Hans Wtlhelm Schüßler

Netzwerke, Signale und Systeme Band I Systemtheorie linearer elektrischer Netzwerke

Zweite, neubearbeitete und erweiterte Auflage

Mit 251 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1988

Dr.-Ing. Hans Wilhelm Schüßler Universitätsprofessor, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Universität Erlangen-Nümberg

Die l. Auflage 1981 erschien unter gleichem Titel als »Hochschultext«

ISBN 978-3-540-52987-3

CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Schüßler, Hans w.: Netzwerke, Signale und Systeme I H. W. Schüßler. Literaturangaben. - Teilw. mit d. Erscheinungsorten Berlin, Heidelberg, NewYork.­In Deutsche Bibliographie, Reihe N, angezeigt u.dT.: Schüßler, Hans Wilhelm: Netzwerke, Signale und Systeme

Bd. I Schüßler, Hans W.: Systemtheorie linearer elektrischer Netzwerke.-2., neubearb. u. erw. Aufl. - 1988

Schüßler, Hans w.: Systemtheorie linearer elektrischer Netzwerke I Hans Wilhelm Schüßler.-2., neubearb. u. erw. Aufl.-ISBN 978-3-540-52987-3 ISBN 978-3-662-10202-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-10202-2

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1981 and 1988 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1988

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2362/3020-543210

Vorwort

Der erste Band des Werkes " Netzwerke, Signale und Systeme" wird hier in zwei­ter Auflage nach Überarbeitung und wesentlicher Erweiterung vorgelegt. Er enthält den Stoff einer Vorlesung, die der Verfasser in einem viersemestrigen Kurs für Studenten der Elektrotechnik vor dem Vorexamen hält. Sowohl die Auswahl des Stoffes wie die Reihenfolge der Darstellung erfolgte unter starker Berücksichtigung didaktischer Gesichtspunkte bei Beachtung des Fortschreitens der parallel laufenden Vorlesungen in Mathematik und Physik.

Der vorliegende Band beschäftigt sich mit der Analyse von Netzwerken, die aus den linearen Bauelementen Widerstand, Kapazität, gekoppelten und nicht ge­koppelten Induktivitäten, Gyratoren sowie gesteuerten und ungesteuerten Quel­len bestehen. Er stellt den Versuch einer weitgehend systemtheoretischen Be­trachtungsweise dar, bei der die genannten Elemente per Definition idealisiert eingeführt werden. Aus der Physik werden im wesentlichen lediglich die Kirch­hoffschen Gleichungen als Basis für die Beschreibung des Verhaltens in einem aus diesen Elementen zusammengesetzten Netzwerk benutzt. Die physikalischen Phänomene, auf Grund derer reale Elemente zur näherungsweisen Darstellung der idealisierten gewonnen werden können, werden nur kurz im Anhang be­trachtet. Im übrigen wird dazu auf die Literatur verwiesen. Der modellhafte Charakter der mit idealisierten Elementen erreichbaren Beschreibung, die nur in einem beschränkten Bereich approximativ ein Abbild der Realität liefern kann, wird bereits im einleitenden Kapitel betont.

Die speziellen und allgemeinen Verfahren der Netzwerkanalyse werden im 2. Ka­pitel zunächst an Gleichstromnetzwerken ausführlich behandelt. Neu aufgenom­men wurde hier ein Abschnitt über die Messung der verschiedenen Größen. Nach Einftihrung komplexer Amplituden und Erweiterung der Begriffe Widerstand und Leitwert werden die Analysemethoden dann auf Wechselstromnetzwerke angewendet. Die Darstellung wurde hier sehr wesentlich durch den Wunsch be­einflußt, möglichst früh den Begriff der Übertragungsfunktion einer komplexen Frequenzvariablen einzuführen. Dabei wurde mit exponentiellen Testfunktionen zur Erregung der Systeme gearbeitet, wobei eine Veranschaulichung durch das Experiment durchaus möglich ist. Nach einem Kapitel über Vierpoltheorie, in

VI Vorwort

dem jetzt auch in die Beschreibung mit Streuparametern eingeführt wird, werden die Eigenschaften der Übertragungsfunktion relativ eingehend behandelt. Hier werden u.a. Bode-Diagramme, Minimum-Phasensysteme und Allpässe, Zweipol­und speziell Reaktanzfunktionen untersucht. Ausführlich werden Ortskurven, algebraische Stabilitätstests und die Beziehungen zwischen den Komponenten einer Übertragungsfunktion dargestellt. Ein eigenes Kapitel ist den Einschwing­vorgängen gewidmet, wobei auch die Beschreibung der Netzwerke mit Zustands­gleichungen sowie deren Lösung berücksichtigt wurde. Die Untersuchung des Zeitverhaltens mit Hilfe der Laplace-Transformation wird ebenfalls eingehend dargestellt. Die Simulation von wichtigen passiven Netzwerken auf einem Ana­logrechner und insofern ihre Realisierung mit aktiven Bauelementen schließt die­ses Kapitel ab.

