GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK - tu-chemnitz.de · · Die Auswahl der Grundgrößen erfolgt nach Zweckmäßigkeit. Prinzipiell würden drei Grundgrößen, z.B. Länge, Zeit, Masse reichen!

Vorlesungsskript

GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK

Prof. Dr. Frank Richter

Skript angefertigt von cand. phys. Stefan Welzel

Technische Universität Chemnitz

Fakultät für NaturwissenschaftenInstitut für Physik

Vorwort

I

VORWORT

Das vorliegende Skript basiert auf der Vorlesung in Experimentalphysik für Studen-ten des 1. und 2. Semesters des Diplomstudiengangs Physik. Die Vorlesung ist, an-schließend an eine Einleitung, in vier große Teilbereiche gegliedert:

• Mechanik

• Thermodynamik

• Elektrizitätslehre

• Optik

Zur besseren Orientierung finden sich am Rand folgende Symbole:

! Definitionen/Merksätze

n Beispiele

u Kommentare/Interpretationen/Diskussionen

SI Definition von Einheiten nach dem SI-System

(..) Gleichungsnummerierung

Nebenrechnung

Wird im Rahmen der Erläuterungen auf eine Gleichung aus einem vorangegangenenKapitel Bezug genommen, so geschieht dies durch Voranstellen der jeweiligen Ka-pitelnummer vor die entsprechende Gleichungsnummer (z.B. verweist die Angabe„(11 - 6)“ auf Gl. (6) in Kapitel 11)

Desweiteren werden im Text wichtige physikalische Grundbegriffe gesondert her-vorgehoben, die dann auch im Sachregister aufgelistet sind.

Weitere im Text verwendete Symbole sind:

⇒ Schlussfolgerungen

<..> Verweis auf andere Kapitel

.. Quellenangabe

Inhaltsverzeichnis

II

INHALTSVERZEICHNIS

VORWORT...................................................................................................................I

INHALTSVERZEICHNIS.............................................................................................. II

A. EINLEITUNG .................................................................................................... 1

1. Einleitung........................................................................................................................... 2

1.1. Was ist Physik ..................................................................................................................... 21.2. Die Rolle des Experimentes ................................................................................................ 21.3. Physikalische Modelle und Theorien .................................................................................. 41.4. Der „Stammbaum der Physik“ ............................................................................................ 51.5. Wichtige Größen und Maßeinheiten ................................................................................... 5

B. MECHANIK ...................................................................................................... 8

2. Kinematik........................................................................................................................... 9

2.1. Ortsvektor............................................................................................................................ 92.2. Geschwindigkeit.................................................................................................................. 92.3. Beschleunigung................................................................................................................. 102.4. Beschreibung der Kreisbewegung..................................................................................... 112.5. Überlagerung von Bewegungen........................................................................................ 13

3. Dynamik........................................................................................................................... 15

3.1. Trägheit ............................................................................................................................. 153.2. Kräfte ............................................................................................................................... 153.3. Kraft und Masse ................................................................................................................ 163.4. Die NEWTONschen Axiome............................................................................................... 173.5. Impulserhaltung................................................................................................................. 183.6. Einfache Bewegungen....................................................................................................... 193.7. Reibungskräfte .................................................................................................................. 21

4. Arbeit und Energie.......................................................................................................... 23

4.1. Mechanische Energie ........................................................................................................ 234.2. Potentielle Energie ............................................................................................................ 254.3. Feldkraft und potentielle Energie...................................................................................... 264.4. Der Energiesatz der Mechanik .......................................................................................... 27

5. Gravitation....................................................................................................................... 28

5.1. Drehimpuls und Drehmoment........................................................................................... 285.2. Das Gravitationsgesetz...................................................................................................... 305.3. Potentielle Energie und Gravitationspotential .................................................................. 32

Inhaltsverzeichnis

III

5.4. Planetenbewegung............................................................................................................. 32

6. Schwingungen I ............................................................................................................... 34

6.1. Der Federschwinger .......................................................................................................... 346.2. Das Pendel......................................................................................................................... 376.3. Gedämpfte Schwingungen ................................................................................................ 38

7. Systeme von Massenpunkten; Stöße ............................................................................. 41

7.1. Der Schwerpunkt............................................................................................................... 417.2. Stöße: Grundlagen............................................................................................................. 427.3. Elastische Stöße im Laborsystem...................................................................................... 437.4. Stöße im Schwerpunktsystem ........................................................................................... 457.5. Inelastische Stöße.............................................................................................................. 457.6. Nichtzentrale Stöße ........................................................................................................... 46

8. Bewegte Bezugssysteme .................................................................................................. 47

8.1. Vorbemerkungen............................................................................................................... 478.2. Bezugssysteme mit konstanter Relativgeschwindigkeit u << c ........................................... 478.3. Linear beschleunigte Bezugssysteme................................................................................ 488.4. Rotierende Bezugssysteme................................................................................................ 49

9. Der starre Körper; Rotation I........................................................................................ 52

9.1. Einleitung .......................................................................................................................... 529.2. Kräfte und Drehmoment an starren Körpern .................................................................... 539.3. Trägheitsmoment............................................................................................................... 539.4. Dynamik bei der Rotation ................................................................................................. 559.5. Zusammenstellung wichtiger formaler Analogien............................................................ 58

10. Rotation II........................................................................................................................ 59

10.1. Trägheitstensor.................................................................................................................. 5910.2. Trägheitsellipsoid.............................................................................................................. 6010.3. Symmetrischer Kreisel ...................................................................................................... 62

11. Deformierbare Festkörper ............................................................................................. 65

11.1. Dehnung und Kompression............................................................................................... 6511.2. Scherung............................................................................................................................ 6711.3. Der gebogene Balken ........................................................................................................ 6911.4. Inelastisches Verhalten...................................................................................................... 71

12. Flüssigkeiten .................................................................................................................... 73

12.1. Einleitung .......................................................................................................................... 7312.2. Statischer Druck ................................................................................................................ 7312.3. Schweredruck.................................................................................................................... 7512.4. Auftrieb und Schwimmen ................................................................................................. 7612.5. Oberflächenspannung........................................................................................................ 7712.6. Fest-flüssig-Grenzflächen ................................................................................................. 79

Inhaltsverzeichnis

IV

13. Gase .................................................................................................................................. 82

13.1. Kompressibilität ................................................................................................................ 8213.2. Schweredruck in Gasen..................................................................................................... 83

14. Strömende Flüssigkeiten und Gase ............................................................................... 85

14.1. Vorbemerkungen............................................................................................................... 8514.2. Innere Reibung.................................................................................................................. 8614.3. Beispiele für laminare Strömungen................................................................................... 8714.4. Turbulente Strömungen, Ähnlichkeit, Strömungsgrenzschicht ............................................ 8914.5. Reibungsfreies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung............................................................ 9214.6. Strömungswiderstand........................................................................................................ 95

15. Schwingungen II.............................................................................................................. 97

15.1. 2D-Überlagerung von Schwingungen............................................................................... 9715.2. Schwebungen .................................................................................................................... 9715.3. Die FOURIER-Analyse........................................................................................................ 9815.4. Gekoppelte Schwinger .................................................................................................... 10015.5. Erzwungene Schwingungen ............................................................................................ 101

16. Wellen............................................................................................................................. 104

16.1. Einleitung ........................................................................................................................ 10416.2. Wellengleichungen.......................................................................................................... 10616.3. Arten von Wellen ............................................................................................................ 10616.4. Wellenausbreitung in verschiedenen Medien ................................................................. 10716.5. Überlagerung von Wellen; Gruppengeschwindigkeit ..................................................... 110

17. Wellenausbreitung ........................................................................................................ 113

17.1. Streuung .......................................................................................................................... 11317.2. Das HUYGENSsche Prinzip .............................................................................................. 11317.3. Das FERMATsche Prinzip................................................................................................. 11417.4. Beugung .......................................................................................................................... 11517.5. DOPPLER-Effekt; MACHsche Wellen............................................................................... 11617.6. Intensität einer Welle ...................................................................................................... 11817.7. Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche ......................................................... 119

18. Akustik ........................................................................................................................... 121

18.1. Einleitung ........................................................................................................................ 12118.2. Töne und Klänge ............................................................................................................. 12118.3. Stehende Wellen; Musikinstrumente .............................................................................. 123

LITERATURLISTE...................................................................................................... V

QUELLENVERZEICHNIS ...........................................................................................VI

SACHREGISTER...................................................................................................... VII

Einleitung

A. EINLEITUNG

Einleitung

2

1. Einleitung

1.1. Was ist Physik

− ϕυσιζ = Ursprung, Naturordnung, das Geschaffene lt. den griechischen Natur-philosophen, z.B. Aristoteles (384 - 322 v.d.Z.)

− im Gegensatz zur Metaphysik (das, was im Aristoteleschen System nach derPhysik behandelt wird, also die gesamte ideelle Welt)

− griechische Naturphilosophie:· Beginn des naturwissenschaftlichen Denkens; Entmythologisierung der Natur· Natur als (sehr komplizierter) Mechanismus, den man im Prinzip verstehen kann;

Gesetzmäßigkeiten statt undurchschaubares Wirken von Göttern und Dämonen− weitere Etappen:

· klassische Physik· moderne Physik (Quantenphysik, Relativität) ~ 1920

− „Verständnis der Natur“ = Erkennen von Gesetzmäßigkeiten

− → Naturbeobachtung ⇒ Schlussfolgerung (z.B. Gesetze der Planetenbewegung)

− Bloßes Beobachten reicht oft nicht aus, da die Natur zu kompliziert ist (Über-lagerung von Einflüssen), und man z.B. auch optischen Täuschungen zum Opferfallen kann

⇒ (gezieltes) Experiment = „Frage an die Natur“= Ausschluss störender Einflüsse, ggf. Verstärkung

des gewünschten/interessierenden Effektes

− Mit dem Experiment eng verknüpft sind zwei weitere Komplexe:· physikalische Größen, Maßeinheiten, Messung, Messfehler (vgl. <1.2.>)· physikalische Modelle, Theorien, Rolle der Mathematik (vgl. <1.3.>)

1.2. Die Rolle des Experimentes

− Wesen des Experimentes ist die Messung (= Vergleich zweier Größen)

Beispiel: nPhysikalische Größe Länge hat Maßeinheit Meter (m). Vergleich einer gegebenen Di-stanz mit dieser Maßeinheit ⇒ „Distanz beträgt 1,54 m“

− Maßeinheiten sind durch Normale oder Standards definiert; Messgeräte müssenregelmäßig mit diesen verglichen (geeicht, kalibriert) werden

− Die verwendeten Normale hängen vom Entwicklungsstand von Wissenschaftund Technik ab.

Einleitung

3

Beispiel: Meter n

1799: 1/10.000.000 des Erdquadranten

1875: Urmeter (Pt-Ir-Stab mit Strichen) x∆ mm10 3−=

xx∆ 610−=

1960: über die Wellenlänge einer bestimmtenStrahlung, die Krypton-86-Atome aussenden x

x∆ 810−=

1983: (wegen der inzwischen erreichten enormenGenauigkeit der Zeitmessung)

„1 m ist die Strecke, die das Licht im Vakuum

in s299792458

1 zurücklegt“.

tt∆ 1410−≈

!

Damit ist c keine Messgröße mehr und beträgtdefinitionsgemäß 299.792.458 ms-1! !

– Grundgrößen und abgeleitete Größen, z.B.â â

Länge sZeit t Geschwindigkeit

ts

v =

− Über die Auswahl der Grundgrößen sind bestimmte Maßsysteme definiert. Seit1960 in vielen Ländern verbindlich: SI-System (le Système International d‘ Unitès)

7 Grundgrößen mit der entsprechenden SI-Basiseinheit SILänge Meter mZeit Sekunde sMasse Kilogramm kgelektrische Stromstärke Ampere ATemperatur Kelvin KStoffmenge Mol molLichtstärke Candela cd

Kommentar: u· Alle anderen Größen sind aus den Grundgrößen abgeleitet, ebenso ihre

Maßeinheiten aus den Basiseinheiten. Allerdings haben manche abgeleitetenEinheiten eigene Namen (N, J, W, V, ...)

· Die Auswahl der Grundgrößen erfolgt nach Zweckmäßigkeit. Prinzipiellwürden drei Grundgrößen, z.B. Länge, Zeit, Masse reichen!

Einleitung

4

· Es gibt immer noch/immer wieder:∗ SI-fremde Maßeinheiten, z.B. Torr, atm, cal, yard, inch, ...∗ andere Maßsysteme

âggf. anderes Aussehen von Formeln;z.B. tritt beim CGS-System (cm-g-sec) das 1/4πε0 in den Gleichungender Elektrodynamik

– Messgenauigkeit und -reproduzierbarkeitâ â

wie groß ist der maxi-mal mögliche Fehler?

liefert Wiederholung der Messung zu andererZeit und/oder anderen Bedingungen dasselbeErgebnis?

⇒ Dies nicht so wichtig für die Schauversuche der Vorlesung, jedoch sehr fürwissenschaftliche Arbeit.

⇒ siehe Praktikum!

1.3. Physikalische Modelle und Theorien

− Experimente meist so gestaltet, dass bestimmte Einflüsse deutlich messbar sind,andere (störende) Einflüsse dagegen unterdrückt werden.

Beispiel: nFallgesetz: – Körper mit hoher Massendichte

– kein Wind u.a.– am besten Vakuumturm

⇒ Fall-Verhalten nur von Masse des Körpers abhängig, alle sonstigen Eigenschaften(Dichte, Form, ....) sind unerheblich

⇒ Bild (Modell) der Punktmasse

− Physikalische Gesetze, die in der Regel durch Formeln ausgedrückt werden,sind den Vereinfachungen des Modells angepasst, d.h., Dinge, die in dem be-trachteten Zusammenhang keine Rolle spielen, kommen nicht mehr vor.

⇒ Einfachheit und Klarheit. Man muss aber immer wieder überprüfen, ob dieVoraussetzungen des Modells im konkreten Fall gelten

− Hypothesen· sind mehr oder weniger („Arbeitshypothese“) begründete Vermutungen· dienen oft dem Entwurf von Experimenten („Wenn ... so ist, dann müsste doch ...“)· sind die Vorstufen von Gesetzmäßigkeiten

Prinzipiell ist die Physik natürlich immer offen für unerwartete experimentelleErgebnisse, insofern ist keine Gesetzmäßigkeit „absolut“. Mit zunehmenderVervollständigung des Bildes von der Welt, der zunehmenden Menge von zu-sammenpassenden und sich gegenseitig stützenden Befunden, steigt natürlich

Einleitung

5

das Zutrauen in die gefundenen Gesetzmäßigkeiten. Deshalb wird z.B. die Suchenach einem perpetuum mobile als Zeitverschwendung abgelehnt.

− Theorien sind die (überwiegend mathematische) Formulierung gefundener oder hy-pothetischer1 Gesetzmäßigkeiten. Sie beziehen sich auf ein bestimmtes physikalischesModell, d.h., bestimmte Bedingungen (z.B. das Fehlen von Reibung beim Fallgesetz).· wichtige Rolle der Mathematik und der Computertechnik· Arbeitsteilung Experimentalphysik - Theoretische Physik wegen des enor-

men Wissensvolumens (Kepler, Newton, Galilei waren nicht spezialisiert!)· „Experimente mit dem Computer“ = Herausfinden der wesentlichen Gesetz-

mäßigkeiten/Theoriebildung anhand experimentell überprüfter Konstellationenund Berechnung experimentell praktisch unzugänglicher Konstellationen

1.4. Der „Stammbaum der Physik“

Bedeutung der Mechanik:· grundlegend für vieles an-

dere· beispielhaft (z.B. bezüglich

Modellbildung)

(1, S. 14)

1.5. Wichtige Größen und Maßeinheiten

1.5.1. Länge: m

Vorsilbe lt. SI-System103 m 1 km kilo10-3 m 1 mm milli10-6 m 1 µm mikro10-9 m 1 nm nano → feinstbearbeitete Oberfläche

10-12 m 1 pm pico10-15 m 1 fm femto → Atomkern-Durchmesser

1 Es gibt auch Theorien, die zunächst hypothetisch sind!

Einleitung

6

10-10 m 1 Å Angström → Atom-Durchmesser

1 Lichtjahr 1 Lj = 9,465 1015 m1 Parsec 1 pc = 3 1016 m

1.5.2. Zeit: s

Die Sekunde ist definiert als das 9.192.631.770-fache der Periodendauer eines bestimm-ten Übergangs zwischen Energieniveaus des 133Cs-Atoms. !5 1017 s Alter des Universums1 1017 s Alter der Erde

2 1013 s Zeit seit der Entwicklung des ersten Menschen

10-3 s 1 ms10-6 s 1 µs10-9 s 1 ns → Anregungsdauer eines Atoms10-12 s 1 ps → ultrakurzer Laserpuls; „Ultrakurzzeitphysik“10-15 s 1 fs → Periodendauer einer Lichtwelle

1.5.3. Masse: kg

Masse (zur Zeit noch) definiert über den in Paris aufbewahrten 1 kg-Pt-Ir-Zylinder(früher: 1 dm3 H2O bei 4 °C). !Angestrebt: Übergang zu Si-Einkristallkugel mit definierter Atomanzahl (= An-

schluss an genauer messbare atomare Einheiten)

extreme Beispiele: Masse eines Elektrons: 10-30 kgMasse der Sonne: 1030 kgMasse der Milchstraße: 1042 kg

1.5.4. Temperatur: K

Ein Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur am Tripelpunktdes Wassers. (Der Tripelpunkt des Wassers liegt bei 273,16 K = 0,01 °C.) !

Einleitung

7

1.5.5. Winkel

Im Alltag, in derGeographie usw.: 1° =

3601

Vollkreis !1° = 60‘ = 60 60“

(Bogenminute) (Bogensekunde)

zweckmäßig: Bogenmaß = RRadius

LBogenlänge !

Dann ist der Vollkreis = R

R2π = π2 .

Streng genommen hat der Winkel im Bogenmaß auch eine Maßeinheit:SI-Einheit: der Radiant; [α] = rad = m m-1

Der Vollkreis ist also 2π rad ≈ 6,28 rad; 1 rad ≈ 57°Der Physiker spricht aber von „Winkel 3/4π“ o.ä.

SI

1.5.6. Raumwinkel

Der Raumwinkel ist definiert über die eingeschlossene Fläche S auf der Kugelober-fläche, geteilt durch das Quadrat des Kugelradius. !

2RS

=Ω

Der Vollwinkel ist daher π=π

=Ω 4R

R42

2

.

Kommentar: u− Die Fläche S ist ein beliebiger (in sich geschlossener) Teil der Kugeloberfläche.− Der Raumwinkels u.a. wichtig für die Beschreibung von Strahlungsemission.− SI-Einheit: der Steradiant; [Ω] = sr = m2 m-2 SI

Mechanik

B. MECHANIK

Mechanik - Kinematik

9

2. Kinematik

... ist die Lehre von der Bewegung. Sie beschreibt Bewegungen, ohne nach den Ur-sachen zu fragen. !

2.1. Ortsvektor

− Der Ort eines Massepunktes P zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch denOrtsvektor )t(r

r mit dem Ursprung 0: !

Der Ursprung wird entsprechend dem physikalischen Problem zweckmäßig ge-wählt, z.B.: Abwurfstelle beim Wurf, Rotations-Mittelpunkt bei Rotation.

− Wenn sich P relativ zu 0 bewegt, ist )t(rrrr

= . Die Gesamtheit der Endpunktevon r

r heißt Bahnkurve: !

− Je nach dem physikalischen Problem wird man rr

in unterschiedlicher Weise inKomponenten zerlegen:

· im allgemeinen Fall entsprechend den kartesischen Koordinaten:

kzjyixrrrrr

⋅+⋅+⋅= (1)

k,j,irrr

... Einheitsvektoren in x-, y-, und z- Richtung,

· bei einer Rotationsbewegung wird man oft Polarkoordinaten wählen (vgl. <2.4.>).

2.2. Geschwindigkeit

− ... ist die Änderung des Ortsvektors mit der Zeit: !


10

tr

tt)t(r)t(r

)t,t(v12

1221 ∆

∆=

−−

=rrr

r(2)

− vr

ist die mittlere Geschwindigkeit im Intervall (t1, t2). Beliebige Eskapaden in-nerhalb dieses Intervalls (siehe Abbildung) bleiben unbemerkt/unberücksichtigt!

⇒ Die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt erhältman durch Grenzübergang t2 → t1:

)t(r)t(dtrd

tt)t(r)t(r

lim)t(v 1112

12

tt1

12

&rrrr

r==

−−

=→

(3)

2.3. Beschleunigung

− ... ist die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit(„v ist Tangente an die Bahnkurve“): !

Man sieht, dass sich vr

im Allgemeinen sowohl im Betrag als auch in der Rich-tung ändert! Die Beschleunigung ist ein Vektor. !

Maßeinheit: [a] = 2s

mSI

− mittlere Beschleunigung im Intervall (t1, t2):

tv

tt)t(v)t(v

)t,t(a12

1221 ∆

∆=

−−

=rrr

r(4)

− Analog zu Gl. (3) erhalten wir die (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t1:

)t(r)t(dt

rd)t(

dtvd

tt)t(v)t(v

lim)t(a 112

2

112

12

tt1

12

&&rrrrr

r===

−−

=→

(5)

− 2 Grenzfälle der Beschleunigung (bzw. Komponenten im allgemeinen Fall):

a) Tangentialbeschleunigung (tangential zur Bahnkurve)v~arr

∆ wirkt parallel (oder antiparallel) zu vr

( v||vrr

∆ )⇒ es ändert sich nur v

r, nicht die Richtung


11

b) Normalbeschleunigung (normal zur Bahnkurve)v~arr

∆ wirkt senkrecht zu vr

( vvrr

⊥∆ )⇒ es ändert sich nur die Richtung, nicht v

r

Beispiel: nAuf der Erde unterliegt jeder nicht fixierte Körper einer Beschleunigung.

a ≈ 9,81 m · s-2 ≡ g ... Erdbeschleunigung

⇒ v nimmt zeitlinear zu:

dtdv

2sm

81,9=

)t(v ∫ ′=t

02

tdsm

81,9

⇒ )t(v tsm

81,92

⋅=

Fallstrecke s:

dt)t(ds

)t(v=

)t(s tdtsm

81,9td)t(vt

02

t

0

′⋅′=′⋅′= ∫∫

⇒ )t(s 22

tsm

281,9

⋅=

t v(t) s(t)1 s 9,8 m·s-1 4,9 m (= 1 · 4,9)2 s 19,6 m·s-1 19,6 m (= 4 · 4,9)3 s 28,4 m·s-1 44,1 m (= 9 · 4,9)

2.4. Beschreibung der Kreisbewegung

− Bei der Kreisbewegung ist der Abstand r konstant.

