XXIV. Band 1956 Heinrich u. Desoyer : Hydromechanische Grundlagen fiir die Behandlung usw. 81

Hydromechanische Grundlagen fiir die Behandlung von siationiiren und instationiiren Grundwasserstriimungen

I I . Mitteilnng

Von G. Heinrieh und K. Desoyer

In einer vorangegangenen Arbeit 1 wurde die Theorie der GrundwasserstrSmungen einerseits auf die Behandlung yon instation/iren Fliissigkeitsbewegungen, andereroeits auf den Fall aniso- troper inhomogener FestkSrper erweitert. Es sollen nun die in der angegebenen Arbeit durchgefiihr- ten Betrachtungen dahingehend verallgemeinert werden, dab die dort getroffene Voraussetzung punktf5rmiger Beriihrung der KSrner des FestkSrpers fallen gelassen wird und das Problem auf allgemeine FestkSrperskelette erweitert wird.

Wit betrachten fiir das felgende ein zeitlich unver/inderliches ruhendes FestkSrperskelett, yon dem wir nut voraussetzen, dab auf makroskopischen F1/ichenelementen jedes nicht speziell ge- fiihrten (statistischen) Schnittes das Verh~iltnis der yon Fliissigkeit bedeckten F1/iche zur gesamten Fl~che des Elementes als Funktion des Ortes angegeben werden kann. Dies setzt eine statistische Verteilung der FestkSrpersubstanz voraus. Es ist dabei gleichgiiltig, ob das Festk5rperskelett aus einem einheitlichen Stoff besteht, oder ob es ans verschiedenen Komponenten zusammengesetzt ist (z. B. bei Beton aus Fiillmasse und Zementpaste).

Fiir ein makroskopisches F1/ichenelement der Hiillfl~iche sei2 das Verh~.ltnis des yon Fliissigkeit bedeckten Anteils der F1/iche zur gesamten F1/iche. Diese GrSf~e wird fiir verschiedene Arten yon Schnitten (statistische Schnitte oder speziell ausgesuchte Schnitte) verschiedene Werte annehmen. Wir zeigen zun/ichst, dab auch fiir anisotrope FestkSrper fiir statistische Schnitte 2 gleich sein muB dem relativen Porenvolumen n. Dazu betrachten wir ein dutch statistische Schnitte herans- getrenntes quaderfSrmiges makroskopisches Volumelement mit den Kantenl~ngen dx, dy, dz in einem beliebig orientierten Koordinatensystem (x, y, z). Die in diesem Quader enthaltene Fliissig- keitsmenge n dx dy dz muB sich nun auf drei Arten ermitteln lassen : bezei chnen/~x, 2y, 2~ die 2-Werte iir die statistischen Schnittfl/ichen senkrecht zu den Kantenrichtungen x, y, z, so muB gehen

n dx dy dz = 2~ dx dy dz = 2y dy dx dz = /~ dz dx dy .

Hieraus erkennt man, daB, auch fiir anisotrope FestkSrper, fiir statistische Schnitte

~ = 2 z =~,o = 2 = n (1)

gilt (Verallgemeinerung des sog. Delesseschen Gesetzes2). Fiir spezielle (nichtstatistische) Schnltte gilt (1) i. a. nicht. Auch solche Schnitte sind jedoch

praktisch yon Bedeutung. So wh'd man z. B. bei der Beurteilung der Rutschgefahr bei kSrnigen FestkSrpern yon vornherein nut solche (nichtstatistische) Schnittfl~chen betrachten, die die KSrner des FestkSrpers nicht durchschneiden, sondern dutch deren Beriihrungsfl~chen hindurchgehen. Wit wollen daher im folgenden, um auch diese MSglichkeit zu erfassen, mit einer zun~chst often- gelassenen GrSge 2 rechnen, die wit auch bei anisotropen Festkfrpern als richtungsunabh~ngig vor- aussetzen, die abet ortsabh~ngig sein kann.

