Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 Teil 5

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

• Wie lässt sich das Wissen über geometrische Begriffe für die Konstruktion von Bauteilen oder handwerkliche Vorgehensweisen nutzen?

– Reparatur einer klemmenden Schranktür – Das Geraderichten eines Turms (Bohren eines

senkrechten Loches)?

Lebensweltlicher Aspekt

Wie stellt man einen Turm gerade?

Schiefer Turm aus Köln

Schiefer Turm aus Köln

Lebensweltlicher Aspekt

Wie stellt man einen Turm gerade?

Schiefer Turm aus Kölsch

Schiefer Turm aus Kölsch

Lebensweltlicher Aspekt

Wie stellt man einen Turm gerade?

Lebensweltlicher Aspekt

Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltwinkel

Ein rechter Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers

Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen

Mit ihm können Grunderfahren gemacht werden, die auf folgende Definition bzw. Satz vorbereitet

Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie auch senkrecht auf allen Geraden aus E, die durch ihren Spurpunkt gehen

Aspekt der Ungenauigkeit

Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Konstruktionen unabhängig vom Konstruktions-verfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen, in der praktischen Anwendung aber aufgrund von Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche Aspekte berücksichtigt werden müssen.

Bsp.:

• Senkrechtes Bohren

• Gerade durch zwei Punkte

• Muss ein Gegenstand eigentlich so aussehen?

Ziel: Kritisches Hinterfragen von üblichen Lösungen im Alltag– Müssen Tische rechteckig sein?

Lebensweltlicher Aspekt

Muss der Klappstuhl so aussehen?

Rechteck bestimmt durch Diagonaleneigenschaft

Was ist entscheidend? Parallelität von Sitzfläche und Boden -> Trapez

Wie könnte der Klappstuhl also nochgebaut sein?

– Müssen Rollen bzw. Räder kreisförmig sein?

Lebensweltlicher Aspekt

Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers (Gleichdicke) als denKreis?

Ja, z.B. das Reuleaux-Dreieck!

Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicks gibt es kein Zentrum für eine Achse, das bei ebener Strecke auf gleicher Höhe bleibt.

Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur Gleichdicke sein.

Gleichdicke finden faszinierende Anwendungsmöglichkeiten• Wankelmotor • Bohrer, die rechteckige Löcher Bohren

Reuleaux-Tetraeder Beispiel für eine Analogisierung mit Ecken und Kanten

Wie findet man solche Beziehungen?1. Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in

der Umwelt. Hier helfen z.B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet2. Man beobachtet wachen Auges die Umwelt und sucht in

dieser geometrische Aspekte 3. Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus

Lebensweltlicher Aspekt

Die umfassende Auseinandersetzung mit möglichst vielen mathematischen und lebensweltlichen Aspekten eines Begriffs sowie deren Zusammenhängen ermöglicht erst die Bildung sinnvoller unterrichtlicher Lernziele und ist damit die Grundlage jeglichen interessanten Mathematikunterrichts!

Umweltaspekt

Fachmathematischer Aspekt

Lehrer leitet ab

konkreteLernziele

Lehrer entwickelt

adäquateLernumgebung

Schüler baut auf

mentale Begriffe

AllgemeineBildungsziele

Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …

Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …

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