Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht

Beispiele für die Unterstützung des Unterrichts durch einen CAS-Rechner.

Franz Schlöglhofer

Verwendung eines Rechners im Mathematikunterricht

• Visualisieren

• Probieren

• Interpretieren

• Probleme analysieren

• Neue Inhalte und Methoden

Inhalt:

1) Erzeugen von Figuren im Grafik-Fenster2) Messungen (Temperatur und Bewegung)

- Datenerfassung3) Visualisierung Tangente -

Ableitungsfunktion4) Beispielhaft einige Aufgaben zur

Differentialrechnung5) Modellierung: Der Torabstoß beim

Fußball

1) Erzeugen von Figuren mit Funktionen 5. Klasse

Wir verwenden:

• Lineare Funktionen

• Quadratische Funktionen

• Abschnittsweise definierte Funktionen

Quadratische Funktionen

Verschiebung - Transformation

Abschnittsweise definierte Funktionen

Auch für lineare Funktionen:

Ein kleines Projekt:

Nach eigenen Ideen Figuren erzeugen mit elementaren Funktionen

Einige Ergebnisse:

Ein einfaches Beispiel

Erstes Experiment mit einer Blume

Der traurige König (Parametrische Linien)

Qualle

Raupe

Parametrische Kreisdarstellung

Schmetterling

Kreisbögen

Im nächsten Schuljahr

piranha

2) Physikalische MessungenModellbildung

Temperatur

Bewegung

Temperaturmessung mit dem NSPIRE

Messung der Temperatur sowie Speicherung und Verarbeitung der Daten.

Lists & Spreadsheet

Spalte A:

Zeit (Sekunden)

Spalte B:

Temperatur

(beginnt mit 41,6° C und endet mit ungefähr 16° C)

Scatter-Plot mit der gesamten Datenmenge

Temperatur-anpassung.

Zwei Probleme:

Messung zu lang

Transformation des Graphen günstig für das Auffinden von passenden Funktionen.

Verkürzte Tabelle (Spalten C und D)

Zeit (Spalte C):

=seq(i,i,0,25)

Temperatur (Spalte D):

=B-16

(Approximation an die x-Achse.)

Neuer Scatter-Plot

Zeit von 0 to 25 s

Temperatur von 25° to 0° C

Approximation durch Funktionen

Naheliegend ist der erste Versuch mit einer Quadratfunktion – funktioniert nicht besonders gut.

Bessere Approximation

Nur der erste Wert macht Schwierigkeiten.

Kubische Funktion

Exponentialfunktion

Nach einigen Versuchen einigen sich die Schüler auf diese Funktion als beste Approximation.

The motion of a running ball –velocity

Sensor for the measurement of distance

Schiefe Ebene Beschleunigte Bewegung

Die Distanz vom Sensor wird im Zeitintervall von 0.05s (50 Millisekunden) gemessen

Die Daten werden gespeichert.

Sensor

Spreadsheet Spalte A:

Zeit

Spalte B:

Distanz vom Sensor beginnend mit 0,159 m.

(Spalten C and D sind v und a.)

Scatter Plot Zeit – Distanz

Nach dem Beginn der Bewegung beschleunigte Bewegung

Auswahl des Beschleunigungsbereichs

Versuch mit einer quadratischen Funktion

Man findet relativ einfach eine gut passende Funktion

Zeit – GeschwindigkeitSpalte C:

Mittlere Geschwindigkeit

Distanz und Geschwindigkeit Lineare

Zunahme der Geschwindig-keit

Entwicklung der Geschwindigkeit als Funktion

Mittlere Geschwindigkeit – Funktionsaufruf

Mit dq(x,h) kann die mittlere Geschwindig-keit im Zeitintervall [x;x+h] berechnet werden

Momentangeschwindigkeit

Begriffliche Einführung ohne Rechner

Grenzwert h geht gegen 0

Grenzwert mit dem CAS

Lineare Funktion als Ergebnis der Grenzwert-berechnung.

Geschwindigkeit als Zeit-Ort-Funktion

Mittlere Beschleunigung berechnet aus den Messwerten

3) Visualisierung Tangente-Tangentenfunktion

(Idee Zappe)

Grafikfenster

Graph der Funktion

Tangente an den Graphen (Menü)

Messung der Steigung

Bewegung des Punktes (und der Tangente)

Graph der Tangentenfunktion - Ortslinie

Maßübertragung Tangentensteigung auf die y-Achse

Konstruktion des Punktes der Ableitungsfunktion (x-Koordinate des Punktes, Wert der Tangentensteigung)

Ortskurve (strichliert)

Weitere Funktionen

Exponentialfunktion

Tangentengleichung

Von der Tangenten-darstellung mit den Anweisungen des Grafik-Menüs ausgehend soll ein Weg zur Darstellung der Gleichung einer Tangente mit Punkt und Ableitung gefunden werden.

