderes gelten zu lassen und verdrngen die Tatsache der Differenz. Eine transklassische Erweiterungsstrategie kann nur zugleichvon auen und von innen, bei vorbehaltloser Auslieferung des Denkens an die Differenz, vollzogen werden. Diese Doppelbewegung entzieht sich dem Denken imModus der Prsenz, d.h. dem Logozentrismus mit seiner Logik und Semiotik underzwingt - unabhngig von der Wahl einer Position im Grundlagenstreit der Begrndung der Logik und Mathematik als Ausgangspunkt von Erweiterung und De

konstruktion - ein Denken der Differenz auerhalb/innerhalb der logozentrischenDichotomien.

Die Mechanik einer solchen, jegliche Differenz als Differenz erff nenden Differenz- diffrance (Derrida), proemial relationship (Gnther) - soll hier, in Abschneidung


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der Arbeit der Dekonstruktion der Begrifflichkeit, die den Formalismus begleitet,wie auch der zerologischen bzw. kenogrammatischen Transformation der lo-gisch-semiotisichen Konstrukte, beschrnkt auf den formal-logischen Aspekt, alsChiasmus von Logik/Theorie/Logik skizziert werden.

Erweiterungsdiagramm:

Die 2-wertige Logik fundiert die Kategorientheorie (Abschn._1).

1 ) Im Sprachrahmen der Kategorientheorie werden logische Frameworks im Statusvon Theorien modelliert (Abschn._2).

2 ) Die kategorientheoretisch fundierte Theorie der Verknpfung, d.h. Kompositionvon logischen Frameworks wird umfunktioniert, als Logik gesetzt. Sie ist diepolykontexturale Logik in Gestalt vermitt elter Frameworks (Abschn._3).

3 ) Die neue Logik fundiert nun ihrerseits eine neue polykontexturale mathematische (Kategorien) Theorie. (Hier nicht entwickelt.)

4 ) Komparation: Die klassische Logik erweist sich nach der Umstlpung (3) alsSubsystem. Ist die neue Logik polykontextural, so ist die alte Logik monokon

textural (Abschn._4).

1 Skizze der kategorientheoretischen Grundbegriffe

Eine Kategorie ist eine Klasse M, deren Elemente Morphismen (Abbildungen) sindund die durch das System M = (M,D,C,K) in der Sprache der Prdikatenlogik definiert ist. Dabei ist D(x)der Bereich, C(x)der Gegenbereich des Morphismus x undK(x,y,z) die Komposition der Morphismen x,y mit z als Produkt. D und C sind einstellige Funktionen und K ist eine 3-stellige Funktion der klassischen Prdikatenlogik mit Identitt. Die Kategorientheorie ist eine durch die klassische Logik fundierte Theorie.

1.1 AxiomeDie Eigenschaften einer Kategorie werden durch die Axiome (C1) bis (C6) bestimmt (Hatcher 1968).

(C1) (x) (D (C(x)) = C(x) C (D(x)) = D(x)In Worten: Der Bereich des Gegenbereichs von x ist der Gegenbereich von xund der Gegenbereich des Bereichs von xist der Bereich von x.

(C2) (x) (y) (z) (u) (K(x,y,z) K(y,z,u) z = u)

Die Komposition von xmit y ist eindeutig.

(C3) (x) (y) ((Ez) K (x,y,z) (C(x) = D(y)))Die Komposition von xmit y ist genau dann definiert, wenn der Gegenbereichvon x der Bereich von yist .


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(C4) (x) (y) (z) (K(x,y,z) (D(z) = D(x) C(z) = C (y)))Wenn z die Komposition von x mit y ist, dann ist der Bereich von z der Be-reich von yund der Gegenbereich von zist der Gegenbereich von y.

(C5) (x) (K(D(x), x,x) K(x,C(x),x))Fr jedes xgilt: Bezglich der Komposition ist der Bereich von x eine Linksidentitt und der Gegenbereich von xeine Rechtsidentitt.

(C6) Die Komposition ist, wenn definiert, assoziativ.

1.2 Definitionen

(D1) Ein Objekt Ob(x) ist ein Morphismus, fr den gilt:x = D(x) x = C(x)

(D2) BAx

fr D(x) = A C(x) = BD.h. x ist ein Morphismus mit Bereich A und Gegenbereich B

(D3) Komposition (xy) = z := K(x,y,z)

(D4) Kommutativitt des Diagramms

x yfr A B B C )xy( = z

(D5) Duali tt . (Die kategor ien theore ti sche Konzept ion der Dual i t t wird h ie rin Teildualitten dekomponiert.)

a) Dualitt in einer Kategorie mit drei Objekten

1) Die Dualisierungsoperation N1:

Dia- N1(D(x)) = C(x) gramm:N1(C(x)) = D(x)N1(D(y)) = D(z)

N1(D(z)) = D(y)N1(C(y)) = C(z)N1(C(z)) = C(y)N1(K(x,y,z)) = K(x,z,y)

2) Die Dualisierungsoperation N2:

N2(D(x)) = D(z) Diagramm:N2(D(x)) = D(z)N2(D(z)) = D(x)N2(C(x)) = C(z)