Im Anhang finden sich neben den bereits genannten Angaben zu physikalischen Phänomenen Abschnitte mit kurzen Erläuterungen zu verwendeten mathemati­schen Grundlagen sowie eine Zusammenstellung häufig benötigter Formeln.

Der Band ist als Lehrbuch gedacht. Einem induktiven Vorgehen in der Behand­lung des Stoffes wurde der Vorzug gegeben. Dementsprechend enthält das Buch eine Vielzahl von Beispielen, bei deren Auswahl versucht wurde, weitgehend Schaltungen zu untersuchen, die auch eine praktische Bedeutung haben. Zahl­reiche Meßergebnisse werden dazu in Form von Oszillogrammen zur Illustration gebracht. Eine Zusammenstellung der Standard verfahren zum Entwurf von Sy­stemen mit vorgeschriebenen Eigenschaften im Frequenz- oder Zeitbereich soll auch den Studenten Grundkenntnisse auf diesem Gebiet vermitteln, die später nicht primär mit Syntheseaufgaben befaßt sind.

Bei der Vorbereitung der Beispiele sowie beim Lesen der Korrektur des völlig neu geschriebenen Textes haben mir Mitarbeiter des Lehrstuhls für N achrichtentech­nik geholfen, von denen ich besonders die Herren Dr. Steffen, Dipl.-Ing. Edler, Hauke, Lang, Schulist und Weith nennen möchte. Die Reinschrift des Textes, die Anfertigung der neuen Zeichnungen und die photographischen Arbeiten haben Frau Frizlen, Frau Koschny und Frau Weiß übernommen. Ihnen allen gilt mein Dank. Ebenso möchte ich dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit danken.

Erlangen, August 1988 H.W. Sehüßler

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1.1 Vorbemerkung 1.2 Physikalische Größen . 1.3 Literaturverzeichnis

2 Analyse linearer Widerstandsnetzwerke 2.1 Elemente .......... .

2.1.1 Quellen ....... . 2.1.2 Lineare Widerstände

2.2 Struktur von Netzwerken .. 2.3 Die Kirchhoffschen Gesetze

2.3.1 Knoten- und Maschenregel 2.3.2 Definition von Zweipolen und Vierpolen 2.3.3 Spannungs- und Stromquellen ..... 2.3.4 Spezielle Verfahren zur Netzwerkanalyse

2.4 Die Leistung .................. . 2.5 Allgemeine Verfahren zur Analyse von Widerstandsnetzwerken

2.5.1 Maschenanalyse .................. . 2.5.2 Knotenanalyse .................. . 2.5.3 Eine topologische Methode zur Netzwerkanalyse

2.6 Messung von Gleichgrößen und ohmschen Widerständen 2.6.1 Allgemeines .... . 2.6.2 Strommessung ... . 2.6.3 Spannungsmessung .. 2.6.4 Widerstandsmessung.

2.7 Literaturverzeichnis .....

3 Analyse allgemeiner linearer Netzwerke 3.1 Elemente allgemeiner linearer Netzwerke.

3.1.1 Quellzeitfunktionen .... . 3.1.2 Lineare zweipolige Elemente ... . 3.1.3 Lineare vierpolige Elemente ... .

3.1.3.1 Gekoppelte Induktivitäten, idealer Übertrager 3.1.3.2 Gyrator ...... . 3.1.3.3 Gesteuerte Quellen .............. .

1 1 4 5

7 7 7 8

10 12 12 19 22 26 34 36 36 43 52 58 58 59 62 64 67

69 69 69 73 77 78 83 85

VIII Inhaltsverzeichnis

3.2 Analyse allgemeiner Netzwerke 86 3.2.1 Der Reihenschwingkreis 86 3.2.2 Weitere Beispiele . . . . 101

3.2.2.1 RC-Abzweigschaltung. 101 3.2.2.2 Magnetisch gekoppelte Schwingkreise 103 3.2.2.3 Überbrückte T-Schaltung 105

3.2.3 Verallgemeinerung............ 108 3.2.4 Netzumwandlung . . . . . . . . . . . . . 111 3.2.5 Weitere Beispiele zur Schaltungsanalyse 113

3.2.5.1 Brückenschaltung . . . . . . . 113 3.2.5.2 Sparbrückenschaltung . . . . . 116 3.2.5.3 Schaltungen mit gesteuerten Quellen. 119 3.2.5.4 Schaltungen mit Operationsverstärkern 123

