4. Hydromechanik realer Strömungen 4.1 Reale versus · PDF filev = Fluid-Geschwindigkeit g = Erdbeschleunigung =9,81m/sec2 h = Wassertiefe . FG Geohydraulik und Ingenieurhydrologie

FG Geohydraulik und Ingenieurhydrologie Technische HydraulikUniversitt KasselProf. Dr. rer. nat. M. Koch 4.1
Re ' L ( v /
'L ( v
' [ / ]
Fr ' v
g ( h
4. Hydromechanik realer Strmungen 4.1 Reale versus ideale Strmungen: Allgemeine Betrachtungen
Wie in Kap. 3.3.1 erwhnt, ist der wesentliche Unterschied zwischen einer idealen und einer realenStrmung, da bei letzerer die durch die Viskositt bedingte innere Reibung, die zu thermischenVerlusten fhrt, eine bedeutende Rolle spielt. Solche Reibungsverluste sind jedoch von Bedeutung in
a) der Rohrhydraulik, inbesondere bei kleinen Rohrquerschnitten mit rauer Innenwandung
b) der Hydraulik in natrlichen und konstruktiven Gerinnen
c) der Analyse von Widerstandskrften, die umstrmte Krper in einem Fluid erfahren.
Zudem knnen viele der in den Abbildung von Kap. 3.1 dargestellten Fluidphenomene nur unterBercksichtigung der Physik realer Fluide quantitativ beschrieben werden.
4.2 Hydromechanische Kennzahlen
Grundlage der Beschreibung realer Fluide sind sogenannte hydromechanische Kennzahlen, die i.a.Kombination von geometrischen Gren + physikalischen Eigenschaften eines Fluids sind. Dasbesondere an den Kennzahlen ist, da sie keine Dimension besitzen.
Fr den Hydrauliker sind von Bedeutung:
a) REYNOLDS - Zahl Re
(4.2.1a)
mit L = Geometrische Lnge (fr Rohre der Rohrdurchmesser d)v = Fluid-Geschwindigkeit = / = kinematische Viskositt
b) FROUDE - Zahl Fr (Bei Strmungen mit freier Oberflche)
(4.2.2a)
mitv = Fluid-Geschwindigkeitg = Erdbeschleunigung =9,81m/sec2
h = Wassertiefe

Re ' TrgheitskraftReibungskraft
Fr 2 ' TrgheitskraftSchwerkraft
Beispiel 4.2.1: Physikalische Bedeutung von Re und Fr
Man zeige da gilt:
(4.2.1b)
und
(4.2.2b)
Lsung:
a) Re-Zahl:
Fr die Trgheitskraft FT gilt nach Newton: FT = m a = V a
Fr die Reibungskraft FR gilt nach dem Newtonschen Schubspannungansatz: FR = A dv /dy
Betrachtet man nun lediglich die charakteristischen Dimensionen der einzelnen Gren, so ist
FT ~ L3 * L / T2
:FR ~ L
2 * / T
===> FT / FR = ( L
3 * L / T2 ) / (L2 * / T ) = L2 / (T) = (L/T)* L/ = v L / (/ )
===> FT / FR = Re Q.e.d
b) Fr2-Zahl:
Fr die Schwerkraft FS gilt FS = m g = V g ===> FS ~ L3 * g
Hier ist es zweckmig FT so zu dimensionieren:
FT ~ L3 * v2 /L
===>FT / FS = ( L
3 * v2 /L ) / ( L3 *g) = v2 / (L*g)
===> FT / FS = Fr
2 Q.e.d.

4.3 hnlichkeitsgesetze und das Prinzip der hydraulischen Modellbildung
Die hydromechanische Kennzahlen sind die Grundlage von hnlichkeitsgesetzen und derhydraulischen Modelbildung von realen Strmungsvorgngen in einem anderen geometrischenMastab, z.B.
a) Nachbildung der realen Strmung in einem Stausee-berlaufwehr in einem Labor
b) Modellierung des Geschiebetransports in schiffbaren Flssen und Kanlen im Labor
c) Messung von Widerstandskrften an Bauwerken und Fahrzeugen im Windkanal
Kann man modelmig dafr sorgen, da die reale und labormodellierte Strmung hnlich sind,knnen die Ergebnisse des Labormodels direkt auf das Naturmodel bertragen werden.
Zwei Strmungen sind hnlich wenn sie
a) geometrisch hnlich sind, d.h. gewisse geometrische Aspektverhltnisse (Breite, Lnge,Hhe) fr beide Strmungen gleich sind.
b) Die wichtigen hydromechanischen Kennzahlen gleich sind. Dies ist fr die meistenhydraulischen Problemen die Re-Zahl, bzw. bei Gerinnestrmung die Fr-Zahl. Es ist jedochmeistens nicht mglich, alle Kennzahlen identisch zu whlen.
Beispiel 4.3.1: hnlichkeit eines Automodells im WindkanalEs soll das Strmungsverhalten um ein Automobil bei einer realen Geschwindigkeit von vr =150 km/huntersucht werden. Dazu wird ein 1:5 Model im Windkanal verwendet. Wie gro mu dieWindgeschwindigkeit vm im Windkanal sein, um hnliche Verhltnisse zu bekommen?.
Lsung: Die Bedingungen fr die hnlichkeit sind:
a) Das Automobilmodel mu geometrisch hnlich dem Original sein. Dies ist durch die 1:5mastbliche Modelskalierung bereits der Fall.
b) Die Re-Zahlen fr die reale und die Modelstrmung mssen gleich sein:
Rer = Rem
===> vr * L r / L = vm * Lm / L ( L = kinematische Viskositt von Luft)
===> vr * L r = vm * Lm
===> vm = vr * L r / Lm
Es ist Lr :Lm = 5 : 1
===> vm = vr * 5 / 1 = 150 * 5 = 750 km/h

