hydromechanik

Hydromechanik

Vorlesungsumdruck fr die Bachelorvorlesung Hydromechanik

Ausgabe April 2015

Technische Universitt Braunschweig Leichtwei-Institut fr Wasserbau Abteilung Hydromechanik und Kstenin-genieurwesen Prof. Dr.-Ing. Hocine Oumeraci

Inhaltsverzeichnis 2

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................................... 2Abbildungsverzeichnis ............................................................................................................... 7Tabellenverzeichnis .................................................................................................................. 11Symbolverzeichnis ................................................................................................................... 121 Aufgaben der Hydromechanik. ......................................................................................... 192 Physikalische Eigenschaften des Wassers ........................................................................ 20

2.1 Dichte ....................................................................................................................... 202.2 Kompressibilitt (Volumenelastizitt) ..................................................................... 212.3 Oberflchenspannung (Kapillarspannung) .............................................................. 222.4 Viskositt ................................................................................................................. 262.5 Lslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers .................................................... 262.6 Zusammenfassung ................................................................................................... 27

3 Hydrostatik ........................................................................................................................ 273.1 Der Begriff "Druck" ................................................................................................. 273.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundgleichungen der

Hydrostatik) ............................................................................................................. 323.3 Hydrostatische Druckkrfte auf ebene Flchen ....................................................... 353.4 Hydrostatische Druckkrfte auf gekrmmte Flchen .............................................. 383.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES) ................................................................... 423.6 Schwimmender Krper und Schwimmstabilitt ...................................................... 43

3.6.1 Schwimmfhigkeit ....................................................................................... 443.6.2 Schwimmstabilitt und Kriterien ................................................................. 46

3.7 Einfluss zustzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen Druck ................ 493.7.1 Problemstellung ........................................................................................... 493.7.2 Senkrecht beschleunigter Wasserbehlter .................................................... 503.7.3 Horizontal beschleunigter Wasserbehlter .................................................. 52

3.8 Zusammenfassung ................................................................................................... 553.9 Aufgaben .................................................................................................................. 57

4 Einfhrung in die Hydrodynamik ..................................................................................... 754.1 Definition und Feldbeschreibung ............................................................................ 754.2 LAGRANGEsche und EULERsche Beschreibung ................................................. 764.3 Klassifizierung von Strmungen ............................................................................. 764.4 Grundgesetze der Physik und Stoffgesetze bei Strmungen ................................... 774.5 Wichtige Begriffe der Hydrodynamik (stationre Strmung) ................................. 78


4.6 Zusammenfassung ................................................................................................... 835 Kontinuittsgleichung ....................................................................................................... 84

5.1 Eindimensionales Strmungsfeld ............................................................................ 845.2 Zwei- und dreidimensionales Strmungsfeld .......................................................... 865.3 Zusammenfassung ................................................................................................... 885.4 Aufgaben .................................................................................................................. 88

6 Einfhrung in die Potentialstrmung ................................................................................ 916.1 Definition und Begriffe ............................................................................................ 916.2 Strom- und Potentiallinien bei stationrer Strmung .............................................. 946.3 Praktische Hinweise fr die Untersuchung von Potentialstrmungen .................... 97

6.3.1 Untersuchungsmethoden bersicht .......................................................... 976.3.2 Hinweise zur Erstellung von Potentialnetzen .............................................. 986.3.3 Hinweise zur Auswertung des Potentialnetzes .......................................... 100

6.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 1036.5 Aufgaben ................................................................................................................ 104

7 Einfhrung in den Energiesatz ........................................................................................ 1057.1 Allgemeines zur Energie-Gleichung ...................................................................... 1057.2 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung .............................................................. 106

7.2.1 Annahmen und Ausgangsgleichung .......................................................... 1067.2.2 Ausgangssystem ......................................................................................... 1067.2.3 Herleitung der BERNOULLI-Gleichung ................................................... 1087.2.4 Diskussion und Anmerkungen ................................................................... 110

7.3 Anwendungsbeispiele ............................................................................................ 1127.3.1 Ausfluss aus ffnungen ............................................................................. 1127.3.2 Rohrerweiterung und -verengung .............................................................. 1137.3.3 Staudruck ................................................................................................... 1147.3.4 Dynamischer Auftrieb und MAGNUS-Effekt ........................................... 1177.3.5 Hydrodynamisches Paradoxon................................................................... 1207.3.6 Schiffskollision .......................................................................................... 121


8 Einfhrung in den Impulssatz ......................................................................................... 1298.1 Allgemeines ........................................................................................................... 1298.2 Besonderheiten des Impulsbegriffes in der Hydromechanik ................................. 1298.3 Herleitung des Impulssatzes in der Hydromechanik ............................................. 131

8.3.1 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 1318.3.2 Herleitung des Impulssatzes ...................................................................... 1328.3.3 Sttzkraftsatz.............................................................................................. 133

8.4 Anwendung des Impulssatzes ................................................................................ 1368.4.1 Allgemeine Vorgehensweise ..................................................................... 136


8.4.2 Anwendungsbeispiele ................................................................................ 1368.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 1478.6 Aufgaben ................................................................................................................ 148

9 Theorie der kritischen Tiefe bei Strmungen im Freispiegelgerinne .............................. 1559.1 Ausgangssystem und Annahmen ........................................................................... 1559.2 Ableitung der Zustandsgleichung eines Fliequerschnittes .................................. 1559.3 Untersuchung der Zustandsgleichung bei konstantem Abfluss ............................. 1569.4 Durchfluss bei konstanter Energiehhe ................................................................. 1619.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 1659.6 Aufgaben ................................................................................................................ 166

10 Berechnung von lokalen Energieverlusten ...................................................................... 17010.1 Beispiel aus der Gerinnestrmung: Ebener freier Wechselsprung ........................ 170

10.1.1 Problemstellung ......................................................................................... 17010.1.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 17010.1.3 Berechnung der Unterwassertiefe .............................................................. 171

10.2 Beispiel aus der Rohrstrmung: BORDAscher-Stoverlust .................................. 17310.2.1 Problemstellung ......................................................................................... 17310.2.2 Ausgangssystem und Annahmen ............................................................... 17310.2.3 Berechnung des BORDAschen Stoverlustes ........................................... 174


11 Laminare und turbulente Strmung ................................................................................ 18011.1 Definition - Auswirkung der Viskositt ................................................................ 18011.2 Unterschied zwischen idealen und realen Strmungen Das D'ALEMBERTsche

Paradoxon .............................................................................................................. 18011.3 Laminare und turbulente Strmung - Das REYNOLDS-Experiment ................... 18211.4 Viskositt und Reibungsgesetz von NEWTON ..................................................... 185

11.4.1 Definition und Fluidreibungsgesetz ........................................................... 18511.4.2 Implikationen und Gltigkeit des NEWTONschen Reibungsansatzes ...... 187

11.5 Umschlag laminar/turbulent REYNOLDS-Zahl ................................................ 18811.5.1 Umschlag laminar/turbulent ....................................................................... 18811.5.2 Herleitung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 19011.5.3 Bedeutung der REYNOLDS-Zahl ............................................................. 19111.5.4 Kritische REYNOLDS-Zahl ...................................................................... 192

11.6 Grenzschicht-Konzept nach PRANDTL ............................................................... 19611.6.2 Grenzschichtentwicklung ........................................................................... 198


12 Laminare Strmung im Kreisrohr ................................................................................... 20612.1 Allgemeines und Annahmen .................................................................................. 206


12.2 Schubspannungsverteilung .................................................................................... 20612.3 Geschwindigkeitsverteilung .................................................................................. 20912.4 Zusammenfassung ................................................................................................. 213

13 Laminare Strmung im Boden (DARCY) ...................................................................... 21413.1 Herleitung des DARCYschen Filtergesetzes ......................................................... 21413.2 Wichtige Anmerkungen ......................................................................................... 21813.3 Behandlung als Potentialstrmung ........................................................................ 22013.4 Hydraulischer Grundbruch .................................................................................... 22213.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 22413.6 Aufgaben ................................................................................................................ 225

14 Turbulente Strmung im Kreisrohr ................................................................................. 23314.1 Einleitung ............................................................................................................... 233

14.1.1 Erweiterte BERNOULLI-Gleichung ......................................................... 23314.1.2 Zentrales Problem der Berechnung von Druckrohrleitungen .................... 233

14.2 Allgemeines Widerstandsgesetz der stationren Druckrohrstrmung ................... 23514.2.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 23514.2.2 Wichtige Anmerkungen ............................................................................. 238

14.3 Widerstandsbeiwert ............................................................................................ 23914.3.1 Widerstandsbeiwert bei laminarer Strmung............................................. 23914.3.2 Widerstandsbeiwert bei turbulenter Strmung .......................................... 240

14.4 Lokale Verluste ...................................................................................................... 24914.4.1 Entstehung.................................................................................................. 24914.4.2 Berechnungsanstze ................................................................................... 250

14.5 Druckstrmung in Rohren mit nichtkreisfrmigem Querschnitt ........................... 25414.6 Praktische Hinweise zur Bemessung und Optimierung von Rohrleitungen .......... 25514.7 Zusammenfassung ................................................................................................. 25714.8 Aufgaben ................................................................................................................ 259

15 Turbulente Strmung im Freispiegelgerinne .................................................................. 26615.1 Grundlegende Unterschiede zwischen Strmung im Druckrohr und im

Freispiegelgerinne .................................................................................................. 26615.2 Strmungsflle - Gleichfrmiger und ungleichfrmiger Abfluss .......................... 26815.3 Widerstandsgesetz und empirische Flieformeln fr den gleichfrmigen stationren

Abfluss ................................................................................................................... 27115.3.1 Herleitung des Widerstandsgesetzes .......................................................... 27115.3.2 Empirische Flieformeln ........................................................................... 27315.3.3 Einschrnkungen bei der Anwendung der Flieformeln ........................... 27715.3.4 Grundaufgaben der Gerinnehydraulik ....................................................... 278

15.4 Hydraulischer Radius und hydraulisch gnstige Querschnitte Sonderflle ... 27915.4.1 Hydraulischer Radius ................................................................................. 27915.4.2 Gerinne mit gegliedertem Querschnitt ....................................................... 28215.4.3 Gerinne mit inhomogener Rauheit ............................................................. 284


15.4.4 Hydraulisch gnstige Querschnitte ............................................................ 28615.5 Zusammenfassung ................................................................................................. 28815.6 Aufgaben ................................................................................................................ 290

16 Weiterfhrendes Schrifttum ............................................................................................ 297

Abbildungsverzeichnis 7 Abbildungsverzeichnis Abb. 1.1: Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und

