Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen … · rechts (d. h. in positiver ... in der mit Hilfe des Funktionsterms für jedes x aus der Definitionsmenge der zuge- ... 3

Berufskolleg Marienschule Lippstadt

Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer Oberstufe

- staatlich anerkannt -

Schuljahr 2016/2017

Kurs: Mathematik AHR 11.1

Kurslehrer: Langenbach

Grundlagen der Funktionentheorie – Lineare Funktionen

Inhalt

1 Koordinatensystem 1

2 Relationen und Funktionen 2

3 Lineare Funktionen (LF) 6

3.1 Punktprobe bei Linearen Funktionen 7

3.2 Fehlende y-Werte berechnen 7

3.3 Fehlende x-Werte berechnen 8

4. Zeichnen des Graphen einer LF 8

4.1 Wertetabellen von LF 9

4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sx und Sy) 10

4.2.1 Schnittpunkte mit der y-Achse (Sy) bestimmen 11

4.2.2 Schnittpunkte mit der x-Achse (Sx) bestimmen 12

4.2.3 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von Sx und Sy zeichnen 13

4.3 Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen 14

4.3.1 Die Steigung m einer LF 14

4.3.2 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b 17

5 Funktionsgleichungen von LF bestimmen 18

5.1 Ein Punkt P und der y-Achsenabschnitt b gegeben 18

5.2 Ein Punkt P und die Steigung m gegeben 19

5.3 Zwei Punkte P1 und P2 gegeben 19

5.3.1 Steigung m anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen 20

5.3.2 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen

(Beispiel) 22

5.4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen 23

5.5 Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen 25

6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen 26

7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben) 28

Lineare Funktionen (LF)

1

1 Koordinatensystem

Wird im Folgenden von einem Koordinatensystem (ohne weitere Angaben) gesprochen,

so meinen wir damit ein rechtwinkliges Koordinatensystem. In der Mathematik sprechen

wir auch von einem kartesischen Koordinatensystem. Diese Bezeichnung geht auf den

französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes zurück (1596-1650). Wir

verwenden in der Funktionentheorie das Koordinatensystem zur graphischen Veranschau-

lichung von Funktionen. Dazu werden einzelne Punkte des Graphen einer Funktion, die

durch die Angabe zweier Koordinaten in der zweidimensionalen Ebene eindeutig bestimmt

sind, in das Koordinatensystem eingezeichnet und miteinander verbunden.

In der zweidimensionalen Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den zwei Achsen

definiert. Werden die Achsen als x-Achse und y-Achse (bzw. wie in Abb.6 mit f (x)-Achse)

bezeichnet, so gibt die x-Koordinate eines Punktes seinen Abstand von der y-Achse an

und umgekehrt.

Hat ein Punkt P die x-Koordinate 3

und die y-Koordinate 2 (kurz: 3=x

und 2=y ), so schreiben wir kurz:

)2/3(P .

Seine Position ist durch das Zahlen-

paar (3/2) eindeutig festgelegt. Der

Punkt P kann vom Nullpunkt aus

erreicht werden, indem zuerst ent-

lang der Achse−x 3 Einheiten nach

rechts (d. h. in positiver x-Richtung)

und dann parallel zur Achse−y 2

Einheiten nach oben (d. h. in positi-

ver y-Richtung) „gegangen“ wird.

Hat der Punkt negative Koordinaten, so wird entsprechend nach links bzw. nach unten

„gegangen“.


2

2 Relationen und Funktionen

Sowohl Relation als auch Funktion sind Bezeichnungen für Zuordnungen zwischen zwei

Mengen. Sie unterscheiden sich jedoch in Bezug auf die Eindeutigkeit dieser Zuordnung,

sowie der Vollständigkeit mit der zumindest die erste Menge erfasst sein muss.

Definition (Relation)

Eine Zuordnung zwischen Elementen zweier Mengen A und B wird Relation genannt.

Die Zuordnung kann dabei ganz beliebig erfolgen, wobei nicht alle Elemente der beiden

Mengen beteiligt sein müssen.

Aus dem Alltag kennen wir Zuordnungen: Einem Produkt wird ein Preis zugeordnet, einem

Kind eine Schulklasse, einem Spielzeug eine Schublade, einem Kleidungsstück eine

Farbe.

Zuordnungen ordnen Elementen einer Definitionsmenge ein Element einer Wertemenge

zu.

Beispiele:

Zuordnung Definitionsmenge Wertemenge

Ein Ladenbesitzer ordnet

seinen Produkten Preise

zu

Alle Produkte im Laden Alle Preise, die vorkom-

men

Kinder sind Mitglied in

verschiedenen Vereinen Eine Gruppe von Kindern Die Vereine der Stadt

Kinderzimmer aufräumen Alle Spielzeuge im Raum Schubladen, Regalfächer,

Kisten

Am Marktstand wird der

Preis für Äpfel nach Ge-

wicht berechnet

Alle möglichen Mengen

Die Preise, die sich aus

der Menge und dem kg-

Preis berechnen

Zahlen wird jeweils das

Doppelte ihres Wertes

zugeordnet

Alle reellen Zahlen IR Alle reellen Zahlen IR

Kleidungsstücken werden

ihre Farben zugeordnet Alle Kleider einer Person

Die vorkommenden Far-

ben

Zuordnungen können auf unterschiedliche Arten dargestellt werden:


3

Wertetabelle

Eine Wertetabelle ist eine Tabelle mit zwei

Spalten, links stehen Elemente der Defini-

tionsmenge, rechts die zugeordneten

Elemente der Wertemenge.

Beispiel:

Der Marktstand; ein kg Äpfel soll 3,50€

kosten.

Menge in kg Preis in €

1 3,50

1,5 5,25

0,7 2,45

17,8 62,3

10,2 25,7

Paarmenge

Eine Menge von Paaren, in denen jeweils ein Element der Definitionsmenge und das

zugehörige Element der Wertemenge sind.

Beispiel:

Der Laden, z.B. ein Drogeriefachmarkt. Die Paarmenge könnte sein:

{(Deo-Roller|2,49€); (Handcreme|1,79€); (Waschmittel|3,29€); (Lippenstift|5,79€); .......}

Pfeilbild

Definitions- und Wertemenge werden als

Blasen dargestellt und die Zuordnung mit

Hilfe von Pfeilen veranschaulicht.

Beispiel:

Kinderzimmer aufräumen

Koordinatensystem

Enthalten sowohl Definitions- als auch Wertemenge Zahlen, so ist die Darstellung in einem

Koordinatensystem möglich.