N2(C(z)) = C(x)N2(D(y)) = C(y)N2(C(y)) = D(y)N2(C(y)) = D(y)N2(K(x,y,z)) = K(z,y,x)


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3) Dualisierungsgesetze

N1(N2(N1(x))) = N2(N1(N2(X))) : ZyklizittN i(N i(x)) = x, i = 1,2 : Involution

4) Dualisierungszyklus:

b) Dualitt einer Kategorie mit vier Objekten. und den Morphismen

x: AB, z: AC, v: ACy: BC, u: CD, w: AD

1) Die Dualisierungsoperation N1

Die jeweiligen Dualisierungen der betreffenden Bereiche und Gegenbereiche sind den Diagrammen direkt zu entnehmen.

Dualisierung der Komposition:N1(K(x,y,z,u,v,w)) = K(x,z,y,u,w,v)


N2(K(x,y,z,u,v,w)) = K(z,y,x,v,u,w)


4) Dualisierungsgesetze

N i(N i(x)) = x, i = 1,2,3 : Involution

N1(N2(N1(x))) = N2(N1(N2(x))) : Zyklizitt

N2(N3(N2(x))) = N3(N2(N3(x))) : Zyklizitt


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Zur Kombinatorik der Zyklensysteme mit drei und vier Objektensiehe Gotthard Gnther (Bd. II, 307-335) und Appendix II.

1.3 Dekomposition und Kontextpr inzip

Ist eine Komposition von drei Morphismen K(x,y,z) gegeben, so lt sie sich ein

deutig in ihre Teilmorphismen dekomponieren:K

-1(K(x,y,z)) = {x,y,z}.

Eine solche Dekomposition ist jedoch nicht holistisch, sondern elementaristischund entspricht nicht den Kriterien einer tr ansklassischen Logik.

Die Deskription einer komplexen Ganzheit ist eine Aufzhlung ihrer Teile. Teilesind jedoch nicht isolierte, sondern im Ganzen fundierte Elemente. Diese Fundierung wird durch die Fundierungsrelation gewhrleistet. Sie gibt den Standpunktbzw. den Kontext an, von dem aus der Morphismus aus dem Ganzen isoliert wird.

Kategorientheoretisch lt sich der Standpunkt durch das Objekt Ob(x)angeben. Sowird der Morphismus x von Ob(z) aus fundiert, in Zeichen: AB; Ob(z) . Das Semikolon ist dabei das Zeichen der Fundierungsrelation ( Gnther, Bd. I, 339).

Fundierungen in der Komposition K(x,y,z):

xA )z(Ob;B Fundierungsdiagramm:yB )x(Ob;CzA )y(Ob;C

Die holistische Dekomposition Dek einer kategorientheoretischen Ganzheit liefertein Tupel fundierter Teile:

Dek(K(x,y,z)) = (x;C, y;A, z;B)

1.4 Standpunkt- bzw. KontextwechselEin Teil verndert sich mit der Verschiebung seines Kontextes innerhalb des Gan-zen. Von C aus betrachtet gehrt A zum Morphismus x, von B aus, zum Morphismus z. Die kontextuelle Beschreibung einer Ganzheit vermeidet das "Aufschnei

den" bzw. Linearisieren der Gestalt.

Regeln der Kontextverschiebung:

D(x);C D(x);C C(y);AD (z);B C(y);A C(z);B

Dualitt der Teile

N1(x;C) = (N lx); C

N2(y;A) = (N2y); A

N2(x;C) = z; BN1(y;A) = z; B


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2 Die Logifikation der KategorientheoretischenBegriffe

2.1 Die Logifikationstabelle

Sie gibt die Vorschriften zur Modellierung des bergangs von den kategorientheoretischen Grundbegriffen zu den Grundbegriffen der polykontexturalen Logik an.

LogifikationHom(A;B) = X

D(x)C(x)K(x,y,z)C(x) = D(y)D(z) = D(x)C(x) = C(y)N(x)

Dek(K(x,y,z))Ob(x)Q(X

(m ))

PolykontexturalittOrdnungsrelation ()Logiksystem, Kontextur, HeteroreferenzPositionGegenpositionVermittlung, TranskontexturalittUmtauschrelation ( ), DiskontexturalittKoinzidenzrelation ( )KoinzidenzrelationKonjunktion (X), NegationKontextuierung (X (m) ), FundierungsrelationAutoreferenzKontexturierung, Diremption

2.2 Zur Konzeption der Polykontexturalittstheorie

Eine Kontextur ist ein universaler Leerbereich, eine basale Qualitt, eine Quelle.Kontextur ist dasjenige, das dem abendlndischen Denken, der Logik, der Theorieder formalen Systeme, der Husserlschen Theorie der definiten Mannigfaltigkeitenusw. verborgen bleiben mute. Eine Kontextur ist in ihrer Einzigkeit absolut uni

versal und zugleich nur eine Einzelne unter Vielen. Das Konzept der Kontextur istnur sinnvoll im Zusammenspiel mit qualitativer Vielheit , also nur als Polykontexturalitt. Logozentrisches Denken erweist sich als monokontextural.