3.3 Einige allgemeine Sätze der Netzwerktheorie . 127 3.3.1 Überlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3.1.1 Allgemeines................ 127 3.3.1.2 Quellen mit allgemeinen periodischen Zeitfunk-

tionen ........................ 129 3.3.2 Ersatzquellen . . 131 3.3.3 Umkehrungssatz . . . 137 3.3.4 Duale Netzwerke . . . 140 3.3.5 Leistung im Netzwerk 142 3.3.6 Satz von Tellegen . 150

3.4 Mehrphasensysteme ..... 157 3.4.1 Grundschaltung . . . . 157 3.4.2 Unsymmetrische Belastung 160 3.4.3 Dreieckförmig geschalteter Verbraucher 164 3.4.4 Symmetrische Komponenten ..... . 165 3.4.5 Einschaltung eines Drehstromgenerators an ein starres

Netz. . . . . 171 3.5 Literaturverzeichnis 175

4 Vierpoltheorie 4.1 Vierpolgleichungen ........ . 4.2 Vierpolarten ............ . 4.3 Zusammenschaltung von Vierpolen

4.3.1 Parallel- und Reihenschaltung 4.3.2 Kettenschaltung von Vierpolen

4.4 Wellenparameter . . . . . . . . . . . 4.5 Betriebsparameter ......... . 4.6 Beschreibung durch Streuparameter 4.7 Ersatzschaltungen . 4.8 Literaturverzeichnis ........ .

177 177 187 189 189 195 197 208 212 219 225

Inhaltsverzeichnis IX

5 Übertragungsfunktionen 227 5.1 Allgemeines...................... 227

5.1.1 Darstellungen einer Übertragungsfunktion . 227 5.1.2 Reellwertigkeit und Stabilität 230 5.1.3 Erläuterung und Beispiele. . . . 233

5.2 Mindestphasensysteme und Allpässe . . 236 5.3 Zweipolfunktionen, Reaktanzfunktionen 240 5.4 Frequenzgang der Dämpfung, Phase und Gruppenlaufzeit 248

5.4.1 Allgemeine Untersuchung, Bode-Diagramme 248 5.4.2 Charakteristische Frequenzgänge 259 5.4.3 Messung des Frequenzganges 267

5.5 Ortskurven . . . . . . . . . . . 273 5.5.1 Einführung . . . . . . . 273 5.5.2 Elementare Ortskurven 274 5.5.3 Beispiele......... 278 5.5.4 Die gebrochen lineare Abbildung 284

5.6 Stabilität ................. 288 5.6.1 Vorbemerkung .. . . . . . . . . 288 5.6.2 Eigenschaften von Hurwitz-Polynomen . 289 5.6.3 Algebraische Stabilitätstests . . . . . . . 296 5.6.4 Abschließende Bemerkungen ...... 301

5.7 Beziehungen zwischen den Komponenten einer Übertragungs-funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 5.7.1 Bestimmung von H(s) aus Re{H(jw)} oder Im{H(jw)} 301 5.7.2 Bestimmung von H(s) aus IH(jw)1 305

5.8 Literaturverzeichnis ........................ 309

6 Einschwingvorgänge 311 6.1 ~inleitung.................... 311 6.2 Ubergangsverhalten bei einfachen Netzwerken 313

6.2.1 Entladevorgang bei einem RC-Glied 313 6.2.2 RC-Glied mit Spannungsquelle 316 6.2.3 Schaltungsvarianten . . . . . . . . 321 6.2.4 Reihenschwingkreis . . . . . . . . . 326

6.2.4.1 Allgemeine Untersuchung 326 6.2.4.2 Diskussion des Einschwingverhaltens . 332

6.3 Zustandsgleichungen elektrischer Netzwerke 337 6.3.1 Vorbemerkungen................ 337 6.3.2 Aufstellung der Zustandsgleichungen. . . . . 339 6.3.3 Lösung der Zustandsgleichung im Zeitbereich 350

6.4 Behandlung von Einschwingvorgängen mit der Laplace-'ll:ans-formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 353 6.4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . 353 6.4.2 Untersuchung allgemeiner Netzwerke. 364 6.4.3 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . 366 6.4.4 Übertragungsfunktion, Impuls- und Sprungantwort 370

x Inhaltsverzeichnis

6.4.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.6 Ergänzungen und Beispiele . . . . . . . . .

6.4.6.1 Autokorrelierte der Impulsantwort 6.4.6.2 Ausgangsfunktionen begrenzter Dauer . 6.4.6.3 Periodische Quellfunktionen ...