Gliederung .................................................................................................... 19Abb. 2.1: Oberflchenspannung mit und ohne Randeinfluss ....................................... 23Abb. 2.2: Bestimmung der Oberflchenspannung ....................................................... 25Abb. 2.3: Kapillarwirkung verschiedener Flssigkeiten .............................................. 25Abb. 3.1: Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen ........................... 29Abb. 3.2: Schweredruck ............................................................................................... 31Abb. 3.3: Pressdruck .................................................................................................... 31Abb. 3.4: Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung .................................... 32Abb. 3.5: Hydrostatische Druckverteilung .................................................................. 34Abb. 3.6: Druckverteilung bei geschichteten Flssigkeiten ........................................ 34Abb. 3.7: Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft ................ 36Abb. 3.8: PASCALsches Paradoxon............................................................................ 37Abb. 3.9: Hydrostatischer Druck in Grndungsfuge ................................................... 37Abb. 3.10: Druckkraft auf gekrmmte Flchen ............................................................. 39Abb. 3.11: Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente ..... 40Abb. 3.12: Resultierende Druckkraft auf gekrmmte Flchen (konvex) ....................... 41Abb. 3.13: Resultierende Druckkraft auf gekrmmte Flchen (konkav) ....................... 41Abb. 3.14: Definitionsskizze fr die Bestimmung des Auftriebs .................................. 43Abb. 3.15: Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz ............................. 44Abb. 3.16: Schwimmvermgen ..................................................................................... 45Abb. 3.17: Stabile, labile und indifferente Schwimmlage ............................................. 47Abb. 3.18: Ausgelenkte Schwimmkrper (Definitionsskizze) ...................................... 48Abb. 3.19: Linien gleichen Druckes .............................................................................. 50Abb. 3.20: Vertikale Bewegung eines Wasserbehlters bei unterschiedlicher

Beschleunigung b ......................................................................................... 51Abb. 3.21: Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehlter .......................... 53Abb. 3.22: Horizontal rotierender Wasserbehlter ........................................................ 54Abb. 3.23: Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand ....................................... 58Abb. 3.24: Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand .............................. 59Abb. 3.25: Kreissegmentschtz ..................................................................................... 60Abb. 3.26: Druck auf schrge Flche ............................................................................. 61Abb. 3.27: Druckspannungsfigur auf "Nase" ................................................................. 62Abb. 3.28: Krftezerlegung ............................................................................................ 63Abb. 3.29: Druck auf eine Klappe ................................................................................. 64Abb. 3.30: Druckspannungsverteilung auf die Klappe .................................................. 64Abb. 3.31: Druckspannungsverteilung bei gekrmmten Flchen .................................. 65Abb. 3.32: Prinzip des ARCHIMEDES ......................................................................... 69Abb. 3.33: Auftrieb einer Mauer .................................................................................... 70Abb. 3.34: Beschleunigungssysteme ............................................................................. 71Abb. 3.35: Beschleunigungssystem im Zustand "2" ...................................................... 72Abb. 3.36: Schwimmstabilitt ........................................................................................ 73

Abbildungsverzeichnis 8 Abb. 4.1: Unterschied zwischen ueren Krften und Trgheitskrften ..................... 75Abb. 4.2 : Definitionsskizzen fr Stromlinien .............................................................. 78Abb. 4.3: Stromrhre und Stromfaden ......................................................................... 79Abb. 4.4: Kontrollvolumen und System ...................................................................... 80Abb. 5.1: Prinzipienskizze zur Ableitung der Kontinuittsgleichung (eindimensionaler

Fall) .............................................................................................................. 84Abb. 5.2: Ableitung der Kontinuittsgleichung fr den zweidimensionalen Fall ....... 87Abb. 5.3: Rohrerweiterung........................................................................................... 89Abb. 5.4: Rohrverzweigung ......................................................................................... 90Abb. 6.1: Analogie zu den Strom- und Potentiallinien in der Elektrizittslehre ......... 91Abb. 6.2: Definition der Rotationsfreiheit ................................................................... 92Abb. 6.3: Potentialstrmungsarten ............................................................................... 93Abb. 6.4: Strom- und Potentiallinien bei einem Stromfaden ....................................... 94Abb. 6.5: Ebenes Potentialnetz .................................................................................... 95Abb. 6.6: Konstruktion eines Potentialnetzes .............................................................. 99Abb. 6.7: Randstromlinie bei Strmungsablsung .................................................... 100Abb. 6.8: Prinzipienskizze zur Auswertung des Potentialnetzes ............................... 101Abb. 6.9: Wehr ........................................................................................................... 104Abb. 7.1: Stromrhrenquerschnitt fr die Ableitung des Energiesatzes .................... 107Abb. 7.2: BERNOULLI-Gleichung bei Druckrohrstrmung .................................... 111Abb. 7.3: BERNOULLI-Gleichung bei Gerinnestrmung ........................................ 111Abb. 7.4: Ausfluss aus einer ffnung ........................................................................ 112Abb. 7.5: BERNOULLI-Gleichung bei Rohrverengung und -erweiterung ............... 114Abb. 7.6: Staudruck bei stationrer Anstrmung einer Wandung ............................. 115Abb. 7.7: Angestrmter Krper im Druckrohr .......................................................... 116Abb. 7.8: Prinzip des PITOT-Rohres und des PRANDTLschen Staugertes ........... 117Abb. 7.9: Geschwindigkeitsmessung mit dem PITOT-Rohr bei Gerinnestrmung .. 118Abb. 7.10: Dynamischer Auftrieb ................................................................................ 118Abb. 7.11: MAGNUS-Effekt ....................................................................................... 120Abb. 7.12: FLETTNER-Rotor ..................................................................................... 120Abb. 7.13: Hydrodynamisches Paradoxon ................................................................... 121Abb. 7.14: Kollision von Schiffen infolge des BERNOULLI-Effektes ...................... 123Abb. 7.15: Ausflussbehlter ......................................................................................... 125Abb. 7.16: Druck- und Energielinienermittlung .......................................................... 126Abb. 7.17: Rohrerweiterung......................................................................................... 127Abb. 7.18: Schematische Darstellung der Energie- und Drucklinie ............................ 128Abb. 8.1: Kraft-Zeit-Verlauf und Impuls ................................................................... 130Abb. 8.2: Ausgangssystem fr die Herleitung des Impulssatzes ............................... 132Abb. 8.3: Prinzip des Sttzkraftsatzes ....................................................................... 134Abb. 8.4: Sttzkrfte als Schnittkrfte (Analogie zur Stabstatik) .............................. 135Abb. 8.5: Widerlagerkraft bei Rohrkrmmern ........................................................... 137Abb. 8.6: Widerlagerkraft bei einem Winkel = 90 ............................................... 138Abb. 8.7: Schrg auftreffender Strahl ........................................................................ 139Abb. 8.8: Normal auftreffender Strahl und Gesamtdruckkraft .................................. 140

Abbildungsverzeichnis 9 Abb. 8.9: Propellerstrahl, Druck- und Geschwindigkeitsverlauf ............................... 141Abb. 8.10: Die vier Grundformen des Schwalls .......................................................... 143Abb. 8.11: Schwall und Definitionsskizze ................................................................... 144Abb. 8.12: Definitionsskizze fr die mittlere Wassertiefe bei Gerinnen mit beliebigem

Fliequerschnitt A ...................................................................................... 146Abb. 8.13: Impuls auf eine Platte ................................................................................. 149Abb. 8.14: Dse ........................................................................................................... 150Abb. 8.15: Wal ............................................................................................................. 152Abb. 8.16: Schwallwelle .............................................................................................. 154Abb. 9.1: Ausgangssystem ......................................................................................... 155Abb. 9.2: Wassertiefen bei konstantem Durchfluss (q = konst.) ............................... 156Abb. 9.3: Sttzkraftminimum .................................................................................... 158Abb. 9.4: Praktisches Feststellen der Flieart (Strmen oder Schieen?) ................. 161Abb. 9.5: Durchfluss bei konstanter Energiehhe ..................................................... 162Abb. 9.6: Konjugierte Wassertiefen h1 und h2 ........................................................... 163Abb. 9.7: Grundschwelle ........................................................................................... 166Abb. 9.8: Wellenbild beim Werfen des Steines ......................................................... 167Abb. 10.1: Ebener freier stationrer Wechselsprung - Definitionsskizze .................... 171Abb. 10.2: Prinzipienskizze pltzliche lokale Rohrerweiterung ............................... 174Abb. 10.3: Ausgangssystem bei der Anwendung der BERNOULLI-Gleichung und des

Impulssatzes ............................................................................................... 175Abb. 10.4: BORDAscher Stoverlust .......................................................................... 179Abb. 11.1: Vergleich zwischen idealer und realer Strmung ...................................... 181Abb. 11.2: Das D'ALEMBERTsche Paradoxon .......................................................... 182Abb. 11.3: REYNOLDS-Experiment fr laminare und turbulente Strmung ............. 183Abb. 11.4: Larninarstrmung ....................................................................................... 184Abb. 11.5: Turbulente Strmung ................................................................................. 184Abb. 11.6: Prinzipienskizze zur Erluterung des Reibungsgesetzes nach NEWTON . 185Abb. 11.7: Reibungsverhalten NEWTONscher und nicht-NEWTONscher Fluide ..... 189Abb. 11.8: Umschlag laminare/turbulente Strmung .................................................. 190Abb. 11.9: Zur Entstehung der Turbulenz ................................................................... 193Abb. 11.10: Grenzschicht- und Auenstrmungsbereich .............................................. 197Abb. 11.11: Grenzschichtentwicklung an einer lngsangestrmten ebenen Platte ........ 198Abb. 11.12: Grenzschichtentwicklung bei einer Rohrstrmung .................................... 200Abb. 12.1: Schubspannung bei laminarer Rohrstrmung ............................................ 207Abb. 12.2: Schubspannungsverteilung bei laminarer Rohrstrmung .......................... 208Abb. 12.3: Definitionsskizze ........................................................................................ 210Abb. 12.4: Geschwindigkeitsverteilung bei laminarer Rohrstrmung ........................ 212Abb. 13.1: Der DARCY-Versuch zur Herleitung des Filtergesetzes .......................... 215Abb. 13.2: Sickerverluste durch einen Damm ............................................................. 217Abb. 13.3: Unterstrmung einer Talsperre .................................................................. 220Abb. 13.4: Sickerstrmung als Potentialstrmung Definitionsskizze....................... 221Abb. 13.5: Prinzipienskizze zur Herleitung der Bedingung fr den hydraulischen

Grundbruch ................................................................................................ 222

Abbildungsverzeichnis 10 Abb. 13.6: Laminare Strmung im Boden ................................................................... 225Abb. 13.7: Durchstrmung von Bden "Reihenschaltung" ...................................... 226Abb. 13.8: Bden in "Parallelschaltung" ..................................................................... 228Abb. 13.9: Kanalhaltung .............................................................................................. 229Abb. 13.10: Hydraulischer Grundbruch ......................................................................... 230Abb. 13.11: Durchsickerung eines Dammes .................................................................. 231Abb. 14.1: BERNOULLI-Gleichung (links) und erweiterte BERNOULLI-Gleichung

(rechts) ....................................................................................................... 234Abb. 14.2: Energiehhenverlust bei Druckrohrstrmung ............................................ 235Abb. 14.3: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 236Abb. 14.4: Einfluss der laminaren Unterschicht und der Wandreibung auf das