Zur Polykontexturalitt gehrt:1) der Inbegriff eines "formalen Systems", einer "definiten Mannigfaltigkeit", also

die Elementarkontextur;2) der Begriff der Grenze, des Obstakels, des Abgrunds zwischen den Elementar

kontexturen, die Diskontexturalitt;3) die Verknpfung, Vermittlung der Elementarkontexturen, die Transkontextura

litt, und4) die Proemialrelation, die das Verhltnis zwischen den Kontexturen regelt, und5) die Kontexturdiremptionen der Iteration und Akkretion, die rekursiv die Kom

plexitt der Verbundkontexturen erzeugen (Gnther, Bd. II, 111).

Die Kontexturalittstheorie lt sich logisch, semiotisch, arithmetisch und auchontologisch deuten, insofern, als sie je Kontextur als Ort, Pl atzhalter, Leerstelle freine Logik, Semiotik, Arithmetik und Ontologie, d.h. als Bedingung der Mglichkeit, als Ermglichung derselben fungiert. Werden in der Polykontexturalittstheorie Kontexturen vermittelt, so kommt die Vermittlungsoperation in ihrer Prozessualitt selbst nicht in dieser, s ondern erst in der Kenogrammatik zur Inskription.

Eine Theorie der transklassischen Logik ist somit nur in der Doppeltheorie vonPolykontexturalittstheorie und Kenogrammatik zu vollziehen.


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2.3 Vermittlungsmodi fr Kontexturen

Graphentheoretisch gesprochen, sind alle Baumstrukturen als Vermittlungsmodi frKontexturen zugelassen, d.h. alle Formen zwischen Linie und Stern. Diese bildendie Skelettstrukturen der Polykontexturalitt. In diesem Text beschrnken wir unsauf die Linearstruktur.

Baumstrukturen : Anzahlen :m 3 4 5

b(m) 1 2 3

m b(m)1 12 13 14 25 36 67 118 239 47

10 10611 23512 55113 1301

Zur Kombinatorik s. Appendix II

2.4 Logische Modellierung der polykontexturalen Grundbegriffe

In Abhngigkeit von der Wahl einer formalen Modellierung der kontexturtheoreti

schen Grundbegriffe (Position, Gegenposition, Vermittlung) wird die Gestalt derRealisierung der Formalisierung der transklassischen Logik bestimmt. Die Mglichkeiten, die sich fr die Logik anbieten sind etwa (s.a.: Kaehr 1980):

Position Gegenposition LogiktypusProponent Opponent Dialologlogik (Lorenzen)Antwort Frage Dialologlogik (Kindt)Sukzedenz Antezedenz Regelkalkl (Gentzen)Disjunktive Konjuktive Elemente Framework (Smullyan)Indikator Null-Indikator Calculus of Indications (Spencer-Brown)

Im Folgenden werden die logischen Frameworks von Smullyan als Logifikationsmaterial gewhlt (Smullyan, 1970). Den kategorientheoretischen Objekten A und B

xbzw. dem Bereich D(x) und dem Gegenbereich C(x) von A B A entsprechendie disjunktiven resp. die konjunktiven Elemente des Frameworks.

Die Komposition

D.h., der kategorientheoretischen Komposition K(x,y,z) entspricht im Modell diekontextur-theoretische Vermittlung Verm (L1, L2, L3) .


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Entsprechendes gilt fr Kategorien mit mehr als drei Objekten.

Von den Kompositionsmglichkeiten, die durch die Baumstrukturen definiert sind,werden hier nur die Linearstrukturen zur Modellierung benutzt. Dieser restriktivenInterpretation der kategorientheoretischen und kontexturalittstheoretischenGrundbegriffe entspricht die sukzessive und lineare Verknpfung von

2-kontexturalen Logiken im Sinne der Gntherschen Stellenwertlogik wie sie alsReflexionslogik konzipiert wurde.

Die Sequenz der kontexturalen Dichotomien (Position/Gegenposition) ist jedochvom Standpunkt der Proemialrelation intern nicht linear, sondern tabular geordnet.Linear heit dabei, da jedes Zeichen nur als Produkt, als Endpunkt der Semiose,der Rekursion, gesetzt wird. Es gibt also ein Zeichen als Anfang, und zu jeder Zeichensequenz lt sich mindestens ein neues Zeichen hinzufgen. In einer solchenrekursiven Wortarithmetik wird beim bergang von Rekursionstufe m zu Stufe m +1 der Chiasmus von Anfang und Ende verdrngt, er ist iterativ und hat einzig die

Aufgabe Zeichen als Produkte zu erzeugen.Die polykontexturale Sequenz ist nicht-Iinear, sondern chiastisch. Der Chiasmusvon Anfang und Ende bzw. von Position und Gegenposition einer generierten Stufewird nicht abstrakt durch die Nachfolgerelation, sondern durch Umtausch- undOrdnungsrelationen charakterisiert und geregelt. Chiastische Texte sind tabular, daUmtausch- und Ordnungsrelation sie horizontal und vertikal organisieren. Einzigdie Anzahlbestimmung der Kontexturen bzw. die m-Wertigkeit des logischen Systems vollzieht sich nach der Linearitt der natrl ichen Zahlen.

