Literaturberichte. 5

da aLer die Darstellung vielfach keineswegs breit ist, so ist wohl ein vorher- gehendes Studium des Buches ,,The Theory of Determinants, Matrices and In- variants" yon H. \¥. Turnbull oder sonst ein einfiihrendes Lehrbuch zu empfehlen. In dem vorlieg'enden B~ch werden nur end!iche Matrizen betrachtet. Der Leit- gedanke ist, dem Leser zu zeigen, wie man die Redaktion der Matrizen auf einfac.he (kanonische) Formen bei gegebener Transformationsgmppe dnrchfiihrt. Eingangs ]ernen wir ~-erse.hiedene Arten yon Matrizen kennen und mit ihnen reehnen. Es werden lineare Gleiehungssysteme, lineare Transformationen, Bilinearformen, qua- dratische Formen nnd LIermitesche Formen besprochen und zahlreiche S~tze dariiber abgeleitet. Eine Matrix A, deren Elemente a.;~ in einem Zahlkhrper I liegen, heil~t ~.quivalent einer Matrix BI wenn 2 nicht sing~liire Matrizen P und Q existieren, so dal~ B ~ P . A . Q, we die Elemente yen P und 0 zum Khrper I gehhren. Die ~qui- ~'alenten Matrizen hi]den eine Grul~pe. Es wird gezeigt, welche kanonische Formen iiquivalente Matrizen besitzen. Dann werden k-Matrizen einge[iihrt

und ihre Reduktion durchgefiihrt. Natiirlich ist hier yon invarianten Faktoren und Elementarteilern die Rede, die nicht linear, sondern yon beliebigem Grad sein dtirfen. Hierauf wcrden die wichtigsten und interessantesten Untergruppen der Gruppe der ~iquivalenten Transformationen besprochen, und zwar die kollineare, korl:elative, konjunktive, orthogonale und nnit~re Gruppe. Es werden die Reduk- tionen bet Zugrundelegung dieser Gruppen behandelt. Begreiflicherweise wird die Kollineationsgruppe am ausfiihrlichsten erhrtert, insbesonder~ mhchte ich auf die rationalen kollinearen Transformationen aufmerksam maehen nnd ihre Gegeniiber- stellung zu den frfiheren Transformationen (klassisehe Fermen, Jakobisehe For~ men . . .). Der 9. Abschnitt handelt yon singuliiren und nichtsingularen Sclla.ren yon Matrizen und ihren Reduktionen. Aueh hier mhchte ich die rationale Rednktioa hervorheben. Die letzten beiden Kapitd bringen Anwendungen, znniichst rein mathematische, wie die Frage nach den Kommutanten, Maxima und Minima yon Formen nnd reellen Funktionen, Differentialgleiehungen, dann an[ mathematische Statistik nnd Physik. Geometrische Anwen~ungen konnten rail Riicksicht auf die Vohmsbeschriinkung nur wenige gebraeht werden. Es ist verst~nd!ieh, da~ die Ver[asser die Arbeiten engliseher Mathematiker mehr beriicksiehtigen, abet am Ende ~edes Absehnittes finder s:_ch ~in objektiv gehaltener historischer-,~3ber- b]ick, der einen Wegweiser gibt, wie man tie[er in die Ma£erie eindringen kann. Zahlreiehe Aufgaben sind dem Buche einge[iigt, die nicht nnr zur Ubnng, sondern vielfach zur Weiterfiihrung dienen. Ho~reiter.

G. KowMewski, Grundzfige der Differential- und Inte~ralreehnung. 5. Aufl.; B. G. Teubner, Leipzig nnd Berlin 1932. V-}-426 Seiten. Frets geb. RM 14,40..

Das ausgezeichnete und beliebte Lehrbueh erseheint nunmehr in fiin~ter Aufiage. Zu den be:.den Anh~ingen, die schon in den let~ten Auflagen vorhanden waren un.d die eine kurze Behandlung der Determina.nten (einsehliel~lich der Funk- tionaldeterminanten und der Fredholmsehen Determinanten) boten, ist ein dritter Anhang ,,~Jber Abbildungen" getreter~; es werden dort die kon[ormen Abbildungen definiert und fiir die niehtkonformen Abbildungen die Hauptriehtungen definiert und es wird der Satz bewiesen, dal~ es Weni.gstens ein Orthogonalsystem gibt, das in ein Orthogonalsystem transformiert wird. - - Es ist kein Zweifel, dal~ dieses Buch seine lang erprobte und yell berechtigte Belieb~heit auch wetter bewahren wird. Hans Hahn.

G. A. Bliss, Variationsrechnung. Deutseh yon F. S c h w a n k. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1932. VIII + 128Seiten. Pre:.s geb. RM6,30.

Das vorliegende Bach ist das erste aus einer Reihe yon Monographien, die ul~t.er den Auspizien der ,,Mathematical Association of America," verhffentlieht werden; die Herausgabe wurde dutch eine hochherzige Stiftung ermOglicht, die yon Mrs. Mary Hegeler-Carus als Kurator des ,,Edward O. Hegeler Trust Fund" der ,Mathematical Association" iibergeben wurde. Diese Monographien sollen einem mhgliehst weiten Kreis mathematisch interessierter Mensehen die Hauptzfige versehiedener mathemat!seher Theorien in verst~indlieher und unziehender Weise vermitteln; Mrs. Carus hat diese Aufgabe sehr klar folgendermaflen umschrie~en: