GruppenwettbewerbGruppenwettbewerb

Aufgabe G1 (8 Punkte)

Aufgabe G1 (8 Punkte)

Ein Würfel hat 13 Achsen, die von 3 verschiedenen Arten sind:

Jeweils durch die Mitten gegenüberliegender Flächen:

• 3 Achsen

Drehwinkel:

• 90°

• 180°

• 270°

Drehwinkel:

• 120°

• 240°

Jeweils durch gegenüberliegende Ecken (längs der 4 Raumdiagonalen)

• 4 Achsen

Drehwinkel:

• 180°

Jeweils durch die Mitte gegenüberliegender Kanten.

• 6 Achsen

Aufgabe G2 (8 Punkte)

Frage:

Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

Gegeben war folgende Konstellation:

Aufgabe G2 (8 Punkte)

Frage:

Wie muss der Punkt P gewählt werden, damit der Abstand zwischen den Punkten A und B minimal wird?

Lösung:

(1) Gleichung der Tangenten aufstellen

(2) Achsenschnittpunkte bestimmen

(3) Länge der Strecke AB in Abhängigkeit von Punkt P als Funktion darstellen

(4) Minimum der Funktion suchen

(1) Gleichung der Tangenten aufstellen: y=mx+b

Funktionsgleichung der Parabel: f(x) = 9 - x²

Punkt P (a / 9-a²)

a) Die Tangente hat im Punkt P(a / 9-a²) die Steigung f‘(a):f‘(a) = -2a Tangentengleichung: y = -2ax + b

b) Setzt man nun den Punkt P in diese ein, erhält man:-a²+9 = -2aa+bb = a²+9

Insgesamt erhält man für so für die Gleichung der Tangenten:

y = -2ax + (a²+9)

a) Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

b) Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

)9²/0( aB

(2) Achsenschnittpunkte

)0/2

9²(

2

9²

9²2

9²2

09²2

a

aA

a

ax

aax

aax

aax

(3) Bestimmen der Streckenlänge AB

)²4

11()²9²(²

)²4

)²9²(()²9²(²

²)²2

9²()²9²(

aad

a

aad

da

aa

Satz des Pythagoras:

Folgende Funktion stellt also den Abstand zwischen A und B in Abhängigkeit von der Lage von P dar:

)4

11()²9²()(

aaag

(4) Minimum der Funktion suchenBestimmen der Ableitung g‘(a) mit Hilfe der Produktregel:

)1²)(9²8(2

9²)('

)9²8(2

9²)('

'')('

2

1'2)9²(2'

)²4

11()9²(

)²4

11()9²()(

3

43

3

aaa

aag

aaa

aag

uvvuag

avaau

avau

aaag

a) Notwendiges Kriterium: g‘(a)=0

b) Vorzeichenwechselkriterium

Damit ist ein Minimum gefunden Also ist P(1/8)

1

09²801²

0)('

a

aodera

ag

)1²)(9²8(2

9²)(':

3

aa

a

aagAbleitung

9375,99)2('

25,305)5,0('

g

g

Aufgabe G3 (8 Punkte)

Glücksspiel (2 faire Würfel) mit Einsatz 2,-€ Pasch: 5,-€ Differenz von 5: 10,-€ Differenz von 1: 2,-€ (= Einsatz)

Aufgabe G3 (8 Punkte)

Ereignis(Symbol)

Pasch O

∆1□

∆5 ∆

sonst

günstig 11, 22, 33

44, 55, 66

12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16

16, 61 Rest

Wahrsch.(p)

Gewinn in € 5-2 2-2 10-2 0-236

6

36

236

18

36

10

Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst

günstig 11, 22, 33

44, 55, 66

12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16

16, 61 Rest

Wahrsch.(p)

Gewinn in € 3 0 8 -236

6

36

2

36

18

36

10

a) Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn?

Berechnung des durchschnittlichen Gewinns E(X):

€06,018

1)2(

36

188

36

20

36

103

36

6)( XE

Das heißt man macht bei diesem Spiel durchschnittlich 6 Cent Verlust!

b) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, also E(X)=0?

92,113

25

0)0(36

18)10(

36

2)(

36

10)5(

36

6

x

xxxxx

Der durchschnittliche Gewinn wird durch folgende Gleichung berechnet:

Der Einsatz müsste als ungefähr 1,92€ betragen, damit das Spiel fair ist.

Ereignis Pasch ∆1 ∆5 sonst

günstig 11, 22, 33

44, 55, 66

12, 21, 23, 32, 34, 43, 45, 56, 61, 16

16, 61 Rest

Wahrsch.(p)

Gewinn in € 5-x x-x 10-x 0-x36

6

36

2

36

18

36

10

Aufgabe G4 (8 Punkte)

Definiert wurde folgende Multiplikation:

Aufgabe G4 (8 Punkte)

),(:),(),( bcadbdacdcba

)0,0(

)343)4(,343)4(()3,3()4,4(

)1,2(

)0)2(11,1)2(01()1,0()2,1(

II

I

Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:

ayb

aaxII

abyaxI

b

abaybxII

abyaxI

giltbayxbai

²

?),(),(),()(

III

0

0)²

(

y

yb

ab

1

0

x

abaxIin

Wie muss (x,y) gewählt werden, damit für alle (a,b) mit a²≠b² gilt, dass:

0²)²(0

²

0²

²

0

1

?)0,1(),(),()(

ybaII

bybabxI

IIIyaabxII

bybabxI

aaybxII

bbyaxI

giltyxbaii

²²

²²

ba

axIin

ba

byII

EinzelwettbewerbEinzelwettbewerb

Aufgabe E1 (8 Punkte)

Wie groß sind

Länge und Breite

des Rechtecks?