Wit denken uns dvrch eine beliebige (statistische oder speziell ausgew/ihlte) geschlossene Schnitt- fl/iche einen endlichen Tell des Gemisches (Festkfirper und Fliissigkeit) herausg'egriffen und wollen, /ihnlich wie in der ersten Arbeit, die Kr/ifte, die auf den im Inneren diese~ Hiillfl~che befindlichen Fllissigkeits- bzw. FestkSrper wirken, analysieren, um die ]3ewegungsgleichungen bzw. Gleich- gewichtsbedi~gungen aufzustellen. Im Gegensatz zu der Behandlung in der ersten Arbeit erscheint es fiir die vorliegende Verallgemeinerung erforderlich, die yon Fliissigkeit bedeckten Teile der/iul~e- ten Hiillfl/iche mit s~imtlichen im Innern befindlichen Fliissigkeitsgrenzfl/ichen gegen das Festkfrp er- skelett zusammenzufassen. Diese F1/iche umschliel3t dann den ganzen herausgegriffenen Fliissig- keitskSrper. Bedeutet d~F~ ein yon Fliissigkeit bedecktes vektorielles Oberfl~chenelement der Hi~llfl/iche (nach auBen orientiert) und do~ ein Oberfl/ichenelement der inneren Grenzfl~chen der

1 G. Heinrich u. K. Desoyer, Ing.-Arch. 23 (1955), S. 73. Bei Verweis auf Gleichungen dieser Arbeit wird den betreffenden Gleichungsnummern tier Hinweis I. vorangestelh.

2 ,4. Delesse, Annales des mines (4) 13 ~1848), S. 379.

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Fliissigkeit (gegen den Festk6rper orientiert), dannis t die Resultante aller auf diesen Fl~chen auf die Fliissigkeit einwirkenden Normaldriicke gegeben durch

- - fp dOaFt- fp do1, wobei p den Druck in der Fliissigkeit bedeutet. Da diese Grenzoberfl/iche den Fliissigkeitsk6rper vollst/indig einhiillt, kann man den Gaufisehen Satz anwenden und erh/ilt

fp aoo~, + fp do, = f v v ave, = fvp" '~ a v , (2) wobei dVFt ein Volumelement des Fliissigkeitsk6rpers, dV ein Volumelement 4es Gemisehes be- deutet. Die iibrigen Kr~fte werden ebenso eingefiihrt wie in der ersten Arbeit uad zwar ~ als die yon der I-Iautreibung am Festk6rperskelett herriihrende auf die Fliissigkeit wirkende Quasivolum- kraft, bezogen auf die Volumeinheit des Gemisches. Wie bereits in der ersten Arbeit gezeigt wurde, heben sieh die auf den yon Fliissigkeit bedeekten Tell der Hiillflfiehe wirkenden Reibungskr~fte bei der makroskopisehen Mittelwertsbildung auf. Ferner ist VU die Sehwerkraft, bezogen auf die Masseneinheit. Es gilt dann

f ( - - n Vp -t- ~+--7-~ng VU) d V = O , (3)

wo y~ das spezifisehe Gewicht der Fliissigkeit und g die Fallbesehleunigung bedeutet. Da das obige Integral fiir jedes beliebige Volumen versehwinden muff, so erh~lt man dureh

Nullsetzen des Integranden

,4/

Da (4) mit (I. 1) iibereinstimmt, spielt also die Voraussetzung der Punktberiihrung der K6rner fiir die Bewegung der Fliissigkeit iiberhaupt keine Rolle. Es bleiben daher alle Gleiehu~gen der ersten Arbeit, die sieh auf die Bewegung der Fliissigkeit beziehen, aueh fiir den verallgemeinerten Fall unver/indert.

Um die Gleiehgewiehtsbedingungen fiir den herausgesehnittenen Anteil des Festk6rperskeletts aufzusteUen, denken wit nns,/ihnlich wie in der vorangegangenen Arbeit, die Sehnittspannungen, die im Festk6rperanteil der iiugeren I-Iiillfliiehe wirken, in der Inakroskopisehen Betraehtung fiber das gauze makroskopisehe I-Iiillfl~iehenelemeut gemittelt. Der in einem solehen Element herrsehende Spannungszustand kann dutch Einfiihrung eines symmetrisehen Spannnngstensors ~ dargestellt werden. Bei k6rniger FestkSrperstruktur k6nnen zur Beurteilung der tlutsehgefahr spezielle (nieht- statistisehe) Sehnitte so gelegt werden, dab keines der Kfrner geschnitten wird. In diesem Fall stellt ~ den Spannungstensor der Korn-zu-Korn-Kriifte dar. Bei statistisehen Sehnitten (hier wird das Festk6rpermaterial durehsehnitten) stellt ~ den statistisch gemittelten Spannungstensor im Festkfrpermaterial dar. Dieser statistisehe Mittelwert des Spannungstensors ist iiberall dort maB- gebend, woes auf das elastisehe oder plastisehe Verhalten des Festk6rpers ankommt. Dies wird sp~iter noch begrilndet.