Widerstandsverhalten ................................................................................. 241Abb. 14.5: Das MOODY-Diagramm fr technisch raue Rohre .................................. 245Abb. 14.6: Technische Rauheit und Sandkornrauheit.................................................. 246Abb. 14.7: Das NIKURADSE-Diagramm fr Rohre mit knstlicher

Sandkornrauheit ......................................................................................... 247Abb. 14.8: MOCK-Nomogramme zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes ...... 248Abb. 14.9: Entstehung der lokalen Verluste ................................................................ 249Abb. 14.10: Einlaufverluste ........................................................................................... 251Abb. 14.11: Auslaufverluste .......................................................................................... 252Abb. 14.12: Lokale Verluste bei Querschnittserweiterung ............................................ 252Abb. 14.13: Verluste bei Querschnittsverengung .......................................................... 253Abb. 14.14: Umlenkverluste .......................................................................................... 253Abb. 14.15: Optimierung des Rohrdurchmessers D ...................................................... 256Abb. 14.16: Darstellung des Systems ............................................................................ 259Abb. 14.17: Pumpsystem ............................................................................................... 262Abb. 14.18: Bewsserungssystem .................................................................................. 264Abb. 15.1: Strmung im Druckrohr und im Freispiegelgerinne .................................. 267Abb. 15.2: Strmungsflle bei stationrem und instationrem Abfluss ...................... 269Abb. 15.3: Strmungsflle bei stationrem Abfluss .................................................... 270Abb. 15.4: Prinzipienskizze zur Herleitung des Widerstandsgesetzes ........................ 272Abb. 15.5: Versuch von BAZIN Prinzipdarstellung ................................................. 275Abb. 15.6: Isotachen bei Voll- und Halbrohr............................................................... 276Abb. 15.7: Nomogram nach der GMS-Formel ............................................................ 280Abb. 15.8: Einfluss der Wassertiefe auf den hydraulischen Radius ............................ 281Abb. 15.9: Einfluss der Spiegelbreite auf den hydraulischen Radius .......................... 282Abb. 15.10: Zerlegung eines gegliederten Querschnittes mit "Vorlndern" ................. 283Abb. 15.11: Kompakter Gerinnequerschnitt mit inhomogener Rauheit ........................ 284Abb. 15.12: Definitionsskizze eines hydraulisch gnstigen Rechteckprofils ................ 286Abb. 15.13: Definitionsskizze eines hydraulisch gnstigen Trapezprofils .................... 287Abb. 15.14: Kanalquerschnitt ........................................................................................ 291Abb. 15.15: Gerinnequerschnitt ..................................................................................... 292Abb. 15.16: Trapezquerschnitt ....................................................................................... 293Abb. 15.17: Gegliederter Querschnitt ............................................................................ 295

Tabellenverzeichnis 11 Tabellenverzeichnis Tab. 2.1: Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhngigkeit der Temperatur und des

Salzgehaltes bei Atmosphrendruck ............................................................ 21Tab. 11.1: Abhngigkeit der kinematischen Viskositt von der Temperatur .............. 187Tab. 13.1: Durchlssigkeitsbeiwert fr die DARCYsche Filterstrmung ................... 216Tab. 14.1: Richtwerte fr die technische Rauheit k .................................................... 246Tab. 15.1: STRICKLER-Beiwert kst in der GMS-Formel .......................................... 277

Symbolverzeichnis 12 Symbolverzeichnis Formelzeichen Benennung, Bedeutung EinheitA Druckflche, Flche [m]A(h) Variabler Fliequerschnitt [m]Af Filterflche [m]Ap Durchflussflche eines Propellers [m]B Wasserspiegelbreite [m]BS Sohlbreite [m]b Beschleunigung [m/s]C Dimensionsbehafteter Geschwindigkeitsbeiwert [m1/2/s]c Wellenschnelligkeit [m/s]cL Leitfhigkeitskonstante [-]cl laminarer Strmungswiderstand [m/s]ct turbulenter Strmungswiderstand [m/s]D lichter Rohrdurchmesser [m]Dq quivalenter Rohrdurchmesser [m]Dp Querschnittsdurchmesser eines Propellers [m]d Wassertiefe [m]ds Lngenelement (Integration) [m]dKap Durchmesser der Kapillaren [m]dK Korndurchmesser [m]d10, d60 Korndurchmesser mit 10% und 60% Siebdurchgang [m]E Energie [J]Ei interne Energie [J]EK kinetische Energie [J]EL Lageenergie [J]Ep Druckenergie [J]Epot potentielle Energie [J]

Symbolverzeichnis 13 Formelzeichen Benennung, Bedeutung EinheitEq Wrmeenergie [J]EW kinetische Arbeit [J]Ew Volumenelastizittsmodul des Wassers [N/mm]F Kraft [N]Fr Froude-Zahl [-]FAd Adhsionskraft [N]FA,FZ Auftriebskraft [N]FG Gewichtskraft [N]FK Kohsionskraft [N]FN Normalkraft/Druckkraft [N]Fp Druckkraft [N]FPropeller Propellerschub [N]FR Reibungskraft [N]FRes Resultierende Kraft [N]FS Schwerkraft [N]FT Trgheitskraft [N]FW Widerstandskraft [N]Fz Auftriebskraft [N]f Freibordhhe [m]G Krpergewicht, Eigengewicht, Schwerkraft [N]g Erdbeschleunigung (9,81 m/s) [m/s]H Fallhhe [m]HN Nettohhe [m] Hp Betriebsdruckhhe [bar]h hydrostatische Druckhhe [mWS]hD Saughhe [mWS]hE Gesamtenergiehhe [mWS]hE, min Mindestenergiehhe [mWS]

Symbolverzeichnis 14 Formelzeichen Benennung, Bedeutung Einheithgr Grenztiefe [m]hi lokale Verluste, Verlusthhe [mWS]hk kapillare Steighhe [m]hm Abstand Krperschwerpunkt - Metazentrum [m]hman manometrische Druckhhe [mWS]hr Reibungsverlust [mWS]hs Flchenschwerpunktskoordinate [m]hv Energieverlusthhe [mWS]hw Tiefgang eines Krpers [m]h Schwallhhe [m]I Geflle [-]I Impuls [Ns]I Impulsstrom [N]I Stromstrke [Ampre]ID Druckliniengeflle [-]IE Energieliniengeflle [-]Ikrit kritisches Geflle [-]ISO Sohlgeflle [-]Iw Wasserspiegelgeflle [-]IO Flchentrgheitsmoment [m4]K Gesamtkosten []KBa Baukosten []KBe Betriebskosten []k Rauhigkeit [m]kf Durchlssigkeitsbeiwert [m/s]ks Sandkornrauhheit [m]kst quivalenter Abflussbeiwert nach MANNIG-STRICKLER [m1/3/s]L kennzeichnende Lnge, Rohrlnge [m]

Symbolverzeichnis 15 Formelzeichen Benennung, Bedeutung EinheitLm PRANDTLscher Mischungsweg [m]M Metazentrum [-]m Bschungsneigung [-]m Masse [kg]m Massenstrom [kg/s]p Druck [Pa]min p Grenzdruck [Pa]pabs absoluter Druck [Pa]patm Atmosphrendruck [Pa]pD Dampfdruck [Pa]p berdruck [Pa]pmax maximaler Staudruck [Pa]pS Sohldruck [Pa]pStau Staudruck [Pa]pu Unterdruck [Pa]p0 Atmosphrendruck, Umgebungsdruck [Pa]Q Durchfluss [m3/s]q spezifischer Durchfluss [m3/(sm)]qmax maximaler spezifischer Abfluss [m3/(sm)]q spezifischer Teildurchfluss [m3/(sm)]R hydraulischer Radius [m]Re Reynolds-Zahl [-]Rekrit kritische Reynolds-Zahl [-]S Sttzkraft [N]SK Krperschwerpunkt [-]SV Verdrngungsschwerpunkt [-]T Temperatur [C]t Zeit [s]

Symbolverzeichnis 16 Formelzeichen Benennung, Bedeutung EinheitU benetzter Umfang [m]U Spannung [Volt]U Ungleichfrmigkeitszahl [-]u Porenwasserdruck [Pa]V Volumen [m3]V Volumenstrom [m3/s]Vv verdrngtes Wasservolumen [m3]V0 Anfangsvolumen [m3]v Fliegeschwindigkeit [m/s]v mittlere Strmungsgeschwindigkeit [m/s]vf Filtergeschwindigkeit [m/s]vf,krit kritische Filtergeschwindigkeit [m/s]vf,zul zulssige Filtergeschwindigkeit [m/s]vm mittlere Geschwindigkeit [m/s]vp Fliegeschwindigkeit eines Propellerstrahls [m/s]vR Rotationsgeschwindigkeit [m/s]vS rtliche Geschwindigkeit [m/s]vx, max maximale Geschwindigkeit [m/s]vx, max Scheitelgeschwindigkeit [m/s]v* Schubspannungsgeschwindigkeit [m/s]W Arbeit, Energie [J]xkrit bergangsbereich [m]z Geodtische Hhe [m] Intermittenzfaktor [-]L Grenzschichtdicke [m]T Dicke der turbulenten Grenzschicht [m]UL Dicke der laminaren Unterschicht [m] Scheinviskositt [m2/s]

Symbolverzeichnis 17 Formelzeichen Benennung, Bedeutung Einheit Lokaler Widerstandsbeiwert [-]B Widerstandsbeiwert fr stetige Querschnittserweiterung [-]D Widerstandsbeiwert fr unstetige Querschnittserweiterung [-]E Widerstandsbeiwert fr Querschnittserweiterung [-]a Widerstandsbeiwert fr Auslaufverluste [-]e Widerstandsbeiwert fr Einlaufverluste [-]j Widerstandsbeiwert an Strstelle [-]k Krmmerverluste [-]r Reibungsverluste [-]u Umlenkverluste [-] dynamische Viskositt [kg/ms]p Wirkungsgrad einer Pumpe [-] Rohrreibungsbeiwert [-] KARMAN-Konstante [-] Kompressibilitt [bar-1] kinematische Viskositt [m2/s]B Dichte eines Bodenelements, Schttdichte [kg/m3]eis Dichte (Eis) [kg/m3]F Dichte eines Krpers [kg/m3]W Dichte des Wassers [kg/m3] Spannung [N/m2] Oberflchenspannung [N/m],[kg/m2]zul zulssige Spannung [N/m2]l laminarer Anteil der Schubspannung [N/m2]t turbulenter Anteil der Schubspannung [N/m2]x, Schubspannung [N/m2]0 Wandschubspannung [N/m2] Potential, Potentialfunktion [m2/s]

Symbolverzeichnis 18 Formelzeichen Benennung, Bedeutung Einheit Proportionalittsfaktor [-] Stromfunktion [m2/s] Winkelgeschwindigkeit [1/s]

Aufgaben der Hydromechanik. 19

1 Aufgaben der Hydromechanik. Die Hydromechanik1 ist ein Zweig der Technischen Mechanik (Abb. 1.1). Sie befasst sich mit Krften und ihren Wirkungen auf tropfbare flssige Krper (niederviskose Flssigkeiten). Sie wird in Hydrostatik und Hydrodynamik unterteilt (Abb. 1.1).