Gegenlufig zum generativen Schema, das die Sequenz aufbaut, bzw. die Tabulari

tt der Polykontexturalitt und Meontik komponiert, leistet das deskriptive Schemaeine Dekomposition der durch den Chiasmus generierten Struktur in ihre Teile,Subsysteme, Komponenten unter Wahrung ihres Ganzheitscharakters. Diese dieGanzheit bewahrende Dekomposition erfolgt dadurch, da die Deskription einerOpposition, Dichotomie usw. vom (immanenten) Standpunkt aller anderen Teile auserfolgt. Die nichtthematisierten Teile, die Hintergrundswerte, bilden die Standpunkte, bzw. die Sequenz der Standpunkte, von denen aus die jeweilige Oppositionthematisiert wird. Die Deskription einer Kontextur in der meontischen Matrix fundiert diese. Einer solchen Fundierung entspricht das Kontextwertprinzip dertransklassischen Vermittlungstheorie.

Insofern als die jeweiligen 2-kontexturalen Oppositionen je eine Logik stellen,bzw. den Stellenwert einer Logik angeben, und jede Stelle durch die Deskription imGanzen fundiert wird, also jeder Stelle, jeder Stellung ein Ort der Fundierung zugeordnet wird, wird jede (Stellenwert)Logik durch ihren Fundierungsort in dasGanze eingestellt, d.h. kontextuiert. Die Logik der Meontik, d.h. der Polykontexturalitt ist somit durch die Komplementaritt von Stellenwert- und Kontextwertprinzip charakterisiert.

Die Desedimentierung und der Einsatz des Chiasmus befreit von der Fixierung aufden Anfang.

Ist das generative und deskriptive Schema ternr, so ist die transklassische Logikkategorial doch quaternr. Denn zustzlich zur Triadik von Umtausch- und Ordnungsrelation gehrt die Regel, der Proze der Erzeugung beliebig komplexerm-kontexturaler Systeme. Es ist ein neuer Reduktionismus, wenn mit Peirce die


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Reduzierbarkeit beliebig m-adischer Relationen auf triadische behauptet wird. DerBeweis der Reduktion verdrngt die Funktion der Produktions- und Reduktionsregelals Operation. Operaius: Schreiber, Arbeiter. Subjektive Ttigkeit: "Die Arbeit alsdie absolute Armut: Die Armut, nicht als Mangel . . ." (Marx), als allgemeineMglichkeit, als Ermglichung. Sie ist die vierte Kategorie. Die Einbeziehung derReduktionsregel in das Kategoriensystem erzeugt jedoch eine wesentliche Entstel

lung desselben und zwar in zweierlei Hinsicht. Einmal erffnet die Vierheit dieMglichkeit der Bildung komplexer Kategoriensysteme. Die Vierheit schliet dasSystem nicht ab, sondern erffnet es. jedes neue m-kategoriale System ist im Verhltnis zum Peirceschen System der Triadik gleichwertig, bzw. gleichursprnglich.Es hat seine, ihm spezifischen, nicht-reduzierbaren Eigenschaften. In anderer Hinsicht schliet die Vierheit das System ab, indem es gegenlufig zum polykategorialen und disseminativen System, vertikal drei verdrngte Schreibweisen wiederannimmt: Die Systeme der Kenogrammatik. (Ditterich, 1979)

3 Allgemeine Definition eines m-kontexturalen

logischen Frameworks L(m)

3.1 Unter einem m-kontexturalen logischen Framework L(m), (m ), (m)verstehen wir ein geordnetes 7-Tupel (E (m), C (m), D(m) , (M), P (m) ) mit

folgenden Eigenschaften (s.a.: Kaehr, 1978, Kap. 2.2):

1 ) E (m) ist eine wohlgeordnete Menge von m-kontexturalen Elementen, denm-kontexturalen Formeln des Frameworks.

2 ) Fr C (m ) gilt: C (m) E (m) und C (m) = (C1C2 ... Cs, C1 C2 ... D s, ... , C1D2

... Ds)

3 ) Fr D (m) gilt: D(m) E (m) und D (m)= (D1D2 ... Ds , D1D2 ... Cs, ... , D1C2 ...C

s)

mmit s = 2

Kategorisierung von E (m) : Die Elemente von C (m) heien konjunktive, die von D (m)

disjunktive m-kontexturale Formelmengen. Fr zusammengesetzte Formeln X(m)

gilt:

X(m) D (m) (m) D (m) (m) C (m)C (m) , fr atomare Formeln gilt: X(m) . Fr ge

mischte, atomare und zusammengesetzte Formeln gelten die entsprechenden Kombinationen der obigen Definitionen.

E(m)4 ) (m) ist eine Funktion, die jeder m-kontexturalen Formel X(m) aus eine

finite Folge von n-Tupeln von elementarkontexturalen, d.h. 2-kontexturalenSubsystemen zuordnet. Die Folge heit transjunktional fr n-Tupel mit n > 2und junktional fr n = 1.

