18 ZAMM . Z. Angew. Math. u. Mech. 65 (1985) 1

BOOK REVIEWS

Lanckau, E. / Tutschke, W. (eds.), Complex Analysis. Methods Trends, and Applications. Berlin, Akademie-Verlag

Dieses hochklassige Buch ist aus mehreren Tagungen hervor- gegangen, die an der Universitit Halle-Wittenberg stattgefun- den haben. Sein Ziel ist, durch Ubersichtsartikel (meist ohne Beweis) die Kommunikation zwischen der Funktionentheorie und Anwendungsgebieten zu fordern. Dabei werden Verallge- meinerungen der holomorphen Funktionen zugelassen, und bei den Anwendungen stehen gewohnliche und partielle Differential- gleichungen, aber auch Integralgleichungen und Wahrschein- lichkeitstheorie im Vordergrund. Die Artikel sind in sich abge- schlossen, geben die wichtigsten Resultate an und sind ausgie- big mit Literaturhinweisen versehen; das gemeinsame Literatur- verzeichnis umfadt 48 Seiten. Die Liste der Autoren biirgt fur hohe Qualitat des Inhalts, und auch die Aufmachung liil3t keine Wunsche offen. - Es folgt eine Ubersicht iiber die 22 Kapitel des Buches : W. TUTSCHKE : Classical and modern methods of complex analysis. H. BEQEHR : Value distribution theory. M. B. BALK: Polyanalytic functions. 0. FORSTER : Cohomological methods in complex analysis. B. BOJARSKI: Connections bet- ween complex and global analysis : Riemann-Hilbert transmis- sion problem. J. LAWRYNOWIG2 and G. TSAQAS: On some com- plex-analytic methods in differential geometry. Z. D. USMA- NOV: Complex methods in the theory of infinitesimal bending of a surface. S. PR~SSDORF: Approximation methods for solving singular integral equations. E. MUES : Ordinary differential equations in the complex domain. H. BEQEHR: Boundary value problems for analytic and generalized analytic functions. V. S. VINOQRADOV: Elliptic systems in the plane. R. P. GILBERT: Re- cent results and developments in generalized hyperanalytic function theory. A. D~UBAEV: Complex methods in the theory of boundary value problems. H. FL~RIAN and R. HEERSINR: Differential operators in the theory of elliptic equations and boundary value problems. E. LANCKAU: Solving of linear par- tial differential equations by using complex integral trans- forms. K. HABETHA: Function theory in algebras. D. L. COL- TON : Analytic continuation of solutions to partial differential equations with applications to problems in scattering theory. W. L. WENDLAND : Numerical methods for boundary value problems of elliptic systems in the plane. L. v. WOLFERSDORF: Optimal control problems with elliptic differential equation systems of first order in the plane. G. F. M~ND~AVIDZE : Methods of the theory of analytic functions in the theory of elasticity. E. I, OBOLA~VILI : Some applications of generalized functions in the shell theory. H.-J. ROSSBERQ and B. JESIAK: Complex analysis in probability theory.

GieBen D. GAIER

1983. 298 S., 28 Abb., M 68,-. BN 763 109 6 (6699)

Alexits, G., A p p r o x i m a t i o n Theory . Selected Papers. Ed. by Tandori, K., Budapest, Akadbmiai Kiad6 1983. 297 S.,

GEORGE ALEXITS ist einer der hervorragendsten Vertreter der ungarischen Mathematik unseres Jahrhunderts, der neben sei- nem reichhaltigen mathematischen Schaffen eine aktive Rolle im offentlichen Leben der Ungarischen Volksrepublik gespielt hat. Der vorliegende Band beinhaltet eine Sammlung von 34 Originalarbeiten von G. ALEXITS zur Approximationstheorie, die seinem Wirken vom Ende der zwanziger Jahre bis kurz vor seinem Tod im Jahr 1978 entstammen. An Hand dieser Arbeiten liidt sich die stiirmische Entwicklung der Approximstionstheo- rie gewissermaden am Lebenswerk eines ihrer erfolgreichsten Vertreter nachempfinden. Die in diesem Sammelband aufge- nommenen Zeitschriftenartikel sind in der Originalsprache wiedergegeben, lediglich fur die original ungarisch abgefadten Arbeiten wurde eine englische Ubersetzung besorgt.

Der Ssmmelband wird durch eine mehrseitige Lebensdarstel- lung dieses bedeutenden Mathematikers und hervorragenden Lehrers und ein Verzeichnis aller seiner Veroffentlichungen ein- geleitet. Der Sammelband wird durch eine kurze Wertung und Einordnung des Gesamtwerks von G. ALEXITS abgeschlossen.