⇒ Einführung von Polarkoordinaten zweckmäßig


12

2r 22 yx +=

ry

ϕ=+

= sinyx

y22

Transformations-gleichungen

ϕ↔ ,ry,x

⇒ Verallgemeinerung: Zylinderkoordinaten (für rotationssymmetrische Probleme)

z,,rz,y,x ϕ↔

Nun zur Kreisbewegung (hier ist .constrr ==r

!):

− Winkelgeschwindigkeit ω

)t(dt

)t(dϕ=

ϕ=ω & (6)

− Winkelbeschleunigung α

)t(dt

)t(ddt

)t(d2

2

ϕ=ϕ

=ω

=α && (7)

− Zusammenhang mit Umlaufgeschwindigkeit, -beschleunigung:

α⋅=ω⋅===ω⋅=ϕ⋅==

ϕ⋅=

rrvasrrvs

rs

&&&&&&

(8)

− Bis hierher: Rotation in der Ebene. Im 3D betrachtet man ω und α zweckmäßi-gerweise als Vektoren.

Richtung → durch Rotationsebene festgelegt

Beträge:ω=ω

rlt. Gl. (6)

α=αr

lt. Gl. (7)


13

Rechte-Hand-Regel!

− αr

kann bei gegebener Rotationsrichtung nach oben oder unten zeigen:

ωαrr

~1 → Beschleunigungω−αrr

~2 → Abbremsung

− Vektorschreibweise von Gl. (8) (dann stimmen Betrag und Richtung):

rarvrrrrrr

×α=×ω=

(9)

2.5. Überlagerung von Bewegungen

− Die Zusammenhänge zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung gel-ten für jede Komponente einzeln. Dies erleichtert vieles! !z.B. in kartesischen Koordinaten:

rr

kzjyixrrr

⋅+⋅+⋅= (1)

vr

r&r

= kzjyixr

&r

&r

& ⋅+⋅+⋅=

kvjviv zyx

rrr++=

ar

v&r

= r&&r

= kzjyixr

&&r

&&r

&& ⋅+⋅+⋅=

kajaia zyx

rrr++=

(10)

Beispiel: nWaagerechter Wurf

ivv x0

rr⋅=

Waagerecht findet eine gleichförmige Bewegung statt (vx = const.) und senkrecht einegleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall, d.h. a = g = const.), die sich überla-gern.


14

Man kann natürlich auch für jeden Zeitpunkt Betrag und Richtung der resultierendenGeschwindigkeit ermitteln:

)t(vr 222

x2y

2x tgv)t(v)t(v +=+=

βtany

x

vv

=

Mechanik – Dynamik

15

3. Dynamik

Jetzt fragen wir nach der Ursache der Änderung des Bewegungszustandes, also nachder Ursache der Beschleunigung. !

3.1. Trägheit

Änderung des Bewegungszustandes heißt Änderung der Geschwindigkeit. !Schon Galilei (1564 - 1642) hat erkannt, dass eine geradlinig gleichförmige Bewe-gung, d.h. .constv =

r, von sich aus fortbesteht, also keiner besonderen Ursache be-

darf. Ruhe ist ein Sonderfall davon.

Man bezeichnet dies als Trägheitsprinzip.

3.2. Kräfte

− Eine Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers setzt eine Wechselwir-kung voraus → Konzept der Kräfte !

Änderung des Be-wegungszustandes ↔ „am Körper greift

eine Kraft an“

Kräfte können die verschiedenartigsten Ursachen haben.

− Eigenschaften von Kräften

· Kräfte sind Vektoren, also bestimmt durch Betrag und Richtung !· Bei mehreren Kräften überlagern sich alle Komponenten einzeln,

z.B. für kartesische Koordinaten:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

ii,zges,z

ii,yges,y

ii,xges,x

iiges

FF

FF

FF

FF

rr

rr

rr

rr

(1)

Auch hier gelten natürlich wieder (vgl. Gl. (2 - 10)) dieZusammenhänge für jeder Koordinate einzeln!

− Ein Körper oder Massepunkt mit 0Fges =r

heißt „frei“, d.h., er ändert seinen Be-wegungszustand nicht .


16

− In vielen Fällen hängt die Kraft vom Ort ab, d.h.

)r(FFrrr

= ,

also Betrag und Richtung der Kraft sind eindeutig dem Ort zugeordnet.

Eine solche jedem Raumpunkt zugeordnete Kraft wird als Kraftfeld bezeichnet.

Beispiel:Gravitation/Erde

n

Also: Jeder Punkt rr

in der Umgebung der Erde besitzt die Eigenschaft, auf eine be-stimmte Masse eine ganz bestimmte Kraft )r(F

rr auszuüben.

Diese Eigenschaft hat der Punkt auch dann, wenn keine zweite Masse dort ist.

3.3. Kraft und Masse

− Unterschiedliche Körper reagieren auf ein und dieselbe Kraft unterschiedlich. !z.B.: ⋅ Ziehen am Handwagen ⇔ an einem PKW

⋅ Abbremsen eines großen Schiffes

− Die Eigenschaft, sich der Einwirkung der Kraft zu widersetzen und den altenBewegungszustand möglichst beizubehalten (Trägheit) wird durch die trägeMasse beschrieben. Es gilt:

!

amFrr

⋅= ( rmvm &&r&r == ) (2)

Dies ist das NEWTONsche Aktionsprinzip.

− Es kann in dreierlei Weise interpretiert werden: u

a) Fr

amr

⋅= (Gl. (2)): Bestimmung von Fr

;

„Wenn ein Körper der Masse m eine Beschleunigung ar

erfährt, wie groß ist dann die wirkende Kraft?“(z.B.: Ermittlung der Erdschwerkraft aus Fallexperiment)


17

b) ma

Fr

r

= :Charakterisierung der Trägheit;

„Wie viel Kraft muss pro Beschleunigung aufgewandtwerden?“

c) r&&r

Fm1

arr

⋅== :Bestimmungsgleichung für a

r. Damit kann letztlich bei

gegebener Kraft )t(Fr

für eine bestimmte Masse m dieBahnkurve )t(r

r durch Integration bestimmt werden.

− Lesart a) bzw. Gl. (2) führen zur Definition der Maßeinheit für die Kraft aus denSI-Grundgrößen Masse, Länge und Zeit:

1 Newton = 1 N = 1 2s

mkg ⋅ SI, (3)

Also: 1 N ist die Kraft, die einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 2s

m 1 a =

r verleiht.

− Die Beschleunigung durch die Erdschwerkraft auf der Erdoberfläche beträgt 2s

m81,9g ≈ .

⇒ 1 kg besitzt auf der Erdoberfläche die Gewichtskraft

GFr

= 9,81 2s

mkg ⋅ = 9,81 N = 1 kp

Die Gewichtskraft darf nicht mit der Masse verwechselt werden.Die Maßeinheit Kilopond ist über g definiert. Daher besser N verwenden!

3.4. Die NEWTONschen Axiome

Die Grundgesetzmäßigkeiten der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss vonKräften hat Newton (1643 - 1727) in folgenden Axiomen formuliert:

1. (Trägheitsprinzip): Jeder Körper verharrt in Ruhe oder der gleichförmigen ge-radlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt. !

2. (Aktionsprinzip): Wenn eine Kraft Fr

auf einen Körper mit der Masse m wirkt,beschleunigt sie ihn mit: !

mF

rar

&&rr== (4)

3. (Reaktionsprinzip): Bei zwei Körpern, die nur miteinander wechselwirken istdie Kraft 1F

r auf Körper A entgegengesetzt der Kraft 2F

r auf Körper B: !

21 FFrr

−= (5)

„Actio = Reactio“


18

Newton hatte 2. anders formuliert, und zwar unter Zuhilfenahme des Impulses:

vmprr

⋅= (6)

Der Impuls ist ein Vektor ~ vr

. !Maßeinheit: [p] =

sm

kg ⋅ SI

Newton schrieb: Eine Kraft Fr

ändert bei ihrer Einwirkung auf einen Körper des-sen Impuls entsprechend.

( )dt

vmddtpd

Frrr ⋅

== (7)

Anwendung der bekannten Differentiations-Regeln liefert:

Fr

dtvd

mr

⋅=dtdm

v ⋅+r

Fr

amr

⋅= 0+ ⇒ Nur für konstantes m folgt Gl. (4)!

Als ob Newton die Relativitätstheorie geahnt hätte!

3.5. Impulserhaltung

− Das 2. NEWTONsche Axiom besagt:

⇒ Ein Teilchen, auf das keine Kraft wirkt, ändert seinen Impuls nicht.

Gegeben ist nun: System aus vielen Teilchen, keine Kraft von außen:

⇒ keine von außen aufgeprägten Impulsänderungen

− Welche Rolle spielen innere Wechselwirkungen (zwischen den Teilchen)?

Betrachtung am Beispiel zweier Teilchen:

Teilchen 1 verursacht F1 auf Teilchen 2:⇒ 2p∆ tF1 ∆⋅=

aber: Teilchen 2 verursacht ebenfalls eine Kraft, F2, auf Teilchen 1:⇒ 1p∆ tF2 ∆⋅=

Wegen des 3. NEWTONschen Axioms ist:

1F 2F−=⇒ 1p∆ 2p∆−= , also

0ppp ges21 =∆=∆+∆


19

− Fazit/Verallgemeinerung auf viele Teilchen:

In einem abgeschlossenem System, d.h. einem System ohne Wechselwirkungmit äußeren Kräften, ist der Gesamtimpuls konstant: !

.constppi

iges == ∑ rr(8)

Die Bedingung „abgeschlossenes System“ lässt Reibung ohne weiteres zu!

3.6. Einfache Bewegungen

3.6.1. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

− In der Nähe der Erdoberfläche ist gr

einigermaßen konstant ⇒ alle Wurfbewe-gungen sind gleichmäßig beschleunigt (Luftreibung vernachlässigt): !

.constga ==rr

(Erdbeschleunigung)

Beispiel:senkrechter Wurf nach oben mit:

n

0v)0(vrr

≡↑ , gr

↓

→ skalare Schreibweise1:

g−dtdv

=

⇒ )t(v ∫ ⋅−=t

0

'dtg

)t(v gtv0 −=

⇒ )t(x ∫ ⋅=t

0

'dt)'t(v

)t(x 200 t

2g

tvx −+=

1 Unter g verstehen wir jetzt

2sm

81,9g =r

. Das negative Vorzeichen entspricht der Tatsache,

dass g in die negative Koordinatenrichtung zeigt.


20

− Wie hier nicht bewiesen werden soll, gelten für beliebige Richtungsbeziehungenzwischen .consta =

r und .constv0 =

r die analogen Vektorbeziehungen:

tav)t(v 0 ⋅+=rrr

(9)

und 200 t

2a

tvr)t(rr

rrr+⋅+= (10)

3.6.2. Die gleichförmige Kreisbewegung

− Wir hatten in <2.4.> die Winkelgeschwindigkeit eingeführt:

ϕ=ω & (2 - 6)

− Die Umlaufzeit T für eine Umdrehung, d.h. für ∆ϕ = 2π, ergibt sich wie folgt:

T2

dtd π

=ϕ

=ω ⇒ωπ

=2

T (11)

− Damit folgt für die Umdrehungsfrequenz ν (in 1/Zeiteinheit):

πω

==ν2T

1(12)

also ist

ν⋅π=ω 2 (13)

Die Winkelgeschwindigkeit (sogenannte „Kreisfrequenz“ ) ist also das 2π-facheder Umdrehungsfrequenz (weil pro Umdrehung ein Winkel von 2π überstrichenwird).

!

− Welche Beschleunigung erfährt eine rotierende Masse?

Wir betrachten die Beträge:

rr =r

, vv =r

, aa =r

, rr ∆=∆r

, vv ∆=∆r


21

dtdv

a = (14)

Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke ist:

vv

rr ∆

=∆

⇒ rrv

v ∆⋅=∆

Dies in (14) eingesetzt ergibt:

⇒ a ⋅=rv

tr

∆∆

tr

∆∆

ω⋅=ϕ

⋅= rdtd

r

rv

ω= (2 - 8)

a ⋅ω= ω⋅r

a r2 ⋅ω= (15)

− Um eine Masse m auf einer Kreisbahn zu halten, braucht man die Kraft:

amF ⋅= , d.h. mit Gl. (15)

rmF 2rrω−= (16)

Dies ist die Zentripetalkraft, die z.B. durch ein Seil aufgebracht werden muss,um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten. (vgl. <8.4.>) !

3.7. Reibungskräfte

3.7.1. Reibung zwischen festen Körpern

Reibung hat negative und positive Seiten, wie jeder bei Glatteis merkt!

a) Gleitreibung:empirisch findet man:

NR FF ⋅µ= (17)µ ... Reibkoeffizient

Kommentar: u− µ gilt für bestimmte Materialpaarung− Deutung: mikroskopische Oberflächen-Rauheit− unabhängig von Auflagefläche/-druck− unabhängig von Geschwindigkeit Näherung!


22

b) Haftreibung:

NHH FF ⋅µ= ( µ>µH ) (18)

Hµ ... Haftreibungskoeffizient

Deutung: „Herausheben aus Anfangs-Verhakung“

Kommentar zur Reibung zwischen Festkörpern: u

− Reduzierung der Reibung durch Schmierung− Vermeiden der Reibung (Kugellager)− in der Realität beliebig kompliziert:

· Luftsauerstoff ⇒ chemische Reaktionen,· Schmiermittel,· Oberflächengestalt.

− Bezug zur Kontaktmechanik

3.7.2. Reibung in Flüssigkeiten oder Gasen

− Ein Körper, der sich durch ein zähes Medium bewegt, wird ebenfalls gebremst.(vgl. <14.>) !

− Hier soll zunächst nur die Formel gegeben werden. Für eine Kugel gilt:

(Der Faktor 6πr ist spezifisch für die Kugel)â

vr6FR ⋅η⋅π−= (19)η ... Viskosität (Zähigkeit)v ... Geschwindigkeit

Wichtig: v~FR ⇒ Sättigung der Geschwindigkeit bei konstanter Kraft(z.B. freier Fall).

Mechanik – Arbeit und Energie

23

4. Arbeit und Energie

4.1. Mechanische Energie

− Goldene Regel der Mechanik:Was man an Kraft gewinnt, muss man an Weg zusetzen (und umgekehrt). !Offensichtlich ändert es das Ergebnis nicht, wenn sich Kraft und Weg ändern,solange nur das Produkt aus Kraft und Weg konstant ist.

− Definition: mechanische Arbeit

rFWrr

∆⋅=∆ (1)

− Arbeit ist ein Skalar !entscheidend ist die Kraftkomponente in Wegrichtung:

rFrr

∆⋅ γ⋅∆⋅= cosrFrr

rFtr

∆⋅=Ft ... Tangentialkomponente

Kräfte ⊥ Wegelement (Fn) leisten keine Arbeit (sogenannte Zwangskräfte)

− Für einen makroskopischen Weg erhält man statt (1) verallgemeinert:

∫ ⋅=Weg

drFWr

(2)

− Maßeinheit für die Arbeit ist das Joule: [W] = J SI

1 J = 1 Nm = 1 kg 2s

m m


24

− Beispiel: Beschleunigungsarbeit n

Fr

dtvd

mr

⋅= (2. NEWTONsches Axiom)

Die Kraft ist der Trägheitskraft entgegengerichtet, die ihrerseits der Beschleuni-gung entgegengerichtet ist.

W ∫ ⋅= rdFrr

dtvrd ⋅=rr

W ∫ ⋅=2

1

v

v

dtvdtvd

m

r

r

rr

W 21

22 v

2m

v2m rr

−= kinE∆=

mit kinE 2v2m r

≡ (3)

Ekin ... kinetische Energie, Bewegungsenergie

Die beim Beschleunigen des Teilchens aufgewandte Arbeit steckt als Änderungder kinetischen Energie in der bewegten Punktmasse.

− Beispiel: Hubarbeit n

Fr

gmr

⋅−=

(Minuszeichen, weil die aufzuwendende Kraft der Erdschwerkraft entgegenge-richtet ist!)

W ∫ ⋅⋅−=2

1

r

r

drgm

r

r

r

skalar: W ∫ ⋅⋅=h

0

drgm

(Bei skalarer Schreibweise fällt das Minuszeichen weg, weil dr und gr

entge-gengerichtet sind.)

W hgm ⋅⋅= potE∆= (4)∆Epot ... Änderung der potentiellen Energie (von 0 auf h)


25

4.2. Potentielle Energie

− gegeben: Kraftfeld lt. <3.2.>, also )r(FFrrr

=

− Wenn man die Punktmasse quasistatisch mit der Kraft aFr

gegen die Feldkraft Fr

verschiebt, wird die folgende Arbeit geleistet:

rdFrdFdW arrrr

⋅−=⋅= (5)

Integration ergibt für den Weg 1rr

→ 2rr

:

∫−=2

1

r

r21 rdF)r,r(W

r

r

rrrr(6)

− Es zeigt sich, dass diese Arbeit für wichtige Kraft-felder unabhängig vom Weg 1r

r → 2r

r ist:

Solche Kraftfelder heißen konservative Kraft-felder oder Potentialfelder.

Beispiele dafür sind die Gravitations- sowie dieelektrostatischen Felder.

!

Beide gehören zu den Zentralfeldern:

rr

)r(fFrr

⋅= (7)

å æ)r(fF =

r∃ nur Radialkomponente

Alle Zentralfelder lt. Gl. (7) sind konservativ, und zwar im Prinzip mit beliebi-gem f(r). In der Realität existieren aber eben nur bestimmte.

− Wegunabhängigkeit heißt also:

∫∫ =2

1

2

1

r

IIr

r

Ir

rdFrdF

r

r

r

r

rrrr(8)

⇒ 0rdFrdFrdF1

2

2

1

r

IIr

r

Ir

==+ ∫∫∫rrrrrr

r

r

r

r (9)

− Definition: potentielle Energie, Epot

rdFdEdW potrr

⋅−== (10)


26

bzw. in Integralform:

)r(E)r(ErdFW 1pot2pot

r

r

2

1

rrrrr

r−=−= ∫ (11)

Vorzeichenwahl: Bewegung gegen die Feldkraft, d.h. rdFrr

⋅ < 0 führt zu ∆Epot > 0bzw. W > 0.Bemerkung: 1r

r und )r(E 1pot

r können dem Problem angepasst frei gewählt werden.

4.3. Feldkraft und potentielle Energie

− das totale Differential:

gegeben: Funktion z = f(x,y)

Es gilt: dz ( )1dz= ( )2dz+

dz dxxz

⋅∂∂

= dyyz

⋅∂∂

+

á á(partielle Ableitungen)

− analog im 3D ist Epot = Epot(x,y,z):

⇒ dzz

Edy

y

Edx

x

EdE ppp

pot ⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂= (12)

− andererseits ist lt. Gl. (10):

dzFdyFdxFdE zyxpot ⋅−⋅−⋅−= (10‘)

− Gleichsetzung von (10‘) und (12) liefert:

Fr

pEz

ky

jx

i

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=rrr

Fr

pEgrad−= pE−∇= (13)

mit ∇ ... Nabla-Operator


27

4.4. Der Energiesatz der Mechanik

− Multiplikation von Gl. (13) mit vr &r&r = :

rF &rr⋅ rEgrad pot

&r⋅−=

++⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

dtdz

kdtdy

jdtdx

iz

Ek

y

Ej

x

Ei potpotpot rrrrrr

mit (12): potEdtd

−= (14)

− andererseits ist nach dem 2. NEWTONschen Axiom:

Fr

rm &&r= | r&r

⋅ (3 - 2)

rF &rr⋅ rrm &r&&r ⋅= (15)

− Es lässt sich leicht zeigen, dass:

kinEdtd

= 2r

2m

dtd &r

rrmrr2m21 &r&&r&r&&r ⋅=⋅⋅⋅⋅= (16)

− Der Vergleich von (14), (15) und (16) liefert:

kinpot Edtd

Edtd

=− bzw. 0Edtd

Edtd

kinpot =+ (17)

Die mechanische Energie (= Summe aus Ekin und Epot) ist in einem konservati-ven Kraftfeld (Potentialfeld) konstant. !

− Zur Rolle der Reibung:

Reibung verwandelt Ekin in Wärme (= ungeordnete Teilchenbewegung)⇒ Verletzung des Energieerhaltungssatzes der Mechanik !(Wenn man die Wärmeenergie mit einbezieht, bleibt die Energie natürlich wie-der erhalten.)

Reibung stört nicht die Impulserhaltung. !

Mechanik – Gravitation

28

5. Gravitation

5.1. Drehimpuls und Drehmoment

− Der Drehimpuls tritt bei Drehbewegungen an die Stelle des Impulses. Wir be-trachten zunächst den Drehimpuls eines Teilchens (später werden wir den Dre-himpuls auch für rotierende starre Körper betrachten):

!

− Wir definieren als Drehimpuls bezüglich des Ursprungs 0:

Lr

prrr

×= (1)

(also: Lr

)p,rsin(prrrrr

⋅⋅= )

− Untersuchung der so definierten Größe:

Lr

steht ⊥ auf der Ebene, in der die Drehung erfolgt. !„Davonfliegen", keine Drehung umden Ursprung

0)p,rsin( =rr

⇒ 0L =r

1)p,rsin( =rr

⇒ prLrrr

⋅=

„maximale Drehung“

⇒ Größe hängt plausibel mit der „Intensität“ der Drehbewegung zusammen!


29

− Drehimpuls ist eine allgemeine Größe und nicht an die Existenz einer Rotationgebunden, z.B.: !

Auch hier existiert ein (konstanter) Drehimpuls:

43421rrrrr

b

Lok )r,psin(rpL ⋅⋅=

.constbpL Lok =⋅=rr

!

− Änderung von Lr

:

dtLdr

( )rrmdtd &rr

×⋅= (2)

rrmrrm &&rr&r&r ×⋅+×⋅=

dtLdr

MFrrrr

≡×= (3)

mit: M ... Drehmoment

Maßeinheit: [M] = N m SI

Das Drehmoment ist der Kraft beim Impuls analog! Zur Erinnerung: !dtpdr

Fr

= (3 - 7)

Plausibilitätserklärung: Mr

= Kraft × wirksamer Kraftarm !Untersuchung der Größe:

0Fr =×rr

, d.h. .constL =r

keine Änderung der„Intensität der Drehung“


30

.maxFrFr →⋅=×rrrr

maximale Änderung!

− Zentralfeld (z.B. Gravitation):

r~Frr

⇒ 0FrM =×=rrr

, d.h. 0dtLd

=r

, d.h. .constL =r

Im Zentralfeld ist .constL =r

, sofern keine äußeren Drehmomente angreifen. !5.2. Das Gravitationsgesetz

− Newton 1665/66, „Apfel“

− Wahrscheinliche Logik der Herleitung:a) Beobachtung, dass alle Körper gleich schnell fallen

⇒ Beschleunigung, xm && = Gravitationskraft ~ m des fallenden Körpersb) Reaktionsprinzip

⇒ gegenseitige Anziehung; Gesetz sollte bezüglich m1 und m2 symmetrisch seinc) Abstandsabhängigkeit? → Betrachtung der Mondrotation um die Erde:

Für den Mond muss die Gravitationskraft die notwendige Zentripetalbe-schleunigung aufbringen;

Zentripetalbeschleunigung lt. Gl. (3 - 15):

23

26

22

sm

1073,2sm

601037,6400863,27

2ra −⋅=⋅⋅⋅

⋅

π=ω=

â â(86400 s/Tag) (Erdradius = 6370 km)

Auf der Erdoberfläche ist 2s

m81,9g ≈

r, also 3600 Mal größer:

23

6036001073,2

81,9==

⋅ −⇒ Gravitationskraft fällt mit

2r1

!