5 ) (m)

ist eine Funktion, die jeder zusammengesetzten 2-kontexturalen Formeli iX i , 1 i

m

eine finite Folge ( X,...,X ) mit 1 r 4 von Unterformeln bzw.1 r 2

Komponenten zuordnet.


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6 ) P (m) ist eine Folge von Funktionen, die jeder m-kontexturalen Formel X (m) ausE

(m) ein Konjugat iX(m), 1 i m - 1 aus E (m) zuordnet und fr die folgendeGesetze gelten:

ia) Fr X (m)= (X1,X2,...,Xs) ist X(m)= (perm i{X1,X

2, ..., X i,...,Xs}) mit

ms = und 1 i m-1. 2

Die Konjugation iX(m) ist dabei durch i) die Subsystemkonjugation X i undii) durch die Permutation perm i der restlichen Subsysteme definiert, wobeidie Funktion Nr. die jeweils neue Nummer der Subsysteme angibt:

Konjugat i: Fr X = (i, i + 1)ist X (i+ 1, i)

j Nummer von Xaus (i , j): Nr. (i,j) = k = ( - i + 1 )2Wert iaus k: i = j (j - l)/2 - k + 1

Wert j aus k: j = [ (3 /2 + k2 7 / 4 )] mit [x] ist die grte ganze Zahl, diekleiner oder gleich x ist. (Kaehr, 1974)

b) i X (m) i X (m) : Differenz

ic) i ( X(m) ) = X(m) : Involution

i+ j ( i X(m))d) i( i+ j X (m)) = : Kommutativitt

i i( i+1 X(m)))e) i( X(m))) = i+1( : Zyklizitt

f.a. 1 i+j m-1

(m) ( (m) X (m)) = ( (m) (m )) ( (m) X(m))f) : Distributivitt

g) (m) ( (m) X(m)) = ( (m) (m)) ((m) X (m)) : Distributivitt

h) ist X i konjunktiv, dann ist X i disjunktiv und ist X i disjunktiv, dann ist X i

mkonjunktiv, f. a. 1 i .

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7 ) P (m) ist eine hier nicht thematisierte, tabulare arithmetische Funktion.

3.2 Dualitt

1 ) Ist L(m)

ein m-kontexturales logisches Framework, dann ist auch jedes Konjugat L (m)des Frameworks ein Framework.

2 ) Jedes m-kontex turale Framework L (m) besitzt m-1 direkte und m!-(m-1) indirekte zu ihm duale Frameworks.


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3 ) Jedes m-kontexturale Framework L (m) besteht aus m! verschiedenen kategorialen Systemen und wird durch die Konjugation als zyklisches System organisiert.

Komparation

Der Doppelcharakter des allgemeinen logischen Frameworks L (m) tritt dann inKraft, wenn es nicht als durch die Kategorientheorie C2 fundiert betrachtet wird,sondern wenn gegenlufig dazu L (m) als Fundament einer polykontexturalen Kategorientheorie C (m) ins Spiel gebracht wird. Damit wre der Chiasmus von Logik und(Kategorien) Theorie geschlossen. Eine polykontexturale Kategorientheorie, diehier nicht skizziert werden kann, wrde rckwirkend erst die adquaten mathematischen Techniken zur Formalisierung und Algorithmisierung der transklassischenLogik liefern.

Wird das Framework L (m) nicht als spezielles Derivat der Kategorientheorie bzw.

als spezielle Applikation derselben auf logische Frameworks verstanden, sondernumfunktioniert zu einem genuinen und primren logischen Basis system, so entpupptsich die klassische Logik L (2) als spezielles Teilsystem der transklassischen Logik.In der klassischen Logik jeglicher Art, indikativische (Varela, 1975) und parakonsistente (Arruda, 1980) inklusive, koinzidieren Kontext- und Stellenwertprinzip inder Monokontexturalitt. Nur diese Koinzidenz etabliert und garantiert die Herrschaft der Orthodoxie. Diese bietet Raum auch fr die alternativen, heterodoxenund dissidenten Logiken, die in immer neuen Formen der Parametrisierung immanenter Fragmente den Aufstand proben.

Es wre nun jedoch wieder Dogmatismus, wollte man den Anfang des Denkens imGegensatz zum Einfachen nun im Komplexen allein suchen. Die klassische Logikist nicht nur dem Einfachen verhaftet und verleugnet das Komplexe als dem Einfachen und Einen gleichursprngliche Denkaufgabe, sie ermangelt auch jeglicherMglichkeit das chiastische bzw. proemielle Zusammenspiel von Einheit/Vielheit,Elementar-/ Verbundkontexturalit t zu denken, d. h. schreibend zu vollziehen.

Im Zusammenhang mit diesen beiden Erweiterungsstrategien, der Konstruktion desFrameworks L (m) von unten, d. h. von L (2 ) aus, und der Destruktion der Fundierungsfunktion von L (2) fr L (m) von oben, entsteht die Aufgabe der Dekonstruktionder bei diesem Manver beteiligten philosophischen Begriffssysteme. Etwa der Be

griffspaare Einheit/Vielheit, Identitt/Diversitt usw. Rede/Schrift.