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Beispiel 4.3.2: hnlichkeit eines Schiffsmodells im offenen Schleppkanal Ein im Mastab 1:20 reduziertes Schiffsmodel soll im Schleppkanal untersucht werden. Wie gro mudie Schleppgeschwindigkeit sein, um eine reale Fahrgeschwindigkeit von 30 km/h hnlich abzubilden?
Lsung:
Hier sollen zweckmigerweise die Fr-Zahlen bereinstimmen, d.h.
Frr = Frm
===> vr / %Lr g = vm / %Lm g
===> vr /%Lr = vm / %Lm
===> vm = vr * %Lm / %Lr
Es ist Lr :Lm = 20 : 1
===> vm = 30 * 1 / % 20 = 6,7km/h
4.4 Laminare und turbulente Strmungen
Wie in Kap. 3.1erwhnt, unterscheidet man
Laminare Strmungen, bei denen einzelne Stromfden in geordneten Schichten zueinander laufen.
Turbulente Strmung, bei denen die Strmung sich mit weitgehend zufllig schwankender Geschwindigkeit um einen Mittelwert Gv nach Gre und Richtung ndert
(s. Abb. in Kap. 3.1)
Experimente zeigen, da bei geringer Strmungsgeschwindigkeit v die Strmung i.a. laminar und beimberschreiten einer kritischen Geschwindigkeit turbulent wird, d.h.
C laminar : v < v krit.
C bergangsmig : v . v krit.
C turbulent : v > v krit.
Genauer gesagt zeigt sich, da fr die Strmung gilt :
C laminar : Re < 2300
C bergangsmig : 2300 < Re < 4000
C turbulent : Re > 4000

F2
x
L
FR
F1
Bild 4.5.1 Geschwindigkeitsverteilung bei der laminaren Rohrstrmung
rR
Krftebilanz: F1 & F2 ' FR
F1 ' p1 ( A
F2 ' [ p1 % p ] ( A mit: p 'MpMx
( L
F2 ' [ p1 %MpMx
( L ] ( A
Beispiel 4.4.1: Bestimmung der Strmungskonfiguration in einer l-Rohrleitung
Gegeben: Durchmesser der lleitung d= 5 cm; Durchflurate Q= 2 L/s; l = 20*10-6 m2/s
Gesucht: Art der Strmung
Lsung:Fr die Re-Zahl gilt
Re = v * L /
mit v = Q/A = Fliegeschwindigkeit
= 2*10-3 m3/s / ( /4 * 0,052 m) = 1,02 m/s
L = d = Rohrdurchmesser = 0,05 m
= 20*10-6 m2/s
===> Re = 2550
Die Strmung ist turbulent
4.5 Reale Strmungen in Rohren4.5.1 Das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE
Gegeben: Ein Rohr der Lnge L; Radius R; Druck am Einlauf p1 und am Auslauf p2 Gesucht: (a) Geschwindigkeitsverteilung v(r) und (b) Durchflu Q Annahme: Die Strmung ist laminar
(a) Berechnung des Geschwindigkeitsprofiles

FR ' & [ (MvMr
] ( L ( 2 r
mit: & ( MvMr
' Newtonsche Schubspannung
A p1 ( A & [ p1 %MpMx
( L ] ( A ' & [ ( MvMr
] ( L ( 2 r
&MpMx
( L ( A ' & [ ( MvMr
] ( L ( 2 r
MpMx
( r 2 ' ( MvMr
( 2 r
( MvMr
(2 r
r 2'
MpMx
MvMr
'MpMx
(1
2( r
Integration liefert : m Mv 'MpMx
(1
2( m r dr
v(r) ' MpMx
(1
2(
r 2
2% C
fr r ' R v(R) ' 0 (Haftbedingung)
A 0 ' MpMx
(1
2(
R2
2% C
C ' &MpMx
(1
2(
R2
2
v(r) ' 14
(MpMx
( [ r 2 & R2 ]
===>
===>
(4.5.1)
Die Geschwindigkeit v(r) nimmt quadratisch von der Mitte des Rohres zum Rande hin ab.
A n m e r k u n g : D a s q u a d r a t i s c h eGeschwindigkeitsprofil gilt nur fr eine laminareRohrstrmung. Bei einer turbulentenRohrstrmung ist v(r) mehr konstant in der Mittedes Rohres und fllt erst am Rande innerhalb dersogenannten Grenzschicht auf Null ab. (s. Abb.)
Abb. 4.5.2: Experimentel les Geschwin-digkeitsprofil in einer turbulenten Rohrstrmung(die gestrichelte Parabeln reprsentieren daslaminare Profil)

vmax ' &1
4(
MpMx
( R2
A Q ' mR
0v(r) ( 2 r dr ' m
R
0
MpMx
(1
4(r 2 & R2) 2 r dr
'MpMx
(1(2 m
R
0(r 2 & R2) r dr mit : Mp
Mx(
1(2
' C
' C mR
0(r 2 & R2) r dr ' C m
R
0(r 3 & R2r) dr
' C [ 14
r 4 & R212
r 2 ]R0 ' &C (14
R4
Q ' & dpdx 8
( R4
Q ' pL 8
( R4

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