1) Berechnung der Länge des Rechtecks:

Die Länge des Rechtecks entspricht 4 mal dem Radius

2) Berechnung der Breite des Rechtecks:

Wir fügen 2 Dreiecke ein:

2) Berechnung der Breite des Rechtecks:

Wir fügen 2 Dreiecke ein:

Diese sind nach SsW kongruent.

Also gilt:

DGDF

2) Berechnung der Breite des Rechtecks:

Analog folgt:

rHB

istDabei

GBHB

3

2) Berechnung der Breite des Rechtecks:

Mit Hilfe des Satz des Pythagoras gilt:

rxalso

rxrrx

2

)²3()²4()²(

Für die Breite des Rechtecks ergibt sich damit 3r

„Im Jahre 2010 sind beide Töchter so alt, wie die Quersumme ihrer Geburtsjahre!“

Wie alt sind die beiden Töchter?

Aufgabe E2 (8 Punkte)

1) Geburtsjahr der jüngeren Tochter

Das Geburtsjahr der jüngeren Schwester sei angenommen 200a:

4

82

210

200020102

)2000(2010002

a

a

aa

aa

aa

Somit ist die jüngere Schwester 2004 geboren!

2) Geburtsjahr der älteren Tochter

Für das Geburtsjahr der älteren Schwester kommen nur die 80er oder 90er Jahre in Frage:

Also muss das Geburtsjahr der älteren Tochter 19ab sein!

)1991192010(

2819199

)1983282010(

2718198

)1983272010(

2617197

möglichwäre

JahreAltermögliches

möglichwäre

JahreAltermögliches

aber

JahreAltermögliches

2) Geburtsjahr der älteren Tochter

Das Geburtsjahr der älteren Schwester sei angenommen 19ab:

Wir verwenden nun:

2

11100

111002

100211

10100

109001000201010

)109001000(201091

ab

ab

ba

baba

baba

baba

8,8 aalsoseingerademussaunda

TochterälterediefürrGeburtsjahdassichergibtAlso

bliefertEinsetzen

1986

6:

Lösung Aufgabe:

Geburtsjahr Alter 2010

Quersumme

Ältere Tochter

1986 24 24

Jüngere Tochter

2004 6 6

Für jede reelle Zahl z sei [z] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich z.

Aufgabe E3 (8 Punkte)

zzz][

Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt!

Zeichnen Sie im KOS alle Punkte (x/y), für die [x]² + [y]² = 4 gilt

[1;0[[1;2[ yundx

[1;2[[1;0[ yundx

(i) [2]² + [0]² = 4

(ii) [-2]² + [0]² = 4

(iii) [0]² + [2]² = 4

(iv) [0]² + [-2]² = 4

[3;2[[1;0[ yundx

[1;0[[3;2[ yundx

SchnelligkeitswettbewerbSchnelligkeitswettbewerb

Wie lang ist der Weg des Lichtstrahls?

Aufgabe H1 (3 Punkte)

Lösung:

• Reflexionsgesetz: Einfallswinkel =Reflexionswinkel

Weg des Lichts = Strecke P‘Q‘

61

)²32()²24(

²²''

xyQP

Rechung:

Aufgabe H2 (3 Punkte)

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

Lösung:

Mit istBAC:

10

1803140

:ABCDreieck Betrachte

Aufgabe H3 (3 Punkte)

Lösung:

Damit f(g(x)) = x gilt, muss g(x)=y die Umkehrfunktion von f(x)

sein.

23

4

4)23(

423

243

43

2

x

xy

xxy

xyxy

yxxy

y

yx

:f(x) von ermFunktionst imy undn von x Vertausche

x

xxg

32

4)(

Berechnen Sie die schraffierte Fläche in Abhängigkeit von a und b!

Aufgabe H4 (3 Punkte)

Lösung:

Aufgabe H5 (3 Punkte)

Lösung:

013²

0)]1([)1(1

0

:

aa

aaaaab

abba

abbaIin

1

²²:

ab

babaII

²² babaII

babaI

Lösung:

Für b ergibt sich durch Einsetzen:

1b (1 5)

2

)53(2

1

4

5

2

3

013²

a

aa

Die Seitenflächen eines Quadrats sind 18cm2, 40cm2 und 80cm2.

Wie groß ist sein Volumen?

Aufgabe H6 (3 Punkte)

b

ac

b

ac

Lösung:

I II

III

2IA 18cm a b

2IIA 40cm a c

2IIIA 80cm b c

b

ac

Lösung:

I II

III

bcacab 804018

²²²57600 cba

abc57600³240cmVQ