Karl-Marx-Stadt F. KUHNERT

Ft 330, -. ISBN 963-05-3204-2

Pazy, A., Semigroups of L inea r Opera to r s a n d App l i ca t ions t o Pa r t i a , l D i f f e r e n t i a l Equa t ions . Ber- lin-Heidelberg-New Pork-Tokyo, Springer-Verlag 1983. VIII, 279 S., DM 88,--. US $ 34.20. ISBN 3-540-90845-5 (Applied Mathematical Sciences 44)

Das lnteresse an Halbgrnppen von Operatoren beruht in starkem MaOe auf dereri enger Beziehung zu Anfangswertauf- gaben fur Evolutionsgleichungen. Der Verfasser beschrankt sich in seinem Buch, das eine erweiterte Fassung von Vorlesungsaus- arbeitungen darstellt, auf Halbgruppen beschrankter linearer Operatoren in einem Banach-Raum. Dies ermoglicht eine ein- fache und in sich abgeschlossene Darlegung der Theorie, die vom Leser nur elementare Kenntnisse der Funktionalanalysis ver- langt.

In Kapitel 1 wird der grundlegende Begriff des erzeugenden Operators einer Halbgruppe eingefuhrt, und es werden not- wendige und hinreichende Bedingungen dafiir angegeben, dsIJ ein Operator eine Halbgruppe erzeugt (Sltze von HILLR- YOSIDA und LUMER-PHILLIPS). In Kapitel2 werden Eigenschaf- ten von Halbgruppen, wie Stetigkeit, Kontraktivitat, Diffe- renzierbarkeit und Analytizitit, diskutiert und mit Eigenschaf- ten der Resolvente des erzeugenden Operators in Verbindung gebracht. Kapitel3 befadt sich rnit der Approximation von HaIb- gruppen und mit Storungen von erzeugenden Operatoren. In den Kapiteln 4 und 5 werden Anfangswertaufgaben fur Evolu- tionsgleichungen mit zeitunabhangigen bzw. zeitabhangigen linearen Operatoren systematisch rnit Hilfe der Theorie der Halbgruppen untersucht. Dabei erweist sich eine Unterteilung in ,,hyperboIische" und ,,parabolische" Probleme als zweck- maOig. Kapitel 6 zeigt, wie Informationen uber Halbgruppen linearer Operatoren zur Losung nichtlinearer Evolutionsglei- chungen herangezogen werden konnen. Die beiden letzten Ka- pitel enthalten Anwendungen der abstrakten Theorie auf kon- krete Rand-Anfangswertprobleme fur lineare und nichtlineare Differentialgleichungen. Die in diesem Zusammenhang benotig- ten Resultate fur elliptische Randwertprobleme werden ohne Beweis zitiert. Behandelt werden unter anderem die Schrodin- ger-Gleichung, die Wellengleichung, Varianten der Warmc- leitungsgleichung und die Korteweg-de Vries-Gleichung. Die dargestellten Ergebnissc umfassen allerdings nur einen Teil des- sen, was heute uber diese Gleichungen bekannt ist. Dies ist da- durch bedingt, dafi sich der Verfasser bewuDt auf die Anwendung der Theorie der Halbgruppen beschrankt hat. Hinweise a d Literatur, in der auch andere Zugange zu Evolutionsgleichungen behandelt werden, findet der Leser in den am Schlud des Buches zusammengestellten bibliographischen Anmerkungen.

Inhaltlich weist das Buch zwangslaufig viele Uberschnei- dungen mit fruheren Buchern zu ahnlichen Themen auf, bei- spielsweise mit S. G. KREIN, Lineare Differentialgleichungen im Banach-Raum (MoRkau 1967, russisch), und rnit H. TANABX, Equations of Evolution (London 1979). Dies schmalert aber in keiner Weise den Wert des vorliegenden Buches. Auf Grund seines klaren Aufbaus und seiner sorgfaltigen Ausfuhrung ist es sowohl zur selbstandigen Einarbeitung in den behandelten Themenkreis als auch als Grundlage fur Spezialvorlesungen gut geeignet.

Berlin K. G I ~ ~ ~ G E R

Gruber, P. M. / Wills, J. M. (cds.), Convexi ty a n d I ts Appl ica t ions . Basel-Boston-Stuttgart, Birkhauser Verlag 1983. 421 S., sFr. 110.-. ISBN 3-7643-1384-6

Das Buch cnthalt 16 in sich abgeschlossene Artikel iiber ver- schiedenartige Aufgabenklassen und Theorien, in denen kon- vexe Mengen eine wesentliche Rolle spielen. Sein Inhalt ist ent- sprechend breit gefachert. Man findet historische Betrachtungen (FENCHEL) und moderne Bearbeitungen klassischer geometri- scher Probleme (z. B. CHAKERIAN/GROEMER : Konvexe Korper konstanter Breite), Bezuge zur Differentialgeometrie (LEICHT- WEISS), algebraische Untersuchungen (z. B. CHALK: Algebrai- sche Gitter), Beitrage zur KonvexitLt in Banachraumen (z. B. VON PRELPS), Anwendungen in der kombinatorischcn Optimie- rung (BACHEM) sowie in Naturwissenschaften ( WEIL : Stereome- trie), einen langen Artikel uber additive Bewcrtungen konvexer Mengen (MCMULLEN/SCHNEIDYR) und vieles andere mehr. Das Buch diirfte wegen seiner Vielfalt und Tiefgriindigkeit einen breiten Interessentenkreis finden. Sicher freuen sich auch viele uber die sehr umfangreichen Literaturangaben.

Leipzig H. HARTwIa