31

⇒ Gravitationskraft

rr

rmm

F2

21G

rr⋅

⋅⋅γ−= (4)

γ ... Proportionalitätskonstante (Gravitationskonstante)

γ wird experimentell bestimmt (Drehwaage) zu:

γ = (6,6720 ± 0,0004) 10-11 2

2

kgNm

− träge und schwere Masse:

Masse verkörpert

· die Trägheit (Widerstand gegen Bewegungszustandsänderung) und· sie ist Gegenstand der Gravitationskraft

!

Dies zunächst zwei verschiedene Dinge!

Fallexperimente: xmr

MmF T2

S &&r

⋅=⋅

⋅γ=

M ... ErdmassemS ... schwere MassemT ... träge Masse

Alle Körper haben (innerhalb von 10-12) gleiche Beschleunigung.

⇒ Träge und schwere Masse sind innerhalb dieser Grenzen gleich(eigentlich proportional zueinander, entsprechende Festlegung von γ, s.o.)

Inzwischen hat Einstein die Gleichheit von träger und schwerer Masse postuliertund als Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie genommen.

− Obwohl Gravitation immer eine beiderseitige Anziehung ist, ist es oft zweck-mäßig, für eine der Massen das Kraftfeld zu betrachten:

GFr

Gmrr

rM

m2

rr⋅≡

⋅

⋅γ−⋅=

mit: Gr

rr

rM2

r⋅

⋅γ−=

G ... Gravitationsfeldstärke

(5)

Also: Zu gegebenem Gr

-Feld ergibt sich Gravitationskraft auf m einfach als Gmr

⋅ .


32

5.3. Potentielle Energie und Gravitationspotential

− Wir wählen in Gl. (4 - 11) r1 = ∞ und bilden:

∫ ∫∞ ∞

γ−=γ=−=r r

2 rmM

drr1

mMrdFW

rrr

(6)

Dies ist gleich Epot(r) - Epot(∞), vgl. (4 - 11).

− Wenn wir vernünftigerweise Epot(∞) = 0 setzen, folgt

rmM

)r(Epot γ−= (7)

für die potentielle Energie der Masse m im Schwerefeld der Masse M.

− Gravitationspotential: Wir können analog zu GFG

rr→ auch Epot in eine m-

unabhängige Größe umwandeln, das Gravitationspotential Φ

Es ist definiert:

Φm

Epot=

also: )r(Φr

Mγ−= (8)

Darstellung:

5.4. Planetenbewegung

Die KEPLERschen Gesetze (1609/21) lauten:

1.) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in de-ren einem Brennpunkt die Sonne steht. !

2.) Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeitengleiche Flächen. !

3.) Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Po-tenzen der großen Halbachsen. !


33

zu 1.) Ein Beweis soll hier nicht gegeben werden (geht mit Energiesatz).

Außerdem ist die Exzentrität der Planetenbahnen unseres Sonnensystems ge-ring, die Bahnen sind in sehr guter Näherung Kreise.

Massenverhältnisse: Erde/Sonne ~ 0003331

Jupiter/Sonne ~ 00011 (schwerster Planet)

⇒ Sonne ruht praktisch

zu 2.) Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung:

dtAd

m2dtrd

rmvmrLrr

rvrr⋅=×⋅=×=

ârdrrr

× = Fläche MABC = 2 dA

also: Schnell Bewegung in Sonnennähe, langsame in der Ferne

zu 3.) (vereinfachter Beweis für vernachlässigbare Exzentrität) Auch für die Planeten gilt(analog dem Fall Erde – Mond, vgl. <5.2.>):

Zentripetalkraft ... 2

2

rmM

rm γ=ω ... Gravitationskraft

mit T2π

=ω folgt:

.constM

4rT 2

3

2

=⋅γπ

=

Mechanik – Schwingungen I

34

6. Schwingungen I

6.1. Der Federschwinger

− Eine Feder setzt ihrer Verformung eine Federkraft entgegen, die der Verfor-mung proportional ist. !

xDFF ⋅−= (1)

mit: D ... Federkonstante

Maßeinheit: [D] = mN

SI

− Eine an der Feder befestigte Masse wird nach dem Loslassen beschleunigt:

xmamFF &&⋅=⋅= (3 - 2)

⇒ mit (1):

- xD ⋅ xm &&⋅= bzw.

xD ⋅ 0xm =⋅+ && | :m

xmD

⋅ 0xdtd

2

2

=+ (2)

Dies ist die Bewegungsgleichung des Federschwingers, eine lineare Differential-gleichung 2. Ordnung.

− Gl. (2) beschreibt den dynamischen Vorgang der Bewegung der Masse. Sie giltzu jedem Zeitpunkt t, in allen „Stadien“, z. B. denen maximaler Geschwindig-keit der Masse (= l) oder maximaler Verformung der Feder (= u), aber auchallen Zwischenstadien:

− Mathematische Lösung für Gl. (2)? x~x!

−&& ⇒ Es kommen sin- oder cos-Funktion in Frage.


35

Ansatz: )t(x tcosx 00 ω⋅=

⇒ )t(x& tsinx 000 ω⋅ω−=

⇒ )t(x&& tcosx 02

00 ω⋅ω−=

(3)

(3) in (2):

⇒ 0tcosxtcosxmD

02

0000 =ω⋅ω−ω⋅

⇒ 20

!

mD

ω= , d.h. mD

0 =ω

Also ergibt sich als Lösung für Gl. (2)

tcosx)t(x 00 ω=

mit:T2

2mD

0π

=πν==ω

(4)

ν ... FrequenzT ... Schwingungsdauer

ω lt. Gl. (4) ist plausibel:

· straffe Feder/kleine Masse → schnelle Bewegung· weiche Feder/große Masse → langsame Bewegung

− Gl. (3) ist auch bezüglich der Anfangsbedingungen x(0) = x0 gut gewählt. DieFunktion x = x0 sinωt erfüllt die Differentialgleichung (2) ebenfalls, entsprichtaber nicht der Anfangsbedingung. Sie wäre richtig, wenn wir bei x = 0 mit ei-nem „Schubs“ starten! Für „Schubs“ + Auslenkung brauchen wir die allgemeineLösung x(t) = x0 [c1 sinω0t + c2 cosω0t] (Linearkombination der beiden unab-hängigen Lösungen), die lt. Mathematik hier eigentlich gilt.

− kinetische Energie:

22kin x

2m

v2m

E &== (4 - 3)

mit Gl. (4)

⇒ tsinx)t(x 000 ω⋅ω−=&

⇒ tsinmD

x2m

E 022

0kin ω/

/=

tsinx2D

E 022

0kin ω=

mit:mD

0 =ω

(5)


36

− potentielle Energie: vgl. Gl. (4 - 11)

)0(E)x(EdxFW potpot

x

0F −=−= ∫ (4 - 11)

(W ist die beim Verformen der Feder, also gegen die Federkraft geleistete Ar-beit. Epot(0) wird zweckmäßiger Weise gleich Null gesetzt.)

Gl. (1) in (4 - 11):

⇒ )x(E pot ( )∫ ⋅−−=x

0

'dx'xD

2x2D

= (6)

Gl. (4) in (6):

tcosx2D

)x(E 022

0pot ω=

mit:mD

0 =ω

(7)

− Wir haben also ein ständiges „Hin- und Herfluten“ von Ekin ↔ Epot. Die Gesamt-energie ist natürlich konstant:

20ges x

2D

E = ( )444 3444 21 tcostsin 02

02 ω+ω (6)

= 1

− Schwingungen in Systemen mit |Kraft| ~ Auslenkung (Gl. (1)), die also sin-oder cos-Verlauf haben, heißen harmonische Schwingungen. !


37

Sie haben große Bedeutung, weil bei ihnen ja Epot ~ Auslenkung2 ist und sich je-des Potentialminimum als Parabel annähern lässt. Jede Schwingung um irgend-ein Potentialminimum kann also in gewissem Maße durch eine harmonischeSchwingung angenähert werden.

Ein Beispiel für eine näherungsweise harmonische Schwingung ist das Pendel.

6.2. Das Pendel

− Gewichtskraft:

⊥+= GGG ||

rrr(9)

á á spannt den Faden wirkt rücktreibend

Man erkennt leicht, dass

ϕ⋅−=ϕ⊥ sinG)(G

mit gmG ⋅= folgt

ϕ⋅⋅−=ϕ⊥ singm)(G (10)

− Diese Kraft beschleunigt die ausgelenkte Masse:

)(lm)(sm)(G ϕϕ⋅⋅=ϕ⋅=ϕ⊥ &&&& (11)

− (10) und (11) ergibt:

ϕ⋅⋅/−=ϕ⋅⋅/ singmlm &&

0sinlg

=ϕ+ϕ&& (12)

− (12) ist nicht mehr exakt lösbar. Wir beschränken uns auf kleine Winkel, dann ist:

ϕ≈ϕ sin

und (12) wird zu:

0lg

=ϕ+ϕ&& (13)

− Gl. (13) entspricht völlig Gl. (2), das Pendel für kleine ϕ (sogenanntes mathemati-sches Pendel) vollführt eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz:

T2

2lg

0π

=πν==ω (14)


38

Kommentar: u− Durch Messung von T und l ist g bestimmbar!− ω0 ≠ f(m)!− langes Pendel ⇒ großes T

⋅π=

gl

2T

6.3. Gedämpfte Schwingungen

− Bisher haben wir ungedämpfte Schwingungen betrachtet. In der Realität ∃ Reibung:⇒ Außer der Federkraft wirkt auch noch eine Reibungskraft, d.h. wir müssen

das NEWTONsche Grundgesetz (Gl. (3 - 2)) ansetzen als:

xmFFF RFges &&=+= (15)

− Die Reibungskraft FR setzen wir wieder v-proportional an lt. Gl. (3 - 19):

⇒ xmxkxD &&& =⋅−⋅−

− An Stelle von Gl. (2) tritt also:

0xxmk

xmD

=++ &&& (16)

Exkurs:Darstellung von Schwingungen mittels komplexer Zahlen !

P → x + iyiyx + = ]sini[cosr ϕ+ϕ

Betrachtet wird eine Rotation inder komplexen Ebene

Physikalisch relevant ist natürlich nur der Realteil x(t), also die Projektion auf die x-Achse.Warum macht man das so kompliziert? → In der komplexen Ebene ist jede Schwin-gung ist ein rotierender Vektor (Zeiger), die Überlagerung mehrerer Schwingungenist einfach die Addition mehrerer Vektoren (Zeiger) zu jedem Zeitpunkt). Haben dieüberlagerten Schwingungen gleiches ω0, ergibt sich ein Summenvektor, der mit die-sem ω0 rotiert. Wenn man die Addition in der komplexen Ebene vollzogen hat, mussman auf den Realteil zurückgehen.

Man schreibt:

ϕ=ϕ+ϕ iesinicos (17)


39

− Lösung von Gl. (16) auf diese Weise:

Wir setzen als Lösung für Gl. (16) an: t0exx λ= ⇒ t

0exx λλ=& , t0

2 exx λλ=&&

Dies in Gl. (16) eingesetzt:

⇒ t0ex λ 0

mk

mD 2 =

λ+λ+ (18)

á á≠ 0 ∀t 0pq 2 =λ+λ+

⇒ Wir müssen nur die quadratische Gleichung lösen1 und erhalten:

mD

m2k

m2k 2

2,1 −

±−=λ (19)

− Wir betrachten den Fall relativ geringer Dämpfung (d.h., es soll überhaupt nocheine Schwingung stattfinden). Dann ist der Radikand negativ:

0mD

m2k 2

<−

Umformung entsprechend dem physikalisch allein sinnvollen ω2 > 0 ergibt:

±−=λm2k

2,12

2

m2k

mD

ω−±δ−=

−− (20)

⇒ ω+δ−=λ i1 ⇒ t)i(0exx ω+δ−= (21a)

⇒ ω−δ−=λ i2 ⇒ t)i(0exx ω−δ−= (21b)

Beide Gleichungen führen, wenn wir den Realteil bilden, auf dasselbe, nämlich

tcosexx t0 ω⋅= δ− (22a)

Anders als Gl. (4) klingt die Schwingung mit e-δt ab, wobei lt. Gl. (20) gilt:

m2k

=δ (22b)

D.h. schnelles Abklingen für großes k, also großes FR, sowie kleines m!

1 Lösungsformel: q4

p2p 2

2,1 −±−=λ


40

Ferner ist 2

mD

δ−=ω , (22c)

d.h., die Frequenz ω ist gegenüber der Frequenz mD

0 =ω reduziert.

− Im Grenzfall verschwindet die Wurzel in Gl. (20), d. h.:

0mD

m2k 2

=−

Dadurch vereinfacht sich die Lösung zu:

⇒ δ−=λ=λ 21

Es lässt sich zeigen, dass die allgemeine Lösung dann lautet:

t0 e)t1(xx δ−⋅⋅δ+= (23)

Dies ist der sogenannte aperiodische Grenzfall, d.h. das schnelle Einschwenkenin die Nulllage. !

− Für noch stärkere Dämpfung folgt entsprechend:

0mD

m2k 2

>−

Hier kann man von Schwingung nicht mehr sprechen. Die Auslenkung gehtebenfalls asymptotisch gegen Null, aber langsamer als lt. Gl. (23). Dies ist dersogenannte Kriechfall

!

Mechanik – Systeme von Massenpunkten; Stöße

41

7. Systeme von Massenpunkten; Stöße

7.1. Der Schwerpunkt

− Wir definieren den Schwerpunkt srr

eines Systems:

ii

i

ii

ii

i

s rmM1

m

rmr

rr

r ∑∑∑

==

mit: ∑=i

imM ... Gesamtmasse

(1)

Veranschaulichung:

)r2r(31

r 21srrr

+=

− aus (1) folgt:

⇒ srMr

⋅ rmi

ir∑= |

dtd

srM &r⋅ ∑∑ ===i

iii

is prmpr&rr

(2)

Der Gesamtimpuls des Systems ist das Produkt aus Gesamtmasse und Schwer-punktgeschwindigkeit. !

− nochmalige Differentiation von (2) ergibt:

⇒ srM &&r⋅ ∑∑ ====i

iii

iss FrmFpr&&rr&r

(3)

Der Schwerpunkt bewegt sich so, als wenn dort die Summe aller Einzelkräfte ander Gesamtmasse angreifen würde. !Also: Keine äußere Kraft, d.h. 0FF

iis == ∑

rr ⇒ Schwerpunkt bewegt sich

gleichförmig, oder (Sonderfall) ruht.

Mit anderen Worten: Gesamtimpuls im abgeschlossenen System = const.

!


42

oder: ∃ äußere Kräfte iFr

, dann ergänzen sich diese in ihrer Wirkung so, als ob

∑=i

is FFrr

am Schwerpunkt angreifen würde.!

Beispiel: nGeworfene Hantel:

Letzteres gilt auch dann, wenn innere Kräfte auftreten:

Beispiel: nExplodierende Granate:

Die inneren Kräfte zwischen den Bruchstücken ergänzen sich jeweils zu Null(Actio = Reactio!), der Schwerpunkt folgt seiner eigenen Trägheit sowie derErdbeschleunigung und bewegt sich weiter auf der Wurfparabel.

7.2. Stöße: Grundlagen

− Stöße = gegenseitige Ablenkung von sich bewegenden Teilchen !− hier: Experimente meist mit harten Kugeln

− Bedeutung der Stöße jedoch besonders wichtig für die Atomphysik, wo die Ab-lenkung entsprechend dem Kraftfeld bzw. dem Wechselwirkungs-Potential all-mählich erfolgt.

Beispiel:Coulombablenkung eines e- an einem Atomkern

n


43

dann: Betrachtung der asymptotischen Größen pr

, Ekin weit vor bzw. weit nachder Wechselwirkung

− Im abgeschlossenen System1 gilt beim Stoß von 2 Partnern:

21 pprr

+ = 21 pp ′+′ rrImpulssatz (4)

22

221

1 v2

mv

2m rr

+ = 22

221

1 v2

mv

2m ′+′ rr

Q+ Energiesatz (5)

(vor) (nach)

Q ist die gegebenenfalls anderweitig verbrauchte Ekin (z.B. Verformungsenergie)

Q = 0 ⇒ elastischer Stoß, Ekin bleibt erhalten,Q > 0 ⇒ inelastischer Stoß, Ekin, ges wird durch Stoß reduziert.

7.3. Elastische Stöße im Laborsystem

− Laborsystem = das Bezugssystem, in dem wir uns befinden (also eigentlich dasnaheliegende) !

− Wir betrachten zunächst zentrale Stöße(⇒ 1D-Problem)

− Zur Beschreibung dient die Impulserhaltung (Gl. (4))und die Energieerhaltung (Gl. (5) mit Q = 0)

− Wir betrachten den Sonderfall, dass der gestoßene Körper vor dem Stoß ruht:

11vm /11vm= /

22vm+ (4′)

21

1 v2

m 2/1

1 v2

m=

2/2

2 v2

m+ (5′)

Umordnung von (4′) und (5′):

⇒ /22vm )vv(m /

111 −= (4″)

⇒ 2/22vm )vv)(vv(m)vv(m /

11/111

2/1

211 +−=−= (5″)

)''4()''5( :

⇒ /11 vv + /

2v= (6 )

bzw. /1v 1

/2 vv −= (6′)

1 d.h., wenn man alles einbezieht, was dazu gehört.


44

(6) in (4′):

⇒ 11vm )vv(mvm /112

/11 ++=

⇒/1v 1

21

21 vmmmm

⋅+−

= (7)

(6′) in (4′):

⇒ 11vm /221

/21 vm)vv(m +−=

⇒/2v 1

21

1 vmm

m2⋅

+= (8)

Sonderfälle:(1) m1 = m2

⇒ 0v /1 = ; 1

/2 vv =

(2) m1 = 2m2, also stoßender Körper doppelt so schwer

⇒ 1/1 v

31

v = ; 1/2 v

34

v =

stoßender Körper läuft gestoßenem (langsamer) hinterher

(3) m1 = m2/2, also stoßender Körper halb so schwer

⇒ 1/1 v

31

v −= ; 1/2 v

32

v =

stoßender Körper läuft rückwärts!

(3′) m1 << m2, also „Stoß gegen die Wand“⇒ 1

/1 vv −= ; 0v /

2 ≈Trotzdem bleibt der Gesamtimpuls unverändert = m1v1, d.h., m2 bewegtsich schon in v1-Richtung, aber eben sehr langsam. Dennoch ergibt sichwegen des großen m2 der richtige Impuls.

− Energieübertrag auf m2: Ist für m1 = m2 maximal, d.h. vollständig, für alle ande-ren Fälle geringer. Genauer mit (8):

(Terminologie: 2,kinE′ ... kinetische Energie von m2 nach dem Stoß)

2,kinE′ 212

21

2122/

22 v

)mm()m2(

2m

v2

m⋅

+==

321

21

1 v2

m=

221

21

)mm(mm4

+⋅

⋅

2,kinE′ 1,kinE=2

21

21

)mm(mm4

+⋅

⋅ (9)


45

⇒ ⋅ Verhältnis der Massen entscheidend (m1 = n m2 und n1

m2 liefern

gleiches Ergebnis)

⋅ Übertragung beliebig klein:21

bzw. 2 ⇒ 89 %

1001

bzw. 100 ⇒ 4 %

− Wichtig für Teilchenphysik (Abbremsung), z.B. Neutronenmoderierung

7.4. Stöße im Schwerpunktsystem

− Schwerpunktsystem = System, in dem der Schwerpunkt ruht. Günstig, wenn diegestoßene Masse vor dem Stoß nicht ruht. !

− Gl. (2) war:

∑==⋅i

iss ppvMrrr

(2)

Wenn der Schwerpunkt also ruht ( 0vs =r

) muss 0pi

i =∑ r sein.

Beispiel: nelastischer Stoß zweier Teilchen

vorher: 0pp 21 =+

nachher: 0pp 21 =′+′

1p′ 1p−=

2p′ 2p−=

− Also: Problem im Schwerpunktsystem einfach zu behandeln!

− Man muss natürlich alle Bewegungen wieder ins Laborsystem zurücktransfor-mieren. Da sich aber in abgeschlossenen Systemen der Schwerpunkt geradliniggleichförmig bewegt, ist das einfach.

!

7.5. Inelastische Stöße

− Ein Teil der Ekin wird aufgezehrt (Wärme, Verformung, ...) → keine Ekin-Erhaltung mehr

− Dennoch wird die Abbremsung begrenzt, da der Impuls erhalten bleiben muss.


46

⇒ Was ist das Maximum der Umwandlung von Ekin in Q?

Schwerpunktsystem: Im Schwerpunktsystem ist die Summe aller Impulse = 0(s.o.). Dies kann auch erfüllt werden, indem alle Teilchenim Schwerpunktsystem zur Ruhe kommen.

vorher: 0pp 21 =+

nachher: 0pp 21 =′+′

Der Gesamtimpuls ist nach wie vor der des Schwerpunktes, also ss pvMrr

=⋅ lt. Gl. (2)!

⇒ Die maximal mögliche Abbremsung, ohne den Impulssatz zu verletzen, istdas völlige Zur-Ruhe-Kommen im Schwerpunktsystem.

Mit anderen Worten:Alle beteiligten Teilchen bleiben aneinander kleben und bewegen sich miteiner gemeinsamen Geschwindigkeit, der des Schwerpunktes.

!

7.6. Nichtzentrale Stöße

− ... bringen physikalisch nichts grundsätzlich Neues, man muss das Problem le-diglich mehrdimensional (es ist 2D) lösen. Beispiel Stoß in x-Richtung:

− α ist geometrisch determiniert:

21 rrd

sin+

=α(r1, r2 ... Kugelradien)

− β stellt sich so ein, dass pges,y weiterhin gleich Null ist, d.h.

0pp y,1y,2 =′−′

− Ansonsten muss der Gesamtimpulses erhalten bleiben ( 211 ppp ′+′=rrr

) sowie gege-benenfalls (elastisch - inelastisch) die kinetische Energie.

Mechanik – Bewegte Bezugssysteme

47

8. Bewegte Bezugssysteme

8.1. Vorbemerkungen

− Die grundlegenden Gesetze der Mechanik haben wir bisher ohne Bezug auf einspezielles Bezugssystem definiert. Grundgesetze sollen ja auch unabhängigvom Bezugssystem gelten!

− Wir betrachten im Folgenden:· Bezugssysteme mit konstanter Relativgeschwindigkeit u << c· Linear beschleunigte Bezugssysteme· Rotierende Bezugssysteme

− Die Relativitätstheorie ist nicht Gegenstand dieses Kapitels.