Auf der waagerechten Achse (x-Achse) werden die Elemente der Definitionsmenge, auf

der senkrechten (y-Achse) die der Wertemenge eingetragen.

Beispiel:

Jeder Zahl x wird das Doppelte ihres

Wertes zugeordnet,

man erhält eine Zahl y.

LKW

Bagger Legostein

Stoffhund

Bilderbuch

Teddy

Auto-

Legokiste

Bücherregal

Stoff-

tier-


4

Zu einer Zuordnung gehören also stets

• die Angabe einer Definitionsmenge (die Menge A),

• die Angabe eines Wertebereichs (die Menge B) sowie

• eine Zuordnungsvorschrift.

Während eine Relation bzw. ihre Zuordnungsvorschrift nicht eindeutig formuliert sein

muss, d. h. einem Wert x einer Menge A können durchaus zwei Werte y1 und y2 einer

Menge B zugeordnet werden, so ist es bei Funktionen anders:

Eine Funktion bzw. ihre Funktionsvorschrift ist stets eindeutig formuliert.

Definition (eindeutige Zuordnung)

Eine Zuordnung (Relation) ist eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau

ein Element des Wertebereichs zugeordnet wird.

Definition (Funktion)

Eine Zuordnung (Relation) einer Menge A zur Menge B, die jedem Element x der Menge A

(kurz: Ax ∈ ) genau ein Element der Menge B (kurz: By ∈ ) zuordnet, bezeichnen wir als

Funktion.

Im Folgenden führen wir wichtige Bezeichnungen bzw. Festlegungen auf, die für das Ver-

ständnis der weiteren Ausführungen wichtig sind, von uns jedoch nicht als gesonderte

Definitionen gekennzeichnet werden.

• Wird eine Funktion in einem Koordinatensystem dargestellt, so ist es üblich, die

Definitionsmenge auf der x-Achse und die Wertemenge auf der y-Achse des Koor-

dinatensystems [auch )(xf -Achse genannt] abzutragen.

• Die Zuordnungsvorschrift erhalten wir in der Regel über eine Funktionsgleichung,

in der mit Hilfe des Funktionsterms für jedes x aus der Definitionsmenge der zuge-

hörige Funktionswert y berechnet wird.

• Die Menge aller Funktionswerte bildet die Wertemenge einer Funktion.

• Als Definitionsmenge nehmen wir im Folgenden – falls nicht anders festgelegt –

immer die Menge der reellen Zahlen IR an.


5

Betrachten wir noch einmal die Beispiele:

Ein Ladenbesitzer ordnet

seinen Produkten Preise zu

Jedes Produkt hat nur einen Preis,

daher ist dies eine eindeutige Zuord-

nung

Funktion

Kinder sind Mitglied in

verschiedenen Vereinen

Ein Kind kann Mitglied in verschiede-

nen Vereinen sein, daher ist dies

keine eindeutige Zuordnung

keine Funktion

Kinderzimmer aufräumen

Jedes Spielzeug hat einen eindeuti-

gen Platz (oder sollte es zumindest

haben...), daher ist dies eine eindeu-

tige Zuordnung

Funktion

Am Marktstand wird der

Preis für Äpfel nach Ge-

wicht berechnet

Eine bestimmte Menge Äpfel hat

einen eindeutig bestimmbaren Preis,

dies ist eine eindeutige Zuordnung

Funktion

Zahlen wird jeweils das

Doppelte ihres Wertes

zugeordnet

Verdoppelt man eine Zahl, so kommt

ein eindeutiger Wert heraus, dies ist

eine eindeutige Zuordnung

Funktion

Kleidungsstücken werden

ihre Farben zugeordnet

Ein Kleidungsstück kann mehrere

Farben haben, die Zuordnung ist nicht

eindeutig

keine Funktion

Üblicherweise erfolgt in der Mathematik die Angabe von Zuordnungen bei Funktionen in

Form von sogenannten Funktionsgleichungen, wie z. B.:

32)( += xxf , xxg21)( = oder xxxxh 542)( 23 −+= .

In manchen Büchern findet sich auch die Schreibweise 73 += xy , anstatt 73)( += xxf .

Durch Funktionsgleichungen wird jedem x eindeutig ein f(x) bzw. y zugeordnet.

Definition (Funktionsgraph)

Die Zuordnungen durch die Funktionsgleichungen ergeben „geordnete Paare“ der Form

( ))(/ xfx , die wir als Punkte in ein Koordinatensystem eintragen.

Die Menge aller so ermittelten Punkte in einem Koordinatensystem wird als Graph der

Funktion f („Funktionsgraph“) bezeichnet.


6

Anmerkungen

I. Man kann die Koordinaten der Paare auch als Lösungen der Funktionsgleichung

auffassen. D. h. wenn wir die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen,

ergibt sich eine wahre Aussage.

II. Betrachtet man die Funktion f mit der Funktionsgleichung 32 += x)x(f , so bedeu-

tet dies, dass jeder Stelle 0x ( fIDx ∈0 ) eindeutig der Funktionswert

32)( 00 += xxf zugeordnet wird.

III. Der Funktionswert an der Stelle x = 5 wird bezeichnet als )5(f . Diesen Funktions-

wert ermitteln wir, indem wir die 5 statt des x in die Funktionsgleichung einsetzen:

( ) 133103525 =+=+⋅=)(f . Damit liegt der Punkt )/(P 135 auf dem zugehö-

rigen Funktionsgraphen.

3 Lineare Funktionen (LF)

Definition (lineare Funktion)

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung (Zuordnungsvorschrift) in der Form

bxm)x(f +⋅=

mit IRb,m ∈ geschrieben werden kann, heißt lineare Funktion.

Als Definitionsbereich einer linearen Funktion wird meist IR (die Menge der reellen Zahlen)

gewählt.

Satz (Funktionsgraph linearer Funktionen)

Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Anmerkungen

IV. Der Verlauf einer Geraden ist bereits durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Das

bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir

lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen. Dennoch werden wir, um das Verfah-

ren zu verdeutlichen, zunächst im Folgenden mehrere Funktionswerte bestimmen.

V. Wie sich später zeigen wird, reichen zwei Punkte aus, um die zugehörige Funkti-

onsgleichung eindeutig bestimmen zu können.