6.4.7 Einschwingverhalten bestimmter Tiefpässe . 6.5 Lösung der Zustandsgleichung im Frequenzbereich 6.6 Simulation von Netzwerken am Analogrechner. 6.7 Literaturverzeichnis .............. .

378 380 380 385 388 391 395 400 409

7 Anhang 411 7.1 Einheiten und Formelzeichen 411

7.1.1 Grundeinheiten.... 411 7.1.2 Abgeleitete Einheiten 412 7.1.3 Bezeichnungen der dezimalen Vielfachen und Bruchteile

von Einheiten. 414 7.2 Passive Bauelemente 415

7.2.1 Widerstände 415 7.2.2 Kondensatoren 416

7.2.2.1 Elektrisches Feld. 416 7.2.2.2 Kapazität..... 419 7.2.2.3 Praktische Ausführung 422

7.2.3 Spulen............ 423 7.2.3.1 Magnetisches Feld . . . 423 7.2.3.2 Induktivität ...... 428 7.2.3.3 Praktische Ausführung 432

7.2.4 Übertrager .......... 433 7.2.4.1 Gekoppelte Spulen. 433 7.2.4.2 Spezielle Fälle . . . 435 7.2.4.3 Ersatzschaltungen 435 7.2.4.4 Praktische Ausführung 436

7.3 Aktive Bauelemente ........... 437 7.3.1 Bipolartransistoren . . . . . . . . 437

7.3.1.1 Gleichstromverhalten und Kennlinienfelder 438 7.3.1.2 Kleinsignalverhalten, Ersatzschaltbilder 440

7.3.2 Feldeffekttransistoren 442 7.4 Formelsammlung . . . . . . . . . 444

7.4.1 Komplexe Rechnung . . . 444 7.4.2 Potenzreihenentwicklung . 446 7.4.3 Näherungsformeln .... 447 7.4.4 Trigonometrische Funktionen 447 7.4.5 Hyperbelfunktionen .... 450

7.5 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . 452 7.6 Berechnung der Übergangsmatrix . 458 7.7 Laplace-Transformation . . . . . . 462

7.7.1 Definition und Eigenschaften 462

Inhaltsverzeichnis XI

7.7.2 Die Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 465 7.7.3 Sätze der Laplace-Transformation .......... 466 7.7.4 Die Impulsfunktion und ihre Laplace-Transformierte 469

7.8 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Namen- und Sachverzeichnis 475

Einige wichtige Formelzeichen

1. Zeitfunktionen, komplexe Amplituden, Laplace-Transformierte, komplexe Frequenz

v(t) : Funktion der reellen Zeitvariablen t

v = vei'l' : komplexe Amplitude der Exponentialfunktion v(t) = Ve,t

v"" : Effektivwert einer periodischen Funktion

V(s) = !e{v(t)}: Laplace Transformierte von v(t)

s = u+jw:

cL1(t) :

6o(t) :

komplexe Frequenz

Sprungfunktion

Diracimpuls

2. Sprungantwort, Impulsantwort, Übertragungsfunktion, Frequenzgänge

h_1(t) : Sprungantwort = Reaktion des Systems auf die Sprungfunktion 6_ 1(t)

ho(t) : Impulsantwort = Reaktion des Systems auf den Impuls 6o(t)

H(s) = !e{ho(t)}: Übertragungsfunktion

H(jw) = P(w) + jQ(w) : Frequenzgang

= e-[a(w)+ib(w»)

a(w) = -ln IH(jw)l: Dämpfung des Systems

b( w) = - arg H (jw): Phase des Systems

db(w) rg(w) = ClW'"'" : Gruppenlaufzeit des Systems

3. Transformationen, Operationen

XIV Einige wich tige Formelzeichen

4.

2 { .} : Laplace-Transformierte

2-1 { .} : inverse Laplace-Transformierte

Re{· }, I m{ .}: Realteil, Imaginärteil einer komplexen Zahl oder Größe

[-]* : kongugiert komplexer Wert einer Zahl oder Größe

Matrizen, Vektoren, Mengen

A,AT : Matrix, transponierte Matrix

E: Einheitsmatrix

M: Modalmatrix

A: Diagonalmatrix der Eigenwerte

a,aT : Spalten-, Zeilenvektor

e,eT : Einheitsspalten-, Einheitszeilenvektor

C: Menge der komplexen Zahlen

IR: Menge der reellen Zahlen

IR+ : Menge der positiven reellen Zahlen

IN: Menge der natürlichen Zahlen

INo : Menge der natürlichen Zahlen einschl. Null

7L: Menge der ganzen Zahlen

5. Symbole

E Elemente von

für alle

nach Definition gleich

k1(ßk)k2 Variation einer ganzzahligen Variablen in Schritten ßk von k1 bis k2