Abb. 1.1: Stellung der Hydromechanik innerhalb der Technischen Mechanik und Gliederung

Die weitgehende Bedeutung der Hydromechanik fr den Bauingenieur ist offenkundig, denn sie bildet die Grundlage fr die Bemessung und Planung der meisten Ingenieurbauwerke und -manahmen im Wasserbau (z.B. Stauanlagen und Flussregelungen), im Ksteningenieurwesen (z.B. Ksten- und Hochwasserschutzbauwerke), in der Wasserwirtschaft, im Grundbau, im In-dustriebau, im Anlagenbau etc..

1 Hydro (gr. hydro = Wasser). Da Wasser die weitverbreitetste Flssigkeit ist, hat es der gesamten Lehre den

Namen gegeben.

Technische Mechanik

FESTKRPERMECHANIK(Mechanik fester Krper)

FLUIDMECHANIKMechanik niederviskoser Flssigkeiten und

GaseRHEOLOGIE

Mechanik hochviskoser Medienz.B. Fette, Farben, Schlick

HYDROMECHANIK(Mechanik niederviskoser

Flssigkeiten)

AERO u. GASMECHANIK

HYDROSTATIKLehre der ruhenden Flssigkeiten

HYDRODYNAMIKLehre der bewegten Flssigkeiten

HYDROSTATISCHE DRUCKKRFTE

ROHRSTRMUNG(Druckrohrstrmung,

d.h. ohne freie Oberflche)

GRUNDWASSERSTRMUNG(Durchstrmung porser Medien)

GERINNESTRMUNG(Strmungen mit freier Oberflche)

Kinetik

DynamikKinematik

Statik

*) Die fett umrahmten Kstchen kennzeichnen den Stoff, der im Rahmen der Vorlesung Hydromechanik I und Hydromechanik II behandelt wird.

Physikalische Eigenschaften des Wassers 20

2 Physikalische Eigenschaften des Wassers Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften bei der Lsung vieler Aufgaben der Hydrome-chanik sind Dichte, Viskositt, Kapillaritt (bzw. Oberflchenspannung) und Kompressibilitt. Auch die Lslichkeit von Gasen und der Luftgehalt des Wassers knnen unter Umstnden eine Rolle spielen.

2.1 Dichte Die Dichte wird als Verhltnis von Masse m und Volumen V definiert:

3m kg / mV (0.1)

Die Dichte w des Wassers ist in geringem Mae temperaturabhngig. Sie besitzt einen Maxi-malwert bei 4 C: w = 999,97 kg/m 1000 kg/m (Anomalie des Wassers). Genaugenommen ist w auch druckabhngig (siehe Kompressibilitt). In der Regel gengt es jedoch, bei der Lsung der meisten Aufgaben der Hydromechanik w = 1000 kg/m anzusetzen. Bei einigen speziellen Aufgaben (z.B. Schichtenbildung in Seen und Talsperren) ist jedoch eine genaue Bestimmung der Dichte erforderlich (siehe z.B.Tab. 2.1). Salzgehalt, Schweb- und Schmutzstoffe beeinflussen ebenfalls die Dichte des Wassers w (z.B. 0,94 % Salzgehalt in der Ostsee fhrt zu w = 1007 kg/m, schwebstoffhaltiges Flusswasser kann Dichten von w = 1050 1100 kg/m erreichen). Der frhere Begriff der "Wichte" ( = g) ist nach SI2 unzulssig und sollte nach DIN 1044 mglichst nicht verwendet werden.

2 SI = Systme International dUnitis

Physikalische Eigenschaften des Wassers 21 Tab. 2.1: Dichte des Wassers w [kg/m3] in Abhngigkeit der Temperatur und des Salzgehaltes bei Atmo-

sphrendruck

*) 0 Swasser **) 35 Mittelwert fr Ozeane 1 1 g/l 1 kg/m3 Totes Meer: 263 320

(salzigstes Meer der Welt)

2.2 Kompressibilitt (Volumenelastizitt) Sie bezeichnet die Zusammendrckbarkeit des Wassers. Analog zum HOOKEschen3 Gesetz fr Festkrper 0 = L/L = /E gilt fr Wasser:

0 W W 0

V p 1 V 1 = oder = V E E V p

mit: V/V0 = relative Volumennderung (V0 = Anfangsvolumen) [-] p = Drucknderung [N/m] Ew = Volumenelastizittsmodul des Wassers [N/m]. Er ist druck- und temperaturabhngig: z.B. bei einigen bar und bei T = 20 C ist Ew = 20.000 bar (= 2,0 103 N/mm) im Vergleich zu Stahl mit Es = 2.000.000 bar (d.h. Wasser ist 100-mal elastischer als Stahl)

3 HOOKE, Robert (16351703): Englischer Physiker und Naturforscher.

SALZGEHALT [0/00]

0*) 5 10 15 20 25 30 35**)

TEMP

ERAT

UR [C

]

0 999,9 1004,0 1008,0 1012,0 1016,1 1020,1 1024,1 1028,15 1000,0 1004,0 1008,0 1011,9 1015,9 1019,8 1023,7 1027,710 999,8 1003,7 1007,6 1011,4 1015,3 1019,2 1023,1 1027,015 999,2 1003,0 1006,8 1010,7 1014,5 1018,3 1022,1 1026,020 998,3 1002,1 1005,9 1009,6 1013,4 1017,2 1021,0 1024,825 997,1 1000,9 1004,6 1008,4 1012,1 1015,8 1019,6 1023,430 995,7 999,4 1003,1 1006,9 1010,6 1014,3 1018,0 1021,735 994,1 997,8 1001,5 1005,1 1008,8 1012,5 1016,2 1019,9

Physikalische Eigenschaften des Wassers 22 Mit folgender Definition der Kompressibilitt des Wassers: 1W = 1/E = Kompressibilitt bar folgt:

0

V 1 = V p (0.2)

Nach Gl. (0.2) ist ein Druck p = 200 bar notwendig, damit das Wasser um 1 % zusammenge-drckt werden kann: p0,01 = p = 200 bar20000

Deshalb kann Wasser bei den meisten Strmungen als quasi-inkompressibel angesehen werden (Kompressibilitt des Wassers vernachlssigbar). Bei Druckstoproblemen spielt jedoch die Kompressibilitt des Wassers eine wichtige Rolle und muss daher bercksichtigt werden.

2.3 Oberflchenspannung (Kapillarspannung) Wird ein Wassermolekl (H2O) als Kugel angesehen, so hat es einen Durchmesser von ca. 210-7 mm. Die Wassermolekle ziehen sich durch sog. Kohsionskrfte4 FK gegenseitig an. Inner-halb der Wassermasse heben sich diese Molekularkrfte auf (Abb. 2.1). An den Begrenzungs-flchen mit anderen Medien (z.B. Luft) und Festkrpern (z.B. Wandung) treten jedoch resul-tierende Krfte (Grenzflchenkrfte) in Erscheinung, deren Wirkungsradius kleiner als 10-6 mm (kugeliger Wirkungsbereich) ist und deren Richtung vorwiegend von den Dichten der angren-zenden Medien abhngt:

4 Cohaerere (lat.): zusammenhngen. Kohsionskrfte treten also zwischen gleichartigen Teilchen, d.h. Teilchen

desselben Krpers, auf.


Abb. 2.1: Oberflchenspannung mit und ohne Randeinfluss

(a) Grenzflche zwischen Wasser und Luft (Wasseroberflche) Die Molekle der Wasseroberflche werden von den darunter befindlichen Wassermole-klen strker als von den darberliegenden Luftmoleklen angezogen. An der Wasser-oberflche wirkt daher eine nach innen gerichtete resultierende Kraft FRes, die auf die Flcheneinheit der Grenzflche bezogen den Kohsionsdruck ergibt (Abb. 2.1). Dieser Druck muss berwunden werden, damit ein Wasserteilchen aus dem Inneren an die Grenzflche gelangen kann. Daher ist eine Kraft F entlang des Teilchenweges s, d.h. eine Arbeit W = Fs, erforderlich, die eine Vergrerung der Grenzflche um A be-wirkt (siehe auch Anmerkungen zur Oberflchenspannung S.24 ff.). Dieser Sachverhalt dient der Definition der Oberflchenspannung

W = A (0.3)

mit der Maeinheit Nm N = m m .

Die Oberflchenspannung hat somit das Bestreben, die Wasseroberflche zusammenzu-ziehen und klein zu halten (daher Tropfenbildung). Sie ist stark von der Wassertemperatur abhngig: Fr Wasser bei T = 20 C ist = 0,073 N/m im Vergleich zu = 0,47 N/m fr Quecksilber und = 0,025 N/m fr Alkohol.

FResFK FAd

kein RandeinflussRandeinfluss

res kF F 0

res kF F 0 90 90

kein Randeinfluss FRes

FAdFK

Randeinfluss

Wandungres kF F 0

res kF F 0 (a) benetzende Flssigkeit

(z.B. Wasser)(b) nichtbenetzende Flssigkeit

(z.B. Quecksilber)

Physikalische Eigenschaften des Wassers 24 (b) Grenzflche zwischen Wasser und Festkrper (Wandung)

Die Wassermolekle an der Grenzflche Wasser/Festkrper werden nicht nur durch die o.g. Kohsionskrfte FK, sondern auch durch die Teilchen des Festkrpers (Adhsions-krfte5 FAd) angezogen. Die Richtung der resultierenden Kraft FRes ergibt sich aus der vektoriellen Summe von FK und FAd, wobei sich die Wasseroberflche stets senkrecht zu der Resultierenden FRes einstellt. Dabei werden zwei Flle unterschieden (Abb. 2.1).

Benetzende Flssigkeiten (z.B. Wasser): FAd > FK: Die Resultierende FRes ist nach auen, d.h. zur festen Berandung, gerichtet. Sie muss daher eine konkave Form annehmen Abb. 2.1a).

Nichtbenetzende Flssigkeiten (z.B. Quecksilber) FAd < Fk: Die Resultierende FRes ist nach innen gerichtet; d.h. es muss sich eine konvexe Form der Wasseroberflche einstellen Abb. 2.1b).

Die Oberflchenspannung in der Nhe der Wandung wird als Grenzflchenspannung be-zeichnet.

Anmerkung zur Bestimmung der Oberflchenspannung

Zur Bestimmung der Oberflchenspannung einer Flssigkeit kann z.B. der in Abb. 2.1 darge-stellte Versuch dienen. Ein Ring mit dem Durchmesser d wird in die Flssigkeit getaucht und anschlieend mit der Kraft F nach oben gezogen. Dabei haftet die Flssigkeit an dem Ring bis zu einer Hhe s, wodurch sich die Grenzflche um den Wert A 2( d )s vergrert. Nach Gl. (0.3) und Abb. 2.2 gilt:

W FsA 2 d s

F

2 d (0.4)

5 Adhaerere (lat.): festhngen, anhaften. Adhsionskrfte treten also zwischen Teilchen verschiedenartiger Krper

bzw. Medien auf.