8.2. Bezugssysteme mit konstanter Relativgeschwindigkeit u << c

− Beispiel: nMach-3-Düsenjäger 3600 km h-1 = 1 km s-1

Erdsatellit = 8 km s-1 < 10-4 c

u << c bedeutet also in der Regel keine ernste Einschränkung!

− betrachtet werden nun die Systeme S und S‘:

Ortsvektor in S‘: r ′r

Ortsvektor in S: rr

rtur0 ′+⋅+=rrr

(1)

− Transformation mit konstantem ur

≡ Galilei-Transformation !− Geschwindigkeit in S‘: v

r

Geschwindigkeit in S: vr ′

dtrd 0r

=dt

)tu(d ⋅+

rr&r′+

0r

= ur

+ r&r′+


48

vr

uvrr

+′=bzw.

pr

mup ⋅+′=rr

(2)

Also einfacher additiver Zusatzterm, der Impulserhaltung nicht beeinträchtigt.

− Beschleunigung in S‘: a′rdtvd

dtrd2

2 ′=

′=

rr

Beschleunigung in S: ar

dtvd

dtrd2

2 rr==

dtud

dtvd

rr+

′=

0dtvd

+′

=r

ar

adtvd ′=

′=

rr

(3)

alsoFr

′ Famam ′=′⋅=⋅=rrr (4)

⇒ Alle Galilei-transformierten Systeme sind in der Beschreibung der physikali-schen Gesetze äquivalent. Die Gesetze der klassischen Mechanik sind Galilei-invariant. Die Gesamtheit der Galilei-transformierten Systeme heißt Inertialsy-steme.

!

8.3. Linear beschleunigte Bezugssysteme

− System S‘ bewege sich nun beschleunigt mit sar

relativ zum S:

Ortsvektor in S‘: r ′r

Ortsvektor in S: rr

rtut2a

r 2s0 ′+⋅++=

rrr

r

(5)

− wir fragen nach den Beschleunigungen in beiden Systemen:

− Beschleunigung in S‘: a′rr ′= &&r

Beschleunigung in S: ar

r&&r

=( )

rt2a

dtd

dttud

dt

rd 2s2

2

2

2

20

2

′+

+⋅

+= &&rrrr

0= 0+ sar

+ a′+r

ar

aa s ′+=rr

bzw.a′r

saarr

−=

(6)


49

− multipliziert mit m:

am ′⋅r

samamrr

⋅−⋅=â â

− Kraft in S‘: Fr

′ trFFrr

+=

mit: trFr

samr

−= ... Trägheitskraft

(7)

Die Trägheitskraft spürt man nur im beschleunigt bewegten System. Für sie istdort keine materielle Ursache (wie z. B. Feder, Gravitation, Triebwerk) zu er-kennen, sie rührt nur von sa

r her.

Man muss sie aber berücksichtigen, damit im beschleunigten Bezugssystem (wodieses Beschleunigung nicht existiert) "die Mechanik wieder stimmt". Ohne die-se „Scheinkräfte“ wäre dies nicht der Fall.

⇒ Beschleunigte Bezugssysteme sind keine Inertialsysteme. !Beispiel: nstartendes Flugzeug: ruhender Beobachter → Triebwerk "schiebt"

Beobachter in Kabine → keine Ursache für die Kraft!

8.4. Rotierende Bezugssysteme

− Beobachter B (ruhend): Auf m wirkt ständig die Federkraft FF, die die Masseauf die Kreisbahn zwingt, indem sie eine ständigeÄnderung der Richtung von v

r hervorruft (Zentri-

petalkraft, -beschleunigung (vgl. <3.6.>)).

− Beobachter A (mitbewegt): Für ihn ruht die Masse! Sie wird durch eine für ihnunerklärliche Kraft nach „außen“ gezogen, welchedurch die Federkraft kompensiert werden muss, weilsonst die Masse an die Außenwand geschleudertwürde.

− Diese „unerklärliche Kraft“, die nur im rotierenden Bezugssystem wirkt, ist dieZentrifugalkraft. Sie ist betragsmäßig gleich der Zentripetalkraft (lt. Gl. (3 - 15)),aber nach außen gerichtet (~ r

r).

!

rmF 2ZF

rrω= (8)


50

Im allgemeinen Fall, d. h. „r nicht ⊥ ω“,erhält man:

( )ω××ω⋅=rrrr

rmFZF (8‘)

Zentripetalkraft bewirkt eine Beschleunigung im Laborsystem, Zentrifugalkraftkompensiert im rotierenden System (wo es keine Bewegung gibt) die Federkraft.

Beispiel: nGezeitenkräfte

− Erdrotation um sich selbst ist hier unerheblich, da sie die „Normalgestalt“ der Erde(Abplattung, usw.) bestimmt.

− Erde und Mond rotieren um den gemeinsamen Schwerpunkt S, der noch inner-halb der Erde liegt:

· Für M kompensieren sich Anziehung durch den Mond und Zentrifugalkraft genau.· Bei A ist Anziehungskraft kleiner und Zentripetalkraft größer ⇒ „Wasserberg“· Bei B ist Anziehungskraft größer und Zentripetalkraft kleiner ⇒ „Wasserberg“

· Wenn „Anziehung des Mondes“ alleinige Ursache wäre, dürfte bei A kein Flutbergauftreten!

− Wir kehren zur rotierenden Masse zurück und knipsen jetzt die Feder durch:

− ruhender Beobachter : Masse fliegt geradlinig gleichförmig weiter (A‘, B‘, C‘, ...)


51

− bewegter Beobachter: Masse fliegt radial nach außen (A → A‘, B → B‘), daja nun die Gegenkraft der Feder fehlt - zunächst!

genauere Betrachtung: Masse fliegt nicht geradlinig, sondern die Bahnkurve ist imrotierenden Bezugssystem gekrümmt (C → C‘, D → D‘, ...)

− Im rotierenden Bezugssystem muss man die Krümmung der Bahnkruve auf eineKraft zurückführen, damit die Mechanik wieder stimmt ⇒ Corioliskraft !

( )ω×′⋅=rrr

vm2Fc (9)v′r

... Geschwindigkeit im bewegten System!

− Bei einem „Schuss || zur Drehachse“ ist die Corioliskraft also Null.

Mechanik – Der starre Körper; Rotation I

52

9. Der starre Körper; Rotation I

9.1. Einleitung

− bisher: (Systeme von) Punktmassen

− jetzt: Betrachtung ausgedehnter Körper, über die die Masse gleichmäßigverteilt ist (keine Atome!). Körper soll sich unter äußerer Kraft nichtverformen → starrer Körper

!

− Dichte ρ:

Vm

∆∆

=ρ (1)

Maß-einheit: 3m

kg][ =ρ SI

− Gesamtmasse M:

∑ ∆ρ=i

ii VM

∫ρ=Vol

dVM

(2)

− Ortsvektor des Schwerpunktes S srr

:analog zu Gl. (7 - 1) schreiben wir:

∫=Masse

s dmrM1

rrr

( )∫ ρ⋅=Vol

s dVrrM1

rrrr

(3)


53

9.2. Kräfte und Drehmoment an starren Körpern

− Wiederholung zum System mehrerer Punktmassen (vgl. <7.1.>):Kraft F

r greife an Schwerpunkt S eines starren Körpers der Masse M an:

⇒ Bewegung des Körpers gemäß:aMFrr

⋅= (3 - 2)

− Kraft 1F′r

greife nicht am Schwerpunkt S an:

1Fr

2Fr

= 3Fr

=

2Fr

3Fr

+ 0=

32111 FFFFFr

321rrrr

++==′(4)

â âKräftepaar Kraft, die an Schwerpunkt angreift

⇒ Translation, kein Drehmoment

− Kräftepaar = Paar zweier entgegengesetzt gleicher Kräfte, die an zwei ver-schiedenen Punkten (hier: S, P) angreifen ⇒ Drehmoment, und zwar: !

1sp FrMrrr

×= (M hier bezogen auf S) (5)

⇒ „Nicht-Schwerpunkt-Kraft“ bewirkt Translation und Rotation!„Reines Kräftepaar“ bewirkt nur Rotation.

− Damit ein Körper in Ruhe bleibt, müssen sowohl 0Fges =r

als auch 0Mges =r

sein. Dann gibt es weder Translation noch Rotation.!

9.3. Trägheitsmoment

− gegeben: um bestimmte Achse rotieren-der Körper

− gesucht: Ekin der Rotation


54

− kinetische Energie eines Volumenelementes ∆Vi im (senkrechten) Abstand ri

von der Achse ist

kinE∆ 2i

i v2m

⋅∆

=

âTangentialgeschwindigkeit von mi

im∆ ii V∆ρ=

iv ir⋅ω=â

Winkelgeschwindigkeit

2v2m

gilt natürlich weiterhin. Wir formen nur zweckmäßig um und erhalten

kinE∆ 2i

2ii r2V

ω⋅∆ρ

=

kinE ∑ ∆ρ⋅ω

=i

2iii

2

rV2

bzw. in Integralform:

kinE ∫ ρ⋅ω

=Volumen

22

dVr2

(6)

− Die Größe

J ∫ ρ=Volumen

2 dVr (7)

heißt Trägheitsmoment.

− Mit J ergibt sich Ekin dann als

kinE 2

2J

ω= (8)

− Analogien:v ω→m J→

− Rotierender Körper lässt sich schwer in Drehung versetzen (d.h. ist träge) bzw.hat drehend viel Energie, wenn J groß ist, d.h. die gegebene Masse „außen sitzt“.

− Beispiel: nBerechnung von J für homogenen Zylinder (ρ = const.) mit der Länge L:

dzdrdsdV ⋅⋅=ϕ⋅= drds


55

aus (7) folgt damit:

J dzddrrrL

0

22

0

R

0

ϕ⋅ρ= ∫∫∫π

J L24

R 4

⋅π⋅⋅ρ=

mit: M LRV 2π⋅ρ=⋅ρ=

J 2MR21

= (9)

bzw. JL1

2MV

⋅π

= (9‘)

Also: Bei gegebener Masse bzw. (ρ = const!) Volumen kann über R bzw. L das J be-liebig zwischen 0 und ∞ eingestellt werden (Draht bis „∞ ausgedehnte Platte“)!

− STEINERscher Satz:

gegeben: J um Achse, die durch denSchwerpunkt geht (≡ Js)

gesucht: J um Achse, die um dieStrecke a von S entfernt ist(≡ Ja)

2sa aMJJ ⋅+= (10)

Plausibilitätserklärung:

Rotation um „a-Achse“ ⇒ Bewegung desSchwerpunktes um diese + Rotation desKörpers um die Schwerpunktachse

9.4. Dynamik bei der Rotation

9.4.1. Bewegungsgleichung

− Für die Translation war (vgl. <3.3.>):

Fr

dtpdr

= (3 - 6)

bzw. amFrr

⋅= rmvm &&r&r ⋅=⋅= (3 - 2)


56

− Analog ergibt sich für die Rotation:

Mr

dtLdr

= (5 - 3)

bzw. für J = const. unter Verwendung von α, ω, ϕ (vgl. <2.4.>):

α⋅=rr

JM ϕ⋅=ω⋅= &&r&r JJ (11)

− In völliger Analogie zur Translation gibt es nun die verschiedenen Bewe-gungstypen, z.B. gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung mit konstantem M

r

und αr

(was zu linear ansteigendem ωr

führt), usw.

9.4.2. Drehschwingungen (1D)

− ...ist dem Federschwinger völlig analog (vgl. <6.1.>)

− Verformung eines Torsionsstabes führt zu entgegenwirkendem Drehmoment

TM ϕ⋅−= *D (12)

mit: D* ... Richtmoment, [D*] = N mMaß-einheit: [D*] = N m (= Federkonstante) SI

− (12) in (11) liefert als Bewegungsgleichung:

ϕ⋅−=ϕ⋅ *DJ && (13)

völlig analog zur Gl. (6 - 2) für den Federschwinger!

− Als Lösung folgt, wieder analog (diesmal zu Gl. (6 - 4)):

tcos)t( 00 ωϕ=ϕ

mit:T2

2J

D*

0π

=πν==ω

(14)

Also: steifer Stab/kleines J → schnelle Schwingungnachgiebiger Stab/großes J → langsame Schwingung

Diese Torsionsschwingung ist harmonisch.

− Auch die gedämpfte Schwingung ist völlig analog.


57

9.4.3. Drehimpulserhaltung

− Drehimpuls eines Volumenelementes eines rotierenden Körpers:

Lr

prrr

×= (5 -1)

Lr

∆ vrmrr

×⋅∆=

Wegen v ⊥ r rechnen wir skalar weiter:

∆ L vrm ⋅⋅∆=v r⋅ω=

m∆ V∆ρ=

∆ L Vr 2 ∆ρω= (15)

− Gl. (15) gilt für ein Volumenelement eines Körpers. Für den Gesamtkörper müs-sen wir aufsummieren:

L ∑ ∆ρω=i

ii2i Vr

bzw. integrieren:

L ∫ ρω=Volumen

2 dVr (16)

â≡ J

Vergleich mit (7) zeigt, dass (wir schreiben wieder als Vektoren)

Lr

J⋅ω=r

ist. (17)

− Natürlich ist weiterhin gültig, dass für Mr

= 0 Lr

= const. ist (abgeschlossenesSystem), und zwar !

wegen Mr

dtLdr

= (5 -3)

− Dies gilt, analog zur Impulserhaltung, unabhängig von eventuellen inneren Rei-bungskräften. !


58

9.5. Zusammenstellung wichtiger formaler Analogien

− Ortsvektor: Drehwinkel:rr ϕ

− Geschwindigkeit: Winkelgeschwindigkeit:rv &rr

= ωr

⋅ Betragϕ=ω &

⋅ RichtungDrehachse (Recht-Hand-Regel)

− Beschleunigung: Drehbeschleunigung:va &rr

= ω=α &rr

− kinetische Translationsenergie: kinetische Rotationsenergie:2

trans v2m

E = 2rot 2

JE ω=

− Masse: Trägheitsmoment:m ∫ ρ= dVrJ 2

− Kraft: Drehmoment:Fr

Mr

− Impuls: Drehimpuls:vmprr

⋅= ω⋅=rr

JL

− Bewegungsgleichung: Bewegungsgleichung:vmpF &r&vr

⋅== ω⋅== &r&rrJLM

− Im abgeschlossenen System bleiben pr

und Lr

erhalten

Mechanik – Rotation II

59

10. Rotation II

10.1. Trägheitstensor

− bisher: Lr

ω⋅=r

J (9 - 17)

mit: J ∫ ρ= dVr 2 (9 - 7)

J war bezogen auf eine bestimmte Achse (mit Abstand r von dieser) und skalar, ωrr

~L .

Achse war fest zum Körper („aufgespießt“) (a), undfest im Raum („gelagert“) (b).

− Jetzt werden (a) und (b) in Frage gestellt.

− Aufhebung v. (a): freie Rotation eines Quaders → ∃ stabile + instabile AchsenAufhebung v. (b): Fahrradkreisel ∧ Momentanstoß → Präzession von ω

r,

Lr

weiter const.Illustration Handel ⇒ J = f(Achsenrichtung)!

− weiter mit Plausibilitätserklärung:Es zeigt sich, dass es nicht ausreicht, einfach nur für jede Achsenrichtung einanderes (skalares) J zu nehmen. J ist kein Skalar mehr, auch kein richtungsab-hängiger!

Im allgemeinen Fall ist J ein Tensor: J

!

!Lr

ω⋅=r

J (1)

− Multiplikation eines Tensors mit einem Vektor ergibt einen neuen Vektor:

Dies ist eine Transformation bezüglich Betrag und Richtung, d.h. ωr

und Lr

sindnicht mehr proportional! !

− verwendete Komponentenschreibweise in kartesischen Koordinaten:

Lr

)L,L,L(kLjLiLLLL zyxzyxzyx ≡++=++=rrrrrr

In dieser Schreibweise wird (1) zu:

)L,L,L( zyx

ωωω

⋅

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

JJJJJJJJJ

(2)


60

− zum Glück ist J ein symmetrischer Tensor:

J

=

zzzyxz

yzyyxy

xzxyxx

JJJJJJJJJ

(3)

− Wenn wir das Bezugssystem auf den Körper beziehen (körperfestes Bezugssy-stem) lässt sich immer eines finden, in dem sich der Tensor noch mehr verein-facht (In diesem System gelten statt x, y, z die Achsen 1, 2, 3):

!

J

=

3

2

1

J000J000J

(4)

Diejenigen Achsen, für die das gilt, heißen Hauptträgheitsachsen.J1, J2, J3 heißen Hauptträgheitsmomente. !Im Allgemeinen sind die Hauptträgheitsmomente ungleich. Wir setzen: J1 ≤ J2 ≤ J3.

10.2. Trägheitsellipsoid

− Erot war:

rotE 2J21

ω= (9 - 8)

− wenn J ein Tensor ist, müssen wir schreiben:

rotE ω⋅⋅ω=rr

J21

(5)

âLr

≡ (lt. Gl.(9 - 14))

− Wir beziehen jetzt auch ωr

auf das körperfeste Bezugssystem mit den Achsen 1, 2, 3:

),,(eee 321332211321 ωωω≡ω+ω+ω=ω+ω+ω=ωrrrrrrr

(6)

Aus (5) folgt damit:

rotE

ωωω

⋅

⋅ωωω=

3

2

1

3

2

1

321

J000J000J

),,(21

(7)


61

ausmultipliziert folgt:

rotE ( )233

222

211 JJJ

21

ω+ω+ω= (8)

− Gl. (8) ist die Bestimmungsgleichung für ein Ellipsoid! (8) lässt sich umformen:

rotE

ω+

ω+

ω=

2

23

2

22

2

21

cba21

mit: 1J1

a = , 2J

1b = ,

3J1

c =

a, b, c ... Hauptachsen des Ellipsoids

(9)

− Anschaulich: Der Ellipsoid gibt bei gegebenen Trägheitseigenschaften (d.h.gegebenem Trägheitstensor) für jede Richtung an, wie groß ω

r sein muss, um

einen bestimmten konstanten Erot-Wert zu erreichen.

!

Beispiel: n

Rotation um 3 hat großes J (J3 = Jmax) ⇒ ω3 kann klein seinRotation um 1 hat kleines J (J1 = Jmin) ⇒ ω1 muss groß sein

für bestimm-

tes Erot

− (In der Regel wird versucht, die Form des Ellipsoids aus den Trägheitseigen-schaften heraus zu erklären. Dies ist aber ziemlich verwickelt wegen

3,2,1J1

c,b,a = ).

− Also: ∃ 3 ausgezeichnete Achsen, davon einem mit Jmax, eine mit Jmin, diese ⊥aufeinander. Für alle anderen Richtungen hochsymmetrisches Verhalten,so, dass alle ω

r für ein bestimmtes Erot ein Ellipsoid formen.

!

Dies gilt für alle starren Körper! (anschaulich schwer einleuchtend)

− Wir bilden ω⋅=rr

JL in Komponentenschreibweise lt. Gl. (7), multiplizieren ausund erhalten

Lr

332211 JJJ ω+ω+ω=rrr

(10)


62

⇒ Für unterschiedliche J1, J2, J3 kann ωrr

~L nur erreicht werden, wennRotation um eine der drei Hauptachsen erfolgt

− Also:Entweder

1ω=ωrr

⇒ ω⋅=rr

1JL

oder 2ω=ωrr

⇒ ω⋅=rr

2JLoder 3ω=ω

rr⇒ ω⋅=

rr3JL

− Dabei ist die Rotation um die Achse mit:· maximalem J (hier J3) → stabil· minimalem J (hier J1) → mäßig stabil· mit mittlerem J (hier J2) → instabil

!

− Wenn ωr

und Lr

nicht mehr || sind, gibt es Probleme:a) freie Rotation: L

r = const. ⇒ ω

r ändert sich ständig (relativ zum Körper)

b) Rotation mitfixierter Achse: ω

r = const ⇒ L

r ändert sich ständig und erzeugt ein

Drehmoment, das die Lager beansprucht:

0dtLd

M >=r

r

⇒ Unwucht

10.3. Symmetrischer Kreisel

− Kreisel = rotierender Körper, symmetrisch1, Rotation erfolgt um Achse durchSchwerpunkt, Lagerung reibungsfrei2. (Dies ist keine strenge Definition!) !

− kardanisch gelagerter Kreisel = reibungsfrei im Schwerpunkt gelagert (Gero-nimo Cardano, 1501 - 1576). !

− Nutation: Wir betrachten einen Kreisel, der um seine Figurenachse, die dasmaximale J besitzt, rotiert: !

FA || Lr

|| ωr

≡ z-Achse

Für den Drehimpuls gilt:

zmaxzFA||z JJLL ω⋅=ω⋅==rrrr

(11)

1 Damit sich Symmetrie des Trägheitsellipsoids auch äußerlich zeigt, also Figurenachse existiert.2 Damit Gesetzmäßigkeiten gut erkennbar sind.


63

− Nunmehr lassen wir für eine bestimmte Zeit ∆t ein zusätzliches Drehmoment

xMr

wirken (= Momentenstoß):

xFAxx JLtM ω⋅==∆ ⊥rrr

(12)

Durch den Stoß wird der Drehimpuls desKreisels um xL

r verändert und beträgt

nunmehr:

.constJJLLL xFAzFA||xz =ω⋅+ω⋅=+= ⊥rrrrr

(13)

Dieser neue Gesamtimpuls Lr

bleibt nunmehr erhalten. ωr

bleibt nicht erhalten,weder xω

r, noch zω

r, noch zx ω+ω=ω

rrr!

− Wir betrachten Erot (lt. Gl. (5))

.constL21

L21

J21

E L||rot =⋅ω=⋅ω=ω⋅⋅ω=rrrr

(14)

⇒ Die Komponente von ωr

|| Lr

(≡ L||ω )

ist konstant, die ⊥ dazu rotiert:

− Beachte: ωr

ist das „Gesamt-ωr

“ (momentane Drehachse)

− Was ins Auge springt, sind zwei andere Dinge: Die Rotation um die Figurenach-se und deren Umlauf um die L

r-Achse (≡ Nutation).

− Es lässt sich zeigen, dass beim symmetrischen Kreisel ωr

, Lr

und Figurenachsein einer Ebene liegen:


64

− Präzession: Nunmehr setzen wir den Kreisel einem ständigen Drehmomentaus, am einfachsten durch Lagerung entfernt vom Schwerpunkt: !

dtLd

M a

rr

= (5 -3)

⇒ gmRM arrr

⋅×= bewirkt also Rotation von Lr

um Achse || gr

(senkrechte Achse).

− Betrag von ωp (Präzessionsbewegung):

L1

dtdL

dtd

p ⋅=ϕ

=ω (15)

ωp ... Präzessionsfrequenz

mit (5 - 3) ist:

aMdtLd

dtdL r

r==

⇒L

Map =ω (16)

Präzessionsfrequenz bei gegebenem Kreisel (d.h. Ma = const) ~ L1

;

also: schnelle Rotation → kleine ωp, usw.

Beispiele: n

(1) Lr

= const ⇒ Stabilität beim Diskus- bzw. Speerwerfen.