7

3.1 Punktprobe bei Linearen Funktionen

In diesem Abschnitt geht es darum zu ermitteln, ob ein bestimmter Punkt auf dem

Graphen einer linearen Funktion f (d.h. auf der zugehörigen Geraden) liegt, die durch

Funktion beschrieben wird.

Zeichnerisch ist das recht einfach: Man zeichnet die Gerade und den Punkt und sieht

sofort, ob der Punkt auf der Geraden liegt – zumindest ungefähr.

Wollen wir rechnerisch überprüfen, ob ein Punkt )b/a(P auf dem Graphen zur Funktion f

liegt, muss geprüft werden, ob der Funktionswert )(af dieser Funktion an der Stelle a dem

Wert b des Punktes P entspricht, d. h. ob gilt: b)a(f = . Dieses Verfahren bezeichnen wir

als Punktprobe.

Erhält man so den y-Wert b des Punktes, so liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen.

Kommt ein anderer Wert heraus, so gehört P nicht zum Graphen der Funktion f.

Beispiel (Punktprobe)

Wir wollen überprüfen, ob bei der aus dem vorherigen Beispiel schon bekannten Funktion

f mit 350 += x,)x(f der Punkt ),/(P 523− auf dem Graphen von f liegt oder nicht. Dazu

überprüfen wir, ob 523 ,)(f =− .

Es ist 5135133503 ,,)(,)(f =+−=+−⋅=− .

Der Funktionswert dieser Funktion an der Stelle 3−=x ist also nicht 2,5.

Somit liegt der Punkt )5,2/3(−P nicht auf dem Graphen von f.

3.2 Fehlende y-Werte berechnen

Soll nun für einen Punkt – z.B. )y/(Q 20 – die fehlende y-Koordinate so berechnet

werden, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f

liegen soll, so verfährt man wie in der Anmerkung III auf Seite 6 beschrieben.

Soll also der Punkt )y/(Q 20 auf dem Graphen der Funktion f mit 350 += x,)x(f aus

dem obigen Beispiel liegen, dann muss für diese Funktion der Funktionswert an der Stelle

20=x bestimmt werden, indem wir die 20 statt des x in die Funktionsgleichung einset-

zen: ( ) 133103205020 =+=+⋅= ,)(f .

Damit liegt dann der Punkt )/(Q 1320 auf dem zugehörigen Funktionsgraphen.


8

3.3 Fehlende x-Werte berechnen

Soll nun für einen Punkt – z.B. )/x(R 18− – die fehlende x-Koordinate so berechnet wer-

den, dass dieser Punkt auf dem Graphen einer vorgegebenen (Linearen) Funktion f liegen

soll, so muss man auch hier Werte in die vorgegebene Funktionsgleichung einsetzen.

In diesem Fall ist der Funktionswert (y-Wert) des Punktes bekannt, so dieser Wert für

)x(f eingesetzt werden kann. Dadurch erhält man eine lineare Gleichung, die man nach x

„auflösen“ muss, um die gesuchte Lösung zu erhalten.

Beispiel (Berechnung der x-Koordinate)

Gegeben sei die Funktion f mit 35,0)( += xxf und der Punkt )/x(R 18− .

Dann gilt: 18−== )x(fy ,

also

.

Die gesuchte x-Koordinate ist also 510,− . Somit ist 18510 −=− ),(f .

Folglich liegt der Punkt )/,(R 18510 −− auf dem Graphen der Funktion f .

4. Zeichnen des Graphen einer LF

Für die Veranschaulichung der funktionalen Zusammenhänge ist das Zeichnen des Funk-

tionsgraphen (d.h. bei Linearen Funktionen: der zur Funktion gehörenden Geraden) erfor-

derlich.

Es gibt jedoch eine Reihe von unterschiedlichen Möglichkeiten dieses Vorhaben zu ver-

wirklichen.

x,

,:x,

x,

=−⇔=−⇔

−+=−

510

505021

335018


9

4.1 Wertetabellen von LF

Eine dieser Möglichkeiten ist das Anlegen einer Wertetabelle. Dazu werden zu vorgege-

benen x-Werten (Stellen) die zugehörigen Funktionswerte durch Einsetzen in die Funkti-

onsgleichung ermittelt und in Form einer Tabelle erfasst. In der Regel wählen wir das

Intervall von 3− bis 3+ als Vorgabe für die zu erfassenden Werte.

Beispiel (Wertetabelle und Funktionsgraph)

Gegeben ist die Funktion f mit 350 += x,)x(f .

Wir wählen als Ausgangsintervall die Zahlen von 3− bis 3, wobei wir nur die ganzen Zah-

len innerhalb des Intervalls betrachten. Zu berechnen sind dann:

5,13)3(5,0)3( =+−⋅=−f 5,3315,0)1( =+⋅=f

23)2(5,0)2( =+−⋅=−f 4325,0)2( =+⋅=f

5,23)1(5,0)1( =+−⋅=−f 5,4335,0)3( =+⋅=f

3305,0)0( =+⋅=f

Wir stellen diese Ergebnisse in einer Wertetabelle zusammen:

Wertetabelle zur Funktion 35,0)( += xxf

Um den Graphen der Funktion f zu zeichnen, sind somit die folgenden Punkte in ein Koor-

dinatensystem einzutragen:

),/(P 5131 − , )/(P 222 − , ),/(P 5213 − , )/(P 304 , ),/(P 5315 , )/(P 426 und ),/(P 5437

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

)(xf 51, 2 52, 3 53, 4 54,


10

4.2 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Sx und Sy)

In Anmerkung IV auf Seite 6 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass der Verlauf einer

Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funktion) bereits durch zwei

Punkte eindeutig festgelegt ist.

Das bedeutet, dass wir den Graphen einer linearen Funktion zeichnen können, wenn wir

lediglich zwei Punkte einer Geraden kennen.

Geeignet sind dabei vor allem besonders markante Punkte des Funktionsgraphen. Dazu

gehören sicherlich die Schnittpunkte mit den beiden Koordinatenachsen, der Schnittpunkt

mit der y-Achse ( yS ) und der Schnittpunkt mit der x-Achse ( xS ).

In Abb.3 stellen wir eine Reihe von Punkten vor, die auf einer der Koordinatenachsen

liegen. Dabei fällt auf, dass die Punkte, die auf der x-Achse liegen, alle die y-Koordinate 0

und die Punkte, die auf der y-Achse zu finden sind, alle die x-Koordinate 0 gemeinsam

haben.

Diese Eigenschaften werden benutzt, um die exakten Koordinaten der Schnittpunkte mit

den Koordinatenachsen von beliebigen Funktionen bestimmen zu können.