Die Gleichgewiehtsbedingung fiir den herausgesehnittenen Teil des Festk6rperskeletts lautet

Hier bedeutet dD~ den naeh auffen geriehteten Yektor eines Hiillfl~ehenelementes. Das zweite und drRte Integral sincl die Reaktionen der betreffenden auf den Fliissigkeitsk6rper wirkenden Kr~ifte [vgl. (3)]. Das letzte Glied stelh die anf den Festk6rperautefl wirkeude Massenkraft (Sehwerkraft) dar. yK ist das sp~zifische Gewicht des Festkgrpermaterials.

Aus der Bedeutung der oben eingefiihrten GriiBe 2 ergibt sich der Zusammenhang

don ,F1 ----~ ,'~ dog. (6) Aus (2) folgt dann

fp do, = f v p " ,~ d r - - fp Z doo und daraus mit Hilfe des.Gauflsehen Satzes

f p do, = f[,~ v v - - v(~,v)] d V . (7) Dureh Einsetzen yon (7) in (5) ergibt sieh naeh Anwendung des Gaufisehen Satzes auf das erste Integral yon (5)

f[V " ~ - - ~llrr-- (l - - n) V---~ VU + (n- - 2) V p - - p V)~ ] dV = 0 . (8) �9 ] L ~' J

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Da dieses Integral ftir jedes herausgegriffene Volumen verschwinden muB erhiilt man dureh Null- setzen des Integranden und Verwendung yon (4)

V ' ~ =~Vp + ~K--n(r~--~rZ) VU + pV ~. (9) g

]7 �9 ~ stellt die anf die Raumeinheit bezogene Resultante der Sehnlttkr/ifte im Festk6rperskelett dar,

Bei k6rniger Struktur des Festk6rpermaterials ist ftir punktf6rmige Beriihrung der K6rner = 1 zu setzen, wenn Schnitte dureh die Bertihrungspunkte der K6rner betrachtet werden. Dann

geht (9) in die gleiehung (I. 3) tiber:

V. 6 = V p + ~'K--'~(~'K--~'W) V u . (ga) g

Ftir statistische Schnitte (~ = n) nimmt (9) die Form an

V �9 ~ n Vp + Y~:--n(9'K--Yrr) V U + p V n . (9b) g

Damit ist eine alte Streitfrage aufgekl~rt, die in der hydraulischen Literatur his heute noch nicht bereinigt werden konnte, die Frage niimlich, 0b beider Wirknng der str6menden Fltissigkeit auf den Festk6rper der Druckgradient in roller Stfirke oder mit dem Faktor n versehen einzufiihren ist 1. Es ist dies also lediglich davon abhiingig, ob der betrachtete Schnitt statistisch geftihrt oder durch die Berfihrungszonon der K6rner hindnrch gelegt wird,

Analog wie in der vorangegangenen Arheit kann man den Druck p in (9) dutch die Standrohr- spiegelh6he h ansdriicken gem/il3 (I. 11)

_v + ~ = h (10) g 7w

und erhalt

mit (I. 12)

V ' ~ ~- ), yrz V h + K - - i ~ ytV g

Vh = - - ~-1. t~ . (12)

Aus (11) und (12) erkennt man, dab die auf die Volumeinheit des Gemisches bezogene resultierende Schnittkraft im FestkSrperskelett sich aus drei Anteilen zusammensetzt: der erste Anteil riihrt yon der StrSmung der Fliissigkeit her. Der zweite Anteil entspricht dem Gewicht des Festk6rper- skeletts, das um einen i. a. reduzierten Auftrieb vermindert ist. Im Falle der Punktberiihrung ist ftir ausgew/ihhe Schnitte durch die Bertihrpunkte (X = 1) der volle Auftrieb wirksam. In diesem Fall stimmt (11) mit (I. 48), bei deren Ableitung diese vorausgesetzt wurde, iiberein. Fiir statisti- sche Schnitte (~ = n) verschwindet der Auftrieb zur G~nze, unabh~ngig davon, ob Punktbertihrung vorliegt oder nicht. Fiir ausgew~hlte Schnitte mit/~ < n wechselt der Auftrieb das Vorzeichen.

In allen F~llen also, in denen es auf statistische Mittelwerte der Spannungen im Festkfrper- skelett ankommt (z. B. wenn man Spannungs-Dehnungs-Beziehungen verwendet, um das elastische oder plastische Verhalten des FestkSrpers zu untersuchen), daft, -~-ie (11) zeigt, nicht mit einem Auftrieb gerechnet werden, da in diesem Fall der Festkfirper statistisch zu schneiden ist (,~ ~ n).