(2) „ansatzweise“ Präzession beim freihändigen Radfahren: Kippen nach rechts führtautomatisch zum Lenken nach links (vgl. Abbildung oben).

(3) atomare Kreisel: magnetische Momente ∧ äußeres Magnetfeld ⇒ Präzessionsbewegung

Mechanik – Deformierbare Festkörper

65

11. Deformierbare Festkörper

→ „Segen der Verformung“ (kippelnder Stuhl, usw.)

11.1. Dehnung und Kompression

− Hier steht die Kraft ⊥ auf der Bezugsfläche!

− In Experimenten zeigt sich:

AFl

E1

l⋅

⋅=∆

mit: E ... Elastizitätsmodul (materialspezifisch)

Umformung ergibt:

AF

E1

ll

⋅=∆

≡ε (1)

mit: ε ... Dehnung

Mit σ==FlächeKraft

AF

... (Normal-)Spannung

folgt schließlich:

σ⋅=εE1

bzw. σ=⋅ε E (2)

Also: Dehnung ~ Spannung; HOOKEsches Gesetz (gilt innerhalb bestimmterGrenzen) !

Betrachtungsweisen: ⋅ bestimmtes aufgeprägtes σ induziert ε⋅ bestimmtes aufgeprägtes ε induziert (inneres) σ

Maßein-heit:

[E] = PamN

2≡ ... Pascal SI

⇒ E hat Dimension einer Spannung, also Kraft/Fläche


66

Konvention: Zug → σ > 0, ε > 0Druck → σ < 0, ε < 0

− der gezogene/gestauchte Körper versucht, sein Volumen konstant zu halten⇒ Querverformung / „Querkontraktion“: b → b - ∆b !POISSON[sche Querkontraktions]zahl µ

ll

bb ∆∆

≡µ (3)

− Es zeigt sich, dass

)21(EV

Vµ−

σ=

∆(4)

Diskussion uFür Zugspannungen (σ > 0) ist ∆V ≥ 0 ⇒ µ ≤ 0,5

Extrema: µ = 0,5 ⇒ ∆V = 0 (keine Volumenänderung; ∆l wird volldurch ∆b ausgeglichen)

µ = 0 ⇒ ∆V maximal (keine Querverformung)

reale FK haben häufig µ = 0,2 ... 0,3

− allseitiger Druck ∆p ⇒ jede der drei Dimensionen trägt VV∆

lt. Gl. (4) bei!

)21(E

p3VV

µ−∆⋅

=∆

Erläuterung:Schreibweise ∆p (nicht p) deshalb, weil in derPraxis der hydrostatische Druck in der Regelzum stets vorhandenen Luftdruck hinzukommt.

Vorzeichenkonvention: „Druck nach innen“ = p > 0 (anders als bei σ!):

)21(E

p3VV

µ−∆⋅

−=∆

(5)

Kp

VV ∆

−=∆

(6)

mit:)21(3

EK

µ−≡ ... Kompressionsmodul

VV∆

hängt also von E und µ ab! !


67

11.2. Scherung

− Im Gegensatz zu <11.1.> liegt hier derKraftvektor in der Bezugsfläche!

− Ansonsten gilt völlig analog zu Gl. (1):

AFl

G1

l⋅

⋅=∆ (7)

mit: G ... Schermodul (materialspezifisch)

Mit

τ=AF

... Scherspannung

folgt schließlich:

⇒ τ⋅=∆

G1

ll

α≈α=∆

tanll

(für kleine α)

⇒ τ⋅=αG1

bzw. τ=α⋅G (8)

α ... Scherwinkel

− Kommentar: uDer Schwerwinkel α beschreibt die spezifische Veformung bei der Scherdefor-mation und tritt an die Stelle der Dehnung ε in <11.1.>. !

− Es lässt sich zeigen, dass auch zwischen G und E eine Beziehung besteht (analog Gl. (6)):

)1(2E

Gµ+

≡ (9)

− Kommentar: u

· Von den vier Konstanten E, G, K, µ sind nur jeweils zwei unabhängig (vgl.die Gl. (6), (9) und analoge Zusammenhänge).

· Wir haben hier Spezialfälle betrachtet! Im allgemeinen Fall gilt:τ, σ → Spannungstensorε, α → Verzerrungstensorµ, E, K, G → Elastizitätstensor


68

− Wichtige Anwendung der Scherung: Drillung (vgl. <9.4.>)

ϕ ... Torsionswinkel

Der Scherungwinkel α für einbestimmtes Volumenelement desMaterials nimmt mit r zu!

Für kleine α gilt:

Lr

ϕ⋅=α (10)

Wir betrachten einen dünnen Hohlzylinder:

Seine Verdrillung liefert ein Rückstellmoment1

dFrdM ⋅= (11)

Die Kraft FddFr

= wird durch die Scherspannung τ aufgebracht. Es gilt:

α⋅==τ GdAdF

(8)

mit drr2dA ⋅π= sowie Gl. (10) folgt für dF:

drr2L

rGdF ⋅π⋅ϕ

⋅⋅= (12)

Damit erhalten wir für das Rückstellmoment dM(r) des Hohlzylinders mit demRadius r:

drrLG

)r(dM 3 ⋅ϕ⋅⋅π2

= (13)

1 Wir rechnen jetzt mit Beträgen!


69

Wenn wir alle Teil-Hohlzylinder aufintegrieren, folgt:

ϕ⋅≡ϕ⋅⋅⋅π

== ∫ *4R

0

DL

RG

2)r(dMM (14)

mit: R ... Radius des Vollzylinders

D* ist das Richtmoment lt. Gl. (9 - 12)!

In <9.> hatten wir nur gesagt, dass ϕ⋅= *DMr

.

Jetzt wissen wir, wie D* von Geometrie (R, L) und Material (G) abhängt!

11.3. Der gebogene Balken

Der Krümmungsradius Rändert sich längs des Balkens,wir betrachten ein kurzesStück, für das R ≈ const. ist.

Wir nehmen an, dass die neu-trale Faser in der Mitte liegt,dort sei z = 0.

Es gilt0l)z(l

RRz +

=

⇒ )z(lR

Rzl0

+⋅=

Rz

ll)z(l)z(l 00 ⋅=−=∆ (15)

− In einer Faser im Abstand z von der neutralen Faser baut sich also die folgendeSpannung auf:

0l)z(l

EE)z(∆

⋅=ε⋅=σ

Mit (15) folgt:

Rz

E)z( ⋅=σ (16)


70

Kommentar: uOberhalb der neutralen Faser herrscht Zugspannung, unterhalb Druckspannung,vergleiche Vorzeichenkonvention in <11.1.>, die auch hier gilt.

− Blick auf einen Balkenquerschnitt:

Das Flächenelement dA = dz dy erfährteine Kraft

dA)z(dF ⋅σ=

Mit (16) erhält man:

dydzRz

EdF ⋅⋅= (17)

Diese Kraft bewirkt ein Drehmoment:

dFzdM ⋅=

dydzzRE

dM 2 ⋅⋅= (18)

Das gesamte in der Querschnittsfläche wirkende Drehmoment folgt als:

M ∫∫−

⋅⋅=

ächeschnittsflQuergesamte

2 'dy'dzzRE

mit:I ∫∫

−

⋅=

ächeschnittsflQuergesamte

2 'dy'dzz

I heißt Flächenträgheitsmoment.

Es gilt: M IRE

⋅= bzw. IME

R ⋅=

(19)

Kommentar: u

· Ein äußeres Drehmoment biegt den Balken; andererseits wird durch einevon außen aufgeprägte Biegung ein inneres (entgegengerichtes) Dreh-moment induziert.

· I ist formal analog zum Trägheitsmoment bei der Rotation. Es beschreibtdie Steifigkeit des Balkens (Beispiel: Doppel-T-Träger!)


71

· Gl. (19) zeigt: großes M und/oder kleines I (= kleine Biegesteifigkeit) be-wirken kleines R, d.h. große Biegung.

· Das Gleichgewicht des durchgebogenen Balkens ist wieder gekennzeichnet durch:

∗ Kräftegleichgewichtund ∗ Drehmomenten-

gleichgewicht Wenn nicht gesF

r= 0 und gesM

r= 0 wären,

würde Translation oder Rotation bewirkt.

11.4. Inelastisches Verhalten

− Beispiel für ein reales Spannungs-Dehnungs-Diagramm (dennoch schematisch):

σP ... Proportionalitäts-grenze (HOOKE)

σE ... Elastizitätsgrenze

σF ... Festigkeitsgrenze

Kommentar: u· für σP < σ < σE keine Linearität mehr, aber noch keine bleibenden Verfor-

mungen (gegebenenfalls dauert es eine Weile, bis alles zurückgeht)· für σ > σE bleibende Verformungen, die bei Entlastung nicht mehr vollstän-

dig zurückgehen· Die ε-Werte in der Abbildung sind typisch für viele Metalle.

− elastische Nachwirkung / elastische Hysterese:


72

Kommentar: u· 0A reiche schon in den inelastischen Bereich.· B ... Restverformung trotz σ = 0· C ... notwendige „Gegenspannung“, um ε = 0 zu erreichen· Fläche innerhalb der Kurve repräsentiert die bei einem Umlauf durch die

Verformung verbrauchte (= in Wärmeenergie umgewandelte) Energie W:

dxFdW ⋅= F A⋅σ=

dx ε⋅=

∆

⋅=∆= dlll

dl)l(d

⇒ ε⋅⋅σ⋅= dlAdW

ε⋅σ⋅= d.VoldW

− Zeiteffekte⋅ „richtige Festkörper“ sind Einkristalle. Sie haben definierte Grenzen für die

Verformung, ∃/ Zeiteinfluss.⋅ Viele feste Körper sind ungeordnet (amorph). Bei ihnen hängt die Verfor-

mung auch von der Zeitdauer der Einwirkung der Spannung ab:⇒ kurze Einwirkung: elastisches bzw. sprödes Verhalten

lange Einwirkung: plastisches Verhalten

Mechanik – Flüssigkeiten

73

12. Flüssigkeiten

In diesem Kapitel werden ruhende Flüssigkeiten behandelt (sogenannte Hydrostatik).

12.1. Einleitung

− Wir reden über „richtige“ Flüssigkeiten, keine „amorphen Festkörper“!

⇒ Atome sind frei gegeneinander verschiebbar, an der Oberfläche einer Flüs-sigkeit können keine Tangentialkräfte auftreten.

Eine freie Flüssigkeits-Oberfläche stellt sich senkrecht zur Resultierenden allerKräfte ein. !

Beispiel: beschleunigt bewegter Trog n

M. a. W.: Der Schubmodul einer idealen Flüssigkeit ist gleich Null. !Beispiel: nGestalt von Flüssigkeitsoberflächen bei Rotation

dxdz

gmxm

tan2

=⋅/∆ω⋅/∆

=α

dxdz

... Steigung der OF-Kurve

Kurve ist eine Parabel!

⇒ 22

xg2

z ⋅ω

=

12.2. Statischer Druck

⇒ Druck in der Flüssigkeit: AF

p = (1)

Maßeinheit: 2m

N= 1 Pa = 10-5 bar1

SI

1 zum Vergleich: 1 atm = 1013 mbar = 760 Torr


74

− Der Druck in einer Flüssigkeit ist allseitig, d.h. wirkt in alle Richtungen gleich. !− Kompressibilität: in völliger Analogie zu Gl. (11 - 6) bildet man

dpdV

V1

K1

⋅−=≡κ (2)

κ ... KompressibilitätK ... Kompressionsmodul

Es zeigt sich, dass für fast alle Flüssigkeiten κ so klein bzw. K so groß ist, dass fak-tisch keine Komprimierbarkeit besteht. „Flüssigkeiten sind praktisch volumenstabil.“ !

− hydraulische Presse, Heber, o.ä.:

Felsbrocken mit Masse M

⇒ gMF1 ⋅=

⇒11

1

AgM

AF

p⋅

==

wegen Allseitigkeit des Druckes muss nun auch gelten

2Agm

p⋅

=

⇒ MAA

m1

2 ⋅=

Beispiel n

1000 kg (Felsbrocken) ∧ A2/A1 = 1/1000 ⇒ Masse m = 1 kg hält die Waage!

− Ist der Energiesatz verletzt?Wir erhöhen m um ein sehr kleines ∆m, so dass sich der kleine Kolben um ∆h2

nach unten senkt.

⇒ geleistete Arbeit: 22in FhW ⋅∆= 22 ApF ⋅= (1)pAhW 22in ⋅⋅∆=

mit: VAh 22 =⋅∆ ... Flüssigkeitsvolumen


75

Das Flüssigkeitsvolumen V strömt in den dicken Kolben und hebt diesen um ∆h1

gegen die Kraft F1:

⇒ am Fels geleistete Arbeit: 11out FhW ⋅∆= 11 ApF ⋅= (1)pAhW 11out ⋅⋅∆=

Wobei wiederum VAh 11 =⋅∆ ist.

⇒ Weil V in beiden Fällen gleich ist und p sowieso konstant, ist Win = Wout.Hydraulik spart Kraft und braucht mehr Weg → Goldene Regel der Me-chanik. Die Energie bleibt erhalten.

12.3. Schweredruck

− Wir haben bis jetzt außer Acht gelassen, dass sich in einer Flüssigkeit einSchweredruck aufbaut:

Gewicht einer Flüssigkeitssäule (Querschnitt A, Höhe h, Dichte ρ)

ghAFG ⋅ρ⋅⋅= (3)

⇒ Schweredruck p(h):

ghAF

)h(p G ⋅ρ⋅== (4)

− Schweredruck nimmt mit der Tiefe zu und hängt nur von der Tiefe ab, sofern ρdruckunabhängig ist, d.h. Inkompressibilität besteht.

Beispiel: Wasser (3

3

mkg

10≈ρ ) n

⇒ 1 bar ≈ 1 atm pro 10 m Tiefe, Kompressibilität 110 Pa105K1 −−⋅≈=κ

⇒ In 10.000 m Tiefe (bei 1000 atm) ist Dichte nur um 5% erhöht!

− Schweredruck und statischer Druck wirken zusammen. Oft ist einer der beidenvernachlässigbar: !

⋅ Meer (s.o.) ⇒ statischer Luftdruck vernachlässigbar

⋅ Hydraulikanlage ⇒ Schweredruck vernachlässigbar

− hydrostatisches Paradoxon: „Der Bodendruck ist unabhängig von der Form desGefäßes.“ (nur abhängig von der Höhe!) !


76

Alle diese Gefäße habengleichen Bodendruck!

Wenn wir die Gefäße unten verbinden (z.B. ein bereits gefülltes Verbin-dungsstück anfügen), wird sich wegen des einheitlichen Drucks in Boden-nähe nichts ändern.

⇒ kommunizierende Gefäße haben gleiches Flüssigkeitsniveau!

Beispiele: n

⋅ Wasserstandsanzeiger:

⋅ Schlauchwaage

12.4. Auftrieb und Schwimmen

− quaderförmiger Körper in einer Flüssigkeit, Höhe H, Grundfläche A:

Schweredruck der Flüssig-keit in der Tiefe h beträgt:

ghp Fl ⋅ρ⋅= (5)

⇒ auf obere Fläche wirkt Kraft AghF Fl11 ⋅⋅ρ⋅= nach untenauf untere Fläche wirkt AghF Fl22 ⋅⋅ρ⋅= nach oben

In der Summe erfährt der Körper die Auftriebskraft FA

= Volumen V! (h1 - h2 = H)á

( )48476

12Fl12A hhAgFFF −⋅⋅⋅ρ=−=VgF FlA ⋅ρ⋅= (6)

Die Auftriebskraft entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge. !− Die o.g. Herleitung ist zwar vereinfacht, Gl. (6) gilt aber für beliebig geformte Körper.


77

− Das Verhalten des Körpers wird von GA FFrr

+ bestimmt: !GA FF

rr< ⇒ Sinken; Körper ist schwerer

GA FFrr

= ⇒ Körper schwebt

GA FFrr

> ⇒ Körper schwimmt,

d.h. er taucht nur soweit ein, wie nötig ist, damit GA FFrr

= ist:

Also:Gewicht der verdrängten Wassermenge= Gesamtgewicht des Schiffes

− Stabilität:Schwerpunkt S des Schiffes = Angriffspunkt der SchwerkraftSchwerpunkt SF der verdrängten Flüssigkeit = Angriffspunkt der Auftriebskraft

⇒ völlige Kentersicherheit nur, wenn S tiefer liegt als SF (schwerer Kiel); an-sonsten existieren unterschiedliche kritische Kippwinkel

12.5. Oberflächenspannung

− Experimente zeigen: Flüssigkeiten sind bestrebt, ihre Oberfläche klein zu halten

− Deutung: ∃ gegenseitige Anziehung der Moleküleder Flüssigkeit, wodurch diese zusammengehal-ten wird.

Moleküle an der Oberfläche erfahren resultierendeKraft in die Flüssigkeit hinein → „Gummihaut“

2 Seiten einer Sache! áâ

− Energiedeutung: Ausbildung einer chemischen Bindung bedeutet Energieminimie-rung (Bindungsenergie wird frei!). Moleküle an der Oberfläche sind unvollständigabgebunden ⇒ Oberfläche ist energetisch benachteiligt (∃ zusätzliche Wob)⇒ Streben nach Minimierung der Oberfläche

− Oberflächenenergie Wob ist proportional zur Oberfläche:

obW A⋅σ=

σA

Wob=

(7)

σ ... spezifische Oberflächenenergie


78

Maßein-heit:

[σ] = 2m

J (Energie pro Fläche) SI

Die spezifische Oberflächenenergie heißt auch Oberflächenspannung. !− Experiment: Aufspannen eines Flüssigkeitshäutchens mittels Drahtbügel:

Die mechanische Arbeit

dsFW ⋅=∆ (8)

vergrößert die Oberflächenenergie um

AWob ∆⋅σ=∆ dsb2A ⋅⋅=∆â

2 Oberflächen!dsb2Wob ⋅⋅⋅σ=∆ (9)

Gleichsetzung von (8), (9)

⇒ dsF ⋅ dsb2 ⋅⋅⋅σ=

⇒ σb2

F= (10)

Wir können σ also auch als Zugkraft pro Länge (in der Oberfläche), also als so-genannte Linienspannung auffassen:

Maßeinheit: [σ]mN

=2mmN ⋅

= ... (Kraft/Länge) SI

2mJ

= ... (Energie/Fläche), also identisch zu Gl. (6)!

− Der Innendruck in einer Seifenblase:

Eine Verkleinerung des Radius um dr reduziert die Oberfläche OF einer Seifenblase um

drdr

dOFdOF ⋅= ( )

r8dr

r4d 2

π=π

drr8dOF π= (11)

Die Seifenblase hat eine äußere und eine innere Oberfläche, daher ergibt dasdOF lt. Gl. (11) eine Reduzierung der Oberflächenenergie um

σ⋅π= drr16dWob (12)


79

Bei r-Reduzierung muss aber gegen den Innendruck mechanische Arbeit gelei-stet werden:

drFdW ⋅=lächeKugeloberf

KraftlächeKugeloberfF ⋅=

â â2r4π p

drpr4dW 2 ⋅⋅π= (13)

Im Gleichgewicht haben sich r und p so eingestellt, dass dW = dWob ist.⇒ Gleichsetzung von (12) und (13) liefert

r4

pσ

= (14)

Kommentar: u

· p ist der in der Blase gegenüber der Umgebung herrschende Überdruck· p wächst mit zunehmendem σ und abnehmendem r!· Entsprechend Gl. (14) herrscht auch in jeder einfachen, nach außen mit Ra-

dius r gekrümmten Oberfläche ein Druck:

r2

pσ

= (15)

12.6. Fest-flüssig-Grenzflächen

12.6.1. Benetzung

− Wir betrachten jetzt 3 Phasen:

· Festkörper,· Flüssigkeit,· Gasphase (Luft + Dampf der Flüssigkeit + Dampf des Festkörpers).

Einstellen des Gleichgewichts an einer senk-rechten Wand in einer Flüssigkeit bedeutetEinstellung eines Randwinkels θ so, dass

fdfldffl cos σ=θ⋅σ+σ (16)

(YOUNGsche Gleichung)

− Der gezeichnete Fall ist der der Benetzung (θ < 90° ≡ σfd > σffl)


80

− andere Möglichkeit: Nichtbenetzung(θ > 90° ≡ σfd < σffl)

− Wenn nun selbst θ = 0 nicht reicht, um σfd zu kompensieren, gilt

fflfldfd σ+σ>σ

Dann findet vollständige Benetzung statt, d. h. die Flüssigkeit kriecht als sehrdünne Schicht ganz die Wand hoch; θ = 0°; σfd ist unendlich groß.

− ähnlich beim Tropfen auf einer Oberfläche:

− Benetzung ist wichtig!

· Waschmittel (Reinigungswirkung)· Spülmittel („ohne abzutrockenen“)

Benetzung

· Gefieder der Wasservögel· selbstreinigende Oberflächen

Nichtbenetzung

12.6.2. Kapillarität

− In sehr dünnen Röhren steigen Flüssigkeiten höher als in ihrer Umgebung. !

Zur Deutung nehmen wir vereinfachendan, dass vollständige Benetzung vorliegt,d.h. θ = 0° ist. (Ansonsten tritt dieser Ef-fekt auch auf, aber nicht so ausgeprägt.)

− verschiedene Deutungen möglich (mehrere Seiten derselben Medaille):

a) Die zusätzliche Flüssigkeitssäule mit

ghrF 2G ⋅ρ⋅π=

hängt an ihrer Randlinie (Länge 2πr) mit der Linienspannung σ fest.

⇒ Infolge dieser Spannung tritt eine „Haltekraft“ F auf:

σ⋅π= r2F


81

Die Haltekraft kompensiert das Gewicht der zusätzlichen Flüssigkeitssäule:

ghr 2 ρπ σπ= r2

hgr

2ρσ

= (17)

Also: Effekt umso größer, je größer σ ist und je kleiner r und ρ sind.

b) Der Schweredruck der Zusatzsäule ist

ghr

ghreGrundfläch

aftGewichtskrp

2

2

s ρ=π

ρπ==

Er wird kompensiert durch den negativen Druck (d.h. Zug) der hier konkavgewölbten Oberfläche lt. Gl. (15), also

ghr

2ρ=

σ≡ Gl. (17)

âGl. (15)

c) Man erhält ebenfalls das gleiches Ergebnis, wenn man alle Energien betrach-tet (Oberflächenenergien, Epot der Säule, usw.) und das Minimum sucht.

− Im nichtbenetzendem Fall (z.B. Glas/Hg) tritt Ka-pillardepression auf:

Mechanik – Gase

82

13. Gase

13.1. Kompressibilität

− Experiment:

− Ergebnis: .constVp =⋅ (bei konst. T) (1)(Gesetz von BOYLE-MARIOTTE)

bzw.p

.constV =

nach Ableitung folgt

dpdV

pV

pconst

2−=−= |:V

dpdV

V1

⋅p1

−=

κ−=−=K1

(12 -2)

Also: Kompressibilität ... p1

K1

==κ (plausibel!) (2)

− gegeben: Gas der Masse M im Volumen V ⇒ für Massendichte ρ gilt

VM

=ρ

mit Gl. (1)

⇒V1

.constp

=

⇒ ρ.const

pM ⋅=

⇒ ρ ~ p bzw. constp

=ρ

(3)

Mechanik – Gase

83

13.2. Schweredruck in Gasen

− vgl. <12.3.>: Schweredruck in Flüssigkeiten (dort: Inkompressibilität!)