Abb.3: Punkte auf den Koordinatenachsen

P (0/–4)

P (0/–2)

P (0/1)

P (0/3)

P (0/5)

P (1/0) P (3/0) P (5/0)

P (–2/0) P (–4/0) P (–6/0)


11

Anmerkung:

Es gibt auch Funktionen, die keinen Schnittpunkt mit der x-Achse besitzen.

Dies ist dann der Fall, wenn diese Funktionen bzw. der Funktionsgraph dieser Funktionen

stets den gleichen Abstand zur x-Achse einhält und sich dieser nicht weiter nähert.

Man sagt in diesem Fall der Graph einer solchen Funktion (die zugehörige Gerade) ver-

läuft parallel zur x-Achse.

Funktionen mit dieser Eigenschaft werden konstant Funktionen genannt.

Satz und Definition (konstante Funktion)

Eine Funktion f mit cxf =)( (mit IRc ∈ ) heißt konstante Funktion.

Eine konstante Funktion besitzt für 0≠c keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Für 0=c ist f identisch mit der x-Achse, d. h. sie besitzt unendlich viele gemeinsame

Punkte mit der x-Achse.

Beispiel: 5,1)( =xf

Bei dieser Funktion sind alle Funktionswerte

(y-Werte) 1,5 unabhängig vom eingesetzten

x-Wert.

Die Gerade zu f verläuft auf der Höhe von

5,1=y parallel zur x-Achse

4.2.1 Schnittpunkte mit der y-Achse (Sy) bestimmen

In der Abbildung auf Seite 10 kann man erkennen, dass der Schnittpunkt yS des Graphen

einer Funktion f mit der y-Achse stets die x-Koordinate 0 hat.

Dies gilt für jede beliebige Funktion.

Um die exakte y-Koordinate des Schnittpunkt yS herauszufinden, setzt man den Wert Null

für x in die Funktionsgleichung ein, man bestimmt also den Wert von )(f 0 .


12

Satz (Schnittpunkt mit der y-Achse)

Der Schnittpunkt yS des Graphen einer Funktion f mit der y-Achse hat stets die

x-Koordinate 0. Damit erfüllt er die Bedingung: 0=x .

Bei einer linearen Funktion f mit bmxxf +=)( ergibt sich daraus: bbmf =+⋅= 0)0( .

Somit schneidet der Graph der Funktion die y-Achse im Punkt )/0( bSy . Das Bedeutet,

dass bei einer Lineare Funktion f mit bmxxf +=)( der y-Achsenabschnitt b stets angibt,

wo diese Funktion die y-Achse schneidet.

Da die Bedingung 0=x universelle Gültigkeit hat bei der Bestimmung des Schnittpunktes

mit der y-Achse (d.h. diese Bedingung gilt für alle Funktionen), soll für die Bestimmung der

Koordinaten dieses Schnittpunktes auch bei Linearen Funktionen der folgende Ablauf

eingehalten werden:

Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 124)( −= xxf .

Bedingung: 0=x

1212040 −=−⋅=⇒ )(f ,

also: )12/0( −yS .

4.2.2 Schnittpunkte mit der x-Achse (Sx) bestimmen

In der Abbildung auf Seite 10 kann man auch erkennen, dass der Schnittpunkt xS des

Graphen einer Funktion f mit der x-Achse stets die y-Koordinate 0 hat.

Dies gilt für jede beliebige Funktion.

Um die exakte x-Koordinate des Schnittpunkt xS herauszufinden, setzt man den Wert Null

für )x(f in der Funktionsgleichung ein.

Satz und Definition (Schnittpunkt mit der x-Achse; Nullstelle) Der Schnittpunkt xS des Graphen einer Funktion f mit der x-Achse hat stets die

y-Koordinate 0.

Damit erfüllt er die die Bedingung: 0)( =xf .

Eine Stelle 0x , die diese Gleichung erfüllt, wird auch Nullstelle genannt.


13

Die Bedingung 0)( =xf führt für 0≠m stets zu einer linearen Gleichung, deren Lösung

die x-Koordinate des gesuchten Schnittpunktes ist.

Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 124)( −= xxf .

Bedingung: 0)( =xf

3

4:124

120124

=⇔

=⇔

+=−⇒

x

x

x

Somit ist )/(Sx 03 .

Anmerkung:

Gilt bei einer Linearen Funktion 0=m , so liegt eine konstante Funktion mit c)x(f = vor.

Auf Seite 11 wurde bereits festgestellt, dass eine konstante Funktion für 0≠c keinen

Schnittpunkt mit der x-Achse besitzt.

für 0=c wird die konstante Funktion zu 0=)x(f und hat dann unendlich viele gemein-

same Punkte mit der x-Achse (sie ist mit ihr identisch).

4.2.3 Funktionsgraph einer LF mit Hilfe von Sx und Sy zeichnen

Da der Verlauf einer Geraden (und damit der Verlauf des Graphen einer Linearen Funkti-

on) durch die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ( yS und xS ) eindeutig

festgelegt ist, kann man den Graphen jeder Linearen Funktion mit Hilfe dieser beiden

Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Beispiel Gegeben sei die Funktion f mit 221 +−= x)x(f .

Schnittpunkt mit der y-Achse Schnittpunkt mit der x-Achse

Bedingung: 0=x

1212040 −=−⋅=⇒ )(f ,

( ) 220021 =+⋅−=⇒ )(f

also: )/(Sy 20 .

Bedingung: 0)( =xf

( )4

2

202

21

21

21

=⇔

−−=−⇔

−=+−⇒

x

:x

x

Somit ist )/(Sx 04 .


14

Aus den beiden oben durchgeführten Rechnungen ergeben sich die beiden Schnittpunkte

mit den Koordinatenachsen: )/(Sy 20 und )/(Sx 04 . Mit Hilfe dieser beiden Punkte erhält

man den folgenden Graphen:

4.3 Lineare Funktionen mit Hilfe von m und b zeichnen

Man kann lineare Funktionen mit Hilfe des y-Achsenabschnitts b und der Steigung m

zeichnen. Damit dies möglich ist, muss man sich über die Bedeutung der Steigung und

des y-Achsenabschnittes im Klaren sein.

Auf die Bedeutung des y-Achsenabschnittes ist im Zusammenhang mit dem Schnittpunkt

mit der y-Achse auf Seite 12 bereits hingewiesen worden.