Abb. 2.2: Bestimmung der Oberflchenspannung

Anmerkung zur Kapillarwirkung

Liegen die Wandungen des Festkrpers sehr dicht zusammen (wie z.B. bei dnnen Rhrchen, die man als Kapillaren bezeichnet oder bei engen Spalten und Fugen), so wirkt sich der Rand-einfluss viel strker aus. Je nachdem, ob eine benetzende Flssigkeit (Abb. 2.3a) oder eine nicht benetzende Flssigkeit (Abb. 2.3b) vorliegt, wird die Flssigkeit angehoben oder abgesenkt.

Abb. 2.3: Kapillarwirkung verschiedener Flssigkeiten

d

s

Ring

Zugkraft F

anhaftende Flssigkeit

zu untersuchende Flssigkeit

U = d

s( d)s

dKap

hk

Glasrhrchen

Wasser

Meniskus

dKap

Glasrhrchen

QuecksilberMeniskus

hk

kapillare Steighhe

(a) Kapillaraszension (z.B. Wasser) (b) Kapillardepression (z.B Quecksilber)

Physikalische Eigenschaften des Wassers 26 Die kapillare Steighhe hK6 erhlt man aus der Gleichgewichtsbedingung "Gewichtskraft = Ka-pillarkraft", im Falle kreisrunder Kapillaren mit dem Durchmesser dKap:

2Kap

k W Kap KW Kap

d 4h g = d h = 4 g d

(0.5)

und im Falle eines engen Spaltes zwischen zwei parallelen Platten mit der Spaltbreite a und der Lnge der Randlinie b:

k w Kw

2(h a b) g = 2b h = ga (0.5a)

2.4 Viskositt Viskositt wird nach DIN 1342 als die Eigenschaft eines fliefhigen Stoffsystems definiert, beim Verformen eine Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit7 ab-hngt. Die Stoffgre "Viskositt" ist demnach ein Ma fr die durch innere Reibung be-stimmte Verschiebbarkeit der Flssigkeitsteilchen gegeneinander. Die Viskositt wird in Zu-sammenhang mit dem Fluidreibungsansatz von NEWTON in der Vorlesung "Reale Flssigkei-ten" (vgl. Abschnitt 11) nher behandelt, da sie den grundstzlichen Unterschied zwischen ide-alen (reibungsfreien) und realen (reibungsbehafteten) Flssigkeiten ausmacht. Die Vernachlssigung der Viskositt bei idealen Flssigkeiten ermglicht oftmals einen schnel-len Einblick in die Strmungsprozesse; d.h. viele Strmungsgesetze werden fr ideale Flssig-keiten abgeleitet und dann durch experimentell ermittelte Koeffizienten dem Verhalten der re-alen Flssigkeiten mglichst gut angepasst (vgl. Abschnitt 11).

2.5 Lslichkeit der Luft und Luftgehalt des Wassers Aufgrund seines Absorptionsvermgens8 enthlt Wasser eine gelste Luftmenge, die dem Druck direkt proportional ist und zudem auch von der Temperatur abhngt. Bei Druckvermin-derung (z.B. beim ffnen einer Flasche Sekt!) wird gelste Luft frei, die in Form kleiner Bls-chen mit der Geschwindigkeit v = 0,25 0,30 m/s (im ruhenden Wasser) aufsteigt. Zum Bei-spiel enthlt 1 l Wasser bei 100 % Sttigung unter Atmosphrendruck 22,4 ml gelste Luft bei 10 C bzw. 18,3 ml bei 20 C. Dieser Sachverhalt ist besonders wichtig bei Anlagen, die im Unterdruckbereich arbeiten (z.B. Heberleitungen), wo es zum Ausscheiden der gelsten Luft

6 Bei Kies ist hk < 3mm; bei Sand hK = 20 80 mm und bei Lehm- bzw. Tonbden betrgt hK bis ca. 400 mm. 7 Bei Festkrpern ist die Verformung und nicht die Verformungsgeschwindigkeit magebend. 8 Absorbieren: aufsaugen, einlagern.

Hydrostatik 27 und damit zu Abflussstrungen kommen kann (Verengung des Fliequerschnittes durch An-sammlung von Luftblschen). Auerdem werden bei Abstrzen und hohen Fliegeschwindigkeiten groe Luftmengen durch die Wasseroberflche aufgenommen, die dann bei Fliestrecken mit geringeren Geschwindig-keiten wieder entweichen. Dies muss z.B. bei Schussrinnen und anderen Hochwasserentlas-tungsanlagen durch besondere Manahmen (u.a. Entlftung) bercksichtigt werden.

2.6 Zusammenfassung 1. Die wichtigsten physikalischen Eigenschaften des Wassers sind die Dichte, die Viskositt

und die Oberflchenspannung (Kapillaritt). Die Kompressibilitt und der Luftgehalt des Wassers knnen bei bestimmten Aufgaben der Hydromechanik zustzlich von Bedeutung sein.

3 Hydrostatik Hydrostatik ist die Lehre von den Gleichgewichtszustnden ruhender, inkompressibler Fls-sigkeiten bei Einwirkung uerer Krfte (Pressung, Schwer- und Trgheitskrfte). Da Flssigkeiten keine Zugkrfte bertragen knnen und da Reibung (Schubkrfte) bei ruhen-der Flssigkeit nicht vorhanden ist, knnen in der Hydrostatik nur Druckkrfte auftreten. Auf-gabe der Hydrostatik ist es, diese Druckkrfte und ihre Wirkungen auf Bauwerke und andere Krper im und am Wasser zu bestimmen.

3.1 Der Begriff "Druck" (a) Definition und Druckeinheiten

EULER9 definierte als erster den Druckbegriff: Druck ist der Quotient aus Kraft F und Flche A und stellt somit eine Spannung dar:

Kraft F Np = = Flche A m (0.6)

Die SI-Einheit fr den Druck ist das PASCAL10 [Pa]: 1 Pa = N/m

9 EULER, Leonhard (17071813): Schweizer Mathematiker und Physiker. 10 PASCAL, Blaise (16231662): Franzsischer Mathematiker, Physiker und Philosoph.

Hydrostatik 28

1 bar11 = 105 Pa ( atm. Druck) Die alten Druckeinheiten drfen nach SI nicht mehr verwendet werden. In der Praxis des Wasserbauers hat sich der Anschaulichkeit wegen der Begriff der Druckhhe eingebr-gert (siehe auch Abschnitt 3.2):

D 44wp p p ph = = m = mkg m N g 10 Pa1000 10 10m s m

D 4h 1 m=p 10 Pa

11 "barus" (griech.): schwer

Hydrostatik 29

Daraus folgt fr die alte Druckeinheit mWS (Meter Wassersule): 1 mWS = 0,1 bar = 104 Pa = 10 kPa 10 mWS = 1 bar = 105 Pa = 100 kPa

(b) Weitere Druckbegriffe

In der Technik werden hufig folgende Druckbegriffe verwendet: Atmosphrendruck p0, absoluter Druck pabs, berdruck p, Unterdruck pu,

die in Abb. 3.1 definiert sind.

Abb. 3.1: Zusammenhang zwischen verschiedenen Druckbegriffen

Druckniveau 1

Druckniveau 2

Atmosphrendruck

p1,

p2,u

p0

p1, = berdruck

p2,u = Unterdruck

p2,abs

Vakuum

pabs

0absoluter Druck

p1,abs

p 0= 1

0,33 m

WS

Hydrostatik 30

Atmosphrendruck: mittlerer Luftdruck auf Meeresspiegelhhe bei 0 C und 45 geographischer Breite:

p0 = 1,01325 bar In der Hydromechanik wird i.d.R. p0 als Bezugsdruck gewhlt, wobei:

p0 1 bar = 105 Pa Absoluter Druck pabs: Alle Druckangaben, die sich auf pabs = 0 (Vakuum) beziehen,

sind Absolutdrcke und daher positiv. berdruck: p = pabs p0 > 0 Unterdruck: pu = pabs p0 < 0

Ein weiterer wichtiger Druckbegriff ist der Dampfdruck pD, auch Siede- oder Verdampfungs-druck genannt. Unter Atmosphrendruck siedet Wasser bei 100 C. Bei geringerem Druck ist hierfr eine niedrigere Temperatur erforderlich: z.B. pD 0,2 bar bei 60 C und pD 0,024 bar bei 20 C. Wird der Dampfdruck pD erreicht, so bilden sich als Folge der Verdampfung kleine mit Luft und Wasserdampf gefllte Hohlrume (cavitas), die zu unerwnschten Erscheinungen fhren knnen (Verengung vom Fliequerschnitt durch Ansammlung von Luftblasen, Kavita-tionsschden, etc.). Dies ist von besonderer Bedeutung bei Strmungsvorgngen, wo Unter-druck an bestimmten Stellen auftritt und den Dampfdruck erreichen kann. Als Folge der Ver-dampfung kann die Strmung abreien. Theoretisch ist dies bereits bei einem Unterdruck von: 0 Dmin p = - (p - p ) mglich; d.h. bei 20 C folgt z.B.: min p = - (1,013 bar - 0,024 bar) - 0,989 bar - 100 kPa -10 mWS Diesem Unterdruck entspricht eine Saughhe von hD 10 m. Diese stellt einen theoretischen Grenzwert dar, bei dem ein Abreien der Strmung eintritt. In der Realitt kommen weitere Einflsse hinzu (Luftgehalt, geodtische Hhe, etc.), die diesen Grenzwert auf etwa hD 7 m bzw. min p = 70 kPa sinken lassen. (c) Entstehung des hydrostatischen Druckes

Bei der Entstehung des hydrostatischen Druckes unterscheidet man grundstzlich zwei Mglichkeiten: Schwere- bzw. Gewichtsdruck:

Der Druck an einer Stelle im Wasser rhrt ausschlielich vom Eigengewicht der darber lastenden Wassermassen her (Abb. 3.2).

Hydrostatik 31

Pressdruck: Ein Pressdruck wird mittels eines Kolbens auf das in einem vollstndig abgeschlos-senen Gef befindliche Wasser ausgebt (Abb. 3.3).

p F/ A (0.7) Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden.Oft treten jedoch Schweredruck und Pressdruck gleichzeitig auf.