Bei Gasen ∃ jedoch Kompressi-blität ⇒ Dichte in jeder Höhewird von der darüber liegendenSäule bestimmt!

⇒ Gl. (12 - 4) gilt nur noch fürSäule mit infinitesimaler Hö-he dh:

dhg)h(dp ⋅⋅ρ−= 1 (4)

− Lösung der Differentialgleichung (4): Wir wissen aus Gl. (3), dass constp

=ρ

ist.

Dies gilt gilt auch für die Erdoberfläche (Index 0) bzw. jede beliebige Höhe h:

)h(p)h(

pconst

p 0

0 ρ=

ρ==

ρ(5)

Mit Gl. (5) wissen wir nun, dass

)h(pp

)h(0

0 ⋅ρ

=ρ

ist, also

dhg)h(pp

dp0

0 ⋅⋅⋅ρ

−= (4‘)

Gl. (4‘) umgestellt liefert:

∫)h(p

p0)'h(p

dp∫⋅⋅

ρ−=

h

00

0 'dhgp

0p)h(p

ln hp

g

0

0 ⋅⋅ρ

−=

)h(phg

p0

0

0

ep⋅⋅

ρ−

⋅= (6)

Dies ist die barometrische Höhenformel.

1 Das negative Vorzeichen gilt wegen der p-Abnahme mit h-Zunahme. - In <12.> war dies

bedeutungslos!

Mechanik – Gase

84

Kommentar: u· Wenn wir die richtigen ρ0, p0, g einsetzen, folgt, dass p(5500 m) ≈ 0,5p0 ist.

Außerdem führt jede weitere Verdopplung von h zu einer Halbierung von p

(Potenzgesetz ( )pnnp aa = !).

· Innerhalb der Höhenbereiche, in dem p faktisch = 0 wird, darf g = const.betrachtet werden.

· Gl. (6) gilt für T = const.

Mechanik – Strömende Flüssigkeiten und Gase

85

14. Strömende Flüssigkeiten und Gase

14.1. Vorbemerkungen

− Es gibt viele Analogien zwischen Flüssigkeiten und Gasen (wegen der freienVerschiebbarkeit der Teilchen); Hauptunterschied liegt in der Kompressibilität

jedoch:Bei v << vSchall verhalten sich auch strömende Gase praktisch inkompressibel,d.h. es erfolgt kein Aufbau von Druckwellen. !⇒ Daher im folgenden Annahme eines inkompressiblen Fluids.

− Beschreibung von Strömungen nach EULER (1707 - 1783) anhand des Ge-schwindigkeitsfeldes )r(v

r.

Sonderfall: )r(vr

= zeitlich const. ⇒ stationäre Strömung

− stationäres Strömungsfeld beschrieben durch Stromlinien:

Stromröhre = Bündel von Stromlinien

Tangente an der Stromlinie→ Richtung von v

r

Dichte der Stromlinien→ Betrag von v

r

− Die Abbildung zeigt, dass pro Zeiteinheit ∆t ein strömendes Volumenelement∆V an jeder Stelle der Stromröhre konstant ist

.constvAtV

V =⋅=∆∆

=& (innerhalb der Stromröhre) (1)

V& ... Volumenstrom

Gl. (1) heißt Kontinuitätsgleichung: Wenn in der Stromröhre kein Medium er-zeugt oder vernichtet wird, muss I konstant bleiben und v sich entsprechend Aeinstellen.

!

Kommentar: uHier ist die Quellen- und Senkenfreiheit eigentlich fast selbstverständlich (einBeispiel für eine Ausnahme wäre eine chemische Reaktion im strömenden Gas,die das Volumen verändert). In der Elektrodynamik ist das anders, obwohl an-sonsten viele Analogien existieren!


86

14.2. Innere Reibung

... in strömenden Medien

Beispiel: Löffel aus Honig herausziehen n

⇒ Geschwindigkeitsübergang...

von v = 0 (entfernt vom Löffel)auf v = vLöffel (an der Löffel-Oberfläche)

− Es zeigt sich, dass für die Reibungskraft FR gilt

RFdxdv

A~ ⋅

mit: A ... Wechselwirkungsfläche

RFdxdv

A ⋅⋅η= 1 (2)

mit: η ... Viskosität, dynamische Zähigkeit

Rτdxdv

AFR ⋅η== (3)

τR ... Reibungs-Schubspannung; viskose Schubspannung

Maßein-heit:

[η] = 2msN ⋅

SI

Gl. (2), (3) heißen NEWTONsches Gesetz der inneren Reibung.

Beispiele: nSubstanz η in Nsm-2

Glycerin 20°C 1,53H2O 0°C 0,0018

20°C 0,0010100°C 0,0003

(typisch: Abnahme mit steigendem T!)

Luft 0°C 0,00002H2 0°C 0,00001

1 Vorzeichen in Gl. (2) stimmt, da

dxdv

< 0!


87

− Deutung:

Überwindung der Potentialhügel beimGegeneinander-Verschieben der Flüssig-keitsschichten

− Strömungen, deren Verhalten durch die innere Reibung bestimmt ist, d.h., beidenen sich nicht vermischende Schichten des Mediums gegeneinander verscho-ben werden, heißen laminare Strömungen.

!

14.3. Beispiele für laminare Strömungen

14.3.1. Laminare Rohströmung

− Die Flüssigkeit haftet an der Wand undhat in der Mitte des Rohres maximale Ge-schwindigkeit

− Wir betrachten nun einen Flüssigkeitszy-linder um die Rohrachse:

− An der Mantelfläche wirkt die Reibungskraft (mit Gl. (2))

drdv

rl2FR ⋅η⋅π= (4)

â(= AMantel)

− Auf seine Grund- und Deckflächen wirkt die Netto-Druckkraft

)pp(rF 212

p −π= (5)â

(= AGrund/Deck)

Fp treibt die Flüssigkeit voran und überwindet genau FR: Fp = FR.


88

⇒ aus (4), (5) erhalten wir

rl2pp

drdv 21 ⋅

η−

=

und nach Integration

( )22 rRl4

p)r(v −

η∆

= (6)

Dies ist ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil v(r) = A - B r2, wie in derSkizze schon gezeigt.

− Interessant ist die Durchflussmenge V&(Volumen/Zeit) bei gegebenen ∆p, η, R.Wir betrachten einen Hohlzylinder mitder Dicke dr:

Der Volumenstrom im Querschnitts-Flächenelement dA ist

(dz dA = dV!)á

drr2)r(vdAdtdz

dtdV

Element.Fl

π⋅=⋅=−

Gesamt-Volumenstrom im Rohr durch Integration über alle Flächen-Elemente:

drr2)r(vVR

0

π⋅= ∫&

mit v(r) lt. Gl. (6) folgt

4Rpl8

V ⋅∆⋅ηπ

=& (7)

Dies ist das HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz.

Kommentar: uRadius geht mit 4. Potenz ein!

IRU

=Gl. (7) stellt das „OHMscheGesetz für die laminare Roh-strömung“ dar:

V&

πη

∆=

−=

4Rl8

pd)Widerstan(Strömungs

Triebkraft


89

14.3.2. Laminares Umströmen einer Kugel

− An diesem Beispiel soll eine in der Strömungsmechanik häufig verwendete, sehrnützliche Betrachtungsweise erläutert werden: die Unterteilung in einen Nahbereich,in dem das Fluid anhaftet, und den unbeeinflussten Außenbereich der Strömung.

− Experiment: Wir ziehen eine Kugel mit der Geschwindigkeit v durch eine Flüssigkeit.

· Nahe Kugel-Oberfläche ist Strö-mungsgeschwindigkeit = v(Anhaften der Flüssigkeit)

· In einiger Entfernung von der Kugelruht die Flüssigkeit („merkt nichts“)1

⇒rv

drdv

≈ ; Wechselwirkungs-Fläche A = Kugel-OF = 4πr2

Damit ergibt sich für Gl. (2)

rv

r4dxdv

AF 2R ⋅π⋅η=⋅⋅η=

vr4FR ηπ−=

Die ungleich schwierigere korrekte Herleitung lieferte

vr6FR ηπ−= (3 - 19)

14.4. Turbulente Strömungen, Ähnlichkeit, Strömungsgrenzschicht

− Experiment zeigt: Bei bestimmter Geschwindigkeit bricht laminare Strömungzusammen: Wirbelbildung; Nichtlinearität, chaotisches Verhalten = Turbulenz !

− Es zeigt sich, dass vkrit in Abhängigkeit von

· ρ ... Dichte

· η ... Viskosität

· l ... Abmessung (z.B. Kugel-Durchmesser)

unterschiedliche Werte annehmen kann

− also: entscheidend ist nicht v, sondern eine Größe Re !η

⋅⋅ρ≡

lvRe (8)

Re... REYNOLDsche Zahl 1Die hier betrachete "r-Umgebung" ist nicht identisch mit der Grenzschichtdicke in <14.4>.


90

l ist eine typische Abmessung des strömenden Systems.

Re ist dimensionslos:

Maß-einheit:

1kg

sm1m

sm

mkg

[Re]3

=⋅

⋅⋅⋅= SI

Re hat die physikalische Bedeutung des Quotienten aus kinetischer Energie undReibungsenergie.

− Bei einem bestimmten Re schlägt die Strömung um. Der Übergang ist jedochnicht scharf, sondern ein Bereich (z.B. Re = 1000 - 2000)1 !Gründe:· Einfluss der Oberflächen-Rauheit, u.ä.· Strömung kann „instabil-laminar“ sein (gewisse Analogie zur unterkühlten

Flüssigkeit)

− Strömungen mit gleicher Re sind ähnlich → Modellierung im Wind- oderStrömungskanal !kleines l (Schiffsmodell) ⇒ Anpassung von v sowie gegebenenfalls ρ, η damitgleiches Re herauskommt.

− Strömungsgrenzschicht: Fluid haftet an umströmten Oberflächen (Kugel,Rohrwandung), d.h. v = 0, und gleicht sich dann allmählich an die in einigerEntfernung herrschende „ungestörte Strömung“ an.

Beispiel: n

⋅ Fluid an einer Wand

⋅ Herausziehen einer Platte ausruhendem Fluid

Die beiden dargestellten Fälle sind völlig analog!

1 Deswegen ist die Frage „Was ist die typische Länge bei einer bestimmten unregelmäßigen

Form?“ auch nicht so kritisch!


91

− Übergangsbereich wird durch Grenzschicht definierter Dicke D mit linearemGeschwindigkeitsübergang angenähert (s. Abbildung zur bewegten Platte):

)x(v

−⋅=

Dx

1v0 für x < D

0= für x ≥ D

(9)

Mit Gl. (9) vereinfacht sich das NEWTONsche Reibungsgesetz (Gl. (2)) zu

Dv

AF 0R ⋅⋅η−= (10)

â

(= - dxdv

)

Um die Platte herauszuziehen, muss stetig eine Kraft F = - FR aufgewandt wer-den. Diese führt lt. Gl. (3 - 6) zu einem Impulsübertrag an das Fluid:

dtdp

F = (3 - 6)

⇒ Wenn F = - FR die Zeit ∆t lang wirkt, wird übertragen:

( ltv0 =∆⋅ ... herausgezogene Länge)á

tDv

AtFtFp 0R ∆⋅⋅⋅η+=∆⋅−=∆⋅=∆ (11)

∆p findet sich im Fluid wieder, das - in seinen einzelnen Schichtenunterschiedlich – beschleunigt wurde: Aufintegration des im Fluidsteckenden Impulses:

∫ ⋅=∆D

0

dm)x(vp dxAdVdm ⋅⋅ρ=⋅ρ=

∫⋅⋅ρ=∆D

0

dx)x(vAp

−⋅=

Dx

1v)x(v 0 lt. Gl. (9)

∫

−⋅⋅⋅ρ=∆

D

00 dx

Dx

1vAp

2D

vAp 0 ⋅⋅⋅ρ=∆ (12)


92

Wegen der Impulserhaltung müssen (11) und (12) gleich sein

⇒2D

vADl

A 0 ⋅⋅⋅ρ=⋅⋅η

mit0vl2

Dρ

η= (13)

D ist die Dicke der (PRANDTLschen) Strömungsgrenzschicht.

Kommentar: u

· Gl. (13) ist eine Näherung, gibt die Tendenz der Abhängigkeit von η, l, ρ, v0.· l hat die Bedeutung einer charakteristischen Länge.· Die Annahme, dass v(x) linear ist, gilt natürlich besonders für D << l, wenn

„das Fluid nur eine große ebene Wand sieht“:

0vl2

Dρ

η= << l | [ ]2

0vl2

ρη

<< 2l |η

ρ⋅ 0v

2 << Relv0 =

ηρ

≡ (8)

Also: Die Näherung des linearen v(x)-Verlaufs gilt für große Re, wo unter Um-ständen bereits Turbulenz auftritt.

− Bedeutung der Strömungsgrenzschicht

a) als Modell:

b) physikalisch: Durch das „Anhaften“ der Strömung wird der Transport be-einflusst: Feuchtigkeit, Wärme usw. müssen durch D hin-durch diffundieren; die Möglichkeiten des zwangsweisen An-oder Abtransports enden am Grenzschichtrand.Jedoch: großes v0 ⇒ kleines D ⇒ Transport erleichtert!

14.5. Reibungsfreies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung

− Wir betrachten jetzt ein reibungsfreies Fluid, d. h. eine existierende Druckdiffe-renz (p1 ≠ p2 ) wird nicht zur Aufrechterhaltung der Strömung benötigt.


93

− Das Rohr weise eine Verengung auf:

Wegen der Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung (Gl. (1)) ist

.constvAvAtV

V 2211 =⋅=⋅=∆∆

=& (1‘)

⇒ Im Beispiel lt. Abbildung nimmt v zu!

Ebenfalls verändert sich an der Verengung der Druck von p1 auf p2:

Druckarbeit links: VpxApW 11111 ∆⋅=∆⋅=∆â

(= F1)

Druckarbeit rechts: VpxApW 22222 ∆⋅=∆⋅=∆â

(= F2)

∆W1 wird zum Teil verwendet, den Druck p2 zu überwinden, also W2 zu leisten.Der Rest (= ∆W1

- ∆W2) wird zur Beschleunigung des Fluids aufgewendet:

)vv(V21

V)pp(WW 21

222121 −⋅∆⋅ρ⋅=∆⋅−=∆−∆ (14)

â(= ∆m)

nach Umstellung folgt

221

211 v

2p v

2p

ρ+=

ρ+

verallgemeinert

.constp v2

p ges2 ==

ρ+ (15)

Dies ist die BERNOULLIsche Gleichung.


94

2 v2ρ

hat die Dimension eines Druckes1 und heißt Staudruck. p heißt statischer Druck.

Kommentar: u

· Für v = 0 ist p = pges, der (maximale) statische Druck. Mit zunehmendem vsinkt p.

· Bei p = 0 („druckloser Ausfluss“) wird der Staudruck maximal. Wird v re-duziert, baut sich wieder zunehmender p auf.

− Bisher betrachtet: Waagerechte Strömung, d.h. potentielle Energie im Erd-schwerefeld war konstant. Wenn wir unterschiedliche Höheneinbeziehen wollen, müssen wir noch den Schweredruck2

ρgh berücksichtigen und erhalten:

.constphg v2

p ges2 ==⋅⋅ρ+

ρ+ (16)

Dies ist die verallgemeinerte BERNOULLIsche Gleichung.

− Die BERNOULLIsche Gleichung ist der Energiesatz (bezogen auf das Volumen)für das Fluid. Diesbezügliche Bedeutung der einzelnen Glieder: !

hgVm

gh ⋅⋅=ρV

Epot= (Schweredruck)

22 v2V

mv

2=

ρV

E kin= (Staudruck)

pV

xAp ⋅

⋅=

VtDruckarbei

= (statischer Druck)

− Beispiele zur BERNOULLIschen Gleichung

· hydrodynamisches Paradoxon· Bunsenbrenner· Wasserstrahlpumpe· Zerstäuber

"v ↑ ⇒ p ↓"

· Kavitation: Wir betrachten Gl. (15) und formen um

⇒ρ

= gesp2v entspricht p = 0

ρ> gesp2

v entspricht einem statischen Druck p < 0!

1

FlächeKraft

mN

m1

sm

kgsm

mkg

2222

2

2→=⋅⋅=⋅ !

2 Dimension von hg ⋅⋅ρ : FlächeKraft

mN

m1

sm

kgsm

mkg

22223→=⋅⋅=⋅ !


95

Dies unter Umständen leicht erreicht, z.B. bei H2O für v ≥ 14m s-1

⇒ Bildung von Dampf-/Gasbläschen (z.B. verdampfte Flüssigkeit)die bei Reduzierung von v implosionsartig zusammenbrechen

⇒ Druckwellen → Materialzerstörung (Kavitation)

· Dynamischer Auftrieb:

Infolge der Anfahrtswirbel ent-steht Tragflächenumströmung:

vo > vu ⇒ po < pu ⇒ Auftrieb

14.6. Strömungswiderstand

− ... kann über die BERNOULLIsche Gleichung verstanden werden:

a) langsame Strömung ⇒ völlig symmetrisches Bild

v-Verteilung vor und hinter der Kugelgleich ⇒ keine resultierende Kraft

b) schnelle Strömung ⇒ Bildung von Wirbeln hinter dem Hindernis:

v hinter der Kugel erhöht (Die „unre-gelmäßige Richtung“ von v spielt keineRolle, die BERNOULLIsche Gleichung isteine Energieangelegenheit!)

⇒ statischer Druck p hinter der Kugelist reduziert

⇒ Kraft, die die Kugel mitreißen will

− Diese „Druckwiderstandskraft“ ist dem Staudruck proportional.

(= Staudruck)á

Av21

cF 2w ⋅ρ⋅= (17)

A ... Querschnittsflächecw... Widerstandsbeiwert

Kommentar: u

· Wir sind wieder ein mal am Rand der Gültigkeit des Modells. Die Initiie-rung des Wirbelfeldes setzt natürlich Reibung voraus, wenn auch dann dieArgumentation wieder auf der BERNOULLIschen Gleichung beruht.


96

· Deutung: Staudruckabhängigkeit (Staudruck korreliert mit Ekin, s.o.) des-halb, weil infolge Wirbelbildung diese Ekin der Kugel „nur von vorn, nichtauch von hinten“ zugeführt wird ⇒ resultierende Kraft!

− cw ist abhängig von der Körperform. Beispiele (Strömung von links):

1,35 !

1,12

0,40

0,056

(PKW 0,25 ... 0,50)

Mechanik – Schwingungen II

97

15. Schwingungen II

− vgl. hierzu auch <6.1.> Federschwinger

15.1. 2D-Überlagerung von Schwingungen

− Wir wissen, dass die Gesetze der Mechanik für jede Dimension einzeln geltenund sich die Bewegungen dann überlagern.

− Beispiel: 2 Schwingungen mit ωx = ωy n

· ohne Phasenverschiebung (Kurve a):

in x-Richtung: )t(x tsinA ω⋅=in y-Richtung: )t(y tsinA ω⋅=

· mit Phasenverschiebung 2π

(Kurve b):

in x-Richtung: )t(x ( )2tsinA π+ω⋅=tcosA ω⋅=

in y-Richtung: )t(y tsinA ω⋅=

· mit beliebiger Phasenverschiebung: ⇒ alle Übergänge Linie → Ellipse → Kreis

− Schwingungen nun mit ωx ≠ ωy:

· für rationales mn

y

x =ωω

:

(n, m natürliche Zahlen)

geschlossene Kurven (LISSAJOUS-Figuren) oder insich zurücklaufende Linien (analog der Geradenfür ωx = ωy)

· für irrationales y

x

ωω

: vollständiges Überstreichen der Fläche

15.2. Schwebungen

− Überlagerung zweier gleich gerichteter Schwingungen mit nahezu derselbenFrequenz: !

t)(i2

ti121 eAeA)t(x)t(x)t(x ε+ωω ⋅+⋅=+= (1)

titi21 e)eAA()t(x ωε ⋅⋅+= (2)

âA

⇒ Eine Schwingung mit Frequenz ω und einer zeitlich veränderlichen komplexenAmplitude Â!


98

− Realteil der Schwingung:

)t(xRe)t(x = (3)

− Beispiel: 2 Schwingungen mit gleicher Amplitude bei nahezu gleicher Frequenz n

)t(x1 tcosA ω⋅=)t(x 2 t)cos(A ε+ω⋅=

⇒ )t(x )t(x)t(xt)2(cost)2(cosA2 21 +=ε⋅ε+ω⋅=

− Realisierung: z.B. Überlagerung zweier fast gleich hoher Töne (schlecht ge-stimmtes Instrument)

15.3. Die FOURIER-Analyse

− gegeben: Schwingung = beliebiger zeitlich periodischer Vorgang, d.h. !)Tt(x)t(x +=

T ... Periodendauer

Die Abbildung zeigt den allgemeinen Fall. Nicht alle Schwingungen sind har-monisch! !


99

− FOURIER (1822): Jede zeitlich periodische Funktion mit der Periodenlänge T lässtsich aus harmonischen Schwingungen aufbauen (FOURIER-Reihe). !

)Tt(x)t(x += ; T2

2π

=πν=ω

K+ϕ+ω⋅+ϕ+ω⋅+= )t2(cosx)t(cosxx)t(x 22110

∑∞

=

ϕ+ω=0n

nn )tn(cosx)t(x

(4)

bzw. in komplexer Form:

tin

0nnex)t(x ω

∞

=∑= (4‘)

Beispiel: nGleiche Töne bei unterschiedlichen Musikinstrumenten unterscheiden sich in ihrenObertönen, d.h. den Gliedern der Fourierreihe mit n > 1.


100

15.4. Gekoppelte Schwinger

− z.B. gekoppelte Pendel oder gekoppelte Federschwinger (Luftkissenbahn):

Gegeben sind:2 Federschwinger im entsprechenden Zustand + Verbindungsfederpassender Länge, so dass alle 3 Federn gleichzeitig entspannt sind:

− ohne Verbindungsfeder gilt z.B. für m1:

0xdtd

mxD 12

2

1 =⋅+⋅ (6 - 2‘)

nunmehr noch zusätzliche Federkraft, die von x2 - x1 abhängt1:

*21

* D)xx(F ⋅−= (5)

Wenn x1 = x2 ist, hat die Feder ihre Gleichgewichtslänge und übt keine Kraft aus!

⇒ Differentialgleichungen

für m1: 12

2

21*

1 xdtd

m)xx(DxD ⋅+−⋅+⋅ 0=

für m2: 22

2

12*

2 xdtd

m)xx(DxD ⋅+−⋅+⋅ 0=

(6)

Dies ist ein System von gekoppelten Differentialgleichungen.