4.3.1 Die Steigung m einer LF

Den Begriff der Steigung kennen wir aus dem Alltag. Eine starke Steigung bedeutet, dass

es steil bergauf geht. Es wird also bezogen auf den zurückgelegten Weg ein großer

Höhenunterschied überwunden.

Wenn an einer Straße vor einer starken Steigung gewarnt wird, so wird die

Steigung in Prozent angegeben.

Im Beispiel beträgt die Steigung 10012

%12 = , d.h. auf einer Strecke von

100m steigt der Weg um 12m an.

yS

xS


15

Wenn wir bei Funktionen die Steigung angeben wollen, so entspricht der zurückgelegte

Weg der Distanz auf der x-Achse, der Höhenunterschied der auf der y-Achse.

Eine Steigung von 10012 bedeutet, dass auf einer Strecke von 100 Einheiten auf der x-Achse

der Höhenunterschied auf der y-Achse 12 Einheiten beträgt.

Im Koordinatensystem sieht das so aus:

Es gilt für die Steigung m:

120506

10012

,m ===

Definition und Satz (Steigung)

Die Steigung m einer linearen Funktion f mit bxm)x(f +⋅= gibt an, um wie viel sich der

Funktionswert (y-Wert) verändert, wenn man den x-Wert genau um 1 vergrößert, wenn

man also „einen Schritt nach rechts geht“.

Der Funktionswert wird erhöht oder verringert – je nachdem, welches Vorzeichen die

Steigung m besitzt.

Die obige Definition macht deutlich, dass man den Wert der Steigung auch in der

Wertetabelle einer Linearen Funktion erkennen kann.

Beispiel:

Für die Funktionen 1f und 2f mit 121 −= x)x(f und 2502 +−= x,)x(f erhält man die

folgende Wertetabellen:

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f1(x) −7 −5 −3 −1 1 3 5

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2


16

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f2(x) 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

Ist der Funktionsgraph (die Gerade) in ein Koordinatensystem eingezeichnet, so wird die

Steigung oft mit Hilfe des sogenannten Steigungsdreiecks veranschaulicht.

Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senk-

rechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-Achse) durch die Länge der waa-

gerechten Seite (in Richtung der x-Achse) dividiert. Für das unten dargestellte Steigungs-

dreieck zwischen zwei Punkten P1 und P2 gilt demnach: c

am = .

Beispiele:

Bei den folgenden Funktionen ist jeweils 0=b , d.h. mxy = .

xxf 21)( = � 2

1=m

Zwei Einheiten in Rich-tung der x-Achse und

eine in die der y-Achse

xxg 3)( = � 133 ==m

Eine Einheit in Richtung der x-Achse und drei in

die der y-Achse

xxh =)( � 111==m

Eine Einheit in Richtung der x-Achse und eine in

die der y-Achse

xxk 5,1)( = � 235,1 ==m

Zwei Einheiten in Richtung der x-Achse und drei in die

der y-Achse

− 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5 − 0,5

c

a

P2

P1


17

Eine negative Steigung bedeutet, dass es „bergab“ geht, man zeichnet also das Stei-

gungsdreieck nicht nach oben, sondern nach unten ein.

xxf −=)(

111 −=−=m

Eine Einheit in Richtung der x-Achse

nach rechts, eine in Richtung der y-Achse nach unten

xxg 43)( −=

43−=m

Vier Einheiten nach rechts, drei

nach unten

xxh 3)( −=

133 −=−=m

Eine Einheit nach rechts, drei

nach unten

4.3.2 Zeichnen des Graphen einer LF mit Hilfe von m und b

Um eine lineare Funktionen mit Hilfe des y-Achsenabschnitts b und der Steigung m zu

zeichnen, wird zunächst der y-Achsenabschnitt auf der y-Achse markiert. Dann zeichnet

man ausgehend von diesem Punkt das Steigungsdreieck ein und erhält mit Hilfe des Stei-

gungsdreiecks einen Zweiten Punkt P2 des Funktionsgraphen.

Beispiel: 2)(32 += xxf , es ist also 2=b und 3

2=m

y-Achsenabschnitt

einzeichnen:

Punkt )2/0(P

Steigungsdreieck zeichnen:

3 Einheiten nach rechts,

2 Einheiten nach oben

Gerade zeichnen

2

3

P2 P2


18

5 Funktionsgleichungen von LF bestimmen

Um die Funktionsgleichung einer Linearen Funktion mit bmx)x(f += eindeutig bestim-

men zu können, muss man immer mindestens einen Punkt des Funktionsgraphen kennen.

Ist dann eine der beiden Variablen m oder b bekannt (also entweder die Steigung oder der

y-Achsenabschnitt gegeben), so kann die jeweils fehlende Variable bestimmt werden,

indem man alle bekannten Werte in die allgemeine Funktionsgleichung (s.o.) einsetzt und

dann nach der noch unbekannten Variable auflöst.

5.1 Ein Punkt P und der y-Achsenabschnitt b gegeben

Die allgemeine Vorgehensweise ist oben bereits beschrieben worden. Aus diesem Grund

wird das Verfahren hier lediglich anhand eines Beispiels vorgestellt.

Beispiel 5.1

Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt

( )12 −/P verläuft und den y-Achsenabschnitt 5=b besitzt.

Lösung:

Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: bmx)x(f += .

Einsetzen der x-Koordinate 2 (von P) für x, der y-Koordinate 1− (von P) für )x(f und des

y-Achsenabschnitt 5 für b ergibt die folgende Gleichung:

m

:m

m

=−⇔⋅=−⇔

−+⋅=−⇒

3

226

5521

Setzt man nun den bekannten Wert 5=b und den nun bestimmten Wert 3−=m in die

allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung:

53 +−= x)x(f .


19

5.2 Ein Punkt P und die Steigung m gegeben

Auch dieses Verfahren wird hier anhand eines Beispiels vorgestellt.

Beispiel 5.2

Gesucht ist die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, die durch den Punkt

( )83 /P verläuft und die Steigung 5=m besitzt.

Lösung:

Allgemein gilt für eine Lineare Funktion: bmx)x(f += .

Einsetzen der x-Koordinate 3 (von P) für x, der y-Koordinate 8 (von P) für )x(f und der

Steigung 5 für m ergibt die folgende Gleichung:

b

b

b

=−⇔−+=⇔

+⋅=⇒

7

15158

358

Setzt man nun den bekannten Wert 5=m und den nun bestimmten Wert 7−=b in die

allgemeine Funktionsgleichung ein, so erhält man die gesuchte Gleichung:

75 −= x)x(f .