APPENDIX I

Im Anschlu an die Gntherschen Untersurhungen zur 3-wertigen Logik in ( Bd.I, p.189-328) sei hier die Skizze eines 3-kontexturalen logischen Frameworks und des-sen Konkretisierung in einer 3-kontexturalen Logik gegeben.(s.a.: Kaehr 1978).

1. Skizze des logischen Frameworks L(3)

Unter einem 3-kontexturalen logischen Framework L(3)

sei ein geordnetes 7-Tupel, (3), (3), (3), P (3)E (3), C (3)

verstanden, mit den Eigenschaften:


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1 ) E (3) ist eine wohlgeordnete Menge von 3-kontexturalen Formeln des Frameworks mit E (3) = Verm (E1, E2, E3) nach Magabe des Vermittlungsschemas:

2 ) Fr C(3)gilt: C (3) E (3)und C (3)= (C1C2C3, C1C2D3, C1D2C3, C1D2D3)

3 ) Fr D(3)gilt: D (3) E (3)und D (3)= (D1D2D3, D1D2C3, D1C2D3, D1C2C3)

Die Elemente von C (3) heien konjunktive die von D (3) disjunktive Formeln. Fr rein zusammengesetzteFormeln X (3)gilt: X(3) D (3) C (3) ,fr rein atomareFormeln: X(3) D (3) C (3).

(3)

finite konjunktive, (3)

finite disjunktive Formeln.

X(3)4 ) (3) ist eine Funktion, die jeder Formel eine finite Folge von

2-kontexturalen Formeln zuordnet. Die Elemente der Folge heien junk-tional fr (3)(X (3)) = (X1, X2, X3) und transjunktional fr (3) (X (3)) =((X

1X

2), (X

2X

3), (X

2X

1), (X

2X

3), (X

3X

1), (X

3X

2))

5 ) i ist eine Funktion, die jeder zusammengesetzten 2-kontexturalen FormeliX

i, i = 1,2,3, eine finite Folge ( X...,,X i ), 1 r 4 von Unterformeln1 r

zuordnet.

6 ) (3) ist ein Paar von Funktionen, die jeder 3-kontexturalen Formel X(3)

aus E (3) ein Konjugat iX(3), i = 1,2 aus E (3) zuordnet und fr das folgende Gesetzte gelten:

la) Fr X (3)= (X1, X2, X3)ist 1X(3)= (1X , X3, X2) und2X (3)= (X3, 2X2, X1).

D.h. X(3)erzeugt eine Inversion und Permutation:

1X(3)= (r1X1, p2X

2, p3X

3) mit r1X

1= X

1

p2 X2= X

3

p3 X3= X

2

iFr X i = (D i, C i)ist Xi

= (C , Di)

2X3= (p1X

1, r2X

2, p4X

3) mit p1X

1= X

3

r2 X2= X2

lp4 X

3= X

Gesetze der Permutationen: p1X1= p2 X

2 und p1p4 X3

= p2p3 X3

ib) X (3) X(3), i = 1,2 : Differenzi ic) ( X(3)) = X(3) : Involutionl l

(2

X(3)

)d) (2

(1

X(3)

) = 2

( : Zyklizitti i(3)) ( iX(3))e) ((3)X(3)) = ( : Distributivitti i i i i if) i( X ) = ( ) ( X ) : Distributivitt

g) Fr alle i gilt: Ist X i konjuktiv, dann ist iX i disjunktiv und


14/20

umgekehrt:h) Konjugationszyklus:

2. Zur Semantik

Die Formelmenge S (3) seine eine Teilmenge von E (3) .

1) S (3)ist nach unten geschlossen cld (3) : Fr alle S i , i = 1,2,3:i i i iS

i cl d : f .a. c i S : c i S i impl. c1 Si und c2 S

i

i i if.a. di S : d i S i impl d1 S

i oder d2 S

i

Die Formelmenge S (3) ist nach unten geschlossen cld (3) in allen2-kontexturalen Subsystemen, wenn fr alle Subsysteme S i, i = 1,2,3 gilt:

i

Fr jedes konjunktive Element c

i

von S

i

sind alle Komponenten von c in S

1

und fr jedes disjunktive Element d i von S i ist wenigstens eine Komponentevon d i in S i .