− Beschreibung der Lösung: ∃ 2 Fundamentallösungena) beide Federn schwingen parallel, Feder wird

nicht beansprucht (wie beim Einzelpendel!): mD

0 =ω

b) beide Federn schwingen gegeneinander (dieseSchwingung ist schneller, wegen der Zusatzfe-der): m

D2D *

0+

=ω

− Allgemeiner Fall = Linearkombination beider Lösungen („mathematische Aussage“)

1 Vorzeichen: Für x2 < x1 ist x1 - x2 > 0 ⇒ F* wirkt in gleicher Richtung („drückt“) wie F1 bei x1 > 0


101

⇒ Nun sehen wir uns die Physik an:

· ∃ Hin- und Herfluten der Schwingungsenergie! → Schwebung· Dies beeinflusst von der Stärke der Kopplung, d.h. D* >

< D

Für verschwindende Kopplung erhält man eine Lösung, die <15.2.> ent-spricht. (Dort hatten wir ja die Überlagerung zweier unabhängiger Schwin-gungen betrachtet!)

15.5. Erzwungene Schwingungen

− Die Differentialgleichung für den freien gedämpften Schwinger lautete:

0xmxkxD =⋅+⋅+⋅ &&& (6 -16‘)å â æ

Feder-1 Reibungs- Trägheitskraft

− Jetzt versuchen wir, diesen Schwinger durch eine periodische äußere Kraft Fzum Schwingen anzuregen:

tcosFF 0 ω⋅= (7)

⇒ damit folgt für Gl. (6 - 16‘):

tcosFxmxkxD 0 ω⋅=⋅+⋅+⋅ &&& (8)

− Man könnte vermuten, dass das System bestrebt ist, mit der Frequenz ωGS desgedämpften Schwingers zu schwingen:

2

GS m2k

mD

−=ω (6 - 22)

− Erfahrung zeigt jedoch: nach gewisser Zeit (Einschwingzeit) erfolgt Schwingunggemäß:

)t(cosxx 0 α−ω⋅= (9)

Also: Mit Anregungsfrequenz ω, aber gegenüber F um α pasenverschoben.

− (9) in (8) liefert:

tcosF)t(cosxm)t(sinxk)t(cosDx 002

00 ω=α−ωω−α−ωω−α−ω (10)

1 allgemein: Rückstellkraft


102

− Betrachtung von Gl. (10): |sin| und |cos| sind stets ≤ 1 ⇒ welche Glieder von Be-deutung sind, wird durch die Vorfaktoren entschieden.

a) ω << mD

. Für diesen Fall folgt aus Gl. (10):

tcosF)t(cosDx 00 ω=α−ω

⇒DF

x 00 = ; 0=α

b) ω >> mD

. Für diesen Fall folgt aus Gl. (10):

tcosF)t(cosxm 002 ω=α−ωω−

⇒ 20

0m

Fx

ω= ; π=α (weil tcos)t(cos ω−=α−ω ist)

c) Wir betrachten 2π

=α . Für diesen Fall ist:

x&

π

−ωω−=2

tsinx 0

tcosx0 ωω+=F~ !

Also: x& und F sind in Phase ⇒ maximaler Energieeintrag!

Leistung: Arbeit/Zeit

xFdtdxF

dtdA

P &⋅=⋅

== (11)

[P] sJ

= ≡ W ... Watt SI


103

Die äußere Kraft leistet:

xFPa &⋅= F tcosF0 ω⋅=x& tcosx0 ωω=

⇒ tcosxFP 200a ωω= (12)

Die Reibungskraft verbraucht an Leistung:

RP xFR &⋅=

mit der Beziehung

FR xk&=

folgt

RP tcosxk 220

2 ωω= (13)

Für Pa = PR folgt aus (12) und (13):

20

200 xkxF ω=ω

⇒ω

=

π

=αkF

2x 0

0 (14)

Für diesen Fall sind das Reibungsglied und das Glied der äußeren Kraft inGl. (10) einander gleich, d.h., das Trägheits- und Rückstellglied müssen sichzu Null ergänzen. Aus Gl. (10) folgt dann:

02

tcosxm2

tcosDx!

02

0 =

π

−ωω−

π

−ω

⇒ 0mD

2ω==

π

=αω (Frequenz des ungedämpften Schwingers!) (15)

Also war auch das ω in Gl. (14) identisch mit ω0

⇒0

00 k

F2

xω

=

π

=α (14‘)

Diskussion: u

· Für ω = ω0 ist 2π

=α ⇒ maximaler Energieeintrag, maximales x0(ω)

· Dieses maximale x0 steigt mit verringerter Dämpfung → Resonanzkata-strophe!

Mechanik – Wellen

104

16. Wellen

16.1. Einleitung

· gekoppelte Pendelreihe n· Wellenmaschine

− Beispiele:

· Seilwelle (hin und her)

− Was passiert? · Das schwingende Medium/Teilchen bewegt sich nicht fort,sondern schwingt um eine Ruhelage.

· Was sich fortbewegt/ausbreitet, ist der Schwingungszu-stand.

!

⇒ experimentelles Modell:

⇒ Welle = räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes !− Welle in x-Richtung:

vPh = Geschwindigkeit derBewegung der Wellen-berge, -täler usw.

− Wie drückt man das mathematisch aus? Offenbar ist

y )t,x(f=

und zwar genauer

)t,x(y )tvx(f Ph ⋅−= (1)vPh ...Phasengeschwindigkeit, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle


1. Momentaufnahme bei t = 0:

2. Zustand zum Zeitpunkt t = t1:

Also: Für jeden Punkt x ist y jetztso, „wie vorher um vPh t1

weiter links“!

Mechanik – Wellen

105

Der Schwingungszustand y(x, t) ist also nicht von x und t einzeln abhängig, sondernvon der Kombination x - vPh t. Dies ist die Phase der Welle, sie bestimmt y eindeutig. !(Eigentlich ist dies einfach Ausdruck der Tatsache, dass sich der Schwingungs-zustand mit vPh bewegt und dabei nicht verändert.)

− Gl. (1) beschreibt eine Welle allgemein. Diese können auch nichtperiodischeWellen sein (z. B. Seilwelle, Stoßwelle)! !

− Die größte Bedeutung haben harmoni-sche Wellen (sin, cos), auf die wir unsim Folgenden konzentrieren:

− vPh für eine harmonische Welle ist

ν⋅λ=λ

=T

vPh πν=ω 2

ω⋅π

λ=

2vPh (2)

Man definiert die Wellenzahl k

λπ

=2

k (3)

(3) in (2) liefert somit

kvPh

ω= (4)

− Wie gleich plausibel gemacht wird, lautet die Wellenfunktion für eine harmoni-sche Welle in x-Richtung

)kxt(siny)t,x(y 0 −ω= (5)

Plausibilitätserklärung:· Offenbar ist der Schwingungszustand eindeutig festgelegt durch kxt −ω .· Dann muss das aber auch der Fall sein für

)kxt(k1

−ω⋅− tk

x ⋅ω

−=

tvx Ph ⋅−=

⇒ Das Argument der Sinusfunktion (Gl. (5)) drückt dasselbe Wechselspielzwischen räumlicher und zeitlicher Bewegung aus wie Gl. (1)!

Mechanik – Wellen

106

16.2. Wellengleichungen

− Wie sieht die Differentialgleichung aus, der eine Welle gehorcht?Im eindimensionalen Fall, also für y = f(x, t), lautet sie:

2

22Ph2

2

xy

vty

∂∂

⋅=∂∂ (6)

Dies ist die d’ALEMBERTsche Wellengleichung.

− Diese Gleichung wird von jeder Funktion y = f(x ± vPh t), also von jeder allge-meinen Wellenfunktion nach Gl. (1) erfüllt, nicht nur von Funktionen lt. Gl. (5)für harmonische Wellen!

− Andeutung des Beweises:

t)tvx(f Ph

∂⋅±∂

t)tvx(

)tvx()tvx(f Ph

Ph

Ph

∂⋅±∂

⋅⋅±∂⋅±∂

=

)v()tvx()tvx(f

PhPh

Ph ±⋅⋅±∂⋅±∂

= (7)

x)tvx(f Ph

∂⋅±∂

x)tvx(

)tvx()tvx(f Ph

Ph

Ph

∂⋅±∂

⋅⋅±∂⋅±∂

= (8)

â= 1

aus (7) und (8) folgt somit

xf

vtf

Ph ∂∂

⋅±=∂∂

(9)

Leitet man Gl. (9) auf beiden Seiten noch einmal ab, erhält man Gl. (6).

16.3. Arten von Wellen

– Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung→ Transversalwellen (z. B. bestimmte ela-stische Wellen in Festkörpern; elektroma-gnetische Wellen)

– Schwingung längs zur Ausbreitungsrichtung→ Longitudinalwellen (z. B. bestimmteelastische Wellen in Festkörpern; Schall-wellen in Gasen und Flüssigkeiten)

− Transversalwellen: Die Formulierung „Schwingung ⊥ Ausbreitungsrichtung“ istnicht eindeutig! !

Mechanik – Wellen

107

Entscheidend ist die Lage der Schwingungsrichtung/-ebene:· konstante Lage ⇒ linear polarisierte Welle· gleichmäßige Drehung ⇒ zirkular (elliptisch) polarisierte Welle· ansonsten: nicht polarisierte Wellen

− Wellen sind eine sehr allgemeine Erscheinung (definiert über Gl. (1), (6)):Seilwellen, Wellen in Membranen, .... Meist jedoch betrachtet: Wellen im Vo-lumen (Festkörper, Gas, Flüssigkeit, Vakuum).Physikalische Natur der Wellen kann verschieden sein: elastische Wellen,Schallwellen, elektromagnetische Wellen, ...

− Oberflächenwellen in Flüssigkei-ten:· Teilchen bleiben praktisch

am Ort, was sich bewegt,ist der Bewegungszustand(also wie bei allen Wellen!)

· Wasserteilchen führen krei-sende Bewegung aus

Im Prinzip sehr komplexe Erschei-nung, da beeinflusst von

· der Wassertiefe,· dem Wind,· der Oberflächenspannung!

Oben: Teilchengeschwindigkeiten in der Wasser-welle, die der mitfahrende Beobachter fest-stellt.

Mitte: Teilchengeschwindigkeiten, die der ruhendeBeobachter in seinem System konstruiert.

Unten:Orbitalbewegung der Teilchen an der Ober-fläche. (2, S. 184)

− Unterteilung der Wellen nach der Geometrie ihrer Ausbreitung(geometrischer Ort der Punkte gleicher Phase = Wellenfront):· ebene Welle· Zylinderwelle/Kreiswelle· Kugelwelle

16.4. Wellenausbreitung in verschiedenen Medien

16.4.1. elastische Longitudinalwelle im Festkörper

− Elastische Welle ist ein ständiges Wechselspiel von Dehnung (Auslenkung) undSpannung.

Koordinate: xAuslenkung: ξ = ξ(x)

Mechanik – Wellen

108

Wenn sich zwischen x und x + dx die Auslenkung ändert (d.h. ξ + dξ), heißt das,dass dort eine elastische Spannung herrscht:

xE

∂ξ∂

⋅=σ (10)

â≡ ε (vgl. <11.1.>)

− Wir betrachten ein Volumenelement im Festkörper:

Hinweis: Wir kümmern uns nichtum Querkontraktion, betrachtenalso eine sogenannte ebene Welle,die „unendlich breit ist“.

dxx

)x()dxx( ⋅∂σ∂

+σ=+σ (11)

Auf das Volumenelement dV = A dx wirkt nur die Differenz der Spannungenbzw. Kräfte!

also: links wirkt lF A)x( ⋅σ=

rechts wirkt rF Adxx

A)x(A)dxx( ⋅⋅∂σ∂

+⋅σ=⋅+σ= (11‘)

Die wirksame Nettokraft ist:

Adxx

dF ⋅⋅∂σ∂

=

â= dV

bzw. mit Gl. (10)

dVx

EdF2

2

⋅∂

ξ∂⋅= (12)

Die Kraft führt zu einer Beschleunigung der in dV verkörperten Masse dm = ρ dV:

2

2

tdmdF

∂ξ∂

⋅= (3 - 2‘)

bzw. dVt

dF2

2

⋅∂

ξ∂⋅ρ= (13)

Mechanik – Wellen

109

− Gleichsetzung von (12) und (13):

⇒ 2

2

2

2

xE

t ∂ξ∂

⋅ρ

=∂

ξ∂(14)

Dies ist der hier gültige Sonderfall von Gl. (6)!

− Vergleich mit Gl. (6) liefert:

⇒ρ

=E

vPh (15)

mit: vPh ... Geschwindigkeit der longitudinalen Schallwelle im Festkörper

also: Großes E / kleines ρ bedeutet große Schallgeschwindigkeit! !16.4.2. elastische Transversalwelle im Festkörper

− Herleitung völlig analog zu <16.4.1.>, aber wegen Querdeformation ist G stattE zu verwenden:

⇒ρ

=G

vPh (16)

16.4.3. Schallwelle in Gasen (oder Flüssigkeiten)

− ... ist stets longitudinal ("Schermodul G = 0“) !− Hier wiederum (weitgehend) analoge Herleitung, wobei anstelle von E der

Kompressionsmodul K zu verwenden ist. Man erhält:

⇒ρ⋅κ

=ρ

=1K

vPh (17)

− Aus Gl. (13 - 2) wissen wir, dass für Gase K = p ist (je größer p, desto schwerer istGas komprimierbar). Nur für Gase (und nicht für Flüssigkeiten!) gilt deswegen1:

⇒ρ

=p

vPh (17‘)

1 Das Problem der adiabatischen Zustandsänderung bei Gasen wird hier zunächst vernachlässigt (Gl.

(17‘) liefert eigentlich für v ≥ 1 kHz um einen Faktor 57 zu geringe Werte, vgl. <20.4.>).

Mechanik – Wellen

110

− Beispiele: n

Material vPh (longitudinal)H2 (0°C) 1284 m s-1 æLuft (0°C) 332 m s-1 ä ( 4,14 332 = 1260!)

Wasser (0°C) 1402 m s-1 (4facher Wert von Luft!)

Al (20°C) 6420 m s-1 (ρ =2,7 g cm-3)Ti (20°C) 6070 m s-1 (ρ =4,5 g cm-3 ∧ größeres E)Pb (20°C) 1960 m s-1 (ρ =11,3 g cm-3 ∧ geringes E)

Diamant ≈17000 m s-1 Spitzenwert!

16.5. Überlagerung von Wellen; Gruppengeschwindigkeit

− Wellen überlagern sich ungestört (ungestörte Superposition). Mathematisch„steckt das in der Linearität der d’ALEMBERTschen Wellengleichung (Gl. (6))“:

y1(t) ist Lösungy2(t) ist Lösung

→ (6)Gl.vonLinearität y1(t) + y2(t) ist auch Lösung!

− Voraussetzung: Auslenkung gering genug, damit die physikalischen Vorausset-zungen noch stimmen, z.B. σ ~ ε (Gl. (10)), also HOOKEsches Verhalten, o.ä.1

− Wellen können sich beim Überlagern verstärken oder schwächen (gegebenen-falls auslöschen).

Beispiele: n

· Chladnische Klangfiguren· Rubenssches Flammenrohr· Kundtsches Rohr

− Stehende Wellen: Überlagerung hin- und herlaufender Wellen so, dass sich derSchwingungszustand gar nicht mehr räumlich ausbreitet2. !

Wenn man aber - auch bei einer transversalen stehenden Welle - „etwas dazwi-schenschiebt“, bricht die Welle ab. Es ist eben doch ein Hin und her, wenn auch einsehr spezielles!

Stehende Wellen haben große Beduetung: Akustik, Laser, Quantenmechanik ...

1 berühmte Ausnahme: Wechselwirkung sehr intensiver Laserstrahlung mit Materie2 Die stehenden Wellen sind spezielle Lösungen der Wellengleichung unter gegebenen Randbedin-

gungen

Mechanik – Wellen

111

− Gruppengeschwindigkeit:

Eine harmonische Welle (ein ω!) überträgt kein Signal. !

Ein Signal, z.B. ein Licht- oder Funkimpuls, ist aus vielen harmonischen Wellenaufgebaut vorstellbar (FOURIER-Reihe!)

!

− Beispiel (Modell): Überlagerung nur zweier harmonischer Wellen n

a) ω; kb) ω + ∆ω; k + ∆k

Sie überlagern sich konstruktiv, wenn ihre Phasen übereinstimmen, d.h. für

tkx ω− t)(x)kk( ⋅ω∆+ω−⋅∆+= (18)ttkxkx ω∆−ω−∆+=

⇒ tkx!

ω∆=∆ (19)

Die Erfüllung der Bedingung (19) sichert also die Bildung und Erhaltung einerArt „Mini-Impuls“:

· bei t = 0 gilt dies für x 0=

· bei t = t1 gilt dies für x1kt1

∆ω∆

=

⇒ Die Wellengruppe („Mini-Impuls“) bewegt sich also mit

dkd

ktx

v1

1 ω→

∆ω∆

==

− Dies ist die Gruppengeschwindigkeit:

dkd

vGrω

= (20)

− Wir hatten bereits kennengelernt

kvPh

ω= , also Phvk ⋅=ω (4), (4‘)

− Wenn vPh für alle Wellenlängen (d.h. alle k) bzw. für alle Frequenzen den glei-chen Wert hat, liefert Gl. (4‘)

Mechanik – Wellen

112

PhPh

Gr vdk

)vk(ddkd

v =⋅

=ω

= (21)

Dann sind also vGr und vPh gleich!

Beispiele dafür sind: n

· elektromagnetische Wellen im Vakuum· Schall in Luft

− Oft ist aber vPh = f(ω) bzw. f(k), d.h. ω ~ k (Gl. (4‘)) gilt nicht mehr!

⇒ ∃ Dispersion!

Wellenpakete (Impulse) zerfließen / „dispergieren“, da jede harmonischeElementarwelle ihre eigene Geschwindigkeit hat. !

Beispiele für Dispersion: n

· Licht in Glas ⇒ vPh = f(ω), d.h. die Lichtgeschwindigkeit hängt von der Farbe ab!

· Schall im Festkörper (Eis) ⇒ hohe Töne laufen schneller ("Piúh")

Mechanik – Wellenausbreitung

113

17. Wellenausbreitung

Im Folgenden werden einige allgemeine Prinzipien / Beschreibungsmöglichkeiten /Verhaltensweisen / Eigenschaften von Wellen behandelt. Sie gelten für alle Wellen.Bei konkreten Wellen (z.B. Schall, Licht, Funkwellen, ...) treten allerdings be-stimmte dieser Erscheinungen in unterschiedlicher Weise in den Vordergrund. Dort1

werden sie gegebenenfalls auch noch vertieft.

17.1. Streuung

− ... ist die Wechselwirkung einer Welle mit einem Hindernis. Sehr vielfältig! !· Lichtwelle an einem Staubkorn in der Luft· elastische Welle im Festkörper an einem Hohlraum (Luftblase) im Festkörper· Schallwelle an einem Hindernis („Kind hinter einem Baum“)· Wasserwelle am Pfahl im Wasser

− kleines Hindernis,a << λ:

⇒ Kugel-Streuwelle

(liefert Information überExistenz des Hindernisses,nicht über seine Form)

− Hier also: Hindernis als Streuzentrum; gestreute Welle hat feste Phasenbezie-hung mit der Primärwelle → kohärente Streuung

− Gegensatz: Hindernis gibt Wellenenergie verzögert ab ⇒ konstante Phasenbe-ziehung geht verloren → inkohärente Streuung

17.2. Das HUYGENSsche Prinzip(HUYGENS-FRESNELsches Prinzip)

− Man kann Wellenausbreitung sehr gut verstehen, wenn man sich vorstellt, dassjeder Punkt, der von einer Welle getroffen wird, wieder zum Ausgangspunkt einerKugel- (3D) oder Kreiswelle (2D) wird.

!

− Dies ist trivial für ungestörte Wellenaus-breitung, z.B. ebene Welle:

− Interessant und lehrreich wird es, wenn Hindernisse auftreten: 1 d.h. an entsprechender Stelle im Rahmen der Vorlesung


114

− Reflexion:

⇒ Einfallswinkel = Ausfallswinkel

− Übergang in ein Medium mitanderer Ausbreitungsge-schwindigkeit (Phasenge-schwindigkeit):

1,PhvT

1λ=

2,PhvT

2λ=

⇒2,Ph

1,Ph

v

v

AB

AB2

1

λ

λ

=ABAB

⋅

AB1λ

α= sin

AB2λ

β= sin

⇒2,Ph

1,Ph

v

v

βα

=sinsin

(1)

Dies ist das aus der Optik bekannte Brechungsgesetz, das für alle Wellen gilt!

17.3. Das FERMATsche Prinzip

− Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten immer so, dass sie dazu möglichst we-nig Zeit braucht. !

− Sehr allgemeines Prinzip! Reflexions- und Brechungsgesetz sind Sonderfälle davon.

A → P → B ist kürzester Weg, weilA‘ → P → B auf einer Gerade liegen.

Jedes A → Q → B wäre länger,weil A‘ → Q → B länger ist!


Weg lt. Brechungsgesetz nutzt diehöhere Phasengeschwindigkeitbestmöglich aus.


115

− Beispiel: geologische Untersuchung n

Kommentar: u

Jede der drei Wellen folgt für sich dem FERMATschen Prinzip:

a) die direkte Welle, die sich geradlinig ausbreitet,b) die Mintrop-Welle, die die schnellste nicht-direkte Welle ist,c) die sogenannte regulär reflektierte Welle, die existiert, weil an der Grenzflä-

che A ↔ B nicht alle Intensität durchgehen darf und die („für sich opti-miert“) dem Reflexionsgesetz folgt.

− Woher wissen die Wellen den kürzesten Weg?

Dies ist nicht leicht vorstellbar. Oft ist es zu erklären mit dem Argument, dassdie nicht optimalen Wellen destruktiv interferieren und sich auslöschen.

17.4. Beugung

− ... ist die Eigenschaft von Wellen, in gewissem Maße hinter Hindernisse gelan-gen zu können. !

− Nur Hindernisse a >> λ werfen scharfen Schatten. !Beispiel: n

→ Man kann eine Person hinter einem Baum hören (a), aber nicht sehen (b):a) Schallwellen (Beispiel Kammerton a): 440 Hz ∧ 330 m s-1

⇒ λ = s

sm440330 ⋅

= 0,75 m

b) Wellenlängenbereich für sichtbares Licht:⇒ λ = 400 ... 700 nm.