5.3 Zwei Punkte P1 und P2 gegeben

Anhand von zwei Punkten des Graphen einer Linearen Funktion (der zugehörigen Gera-

den) kann man – anhand der Überlegungen zum Steigungsdreieck – die Steigung m die-

ses Graphen (bzw. dieser Geraden) bestimmen.

Ist diese bekannt, so kann mit dem aus 5.2 bekannten Verfahren der fehlende Wert für

den y-Achsenabschnitt b bestimmt werden. Da beide Punkte auf dem Graphen der Funkti-

on liegen sollen, kann man auswählen, welchen der beiden Punkte man zum Einsetzen

der Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung benutzt.


20

5.3.1 Steigung m anhand von zwei Punkten P1 und P2 bestimmen

Auf Seite 16 ist bereits darauf hingewiesen worden, dass die Steigung des Funktionsgra-

phen (einer Gerade) in einem Koordinatensystem oft mit Hilfe des sogenannten Stei-

gungsdreiecks veranschaulicht wird.

Dabei gilt stets, dass sich der Wert der Steigung ergibt, wenn man die Länge der senk-

rechten Seite des Steigungsdreiecks (in Richtung der y-Achse) durch die Länge der waa-

gerechten Seite (in Richtung der x-Achse) dividiert. Dies wird in der folgenden Abbildung

veranschaulicht.

Sind also zwei Punkte ( )111 y/xP und ( )222 y/xP gegeben, so kann mit Hilfe des Stei-

gungsdreiecks, das durch diese beiden Punkte festgelegt ist, die Steigung berechnet wer-

den.

Dazu muss man den Abstand der beiden Punkte in Richtung der y-Achse ermitteln und

dieser Wert durch den Abstand der Punkte in Richtung der x-Achse dividieren. Das Er-

gebnis dieser Division gibt dann den Wert der Steigung m an.

Den Abstand in Richtung der y-Achse bestimmen wir durch die Differenz der

y-Koordinaten der beiden gegebenen Punkte 12 yy − . Entsprechend kann man den Ab-

stand der Punkte in Richtung der x-Achse zu bestimmen, indem die Differenz der

x-Koordinaten der gegebenen Punkte 12 xx − berechnet wird.

Bildet man nun den Quotienten dieser beiden Werte, so gilt allgemein für eine Gerade, die

durch die Punkte 1P und 2P verläuft: 12

12xx

yym

−−= .

x2 − x1

P2(x2 / y2)

P1(x2 / y2)

y2 − y1


21

Satz (Steigung einer Geraden)

Ist eine Gerade f durch zwei Punkte )/( 111 yxP und )/( 222 yxP gegeben, so ist die Stei-

gung m dieser Geraden gleich dem Quotienten aus der Differenz der y-Werte

( 12 yy − ) und der Differenz der x-Werte ( 12 xx − ) der beiden Punkte:

12

12xx

yym

−−= .

Hinweis:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, das heißt der Graph enthält keine

„Kurve“ oder einen „Knick“, an dem sich das Steigungsverhalten ändern könnte. Dies hat

zur Folge, dass die Steigung für den gesamten Verlauf des Graphen (der Geraden) gleich

bleibt. Zudem bedeutet, dass die Steigung mit einem Steigungsdreieck von zwei völlig

beliebigen Punkten bestimmt werden kann, das Ergebnis ist stets das gleiche.

Dies soll mit der Abbildung unten verdeutlicht werden.

Ist mit Hilfe des oben beschriebenen Verfahren die Steigung m bestimmt worden, so kann

für die Bestimmung der Funktionsgleichung einer gesuchten Linearen Funktion (von der

nur die beiden Punkte 1P und 2P bekannt sind) weiter das bereits aus 5.2 bekannte Ver-

fahren verwendet werden.

Das gesamte Verfahren soll nun in 5.3.2 anhand eines Beispiels veranschaulicht werden.

1

0,5

3

1,5

50351

150

,...,,

m ====


22

5.3.2 Funktionsgleichung eine LF anhand von zwei Punkten P1 und P2

bestimmen (Beispiel)

Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer LF anhand von

zwei gegebenen Punkten zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:

Beispiel

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derjenigen Linearen Funktion f, deren Graph durch

)35/12(1P und )59/20(2P verläuft.

Lösung:

Allgemein gilt: bmx)x(f +=

I. Bestimmung der Steigung m:

Es ist 3824

12203559

12

12 ==== −−

−−

xx

yym .

II. Bestimmung des y-Achsenabschnittes b:

Einsetzen von 12=x , 35=y (also P1) und 3=m .

b

b

b

=−⇔−+=⇔

+⋅=⇒

1

363635

12335

III. Aufstellen der Funktionsgleichung:

Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung 13)( −= xxf .

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann man mit Hilfe der folgenden Strategie

bestimmen:

I. die Steigung m mit der bekannten Formel bestimmen,

II. den y-Achsenabschnitt b durch Einsetzen bestimmen und dann

III. die Funktionsgleichung aufstellen.


23

5.4 Funktionsgleichung einer parallelen Geraden bestimmen

Betrachtet man die Graphen von zwei verschiedenen Linearen Funktionen f und g, so

schneiden sich die zugehörigen Funktionsgraphen (Geraden) in aller Regel. Die Bestim-

mung dieses Schnittpunktes wird in Kapitel 6 behandelt.

Es gibt jedoch zwei Sonderfälle für den Verlauf von zwei Geraden.

Zwei Geraden können parallel zueinander oder orthogonal zueinander verlaufen.

Hier soll nun zunächst auf parallel Geraden eingegangen werden.

In der obigen Abbildung sind zwei parallele Geraden dargestellt. Offensichtlich ist die

Steigung der beiden parallelen Geraden gleich. Dies ist geometrisch gleichbedeutend

damit, dass die Funktionsgraphen an jeder Stelle denselben Abstand voneinander besit-

zen.

Satz (Steigung paralleler Geraden; gemeinsame Punkte paralleler Geraden)

Zwei Geraden f und g mit 11 bxm)x(f +⋅= und 22 bxm)x(g +⋅=

sind genau dann parallel zueinander, wenn gilt: 12 mm = .

Hinweis:

• Für 12 bb ≠ sind die beiden Geraden echt parallel, d. h. sie haben keinen

gemeinsamen Punkt (� Abb. oben).