Abb. 3.2: Schweredruck

Abb. 3.3: Pressdruck

1

2

p klein

p gro

Fp A

p

pp

Kraft FFlche A

Hydrostatik 32

3.2 Hydrostatische Druckverteilung infolge Schwerkraft (Grundglei-chungen der Hydrostatik)

Innerhalb einer Wassermasse werden die Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung an einem herausgeschnittenen differentialen Wasserelement in Form eines Wrfels (dx, dy, dz) betrachtet (Abb. 3.4). Der Wrfel hat ein Gewicht von: wdG = g (dx dy dz)

Abb. 3.4: Gleichgewichtsbedingungen in vertikaler Richtung

Auf die obere Wrfelseite wirkt die Druckkraft: 0dF = p dx dy Auf die untere Wrfelseite wirkt die Druckkraft UdF = (p + dp) dx dy

dx

dz

y

z

xp0p0 p0

Atmosphrendruck

dy

dG

p0

Druck p

Druck(p + dp)

Hydrostatik 33 Die Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung lautet:

w0 U

p dx dy + g (dx dy dz) - (p + dp) dx dy = 0 : (dx dy)dF + dG - dF = 0

wp + g dz - p - dp = 0 wdp = g dz 12 (0.8) Die Integration von Gl. (0.8) liefert: wp g z + C (C = Integrationskonstante) Da an der Wasseroberflche der Atmosphrendruck p0 herrscht, folgt: 0z = 0 C = p w 0p = g z + p Da der Atmosphrendruck p0 als Bezugsdruck betrachtet wird, folgt fr die hydrostatische Druckverteilung: (0.9) wp = g z (0.10) Gl. (0.10) besagt, dass die Druckspannung p mit der Tiefe z unter dem Ruhewasserspiegel (z = 0) linear zunimmt (Abb. 3.5).

12 Gl. (3.4) stellt einen Sonderfall des EULERschen Grundgesetzes der Hydrostatik (VENNARD und STREET,

1976): w x y zdp a dx a dy a dz (0.9) fr den Fall ax = ay =0 und az =g (ax, ay und az = Massenbeschleunigung in Richtung x, y und z) dar.

Hydrostatik 34

Abb. 3.5: Hydrostatische Druckverteilung

Die Druckflche (Dreieck) ergibt die gesamte hydrostatische Druckkraft:

wp w( g h) 1F = h = g h N / m2 2 (0.11)

Anmerkung zur hydrostatischen Druckverteilung bei geschichteten Flssigkeiten

Bei geschichteten Flssigkeiten (Flssigkeiten mit verschiedener Dichte) ist wie in Abb. 3.6 vorzugehen.

Abb. 3.6: Druckverteilung bei geschichteten Flssigkeiten

p = w g h

h

z = 0

z

2p w w

1F g h2

wp g z

h3

Wasser (2):

Alkohol (1):

z = 0

h1

h - h1

1 g h1 2 g (h - h1)

p1 = 1 g h1

p2 = 1 g h1+ 2 g (h - h1)

h

z

Hydrostatik 35 Anmerkung zu den Niveauflchen

Auf den Ruhewasserspiegel wirkt der Atmosphrendruck, d.h. p = p0 = konst.. Solche Flchen mit p = konst. (bzw. dp = 0) heien Niveauflchen. Die allgemeine Gleichung fr die Niveau-flchen erhlt man aus Gl. 3.4 mit dp = 0:

x y za dx + a dy + a dz = 0 (0.12) Fr x y za = a = 0 und a = g folgt: g dz = 0 dz = 0 z = konst. Dies ist die Gleichung des Ruhewasserspiegels (z = 0) und aller dazu paralleler Flchen. Fr den Fall ax 0 siehe Abschnitt 3.7.

3.3 Hydrostatische Druckkrfte auf ebene Flchen (a) Ableitung der hydrostatischen Druckkraft

An einer festen Wandung wirkt die differentiale Druckkraft dF stets senkrecht auf das Flchenelement dA. Die gesamte Druckkraft auf eine beliebig geformte ebene Flche A der Wandung greift im Punkt D an (Abb. 3.7). Mit dem Druck p = w g h nach Gl. (0.10) und h = y sin folgt aus dF = p dA:

w wdF = g h dA = g sin y dA

wA

F = g sin y dA

Hydrostatik 36

Abb. 3.7: Definitionsskizze zur Ableitung der hydrostatischen Druckkraft

Da das Integral A

y dA das statische Moment der gedrckten Flche A in Bezug auf die x-Achse darstellt, lautet die Gleichgewichtsbedingung fr die Flchenmomente:

SA

y dA = y A w S S SF = g sin y A und mit y sin = h w SF = g h A (0.13)

w S

Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Flche A ist gleich dem Produkt aus dieserFlche A und dem hydrostatischen Druck p gh im Schwerpunkt der Flche A.

Anmerkung zur Bestimmung der Lage des Schwerpunktes S und des Angriffspunktes D der Druckkraft

Da der Druck an der unteren Seite der Flche A stets grer als der Druck auf der oberen Seite ist (p = w g z) liegt der Angriffspunkt D immer tiefer als der Schwerpunkt S. Die Lage von D und S erfolgt nach den blichen Gleichgewichtsbedingungen fr die Flchenmomente (siehe Vorlesung "Technische Mechanik").

(b) Druck auf horizontale Bodenflchen: Das hydrostatische Paradoxon

dA

SD

x

xs xD

y

ysyD

Flche A

dF

dASDF

zhhshD

S(xs, ys) = Schwerpunkt der geometrischen Flche

D(xD, yD) = Angriffspunkt der Druckkraft F (Angriffsmittelpunkt)

Hydrostatik 37

Der hydrostatische Druck auf die Bden der Behlter Abb. 3.8 ist in allen drei Fllen gleich gro (p = W g h) und von der Form der Behlter unabhngig, d.h. bei gleicher Bodenflche A und gleicher Wassertiefe h wirkt die gleiche Druckkraft F auf alle drei Bden.

Anmerkung: Auch bei engsten Fugen, Klften und Spalten wirkt der volle hydrostatische Druck (Abb. 3.9).

Abb. 3.8: PASCALsches Paradoxon

Abb. 3.9: Hydrostatischer Druck in Grndungsfuge

A

F F

p = w gh

h

F

AA

hh

w g h

hgedichtete Grndungsfuge in A

A B

(a) Fuge dicht zwischen A und B (Dichtung in A): richtig !

w g h

hoffene Grndungsfuge

A BDichtung

w g hDruck in Fuge AB

(b) Fuge dicht zwischen A und B (Dichtung in B): falsch!

Hydrostatik 38

3.4 Hydrostatische Druckkrfte auf gekrmmte Flchen (a) Herleitung der resultierenden Druckkraft

Es wird die gekrmmte Flche z = f(x) in Abb. 3.10a betrachtet. Der Ruhewasserspiegel (RWS) schneidet die gekrmmte Flche in B (x0, 0). In der Wassertiefe z wirkt nach Gl. (3.5) der Druck

wp gz und die gesamte Horizontalkraft Fh = W g h/2 wirkt auf die fiktive vertikale Ebene 0A. Um herauszufinden, welche gesamte Druckkraft auf die gekrmmte Flche wirkt, wird ein Element ds aus der gekrmmten Flche herausgeschnitten (Abb. 3.10b). Senkrecht auf das Element ds wirkt die Druckkraft dF = p ds (Abb. 3.10b). Die Zerlegung der Druck-kraft dF entlang der x-Richtung ergibt dFx und entlang der z-Richtung dFz. Die Betrach-tung der hnlichen Dreiecke (dF, dFx, dFz) und (ds, dx, dz) in Abb. 3.10b fhrt zu:

xdFsin = p ds

dzsin = ds xdF = p dz (0.14)

zdFcos = p ds

dxcos = ds zdF = p dx (0.15)

Die Kraftkomponenten Fx und Fz ber die Wassertiefe h folgen aus der Integration von Gl. (0.14) und Gl. (0.15) (mit p = w g z):

h h

x w w h0 0

hF p dz g z dz = g = F (horiz. Kraft in Abb. 3.10a)2

Hydrostatik 39

Abb. 3.10: Druckkraft auf gekrmmte Flchen

h

p = w g z

Detail A

z

z = f(x)x

A

B0

ds

x0

dF = p ds

RWS

2w

hg hF 2

z

(a) Definitionsskizze

dx

dzdFz

dFx

dF = p ds

ds

dFx = x-Komponente von FdFz = z-Komponente von

Fdz = Projektion von ds in

z-Richtung dx = Projektion von ds in

x-Richtung

(b) Detail der Kraftzerlegung

Hydrostatik 40

0 0x x

z w0 0

F = p dx = g z dx und mit z = f(x) (gekrmmte Flche)

0x

z w0

Flche 0AB ber der Kurve z f (z)

F = g f(x) dx

(0.16)

Die z-Komponente der Druckkraft F2 stellt somit die Auflast des Wassers auf die ge-krmmte Flche z = f(x) dar (Abb. 3.11).

Abb. 3.11: Definitionsskizze zur Ableitung der vertikalen Druckkraftkomponente

Die resultierende Druckkraft F auf die gekrmmte Flche wird durch Aufspaltung in eine horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente bestimmt (Abb. 3.12).

z

0B

z = f(x)

A

x

h

FzAuflast

x00x

z w0

F = g f (x) dx

0x

0Flche 0AB = f (x) dx

Hydrostatik 41

Abb. 3.12: Resultierende Druckkraft auf gekrmmte Flchen (konvex)

Abb. 3.13: Resultierende Druckkraft auf gekrmmte Flchen (konkav)

z

0 x

h

Fz x0

Fx

FFz

RWS

w g h

Fx Betrag:

Richtung:

2 2x zF = F F

zx

Ftan F

Luftseite

Fz

0 x

z

hWasserseite

Fx

FFz

x0 RWS

Fx

w g h

2 2x zF = F F

zx

Ftan F

Hydrostatik 42 Anmerkung:

Liegt das Wasser auf der konkaven statt auf der konvexen Seite der gekrmmten Flche, so stellt die vertikale Kraftkomponente Fz nicht die Auflast, sondern den Auftrieb auf die ge-krmmte Flche dar (Abb. 3.13). (Fr die Definition des Auftriebes siehe Abschnitt 3.5.)