− allgemeine Deutung der Beugungmit HUYGENSschem Prinzip:


116

− etwas anspruchsvollere Erklärung über die Überlagerung von Wellen:

Der Gangunterschied der Wellenrechts und links vom Spalt beträgt:

α⋅≈α⋅ dsind

Die Wellen löschen sich gegenseitigaus, wenn α so groß wird, dass gilt:

2d

λ=α⋅

⇒dd2Grenzλ

→λ

=α 1

Die Breite x des „Eindringbereiches“ beträgt:

α⋅≈α⋅= DtanDx

⇒d

Dxλ

⋅= ∧ x ≈ d (Näherung)

⇒ λ⋅= Dx (2)

Beispiel: n

Hindernisbreite 0,5 m (Baum) ∧ Abstand 0,5 m· Kammerton a: x = 0,61 m ⇒ Wellenfront "längst wieder geschlossen"· Licht (0,5 µm): x = 0,5 mm = typische Unschärfe eines Schattens

17.5. DOPPLER-Effekt; MACHsche Wellen

− Wellenerzeuger bewegt sich mit Geschwindigkeit v relativ zum Medium. !⇒ Welle läuft um vPh T

Quelle läuft um v T

während der Periodendauer T

⇒ λ verringert sich von: λ TvPh ⋅=auf: λ′ T)vv( Ph ⋅−= (3)

⇒ ν erhöht sich auf:

ν⋅−

=⋅−

=λ′

=ν′

Ph

Ph

PhPh

vv

1

1T)vv(

vv(4)

1 Bei Beachtung weiterer Einflüsse ist diese Annahme „sicherer“.


117

− Wenn sich Wellenerzeuger vom Beobachter wegbewegt, sinkt ν auf:

ν⋅+

=ν′

Phvv

1

1(5)

Die Frequenzverschiebung lt. Gl. (4) bzw. (5) heißt DOPPLER-Effekt.

⇒ Geschwindigkeitsschätzung anhand Tonumschlags möglich! (Feuerwehr, Hupe)

− Kommentar: u

· Gl. (3), (4) und (5) betreffen die Bewegung der Quelle relativ zum Mediumund zum (im Medium ruhenden) Beobachter.

· Eine relativ zum Medium ruhende Quelle beibewegtem Beobachter führt (bei einer Bewegungauf die Quelle zu (+) bzw. von ihr weg (-)) auf:

ν⋅

±=ν′

Phvv

1 (4‘)

· Bei Lichtwellen gibt es ein solches Medium nicht und die Formeln Gl. (4)und Gl. (4‘) verschmelzen!

− MACHsche Wellen:

Für v ≤ vPh wird die Wellevor Quelle mehr oder weni-ger zusammengedrängt:

Für v > vPh "türmen“ sichdie Wellenfronten zumÜberschallkegel auf:

Für den Öffnungswinkel αdes Kegels gilt:

M1

vv

sin Ph ==α (6)

M ... MACHzahl

Die Machzahl gibt an, wieviel Mal v größer als die Schallgeschwindigkeit vPh

(Phasengeschwindigkeit des Schalls) ist. !Der Überschallknall ist das Überstreichen des Ortes des Beobachters durch denKegel, kein einmaliges „Durchstoßen der Schallmauer“! !


118

17.6. Intensität einer Welle

− Wir betrachten nun die von der Welle (pro Zeit- und Flächeneinheit) transpor-tierte Energie, d.h. die Energiestromdichte bzw. Intensität der Welle.

− Die Betrachtung erfolgt am Beispiel elastischer Wellen, gilt aber praktisch all-gemein.

− Es findet ein ständiges hin und her von Ekin und Epot statt (analog <6.1.>):

Grenzzustände:

1. 0ξ=ξ (Auslenkung maximal)⇒ 0v =≡ξ&

Eges = Epot, Ekin = 0

2. 0v=ξ (Geschwindigkeit maximal)also 0=ξ (Nulldurchgang)

Eges = Ekin, Epot = 0

Die hier verwendete Geschwindigkeit v ≡ ξ& ist die sogenannte Schallschnelle, dieGeschwindigkeit des Schwingens. Sie darf nicht mit der Ausbreitungsgeschwin-digkeit des Schwingungszustandes, d.h. der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wel-le, verwechselt werden.

− Da Eges sowieso konstant ist, nehmen wir Grenzfall 2 für die Ermittlung der Ge-samtenergie ∆W eines Volumenelementes ∆V mit der Masse ∆m:

W∆ 20vm

21

⋅∆= Vm ∆⋅ρ=∆

20vV

21

⋅∆ρ=

⇒VW

∆∆ 2

0v21

w ⋅ρ=≡ (7)

Die Energiedichte w („Energieinhalt der Welle“) bewegt sich mit der Ausbrei-tungsgeschwindigkeit vPh der Welle. Damit ergibt sich für die Intensität I

20PhPh vv

21

vwI ⋅ρ=⋅≡ (8)

Aus Grenzfall 1 erhält man analog:

20

2Ph wv

21

I ξ⋅⋅ρ= (8‘)

− Dies ist allgemeingültig: Die Intensität der Welle ist immer proportional demQuadrat der Amplitude! !


119

− Ohne Beweis: Das Produkt vPh ρ heißt Wellenwiderstand Z.

ρ⋅= PhvZ (9)

− Kommentar: u

Gl. (9) ist plausibel, da mit zunehmender vPh und zunehmendem ρ die „proZeiteinheit in Schwingungen versetzte Masse ansteigt“, was den Ausbreitungs-widerstand der Welle (pro Volumeneinheit) erhöht.

17.7. Reflexion und Transmission an einer Grenzfläche

− Wir betrachten das Verhalten einer Welle an der Grenzfläche zweier Medien:

gegeben: Medium 1 Medium 2

1,Phv 2,Phv

ρ1 ρ2

⇒ 11,Ph1 vZ ρ⋅= ⇒ 22,Ph2 vZ ρ⋅=

Indizes:1

e - einfallendd - durchgehendr -reflektiert

− Energiesatz an der Grenzfläche:

eI dr II += (10)

bzw. mit Gl. (8) und (9):

2e1vZ

21 2

d22

1 vZ21

vZ21

r+= (11)

Gl. (11) umgestellt liefert:

⇒ 2d2

2r

2e1 vZ)vv(Z ⋅=− (12)

− Damit nicht unendlich große Deformationen auftreten, muss die Welle an derGrenzfläche stetig sein, d.h. Auslenkung ξ und Geschwindigkeit v=ξ& müssenlinks und rechts gleich sein:

⇒ (u.a.) dre vvv =+ (13)å æ

Geschwindigkeit links Geschwindigkeit rechts 1 Der Index „0“ wird der Einfachheit halber weggelassen, d.h. v0, e ≡ ve, usw.


120

− Gl. (12) und (13) aufgelöst nach vd bzw. vr ergibt:

à (b)⇒

21

1ed ZZ

Z2vv

+⋅=

21

21er ZZ

ZZvv

+−

⋅= (14)

− Daraus schließlich ermittelbar:

dI 2d2 vZ

21

⋅≡2

21

21e

)ZZ(ZZ

I4+⋅

⋅=

à (a)rI 2

r1 vZ21

⋅≡2

21

221

e)ZZ()ZZ(

I+−

⋅=

(15)

Diskussion: u

a) Im Allgemeinen ∃ Reflexion und Transmission.Für Z1 = Z2 geht die gesamte Welle durch, d.h. die Reflexion wird Null.Für Z1 << Z2 bzw. Z2 << Z1 geht Id → 0 (vollständige Reflexion).

!b) Bei Z1 > Z2 (Übergang ins dünnere Medium) ist das Vorzeichen von vr

gleich dem von ve, d.h. die Welle wird mit gleicher Phase reflektiert. !Bei Z1 < Z2 ist das Vorzeichen von vr entgegengesetzt dem von ve, d.h., beider Reflexion am dichteren Medium gibt es einen Phasensprung um π. !

Dies sind allgemeingültige Aussagen, die für alle Wellen gelten.

Mechanik – Akustik

121

18. Akustik

18.1. Einleitung

− Akustik ist bis zu gewissem Grad am Menschen orientiert:

Infraschall ν ≤ 16 Hzhörbarer Schall 16 Hz ≤ ν ≤ 16 kHz1

Ultraschall v > 16 kHz

− Problem der Lautstärke: ∃ riesiger Intensitätsbereich, den das menschliche Ohrauch tatsächlich in starkem Maße (1 : 1013) überstreicht.

− Lösung: Intensität der Wahrnehmung (d.h. die Lautstärke) hängt vom Logarith-mus der Schallintensität ab.

⋅=

0II

log10L (1)

L ... LautstärkeI0 ... gerade noch hörbare Intensität, Hörschwellelog ... dekadischer Logarithmus

Maß-einheit: [L] ... Phon oder Dezibel (db) SI

⇒ I = I0 ⇒ L = 0 Phon HörschwelleI = 102 I0 ⇒ L = 20 Phon FlüsternI = 105 I0 ⇒ L = 50 Phon normales SprechenI = 1013 I0 ⇒ L =130 Phon Schmerzschwelle

Kommentar: u

Das Ohr erfasst 13 Zehnerpotenzen! Die untere Grenze liegt nahe der „Hörbarkeitder Brownschen Bewegung“ !

18.2. Töne und Klänge

− Ton = reine Sinusschwingung

− Klang = realer Ton eines Instrumentes, d.h. Sinus + Obertöne lt. FOURIER

− Geräusch = nichtperiodischer Vorgang

1 Angabe der oberen Hörschwelle ist ein Mittelwert. Die tatsächliche Hörschwelle kann von 4 kHz

(Greis) biz zu 20 kHz (Kind) reichen.


122

− Mehrere Klänge (reale Töne) gleichzeitig klingen dann besonders harmonisch,wenn sie viele Obertöne gemeinsam haben. !

⇒ besonders gut klingt es, wenn 1:22

1 =νν

ist → Oktave

− Tonleiter = Unterteilung der Oktave in 7 Zwischenstufen, so „dass es gut klingt“

C-Dur-Tonleiter:

Ton c d e f g a h c

c

xν

ν 1 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

1x

x

−νν 2 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15

Intervall (große)Sekunde

(große)Terz Quarte Quinte

(große)Sexte

(große)Septime Oktave

Dies ist die so genannte reine Stimmung. Sie führt zu Problemen bei Instrumentenmit fest eingestellten Tönen (z. B. Klavier):

Beispiel C-Dur:Ton1.Ton2.

89

TastecTasted

=−−

= (Frequenzverhältnis)

áâ

D-Dur: 910

TastedTastee

=−−

=

Um Tasteninstrumente für alle Tonarten nutzbar zu machen, verteilt man die un-vermeidlichen Abweichungen gleichmäßig (so genannte temperierte Stimmung).

− Oktave = 5 Ganztonschritte + 2 Halbtonschritte = 6 Ganztonschritte

bisher war (reine Stimmung):

Ganztonschritt = 89 bzw. 9

10 = 1,125 bzw. 1,111

Halbtonschritt = 1516 = 1,067

nun ist (temperierte Stimmung):

⇒ Ganztonschritt = Faktor 12246,126 ≈

Halbtonschritt = Faktor 05946,1212 ≈ also konstantes Fre-

quenzverhältnis vonTon zu Ton

1 relative Frequenz2 Frequenzverhältnis zum Nachbarton


123

18.3. Stehende Wellen; Musikinstrumente

− Stehende elastische Wellen lassen sich durch Mehrfachreflexion (Hin- undHerlaufen) im elastischen Medium erzeugen. !

− Bestimmend ist das Verhältnis der Wellenwiderstände am Ende des Mediums.

· Beispiel: nAn einem Ende Übergang zum größeren, am anderen Übergang zum kleinerenWellenwiderstand, also einmal ein Phasensprung von π, einmal nicht.

mögliche physikalische Realisierungen:

1) einseitig eingespannter Stab der Länge l2) einseitig offene Röhre der Länge l

Phasensprung π

Knoten

kein Phasensprung

Bauch

141

l λ⋅=

243

l λ⋅=

345

l λ⋅=

l n4)1n2(

λ⋅−

=

⇒ l4v)1n2(v Ph

n

Phn

⋅−=

λ=ν (mit n = 1, 2, 3, ...) (2)

Die νn sind die Eigenschwingungen, die sich bei geeigneter Anregung er-zeugen lassen bzw. die als Obertöne stets in gewissem Maße mitschwingen.

· Bei beidseitig gleichem (offenem oder geschlossenem) Ende ergibt sichanalog zu Gl. (2)

⇒ l2vnv Ph

n

Phn

⋅=

λ=ν (mit n = 1, 2, 3, ...) (3)

also λ⋅

= K,2,

23

,1,21

l


124

Je nachdem, ob die Enden beide fest oder beide lose sind, ergeben sich un-terschiedliche Schwingungsformen:

Oben: Grund- und Oberschwingungen eines an beiden Enden freien, longitudinalschwingenden Stabes

Unten: Longitudinalschwingungen eines Stabesa) an einem Ende fest, am anderen freib) an beiden Enden fest

Die Verschiebungen in Richtung der Stabachse sind senkrecht zum Stab gezeichnet. (Ver-schiebung nach rechts - nach oben, Verschiebung nach links - nach unten). (2, S. 172)

− Kommentar: u

· mögliche Realisierungen:

a) beidseitig eingespannte Saiteb) einseitig geschlossene Röhrenc) effektiv beidseitig offene Röhren

konisches Ende „wirkt wie offenes“

·


125

Beispiele

zu a) Geige

zu b) viele Blasinstrumente, z.B. Klarinette (gerade Obertöne fehlen zumTeil - vgl. Gl. (2))

·

zu c) Oboe (alle Obertöne vorhanden - vgl. Gl. (3))·

· Instrumente besitzen in der Regel „Erreger“ (Lippen des Bläsers, Schilfrohrbei Holzblasinstrumenten, Geigenbogen). Es erfolgt eine „Selektion“ undFormung des Tons über Resonanz (Luftsäule, Geigensaite).

· In Gl. (2) und (3) steht vPh! Dies hat Auswirkungen:

Bei Gasen war:ρ

=p

vPh (16 -17‘)

⇒ p N~ρ molMN~ ⋅

⇒ Tonhöhe vom Gas abhängig!

(Beispiel Tonhöhen in He und O2) !⇒ ρ )T(ρ= ⇒ Einfluss der Temperatur

Literaturliste

V

LITERATURLISTE

Titel Autoren Verlag ISBN DM

Physik Gerthsen; Vogel Springer 3-540-65479-8 129,-

Physik in Experimentenund Beispielen

Paus, Hans J. Hanser 3-446-17371-4 98,-

Experimentalphysik 1Mechanik und Wärme

Demtröder, W. Springer 3-540-57095-0 64,-

Experimentalphysik 2Elektrizität und Optik

Demtröder, W. Springer 3-540-56543-4 64,-

Physics Principles & Applications Harris; Hemmer-ling; Mallmann

McGraw-Hill 0-07-026851-7

Physik (Teil 1) Halliday, David;Resnick, Robert

de Gruyter 3-11-010640-X 98,-

Physik (Teil 2) Halliday, David;Resnick, Robert

de Gruyter 3-11-013897-2 128,-

Physik und ihre Anwendungenin Technik und Umwelt

Leute, Ulrich Hanser 3-446-17232-7 58,-

Physik Tipler, Paul A. Spektrum 3-86025-122-8 128,-

Physik für Ingenieure Lindner, Helmut Fachbuch-Verlag 3-343-00772-2 48,-

Physik für Ingenieure Hering; Martin;Stohrer

Springer 3-540-62442-2 78,-

Mechanik, Akustik, Wärme; Bd. 1 Bergmann; Schae-fer

de Gruyter 3-11-012870-5 148,-

CD-ROM: CliXX Physik Bauer; Benenson;Westfall

Harri Deutsch 3-8171-1553-9 ca. 50,-

Taschenbuch der Physik Stöcker Harri Deutsch 3-8171-1556-3 58,-

Taschenbuch der Physik Kuchling, H. Fachbuch-Verlag 3-446-21054-7 40,-

Quellenverzeichnis

VI

QUELLENVERZEICHNIS

1Wolfgang Demtröder, Experimentalphysik 1, Berlin; Heidelberg; New York; Lon-don; Paris; Tokyo; Hong Kong; Barcelona; Budapest (Springer), 1994

2Christian Gerthsen, Helmut Vogel, Physik, Berlin; Heidelberg; New York; London;Paris; Tokyo; Hong Kong; Barcelona; Budapest (Springer), 17. Auflage 1993

Sachregister

VII

SACHREGISTER

A

abgeschlossenes System 19Aktionsprinzip 16, 17Akustik 121–5aperiodischer Grenzfall 40Arbeit 23–27

Beschleunigungs- 24Hub- 24mechanische 23

Auftrieb 76dynamischer 95

Ausbreitungsgeschwindigkeit 104

B

Bahnkurve 9barometrische Höhenformel 83Benetzung 79, 80BERNOULLIsche Gleichung 93Beschleunigung 10

mittlere 10Momentan- 10Normal- 11Tangential- 10

Beugung 115Bewegung

geradlinig gleichförmig 15gleichmäßig beschleunigt 19Kreis- 11, 20

BewegungsgleichungDrehschwinger 56erzwungene Schwingung 101Federschwinger 34gedämpfter Federschwinger 38gekoppelter Federschwinger 100mathematisches Pendel 37

Bezugssystemebewegte 47–51körperfeste 60Laborsystem 43linear beschleunigte 48–49mit konstanter Relativgeschwindigkeit 47rotierende 49–51Schwerpunktsystem 45

Brechung 114

C

Corioliskraft 51

D

Dehnung 65Dichte 52Dispersion 112DOPPLER-Effekt 116Drehimpuls 28, 57Drehimpulssatz 30, 57Drehmoment 29, 53Drehschwingung siehe SchwingungDruck

Schwere- 75statischer 73, 94

Dynamik 15–22

E

Eigenschwingung 123Elastizitätsmodul 65Energie 23–27

kinetische 24, 35, 54mechanische 23–24, 27potentielle 24, 25, 32, 36

Energiedichte 118Energiesatz

der Mechanik 27Energiestromdichte 118

F

Federkonstante 34Federkraft 34Federschwinger 34FERMATsches Prinzip 114Flächenträgheitsmoment 70FOURIER-Reihe 99Frequenz 20

G

Galilei-Transformation 47Geräusch 121Geschwindigkeit 9

Gruppen- 111mittlere 10Momentan- 10

Gesetzvon BOYLE-MARIOTTE 82

Gleitreibung 21

Sachregister

VIII

Goldene Regel der Mechanik 23, 75Gravitationsfeld 31Gravitationsgesetz 30Gravitationskraft 31Gravitationspotential 32Gruppengeschwindigeit siehe Geschwindigkeit

H

Haftreibung 22Haftreibungskoeffizent 22HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz 88Hauptträgheitsachsen 60Hauptträgheitsmomente 60HOOKEsches Gesetz 65Hörschwelle 121HUYGENSsches Prinzip 113Hysterese

elastische 71

I

Impuls 18Impulserhaltung 19Impulssatz 41Inertialsysteme 48innere Reibung 86–87Intensität 118

K

Kapillarität 80kartesische Koordinaten siehe KoordinatenKavitation 95KEPLERsche Gesetze 32Kinematik 9–14kinetische Energie siehe Energie siehe EnergieKlang 121Kohärenz 113Kompressibilität 74, 82Kompressionsmodul 66, 74konservatives Kraftfeld siehe PotentialfeldKontinuitätsgleichung 85Koordinaten

kartesische 9, 13Polar- 11Zylinder- 12

Kraft 15Kräftepaar 53Kraftfeld 16, 25Kreisbewegung siehe BewegungKreisel 62Kreisfrequenz 20Kriechfall 40

L

Laborsystem siehe BezugssystemeLänge 3Lautstärke 121Leistung 102Linienspannung 78LISSAJOUS-Figuren 97Longitudinalwelle siehe Welle

M

MACHkegel 117MACHsche Welle 117MACHzahl 117Masse 6, 52Massepunkt 9momentane Drehachse 63

N

Nabla-Operator 26NEWTONsche Axiome 17Normalbeschleunigung siehe BeschleunigungNutation 62, 63

O

Oberflächenenergie 78spezifische 77

Oberflächenspannung 78Oberton 99, 121Ortsvektor 9

P

Paradoxonhydrodynamisches 94hydrostatisches 75

Pendelmathematisches 37

Phase 105Phasengeschwindigkeit 104Phasensprung 120Phasenverschiebung 101Planetenbewegung 32POISSONzahl 66Polarisation 107Polarkoordinaten siehe KoordinatenPotentialfeld 25potentielle Energie siehe EnergiePräzession 64Präzessionsfrequenz 64Punktmasse 4

Sachregister

IX

Q

Querkontraktion 66

R

Raumwinkel 7Reaktionsprinzip 17Reflexion 114, 120Reibkoeffizent 21Reibungskraft 86Resonanz 103REYNOLDsche Zahl 89Richtmoment 56, 69Rotation 11, 52–58, 59–64Rotationsenergie 54

S

Satz von STEINER 55Schall 121Schallgeschwindigkeit 109Schallschnelle 118Schermodul 67Scherspannung 67Scherwinkel 67Schwebung 97, 101schwere Masse 31Schweredruck siehe DruckSchwerpunkt 41, 52Schwerpunktsystem siehe BezugssystemeSchwingung 34–40

Dreh- 56erzwungene 101–3Fundamental- 100gedämpfte 38–40gekoppelte 100harmonische 36Torsions- 56

SI-System 3Spannung 65Spannungs-Dehnungs-Diagramm 71starrer Körper 52statischer Druck siehe DruckStaudruck 94Stoß 42–46

elastisch 43–45inelastisch 45nichtzentral 46zentral 43

Stoßparameter 46Streuung 113Stromlinien 85Stromröhre 85Strömung

ähnliche 90laminar 87stationär 85

turbulente 89Strömungsgrenzschicht 90Strömungswiderstand 95–96Superposition 110

T

Tangentialbeschleunigung siehe BeschleunigungTemperatur 6Ton 121Tonleiter 122Torsion 68Torsionsschwingung siehe SchwingungTorsionswinkel 68träge Masse 16, 31Trägheit 15Trägheitskraft 49Trägheitsmoment 54Trägheitsprinzip 15, 17Trägheitstensor 59Translationsenergie 24Transmission 120Transversalwelle siehe Welle

Ü

Überschallknall 117Umdrehungsfrequenz siehe FrequenzUmlaufbeschleunigung 12Umlaufgeschwindigkeit 12Umlaufzeit 20

V

Viskosität 22, 86Volumenstrom 85

W

Welle 104elastische 108, 109, 123elliptisch polarisierte 107harmonische 105linear polarisierte 107Longitudinal- 106, 108, 109Schall- 109stehende 110, 123Transversal- 106, 109zirkular polarisierte 107

Wellenfront 107Wellengleichung 106Wellenwiderstand 119Wellenzahl 105Widerstandsbeiwert 95Winkel 7Winkelbeschleunigung 12Winkelgeschwindigkeit 12, 20

Sachregister

X

Z

Zeit 6Zentralfeld 25, 30

Zentrifugalkraft 49Zentripetalkraft 21Zylinderkoordinaten siehe Koordinaten

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GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK - tu-chemnitz.de · · Die Auswahl der Grundgrößen erfolgt nach Zweckmäßigkeit. Prinzipiell würden drei Grundgrößen, z.B. Länge, Zeit, Masse reichen!