• Für 12 bb = sind die beiden Geraden identisch, d. h. sie haben unendlich viele ge-

meinsame Punkte.


24

Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden

zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:

Beispiel 5.4

Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung 124)( −= xxf .

Bestimmen Sie die Gleichung der Linearen Funktion g , deren Gerade (d.h. deren Graph)

parallel zur Geraden von f durch den Punkt )11/2(P verläuft.

Lösung:

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion kann in 3 Schritten bestimmt

werden:

I. Bestimmung der Steigung m,

II. Bestimmung des y-Achsenabschnitts b und

III. Aufstellen der Funktionsgleichung.

I.) Bestimmung der Steigung m:

Die Gerade g verläuft parallel zur Geraden f mit 124)( −= xxf .

Auf Grund der Parallelität gilt: 412 == mm .

II.) Bestimmung des y-Achsenabschnittes b:

Die Gerade verläuft durch den Punkt )11/2(P .

Einsetzen von 2=x , 11=y und 4=m .

b

b

b

=⇔−+=⇔

+⋅=⇒

3

8811

2411

III.) Aufstellen der Funktionsgleichung

Die zu f durch den Punkt P parallele Gerade hat die Funktionsgleichung

34)( += xxg .


25

5.5 Funktionsgleichung einer orthogonalen Geraden bestimmen

Orthogonale Geraden sind Sonderfälle von zwei Geraden, die sich in einem gemeinsa-

men Punkt S schneiden (→ Kapitel 6):

Sie schließen einen Winkel von 90° ein (einen sogenannten „rechten Winkel“). Eine an-

dere Bezeichnung sagt dass diese Geraden „senkrecht aufeinander stehen“.

Die Steigung der orthogonalen Geraden ergibt sich durch das Drehen des Steigungs-

dreiecks am Schnittpunkt S um 90°. In der Abbildung unten wird dies dargestellt.

Satz (Steigung zweier orthogonaler Geraden)

Zwei Geraden f und g mit 11 bxm)x(f += bzw. 22 bxm)x(g +=

sind genau dann orthogonal zueinander, wenn gilt:

12

1m

m −= bzw. 121 −=⋅ mm .

Um die Vorgehensweise bei Bestimmung der Funktionsgleichung einer parallelen Geraden

zu verdeutlichen wird das folgende Beispiel behandelt:

Beispiel 5.5

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die orthogonal zur Geraden von f mit der

Funktionsgleichung 124)( −= xxf ist und durch den Punkt )3/20(P verläuft.

Lösung: Wir folgen auch hier dem bekannten Dreischritt.

m

+1

–1

m

S

Drehung um 90°


26

I. Bestimmung der Steigung 2m :

Die Gerade g verläuft orthogonal zur Geraden f mit 124)( −= xxf ,

somit ist 250411

12 ,

mm −=−=−= .

II. Bestimmung des y-Achsenabschnitts 2b :

Die gesuchte Gerade g verläuft durch den Punkt )3/20(P .

Einsetzen von 20=x , 3=y und 4=m .

2

2

2

8

553

202503

b

b

b,

=⇔++−=⇔

+⋅−=⇒


Die gesuchte Gerade hat die Funktionsgleichung 825,0)( +−= xxg .

6 Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Graphen von zwei verschiedenen Linearen

Funktionen sich oft in einem gemeinsamen Punkt schneiden.

Die Abbildung auf der nächsten Seite macht deutlich, dass sich die Funktionswerte (y-

Werte) der beiden dort abgebildeten linearen Funktionen f und g an – fast – allen Stellen

unterscheiden. Es gibt lediglich eine einzige Ausnahme, den Schnittpunkt S. Dort besitzen

f und g nicht nur die gleiche x- Koordinate, sondern auch die gleiche y- Koordinate (d.h.

den gleichen Funktionswert).

Setzt man also den gemeinsamen x-Wert in beide Funktionsgleichungen ein, so gilt dem-

nach für den Schnittpunkt S : )x(g)x(f = .

Dieser Ansatz führt zu einer linearen Gleichung mit deren Hilfe man die gemeinsame

x-Koordinate bestimmen kann. Setzt man diesen x-Wert dann in eine der beiden Funkti-

onsgleichungen ein, so erhält man die y-Koordinate des Schnittpunktes.


27

Beispiel (Bestimmung des Schnittpunktes zweier LF)

Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der Graphen der beiden linearen Funktionen f und g

mit 32)( −= xxf und 2)(21 +−= xxg .

Lösung:

I. Schnittstelle bestimmen (x-Wert):

Bedingung: )x(g)x(f =

2

52552

32352

23221

21

=⇔=⇔

+=−⇔

++−=−⇒

x

,:x,

x,

xxx

II. y-Koordinate bestimmen

Die y-Koordinate wird bestimmt, indem man die ermittelte x-Koordinate in

eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:

1343222 =−=−⋅=)(f

III. Schnittpunkt angeben:

Der Schnittpunkt der Graphen von f und g ist der Punkt )/(S 12 .

S


28

7 Anwendungsaufgaben (Textaufgaben)

Im Zusammenhang mit den Linearen Funktionen gibt es eine Reihe von verschiedenen

Anwendungsmöglichkeiten.

In vielen Fällen ist die Realität jedoch wesentlich komplexer, so dass man sich oft auch mit

vereinfachten Modellannahmen begnügen muss, um die jeweiligen Problemstellungen

lösen zu können.

Die verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten sollen im Folgenden anhand von vier

Beispielen demonstriert werden.

Beispiel 1 (Energiekosten)

Ein Energieversorgungsunternehmen bietet seinen Kunden zu folgenden Bedingungen

Strom an: Eine kWh (Kilowattstunde) kostet 0,14 €, bei einer monatlichen Grundgebühr

von 7,30 €.

a) Erstellen Sie eine Funktionsgleichung mit der der monatliche Strompreis in Abhän-

gigkeit von der verbrauchten Strommenge (in kWh) angegeben werden kann.

b) Die Stromrechnung im Monat Mai beläuft sich auf 55,60 €. Wie viel Strom (in kWh)

wurde verbraucht?

c) Ein anderer Versorger bietet den Strom für 0,10 € pro kWh an, bei einer monatli-

chen Grundgebühr von 9,80 €. Wie groß muss der durchschnittliche monatliche

Stromverbrauch mindestens sein, damit sich ein Wechsel des Stromanbieters

lohnt?