2) S (3)ist nach oben geschlossen clp(3) : Fr alles S i, i = 1,2,3 :

Si i i iclp i : f.a. c S i : c1 S

i und c2 S

i impl. c

i S ii i if.a. d

i S : d1 Si oder d2 S

i impl. d

i S i

Die Formelmenge S (3) ist nach oben geschlossen clp (3) in allen2-kontexturalen Subsystemen, wenn fr alle Subsysteme S i, i = 1,2,3 gilt: Ist

jede konjunktive Komponente c i in S i , dann ist das konjunktive Element c i in

Si

und ist wenigstens eine disjunktive Komponente di

in Si

, dann ist das disjunktive Element d i in S l .

i i3) S (3) ist eine Wahrheitsmenge W (3):Fr alle S i, i = 1,2,3 : S clp i und S i i i

cldiund f .a. X : X

ioder X S i

Die Formelmenge S (3) ist eine Wahrheitsmenge W (3) in allen 2-kontexturaleniSubsystemen, wenn fr alle Subsysteme S , i = 1 ,2,3gilt: S i ist nach oben und

nach unten geschlossen und fr jedes Element X i gilt, da eines der beiden,i ientweder X i oder das Konjugat X , in S i liegt.

i

4) X(3)

ist allgemeingltig ag(3)

im Framework L(3)

, wenn fr alle X , i = 1,2,3gilt: X i ist Element aller Wahrheitsmengen W i . Entsprechend wird die subsystemspezifische Allgemeingltigkeit ag i definiert.

5) Dualitt(3), (3),a) Ist L (3) ein Framework (E (3), D(3), C (3), (3), P (3)) , dann ist

, (3), (3)auch L (3)= (E (3), C (3), D (3) , (3), P (3) ) ein Framework.L

(3)b) S (3) ist nach unten geschlossen in S1, S2 und S3 aus genau dann,lwenn E (3)- S nach oben geschlossen ist in S l und nach unten geschlossen

in S2 und S3 . Also:S

(3) cld (3) in L (3)gdw (E (3)- S1) (clp1c1d3cld2) in L (3)

c) S (3) cld (3) in L (3)gdw (E (3)- S2) (cld3clp2cld l) in L (3)

d) S (3) cld (3) in L (3)gdw (E (3) -S2S3) (cld2clp3clp1) in L (3)

S(3) cld (3) in L (3)gdw (E (3)- S1S3) (clp3cld1clp2) in L (3)


15/20

S(3) cld (3) in L (3)gdw (E (3)- S (3)) clp (3) in L (3)

e) S (3) ist eine Wahrheitsmenge in L(3) genau dann, wenn E (3) - S i eineWahrheitsmenge in iL (3), i = 1,2 ist. Also:

i) W (3)in iS (3) W (3) in L (3) gdw (E (3)- S L (3), i = 1,2

(1L (3))gdw (E (3)- S1S3) W (3) in 2

(2L (3))gdw (E (3)- S2S3) W (3) in 1

l(2(1L (3))gdw (E (3)- S3) W (3)in

)2,3(3. Die 3-kontexturale Logik G ( , N, 1 N, 2 )E

(3) sei eine Menge signierter Formeln mit hchstens zwei Variablen. Die Signatu2 3 lren seien t (3)=(t1,t ,t ) und f (3)=( f , f2,f3)mit den Vermitt lungsbedingungen:

Eine signierte Formelmenge S (3) heit T-geschlossen, wenn es eine Formel X(3)i igibt, so da sowohl t iX i als auch f X in S i, i = 1,2,3 liegt. D.h., die Formel X (3) ist

)3( )3(ein Element der Wahrheitsmenge W : X(3) W gdw X1 W 1 und X2 1 W2

T T

und X3 W 3

iEin endliches ternres Rhizom R (3)mit endlichen binren Bumen B , deren Knotenendliche signierte Formeln sind, heit ein 3-kontexturales Tableau fr eine signierte Formel H(3), wenn

1) H(3 )

das Netz von R(3 )

ist ,2) H i , i = 1,2,3 die Wurzel von B i ist ,3) die Endknoten von B i entweder T-geschlossen sind oder nur aus signierten Va

riablen bestehen,4) der bergang von einem Knoten zu den nchsten sich nach den folgenden Re

geln vollzieht:

i i1

i2

tiX Y t i X t i Y

fiX Y f

iX f

iY

f

i

X Y ti

X f

i

Yt1

X N 1 X f1

Xt

2X N 1 X t

3X

t3

X N 1 X f2

Xt

1X N 2 X t

3X

t2

X N 2 X f2

Xt

3X N 2 X t

1X

i i1

i2

fiX Y f i X f i Y

tiX Y t

iX t

iY

t

i

X Y fi

X t

i

Yf1

X N 1 X t1

Xf

2X N 1 X f

3X

f3

X N 1 X f2

Xf

1X N 2 X f

3X

f2

X N 2 X t2

Xf

3X N 2 X f

1X

Die Menge S (3) ist T-inkonsistent, wenn es ein T-geschlossenes Tableau fr S (3)

gibt. Eine Formel H (3) ist T-beweisbar fr jedes 2-kontexturale Subsystem, wennldie Mengen {1X } und {2N1X2} und {3X3} simultan T-inkonsistent sind. Die

Menge S (3) ist T-inkonsistent bezglich eines Subsystems, wenn es einT-geschlossenes Tableau fr das betreffende S i gibt.