Tangente an eine quadratische Funktion

Tangente im Grafikmenü ermitteln.

Messung der Steigung und der Tangenten-gleichung

Experimentieren

Bewegung der Tangente

Anpassung der Steigung und der Gleichung

Tangente mit Hilfe der Ableitung:

Die Tangente im Punkt (p/f(p)) des Graphen der Funktion f hat die Ableitung f´(p) als Steigung.

Lineare Funktion:

y=k.x+d ,

f(p)=f´(p).p+d d=f(p)-f´(p).p

Tangente:

ta(p):=f´(p).x+f(p)-f´(p).p

ta(p):=f´(p).(x-p)+f(p)

Eingabe im Calculator-Fenster

Darstellung der Tangente im Grafikfenster

Bewegung der Tangente mit einem Schieberegler

It´s easy to change the function.

4) Eine Extremwertaufgabe - Beleuchtung

b=10, a=11

x=5 in die zweite Ableitung einsetzen

b=10, a=8

Funktionsgraphen

Darstellung der „Einzelgraphen“

Allgemeine Untersuchung der Funktion

Zweite Ableitung

5) Fußball: Torabstoß

Annahmen treffen.

Zunächst Bewegung ohne Luftwiderstand - Parabelbahn

Quadratische Funktionen

Beschreibung der Bahn:

Z.B.:

f(x)=0.01(x-10)(x-70) - Nullstellen

Bahn gegeben durch drei Punkte

Hochpunkt

Steigung beim Abschuss

…

Der Einfluss des Luftwiderstandes Experimente von

John Wesson (Britain) in seinem Buch:

„The Science of soccer“

Der Luftwiderstand des Balls ist direkt proportional zur Geschwindigkeit des Balls (nicht quadratisch).

Daher:

Einfaches Modell

Einige Grundlagen:Beschreibung der Bewegung durch die Zeit-Ort-Funktion s(t)

Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung von s(t) (angenähert der Differenzen-quotient).

Die Beschleunigung a(t) ist die Ableitung von v(t) (angenähert der Differenzen-quotient).

Ausgangspunkt ist die Beschleunigung

Üblich ist die Beschreibung der Bahn durch die Beschleunigung und Ziel ist die anschließende Lösung der Differentialgleichung.

Mit Hilfe der Differenzenquotienten kann auch simuliert werden.

Modellbeschreibung

ax(t) = -r*vx(t)

ay(t) = -g – r*vy(t)

vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t))vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t))

sx(t+h) = sx(t) + h*vx(t)sy(t+h) = sy(t) + h*vy(t)

Beschleunigung für x und y-Koordinate.

Berechnung der Geschwindigkeit

Berechnung der Zeit-Ort-Funktion

Anfangswertev(0)=(v0*cos(w) , v0*sin(w)) s(0)=(0 / 0)

Spalte A:Konstante:v0=30 (m/s)w=43 (Winkel)r=0.3 (Konstante Widerstand)h=0.1 (Schrittweite)

Berechnung Geschwindigkeit

Spalte B: =v0*cos(w) =b1+h*(-r*b1) =b2+h*(-r*b2) ….

Spalte C: =v0*sin(w) =c1+h*(-9.81--r*c1) =c2+h*(-9.81--r*c2) ….

Calculation of position:

Column D: =0 (start of motion) =d1+h*b1 =d2+h*b2 ….

Column E: =0 =e1+h*c1 =e2+h*c2 ….

Streu-Plot von (sx/sy).

Verkürzung im abfallenden Teil

Lösung der Differentialgleichung

Lösung der Differentialgleichung mit dem CAS-System im Calculator-Fenster, getrennt x- und y-Koordinate:

Aus ax=vx´=-r*vx mit den Anfangswerten erhält man vx

Zweiter Schritt von vx zu sx(t) Anfangsbedingung Lösung

Analog für die y-Koordinate:

Daraus kann eine Funktion f(x) für die Bahn

berechnet werden:

Experimentieren it dem Graphen von f(x):

Durch Wahl der Konstanten können die Charakteristika der Bahn untersucht werden.