Letzteres ergibt sich aus der folgenden Uberlegung: In einer Kontinuumstheorie kfnnen die Deformationen bzw. Deformationsgeschwindigkeiten nur einen Zusammenhang mit den Schnitt- spannungen besitzen, sie kSnnen aber nicht direkt in Zusammenhang gebracht werden mit zus/itz- lichen Kr~ften wie z. B. Druckkr/iften, die yon der Fliissigkeit auf das Skelett wirken. AuBerdem m u 8 verlangt werden, dab der Znsammenhang zwischcn den Deformationen bzw. Deformations- geschwindigkeiten und den Schnittspannungen im trockenen und fliissigkeitserfiillten Skelett der- selbe bleibt, um die im trockenen Zustand ermittehen Materialkonstanten in beiden F/illen ver- wenden zu k6nnen. Man muB daher die Schnitte so ftihren, daf$ im fliissigkeitserfiillten Skelett keine zus/itzlichen die Schnittspannungen ~ndernden Auftriebskr/ifte auftreten. Diese Bedingung erftillt nut der statistische Schnitt.

1 Vg]. K. Terzaghi, Erdbaumechanik, S. 128, Leipzig und Wien 1925, wo der Druckgradient in roller St/irke eingefiihrt wird, und E.Mayer-Peter, H.Favre, R.Miiller, Schweiz. Bauz. 108 (1936) S. 37, wo der Druek. gradient mit dem Faktor n versehen ist.

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Es sind daher alle in der Literatur vorhandenen Aas~itze, die in diesen F~illen ein Auftriebsglied enthalten, fehl am Platze. 1

Der dritte Anteil in (11) tr i t t nut bei ortsabh~ingigem 2 auf. Praktisch yon Bedeutung ist vor allem der Fall, dab man fiir zwei 1/ings einer Fl~iche aneinander grenzende Festkbrperskelette mit

zwei verschiedenen 2-Werten (21 und 22) l~ings dieser Fl/iche zu rech-

Es sei e12 der Einheitsvektor senkrecht zur Fl/iche, vom K6rper 1 in ~ den K6rper 2 weisend. Wit ersetzen zun~ichst die Unstetigkeit yon 2

r durch einen stetigen Ubergang 2 =2(v) im Intervall ~ = - % his ' @ ~ v = ~2 und gehen dann zur Grenze sj --~ 0, e 2--~ 0 iiber. Wir errichten

\ ~ / ~ fiber einem F1/ichenelement dF12 der Grenzfl/iche einen kleinen Zylinder mit der ( Hfhe el q- e2 (s. Abb. 1). Bildet man nun das Volumintegral

+-on 2~v h - - ~ - ) 172 [drittes Glied yon (11)] fiber diesen Zylinder und

fiihrt den angegebenen Grenziibergang aus, so erh~ilt man bei Be- Abb. 1. achtung yon (10)

~2 �9 ~Z

~lo0lim f yrz(h--U)v2dF~2dr=limfpV2(r)dFl~dv=el~dF12hmfp-~dr=%~dFi2P(21--2.2). (13)

Ist also die Resultante aller Schnittkr~ifte, die 1/ings eiuer geschlossenen Hiillfl~che auf das Fest- kfrperskelett wirken, zu bestimmen, so gilt, wenn im Inneren Unstetigkeitsfl/ichen obiger Art vor- kommen, gemaB (11) und (13)

v1 vi

Vj j<IFjl

Dabei sind die Volumintegrale iiber die durch die Unstetigkeitsfl/iehen Fjz voneinander abgegrenz- ten Einzelvolumina ~ zu nehmen. Das letzte Integral ist fiber alle Unstetigkeitsfliiehen zu bilden. Bei ortsabh~ingigem2 beeinfluBt also der absolute Druek p in der Fliissigkeit die inneren Spannunge,,~ im Festk6rperskelett.

(Eingegangen am 11. Juli 1955.)

Anschrift der Verfasser: Prof. Dr. G. Heinrich und Dr. K. Desoyer, Wien IV, Karlsplatz 13, Teehnische Hoehschule.

1 Siehe z. B. F. TSlke, Ing.-Areh. 2 (1931), S. 295ff. Vgl. aueh die Polemik zwischen P. Fillunger und O. Hoffmann in ,,Die Wasserwirtschaft" (1929) Heft 18, 20, 21, 33, (1930) Heft 4, 25, die keine endgiiltige Kliirung brachte.