Beispiele fr Tableaubeweise :


16/20

)3( = N 1 ( N 2 ( N l p ) ) N 2 ( N 1 ( N 2 p ) ) (Formel des Negationszyklus)H1

f1 1

1H : f2 2

1H : f3 3

1H :

t1N 1 ( N 2 ( N 1 p ) )

f1N 2 ( N 1 ( N 2 p ) )

f

1

N 2 ( N 1 p )f3N 1 p

f2p

f2N 1 ( N 2 p )

f2N 2 p

t2p

t2N 1 ( N 2 ( N 1 p ) )

f2N 2 ( N 1 ( N 2 p ) )

t

3

N 2 ( N 1 p )t1N 1 p

f1p

t2N 1 ( N 2 p )

t3N 2 p

t1p

t3N 1 ( N 2 ( N 1 p ) )

f3N 2 ( N 1 ( N 2 p ) )

t

2

N 2 ( N 1 p )f2N 1 p

f3p

f1N 1 ( N 2 p )

t1N 2 p

t3p

x x x

Das Tabelau fr H1)3( ist allgemeingl)3( schliet simultan in allen Subsystemen; H1

tig.

)3( ist allgemeingltig nach der Methode der Wahrheitstafen fr klas-Die Formel H2sische mehrwertige Logiken, jedoch nicht in G (3 ,2 ):

)3(H = N5(pN3pN4p)mit N3:= N2(N1) und N4:= N1(N2)2

f N 5 ( . . . ) f N 1 ( N 5 ( . . . ) )

f1pN 3 pN 4 p f

3N 5 ( . . . )

2t pN 3 p t

3pN 3 pN 4 p

3t

2N 4 p t p

2t p t

3N 3 p

1

t p t

3

N 4 pf

3p f

1p

f3p


17/20

1

APPENDIX II : Zur Kombinatorik der PermutogrammeIm Folgenden werden kombinatorische Anzahlbestimmungen zu den Konjugations

zyklensystemen des Frameworks L (4) gegeben. Dem Liniensystem P G )4( entspricht

das Konjugationssystem von L (4), dem Sternsystem P G )4( ein Framework, das die2Kommutativittsbedingungen der kategorientheoretischen Modellierung sprengt undim Text nicht skizziert wurde.

Diese kombinatorischen Untersuchungen sind dem unverffentlichten Manuskript"Zur Theorie der Negationsysteme" G. Thomas (FU Berlin) entnommen.

)4(1. Permutogramm P G (Liniensystem)1

1.1 T1)4( erzeugt den Permutographen P G )4(1

)4(PG1

1T)4(

1.2 Zuordnungstabelle fr n = 4

)4( )4(1.3 Permutationstabelle fr P G1 und P G2

PGm

Perm N1 N2 N3 N4

PG1 PG2PG1,21 7 3 2 62 8 4 1 53 9 1 5 44 10 2 6 35 11 6 3 26 12 5 4 17 1 13 8 208 2 14 7 199 3 15 11 23

10 4 16 12 2411 5 17 9 2112 6 18 10 22

Perm N1 N2 N3 N4PG

m PG1,2 PG1 PG213 15 7 19 1414 16 8 20 1315 13 9 21 1716 14 10 22 1817 18 11 23 1518 17 12 24 1619 21 20 13 820 22 19 14 721 19 23 15 1122 20 24 16 1223 24 21 17 924 23 22 18 10


18/20

2.1

1.4 Ermittlung aller Kreise in P )4(1G

Knoten SummeAnzahl Kreislnge

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2468

11121516182021222324

0*1

1100001101

10

0011110012

-1

1122212228

--

125554569

30

--

-149

1515172848

132

--

--06

1519314475

266

--

---15

253558

112472

--

----4

112555

135690

--

-----2

1029

111760

--

-------4

24308

--

---------

44

12

35

12244778

126227512

2713

Anzahl der Kreise insgesamt86 24 72 264 456 708 920 912 336 5 3750Anzahl der zyklischen Normen

5221 21 23 38 46 48 18 5 209Anzahl der Negationsnormen NN

84111221 10 10 5Anzahl der Permutationen PN

46653111111

= Anzahl der Hamiltonkreise * Anzahl der Kreise durch einen Knoten

ZN = Reprsentant der Menge aller zyklischen Vertauschungen.

NN = Reprsentant der Menge aller Permutationen gem der Gleichungen derKonjugationen (z. B. N1N2N1= N2N1N2)

PN = Reprsentant der Menge aller Permutationen von Kantenwerten eines Kreises.

2. Permutogramm PG )4(2 (Sternsystem)

)4(

2T erzeugt den Permutographen PG

)4(

2 :

PG )4(2

2.2 Zuordnungstabellen fr PG)4(

2 siehe Appendix II_1.2 und _1.3.

46

30


19/20

)4(2.3 Ermittlung aller Kreise in PG2

Kreislnge

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Summe

Anzahlder Kreisedurch

einenKnoten

3 18 45 123 357 708 972 1155 594 18 3993

Anzahlder Kreiseinsgesamt

12 54 108 246 612 1062 1296 1386 648 18 5442

AnzahlderzyklischenNormenNN

3 6 6 17 33 51 71 69 33 3 292

AnzahlderNegations

normenNN

3 1 6 5 13 25 29 40 33 3 158

AnzahlderPermutait ionsnormenPN

1 1 2 3 5 7 10 10 9 1 49

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