Lösung:

a) Für jede kWh muss 0,14 € gezahlt werden, d. h. für x kWh müssen x mal 0,14 €

bezahlt werden. Zuzüglich zum Verbrauch muss stets eine Grundgebühr in einer

Höhe von 7,30 € gezahlt werden. Somit ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

37140 ,x,)x(f += .

b) Die Funktionsgleichung gibt die Kosten in Abhängigkeit vom Stromverbrauch an.

Somit entspricht der Betrag von 55,60 € dem Funktionswert (y) und der zugehörige

x-Wert (Stromverbrauch) muss bestimmt werden.

345

140348140

3765537140

655

=⇔=⇔

−=+⇒

=

x

,:,x,

,,,x,

,)x(f

Der Verbrauch im Mai betrug also 345 kWh.


29

c) Die Funktionsgleichung wird analog zu a) bestimmt:

8910 ,x,)x(g += .

Die Kosten sind gleich beim Schnittpunkt der Graphen von f und g.

Bei einem höheren Verbrauch ist der zweite Anbieter günstiger, da dieser Vertrag

eine höhere Grundgebühr, jedoch geringere Verbrauchskosten beinhaltet.

562

04052040

3710891037140

,x

,:,x,

,x,,x,,x,

)x(g)x(f

=⇔=⇔

−−+=+⇒

=

Bei einem monatlichen Stromverbrauch von mehr als 62,5 kWh ist also der Anbieter

II günstiger als der Anbieter I.

Beispiel 2 (Schwimmbecken)

Aus einem Schwimmbecken wird zu Reinigungszwecken das Wasser abgelassen. Pro

Minute werden 1600 Liter abgepumpt. Nach 160 Minuten sind noch 272 000 Liter Wasser

im Becken.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung mit der die Wassermenge nach x Minuten

bestimmt werden kann.

b) Wie viel Wasser war ursprünglich im Becken?

c) Wann ist das Becken leer?

Lösung a)

Bei der gesuchten Funktionsgleichung ist x die Zeitangabe in Minuten und der Funktions-

wert (y) entspricht der im Becken verbliebenen Wassermenge. Somit liegt

)/(P 000272160 auf dem Graphen. Die pro Minute abgelassene Wassermenge ent-

spricht der Steigung der Funktion.

Es gilt: 1600−=m .

Mit bmxxf +=)( erhalten wir die lineare Gleichung

b

b

b

=⇔

++−=⇔+⋅−=

000528

000256000256000272

1601600000272

Also: 0005281600 +−= x)x(f .


30

Lösung b)

Die ursprüngliche Füllmenge entspricht der Wassermenge zum Zeitpunkt 0=x :

00052800052801600)0( =+⋅−=f .

Somit waren ursprünglich 528 000 Liter Wasser in dem Becken.

Lösung c)

Das Becken ist leer, wenn 0)( =xf ist.

330

)1600(:0005281600

00052800005281600

0)(

=⇔−−=−⇔

−=+−⇒

=

x

x

x

xf

Das Becken ist somit nach 330 Minuten vollständig geleert.

Beispiel 3 (Black Label)

Die Firma „Black Label“ produziert Sonderanfertigungen von T-Shirts. Die bei der Produk-

tion entstehenden Kosten K sind abhängig von der produzierten Stückzahl. Bei der Pro-

duktion von 100 Stück entstehen Kosten von 385 €, bei der Produktion von 200 Stück

entstehen Kosten von 410 €. Zwischen der Stückzahl und den Kosten besteht ein linearer

Zusammenhang.

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Kostenfunktion K.

b) Wie hoch sind die Kosten bei einer Produktion von 136 T-Shirts?

c) Geben sie die Funktionsgleichung der Erlösfunktion E an, wenn ein Verkaufspreis

von 5,05 € pro T-Shirt erzielt wird?

d) Bei welcher Menge x liegt die Gewinnschwelle, d.h. wann liegen die Erlöse über

den Kosten?

Lösung a)

Wir nehmen an, dass die Kostenfunktion K linear ist.

Auf ihrem Graphen liegen die Punkte )/(P 3851001 und )/(P 4102002 .

Die Funktionsgleichung bestimmen wir dann in altbewährter Manier:

I. 25,041

10025

100200385410

12

12 ===−−=

−−=

xx

yymK


31

II. Einsetzen der Koordinaten von 2P und der Steigung mk:

360

5041050

41020025,0

=⇔

−=+⇔=+⋅⇒

b

b

b


36025,0)( += xxK

Lösung b)

Hier suchen wir den Funktionswert an der Stelle 136=x :

3943603436013613641 =+=+⋅=)(K .

Die Kosten bei der Produktion von 136 T-Shirts betragen also 394 €.

Lösung c):

Pro verkauftes T-Shirt erzielen wir einen Erlös von 5,05 €. Daher ist

x,)x(E 055= .

Offensichtlich ist die Erlösfunktion E, wie die Kostenfunktion K, eine lineare Funktion.

Lösung d)

Die Gewinnschwelle liegt dort, wo sich die Graphen von K und E schneiden. Es geht hier

also um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen.

x

x

xxx

xExK

=⇔

=⇔

−=+⇒

=

75

8,4:8,4360

25,005,536025,0

)()(

Interpretation: Bei einer Produktion von mehr als 75 T-Shirts wird ein Gewinn erwirtschaf-

tet, d. h. ab 75 T-Shirts ist der Erlös größer als die Kosten.


32

Beispiel 4 (Überprüfung der Rechtwinkligkeit)

Ein Dreieck ist gegeben durch die Punkte )/(A 421 − , )/(B 52

7 und )/(C 22

5− .

Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Lösung:

Die Steigungen der Dreiecksseiten werden bestimmt:

Für die Steigung der Dreiecksseite AB gilt

3399)4(5

26

21

27

===−−−=

−−=

AB

ABAB

xx

yym .

Für die Steigung der Dreiecksseite BC gilt

21

212

27

25 6

3352 =−−=

−−=

−−−=BCm .

Für die Steigung der Dreiecksseite AC gilt

23

66)4(2

26

21

25

−=−

=−

=−−−−=ACm .

Es gilt also

BCAC

mm

1−= ,

da die Steigung der Strecke AC der negative Kehrwert der Steigung der Strecke BC ist,

somit sind die Seiten AC und BC orthogonal, d. h. sie bilden einen rechten Winkel.

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Grundlagen der Funktionentheorie Lineare Funktionen … · rechts (d. h. in positiver ... in der mit Hilfe des Funktionsterms für jedes x aus der Definitionsmenge der zuge- ... 3