3.5 Auftrieb (Prinzip von ARCHIMEDES) Auftrieb tritt in folgenden Fllen auf:

Bei Krpern, die vllig bzw. teilweise ins Wasser eintauchen. Bei Bauwerken, die im Wasser (auch Grundwasser!) errichtet sind bzw. vom Was-

ser unterstrmt werden. (a) Auftrieb auf eingetauchte Krper

Prinzip von ARCHIMEDES13: Die Auftriebskraft Fz ist gleich dem Gewicht des ver-drngten Wasservolumens VV:

z W VF = g V (0.17) Beweis: Wir betrachten einen beliebig geformten eingetauchten Krper mit der Dichte w in

Abb. 3.14, wobei eine Einheitsbreite b = 1 m friction fatiguesenkrecht zur x-z-Ebene angenommen wird (zweidimensionale Betrachtung!). Die obere Grenzflche des Krpers, auf die die Auflast wirkt, ist z = f1(x) und die untere Grenzflche, auf die der Auftrieb wirkt, ist z = f2(x). Damit ergebenfriction fatigue sich die differentialen Vertikalkrfte auf ein Krperelement der Dicke dxfric-tion fatigue: Auflast z1 W 1 W 1dF = g z dx = g f (x ) dx

"Auftrieb" z2 W 2 W 2dF = g z dx = g f (x ) dx Resultierende Druckkraft z z 2 z1 W 2 1dF dF dF g f ( x ) f ( x ) dx

13 ARCHIMEDES (287212 v. Chr.): Mathematiker und Physiker aus Syrakus.

Hydrostatik 43

Abb. 3.14: Definitionsskizze fr die Bestimmung des Auftriebs

Die resultierende Vertikalkraft Fz auf den Gesamtkrper folgt aus der Integration (Abb. 3.15):

Bxz z w 2 10

F dF g f (x) f (x) dx

B Bx x

z w 1 2 w V0 0

F g f (x)dx f (x)dx gV

z,1 B

1

F Flche OABxbegrenzt durch obereKurve z f (x) (Abb.19a)

z,2 B

2

F Flche OABxbegrenzt durch untereKurve z f (x) (Abb.19b)

(Definition von VV siehe Abb. 3.15 c)

3.6 Schwimmender Krper und Schwimmstabilitt Baukrper wie z.B. Senkksten (Caissons) mssen gelegentlich schwimmend zum Einbauort transportiert werden. Dabei mssen stets zwei Bedingungen erfllt werden: Schwimmfhigkeit und Schwimmstabilitt.

z1 = f1(x)obere Kurve

zo = f1(x)

untere Kurvezu = f2(x)

z2 = f2(x)

xB x

z

A Bdx

0

2zdF

1zdFRWS

Hydrostatik 44

Abb. 3.15: Prinzipienskizze zur Bestimmung der Auftriebskraft Fz

3.6.1 Schwimmfhigkeit Am Beispiel des Schwimmkrpers mit der Dichte F, der Hhe H, der Schwimmflche A, dem Krpervolumen VK und dem verdrngten Wasservolumen Vv in Abb. 3.16 sollen nachstehend die Bedingungen fr die Schwimmfhigkeit demonstriert werden.

Krpergewicht in der Luft: F K FG g V g H A

Auftriebskraft (ARCHIMEDES): A w V w wF g V g h A

Schwimmbedingung: AG F F w wg H A g h A F w wH h Daraus folgt der Tiefgang hw:

w f wh / H (0.18)

+z = f1(x)

z

A B

xB0x

(a) Druck auf obere Flchez1 = f1(x) als Auflast

1zF

B

1

x

z w 10

F g f ( x )d x

=A

(b) Druck auf untere Flchez2 = f2(x) als Auftrieb

z

B

z = f2(x)

xB0x

2zF

B

2

x

z w 20

F g f ( x )d x

(c) Resultierende Druckkraft auf den Krper (Auftrieb)

z

A B

xB0x

VerdrngtesWasservolumen VV

zF

2 1z z zF F F

Hydrostatik 45 Und der Freibord f = Fw

wH h H H :

Fw

f H 1 (0.19)

Abb. 3.16: Schwimmvermgen

Beispiel: Gesucht: Dicke H einer Eisscholle (Eisplatte!), wenn diese mit f = 5 cm aus dem Was- ser herausragt. Dabei ist (bei T = 0 C) eis = K = 916,7 kg/m3 und wasser = w = 999,85 kg/m3 Lsung: Aus Gl. (0.19) folgt fr die Dicke H:

Fw

f 0,05mH 0,60m916,711 999,85

G = K g VK

H

Freibo

rd f

Tiefga

ng h w

p = w g hw

Schwimmflche A

SK

SV1

SK : Krperschwerpunkt

FA = w g VV

SV1 : Verdrngungsschwerpunkt

RWS

Hydrostatik 46 3.6.2 Schwimmstabilitt und Kriterien Schwimmfhigkeit allein ist fr den Transport nicht ausreichend. Zustzlich muss der Baukr-per fr den Transport stabil schwimmen und darf dabei nicht kentern. Hinsichtlich der Schwimmlage sind grundstzlich 3 Flle zu unterscheiden, die in Abb. 3.17 dargestellt und erlutert sind. Fr die Ableitung der Kriterien der Schwimmstabilitt wird der Schwimmkrper in Abb. 3.18 betrachtet, der leicht um den Winkel aus seiner stabilen Lage ausgelenkt wird. Die wichtigsten Parameter fr die Beschreibung der Kriterien fr die Schwimmstabilitt sind (vgl. Abb. 3.18):

hm: Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Schwimmkrpers und dem Metazentrum M. Das Metazentrum ist der Schnittpunkt zwischen der ausge- lenkten Schwimmachse und der Wirkungslinie der versetzten Auftriebskraft FA

hk: Abstand zwischen dem Schwerpunkt SK des Krpers und dem Verdrn- gungsschwerpunkt Sv1 bei Ruhelage vor der Auslenkung

Vv: durch den Krper verdrngtes Wasservolumen Vv: durch den Krper verdrngtes Wasservolumen infolge Auslenkung I0: Trgheitsmoment der Schwimmflche A in Bezug auf die Achse 0 y:

20A

I x dA

Hydrostatik 47

Abb. 3.17: Stabile, labile und indifferente Schwimmlage

Krpe

r mit g

leichm

iger

Ma

ssenv

erteilu

ng (z

.B.

Kugel

; Zyli

nder)

Indiffe

rent

Stnd

iges D

rehen

des

Krpe

rs durc

h u

ere

Kraft

Krpe

r mit t

ief

liegend

em

Schwe

rpunk

t

Stabil

Rckk

ehr in

Ausga

ngslag

e, we

nn Ur

sache

der

Ausle

nkun

g bese

itigt is

t.

Labil

Umkip

pen bz

w. Ke

ntern

in and

ere

stabil

e Schw

imml

age

Krpe

r mit h

och

liegend

em

Schwe

rpunk

t

Ruhelage

Auslenkung

durch Kraft

S KS V

1

S K: S

chwerp

unkt d

es Krp

ersS V

: Verd

rngu

ngssch

werpu

nkt

S KS V

1

S V2

FF

F

GF A

rckd

rehen

S V1

S K

Schwim

machs

eSc

hwim

mflc

he

S V2

S V2

F AF A

kenter

ndre

hen

S KS K

S KG

G

Stabil

Labil

Indiffe

rent

Hydrostatik 48

Abb. 3.18: Ausgelenkte Schwimmkrper (Definitionsskizze)

Durch die Auslenkung wird der Auftrieb auf der aufgetauchten Seite um den Wert FA = - w g VV verringert (Abb. 3.18a). Auf der eingetauchten Seite nimmt die Auftriebs-komponente um den Wert FA = + w g VV zu. Zerlegt man das eingetauchte bzw. aufge-tauchte Volumen in viele kleine Scheiben dVv = z dA (Abb. 3.18), so lsst sich das entstehende Drehmoment M aus der Integration der Auftriebskrfte fr die Scheiben ber den Abstand x zur Schwimmachse berechnen. Da bei sehr kleiner Auslenkung z/x = tan = ist, folgt: A w V w wdF g dV g dA z g dA x (0.20) Das infinitesimale Drehmoment dM ist: 2A wdM x dF g x dA (0.21) Daraus folgt das gesamte Drehmoment M: 2w

A AM dM g x dA

2w w 0A

M g x dA g I (0.22)

M Metazentrum

VV

hK

SV2SV1

SKa

FG

FA

z

0

-VV

+VV

hM

x

a

FG = Gewichtskraft des KrpersSK = Schwerpunkt des KrpersSv1 = Verdrngungsschwerpunkt vor der Auslenkung (Ruhelage)

y

b = 1 ma

0 x

z

Schwimmflche A

dA

b

AdFxz

dA0

xz

VdV z dA c

Hydrostatik 49 Durch die Auslenkung entsteht ein Moment der Auftriebskraft FAa um den alten Verdrn-gungsschwerpunkt Sv1, das mit dem Moment infolge Vernderung der Eintauchtiefe der beiden Seiten im Gleichgewicht stehen muss: A w 0F g I (0.23) Der Hebelarm a (Abb. 3.18) folgt aus

w 0 w 0 0A w V V

g I g I Ia F g V V (0.24)

Da die Auslenkung als sehr klein angenommen wird, kann der Hebelarm a durch die Parame-ter hM, hK und wie folgt beschrieben werden: M K M Ka (h h ) sin (h h ) (0.25) Wird Gl. (0.25) in Gl. (0.24) eingesetzt, so folgt fr die Lage des Metazentrums:

0M KV

Ih hV (0.26)

Das Flchentrgheitsmoment I0 ist fr die Schwimmflche A (Abb. 3.18a) zu ermitteln. Fr die oben erwhnten Schwimmlagen (s. Abb. 3.17) gelten folgende Kriterien:

hM > 0 : stabile Schwimmlage hM < 0 : labile Schwimmlage hM = 0 : indifferente Schwimmlage

Liegt der Verdrngungsschwerpunkt SV oberhalb des Krperschwerpunktes SK, so ist die Schwimmlage stets stabil.

3.7 Einfluss zustzlicher Beschleunigungen auf den hydrostatischen Druck

3.7.1 Problemstellung Im Abschnitt 2 wurde gezeigt, dass Wasser leicht verformbar und nahezu inkompressibel ist, aber auch, dass sich seine Oberflche stets normal zur Resultierenden FR aller auf sie wirkenden Krfte einstellt. Wirkt also nur die Schwerkraft, so stellt sich zwangslufig eine horizontale Wasseroberflche ein. Dies ist der Fall, wenn das Wasser im Behlter nicht bewegt wird bzw. eine gleichfrmige

Hydrostatik 50 geradlinige Bewegung erfhrt, d.h. es wirkt auer der Erdbeschleunigung g keine weitere Be-schleunigung. Dabei wirkt die Erdbeschleunigung stets senkrecht zur Wasseroberflche (Iso-bare p = 0) sowie zu anderen Linien gleichen Druckes (p = konst.: Isobaren).

Abb. 3.19: Linien gleichen Druckes

Der Einfluss jeder zustzlichen Beschleunigung b auf das Ausgangssystem mit der Erdbe-schleunigung g kann durch eine effektive Beschleunigung be bercksichtigt werden: eb g b

(0.27) die wie folgt in die Druckberechnung eingeht: W ep b z

(0.28) Dabei ist zu beachten, dass die Trgheitskraft infolge der Wirkung von b stets in entgegenge-setzte Richtung von b wirkt. Im Folgenden wird die Wirkung der zustzlichen Beschleunigung b in senkrechter sowie in horizontaler Richtung betrachtet.

3.7.2 Senkrecht beschleunigter Wasserbehlter Hier sind drei Flle zu unterscheiden, die am Beispiel eines Wasserbehlters in einem fahrenden Fahrstuhl demonstriert werden knnen (Abb. 3.20).

p = 0Isobare

Isobare

Isobare

Isobare

Isobare

g

p = w g z

RWS

z

z

z = 0

z = 1 m

z = 2 m

z = 3 m

z = 4 m

4 2p 1mWS 10 N / m

4 2p 2 mWS 2 10 N / m

4 2p 3 mWS 3 10 N / m

4 2p 4 mWS 4 10 N / m

Hydrostatik 51 Fall 1: Gleichfrmige Bewegung nach oben bzw. unten (Abb. 3.20a) Fhrt der Fahrstuhl mit v = konst. nach oben bzw. unten, so ist dv/dt = b = 0, d.h. es wirkt nur die Erdbeschleunigung g. Der Bodendruck wp g h bleibt unverndert. Fall 2: Beschleunigte Fahrt nach oben (Abb. 3.20b) Der Fahrstuhl hat eine nach oben gerichtete Beschleunigung b = konst. Dadurch entsteht eine Trgheitskraft in entgegengesetzter Richtung von b, d.h. in Richtung von g. Dies bewirkt eine Erhhung des spezifischen Gewichtes des Wassers von w wg (g b), sodass sich der Bodendruck entsprechend erhht: w wp g h p (g b) h (0.29)

Abb. 3.20: Vertikale Bewegung eines Wasserbehlters bei unterschiedlicher Beschleunigung b

(a) Gleichfrmig nachoben bzw. unten

p = w g h

h g

b = 0

(b) Beschleunigt nach oben p = w (g + b)h

b 0

h g

p = w g h

p = w g h p = w (g + b) h

(c) Beschleunigt nach unten

b 0

g

p = w g h

p = w (g - b)h

h

Hydrostatik 52 Beispiel: Bei einem Erdbeben ist b 0,4 m/s2 nach oben gerichtet. Dadurch kommt es zu ei ner Druckerhhung von ca. 4 %:

ww

(g b) h g b 9,81 0,4 1,04gh g 9,81

Fall 3: Beschleunigte Fahrt nach unten (Abb. 3.20c) Der Fahrstuhl hat eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = konst. Sie bewirkt eine Trg-heitskraft nach oben, d.h. in entgegengesetzter Richtung von g. Dadurch kommt es zu einer Abminderung des spezifischen Gewichts des Wassers: w wg (g b) (0.30) sodass sich der Bodendruck entsprechend vermindert: w wp g h p (g b) h (0.31) Sonderfall: Beschleunigte Fahrt nach unten mit der Beschleunigung b = g

Erfhrt der Fahrstuhl eine nach unten gerichtete Beschleunigung b = g, so wirkt nach Gl. (0.30) ein spezifisches Gewicht des Wassers von:

w (g g) 0 (Schwerelosigkeit) Der hydrostatische Druck ist somit nach Gl. (3.26) p = w (g - g) h = 0.

3.7.3 Horizontal beschleunigter Wasserbehlter Die Wirkung einer horizontalen Beschleunigung soll zunchst an einem horizontal und gerad-linig fahrenden Wasserbehlter und dann an einem horizontal rotierenden Behlter demonstriert werden. (a) Horizontal und geradlinig beschleunigter Behlter Wird der Wasserbehlter in Abb. 3.21 nach rechts mit b = konst. beschleunigt, so wirken auf die Wassermasse m folgende Krfte:

Trgheitskraft F m b , Gewichtskraft GF m g .

Hydrostatik 53

Abb. 3.21: Horizontal und geradlinig beschleunigter Wasserbehlter

Die resultierende Kraft FR folgt zu 2 2R e eF m b g m b , b b g ,

d.h. die Wasseroberflche muss sich schrg einstellen, damit sie stets senkrecht zur resul-tierenden Beschleunigung eb bleibt. Der Neigungswinkel der Wasseroberflche folgt aus:

G

F m b btan tan = F m g g (0.32)

Anmerkung:

Durch die Schrglage der Wasseroberflche wird potentielle Energie gespeichert, die nach Wegfall der Beschleunigung b in Wellenbewegung umgesetzt wird. Deshalb sind z.B. bei Schiffshebewerken nur geringe Beschleunigungen (b < 0,015 m/s2) zugelassen.

(b) Horizontal rotierender Wasserbehlter Bei beschleunigter Drehbewegung wirken Zentrifugal- und Schwerekrfte zusammen, d.h. zu jedem Abstand r von der Rotationsachse 0z gehrt eine nach innen gerichtete Beschleunigung b (Abb. 3.22):

2b r mit v / r Winkelgeschwindigkeit 2b v / r

RWS Isobaren (p = konst.)

ursprnglicher RWS

R eF m b

b konst.

GF m g

h

F mb

Hydrostatik 54

Nach Gl. (3.27) ist:

2 2b v / r / rtan g g g

Andererseits gilt (Abb. 3.22):

dztan dr

2 2 2 2dz r r dz r dr z(r) Cdr g g g 2

Das heit, die Wasseroberflche ist ein Paraboloid (Abb. 3.22).

Abb. 3.22: Horizontal rotierender Wasserbehlter

r0

z

Detail M

Isobaren p = konst.

M

drdz

Detail M

rr

-b

gbe

0

z

Tangente

br

M

Hydrostatik 55

3.8 Zusammenfassung 1. Der Bezugsdruck in der Hydrostatik ist der atmosphrische Druck. Die SI-Einheit des

Druckes ist Pascal (1 Pa = 1 N/m2).

2. Der Druck in einer ruhenden Flssigkeit ist in alle Richtungen gleich gro. Druck ist daher eine skalare Gre (kein Vektor).

3. Der hydrostatische Druck infolge Schwerkraft steigt linear mit der Wassertiefe z: wp g z 4. Die hydrostatische Druckkraft wirkt stets senkrecht auf die Begrenzungsflche.

5. Die hydrostatische Druckkraft F auf eine ebene Flche A ist gleich dem Produkt aus die-

ser Flche und dem hydrostatischen Druck p = w g h im Schwerpunkt dieser Flche: w sF ( g h )A 6. Da die hydrostatische Druckverteilung nur von der Wassertiefe abhngig ist, spielen

Gre und Form des Wasserbehlters keine Rolle (hydrostatisches bzw. PASCALsches Paradoxon).

7. Zur Bestimmung der hydrostatischen Druckkraft auf gekrmmte Flchen ist eine Auf-

spaltung in eine horizontale (Fx) und vertikale (Fz) Kraftkomponente erforderlich: 2x wF g h / 2 (h = Wassertiefe) z wF g V (V = Volumen ber der gekrmmten Flche bis zur Hhe des RWS)

8. Die Auftriebskraft auf einen Krper im bzw. am Wasser lsst sich nach dem Prinzip von

ARCHIMEDES bestimmen: A w VF gV

(VV = durch den Krper verdrngtes Wasservolumen) Die Gre der Auftriebskraft eines eingetauchten Krpers ist somit von der Eintauchtiefe

unabhngig. 9. Ein Krper schwimmt, wenn das Krpergewicht gleich der Auftriebskraft ist. Fr die

Schwimmstabilitt unterscheidet man stabile, labile und indifferente Schwimmlage. In der stabilen Schwimmlage liegt das Metazentrum lotrecht ber dem Schwerpunkt des schwimmenden Krpers.

Hydrostatik 56 10. Bei der Wirkung einer zustzlichen Beschleunigung auf eine ruhende Flssigkeit ist zu

beachten, dass sich die resultierende Beschleunigung (bzw. Kraft) stets senkrecht zur Wasseroberflche einstellt, wobei bei der Berechnung der Resultierenden zu beachten ist, dass die zustzliche Beschleunigung entgegen ihrer Wirkungsrichtung anzusetzen ist (Trgheitskrfte).

11. Die Oberflche einer beschleunigten rotierenden Flssigkeit hat die Form eines Rotati-onsparaboloids.

Hydrostatik 57

3.9 Aufgaben Aufgabe 3.1: "Einheiten" Was ist die SI-Einheit fr Druck? Welche weiteren Einheiten knnen Sie fr den hydrostati-schen Druck angeben? Wie knnen Sie diese auf die SI-Einheit umrechnen? Aufgabe 3.2: "Druck" Was verstehen Sie unter relativem und absolutem Druck? Aufgabe 3.3: "Salzgehalt" Wie ndert sich die Dichte des Wassers bei zunehmendem Salzgehalt? Welchen Einfluss hat der Salzgehalt auf den hydrostatischen Druck? Aufgabe 3.4: "Kavitation" Wie gro ist der Dampfdruck? Was verstehen Sie unter Kavitation? Geben Sie zwei Beispiele-friction fatigue, wo Kavitation auftreten kann. Aufgabe 3.5: "Hydrostatischer Druck" Wie gro ist der Druck, der auf einen Taucher in 1 m, 10 m und 100 m Wassertiefe wirkt? Geben Sie diesen Druck in den Einheiten [mWS] und [kN/m2] an.

Hydrostatik 58 Aufgabe 3.6: "Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand" Berechnen Sie den hydrostatischen Druck und die resultierende Kraft pro laufenden Meter auf eine Mauer. Gegeben: p0 = 1013,25 mbar w = 1,0 t/m3 d = 10,0 m

Abb. 3.23: Hydrostatischer Druck auf eine senkrechte Wand

Lsung: a) Ermittlung des hydrostatischen Druckes an der Sohle ps

Berechnung des absoluten Druckes: 5

0Mit p 1013,25mbar 1,013bar 1,013 10 Pa folgt : 5 5S W 0p g d p 1000 9,81 10,0 1,013 10 1,994 10 Pa

Anmerkung: Es wirkt von der anderen Seite der Mauer derselbe atmosphrische Druck entgegen. Der Luftdruck kann somit vernachlssigt werden und es ist daher zulssig mit p0 = 0 kN/m2 zu rechnen.

Berechnung des relativen Druckes: 2S w 0p g d p 1,0 9,81 10,0 0 98,1kN / m

d = 10m

Sohldichtung

z

Hydrostatik 59

Abb. 3.24: Druckspannnungsverteilung auf eine senkrechte Wand

b) Ermittlung der resultierenden Druckkraft: d

s

0

p 98,1F p dA d 10 490,5 kN / m2 2 Aufgabe 3.7: "Druck auf Kreissegmentschtz" Ein Kreissegmentschtz soll einen Stollen mit einem Rechteckquerschnitt verschlieen. Der Stollen hat eine Breite b von 5,0 m und eine Hhe a von 2,0 m. Der Winkel des Kreisseg-mentschtzes betrgt 55. a) Bestimmen Sie Gre und Richtung der hydrostatischen Gesamtkraft auf das Auflager im Punkt M. b) Zeichnen Sie die Druckspannungsverteilung auf das Schtz fr

den horizontalen Wasserdruck, den vertikalen Wasserdruck.

d = 10 m

Sohldichtung

z

Fres

d/3

ps= 98,1 kN/m

Hydrostatik 60

Abb. 3.25: Kreissegmentschtz

Gegeben: w = 1,0 t/m3 g = 9,81 m/s2 a = 2,0 m b = 5,0 m h = 1,5 m = 55

h

r aM

r

Hydrostatik 61 Aufgabe 3.8: "Druck auf schrge Flchen" Berechnen Sie die Druckverteilung und die resultierende Vertikalkraft auf die "Nase" ABCD.

Abb. 3.26: Druck auf schrge Flche

Gegeben: w = 1,0 t/m3 g = 9,81 m/s2 patm = 0 kN/m2

Lsung: a) Ermittlung des hydrostatischen Druckes an den Punkten A, B, C und D

pA = p0 = patm = 0 kN/m2 (Bezugsdruck) pB = w g z + p0 = 1,0 9,81 8,0 + 0 = 78,5 kN/m2 pC = pB = 78,5 kN/m2

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